વિષય પર પાઠ અને પ્રસ્તુતિ: "અસમાનતાઓની સિસ્ટમ્સ. ઉકેલોના ઉદાહરણો"

વધારાની સામગ્રી
પ્રિય વપરાશકર્તાઓ, તમારી ટિપ્પણીઓ, સમીક્ષાઓ, શુભેચ્છાઓ આપવાનું ભૂલશો નહીં! એન્ટી-વાયરસ પ્રોગ્રામ દ્વારા તમામ સામગ્રીની તપાસ કરવામાં આવી છે.

ગ્રેડ 9 માટે ઇન્ટિગ્રલ ઑનલાઇન સ્ટોરમાં શૈક્ષણિક સહાય અને સિમ્યુલેટર
ધોરણ 9 માટે ઇન્ટરેક્ટિવ પાઠ્યપુસ્તક "ભૂમિતિમાં નિયમો અને કસરતો"
ગ્રેડ 7-9 માટે ઇલેક્ટ્રોનિક પાઠ્યપુસ્તક "સમજી શકાય તેવી ભૂમિતિ".

અસમાનતા સિસ્ટમ

ચાલો અસમાનતાઓની સિસ્ટમની વ્યાખ્યા રજૂ કરીએ.
કેટલાક ચલ x સાથેની કેટલીક અસમાનતાઓ અસમાનતાઓની સિસ્ટમ બનાવે છે જો તમારે x ના તમામ મૂલ્યો શોધવાની જરૂર હોય જેના માટે દરેક અસમાનતા સાચી બને છે સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ.

x નું કોઈપણ મૂલ્ય કે જેના માટે દરેક અસમાનતા સાચી સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ લે છે તે અસમાનતાનો ઉકેલ છે. ખાનગી ઉકેલ પણ કહી શકાય.
ખાનગી ઉકેલ શું છે? ઉદાહરણ તરીકે, જવાબમાં આપણને x>7 અભિવ્યક્તિ મળી છે. પછી x=8, અથવા x=123, અથવા સાત કરતા મોટી કોઈપણ અન્ય સંખ્યા એ ચોક્કસ ઉકેલ છે, અને અભિવ્યક્તિ x>7 છે સામાન્ય ઉકેલ. સામાન્ય ઉકેલ ઘણા ખાનગી ઉકેલો દ્વારા રચાય છે.

આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમ કેવી રીતે જોડાઈ? તે સાચું છે, એક સર્પાકાર તાણવું, અને તેથી તેઓ અસમાનતા સાથે તે જ કરે છે. ચાલો અસમાનતાઓની સિસ્ટમનું ઉદાહરણ જોઈએ: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
જો અસમાનતાઓની સિસ્ટમમાં સમાન સમીકરણો હોય, ઉદાહરણ તરીકે, $\begin(cases)x+7>5\\x+7
તેથી, તેનો અર્થ શું છે: અસમાનતાઓની સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધવા માટે?
અસમાનતાનો ઉકેલ એ અસમાનતાના આંશિક ઉકેલોનો સમૂહ છે જે એકસાથે સિસ્ટમની બંને અસમાનતાને સંતોષે છે.

અમે અસમાનતાની સિસ્ટમનું સામાન્ય સ્વરૂપ $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(કેસ)$ તરીકે લખીએ છીએ.

ચાલો અસમાનતા f(x)>0 ના સામાન્ય ઉકેલ તરીકે $Х_1$ દર્શાવીએ.
$X_2$ એ અસમાનતા g(x)>0 નો સામાન્ય ઉકેલ છે.
$X_1$ અને $X_2$ એ ચોક્કસ ઉકેલોનો સમૂહ છે.
અસમાનતાની સિસ્ટમનો ઉકેલ $X_1$ અને $X_2$ બંનેની સંખ્યાઓ હશે.
ચાલો સેટ પરની કામગીરી યાદ રાખીએ. અમે એક જ સમયે બંને સમૂહોના સમૂહના ઘટકો કેવી રીતે શોધી શકીએ? તે સાચું છે, આ માટે એક આંતરછેદ કામગીરી છે. તેથી, અમારી અસમાનતાનો ઉકેલ સેટ $A= X_1∩ X_2$ હશે.

અસમાનતાઓની સિસ્ટમોના ઉકેલોના ઉદાહરણો

અસમાનતાઓની સિસ્ટમ ઉકેલો.
a) $\begin(કેસો)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(કેસ)2x-4≤6\\-x-4
ઉકેલ.
a) દરેક અસમાનતાને અલગથી ઉકેલો.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x>1$.
$5x-10
ચાલો આપણા અંતરાલોને એક સંકલન રેખા પર ચિહ્નિત કરીએ.

સિસ્ટમનો ઉકેલ એ આપણા અંતરાલોના આંતરછેદનો સેગમેન્ટ હશે. અસમાનતા કડક છે, પછી સેગમેન્ટ ખુલ્લું રહેશે.
જવાબ: (1;3).

બી) અમે દરેક અસમાનતાને અલગથી ઉકેલીશું.
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ $5.
$-x-4 -5$.


સિસ્ટમનો ઉકેલ એ આપણા અંતરાલોના આંતરછેદનો સેગમેન્ટ હશે. બીજી અસમાનતા કડક છે, પછી સેગમેન્ટ ડાબી બાજુ ખુલ્લું રહેશે.
જવાબ: (-5; 5].

ચાલો આપણે જે શીખ્યા તેનો સારાંશ આપીએ.
ચાલો કહીએ કે અસમાનતાઓની સિસ્ટમને હલ કરવી જરૂરી છે: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(કેસ)$.
પછી, અંતરાલ ($x_1; x_2$) એ પ્રથમ અસમાનતાનો ઉકેલ છે.
અંતરાલ ($y_1; y_2$) એ બીજી અસમાનતાનો ઉકેલ છે.
અસમાનતાની સિસ્ટમનો ઉકેલ એ દરેક અસમાનતાના ઉકેલોનું આંતરછેદ છે.

અસમાનતાઓની પ્રણાલીઓમાં માત્ર પ્રથમ ક્રમની અસમાનતાઓ જ નહીં, પરંતુ અન્ય કોઈપણ પ્રકારની અસમાનતાઓ પણ હોઈ શકે છે.

અસમાનતાઓની પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટેના મહત્વપૂર્ણ નિયમો.
જો સિસ્ટમની એક અસમાનતાનો કોઈ ઉકેલ નથી, તો સમગ્ર સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી.
જો કોઈ એક અસમાનતા ચલના કોઈપણ મૂલ્યો માટે સંતુષ્ટ હોય, તો સિસ્ટમનો ઉકેલ અન્ય અસમાનતાનો ઉકેલ હશે.

ઉદાહરણો.
અસમાનતાઓની સિસ્ટમ ઉકેલો:$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(કેસ)$
ઉકેલ.
ચાલો દરેક અસમાનતાને અલગથી હલ કરીએ.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

ચાલો બીજી અસમાનતા ઉકેલીએ.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

અસમાનતાનો ઉકેલ અંતરાલ છે.
ચાલો બંને અંતરાલો એક જ રેખા પર દોરીએ અને આંતરછેદ શોધીએ.
અંતરાલોનું આંતરછેદ એ સેગમેન્ટ છે (4; 6].
જવાબ: (4;6].

અસમાનતાઓની સિસ્ટમ ઉકેલો.
a) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\અંત(કેસો) )$.

ઉકેલ.
a) પ્રથમ અસમાનતાનો ઉકેલ x>1 છે.
ચાલો બીજી અસમાનતા માટે ભેદભાવ શોધીએ.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D ચાલો નિયમ યાદ રાખીએ: જ્યારે કોઈ એક અસમાનતાનો કોઈ ઉકેલ નથી, તો પછી સમગ્ર સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી.
જવાબ: ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી.

બી) પ્રથમ અસમાનતાનો ઉકેલ x>1 છે.
બીજી અસમાનતા શૂન્ય કરતાં વધુબધા x માટે. પછી સિસ્ટમનો ઉકેલ પ્રથમ અસમાનતાના ઉકેલ સાથે એકરુપ થાય છે.
જવાબ: x>1.

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે અસમાનતાઓની સિસ્ટમો પર સમસ્યાઓ

અસમાનતા સિસ્ટમઅજ્ઞાત જથ્થા ધરાવતી બે અથવા વધુ અસમાનતાઓના કોઈપણ સમૂહને કૉલ કરવાનો રિવાજ છે.

આ ફોર્મ્યુલેશન સ્પષ્ટપણે સચિત્ર છે, ઉદાહરણ તરીકે, નીચેના દ્વારા અસમાનતા સિસ્ટમો:

અસમાનતાઓની સિસ્ટમ ઉકેલો - અજ્ઞાત ચલના તમામ મૂલ્યો શોધવાનો અર્થ થાય છે કે જેના પર સિસ્ટમની પ્રત્યેક અસમાનતાનો અહેસાસ થાય છે, અથવા આવા અસ્તિત્વમાં નથી તે વાજબી ઠેરવવા માટે .

આનો અર્થ એ છે કે દરેક વ્યક્તિ માટે સિસ્ટમની અસમાનતાઓઅમે અજાણ્યા ચલની ગણતરી કરીએ છીએ. આગળ, પરિણામી મૂલ્યોમાંથી, ફક્ત તે જ પસંદ કરે છે જે પ્રથમ અને બીજી અસમાનતા બંને માટે સાચું છે. તેથી, પસંદ કરેલ મૂલ્યની અવેજીમાં, સિસ્ટમની બંને અસમાનતાઓ સાચી બને છે.

ચાલો કેટલીક અસમાનતાઓના ઉકેલ જોઈએ:

ચાલો સંખ્યા રેખાઓની જોડી એકની નીચે એક મૂકીએ; ટોચ પર કિંમત મૂકો x, જેના માટે પ્રથમ અસમાનતા વિશે ( x> 1) સાચું બને છે, અને તળિયે - મૂલ્ય એક્સ, જે બીજી અસમાનતાનો ઉકેલ છે ( એક્સ> 4).

પરના ડેટાની સરખામણી કરીને સંખ્યા રેખાઓ, નોંધ કરો કે બંને માટે ઉકેલ અસમાનતાકરશે એક્સ> 4. જવાબ, એક્સ> 4.

ઉદાહરણ 2.

પ્રથમ ગણતરી અસમાનતાઆપણને -3 મળે છે એક્સ< -6, или x> 2, સેકન્ડ - એક્સ> -8, અથવા એક્સ < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения એક્સ, જેના પર પ્રથમ અનુભૂતિ થાય છે અસમાનતા સિસ્ટમ, અને નીચેની સંખ્યા રેખા સુધી, તે તમામ મૂલ્યો એક્સ, જેના પર સિસ્ટમની બીજી અસમાનતા સમજાય છે.

ડેટાની સરખામણી કરતા, અમે શોધીએ છીએ કે બંને અસમાનતાતમામ મૂલ્યો માટે લાગુ કરવામાં આવશે એક્સ, 2 થી 8 સુધી મૂકવામાં આવે છે. મૂલ્યોનો સમૂહ એક્સસૂચવો બેવડી અસમાનતા 2 < એક્સ< 8.

ઉદાહરણ 3.અમે શોધીશું

રેખીય, ચતુર્ભુજ અને ઉકેલ માટેનો કાર્યક્રમ અપૂર્ણાંક અસમાનતાઓમાત્ર સમસ્યાનો જવાબ જ આપતું નથી, તે સ્પષ્ટીકરણો સાથે વિગતવાર ઉકેલ પૂરો પાડે છે, એટલે કે. ગણિત અને/અથવા બીજગણિતમાં જ્ઞાન ચકાસવા માટે ઉકેલ પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.

તદુપરાંત, જો અસમાનતાઓમાંથી એકને હલ કરવાની પ્રક્રિયામાં તેને હલ કરવી જરૂરી છે, ઉદાહરણ તરીકે, ચતુર્ભુજ સમીકરણ, પછી તેનું વિગતવાર સોલ્યુશન પણ પ્રદર્શિત થાય છે (તેમાં સ્પોઇલર છે).

આ પ્રોગ્રામ હાઈસ્કૂલના વિદ્યાર્થીઓ માટે તૈયારીમાં ઉપયોગી થઈ શકે છે પરીક્ષણો, માતાપિતાને તેમના બાળકોના અસમાનતાના ઉકેલો પર દેખરેખ રાખવા માટે.

આ પ્રોગ્રામ હાઈસ્કૂલના વિદ્યાર્થીઓ માટે ઉપયોગી થઈ શકે છે માધ્યમિક શાળાઓપરીક્ષાઓ અને પરીક્ષાઓની તૈયારીમાં, યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પહેલાં જ્ઞાનનું પરીક્ષણ કરતી વખતે, માતાપિતા માટે ગણિત અને બીજગણિતની ઘણી સમસ્યાઓના ઉકેલને નિયંત્રિત કરવા માટે. અથવા કદાચ તમારા માટે શિક્ષકને ભાડે રાખવું અથવા નવા પાઠયપુસ્તકો ખરીદવા માટે તે ખૂબ ખર્ચાળ છે? અથવા તમે તેને શક્ય તેટલી ઝડપથી પૂર્ણ કરવા માંગો છો?હોમવર્ક

ગણિતમાં કે બીજગણિતમાં? આ કિસ્સામાં, તમે વિગતવાર ઉકેલો સાથે અમારા પ્રોગ્રામ્સનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો. આ રીતે તમે તમારી પોતાની તાલીમ અને/અથવા તમારી તાલીમ લઈ શકો છો.નાના ભાઈઓ

અથવા બહેનો, જ્યારે સમસ્યાઓના ઉકેલના ક્ષેત્રમાં શિક્ષણનું સ્તર વધે છે.

અસમાનતા દાખલ કરવાના નિયમો
કોઈપણ લેટિન અક્ષર ચલ તરીકે કાર્ય કરી શકે છે.

ઉદાહરણ તરીકે: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), વગેરે.
સંખ્યાઓ સંપૂર્ણ અથવા અપૂર્ણાંક સંખ્યા તરીકે દાખલ કરી શકાય છે. વધુમાં,અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ

માત્ર દશાંશ તરીકે જ નહીં, પણ સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે પણ દાખલ કરી શકાય છે.
દશાંશ અપૂર્ણાંક દાખલ કરવા માટેના નિયમો. દશાંશમાંઅપૂર્ણાંક ભાગ
અવધિ અથવા અલ્પવિરામ દ્વારા સમગ્રથી અલગ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમે દાખલ કરી શકો છોદશાંશ

આની જેમ: 2.5x - 3.5x^2
સામાન્ય અપૂર્ણાંક દાખલ કરવા માટેના નિયમો.

માત્ર સંપૂર્ણ સંખ્યા જ અપૂર્ણાંકના અંશ, છેદ અને પૂર્ણાંક ભાગ તરીકે કાર્ય કરી શકે છે.

છેદ નકારાત્મક ન હોઈ શકે. દાખલ કરતી વખતેસંખ્યાત્મક અપૂર્ણાંક /
અંશને વિભાજન ચિહ્ન દ્વારા છેદથી અલગ કરવામાં આવે છે:આખો ભાગ &
એમ્પરસેન્ડ દ્વારા અપૂર્ણાંકથી અલગ:
ઇનપુટ: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2

પરિણામ: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)
અભિવ્યક્તિઓ દાખલ કરતી વખતે તમે કૌંસનો ઉપયોગ કરી શકો છો. આ કિસ્સામાં, અસમાનતાઓને હલ કરતી વખતે, અભિવ્યક્તિઓ પ્રથમ સરળ બનાવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે:

5(a+1)^2+2&3/5+a > 0.6(a-2)(a+3) પસંદ કરોયોગ્ય નિશાની

અસમાનતાઓની સિસ્ટમ ઉકેલો
તે જાણવા મળ્યું હતું કે આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે જરૂરી કેટલીક સ્ક્રિપ્ટો લોડ કરવામાં આવી ન હતી, અને પ્રોગ્રામ કામ કરી શકશે નહીં.
તમે AdBlock સક્ષમ કરેલ હોઈ શકે છે.

તમારા બ્રાઉઝરમાં JavaScript ને કેવી રીતે સક્ષમ કરવું તેની સૂચનાઓ અહીં છે.
કારણ કે સમસ્યા હલ કરવા માટે ઘણા બધા લોકો તૈયાર છે, તમારી વિનંતી કતારમાં છે.
થોડીવારમાં ઉકેલ નીચે દેખાશે. મહેરબાની કરીને રાહ જુઓ

સેકન્ડ... જો તમેઉકેલમાં ભૂલ નોંધાઈ
, પછી તમે આ વિશે ફીડબેક ફોર્મમાં લખી શકો છો. ભૂલશો નહીંકયું કાર્ય સૂચવે છે તમે શું નક્કી કરો.

ક્ષેત્રોમાં દાખલ કરો

થોડો સિદ્ધાંત.

એક અજ્ઞાત સાથે અસમાનતાની સિસ્ટમો. સંખ્યાત્મક અંતરાલો

તમે 7મા ધોરણમાં સિસ્ટમના ખ્યાલથી પરિચિત થયા અને બે અજાણ્યા સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાનું શીખ્યા. આગળ આપણે એક અજ્ઞાત સાથે રેખીય અસમાનતાઓની સિસ્ટમો પર વિચાર કરીશું. અસમાનતાઓની સિસ્ટમોના ઉકેલોના સેટ અંતરાલ (અંતરો, અર્ધ-અંતરો, સેગમેન્ટ્સ, કિરણો) નો ઉપયોગ કરીને લખી શકાય છે. તમે સંખ્યાના અંતરાલોના સંકેતથી પણ પરિચિત થશો.

જો અસમાનતામાં \(4x > 2000\) અને \(5x \leq 4000\) અજાણ્યો નંબર x સમાન છે, પછી આ અસમાનતાઓને એકસાથે ગણવામાં આવે છે અને તે અસમાનતાઓની સિસ્ટમ બનાવે છે તેવું કહેવાય છે: $$ \left\(\begin(array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(એરે) \ અધિકાર .$$

તાણવુંબતાવે છે કે x ના આવા મૂલ્યો શોધવા જરૂરી છે જેના માટે સિસ્ટમની બંને અસમાનતાઓ સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતામાં ફેરવાય છે. આ સિસ્ટમ- એક અજ્ઞાત સાથે રેખીય અસમાનતાની સિસ્ટમનું ઉદાહરણ.

એક અજ્ઞાત સાથે અસમાનતાની સિસ્ટમનો ઉકેલ એ અજ્ઞાતનું મૂલ્ય છે જેના પર સિસ્ટમની બધી અસમાનતાઓ સાચી બને છે. સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓ. અસમાનતાઓની સિસ્ટમને ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે આ સિસ્ટમના તમામ ઉકેલો શોધવા અથવા સ્થાપિત કરવું કે ત્યાં કોઈ નથી.

અસમાનતા \(x \geq -2 \) અને \(x \leq 3 \) ને બેવડી અસમાનતા તરીકે લખી શકાય છે: \(-2 \leq x \leq 3 \).

એક અજ્ઞાત સાથે અસમાનતાની સિસ્ટમોના ઉકેલો અલગ છે નંબર સેટ. આ સમૂહોના નામ છે. હા, ચાલુ સંખ્યા અક્ષસંખ્યાઓ x નો સમૂહ જેમ કે \(-2 \leq x \leq 3 \) બિંદુ -2 અને 3 પર છેડાવાળા સેગમેન્ટ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

જો \(a એક સેગમેન્ટ છે અને [a; b] દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે

જો \(a એક અંતરાલ છે અને તે (a; b) દ્વારા સૂચિત છે

અસમાનતાઓને સંતોષતી સંખ્યાઓના સમૂહ \(x\) \(a \leq x અડધા-અંતરો છે અને અનુક્રમે [a; b) અને (a; b] સૂચવવામાં આવે છે.

વિભાગો, અંતરાલો, અર્ધ-અંતરો અને કિરણો કહેવામાં આવે છે સંખ્યાત્મક અંતરાલો.

આમ, સંખ્યાત્મક અંતરાલોઅસમાનતાના સ્વરૂપમાં સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.

બે અજ્ઞાતમાં અસમાનતાનો ઉકેલ એ સંખ્યાઓની જોડી (x; y) છે જે વિપરીત થાય છે આ અસમાનતાસાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતામાં અસમાનતાને ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે તેના તમામ ઉકેલોનો સમૂહ શોધવો. આમ, અસમાનતા x > y ના ઉકેલો હશે, ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓની જોડી (5; 3), (-1; -1), ત્યારથી \(5 \geq 3 \) અને \(-1 \geq - 1\)

અસમાનતાઓનું નિરાકરણ પ્રણાલી

નક્કી કરો રેખીય અસમાનતાઓએક અજાણ્યા સાથે તમે પહેલેથી જ શીખ્યા છો. શું તમે જાણો છો કે અસમાનતાની સિસ્ટમ અને સિસ્ટમનો ઉકેલ શું છે? તેથી, એક અજ્ઞાત સાથે અસમાનતાઓની પ્રણાલીઓને હલ કરવાની પ્રક્રિયા તમને કોઈ મુશ્કેલીઓનું કારણ બનશે નહીં.

અને તેમ છતાં, ચાલો તમને યાદ અપાવીએ: અસમાનતાઓની સિસ્ટમને હલ કરવા માટે, તમારે દરેક અસમાનતાને અલગથી હલ કરવાની જરૂર છે, અને પછી આ ઉકેલોનું આંતરછેદ શોધો.

ઉદાહરણ તરીકે, અસમાનતાની મૂળ સિસ્ટમ ફોર્મમાં ઘટાડી દેવામાં આવી હતી:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(એરે)\જમણે. $$

અસમાનતાઓની આ સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે, સંખ્યા રેખા પર દરેક અસમાનતાના ઉકેલને ચિહ્નિત કરો અને તેમના આંતરછેદને શોધો:

આંતરછેદ એ સેગમેન્ટ છે [-2; 3] - અસમાનતાની મૂળ વ્યવસ્થાનો આ ઉકેલ છે.