Akar aritmatika definisi dan sifat derajat alami. Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Pada artikel ini kami akan memperkenalkan konsep akar suatu bilangan. Kami akan melanjutkan secara berurutan: mari kita mulai akar kuadrat, dari situ kita beralih ke deskripsi akar pangkat tiga, setelah itu kita menggeneralisasikan konsep akar dengan mendefinisikan akar derajat ke-n. Pada saat yang sama, kami akan memperkenalkan definisi, notasi, memberikan contoh akar dan memberikan penjelasan dan komentar yang diperlukan.

Akar kuadrat, akar kuadrat aritmatika

Untuk memahami definisi akar suatu bilangan, dan khususnya akar kuadrat, Anda perlu memiliki . Pada titik ini kita akan sering menjumpai pangkat kedua suatu bilangan – kuadrat suatu bilangan.

Mari kita mulai dengan definisi akar kuadrat.

Definisi

Akar kuadrat dari a adalah bilangan yang kuadratnya sama dengan a.

Untuk memimpin contoh akar kuadrat, ambil beberapa bilangan, misalnya 5, −0.3, 0.3, 0, dan kuadratkan, kita peroleh masing-masing bilangan 25, 0.09, 0.09 dan 0 (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 dan 0 2 =0·0=0 ). Maka, berdasarkan definisi yang diberikan di atas, angka 5 adalah akar kuadrat dari angka 25, angka −0,3 dan 0,3 adalah akar kuadrat dari 0,09, dan 0 adalah akar kuadrat dari nol.

Perlu dicatat bahwa tidak untuk bilangan a apa pun terdapat a yang kuadratnya sama dengan a. Yaitu, untuk sembarang bilangan negatif a, tidak ada bilangan real b yang kuadratnya sama dengan a. Faktanya, persamaan a=b 2 tidak mungkin untuk sembarang a negatif, karena b 2 adalah bilangan non-negatif untuk setiap b. Dengan demikian, di satu set bilangan real tidak ada akar kuadrat dari bilangan negatif. Dengan kata lain, pada himpunan bilangan real, akar kuadrat dari bilangan negatif tidak terdefinisi dan tidak mempunyai arti.

Hal ini menimbulkan pertanyaan logis: “Apakah ada akar kuadrat dari a untuk a yang tidak negatif”? Jawabannya adalah ya. Pembenaran atas fakta ini dapat dipertimbangkan cara yang konstruktif, digunakan untuk mencari nilai akar kuadrat.

Kemudian muncul pertanyaan logis berikutnya: “Berapa jumlah semua akar kuadrat dari suatu bilangan non-negatif a - satu, dua, tiga, atau bahkan lebih”? Inilah jawabannya: jika a adalah nol, maka satu-satunya akar kuadrat dari nol adalah nol; jika a suatu bilangan positif, maka banyaknya akar kuadrat dari bilangan a adalah dua, dan akar-akarnya adalah . Mari kita benarkan hal ini.

Mari kita mulai dengan kasus a=0 . Pertama, mari kita tunjukkan bahwa nol memang merupakan akar kuadrat dari nol. Ini mengikuti persamaan yang jelas 0 2 =0·0=0 dan definisi akar kuadrat.

Sekarang mari kita buktikan bahwa 0 adalah satu-satunya akar kuadrat dari nol. Mari kita gunakan metode sebaliknya. Misalkan ada bilangan bukan nol b yang merupakan akar kuadrat dari nol. Maka kondisi b 2 =0 harus dipenuhi, yang tidak mungkin, karena untuk b yang bukan nol, nilai ekspresi b 2 adalah positif. Kita telah sampai pada sebuah kontradiksi. Hal ini membuktikan bahwa 0 adalah satu-satunya akar kuadrat dari nol.

Mari kita beralih ke kasus di mana a adalah bilangan positif. Telah kita katakan di atas bahwa selalu ada akar kuadrat dari bilangan non-negatif apa pun, misalkan akar kuadrat dari a adalah bilangan b. Katakanlah ada bilangan c yang juga merupakan akar kuadrat dari a. Maka, menurut definisi akar kuadrat, persamaan b 2 =a dan c 2 =a adalah benar, sehingga b 2 −c 2 =a−a=0, tetapi karena b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , maka (b−c)·(b+c)=0 . Kesetaraan yang dihasilkan adalah valid sifat-sifat operasi dengan bilangan real hanya mungkin jika b−c=0 atau b+c=0 . Jadi, bilangan b dan c sama atau berlawanan.

Jika kita asumsikan ada bilangan d yang merupakan akar kuadrat lain dari bilangan a, maka dengan alasan yang sama dengan yang telah diberikan, dibuktikan bahwa d sama dengan bilangan b atau bilangan c. Jadi, banyaknya akar kuadrat suatu bilangan positif adalah dua, dan akar kuadratnya adalah bilangan yang berlawanan.

Untuk kemudahan bekerja dengan akar kuadrat akar negatif“memisahkan” dari hal positif. Untuk tujuan ini, diperkenalkan definisi akar kuadrat aritmatika.

Definisi

Akar kuadrat aritmatika dari bilangan non-negatif a adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya sama dengan a.

Notasi akar kuadrat aritmatika dari a adalah . Tanda tersebut disebut tanda akar kuadrat aritmatika. Ini juga disebut tanda radikal. Oleh karena itu, terkadang Anda dapat mendengar “root” dan “radikal”, yang artinya objek yang sama.

Bilangan yang berada di bawah tanda akar kuadrat aritmatika disebut bilangan radikal, dan ekspresi di bawah tanda akar adalah ekspresi radikal, sedangkan istilah “ bilangan radikal" sering diganti dengan "ekspresi radikal". Misalnya pada notasi bilangan 151 merupakan bilangan radikal, dan pada notasi ekspresi a merupakan ekspresi radikal.

Saat membaca, kata "aritmatika" sering dihilangkan, misalnya entri dibaca "akar kuadrat dari tujuh koma dua puluh sembilan". Kata “aritmatika” hanya digunakan jika mereka ingin menekankan hal itu yang sedang kita bicarakan khususnya tentang akar kuadrat positif suatu bilangan.

Mengingat notasi yang diperkenalkan, definisi akar kuadrat aritmatika dapat disimpulkan bahwa untuk bilangan non-negatif apa pun a .

Akar kuadrat dari bilangan positif a ditulis menggunakan tanda akar kuadrat aritmatika sebagai dan . Misalnya, akar kuadrat dari 13 adalah dan . Akar kuadrat aritmatika dari nol sama dengan nol, yaitu, . Untuk bilangan negatif a, kita tidak akan memberi arti pada notasi tersebut sampai kita mempelajarinya bilangan kompleks . Misalnya ungkapan dan tidak ada artinya.

Berdasarkan pengertian akar kuadrat, dibuktikan sifat-sifat akar kuadrat yang sering digunakan dalam praktek.

Sebagai penutup paragraf ini, kita perhatikan bahwa akar kuadrat dari bilangan a adalah solusi berbentuk x 2 =a terhadap variabel x.

Akar pangkat tiga suatu bilangan

Definisi akar pangkat tiga dari bilangan a diberikan serupa dengan definisi akar kuadrat. Hanya saja didasarkan pada konsep kubus suatu bilangan, bukan persegi.

Definisi

Akar pangkat tiga dari a adalah bilangan yang pangkat tiganya sama dengan a.

Mari kita memberi contoh akar kubik . Caranya, ambil beberapa bilangan, misalnya 7, 0, −2/3, dan pangkatkan bilangan tersebut: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Kemudian, berdasarkan definisi akar pangkat tiga, kita dapat mengatakan bahwa bilangan 7 adalah akar pangkat tiga dari 343, 0 adalah akar pangkat tiga dari nol, dan −2/3 adalah akar pangkat tiga dari −8/27.

Dapat ditunjukkan bahwa akar pangkat tiga suatu bilangan, tidak seperti akar kuadrat, selalu ada, tidak hanya untuk a non-negatif, tetapi juga untuk sembarang bilangan real a. Untuk melakukannya, Anda dapat menggunakan metode yang sama seperti yang kami sebutkan saat mempelajari akar kuadrat.

Selain itu, hanya ada satu akar pangkat tiga nomor yang diberikan A. Mari kita buktikan pernyataan terakhir. Untuk melakukannya, perhatikan tiga kasus secara terpisah: a adalah bilangan positif, a=0, dan a adalah bilangan negatif.

Mudah untuk menunjukkan bahwa jika a positif, akar pangkat tiga dari a tidak boleh berupa bilangan negatif atau nol. Memang, misalkan b adalah akar pangkat tiga dari a, maka menurut definisi kita dapat menulis persamaan b 3 =a. Jelas bahwa persamaan ini tidak berlaku untuk b negatif dan b=0, karena dalam kasus ini b 3 =b·b·b masing-masing akan berupa bilangan negatif atau nol. Jadi akar pangkat tiga dari bilangan positif a adalah bilangan positif.

Sekarang misalkan selain bilangan b ada akar pangkat tiga lain dari bilangan a, dinotasikan dengan c. Maka c 3 =a. Oleh karena itu, b 3 −c 3 =a−a=0, tetapi b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(inilah rumus perkalian yang disingkat perbedaan kubus), maka (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Persamaan yang dihasilkan hanya mungkin jika b−c=0 atau b 2 +b·c+c 2 =0. Dari persamaan pertama kita mempunyai b=c, dan persamaan kedua tidak mempunyai solusi, karena ruas kirinya adalah bilangan positif untuk sembarang bilangan positif b dan c yang merupakan jumlah dari tiga suku positif b 2, b·c dan c 2. Hal ini membuktikan keunikan akar pangkat tiga dari bilangan positif a.

Jika a=0, akar pangkat tiga dari bilangan a hanyalah bilangan nol. Memang, jika kita berasumsi bahwa ada bilangan b, yang merupakan akar pangkat tiga bukan nol dari nol, maka persamaan b 3 =0 harus berlaku, yang hanya mungkin terjadi jika b=0.

Untuk a negatif, argumen serupa dengan kasus a positif dapat diberikan. Pertama, kita tunjukkan bahwa akar pangkat tiga suatu bilangan negatif tidak bisa sama dengan bilangan positif atau nol. Kedua, kita berasumsi bahwa ada akar pangkat tiga kedua dari bilangan negatif dan menunjukkan bahwa bilangan tersebut pasti bertepatan dengan bilangan pertama.

Jadi, selalu ada akar pangkat tiga dari suatu bilangan real a, dan bilangan unik.

Mari kita memberi definisi akar pangkat tiga aritmatika.

Definisi

Akar pangkat tiga aritmatika dari bilangan non-negatif a adalah bilangan non-negatif yang pangkat tiganya sama dengan a.

Akar pangkat tiga aritmatika suatu bilangan non-negatif a dilambangkan dengan , tandanya disebut tanda akar pangkat tiga aritmatika, bilangan 3 pada notasi ini disebut indeks akar. Bilangan di bawah tanda akar adalah bilangan radikal, ekspresi di bawah tanda akar adalah ekspresi radikal.

Meskipun akar pangkat tiga aritmatika hanya didefinisikan untuk bilangan non-negatif a, akan lebih mudah juga untuk menggunakan notasi yang di bawah tanda akar pangkat tiga aritmatika adalah angka negatif. Kita akan memahaminya sebagai berikut: , dimana a adalah bilangan positif. Misalnya, .

Sifat-sifat akar pangkat tiga akan kita bahas pada artikel umum sifat-sifat akar.

Menghitung nilai akar pangkat tiga disebut mengekstraksi akar pangkat tiga; tindakan ini dibahas dalam artikel mengekstrak akar: metode, contoh, solusi.

Untuk menyimpulkan poin ini, misalkan akar pangkat tiga dari bilangan a adalah solusi berbentuk x 3 =a.

akar ke-n, akar aritmatika derajat n

Mari kita menggeneralisasi konsep akar suatu bilangan - kami perkenalkan definisi akar ke-n untuk n.

Definisi

akar ke-n dari a adalah bilangan yang pangkat ke-nnya sama dengan a.

Dari definisi ini jelas bahwa akar derajat pertama dari bilangan a adalah bilangan a itu sendiri, karena ketika mempelajari derajat c indikator alami kami menerima 1 =a .

Di atas kita melihat kasus khusus dari akar ke-n untuk n=2 dan n=3 - akar kuadrat dan akar pangkat tiga. Artinya, akar kuadrat adalah akar derajat kedua, dan akar pangkat tiga adalah akar derajat ketiga. Untuk mempelajari akar-akar derajat ke-n untuk n=4, 5, 6, ..., akan lebih mudah untuk membaginya menjadi dua kelompok: kelompok pertama - akar-akar derajat genap (yaitu, untuk n = 4, 6, 8 , ...), kelompok kedua - akar derajat ganjil (yaitu, dengan n=5, 7, 9, ...). Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa akar pangkat genap mirip dengan akar kuadrat, dan akar pangkat ganjil mirip dengan akar pangkat tiga. Mari kita hadapi mereka satu per satu.

Mari kita mulai dengan akar-akar yang pangkatnya adalah bilangan genap 4, 6, 8, ... Seperti yang telah kami katakan, akar-akar tersebut mirip dengan akar kuadrat dari bilangan a. Artinya, akar dari setiap derajat genap dari bilangan a hanya ada untuk bilangan non-negatif a. Apalagi jika a=0, maka akar-akar a unik dan sama dengan nol, dan jika a>0, maka ada dua akar-akar bilangan a yang berpangkat genap, dan keduanya merupakan bilangan-bilangan yang berlawanan.

Mari kita buktikan pernyataan terakhir. Misalkan b adalah akar yang berderajat genap (kita nyatakan sebagai 2 m, dengan m adalah suatu bilangan bilangan asli) dari nomor a . Misalkan ada bilangan c - akar lain yang berderajat 2·m dari bilangan a. Maka b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Namun kita mengetahui bentuk b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), maka (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Dari persamaan ini diperoleh b−c=0, atau b+c=0, atau b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Dua persamaan pertama berarti bilangan b dan c sama atau b dan c berlawanan. Dan persamaan terakhir hanya berlaku untuk b=c=0, karena di sisi kirinya terdapat ekspresi non-negatif untuk sembarang b dan c sebagai jumlah dari bilangan non-negatif.

Adapun akar-akar derajat ke-n untuk n ganjil mirip dengan akar pangkat tiga. Artinya, akar apa pun derajat ganjil dari bilangan a ada untuk sembarang bilangan real a, dan untuk bilangan tertentu a bilangan unik.

Keunikan akar pangkat ganjil 2·m+1 bilangan a dibuktikan dengan analogi pembuktian keunikan akar pangkat tiga a. Hanya di sini, bukannya kesetaraan a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) persamaan bentuk b 2 m+1 −c 2 m+1 = digunakan (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Ekspresi dalam tanda kurung terakhir dapat ditulis ulang menjadi b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Misalnya, dengan m=2 kita punya b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Jika a dan b keduanya positif atau keduanya negatif, hasil kali keduanya adalah bilangan positif, maka ekspresi b 2 +c 2 +b·c dalam tanda kurung itu sendiri derajat tinggi bersarang, positif sebagai jumlah bilangan positif. Sekarang, secara berurutan beralih ke ekspresi dalam tanda kurung dari derajat penyatuan sebelumnya, kami yakin bahwa ekspresi tersebut sama positifnya dengan jumlah bilangan positif. Hasilnya, kita memperoleh persamaan b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 hanya mungkin jika b−c=0, yaitu bila bilangan b sama dengan bilangan c.

Saatnya memahami notasi akar ke-n. Untuk tujuan ini diberikan definisi akar aritmatika derajat ke-n.

Definisi

Akar aritmatika derajat ke-n suatu bilangan non-negatif a adalah bilangan non-negatif yang pangkat ke-nnya sama dengan a.

Gelar akar N dari bilangan real A, Di mana N- bilangan asli, bilangan real seperti itu disebut X, N derajat ke-thnya sama dengan A.

Gelar akar N dari kalangan A ditunjukkan dengan simbol. Menurut definisi ini.

Menemukan akarnya N-derajat dari kalangan A disebut ekstraksi akar. Nomor A disebut bilangan radikal (ekspresi), N- indikator akar. Untuk yang aneh N ada akar N pangkat -th untuk bilangan real apa pun A. Ketika genap N ada akar N pangkat -th hanya untuk bilangan non-negatif A. Untuk memperjelas akarnya N-derajat dari kalangan A, konsep akar aritmatika diperkenalkan N-derajat dari kalangan A.

Konsep akar aritmatika derajat N

Jika dan N- bilangan asli, lebih besar 1 , lalu ada, dan hanya satu, bilangan non-negatif X, sehingga kesetaraan terpenuhi. Nomor ini X disebut akar aritmatika N pangkat bilangan non-negatif A dan ditunjuk. Nomor A disebut bilangan radikal, N- indikator akar.

Jadi menurut definisinya, notasi , dimana , berarti, pertama, itu dan, kedua, itu, yaitu. .

Konsep derajat c indikator rasional

Gelar dengan eksponen natural: misalkan A adalah bilangan real, dan N- bilangan asli lebih besar dari satu, N-pangkat nomor tersebut A panggil pekerjaan itu N faktor yang masing-masing sama A, yaitu . Nomor A- dasar gelar, N- eksponen. Pangkat dengan eksponen nol: menurut definisi, jika , maka . Nol pangkat suatu bilangan 0 tidak masuk akal. Derajat dengan eksponen bilangan bulat negatif: diasumsikan menurut definisi jika dan N adalah bilangan asli, maka . Gelar c indikator pecahan: diyakini menurut definisi jika dan N- bilangan asli, M adalah bilangan bulat, maka .

Operasi dengan akar.

Dalam semua rumus di bawah, simbol berarti akar aritmatika (pernyataan akarnya positif).

1. Akar produk dari beberapa faktor sama dengan produknya akar dari faktor-faktor ini:

2. Akar sikap sama dengan rasionya akar pembagian dan pembagi:

3. Saat menaikkan akar ke suatu pangkat, cukup dengan menaikkan bilangan radikal ke pangkat ini:

4. Jika kita menaikkan derajat akar sebanyak n kali dan pada saat yang sama menaikkan bilangan radikal ke pangkat n, maka nilai akar tidak akan berubah:

5. Jika Anda mengurangi derajat akar sebanyak n kali dan secara bersamaan mengekstrak akar ke-n dari bilangan radikal, maka nilai akar tidak akan berubah:

Memperluas konsep derajat. Sejauh ini kita hanya mempertimbangkan derajat dengan eksponen natural; tetapi operasi dengan pangkat dan akar juga dapat menghasilkan eksponen negatif, nol, dan pecahan. Semua eksponen ini memerlukan definisi tambahan.

Gelar c indikator negatif. Pangkat suatu bilangan tertentu yang eksponennya negatif (bilangan bulat) didefinisikan sebagai satu dibagi pangkat suatu bilangan yang sama yang eksponennya sama dengan nilai mutlak indikator negatif:

Sekarang rumus a m: a n = a m - n dapat digunakan tidak hanya untuk m lebih besar dari n, tetapi juga untuk m kurang dari n.

CONTOH a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Jika kita ingin rumus a m: a n = am - n valid untuk m = n, kita memerlukan definisi derajat nol.

Gelar dengan indeks nol. Pangkat suatu bilangan bukan nol yang eksponennya nol adalah 1.

CONTOH. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Derajat dengan eksponen pecahan. Untuk menaikkan bilangan real a ke pangkat m / n, Anda perlu mengekstrak akar ke-n dari pangkat ke-m dari bilangan a ini:

Tentang ekspresi yang tidak ada artinya. Ada beberapa ungkapan seperti itu.

Kasus 1.

Dimana a ≠ 0 tidak ada.

Faktanya, jika kita berasumsi bahwa x adalah suatu bilangan tertentu, maka sesuai dengan definisi operasi pembagian kita mempunyai: a = 0 x, yaitu. a = 0, yang bertentangan dengan kondisi: a ≠ 0

Kasus 2.

Nomor berapa pun.

Faktanya, jika kita berasumsi bahwa ekspresi ini sama dengan bilangan tertentu x, maka menurut definisi operasi pembagian kita mempunyai: 0 = 0 x. Namun persamaan ini berlaku untuk bilangan x apa pun, dan hal ini perlu dibuktikan.

Benar-benar,

Solusi. Mari kita pertimbangkan tiga kasus utama:

1) x = 0 – nilai ini tidak memuaskan persamaan ini

2) untuk x > 0 kita peroleh: x / x = 1, yaitu 1 = 1, artinya x adalah bilangan apa pun; tetapi mengingat dalam kasus kita x > 0, jawabannya adalah x > 0;

3) di x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

dalam hal ini tidak ada solusi. Jadi x > 0.

Akar aritmatika derajat ke-n suatu bilangan non-negatif adalah bilangan non-negatif gelar ke-n yang sama dengan:

Pangkat akar adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1.

Kasus khusus:

1. Jika eksponen akar adalah bilangan bulat angka ganjil (), maka ekspresi radikalnya bisa negatif.

Dalam kasus eksponen ganjil, persamaannya kapan saja nilai sebenarnya dan secara umum SELALU memiliki satu root:

Untuk akar berderajat ganjil, identitas berikut ini berlaku:

2. Jika eksponen akar bilangan bulat genap (), maka ekspresi radikal tidak boleh negatif.

Dalam kasus eksponen genap, Persamaan. memiliki

pada akar tunggal

dan, jika dan

Untuk akar derajat genap, identitas berikut berlaku:

Untuk akar derajat genap persamaan berikut ini berlaku::

Fungsi daya, properti dan grafiknya.

Fungsi daya dan sifat-sifatnya.

Fungsi pangkat dengan eksponen natural. Fungsi y = x n, dimana n adalah bilangan asli, disebut fungsi pangkat dengan eksponen natural. Untuk n = 1 kita memperoleh fungsi y = x, sifat-sifatnya:

Proporsionalitas langsung. Proporsionalitas langsung adalah suatu fungsi diberikan oleh rumus y = kx n, dimana bilangan k disebut koefisien proporsionalitas.

Mari kita daftar sifat-sifat fungsi y = kx.

Domain suatu fungsi adalah himpunan semua bilangan real.

y = kx - tidak bahkan berfungsi(f(- x) = k (- x)= - kx = -k(x)).

3) Untuk k > 0 fungsinya bertambah, dan untuk k< 0 убывает на всей числовой прямой.

Grafiknya (garis lurus) ditunjukkan pada Gambar II.1.

Beras. II.1.

Ketika n=2 kita mendapatkan fungsi y = x 2, sifat-sifatnya:

Fungsi y -x 2. Mari kita daftar sifat-sifat fungsi y = x 2.

y = x 2 - fungsi genap (f(- x) = (- x) 2 = x 2 = f (x)).

Fungsinya menurun sepanjang interval.

Faktanya, jika , maka - x 1 > - x 2 > 0, dan oleh karena itu

(-x 1) 2 > (- x 2) 2, yaitu dan ini berarti fungsinya menurun.

Grafik fungsi y=x2 adalah parabola. Grafik ini ditunjukkan pada Gambar II.2.

Beras. II.2.

Ketika n = 3 kita mendapatkan fungsi y = x 3, sifat-sifatnya:

Daerah definisi suatu fungsi adalah garis bilangan keseluruhan.

kamu = x 3 - fungsi ganjil(f (- x) = (- x) 2 = - x 3 = - f (x)).

3) Fungsi y = x 3 bertambah sepanjang garis bilangan. Grafik fungsi y = x 3 ditunjukkan pada gambar. Ini disebut parabola kubik.

Grafiknya (parabola kubik) ditunjukkan pada Gambar II.3.

Beras. II.3.

Misalkan n adalah bilangan asli genap sembarang yang lebih besar dari dua:

n = 4, 6, 8,... . Dalam hal ini fungsi y = x n mempunyai sifat yang sama dengan fungsi y = x 2. Grafik fungsi tersebut menyerupai parabola y = x 2, hanya cabang-cabang grafiknya di |n| >1 semakin curam ke atas, semakin besar n, dan semakin “ditekan” ke sumbu x, semakin besar n.

Misalkan n adalah bilangan ganjil sembarang yang lebih besar dari tiga: n = = 5, 7, 9, ... . Dalam hal ini fungsi y = x n mempunyai sifat yang sama dengan fungsi y = x 3. Grafik fungsi tersebut menyerupai parabola kubik (hanya cabang grafiknya yang naik turun semakin curam, semakin besar nnya. Perhatikan juga bahwa pada interval (0; 1) grafik fungsi pangkat y = x n bergerak menjauh dari sumbu x lebih lambat seiring bertambahnya x, semakin banyak dari n.

Fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif. Perhatikan fungsi y = x - n, dimana n adalah bilangan asli. Ketika n = 1 kita mendapatkan y = x - n atau y = Sifat-sifat fungsi ini:

Grafiknya (hiperbola) ditunjukkan pada Gambar II.4.

Akar aritmatika derajat kedua

Definisi 1

Akar kedua (atau akar kuadrat) dari $a$ memanggil suatu bilangan yang jika dikuadratkan menjadi sama dengan $a$.

Contoh 1

$7^2=7 \cdot 7=49$, artinya bilangan $7$ adalah akar ke-2 dari bilangan $49$;

$0.9^2=0.9 \cdot 0.9=0.81$, artinya bilangan $0.9$ adalah akar ke-2 dari bilangan $0.81$;

$1^2=1 \cdot 1=1$, artinya bilangan $1$ adalah akar ke-2 dari bilangan $1$.

Catatan 2

Sederhananya, untuk nomor berapa pun $a

$a=b^2$ untuk $a$ negatif salah, karena $a=b^2$ tidak boleh negatif untuk nilai $b$ apa pun.

Dapat disimpulkan bahwa untuk bilangan real tidak boleh ada akar ke-2 dari bilangan negatif.

Catatan 3

Karena $0^2=0 \cdot 0=0$, maka dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa nol adalah akar ke-2 dari nol.

Definisi 2

Akar aritmatika derajat ke-2 dari bilangan $a$($a \ge 0$) adalah bilangan non-negatif yang jika dikuadratkan sama dengan $a$.

Akar derajat ke-2 disebut juga akar kuadrat.

Akar aritmatika pangkat 2 dari bilangan $a$ dilambangkan dengan $\sqrt(a)$ atau dapat dilihat dengan notasi $\sqrt(a)$. Namun yang paling sering untuk akar kuadrat adalah angka $2$ eksponen akar– tidak ditentukan. Tanda “$\sqrt( )$” merupakan tanda akar aritmatika derajat 2 yang disebut juga dengan “ tanda radikal" Konsep “root” dan “radikal” adalah nama dari objek yang sama.

Jika ada suatu bilangan di bawah tanda akar aritmatika, maka disebut bilangan radikal, dan jika ekspresi, maka – ekspresi radikal.

Entri $\sqrt(8)$ dibaca sebagai “akar aritmatika derajat ke-2 delapan,” dan kata “aritmatika” sering tidak digunakan.

Definisi 3

Menurut definisi akar aritmatika derajat ke-2 dapat ditulis:

Untuk $a \ge 0$ apa pun:

$(\sqrt(a))^2=a$,

$\sqrt(a)\ge 0$.

Kami menunjukkan perbedaan antara akar kedua dan akar aritmatika kedua. Selanjutnya kita hanya akan mempertimbangkan akar bilangan dan ekspresi non-negatif, yaitu. hanya aritmatika.

Akar aritmatika derajat ketiga

Definisi 4

Akar aritmatika derajat ke-3 (atau akar pangkat tiga) dari bilangan $a$($a \ge 0$) adalah bilangan non-negatif yang jika dikuadratkan menjadi sama dengan $a$.

Seringkali kata aritmatika dihilangkan dan mereka mengatakan “akar ke-3 dari bilangan $a$”.

Akar aritmatika derajat ke-3 $a$ dilambangkan dengan $\sqrt(a)$, tanda “$\sqrt( )$” adalah tanda akar aritmatika derajat ke-3, dan bilangan $3$ di notasi ini disebut indeks akar. Bilangan atau ekspresi yang muncul di bawah tanda akar disebut radikal.

Contoh 2

$\sqrt(3,5)$ – akar aritmatika derajat ke-3 dari $3,5$ atau akar pangkat tiga dari $3,5$;

$\sqrt(x+5)$ – akar aritmatika derajat ke-3 dari $x+5$ atau akar pangkat tiga dari $x+5$.