Agar sebuah bidang dapat ditarik melalui tiga titik mana pun dalam ruang, titik-titik tersebut harus tidak terletak pada garis lurus yang sama.

Perhatikan titik M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) secara umum sistem kartesius koordinat

Agar suatu titik sembarang M(x, y, z) terletak pada bidang yang sama dengan titik M 1, M 2, M 3, vektor-vektornya harus koplanar.

(
) = 0

Dengan demikian,

Persamaan bidang yang melalui tiga titik:

Persamaan bidang yang diberikan dua titik dan sebuah vektor yang segaris terhadap bidang tersebut.

Misalkan titik M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) dan vektornya diberikan
.

Mari kita buat persamaan untuk sebuah bidang yang melalui titik-titik ini M 1 dan M 2 dan titik sewenang-wenang M(x, y, z) sejajar dengan vektor .

vektor
dan vektor
harus koplanar, mis.

(
) = 0

Persamaan bidang:

Persamaan bidang menggunakan satu titik dan dua vektor,

sejajar dengan bidang.

Misalkan dua vektor diberikan
Dan
, bidang collinear. Kemudian untuk titik sembarang M(x, y, z) yang termasuk dalam bidang, vektor-vektornya
harus koplanar.

Persamaan bidang:

Persamaan bidang dengan titik dan vektor normal .

Dalil. Jika sebuah titik M diberikan pada ruang 0 (X 0 , kamu 0 , z 0 ), maka persamaan bidang yang melalui titik M 0 tegak lurus terhadap vektor normal (A, B, C) memiliki bentuk:

A(X – X 0 ) + B(kamu – kamu 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Bukti. Untuk titik sembarang M(x, y, z) yang termasuk dalam bidang, kita buat sebuah vektor. Karena vektor adalah vektor normal, maka tegak lurus bidang, dan karenanya tegak lurus terhadap vektor
. Kemudian produk skalar

= 0

Jadi, kita memperoleh persamaan bidang

Teorema tersebut telah terbukti.

Persamaan bidang dalam segmen.

Jika pada persamaan umum Ax + By + Cz + D = 0 kita bagi kedua ruasnya dengan (-D)

,

menggantikan
, kita memperoleh persamaan bidang dalam segmen:

Bilangan a, b, c masing-masing merupakan titik potong bidang dengan sumbu x, y, z.

Persamaan bidang dalam bentuk vektor.

Di mana

- vektor radius titik saat ini M(x, y, z),

Vektor satuan yang arahnya tegak lurus jatuh pada bidang dari titik asal.

,  dan  adalah sudut yang dibentuk oleh vektor ini dengan sumbu x, y, z.

p adalah panjang tegak lurus ini.

Secara koordinat, persamaan ini terlihat seperti:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Jarak dari suatu titik ke bidang.

Jarak dari titik sembarang M 0 (x 0, y 0, z 0) ke bidang Ax+By+Cz+D=0 adalah:

Contoh. Carilah persamaan bidang tersebut, dengan mengetahui bahwa titik P(4; -3; 12) adalah alas garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik asal ke bidang tersebut.

Jadi A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, kita menggunakan rumus:

SEBUAH(x – x 0 ) + B(kamu – kamu 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Contoh. Tentukan persamaan bidang yang melalui dua titik P(2; 0; -1) dan

Q(1; -1; 3) tegak lurus bidang 3x + 2y – z + 5 = 0.

Vektor normal bidang 3x + 2y – z + 5 = 0
sejajar dengan bidang yang diinginkan.

Kami mendapatkan:

Contoh. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik A(2, -1, 4) dan

B(3, 2, -1) tegak lurus bidang X + pada + 2z – 3 = 0.

Persamaan bidang yang diperlukan berbentuk: A X+B kamu+C z+ D = 0, vektor normal pada bidang ini (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) milik pesawat. Bidang yang diberikan kepada kita, tegak lurus terhadap bidang yang diinginkan, mempunyai vektor normal (1, 1, 2). Karena titik A dan B berada pada kedua bidang, dan kedua bidang tersebut saling tegak lurus

Jadi vektor normalnya (11, -7, -2). Karena titik A termasuk dalam bidang yang diinginkan, maka koordinatnya harus memenuhi persamaan bidang tersebut, yaitu. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Totalnya, kita mendapatkan persamaan bidang: 11 X - 7kamu – 2z – 21 = 0.

Contoh. Carilah persamaan bidang tersebut, dengan mengetahui bahwa titik P(4, -3, 12) adalah alas garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik asal ke bidang tersebut.

Menemukan koordinat vektor normal
= (4, -3, 12). Persamaan bidang yang diperlukan berbentuk: 4 X – 3kamu + 12z+ D = 0. Untuk mencari koefisien D, kita substitusikan koordinat titik P ke dalam persamaan:

16 + 9 + 144 + D = 0

Secara total, kita mendapatkan persamaan yang diperlukan: 4 X – 3kamu + 12z – 169 = 0

Contoh. Koordinat titik-titik piramida diberikan: A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Tentukan panjang rusuk A 1 A 2.

Tentukan sudut antara rusuk A 1 A 2 dan A 1 A 4.

Tentukan sudut antara sisi A 1 A 4 dan sisi A 1 A 2 A 3.

Pertama kita cari vektor normal pada muka A 1 A 2 A 3 sebagai perkalian silang vektor
Dan
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Mari kita cari sudut antara vektor normal dan vektor
.

-4 – 4 = -8.

Sudut yang diinginkan  antara vektor dan bidang akan sama dengan  = 90 0 - .

Hitunglah luas muka A 1 A 2 A 3.

Temukan volume piramida.

Temukan persamaan bidang A 1 A 2 A 3.

Mari kita gunakan rumus persamaan bidang yang melalui tiga titik.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + kamu + z – 4 = 0;

Saat menggunakan versi komputer “ Kursus matematika yang lebih tinggi” Anda dapat menjalankan program yang akan menyelesaikan contoh di atas untuk setiap koordinat simpul piramida.

Untuk memulai program, klik dua kali pada ikon:

Di jendela program yang terbuka, masukkan koordinat simpul piramida dan tekan Enter. Dengan cara ini, semua poin keputusan dapat diperoleh satu per satu.

Catatan: Untuk menjalankan program, program Maple ( Waterloo Maple Inc.) versi apa pun, dimulai dengan MapleV Rilis 4, harus diinstal di komputer Anda.

Dalam pelajaran ini kita akan melihat bagaimana menggunakan determinan untuk mencipta persamaan bidang. Jika Anda tidak tahu apa itu determinan, lanjutkan ke bagian pertama pelajaran - “Matriks dan determinan”. Jika tidak, Anda berisiko tidak memahami apa pun dalam materi hari ini.

Persamaan bidang menggunakan tiga titik

Mengapa kita membutuhkan persamaan bidang? Sederhana saja: dengan mengetahuinya, kita dapat dengan mudah menghitung sudut, jarak, dan omong kosong lainnya di soal C2. Secara umum, persamaan ini sangat diperlukan. Oleh karena itu, kami merumuskan masalahnya:

Tugas. Tiga titik diberikan pada ruang yang tidak terletak pada garis yang sama. Koordinat mereka:

M = (x 1, kamu 1, z 1);
N = (x 2, kamu 2, z 2);
K = (x 3, kamu 3, z 3);

Anda perlu membuat persamaan untuk bidang yang melewati ketiga titik tersebut. Selain itu, persamaannya akan terlihat seperti:

Kapak + Oleh + Cz + D = 0

dimana bilangan A, B, C dan D adalah koefisien yang sebenarnya perlu dicari.

Nah, bagaimana cara mendapatkan persamaan bidang jika hanya diketahui koordinat titiknya? Cara termudah adalah dengan mensubstitusikan koordinat tersebut ke dalam persamaan Ax + By + Cz + D = 0. Anda mendapatkan sistem tiga persamaan yang dapat diselesaikan dengan mudah.

Banyak siswa menganggap solusi ini sangat membosankan dan tidak dapat diandalkan. Ujian Negara Bersatu di bidang matematika tahun lalu menunjukkan bahwa kemungkinan terjadinya kesalahan komputasi sangat tinggi.

Oleh karena itu, guru yang paling mahir mulai mencari solusi yang lebih sederhana dan elegan. Dan mereka menemukannya! Benar, penerimaan yang diterima lebih mengacu pada matematika yang lebih tinggi. Secara pribadi, saya harus mengobrak-abrik semuanya Daftar federal buku teks untuk memastikan bahwa kami memiliki hak untuk menggunakan teknik ini tanpa pembenaran atau bukti apa pun.

Persamaan bidang melalui determinan

Cukup liriknya, mari kita mulai bisnisnya. Pertama, teorema tentang hubungan determinan matriks dan persamaan bidang.

Dalil. Misalkan diberikan koordinat tiga titik yang melaluinya bidang tersebut harus ditarik: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, kamu 2, z 2); K = (x 3, kamu 3, z 3). Maka persamaan bidang ini dapat dituliskan melalui determinan:

Sebagai contoh, mari kita coba mencari sepasang bidang yang benar-benar muncul pada soal C2. Lihat betapa cepatnya semuanya dihitung:

SEBUAH 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Kami membuat determinan dan menyamakannya dengan nol:

Kami memperluas determinannya:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Seperti yang Anda lihat, saat menghitung bilangan d, saya “menyisir” persamaannya sedikit sehingga variabel x, y dan z masuk ke urutan yang benar. Itu saja! Persamaan bidang sudah siap!

Tugas. Tuliskan persamaan bidang yang melalui titik-titik tersebut:

SEBUAH = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Kita segera substitusikan koordinat titik-titik tersebut ke dalam determinan:

Kami memperluas determinannya lagi:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Jadi, persamaan bidangnya diperoleh kembali! Sekali lagi, pada langkah terakhir kami harus mengubah tanda-tanda di dalamnya untuk mendapatkan formula yang lebih “indah”. Sama sekali tidak perlu melakukan hal ini dalam solusi ini, namun tetap disarankan - untuk menyederhanakan solusi masalah lebih lanjut.

Seperti yang Anda lihat, menyusun persamaan bidang kini jauh lebih mudah. Kami mengganti titik-titik ke dalam matriks, menghitung determinannya - dan selesai, persamaannya sudah siap.

Ini bisa mengakhiri pelajaran. Namun, banyak siswa yang terus-menerus melupakan apa yang ada di dalam determinan. Misalnya baris mana yang berisi x 2 atau x 3, dan baris mana yang hanya berisi x. Untuk mengatasi hal ini, mari kita lihat dari mana setiap angka berasal.

Rumus dengan determinannya dari mana?

Jadi, mari kita cari tahu dari mana persamaan kasar dengan determinan itu berasal. Ini akan membantu Anda mengingatnya dan menerapkannya dengan sukses.

Semua bidang yang muncul pada Soal C2 ditentukan oleh tiga titik. Poin-poin ini selalu ditandai pada gambar, atau bahkan ditunjukkan langsung dalam teks soal. Bagaimanapun, untuk membuat persamaan kita perlu menuliskan koordinatnya:

M = (x 1, kamu 1, z 1);
N = (x 2, kamu 2, z 2);
K = (x 3, kamu 3, z 3).

Mari kita pertimbangkan titik lain di bidang kita dengan koordinat sembarang:

T = (x, y, z)

Ambil titik mana saja dari tiga titik pertama (misalnya, titik M) dan gambarkan vektor dari titik tersebut ke masing-masing dari tiga titik yang tersisa. Kami mendapatkan tiga vektor:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).

Sekarang mari kita menulis dari vektor-vektor ini matriks persegi dan samakan determinannya dengan nol. Koordinat vektor akan menjadi baris matriks - dan kita akan mendapatkan determinan yang ditunjukkan dalam teorema:

Rumus ini berarti volume suatu parallelepiped yang dibangun pada vektor MN, MK dan MT, sama dengan nol. Oleh karena itu, ketiga vektor terletak pada bidang yang sama. Secara khusus, titik sembarang T = (x, y, z) persis seperti yang kita cari.

Mengganti titik dan garis determinan

Ada beberapa kualifikasi sifat yang luar biasa, yang selanjutnya menyederhanakan penyelesaian masalah C2. Misalnya, tidak masalah bagi kita dari titik mana kita menggambar vektor. Oleh karena itu, determinan berikut memberikan persamaan bidang yang sama seperti di atas:

Anda juga dapat menukar garis determinannya. Persamaannya akan tetap tidak berubah. Misalnya banyak orang yang suka menulis garis dengan koordinat titik T = (x; y; z) di bagian paling atas. Silakan, jika Anda merasa nyaman:

Beberapa orang bingung karena salah satu garis berisi variabel x, y, dan z yang tidak hilang saat titik disubstitusi. Tapi mereka tidak seharusnya menghilang! Mengganti angka-angka tersebut ke dalam determinan, Anda akan mendapatkan konstruksi ini:

Kemudian determinannya diperluas sesuai dengan diagram yang diberikan di awal pelajaran, dan kita peroleh persamaan standar pesawat:

Kapak + Oleh + Cz + D = 0

Lihatlah sebuah contoh. Ini yang terakhir dalam pelajaran hari ini. Saya sengaja menukar garisnya untuk memastikan jawabannya memberikan persamaan bidang yang sama.

Tugas. Tuliskan persamaan bidang yang melalui titik-titik tersebut:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Jadi, kami mempertimbangkan 4 poin:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Pertama, mari kita buat determinan standar dan samakan dengan nol:

Kami memperluas determinannya:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Selesai, kita mendapat jawabannya: x + y + z − 2 = 0.

Sekarang mari kita atur ulang beberapa baris pada determinan dan lihat apa yang terjadi. Sebagai contoh, mari kita tuliskan sebuah baris dengan variabel x, y, z bukan di bawah, tetapi di atas:

Kami kembali memperluas determinan yang dihasilkan:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Kita mendapatkan persamaan bidang yang persis sama: x + y + z − 2 = 0. Artinya persamaan tersebut tidak bergantung pada urutan barisnya. Yang tersisa hanyalah menuliskan jawabannya.

Jadi, kita yakin bahwa persamaan bidang tidak bergantung pada barisan garis. Kita dapat melakukan perhitungan serupa dan membuktikan bahwa persamaan bidang tidak bergantung pada titik yang koordinatnya kita kurangi dari titik lainnya.

Pada soal di atas, kita menggunakan titik B 1 = (1, 0, 1), tetapi sangat mungkin untuk mengambil C = (1, 1, 0) atau D 1 = (0, 1, 1). Secara umum, setiap titik yang diketahui koordinatnya terletak pada bidang yang diinginkan.

Misalkan kita perlu mencari persamaan sebuah bidang yang melalui tiga titik tertentu yang tidak terletak pada garis yang sama. Dengan menyatakan vektor jari-jarinya dengan dan vektor jari-jari saat ini dengan , kita dapat dengan mudah memperoleh persamaan yang diperlukan dalam bentuk vektor. Faktanya, vektor-vektornya harus koplanar (semuanya terletak pada bidang yang diinginkan). Karena itu, produk titik vektor vektor-vektor ini harus sama dengan nol:

Ini adalah persamaan bidang yang melalui tiga titik tertentu, dalam bentuk vektor.

Pindah ke koordinat, kita mendapatkan persamaan koordinat:

Jika tiga titik tertentu terletak pada garis yang sama, maka vektor-vektornya segaris. Oleh karena itu, unsur-unsur yang bersesuaian dari keduanya baris terakhir determinan dalam persamaan (18) akan proporsional dan determinannya sama dengan nol. Akibatnya, persamaan (18) akan menjadi identik untuk sembarang nilai x, y dan z. Secara geometris, ini berarti bahwa melalui setiap titik dalam ruang terdapat sebuah bidang yang di dalamnya terdapat tiga titik tertentu.

Catatan 1. Masalah yang sama dapat diselesaikan tanpa menggunakan vektor.

Dengan menyatakan koordinat tiga titik tertentu, kita menulis persamaan bidang apa pun yang melalui titik pertama:

Untuk memperoleh persamaan bidang yang diinginkan, persamaan (17) harus dipenuhi oleh koordinat dua titik lainnya:

Dari persamaan (19), perlu ditentukan perbandingan dua koefisien dengan koefisien ketiga dan memasukkan nilai yang ditemukan ke dalam persamaan (17).

Contoh 1. Tuliskan persamaan bidang yang melalui titik-titik tersebut.

Persamaan bidang yang melewati titik pertama adalah:

Syarat pesawat (17) melewati dua titik lainnya dan titik pertama adalah:

Menambahkan persamaan kedua ke persamaan pertama, kita menemukan:

Substitusikan ke persamaan kedua, kita peroleh:

Substitusikan ke persamaan (17) sebagai ganti A, B, C berturut-turut, 1, 5, -4 (bilangan yang sebanding dengannya), kita peroleh:

Contoh 2. Tuliskan persamaan bidang yang melalui titik (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Persamaan bidang apa pun yang melalui titik (0, 0, 0) adalah]

Syarat lewatnya bidang tersebut melalui titik (1, 1, 1) dan (2, 2, 2) adalah:

Mengurangi persamaan kedua dengan 2, kita melihat bahwa untuk menentukan dua persamaan yang tidak diketahui, ada satu persamaan dengan

Dari sini kita mendapatkan. Sekarang dengan memasukkan nilai bidang ke dalam persamaan, kita mendapatkan:

Ini adalah persamaan bidang yang diinginkan; itu tergantung pada sewenang-wenang

besaran B, C (yaitu, dari relasi yaitu terdapat banyak sekali bidang yang melalui tiga titik tertentu (tiga titik tertentu terletak pada garis lurus yang sama).

Catatan 2. Soal menggambar sebuah bidang melalui tiga titik tertentu yang tidak terletak pada garis yang sama mudah diselesaikan pandangan umum, jika kita menggunakan determinan. Memang, karena dalam persamaan (17) dan (19) koefisien A, B, C tidak bisa sekaligus sama dengan nol, maka persamaan ini dianggap sebagai sistem homogen dengan tiga yang tidak diketahui A, B, C, tuliskan yang perlu dan kondisi cukup adanya solusi untuk sistem ini selain nol (Bagian 1, Bab VI, § 6):

Setelah memperluas determinan ini ke dalam elemen-elemen baris pertama, kita memperoleh persamaan derajat pertama terhadap koordinat saat ini, yang akan dipenuhi, khususnya, dengan koordinat tiga titik yang diberikan.

Anda juga dapat memverifikasi yang terakhir ini secara langsung dengan mengganti koordinat titik mana pun, bukan . Di sisi kiri kita mendapatkan determinan yang elemen baris pertamanya nol atau ada dua baris identik. Jadi, persamaan yang dibangun mewakili sebuah bidang yang melalui tiga titik tertentu.

Persamaan pesawat. Bagaimana cara menulis persamaan bidang?
Posisi bersama pesawat terbang. Tugas

Geometri spasial tidak lebih rumit daripada geometri “datar”, dan penerbangan kita di luar angkasa dimulai dengan artikel ini. Untuk menguasai suatu topik, Anda perlu memiliki pemahaman yang baik vektor, selain itu, disarankan untuk memahami geometri bidang - akan ada banyak persamaan, banyak analogi, sehingga informasi akan dicerna lebih baik. Dalam rangkaian pelajaran saya, dunia 2D dibuka dengan sebuah artikel Persamaan garis lurus pada bidang datar. Namun kini Batman telah meninggalkan TV layar datar dan meluncur dari Kosmodrom Baikonur.

Mari kita mulai dengan gambar dan simbol. Secara skematis, bidang tersebut dapat digambar dalam bentuk jajar genjang, sehingga menimbulkan kesan ruang:

Bidangnya tidak terbatas, namun kita mempunyai kesempatan untuk menggambarkannya hanya sebagian saja. Dalam praktiknya, selain jajar genjang, juga digambar oval atau bahkan awan. Saya tidak peduli alasan teknis akan lebih mudah untuk menggambarkan pesawat dengan cara dan posisi yang persis seperti ini. Pesawat nyata yang akan kita pertimbangkan contoh praktis, dapat diposisikan dengan cara apa pun - secara mental ambil gambar di tangan Anda dan putar di ruang angkasa, berikan bidang kemiringan apa pun, sudut apa pun.

Sebutan: pesawat biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani kecil, rupanya agar tidak membingungkan mereka garis lurus pada suatu bidang atau dengan garis lurus dalam ruang. Saya sudah terbiasa menggunakan surat itu. Pada gambarnya ada huruf “sigma”, dan bukan lubang sama sekali. Meski begitu, pesawat berlubang tersebut tentu cukup lucu.

Dalam beberapa kasus, akan lebih mudah untuk menggunakan simbol yang sama untuk menunjuk bidang. huruf Yunani dengan subskrip, misalnya, .

Jelaslah bahwa bidang tersebut secara unik ditentukan oleh tiga titik berbeda yang tidak terletak pada garis yang sama. Oleh karena itu, sebutan tiga huruf untuk bidang cukup populer - berdasarkan titik miliknya, misalnya, dll. Seringkali surat-surat itu diapit tanda kurung: , agar tidak membingungkan bidang dengan bangun datar lainnya.

Untuk pembaca berpengalaman saya akan memberikan menu akses cepat:

• Bagaimana cara membuat persamaan bidang menggunakan satu titik dan dua vektor?
• Bagaimana cara membuat persamaan bidang menggunakan titik dan vektor normal?

dan kami tidak akan merana menunggu lama:

Persamaan bidang umum

Persamaan umum bidang berbentuk , dimana koefisien-koefisiennya tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan.

Sejumlah perhitungan teoritis dan masalah praktis valid baik untuk dasar ortonormal biasa maupun untuk dasar affine ruang (jika minyaknya minyak, kembali ke pelajaran Ketergantungan vektor yang linier (bukan). Dasar vektor). Untuk mempermudah, kita asumsikan bahwa semua peristiwa terjadi dalam basis ortonormal dan sistem koordinat persegi panjang Cartesian.

Sekarang mari kita latih sedikit imajinasi spasial kita. Tidak apa-apa kalau punyamu jelek, sekarang kita kembangkan sedikit. Bahkan bermain dengan gugup membutuhkan pelatihan.

Di bagian paling atas kasus umum, bila angkanya bukan nol, bidang tersebut memotong ketiga sumbu koordinat. Misalnya seperti ini:

Saya ulangi sekali lagi bahwa bidang itu terus bergerak ke segala arah tanpa batas waktu, dan kita hanya mempunyai kesempatan untuk menggambarkan sebagian saja.

Mari kita perhatikan persamaan bidang yang paling sederhana:

Bagaimana memahami persamaan ini? Coba pikirkan: “Z” SELALU sama dengan nol, untuk setiap nilai “X” dan “Y”. Persamaan ini adalah "asli" bidang koordinat. Memang secara formal persamaan tersebut dapat ditulis ulang sebagai berikut: , dari sini Anda dapat melihat dengan jelas bahwa kita tidak peduli berapa nilai “x” dan “y”, yang penting “z” sama dengan nol.

Juga:
– persamaan bidang koordinat;
– persamaan bidang koordinat.

Mari kita rumitkan masalahnya sedikit, pertimbangkan sebuah pesawat (di sini dan selanjutnya di paragraf kita berasumsi demikian peluang numerik tidak sama dengan nol). Mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk: . Bagaimana cara memahaminya? “X” adalah SELALU, untuk setiap nilai “y” dan “z”, sama dengan angka tertentu. Bidang ini sejajar dengan bidang koordinat. Misalnya, sebuah bidang sejajar dengan bidang dan melalui suatu titik.

Juga:
– persamaan bidang yang sejajar dengan bidang koordinat;
– persamaan bidang yang sejajar dengan bidang koordinat.

Mari tambahkan anggota: . Persamaannya dapat ditulis ulang sebagai berikut: , yaitu “zet” bisa apa saja. Apa maksudnya? “X” dan “Y” dihubungkan oleh relasi, yang menggambar garis lurus tertentu pada bidang (Anda akan mengetahuinya persamaan garis pada bidang?). Karena “z” bisa berupa apa saja, garis lurus ini “direplikasi” pada ketinggian berapa pun. Jadi, persamaan tersebut mendefinisikan bidang yang sejajar dengan sumbu koordinat

Juga:
– persamaan bidang yang sejajar sumbu koordinat;
– persamaan bidang yang sejajar sumbu koordinat.

Jika anggota gratis nol, maka bidang-bidang tersebut akan langsung melewati sumbu-sumbu yang bersesuaian. Misalnya, “proporsionalitas langsung” klasik: . Gambarlah garis lurus pada bidang dan kalikan secara mental ke atas dan ke bawah (karena “Z” adalah apa saja). Kesimpulan: pesawat, diberikan oleh persamaan, melewati sumbu koordinat.

Kami menyelesaikan ulasannya: persamaan bidang melewati titik asal. Nah, di sini cukup jelas bahwa poin tersebut memenuhi persamaan ini.

Dan terakhir, kasus yang ditunjukkan pada gambar: - Pesawat berteman dengan semua orang sumbu koordinat, sementara itu selalu “memotong” segitiga, yang dapat ditemukan di salah satu dari delapan oktan.

Ketimpangan linier dalam ruang

Untuk memahami informasi Anda perlu belajar dengan baik pertidaksamaan linear pada bidang tersebut, karena banyak hal akan serupa. Paragraf tersebut akan bersifat gambaran singkat dengan beberapa contoh, karena materi tersebut cukup jarang dalam praktek.

Jika persamaan mendefinisikan bidang, maka pertidaksamaannya
bertanya setengah spasi. Jika pertidaksamaannya tidak tegas (dua pertidaksamaan terakhir dalam daftar), maka penyelesaian pertidaksamaan tersebut, selain setengah ruang, juga mencakup bidang itu sendiri.

Contoh 5

Temukan vektor normal satuan bidang tersebut .

Larutan: Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu. Mari kita tunjukkan vektor yang diberikan melalui . Jelas sekali bahwa vektor-vektornya segaris:

Pertama, kita hilangkan vektor normal dari persamaan bidang: .

Bagaimana menemukan vektor satuan? Untuk mencari vektor satuan, Anda perlu setiap membagi koordinat vektor dengan panjang vektor.

Mari kita tulis ulang vektor normal ke dalam bentuk dan temukan panjangnya:

Menurut hal di atas:

Menjawab:

Verifikasi: apa yang diperlukan untuk diverifikasi.

Pembaca yang mempelajari paragraf terakhir pelajaran dengan cermat mungkin memperhatikan hal itu koordinat vektor satuan sama persis dengan cosinus arah vektor tersebut:

Mari kita istirahat dari tugas yang ada: ketika Anda diberi vektor bukan nol yang berubah-ubah, dan sesuai dengan kondisi tersebut diperlukan untuk mencari cosinus arahnya (lihat. tugas terbaru pelajaran Produk titik dari vektor), maka Anda sebenarnya menemukan vektor satuan yang kolinear dengan vektor ini. Sebenarnya dua tugas dalam satu botol.

Kebutuhan untuk mencari vektor normal satuan muncul dalam beberapa masalah analisis matematis.

Kita telah menemukan cara untuk mendapatkan vektor normal, sekarang mari kita jawab pertanyaan sebaliknya:

Bagaimana cara membuat persamaan bidang menggunakan titik dan vektor normal?

Konstruksi kaku dari vektor normal dan suatu titik ini diketahui dengan baik oleh papan dart. Silakan rentangkan tangan Anda ke depan dan secara mental pilih titik sembarang di ruang angkasa, misalnya, kucing kecil di bufet. Jelas sekali, melalui titik ini Anda dapat menggambar satu bidang yang tegak lurus dengan tangan Anda.

Persamaan bidang yang melalui suatu titik yang tegak lurus terhadap vektor dinyatakan dengan rumus:

Pada materi kali ini kita akan membahas cara mencari persamaan bidang jika kita mengetahui koordinat tiga titik berbeda yang tidak terletak pada garis lurus yang sama. Untuk melakukan ini kita perlu mengingat apa sistem persegi panjang koordinat di ruang tiga dimensi. Untuk memulainya, kami akan memperkenalkan prinsip dasarnya persamaan yang diberikan dan menunjukkan dengan tepat cara menggunakannya untuk memecahkan masalah tertentu.

Yandex.RTB RA-339285-1

Pertama, kita perlu mengingat satu aksioma, yang bunyinya seperti ini:

Definisi 1

Jika tiga titik tidak berimpit satu sama lain dan tidak terletak pada garis yang sama, maka dalam ruang tiga dimensi hanya satu bidang yang melewatinya.

Dengan kata lain, jika kita punya tiga poin yang berbeda, yang koordinatnya tidak berhimpitan dan tidak dapat dihubungkan dengan garis lurus, maka kita dapat menentukan bidang yang melaluinya.

Misalkan kita mempunyai sistem koordinat persegi panjang. Mari kita nyatakan O x y z. Berisi tiga titik M dengan koordinat M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), yang tidak dapat dihubungkan garis lurus. Berdasarkan kondisi tersebut, kita dapat menuliskan persamaan bidang yang kita perlukan. Ada dua pendekatan untuk memecahkan masalah ini.

1. Pendekatan pertama menggunakan persamaan umum pesawat. Dalam bentuk huruf ditulis A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Dengan bantuannya, Anda dapat menentukan dalam sistem koordinat persegi panjang bidang alfa tertentu yang melalui titik pertama M 1 (x 1, y 1, z 1). Ternyata vektor normal bidang α mempunyai koordinat A, B, C.

Definisi N

Mengetahui koordinat vektor normal dan koordinat titik yang dilalui bidang tersebut, kita dapat menuliskan persamaan umum bidang tersebut.

Inilah yang akan kami lanjutkan di masa depan.

Jadi, sesuai dengan kondisi soal, kita memiliki koordinat titik yang diinginkan (bahkan tiga) yang dilalui pesawat. Untuk menemukan persamaannya, Anda perlu menghitung koordinat vektor normalnya. Mari kita nyatakan n → .

Mari kita ingat aturannya: setiap vektor bukan nol pada suatu bidang tertentu tegak lurus terhadap vektor normal bidang yang sama. Maka kita mendapatkan bahwa n → akan tegak lurus terhadap vektor-vektor yang tersusun dari titik asal M 1 M 2 → dan M 1 M 3 → . Kemudian kita dapat menyatakan n → sebagai hasil kali vektor berbentuk M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Karena M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) dan M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (bukti persamaan tersebut diberikan pada artikel tentang menghitung koordinat vektor dari koordinat titik), maka ternyata:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Jika kita menghitung determinannya, kita akan mendapatkan koordinat vektor normal n → yang kita butuhkan. Sekarang kita dapat menuliskan persamaan yang kita perlukan untuk sebuah bidang yang melewati ketiganya poin yang diberikan.

2. Pendekatan kedua untuk mencari persamaan yang melalui M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), didasarkan pada konsep seperti koplanaritas vektor.

Jika kita mempunyai himpunan titik M (x, y, z), maka dalam sistem koordinat persegi panjang mereka mendefinisikan bidang untuk titik tertentu M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) hanya jika vektornya M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) dan M 1 M 3  → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) akan menjadi koplanar .

Pada diagram akan terlihat seperti ini:

Ini berarti demikian pekerjaan campuran vektor M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → akan sama dengan nol: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0, karena ini adalah syarat utama koplanaritas : M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) dan M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Mari kita tulis persamaan yang dihasilkan dalam bentuk koordinat:

Setelah kita menghitung determinannya, kita dapat memperoleh persamaan bidang yang kita perlukan untuk tiga titik yang tidak terletak pada garis yang sama M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) , M 3 (x 3 , kamu 3 , z 3) .

Dari persamaan yang dihasilkan seseorang dapat menuju ke persamaan bidang dalam segmen atau ke persamaan biasa pesawat, jika kondisi masalah memerlukannya.

Pada paragraf berikutnya kami akan memberikan contoh bagaimana pendekatan yang kami tunjukkan diterapkan dalam praktik.

Contoh soal menyusun persamaan bidang yang melalui 3 titik

Sebelumnya, kami mengidentifikasi dua pendekatan yang dapat digunakan untuk mencari persamaan yang diinginkan. Mari kita lihat bagaimana mereka digunakan untuk memecahkan masalah dan kapan Anda harus memilih masing-masing masalah.

Contoh 1

Ada tiga titik yang tidak terletak pada satu garis, dengan koordinat M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Tuliskan persamaan bidang yang melewatinya.

Larutan

Kami menggunakan kedua metode secara bergantian.

1. Tentukan koordinat dua vektor yang kita perlukan M 1 M 2 →, M 1 M 3 →:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Sekarang mari kita hitung hasil perkalian vektornya. Kami tidak akan menjelaskan perhitungan determinan:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Kita mempunyai vektor normal bidang yang melalui tiga titik yang diperlukan: n → = (- 5, 30, 2) . Selanjutnya kita perlu mengambil salah satu titik, misalnya M 1 (- 3, 2, - 1), dan menuliskan persamaan bidang dengan vektor n → = (- 5, 30, 2). Kita peroleh: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Ini adalah persamaan yang kita perlukan untuk sebuah bidang yang melalui tiga titik.

2. Mari kita mengambil pendekatan yang berbeda. Mari kita tuliskan persamaan bidang dengan tiga titik M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) dalam bentuk berikut:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Di sini Anda dapat mengganti data dari rumusan masalah. Karena x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, sebagai hasilnya kita mendapatkan:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 tahun + 2 z - 73

Kami mendapatkan persamaan yang kami butuhkan.

Menjawab:- 5 x + 30 tahun + 2 z - 73 .

Namun bagaimana jika titik-titik tertentu masih terletak pada garis yang sama dan kita perlu membuat persamaan bidang untuk titik-titik tersebut? Di sini harus segera dikatakan bahwa kondisi ini tidak sepenuhnya benar. Jumlah pesawat yang tidak terhingga dapat melewati titik-titik tersebut, sehingga tidak mungkin menghitung satu jawaban pun. Mari kita pertimbangkan masalah seperti itu untuk membuktikan kesalahan rumusan pertanyaan tersebut.

Contoh 2

Kita mempunyai sistem koordinat persegi panjang dalam ruang tiga dimensi, dimana ditempatkan tiga titik dengan koordinat M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1 , 1) . Perlu dibuat persamaan bidang yang melewatinya.

Larutan

Mari kita gunakan cara pertama dan mulai dengan menghitung koordinat dua vektor M 1 M 2 → dan M 1 M 3 →. Mari kita hitung koordinatnya: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Karya seni vektor akan sama dengan:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Karena M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, maka vektor-vektor kita akan segaris (baca kembali artikel tentangnya jika Anda lupa definisi konsep ini). Jadi, titik awal M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) berada pada garis yang sama, dan soal kita mempunyai banyak sekali pilihan jawaban.

Jika kita menggunakan cara kedua, kita akan mendapatkan:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Dari persamaan yang dihasilkan juga diketahui bahwa titik-titik M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) berada pada garis yang sama.

Jika Anda ingin menemukan setidaknya satu jawaban untuk masalah ini dari jumlah yang tak terbatas pilihannya, Anda perlu melakukan langkah-langkah berikut:

1. Tuliskan persamaan garis M 1 M 2, M 1 M 3 atau M 2 M 3 (jika perlu lihat materi tentang tindakan ini).

2. Ambil titik M 4 (x 4, y 4, z 4) yang tidak terletak pada garis lurus M 1 M 2.

3. Tuliskan persamaan bidang yang melalui tiga titik berbeda M 1, M 2 dan M 4 yang tidak terletak pada garis yang sama.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter