Untuk menyelesaikan banyak hal masalah praktis perlu diketahui kompleksnya kondisi yang menyebabkan dampak kumulatifnya jumlah besar faktor acak hampir tidak tergantung pada kebetulan. Kondisi tersebut dijelaskan dalam beberapa teorema yang disebut nama umum hukum jumlah yang besar, dimana variabel acak k sama dengan 1 atau 0 tergantung pada apakah hasil percobaan ke-k berhasil atau gagal. Jadi, Sn adalah jumlah dari n variabel acak yang saling bebas, yang masing-masing bernilai 1 dan 0 dengan probabilitas p dan q.

Bentuk paling sederhana dari hukum bilangan besar adalah teorema Bernoulli, yang menyatakan bahwa jika peluang suatu kejadian sama di semua percobaan, maka dengan bertambahnya jumlah percobaan, frekuensi kejadian cenderung ke peluang kejadian dan tidak lagi acak.

teorema Poisson menyatakan frekuensi suatu kejadian dalam suatu rangkaian tes independen cenderung ke rata-rata aritmatika dari probabilitasnya dan tidak lagi acak.

Teorema limit teori probabilitas, teorema Moivre-Laplace menjelaskan sifat kestabilan frekuensi terjadinya suatu peristiwa. Sifat ini terletak pada kenyataan bahwa distribusi pembatas jumlah kemunculan suatu peristiwa dengan peningkatan jumlah percobaan yang tidak terbatas (jika peluang kejadian tersebut sama di semua percobaan) adalah distribusi normal.

Pusat teorema batas menjelaskan distribusi luas dari hukum distribusi normal. Teorema menyatakan bahwa setiap kali variabel acak terbentuk sebagai hasil penjumlahan jumlah besar variabel acak bebas dengan varian berhingga, hukum distribusi variabel acak ini ternyata hukumnya hampir normal.

teorema Lyapunov menjelaskan penyebaran luas hukum distribusi normal dan menjelaskan mekanisme pembentukannya. Teorema ini memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa setiap kali suatu variabel acak terbentuk sebagai hasil penjumlahan sejumlah besar variabel acak independen, yang variansnya kecil dibandingkan dengan dispersi penjumlahannya, hukum distribusi variabel acak ini berubah. menjadi hukum yang hampir normal. Dan sejak itu variabel acak selalu dihasilkan jumlah yang tak terbatas alasan dan seringkali tidak ada satupun yang memiliki dispersi yang sebanding dengan dispersi variabel acak itu sendiri, maka sebagian besar variabel acak yang ditemui dalam praktiknya tunduk pada hukum distribusi normal.

Pernyataan kualitatif dan kuantitatif dari hukum bilangan besar didasarkan pada Ketimpangan Chebyshev. Ini menentukan batas atas probabilitas bahwa deviasi nilai suatu variabel acak dari ekspektasi matematisnya lebih besar dari nilai tertentu nomor yang diberikan. Sungguh luar biasa bahwa ketidaksetaraan Chebyshev memberikan perkiraan probabilitas suatu peristiwa untuk variabel acak yang distribusinya tidak diketahui, hanya saja distribusinya tidak diketahui. harapan matematis dan dispersi.

Ketimpangan Chebyshev. Jika suatu variabel acak x mempunyai varians, maka untuk sembarang x > 0 pertidaksamaan berikut ini benar, dimana M x dan D x - ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak x.

teorema Bernoulli. Misal x n adalah banyaknya keberhasilan dalam n percobaan Bernoulli dan p probabilitas keberhasilan dalam suatu percobaan individual. Maka untuk sembarang s > 0 itu benar.

teorema Lyapunov. Misalkan s 1, s 2, …, s n, …- urutan yang tidak terbatas variabel acak bebas dengan ekspektasi matematis m 1, m 2, …, m n, … dan varians s 1 2, s 2 2, …, s n 2 …. Mari kita tunjukkan.

Maka = Ф(b) - Ф(a) untuk sembarang bilangan real a dan b, dimana Ф(x) adalah fungsi distribusi normal.

Biarkan variabel acak diskrit diberikan. Mari kita perhatikan ketergantungan jumlah keberhasilan Sn pada jumlah percobaan n. Untuk setiap percobaan, Sn bertambah 1 atau 0. Pernyataan ini dapat ditulis sebagai:

Sn = 1 +…+ n. (1.1)

Hukum Bilangan Besar. Misalkan (k) adalah barisan variabel acak yang saling bebas dan berdistribusi identik. Jika ekspektasi matematis = M(k) ada, maka untuk sembarang > 0 untuk n

Dengan kata lain, probabilitas rata-rata S n /n berbeda dari ekspektasi matematis kurang dari nilai yang ditentukan secara sewenang-wenang cenderung satu.

Teorema limit pusat. Misalkan (k) adalah barisan variabel acak yang saling bebas dan berdistribusi identik. Anggap saja mereka ada. Misalkan Sn = 1 +…+ n , Maka untuk sembarang tetap

F () -- F () (1.3)

Di sini F (x) -- fungsi normal saya mendistribusikan. Teorema ini dirumuskan dan dibuktikan oleh Linlberg. Lyapunov dan penulis lain membuktikannya sebelumnya, dalam kondisi yang lebih ketat. Perlu dibayangkan bahwa teorema yang dirumuskan di atas hanyalah sebuah kasus yang sangat khusus dari lebih banyak lagi teorema umum, yang pada gilirannya terkait erat dengan banyak teorema limit lainnya. Perhatikan bahwa (1.3) jauh lebih kuat dari (1.2), karena (1.3) memberikan perkiraan probabilitas bahwa perbedaannya lebih besar dari. Di sisi lain, hukum bilangan besar (1.2) berlaku meskipun variabel acak k tidak mempunyai varian berhingga, sehingga berlaku untuk lebih banyak variabel acak. kasus umum daripada teorema limit pusat (1.3). Mari kita ilustrasikan dua teorema terakhir dengan contoh.

Contoh. a) Perhatikan barisan pelemparan sebuah dadu simetris secara bebas. Misalkan k adalah jumlah poin yang diperoleh pada lemparan ke-k. Kemudian

M(k)=(1+2+3+4+5+6)/6=3,5,

a D(k)=(1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +6 2)/6-(3.5) 2 =35/12 dan S n /n

adalah jumlah rata-rata poin yang dihasilkan dari n lemparan.

Hukum bilangan besar menyatakan bahwa masuk akal bahwa untuk n besar, rata-ratanya akan mendekati 3,5. Teorema Limit Pusat menyatakan peluang |Sn -- 3,5n |< (35n/12) 1/2 близка к Ф() -- Ф(-). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а 0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф(0)-- Ф(-- 0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.

b) Pengambilan sampel. Mari kita asumsikan itu di populasi,

terdiri dari N keluarga, masing-masing Nk keluarga mempunyai tepat k anak

(k = 0, 1 ...; Nk = N). Jika suatu keluarga dipilih secara acak, maka banyaknya anak yang ada di dalamnya merupakan variabel acak yang mempunyai nilai probabilitas p = N/N. Dalam pemilihan back-to-back, seseorang dapat melihat sampel berukuran n sebagai kumpulan n variabel acak independen atau "pengamatan" 1, ..., n yang semuanya memiliki distribusi yang sama; S n /n adalah mean sampel. Hukum bilangan besar menyatakan bahwa untuk suatu bilangan yang cukup besar sampel acak rata-ratanya mungkin mendekati, yaitu rata-rata populasi. Teorema limit pusat memungkinkan seseorang memperkirakan kemungkinan besarnya perbedaan antara rata-rata ini dan menentukan ukuran sampel yang diperlukan untuk estimasi yang andal. Dalam praktiknya, dan dan biasanya tidak diketahui; namun, dalam banyak kasus, perkiraan awal mudah diperoleh dan selalu dapat dimasukkan dalam batasan yang dapat diandalkan. Jika kita menginginkan probabilitas sebesar 0,99 atau lebih besar dimana mean sampel S n /n berbeda dari mean populasi yang tidak diketahui kurang dari 1/10, maka ukuran sampel harus diambil sedemikian rupa sehingga

Akar x dari persamaan Ф(x) - Ф(-- x) = 0,99 sama dengan x = 2,57 ..., oleh karena itu n harus sedemikian hingga 2,57 atau n > 660. Perkiraan awal yang cermat memungkinkan untuk menemukan ukuran sampel yang diperlukan.

c) Distribusi Poisson.

Misalkan variabel acak k mempunyai distribusi Poisson (p(k;)). Maka Sn mempunyai distribusi Poisson dengan mean dan varians sama dengan n.

Dengan menulis sebagai pengganti n, kita menyimpulkan bahwa untuk n

Penjumlahan dilakukan pada semua k dari 0 sampai. Ph-la (1.5) juga berlaku ketika dengan cara yang sewenang-wenang.

Kursus

dengan topik: “Hukum bilangan besar”

Variabel acak yang terdistribusi secara identik

Untuk menyelesaikan banyak masalah praktis, perlu diketahui serangkaian kondisi yang menyebabkan hasil gabungan pengaruh sejumlah besar faktor acak hampir tidak bergantung pada kebetulan. Kondisi tersebut dijelaskan dalam beberapa teorema yang secara kolektif disebut hukum bilangan besar, dimana variabel acak k sama dengan 1 atau 0 tergantung pada berhasil atau tidaknya hasil percobaan ke-k. Jadi, Sn adalah jumlah dari n variabel acak yang saling bebas, yang masing-masing bernilai 1 dan 0 dengan probabilitas p dan q.

Teorema Poisson menyatakan bahwa frekuensi suatu peristiwa dalam serangkaian percobaan independen cenderung ke rata-rata aritmatika dari probabilitasnya dan tidak lagi bersifat acak.

Teorema limit pusat menjelaskan distribusi luas dari hukum distribusi normal. Teorema tersebut menyatakan bahwa setiap kali suatu variabel acak terbentuk sebagai hasil penjumlahan sejumlah besar variabel acak bebas yang mempunyai varian berhingga, maka hukum distribusi variabel acak tersebut ternyata merupakan hukum yang hampir normal.

Teorema Lyapunov menjelaskan luasnya hukum distribusi normal dan menjelaskan mekanisme pembentukannya. Teorema ini memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa setiap kali suatu variabel acak terbentuk sebagai hasil penjumlahan sejumlah besar variabel acak independen, yang variansnya kecil dibandingkan dengan dispersi penjumlahannya, hukum distribusi variabel acak ini berubah. menjadi hukum yang hampir normal. Dan karena variabel acak selalu dihasilkan oleh jumlah penyebab yang tidak terbatas dan seringkali tidak satupun dari variabel tersebut memiliki dispersi yang sebanding dengan dispersi variabel acak itu sendiri, sebagian besar variabel acak yang ditemui dalam praktik tunduk pada hukum distribusi normal.

Pernyataan kualitatif dan kuantitatif dari hukum bilangan besar didasarkan pada Ketimpangan Chebyshev. Ini menentukan batas atas probabilitas bahwa deviasi nilai suatu variabel acak dari ekspektasi matematisnya lebih besar dari angka tertentu yang ditentukan. Sungguh luar biasa bahwa ketidaksetaraan Chebyshev memberikan perkiraan probabilitas suatu peristiwa untuk variabel acak yang distribusinya tidak diketahui, hanya ekspektasi matematis dan variansnya yang diketahui.

Ketimpangan Chebyshev. Jika suatu variabel acak x mempunyai varians, maka untuk sembarang x > 0 pertidaksamaannya benar, dimana M x dan D x - ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak x.

teorema Bernoulli. Misal x n adalah banyaknya keberhasilan dalam n percobaan Bernoulli dan p probabilitas keberhasilan dalam suatu percobaan individual. Kemudian, untuk sembarang s > 0, .

teorema Lyapunov. Misalkan s 1 , s 2 , …, s n , … adalah barisan variabel acak bebas tak berhingga dengan ekspektasi matematis m 1 , m 2 , …, m n , … dan varians s 1 2 , s 2 2 , …, s n 2 … . Mari kita nyatakan , , , .

Maka = Ф(b) - Ф(a) untuk sembarang bilangan real a dan b, dimana Ф(x) adalah fungsi distribusi normal.

Biarkan variabel acak diskrit diberikan. Mari kita perhatikan ketergantungan jumlah keberhasilan Sn pada jumlah percobaan n. Pada setiap percobaan, Sn bertambah 1 atau 0. Pernyataan ini dapat ditulis sebagai:

Sn = 1 +…+ n. (1.1)

Hukum bilangan besar. Misalkan (k) adalah barisan variabel acak yang saling bebas dan berdistribusi identik. Jika ekspektasi matematis = M(k) ada, maka untuk sembarang > 0 untuk n

Dengan kata lain, probabilitas bahwa rata-rata S n /n berbeda dari ekspektasi matematis kurang dari nilai yang diberikan secara sewenang-wenang cenderung satu.

Teorema limit pusat. Misalkan (k) adalah barisan variabel acak yang saling bebas dan berdistribusi identik. Anggap saja mereka ada. Misalkan Sn = 1 +…+ n , Maka untuk sembarang tetap

F() - F() (1.3)

Di sini Ф(х) adalah fungsi distribusi normal. Teorema ini dirumuskan dan dibuktikan oleh Linlberg. Lyapunov dan penulis lain membuktikannya sebelumnya, dalam kondisi yang lebih ketat. Perlu dibayangkan bahwa teorema yang dirumuskan di atas hanyalah kasus yang sangat khusus dari teorema yang jauh lebih umum, yang pada gilirannya berkaitan erat dengan banyak teorema limit lainnya. Perhatikan bahwa (1.3) jauh lebih kuat daripada (1.2), karena (1.3) memberikan perkiraan probabilitas bahwa perbedaannya lebih besar dari . Di sisi lain, hukum bilangan besar (1.2) berlaku meskipun variabel acak k tidak mempunyai varian berhingga, sehingga berlaku untuk kasus yang lebih umum daripada teorema limit pusat (1.3). Mari kita ilustrasikan dua teorema terakhir dengan contoh.

Contoh. a) Perhatikan barisan pelemparan sebuah dadu simetris secara bebas. Misalkan k adalah jumlah poin yang diperoleh pada lemparan ke-k. Kemudian

M( k)=(1+2+3+4+5+6)/6=3,5,

a D( k)=(1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +6 2)/6-(3.5) 2 =35/12 dan S n /n

adalah jumlah rata-rata poin yang dihasilkan dari n lemparan.

Hukum bilangan besar menyatakan bahwa masuk akal bahwa untuk n besar, rata-ratanya akan mendekati 3,5. Teorema limit pusat menyatakan peluang |Sn - 3,5n |< (35n/12) 1/2 близка к Ф() - Ф(- ). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а 0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф( 0)- Ф(- 0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.

b) Pengambilan sampel. Mari kita asumsikan bahwa pada populasi umum,

terdiri dari N keluarga, masing-masing Nk keluarga mempunyai tepat k anak

(k = 0, 1 ...; Nk = N). Jika suatu keluarga dipilih secara acak, maka jumlah anak yang ada di dalamnya merupakan variabel acak yang bernilai dengan probabilitas p = N /N. Dalam pemilihan back-to-back, seseorang dapat melihat sampel berukuran n sebagai kumpulan n variabel acak independen atau "pengamatan" 1, ..., n yang semuanya memiliki distribusi yang sama; S n /n adalah mean sampel. Hukum Bilangan Besar menyatakan bahwa untuk sampel acak yang cukup besar, meannya kemungkinan besar mendekati , yaitu mean populasi. Teorema limit pusat memungkinkan seseorang memperkirakan kemungkinan besarnya perbedaan antara rata-rata ini dan menentukan ukuran sampel yang diperlukan untuk estimasi yang andal. Dalam praktiknya, dan dan biasanya tidak diketahui; namun, dalam banyak kasus, perkiraan awal mudah diperoleh dan selalu dapat dimasukkan dalam batasan yang dapat diandalkan. Jika kita menginginkan probabilitas sebesar 0,99 atau lebih besar dimana mean sampel S n /n berbeda dari mean populasi yang tidak diketahui kurang dari 1/10, maka ukuran sampel harus diambil sedemikian rupa sehingga

Akar x dari persamaan F(x) - F(- x) = 0,99 adalah x = 2,57..., sehingga n harus sedemikian sehingga 2,57 atau n > 660. Perkiraan awal yang cermat memungkinkan untuk menemukan ukuran sampel yang diperlukan.

c) Distribusi Poisson.

Misalkan variabel acak k mempunyai distribusi Poisson (p(k; )). Maka Sn mempunyai distribusi Poisson dengan mean dan varians sama dengan n.

Menulis alih-alih n, kami menyimpulkan bahwa untuk n

Penjumlahan dilakukan pada semua k dari 0 hingga . Ph-la (1.5) juga berlaku ketika dengan cara yang sewenang-wenang.

Di atas kami mempertimbangkan pertanyaan untuk menemukan PDF untuk jumlah variabel acak yang independen secara statistik. Pada bagian ini kita akan melihat kembali jumlahnya secara statistik besaran independen, tetapi pendekatan kami akan berbeda dan tidak bergantung pada sebagian PDF variabel acak dalam jumlah. Secara khusus, asumsikan bahwa suku-suku penjumlahan adalah variabel acak yang independen secara statistik dan terdistribusi secara identik, yang masing-masing memiliki mean terbatas dan varians terbatas.

Misalkan didefinisikan sebagai jumlah yang dinormalisasi, yang disebut mean sampel

Pertama, kita akan menentukan batas atas probabilitas ekor, dan kemudian kita akan membuktikan teorema yang sangat penting yang menentukan PDF dalam batas ketika cenderung tak terhingga.

Variabel acak yang didefinisikan oleh (2.1.187) sering dijumpai ketika memperkirakan rata-rata suatu variabel acak selama sejumlah observasi, . Dengan kata lain, dapat dianggap sebagai realisasi sampel independen dari suatu distribusi, dan merupakan perkiraan mean.

Harapan matematisnya adalah

Variansnya adalah

Jika kita menganggapnya sebagai estimasi mean, kita melihat bahwa ekspektasi matematisnya sama dengan, dan dispersinya menurun seiring bertambahnya ukuran sampel. Jika meningkat tanpa batas, variansnya cenderung nol. Estimasi parameter (dalam dalam hal ini), yang memenuhi kondisi yang cenderung memenuhi ekspektasi matematisnya arti sebenarnya parameter, dan variansnya benar-benar nol, disebut estimasi yang konsisten.

Probabilitas ekor suatu variabel acak dapat diperkirakan dari atas menggunakan batasan yang diberikan di Bagian. 2.1.5. Ketidaksetaraan Chebyshev dalam hubungannya dengan memiliki bentuk

. (2.1.188)

Dalam batas kapan , dari (2.1.188) berikut ini

. (2.1.189)

Akibatnya, probabilitas bahwa estimasi mean berbeda dari nilai sebenarnya sebesar lebih dari , cenderung nol jika nilai tersebut tumbuh tanpa batas. Pernyataan ini merupakan salah satu bentuk hukum bilangan besar. Karena batas atas konvergen ke nol secara relatif lambat, mis. berbanding terbalik. ekspresi (2.1.188) disebut hukum lemah bilangan besar.

Jika kita menerapkan ikatan Chernoff ke variabel acak, yang mengandung ketergantungan eksponensial pada , maka kita memperoleh batas atas yang ketat untuk probabilitas ekor tunggal. Mengikuti prosedur yang diuraikan dalam Bagian. 2.1.5, kita menemukan bahwa probabilitas ekor ditentukan oleh ekspresi

dimana dan . Namun, secara statistik independen dan terdistribusi secara identik. Karena itu,

dimana adalah salah satu besarannya. Parameter yang memberikan batas atas paling akurat diperoleh dengan membedakan (2.1.191) dan menyamakan turunannya dengan nol. Hal ini mengarah pada persamaan

(2.1.192)

Mari kita nyatakan solusinya (2.1.192) dengan . Maka batas probabilitas ekor atas adalah

, . (2.1.193)

Demikian pula, kita akan menemukan bahwa probabilitas ekor yang lebih rendah mempunyai batas

, . (2.1.194)

Contoh 2.1.7. Misalkan , adalah serangkaian variabel acak yang independen secara statistik dan didefinisikan sebagai berikut:

Kita ingin menentukan batas atas yang ketat pada probabilitas bahwa jumlah dari lebih besar dari nol. Karena , jumlahnya akan ada nilai negatif untuk ekspektasi matematis (rata-rata), oleh karena itu, kita akan mencari probabilitas ekor atas. Karena di (2.1.193) kita punya

, (2.1.195)

di mana solusi persamaan tersebut

Karena itu,

. (2.1.197)

Akibatnya, untuk batas pada (2.1.195) kita peroleh

Kami melihatnya batas atas berkurang secara eksponensial dengan, seperti yang diharapkan. Sebaliknya, menurut ikatan Chebyshev, probabilitas ekor menurun berbanding terbalik dengan .

Teorema limit pusat. Pada bagian ini, kita mempertimbangkan teorema yang sangat berguna mengenai IDF dari jumlah variabel acak dalam limit ketika jumlah suku dari jumlah tersebut bertambah tanpa batas. Ada beberapa versi dari teorema ini. Mari kita buktikan teorema untuk kasus ketika variabel acak yang dapat dijumlahkan , , independen secara statistik dan terdistribusi secara identik, masing-masing variabel memiliki mean terbatas dan varians terbatas.

Untuk kenyamanan, kami mendefinisikan variabel acak yang dinormalisasi

Dengan demikian, ia mempunyai mean dan varian satuan nol.

Sekarang biarkan

Karena setiap jumlah penjumlahan mempunyai mean dan varian satuan nol, nilai yang dinormalisasi (dengan faktor ) memiliki mean dan varian satuan nol. Kami ingin mendefinisikan FMI untuk batas kapan .

Fungsi karakteristiknya sama dengan

, (2.1.200).

atau, setara,

. (2.1.206)

Tapi hanya itu saja fungsi karakteristik Variabel acak Gaussian dengan mean nol dan varian satuan. Jadi kita punya hasil penting; PDF dari jumlah variabel acak yang independen secara statistik dan terdistribusi secara identik dengan mean dan varians terbatas mendekati Gaussian di. Hasil ini dikenal sebagai teorema limit pusat.

Meskipun kita berasumsi bahwa variabel-variabel acak dalam penjumlahan terdistribusi secara merata, asumsi ini dapat dilonggarkan dengan syarat masih ada batasan tambahan tertentu yang dikenakan pada sifat-sifat variabel acak yang dijumlahkan. Ada satu variasi teorema, misalnya, ketika asumsi distribusi variabel acak yang identik diabaikan demi kondisi yang dikenakan pada momen absolut ketiga dari penjumlahan variabel acak. Untuk pembahasan mengenai teorema limit pusat ini dan versi lainnya, pembaca dapat mengacu pada Cramer (1946).

Teorema limit pusat adalah sekelompok teorema yang ditujukan untuk menetapkan kondisi di mana hukum biasa distribusi, dan pelanggarannya menyebabkan distribusi yang berbeda dari normal. Berbagai bentuk Teorema limit pusat berbeda satu sama lain dalam kondisi yang dikenakan pada distribusi suku-suku acak yang membentuk jumlah tersebut. Mari kita buktikan salah satu yang terbaik bentuk sederhana teorema ini, yaitu teorema limit pusat untuk suku-suku independen yang terdistribusi identik.

Pertimbangkan urutan variabel acak independen yang terdistribusi identik dan memiliki ekspektasi matematis. Mari kita asumsikan juga bahwa varians itu ada. Mari kita perkenalkan notasinya. Hukum bilangan besar untuk barisan ini dapat direpresentasikan dalam bentuk berikut:

di mana konvergensi dapat dipahami baik dalam arti konvergensi dalam probabilitas (hukum bilangan besar yang lemah) maupun dalam arti konvergensi dengan probabilitas, sama dengan satu(memperkuat hukum bilangan besar).

Teorema (teorema batas pusat untuk variabel acak independen yang terdistribusi identik). Misalkan suatu barisan variabel acak independen yang terdistribusi secara identik, . Lalu ada konvergensi seragam relatif terhadap ().

dimana fungsi standarnya distribusi normal(dengan parameter):

Jika kondisi konvergensi tersebut terpenuhi, barisan tersebut disebut normal asimtotik.

Teorema Lyapunov dan Lindeberg

Mari kita pertimbangkan kasus ketika variabel acak memiliki distribusi berbeda - variabel tersebut independen dengan distribusi berbeda.

Teorema (Lindeberg). Misalkan suatu barisan variabel acak bebas dengan varian berhingga. Jika kondisi Lindeberg terpenuhi untuk barisan ini:

dimana, maka teorema limit pusat berlaku untuk itu.

Karena sulit untuk memeriksa kondisi Lindeberg secara langsung, kami mempertimbangkan beberapa kondisi lain yang berlaku pada teorema limit pusat, yaitu kondisi teorema Lyapunov.

Teorema (Lyapunov). Jika kondisi Lyapunov terpenuhi untuk barisan variabel acak:

maka barisan tersebut normal asimtotik, yaitu. teorema limit pusat berlaku.

Pemenuhan kondisi Lyapunov menyiratkan terpenuhinya kondisi Lindeberg, dan dari situ muncul teorema limit pusat.

Telah diketahui bahwa menurut hukum distribusi dapat ditemukan karakteristik numerik variabel acak. Oleh karena itu, jika beberapa variabel acak mempunyai distribusi yang identik, maka karakteristik numeriknya adalah sama.

Mari kita pertimbangkan N variabel acak yang saling bebas X 1 , X 2 , ...., X hal, yang mempunyai distribusi yang sama, dan oleh karena itu mempunyai karakteristik yang sama (ekspektasi matematis, dispersi, dll.). Yang paling menarik adalah studi tentang karakteristik numerik dari rata-rata aritmatika besaran-besaran ini, yang akan kita lakukan di bagian ini.

Mari kita nyatakan mean aritmatika dari variabel acak yang dipertimbangkan dengan :

= (X 1 +X 2 +…+X n)/N.

Tiga ketentuan berikut ini menetapkan hubungan antara karakteristik numerik dari mean aritmatika X dan karakteristik yang sesuai dari masing-masing besaran individu.

1. Ekspektasi matematis dari mean aritmatika dari variabel acak saling independen yang terdistribusi secara identik sama dengan ekspektasi matematis dari masing-masing nilai:

M()=a

Bukti. Menggunakan sifat-sifat ekspektasi matematis ( faktor konstan dapat dianggap sebagai tanda ekspektasi matematis; ekspektasi matematis dari jumlah tersebut sama dengan jumlah ekspektasi matematis dari suku-suku tersebut), yang kita miliki

M( )= M

Mengingat ekspektasi matematis setiap besaran menurut kondisi adalah sama dengan A, kita dapatkan

M()=na/n=a.

2. Dispersi mean aritmatika dari n variabel acak saling independen yang terdistribusi secara identik adalah n kali lebih kecil dari dispersi D dari masing-masing nilai:

D()=Sialan.(* )

Bukti. Dengan menggunakan sifat-sifat dispersi (faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda dispersi dengan mengkuadratkannya; dispersi jumlah besaran bebas sama dengan jumlah dispersi suku-sukunya), kita peroleh

D( )=D

Mengingat varians masing-masing besaran menurut kondisi adalah sama D, kita dapatkan

D( )= tidak/n 2 =D/n.

3. Rata-rata deviasi standar rata-rata aritmatika dari n variabel acak saling independen yang terdistribusi secara identik beberapa kali lebih kecil dari rata-rata deviasi kuadrat S masing-masing besarannya:

Bukti. Karena D()= H/n, maka simpangan bakunya sama dengan

S ( )= .

Kesimpulan umum dari rumus (*) dan (**): mengingat bahwa dispersi dan deviasi standar berfungsi sebagai ukuran dispersi suatu variabel acak, kami menyimpulkan bahwa rata-rata aritmatika dari sejumlah besar variabel acak yang saling independen memiliki dispersi yang jauh lebih kecil daripada masing-masing variabel acak. nilai individu.

Mari kita jelaskan dengan sebuah contoh pentingnya kesimpulan ini untuk praktik.

Contoh. Biasanya untuk mengukur beberapa kuantitas fisik melakukan beberapa pengukuran, kemudian mencari mean aritmatika dari bilangan yang diperoleh, yang diambil sebagai nilai perkiraan dari nilai yang diukur. Misalkan pengukuran dilakukan pada kondisi yang sama, buktikan:

a) mean aritmatika memberikan hasil yang lebih andal dibandingkan pengukuran individual;

b) dengan bertambahnya jumlah pengukuran, keandalan hasil ini meningkat.

Larutan. a) Diketahui bahwa pengukuran individu memberikan nilai yang berbeda-beda terhadap besaran yang diukur. Hasil setiap pengukuran bergantung pada banyak alasan acak (perubahan suhu, fluktuasi instrumen, dll.), yang tidak dapat diperhitungkan sepenuhnya sebelumnya.

Oleh karena itu, kami berhak mempertimbangkan kemungkinan hasil N pengukuran individu sebagai variabel acak X 1 , X 2 , ..., X hal(indeks menunjukkan nomor pengukuran). Jumlah ini punya pemerataan probabilitas (pengukuran dilakukan dengan menggunakan metode yang sama dan dengan instrumen yang sama), dan oleh karena itu karakteristik numeriknya sama; selain itu, keduanya saling independen (hasil pengukuran masing-masing individu tidak bergantung pada pengukuran lainnya).

Kita telah mengetahui bahwa rata-rata aritmatika dari besaran-besaran tersebut memiliki dispersi yang lebih kecil daripada besaran masing-masing. Dengan kata lain, mean aritmatika ternyata lebih mendekati nilai sebenarnya dari nilai yang diukur dibandingkan dengan hasil pengukuran tersendiri. Artinya rata-rata aritmatika dari beberapa pengukuran memberikan hasil yang lebih dapat diandalkan dibandingkan pengukuran tunggal.

b) Kita telah mengetahui bahwa dengan bertambahnya jumlah variabel acak individu, penyebaran mean aritmatika menurun. Ini berarti bahwa seiring bertambahnya jumlah pengukuran, perbedaan rata-rata aritmatika dari beberapa pengukuran semakin kecil dari nilai sebenarnya dari nilai yang diukur. Jadi, dengan menambah jumlah pengukuran, diperoleh hasil yang lebih andal.

Misalnya, jika simpangan baku suatu pengukuran individu adalah s= 6 m, dan totalnya adalah N= 36 pengukuran, maka simpangan baku rata-rata aritmatika pengukuran tersebut hanya 1 m.

S ( )=

Kita melihat bahwa rata-rata aritmatika dari beberapa pengukuran, seperti yang diharapkan, ternyata lebih dekat dengan nilai sebenarnya dari nilai yang diukur daripada hasil pengukuran terpisah.

Variabel acak yang terdistribusi secara identik. Open Library - perpustakaan terbuka informasi pendidikan

Teorema Lyapunov dan Lindeberg