Penentuan bilangan e. Lihat apa itu "angka e" di kamus lain

Angka “e” adalah salah satu konstanta matematika terpenting yang pernah didengar semua orang. pelajaran sekolah matematika. Konsep diterbitkan presentasi populer, ditulis oleh seorang humanis untuk humanis, di mana bahasa yang dapat diakses akan memberi tahu mengapa dan mengapa bilangan Euler ada.

Apa persamaan uang kita dan bilangan Euler?

Sedangkan nomornya π (pi) ada yang sangat pasti makna geometris dan itu digunakan oleh ahli matematika kuno, lalu bilangan e(Angka Euler) relatif baru mendapat tempat yang layak dalam sains dan akarnya langsung... pada masalah keuangan.

Sangat sedikit waktu berlalu sejak penemuan uang ketika orang menyadari bahwa mata uang dapat dipinjam atau dipinjamkan pada tingkat bunga tertentu. Tentu saja, para pebisnis “kuno” tidak menggunakan konsep “persentase” yang sudah dikenal, tetapi peningkatan jumlah dengan indikator tertentu selama periode waktu tertentu sudah tidak asing lagi bagi mereka.

Dalam foto: uang kertas senilai 10 franc dengan gambar Leonhard Euler (1707-1783).

Kami tidak akan mempelajari contoh dengan 20% per tahun, karena memerlukan waktu terlalu lama untuk beralih dari sana ke bilangan Euler. Mari kita gunakan penjelasan yang paling umum dan jelas tentang arti konstanta ini, dan untuk ini kita harus membayangkan sedikit dan membayangkan bahwa suatu bank menawarkan kita untuk menaruh uang di deposito sebesar 100% per tahun.

Eksperimen pemikiran-keuangan

Untuk eksperimen pemikiran ini, Anda dapat mengambil jumlah berapa pun dan hasilnya akan selalu sama, tetapi mulai dari 1, kita dapat langsung menuju ke nilai perkiraan pertama dari angka tersebut. e. Oleh karena itu, katakanlah kita berinvestasi 1 dolar di bank, dengan tingkat bunga 100% per tahun pada akhir tahun, kita akan mempunyai 2 dolar.

Namun hal ini hanya terjadi jika bunganya dikapitalisasi (ditambahkan) setahun sekali. Bagaimana jika mereka memanfaatkannya dua kali setahun? Artinya, 50% akan dikreditkan setiap enam bulan, dan 50% kedua tidak lagi dikreditkan dari jumlah awal, tetapi dari jumlah yang ditingkatkan sebesar 50% pertama. Apakah ini akan lebih menguntungkan bagi kita?

Infografis visual yang menunjukkan arti geometris dari angka tersebut π .

Tentu saja itu akan terjadi. Dengan kapitalisasi dua kali setahun, setelah enam bulan kita akan memiliki $1,50 di akun. Pada akhir tahun, 50% lagi dari $1,50 akan ditambahkan jumlah total akan menjadi $2,25. Apa jadinya jika kapitalisasi dilakukan setiap bulan?

Kami akan dikreditkan dengan 100/12% (yaitu, sekitar 8.(3)%) setiap bulan, yang akan menjadi lebih menguntungkan - pada akhir tahun kami akan memiliki $2,61. Rumus umum untuk menghitung jumlah total sejumlah kapitalisasi (n) per tahun terlihat seperti ini:

Jumlah total = 1(1+1/n) n

Ternyata dengan nilai n = 365 (yaitu jika bunga kita dikapitalisasi setiap hari), kita mendapatkan rumus berikut: 1(1+1/365) 365 = $2,71. Dari buku teks dan buku referensi kita mengetahui bahwa e kira-kira sama dengan 2,71828, yaitu, dengan mempertimbangkan kapitalisasi harian dari kontribusi kita yang luar biasa, kita telah sampai pada nilai perkiraan e, yang sudah cukup untuk banyak perhitungan.

Pertumbuhan n dapat berlanjut tanpa batas waktu, dan semakin besar nilainya, semakin akurat kita dapat menghitung bilangan Euler, hingga desimal yang kita perlukan karena alasan tertentu.

Aturan ini tentu saja tidak hanya terbatas pada kepentingan finansial kita saja. Konstanta matematika jauh dari kata "spesialis" - mereka bekerja dengan baik terlepas dari bidang penerapannya. Oleh karena itu, jika Anda menggali lebih dalam, Anda dapat menemukannya di hampir semua bidang kehidupan.

Ternyata angka e itu seperti ukuran segala perubahan dan “bahasa alami analisis matematis" Lagi pula, “matan” terkait erat dengan konsep diferensiasi dan integrasi, dan kedua operasi ini berhubungan dengan perubahan yang sangat kecil, yang secara sempurna dicirikan oleh jumlah e .

Sifat unik bilangan Euler

Setelah mempertimbangkan contoh penjelasan yang paling jelas tentang konstruksi salah satu rumus untuk menghitung suatu bilangan e, mari kita lihat secara singkat beberapa pertanyaan lagi yang berhubungan langsung dengannya. Dan salah satunya: apa yang unik dari bilangan Euler?

Secara teori, setiap konstanta matematika adalah unik dan masing-masing memiliki sejarahnya sendiri, namun, Anda tahu, klaim atas judul bahasa alami analisis matematika adalah klaim yang cukup berbobot.

Seribu nilai pertama ϕ(n) untuk fungsi Euler.

Namun jumlahnya e ada alasan untuk itu. Saat memplot fungsi y = e x, menjadi jelas fakta yang menakjubkan: tidak hanya y yang sama dengan e x , gradien kurva dan luas di bawah kurva juga sama dengan indikator yang sama. Artinya, luas area di bawah kurva dari nilai y tertentu hingga minus tak terhingga.

Tidak ada nomor lain yang bisa membanggakan hal ini. Bagi kami, para humanis (atau BUKAN ahli matematika), pernyataan seperti itu tidak berarti apa-apa, namun para ahli matematika sendiri menyatakan bahwa ini sangat penting. Mengapa ini penting? Kami akan mencoba memahami masalah ini lain kali.

Logaritma sebagai prasyarat Bilangan Euler

Mungkin ada yang ingat dari sekolah bahwa bilangan Euler juga merupakan basis dari logaritma natural. Nah, ini sesuai dengan sifatnya sebagai tolok ukur segala perubahan. Namun, apa hubungannya Euler dengan itu? Agar adil, perlu dicatat bahwa e kadang-kadang juga disebut bilangan Napier, tetapi tanpa Euler ceritanya tidak akan lengkap, begitu pula tanpa menyebutkan logaritma.

Penemuan logaritma pada abad ke-17 oleh matematikawan Skotlandia John Napier menjadi salah satu penemuan peristiwa besar sejarah matematika. Pada perayaan ulang tahun peristiwa ini, yang berlangsung pada tahun 1914, Lord Moulton membicarakannya sebagai berikut:

“Penemuan logaritma adalah untuk dunia ilmiah seperti sambaran petir dari biru. Tidak ada penelitian sebelumnya yang mengarah ke sana, memperkirakan atau menjanjikan penemuan ini. Ia berdiri sendiri, ia keluar dari pemikiran manusia secara tiba-tiba, tanpa meminjam apa pun dari karya pikiran lain dan tanpa mengikuti arah pemikiran matematika yang telah diketahui.”

Pierre-Simon Laplace, terkenal Matematikawan Perancis dan sang astronom menyatakan pentingnya penemuan ini dengan lebih dramatis: “Penemuan logaritma, dengan mengurangi jam kerja yang melelahkan, melipatgandakan kehidupan para astronom.” Apa yang membuat Laplace begitu terkesan? Dan alasannya sangat sederhana - logaritma telah memungkinkan para ilmuwan mengurangi secara signifikan waktu yang biasanya dihabiskan untuk perhitungan yang rumit.

Secara umum, logaritma menyederhanakan perhitungan—mereka menurunkannya satu tingkat pada skala kompleksitas. Sederhananya, alih-alih mengalikan dan membagi, kita harus melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan. Dan ini jauh lebih efektif.

e- basis logaritma natural

Anggap saja Napier adalah pionir di bidang logaritma - penemunya. Setidaknya dia mempublikasikan temuannya terlebih dahulu. Dalam hal ini, timbul pertanyaan: apa kelebihan Euler?

Sederhana saja - dia bisa disebut sebagai pewaris ideologis Napier dan orang yang membawa karya hidup ilmuwan Skotlandia itu ke kesimpulan logaritmik (baca logis). Menariknya, apakah ini mungkin?

Beberapa grafik yang sangat penting dibuat menggunakan logaritma natural.

Lebih khusus lagi, Euler menurunkan basis logaritma natural, yang sekarang dikenal sebagai bilangan e atau nomor Euler. Selain itu, ia menulis namanya dalam sejarah sains lebih dari yang pernah diimpikan Vasya, yang tampaknya berhasil “berkunjung” ke mana-mana.

Sayangnya, prinsip khusus bekerja dengan logaritma adalah topik artikel besar yang terpisah. Jadi untuk saat ini, cukuplah dikatakan bahwa berkat kerja sejumlah ilmuwan berdedikasi yang benar-benar mengabdikan tahun-tahun hidup mereka untuk menyusun tabel logaritmik pada masa ketika belum ada orang yang pernah mendengar tentang kalkulator, kemajuan ilmu pengetahuan sangat pesat.

Dalam foto: John Napier - ahli matematika Skotlandia, penemu logaritma (1550-1617.)

Ini lucu, tetapi kemajuan ini pada akhirnya menyebabkan keusangan tabel-tabel ini, dan alasannya justru adalah munculnya kalkulator tangan, yang sepenuhnya mengambil alih tugas melakukan perhitungan jenis ini.

Anda mungkin juga pernah mendengarnya aturan geser? Dahulu kala, para insinyur atau ahli matematika tidak dapat hidup tanpanya, tetapi sekarang alat ini hampir seperti astrolabe - alat yang menarik, tetapi lebih berkaitan dengan sejarah sains daripada praktik sehari-hari.

Mengapa begitu penting untuk menjadi basis logaritma?

Ternyata basis logaritma bisa berupa bilangan apa saja (misalnya 2 atau 10), tetapi justru karena sifat unik bilangan Euler, logaritma ke basis e disebut alami. Hal ini seolah-olah dibangun ke dalam struktur realitas - tidak ada jalan keluar darinya, dan tidak perlu, karena hal ini sangat menyederhanakan kehidupan para ilmuwan yang bekerja di berbagai bidang.

Mari kita berikan penjelasan yang masuk akal tentang sifat logaritma dari situs Pavel Berdov. Logaritma ke basis A dari argumen X adalah pangkat berapa bilangan a harus dipangkatkan untuk memperoleh bilangan x. Secara grafis hal ini ditunjukkan sebagai berikut:

log a x = b, dengan a adalah basis, x adalah argumennya, b adalah logaritmanya.

Misalnya, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritma basis 2 dari 8 adalah 3 karena 2 3 = 8).

Di atas kita melihat angka 2 pada gambar basis logaritma, namun ahli matematika mengatakan bahwa aktor paling berbakat untuk peran ini adalah angka Euler. Mari kita percaya pada kata-kata mereka... Dan kemudian memeriksanya untuk melihat sendiri.

Kesimpulan

Mungkin buruk karena itu ada di dalam pendidikan tinggi sangat terpisah adalah alami dan sastra. Kadang-kadang hal ini menyebabkan terlalu banyak “kecondongan” dan ternyata sangat tidak menarik untuk membicarakan topik lain dengan seseorang yang ahli dalam, katakanlah, fisika dan matematika.

Dan sebaliknya, Anda bisa menjadi spesialis sastra kelas satu, tetapi, pada saat yang sama, sama sekali tidak berdaya jika menyangkut fisika dan matematika yang sama. Namun semua ilmu pengetahuan menarik dengan caranya masing-masing.

Kami berharap bahwa kami, dalam upaya untuk mengatasi keterbatasan kami sendiri dalam kerangka program improvisasi “Saya seorang humanis, tetapi saya sedang menjalani pengobatan,” membantu Anda belajar dan, yang paling penting, memahami sesuatu yang baru dari bidang ilmiah yang kurang familiar.

Nah, bagi yang ingin mempelajari lebih lanjut tentang bilangan Euler, kami dapat merekomendasikan beberapa sumber yang bahkan dapat dipahami oleh orang yang jauh dari matematika jika mau: Eli Maor dalam bukunya “e: the history of a single number” (“e: ceritanya dari suatu bilangan") menjelaskan secara rinci dan jelas latar belakang dan sejarah bilangan Euler.

Selain itu, di bagian “Direkomendasikan” di bawah artikel ini, Anda dapat menemukan nama saluran dan video YouTube yang direkam oleh ahli matematika profesional yang mencoba menjelaskan bilangan Euler dengan jelas sehingga dapat dimengerti bahkan oleh non-spesialis bahasa Rusia.

NOMOR e. Angka yang kurang lebih sama dengan 2,718, yang sering ditemukan dalam matematika dan ilmu pengetahuan Alam. Misalnya saat terjadi keruntuhan zat radioaktif setelah waktu berlalu T dari jumlah awal zat tetap merupakan pecahan yang sama e–kt, Di mana k– angka yang mencirikan laju peluruhan suatu zat. Kebalikan 1/k disebut masa hidup rata-rata suatu atom suatu zat, karena rata-rata sebuah atom ada selama 1/ sebelum meluruh k. Nilai 0,693/ k disebut waktu paruh suatu zat radioaktif, yaitu. waktu yang diperlukan untuk meluruhkan setengah jumlah awal suatu zat; angka 0,693 kira-kira sama dengan log e 2, yaitu logaritma angka 2 ke basis e. Begitu pula jika ada bakteri di dalamnya media nutrisi bereproduksi dengan laju sebanding dengan jumlah mereka saat ini, lalu setelah waktu T kuantitas awal bakteri N berubah menjadi Tidak kt. Atenuasi arus listrik SAYA pada rangkaian sederhana dengan sambungan seri, hambatan R dan induktansi L terjadi menurut hukum saya = saya 0 e–kt, Di mana k = R/L, SAYA 0 – kekuatan saat ini pada saat tertentu T= 0. Rumus serupa menggambarkan relaksasi tegangan dalam fluida kental dan redaman medan magnet. Nomor 1/ k sering disebut waktu relaksasi. Dalam statistik, nilainya e–kt terjadi sebagai probabilitas dari waktu ke waktu T tidak ada peristiwa yang terjadi secara acak dengan frekuensi rata-rata k kejadian per satuan waktu. Jika S- jumlah uang yang diinvestasikan di bawah R bunga dengan akrual berkelanjutan, bukan akrual pada interval diskrit, maka berdasarkan waktu T jumlah awal akan meningkat menjadi mengatur/100.

Alasan “kemahahadiran” nomor tersebut e terletak pada kenyataan bahwa rumus analisis matematis yang mengandung fungsi eksponensial atau logaritma ditulis lebih sederhana jika logaritmanya dijadikan basis e, dan bukan 10 atau basis lainnya. Misalnya turunan dari log 10 X sama dengan (1/ X)log 10 e, sedangkan turunan dari log mantan sama dengan 1/ X. Demikian pula turunan dari 2 X sama dengan 2 X mencatat e 2, sedangkan turunan dari mantan sama dengan mantan. Artinya nomor tersebut e dapat didefinisikan sebagai dasar B, di mana grafik fungsinya kamu= mencatat bx ada pada intinya X= 1 garis singgung s lereng, sama dengan 1, atau pada kurva mana kamu = bx ada di X= 0 garis singgung dengan kemiringan sama dengan 1. Logaritma ke basis e disebut "alami" dan diberi nama ln X. Kadang-kadang mereka juga disebut "Nepier", yang tidak benar, karena sebenarnya J. Napier (1550–1617) menemukan logaritma dengan basis yang berbeda: logaritma Nepier dari bilangan tersebut X sama dengan 10 7 log 1/ e (X/10 7) .

Berbagai kombinasi derajat e terjadi begitu sering dalam matematika yang mereka miliki nama khusus. Ini misalnya fungsi hiperbolik

Grafik suatu fungsi kamu=ch X disebut garis catenary; Ini adalah bentuk benang atau rantai berat yang tidak dapat dipanjangkan dan digantung di ujungnya. rumus Euler

Di mana Saya 2 = –1, nomor pengikat e dengan trigonometri. Kasus khusus x = hal mengarah ke hubungan terkenal e ip+1 = 0, menghubungkan 5 bilangan paling terkenal dalam matematika.

Eksponen dilambangkan dengan , atau .

Nomor e

Dasar dari derajat eksponen adalah nomor e. Ini bilangan irasional. Ini kira-kira sama
e ≈ 2,718281828459045...

Bilangan e ditentukan melalui limit barisan tersebut. Inilah yang disebut batas indah kedua:
.

Angka e juga dapat direpresentasikan sebagai deret:
.

Grafik eksponensial

Grafik eksponensial, y = e x .

Grafik menunjukkan eksponen e sampai tingkat tertentu X.
kamu (x) = ex
Grafik menunjukkan bahwa eksponen meningkat secara monoton.

Rumus

Rumus dasar sama seperti fungsi eksponensial dengan basis derajat e.

;
;
;

Ekspresi fungsi eksponensial dengan basis derajat sembarang a melalui eksponensial:
.

Nilai-nilai pribadi

Biarkan kamu (x) = ex.
.

Kemudian

Properti Eksponen e > 1 .

Eksponen mempunyai sifat fungsi eksponensial dengan basis pangkat

Domain, kumpulan nilai (x) = ex Eksponen y
didefinisikan untuk semua x.
- ∞ < x + ∞ .
Domain definisinya:
0 < y < + ∞ .

Ekstrem, meningkat, menurun

Eksponensial merupakan fungsi yang meningkat secara monoton, sehingga tidak mempunyai titik ekstrem. Properti utamanya disajikan dalam tabel.

Fungsi terbalik

Kebalikan dari eksponen adalah logaritma natural.
;
.

Turunan dari eksponen

Turunan e sampai tingkat tertentu X sama dengan e sampai tingkat tertentu X :
.
Turunan dari orde ke-n:
.
Menurunkan rumus > > >

Integral

Bilangan kompleks

Tindakan dengan bilangan kompleks dilakukan dengan menggunakan rumus Euler:
,
di mana satuan imajinernya:
.

Ekspresi melalui fungsi hiperbolik

; ;
.

Ekspresi menggunakan fungsi trigonometri

; ;
;
.

Ekspansi seri daya

Sastra bekas:
DI DALAM. Bronstein, KA. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa, “Lan”, 2009.

PERVUSHKIN BORIS NIKOLAEVICH

Lembaga pendidikan swasta "Sekolah St. Petersburg "Tete-a-Tete"

Guru Matematika Kategori tertinggi

Nomor e

Nomor tersebut pertama kali muncul dimatematikaseperti sesuatu yang tidak penting. Hal ini terjadi pada tahun 1618. Dalam lampiran karya Napier tentang logaritma, diberikan tabel logaritma natural nomor yang berbeda. Namun, tidak ada yang menyadari bahwa ini adalah logaritma ke basis, karena konsep logaritma pada saat itu belum mencakup yang namanya basis. Inilah yang sekarang kita sebut logaritma, pangkat yang harus dipangkatkan basisnya untuk mendapatkan bilangan yang diperlukan. Kami akan membahasnya lagi nanti. Tabel pada lampiran kemungkinan besar dibuat oleh Augthred, meskipun penulisnya tidak disebutkan namanya. Beberapa tahun kemudian, pada tahun 1624, ia muncul lagi dalam literatur matematika, namun sekali lagi secara terselubung. Tahun ini Briggs memberikan perkiraan numerik logaritma desimal, namun nomornya sendiri tidak disebutkan dalam karyanya.

Kemunculan nomor berikutnya kembali diragukan. Pada tahun 1647, Saint-Vincent menghitung luas sektor hiperbola. Apakah dia memahami hubungannya dengan logaritma hanya dapat ditebak, tetapi bahkan jika dia memahaminya, kecil kemungkinannya dia dapat sampai pada bilangan itu sendiri. Baru pada tahun 1661 Huygens memahami hubungan antara hiperbola sama sisi dan logaritma. Ia membuktikan bahwa luas di bawah grafik hiperbola sama sisi dari hiperbola sama sisi dalam interval dari 1 sampai sama dengan 1. Sifat ini menjadi dasar logaritma natural, tetapi hal ini tidak dipahami oleh ahli matematika pada waktu itu, tetapi mereka tidak memahaminya. perlahan-lahan mendekati pemahaman ini.

Huygens mengambil langkah berikutnya pada tahun 1661. Dia mendefinisikan kurva yang disebutnya logaritmik (dalam terminologi kita, kita akan menyebutnya eksponensial). Ini adalah kurva tipe. Dan sekali lagi logaritma desimal muncul, yang menurut Huygens akurat hingga 17 digit desimal. Namun, ini muncul dari Huygens sebagai semacam konstanta dan tidak dikaitkan dengan logaritma suatu bilangan (jadi, sekali lagi mereka mendekati , tetapi bilangan itu sendiri tetap tidak dikenali).

DI DALAM pekerjaan lebih lanjut untuk logaritma, sekali lagi, angkanya tidak muncul secara eksplisit. Namun, studi tentang logaritma terus berlanjut. Pada tahun 1668, Nicolaus Mercator menerbitkan sebuah karyaLogaritmoteknik, yang berisi ekspansi seri. Dalam karyanya ini, Mercator pertama kali menggunakan nama “ logaritma natural” untuk logaritma dasar. Nomor tersebut jelas tidak muncul lagi, tetapi tetap sulit dipahami di suatu tempat di samping.

Mengejutkan bahwa bilangan muncul untuk pertama kalinya dalam bentuk eksplisit bukan dalam kaitannya dengan logaritma, tetapi dalam kaitannya dengan hasil kali tak hingga. Pada tahun 1683, Jacob Bernoulli mencoba mencarinya

Dia menggunakan teorema binomial untuk membuktikan bahwa batas ini adalah antara 2 dan 3, yang dapat kita anggap sebagai perkiraan pertama dari . Meskipun kami menganggap ini sebagai definisi, ini adalah pertama kalinya suatu bilangan didefinisikan sebagai suatu limit. Bernoulli, tentu saja, tidak memahami hubungan antara karyanya dan karyanya tentang logaritma.

Telah disebutkan sebelumnya bahwa logaritma pada awal pembelajarannya tidak ada hubungannya dengan eksponen. Tentu saja, dari persamaan tersebut kita menemukan bahwa, tetapi ini adalah cara persepsi yang jauh lebih baru. Di sini sebenarnya suatu fungsi kita maksud dengan logaritma, padahal pada awalnya logaritma dianggap hanya sebagai angka yang membantu dalam perhitungan. Mungkin Jacob Bernoulli adalah orang pertama yang menyadari hal itu fungsi logaritma adalah eksponensial terbalik. Di sisi lain, orang pertama yang menghubungkan logaritma dan pangkat mungkin adalah James Gregory. Pada tahun 1684 ia tentu saja mengenali hubungan antara logaritma dan pangkat, namun ia mungkin bukan orang pertama.

Kita tahu bahwa bilangan tersebut muncul dalam bentuknya yang sekarang pada tahun 1690. Leibniz, dalam suratnya kepada Huygens, menggunakan sebutan untuk bilangan tersebut. Akhirnya muncullah sebutan (walaupun tidak sesuai dengan sebutan modern), dan sebutan ini diakui.

Pada tahun 1697, Johann Bernoulli mulai mempelajari fungsi eksponensial dan menerbitkannyaPrincipia calculi exponentialum percurrentium. Dalam karya ini, jumlah berbagai deret eksponensial dihitung, dan beberapa hasil diperoleh dari integrasi suku demi suku.

Euler memperkenalkan begitu banyak notasi matematika, Apa
Tak heran, sebutan itu juga menjadi miliknya. Tampaknya konyol untuk mengatakan bahwa dia menggunakan huruf itu karena itu adalah huruf pertama dari namanya. Hal ini mungkin bukan karena diambil dari kata “eksponensial”, tetapi hanya karena merupakan vokal berikutnya setelah “a”, dan Euler telah menggunakan notasi “a” dalam karyanya. Terlepas dari alasannya, notasi tersebut pertama kali muncul dalam surat dari Euler kepada Goldbach pada tahun 1731. Ia membuat banyak penemuan saat ia mempelajari lebih lanjut, namun baru pada tahun 1748.Pengenalan dalam Analysin infinitorumdia memberikan pembenaran penuh untuk semua ide yang berkaitan dengan. Dia menunjukkan itu

Euler juga menemukan 18 angka desimal pertama:

Namun, tanpa menjelaskan bagaimana dia mendapatkannya. Sepertinya dia menghitung sendiri nilai ini. Faktanya, jika kita mengambil sekitar 20 suku deret (1), kita mendapatkan keakuratan yang diperoleh Euler. Antara lain hasil yang menarik karyanya menunjukkan hubungan antara fungsi sinus dan kosinus serta kompleks fungsi eksponensial, yang diperoleh Euler dari rumus Moivre.

Menariknya, Euler bahkan menemukan penguraian suatu bilangan menjadi pecahan lanjutan dan memberikan contoh penguraian tersebut. Secara khusus, dia menerima

Euler tidak memberikan bukti bahwa pecahan ini berlanjut dengan cara yang sama, namun dia tahu bahwa jika ada bukti seperti itu, maka hal itu akan membuktikan irasionalitas. Memang, jika pecahan lanjutan untuk , dilanjutkan dengan cara yang sama seperti pada contoh yang diberikan, 6,10,14,18,22,26, (setiap kali kita menambahkan 4), maka pecahan tersebut tidak akan pernah terputus, dan (dan oleh karena itu ) tidak mungkin rasional. Ini jelas merupakan upaya pertama untuk membuktikan irasionalitas.

Yang pertama menghitung cukup jumlah besar tempat desimal dari angka tersebut, adalah Shanks pada tahun 1854. Glaisher menunjukkan bahwa 137 tempat pertama yang dihitung oleh Shanks adalah benar, tetapi kemudian ditemukan kesalahan. Shanks mengoreksinya, dan diperoleh 205 tempat desimal. Pada kenyataannya, Anda membutuhkan sekitar
120 suku pemuaian (1) untuk mendapatkan 200 digit bilangan yang benar.

Pada tahun 1864, Benjamin Peirce berdiri di depan papan yang di atasnya tertulis

Dalam ceramahnya ia mungkin berkata kepada murid-muridnya: “Tuan-tuan, kami sama sekali tidak tahu apa maksudnya, tetapi kami yakin bahwa ini mempunyai arti yang sangat penting.”

Kebanyakan orang percaya bahwa Euler membuktikan irasionalitas angka tersebut. Namun hal ini dilakukan oleh Hermite pada tahun 1873. Pertanyaan apakah bilangan tersebut aljabar masih tetap terbuka. Hasil terbaru dalam arah ini adalah setidaknya salah satu angkanya transendental.

Selanjutnya, kami menghitung yang berikut ini desimal angka. Pada tahun 1884, Boorman menghitung 346 digit, 187 digit pertama bertepatan dengan digit Shanks, tetapi digit berikutnya berbeda. Pada tahun 1887, Adams menghitung 272 digit logaritma desimal.

Semua orang tahu arti geometris dari bilangan tersebut π adalah panjang lingkaran dengan diameter satuan:

Namun inilah arti dari konstanta penting lainnya, e, cenderung cepat dilupakan. Artinya, saya tidak tahu tentang Anda, tetapi setiap kali saya harus berusaha mengingat mengapa angka yang sama dengan 2,7182818284590 ini begitu luar biasa... (Namun, saya menuliskan nilainya dari ingatan). Jadi saya memutuskan untuk menulis catatan agar tidak ada lagi yang hilang dari ingatan saya.

Nomor e menurut definisi - batas suatu fungsi kamu = (1 + 1 / X) X pada X → ∞:

Sayangnya, definisi ini tidak jelas. Tidak jelas mengapa batasan ini luar biasa (terlepas dari kenyataan bahwa batasan ini disebut “luar biasa kedua”). Bayangkan saja, mereka mengambil fungsi yang kikuk dan menghitung batasnya. Fungsi yang berbeda akan memiliki fungsi yang berbeda.

Tapi nomornya e untuk beberapa alasan itu paling sering muncul situasi yang berbeda dalam matematika.

Bagi saya arti utama angka e terungkap dalam perilaku orang lain, lebih banyak lagi fungsi yang menarik, kamu = k X. Fungsi ini memiliki properti unik kapan k = e, yang dapat ditampilkan secara grafis seperti ini:

Pada titik 0 fungsi mengambil nilai e 0 = 1. Jika ditarik garis singgung pada suatu titik X= 0, maka melewati sumbu x membentuk sudut bersinggungan 1 (in segitiga kuning sikap kaki yang berlawanan 1 ke 1 yang berdekatan sama dengan 1). Pada titik 1 fungsi mengambil nilai e 1 = e. Jika Anda menggambar garis singgung pada suatu titik X= 1, maka lintasannya membentuk sudut singgung e(V segitiga hijau rasio sisi berlawanan e ke 1 yang berdekatan adalah sama e). Pada poin 2 nilainya e 2 dari fungsi tersebut kembali berimpit dengan garis singgung dari sudut kemiringan garis singgungnya. Oleh karena itu, pada saat yang sama, garis singgung itu sendiri memotong sumbu x tepat di titik −1, 0, 1, 2, dst.

Di antara semua fungsinya kamu = k X(misalnya 2 X , 10 X , π X dll), fungsi e X- satu-satunya yang memiliki keindahan sedemikian rupa sehingga garis singgung sudut kemiringannya pada setiap titiknya bertepatan dengan nilai fungsi itu sendiri. Artinya, menurut definisi, nilai fungsi ini di setiap titik bertepatan dengan nilai turunannya di titik tersebut: ( e X)´ = e X. Untuk beberapa alasan nomornya e= 2.7182818284590... harus dinaikkan menjadi derajat yang berbeda untuk mendapatkan gambar seperti ini.

Menurut saya, inilah maknanya.

Angka π Dan e termasuk dalam rumus favorit saya - rumus Euler, yang menghubungkan 5 konstanta terpenting - nol, satu, satuan imajiner Saya dan, faktanya, angka π Dan e:

e iπ + 1 = 0

Mengapa angka 2.7182818284590... masuk gelar yang kompleks 3,1415926535...Saya tiba-tiba sama dengan minus satu? Jawaban atas pertanyaan ini berada di luar cakupan catatan ini dan dapat berupa isi buku pendek, yang memerlukan pemahaman dasar tentang trigonometri, limit, dan deret.

Saya selalu kagum dengan keindahan formula ini. Mungkin ada lebih banyak lagi dalam matematika fakta menakjubkan, tetapi untuk level saya (nilai C di Lyceum Fisika dan Matematika dan nilai A di analisis yang komprehensif di universitas) ini adalah keajaiban yang paling penting.