Ketimpangan dengan derajat yang berbeda-beda. Ketimpangan eksponensial

Persamaan dan pertidaksamaan eksponensial adalah persamaan yang bilangan eksponennya memuat hal yang tidak diketahui.

Penyelesaian persamaan eksponensial sering kali dilakukan dengan menyelesaikan persamaan a x = a b, dengan a > 0, a ≠ 1, x tidak diketahui. Persamaan ini mempunyai akar tunggal x = b, karena teorema berikut ini benar:

Dalil. Jika a > 0, a ≠ 1 dan a x 1 = a x 2, maka x 1 = x 2.

Mari kita buktikan pernyataan yang dipertimbangkan.

Mari kita asumsikan bahwa persamaan x 1 = x 2 tidak berlaku, yaitu. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, maka fungsi eksponensial y = a x bertambah dan oleh karena itu pertidaksamaan a x 1 harus dipenuhi< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >sebuah x 2. Dalam kedua kasus tersebut kami menerima kontradiksi dengan kondisi a x 1 = a x 2.

Mari kita pertimbangkan beberapa masalah.

Selesaikan persamaan 4 ∙ 2 x = 1.

Larutan.

Mari kita tulis persamaannya dalam bentuk 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0, sehingga diperoleh x + 2 = 0, yaitu x = -2.

Menjawab. x = -2.

Selesaikan persamaan 2 3x ∙ 3 x = 576.

Larutan.

Karena 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, persamaannya dapat ditulis sebagai 8 x ∙ 3 x = 24 2 atau 24 x = 24 2.

Dari sini kita mendapatkan x = 2.

Menjawab. x = 2.

Selesaikan persamaan 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25.

Larutan.

Mengeluarkannya dari tanda kurung di sisi kiri pengganda umum 3 x - 2, kita peroleh 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25,

dimana 3 x - 2 = 1, mis. x – 2 = 0, x = 2.

Menjawab. x = 2.

Selesaikan persamaan 3 x = 7 x.

Larutan.

Karena 7 x ≠ 0, persamaannya dapat ditulis sebagai 3 x /7 x = 1, sehingga (3/7) x = 1, x = 0.

Menjawab. x = 0.

Selesaikan persamaan 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0.

Larutan.

Dengan mengganti 3 x = a persamaan yang diberikan direduksi menjadi persamaan kuadrat a 2 – 4a – 45 = 0.

Memecahkan persamaan ini, kita menemukan akar-akarnya: a 1 = 9, dan 2 = -5, maka 3 x = 9, 3 x = -5.

Persamaan 3 x = 9 mempunyai akar 2, dan persamaan 3 x = -5 tidak mempunyai akar, karena fungsi eksponensial tidak dapat bernilai negatif.

Menjawab. x = 2.

Larutan ketidaksetaraan eksponensial sering kali bertujuan untuk menyelesaikan pertidaksamaan a x > a b atau a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания fungsi eksponensial.

Mari kita lihat beberapa masalah.

Selesaikan pertidaksamaan 3 x< 81.

Larutan.

Mari kita tuliskan pertidaksamaan dalam bentuk 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, maka fungsi y = 3 x meningkat.

Oleh karena itu, untuk x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Jadi, pada x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Menjawab. X< 4.

Selesaikan pertidaksamaan 16 x +4 x – 2 > 0.

Larutan.

Mari kita nyatakan 4 x = t, maka kita peroleh pertidaksamaan kuadrat t2 + t – 2 > 0.

Ketimpangan ini berlaku untuk t< -2 и при t > 1.

Karena t = 4 x, kita mendapatkan dua pertidaksamaan 4 x< -2, 4 х > 1.

Pertidaksamaan pertama tidak mempunyai penyelesaian, karena 4 x > 0 untuk semua x € R.

Pertidaksamaan kedua kita tuliskan dalam bentuk 4 x > 4 0, maka x > 0.

Menjawab. x > 0.

Selesaikan persamaan (1/3) x = x – 2/3 secara grafis.

Larutan.

1) Mari kita buat grafik fungsi y = (1/3) x dan y = x – 2/3.

2) Berdasarkan gambar kita, kita dapat menyimpulkan bahwa grafik fungsi-fungsi yang dipertimbangkan berpotongan di titik dengan absis x ≈ 1. Pengecekan membuktikan bahwa

x = 1 adalah akar persamaan ini:

(1/3) 1 = 1/3 dan 1 – 2/3 = 1/3.

Dengan kata lain, kita telah menemukan salah satu akar persamaannya.

3) Mari kita cari akar yang lain atau buktikan bahwa tidak ada akar yang lain. Fungsi (1/3) x menurun, dan fungsi y = x – 2/3 meningkat. Oleh karena itu, untuk x > 1, nilai fungsi pertama kurang dari 1/3, dan fungsi kedua – lebih dari 1/3; di x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 dan x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Menjawab. x = 1.

Perhatikan bahwa dari penyelesaian soal ini, secara khusus, pertidaksamaan (1/3) x > x – 2/3 terpenuhi untuk x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

dan x = b adalah yang paling sederhana persamaan eksponensial. Di dalamnya A lebih besar dari nol Dan A tidak sama dengan satu.

Memecahkan persamaan eksponensial

Dari sifat-sifat fungsi eksponensial kita mengetahui bahwa rentang nilainya terbatas pada positif bilangan real. Maka jika b = 0, persamaan tersebut tidak mempunyai solusi. Situasi yang sama terjadi pada persamaan dimana b

Sekarang mari kita asumsikan bahwa b>0. Jika dalam fungsi eksponensial basisnya A lebih besar dari satu, maka fungsinya akan meningkat di seluruh domain definisi. Jika dalam fungsi eksponensial untuk basis A selesai kondisi berikutnya 0

Berdasarkan hal ini dan menerapkan teorema akar, kita menemukan bahwa persamaan ax = b mempunyai satu akar tunggal, untuk b>0 dan positif A Bukan sama dengan satu. Untuk menemukannya, Anda perlu menyatakan b sebagai b = a c.
Maka jelaslah bahwa Dengan akan menjadi solusi persamaan a x = a c .

Mari kita pertimbangkan contoh berikutnya: menyelesaikan persamaan 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25.

Bayangkan 25 sebagai 5 2, kita peroleh:

5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 .

Atau yang setara:

x 2 - 2*x - 1 = 2.

Memecahkan apa yang kita punya persamaan kuadrat salah satu dari metode yang diketahui. Kita mendapatkan dua akar x = 3 dan x = -1.

Jawaban: 3;-1.

Mari kita selesaikan persamaan 4 x - 5*2 x + 4 = 0. Mari kita lakukan penggantian: t=2 x dan dapatkan persamaan kuadrat berikut:

t 2 - 5*t + 4 = 0.
Kami menyelesaikan persamaan ini menggunakan salah satu metode yang diketahui. Kita mendapatkan akar-akarnya t1 = 1 t2 = 4

Sekarang kita selesaikan persamaan 2 x = 1 dan 2 x = 4.

Jawaban: 0;2.

Memecahkan pertidaksamaan eksponensial

Penyelesaian pertidaksamaan eksponensial paling sederhana juga didasarkan pada sifat-sifat fungsi naik dan turun. Jika dalam fungsi eksponensial basis a lebih besar dari satu, maka fungsi tersebut akan meningkat di seluruh domain definisi. Jika dalam fungsi eksponensial untuk basis A kondisi berikut ini terpenuhi 0, maka fungsi ini akan berkurang pada seluruh himpunan bilangan real.