Jumlah simpul. Pembagi Persekutuan Terbesar (PBB): Pengertian, Contoh dan Sifat

Kalkulator daring memungkinkan Anda dengan cepat menemukan pembagi persekutuan terbesar dan kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan atau bilangan lainnya.

Kalkulator untuk mencari GCD dan KPK

Temukan GCD dan LOC

Ditemukan GCD dan LOC: 5806

Cara menggunakan kalkulator

Masukkan angka di kolom input
Jika Anda memasukkan karakter yang salah, kolom input akan disorot dengan warna merah
klik tombol "Temukan GCD dan LOC".

Cara memasukkan angka

Angka dimasukkan dengan dipisahkan spasi, titik, atau koma
Panjang nomor yang dimasukkan tidak dibatasi, sehingga mencari GCD dan KPK dari bilangan yang panjang tidaklah sulit

Apa itu GCD dan NOC?

Pembagi persekutuan terbesar beberapa bilangan adalah bilangan bulat alami terbesar yang semua bilangan asli habis dibagi tanpa sisa. Pembagi persekutuan terbesar disingkat menjadi simpul.
Kelipatan persekutuan terkecil beberapa nomor adalah tidak jumlah yang lebih kecil, yang habis dibagi masing-masing bilangan asli tanpa sisa. Kelipatan persekutuan terkecil disingkat menjadi NOC.

Bagaimana cara mengecek suatu bilangan habis dibagi bilangan lain tanpa sisa?

Untuk mengetahui apakah suatu bilangan habis dibagi bilangan lain tanpa sisa, Anda dapat menggunakan beberapa sifat habis dibagi bilangan. Kemudian, dengan menggabungkannya, Anda dapat memeriksa keterbagian beberapa di antaranya dan kombinasinya.

Beberapa tanda-tanda pembagian bilangan

1. Uji keterbagian suatu bilangan dengan 2
Untuk menentukan apakah suatu bilangan habis dibagi dua (genap atau tidak), cukup dengan melihat angka terakhir bilangan tersebut: jika sama dengan 0, 2, 4, 6 atau 8, maka bilangan tersebut genap, artinya habis dibagi 2.
Contoh: tentukan apakah bilangan 34938 habis dibagi 2.
Larutan: lihat angka terakhir: 8 berarti bilangan tersebut habis dibagi dua.

2. Uji keterbagian suatu bilangan dengan 3
Suatu bilangan habis dibagi 3 jika jumlah angka-angkanya habis dibagi tiga. Jadi, untuk menentukan apakah suatu bilangan habis dibagi 3, Anda perlu menghitung jumlah angka-angkanya dan memeriksa apakah bilangan tersebut habis dibagi 3. Sekalipun jumlah angka-angkanya sangat besar, Anda dapat mengulangi proses yang sama lagi.
Contoh: tentukan apakah bilangan 34938 habis dibagi 3.
Larutan: Kita hitung jumlah bilangannya: 3+4+9+3+8 = 27. 27 habis dibagi 3, artinya bilangan tersebut habis dibagi tiga.

3. Uji keterbagian suatu bilangan dengan 5
Suatu bilangan habis dibagi 5 jika angka terakhirnya nol atau lima.
Contoh: tentukan apakah bilangan 34938 habis dibagi 5.
Larutan: lihat angka terakhir: 8 berarti bilangan tersebut TIDAK habis dibagi lima.

4. Uji keterbagian suatu bilangan dengan 9
Tanda ini sangat mirip dengan tanda habis dibagi tiga: suatu bilangan habis dibagi 9 jika jumlah angka-angkanya habis dibagi 9.
Contoh: tentukan apakah bilangan 34938 habis dibagi 9.
Larutan: Kita hitung jumlah bilangannya: 3+4+9+3+8 = 27. 27 habis dibagi 9, artinya bilangan tersebut habis dibagi sembilan.

Cara mencari KPK dan KPK dari dua bilangan

Cara mencari KPK dari dua bilangan

Paling dengan cara yang sederhana Menghitung pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan adalah dengan mencari semua kemungkinan pembagi dari bilangan-bilangan tersebut dan memilih bilangan terbesarnya.

Mari kita pertimbangkan metode ini menggunakan contoh mencari GCD(28, 36):

Kita faktorkan kedua bilangan tersebut: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
Kami menemukan faktor umum, yaitu bilangan yang dimiliki kedua bilangan: 1, 2 dan 2.
Kami menghitung produk dari faktor-faktor ini: 1 2 2 = 4 - ini adalah pembagi persekutuan terbesar dari angka 28 dan 36.

Cara mencari KPK dari dua bilangan

Ada dua cara paling umum untuk mencari kelipatan terkecil dari dua bilangan. Cara pertama adalah Anda dapat menuliskan kelipatan pertama dari dua bilangan, lalu memilih di antara bilangan tersebut yang merupakan bilangan yang sama dengan kedua bilangan tersebut dan sekaligus yang terkecil. Dan yang kedua adalah mencari KPK dari angka-angka tersebut. Mari kita pertimbangkan saja.

Untuk menghitung KPK, Anda perlu menghitung hasil kali bilangan asli dan kemudian membaginya dengan KPK yang ditemukan sebelumnya. Mari kita cari KPK untuk bilangan yang sama 28 dan 36:

Carilah hasil kali bilangan 28 dan 36: 28·36 = 1008
GCD(28, 36), sebagaimana telah diketahui, sama dengan 4
KPK(28, 36) = 1008/4 = 252 .

Mencari KPK dan KPK untuk beberapa bilangan

Pembagi persekutuan terbesar dapat ditemukan untuk beberapa bilangan, bukan hanya dua. Untuk itu, bilangan-bilangan yang akan dicari pembagi persekutuan terbesarnya difaktorkan menjadi faktor-faktor prima, kemudian dicari hasil kali faktor-faktor persekutuannya. faktor prima angka-angka ini. Anda juga dapat menggunakan relasi berikut untuk mencari gcd dari beberapa angka: KPK(a, b, c) = KPK(PBB(a, b), c).

Hubungan serupa berlaku untuk kelipatan persekutuan terkecil: KPK(a, b, c) = KPK(KPK(a, b), c)

Contoh: tentukan KPK dan KPK untuk bilangan 12, 32 dan 36.

Pertama, mari kita faktorkan dulu bilangan-bilangannya: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
Mari kita cari faktor persekutuannya: 1, 2 dan 2.
Hasil kali mereka akan menghasilkan GCD: 1·2·2 = 4
Sekarang mari kita cari KPKnya: untuk melakukannya, cari dulu KPKnya(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
Untuk mencari KPK ketiga bilangan tersebut, carilah KPK(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , KPK = 1·2· 2 3 = 12.
KPK(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

Salah satu tugas yang menjadi kendala bagi anak sekolah modern yang terbiasa menggunakan kalkulator yang terpasang pada gadget baik secara tepat maupun tidak tepat adalah mencari pembagi persekutuan terbesar (PBB) dari dua bilangan atau lebih.

Tidak ada yang bisa diselesaikan masalah matematika, jika tidak diketahui apa yang sebenarnya mereka tanyakan. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengetahui apa arti ungkapan ini atau itu., digunakan dalam matematika.

Perlu diketahui:

Jika angka tertentu dapat digunakan untuk menghitung berbagai item Misalnya sembilan tiang, enam belas rumah, maka itu wajar. Yang terkecil dari mereka akan menjadi satu.
Jika suatu bilangan asli dibagi dengan bilangan asli lainnya, maka bilangan yang lebih kecil dikatakan sebagai pembagi bilangan yang lebih besar.
Jika dua atau lebih nomor yang berbeda habis dibagi suatu bilangan tertentu tanpa sisa, maka dikatakan bahwa bilangan tersebut adalah pembagi persekutuannya (CD).
OD terbesar disebut pembagi persekutuan terbesar (GCD).
Dalam kasus seperti itu, ketika sebuah angka hanya memiliki dua pembagi alami(itu sendiri adalah satuan), disebut sederhana. Yang terkecil di antara bilangan tersebut adalah dua, dan merupakan satu-satunya bilangan genap dalam deretnya.
Jika dua bilangan mempunyai pembagi persekutuan maksimum satu, maka bilangan-bilangan tersebut relatif prima.
Bilangan yang mempunyai lebih dari dua pembagi disebut bilangan komposit.
Proses mencari semua faktor prima yang jika dikalikan akan menghasilkan hasil kali nilai awal dalam matematika disebut faktorisasi. Selain itu, faktor perluasan yang identik dapat muncul lebih dari satu kali.

Notasi berikut diterima dalam matematika:

Pembagi D (45) = (1;3;5;9;45).
OD (8;18) = (1;2).
KPK (8;18) = 2.

Berbagai cara untuk menemukan GCD

Cara termudah untuk menjawab pertanyaan tersebut adalah bagaimana menemukan gcd dalam hal bilangan yang lebih kecil merupakan pembagi dari bilangan yang lebih besar. Itu akan masuk kasus seperti itu pembagi persekutuan terbesar.

Misalnya KPK (15;45) = 15, KPK (48;24) = 24.

Namun kasus seperti itu dalam matematika sangat jarang terjadi, oleh karena itu untuk mencari GCD digunakan teknik yang lebih kompleks, meskipun tetap sangat disarankan untuk memeriksa opsi ini sebelum mulai bekerja.

Metode penguraian menjadi faktor-faktor sederhana

Jika Anda perlu mencari gcd dari dua atau lebih angka yang berbeda, cukup menguraikan masing-masing bilangan tersebut menjadi faktor-faktor sederhana, kemudian melakukan proses mengalikan bilangan-bilangan tersebut yang ada pada masing-masing bilangan tersebut.

Contoh 1

Mari kita lihat cara mencari GCD 36 dan 90:

36 = 1*2*2*3*3;
90 = 1*2*3*3*5;

KPK (36;90) = 1*2*3*3 = 18.

Sekarang mari kita lihat bagaimana menemukan hal yang sama V kasus tiga angka, mari kita ambil 54 sebagai contoh; 162; 42.

Kita sudah tahu cara menguraikan 36, mari kita cari tahu sisanya:

162 = 1*2*3*3*3*3;
42 = 1*2*3*7;

Jadi, gcd (36;162;42) = 1*2*3 = 6.

Perlu dicatat bahwa menulis unit dalam ekspansi sepenuhnya opsional.

Mari kita pertimbangkan suatu cara cara memfaktorkan menjadi faktor prima, untuk ini kita akan menuliskan nomor yang kita perlukan di sebelah kiri, dan di sebelah kanan kita akan menulis faktor prima.

Kolom dapat dipisahkan menggunakan tanda pembagian atau garis vertikal sederhana.

36/2 kami akan melanjutkan proses pembagian kami;
18/2 lebih lanjut;
9/3 dan lagi;
3/3 sekarang cukup dasar;
1 - hasilnya sudah siap.

Diperlukan 36 = 2*2*3*3.

cara Euclidean

Pilihan ini telah dikenal umat manusia sejak saat itu peradaban Yunani kuno, ini lebih sederhana dalam banyak hal, dan dikaitkan dengan ahli matematika hebat Euclid, meskipun algoritma yang sangat mirip telah digunakan sebelumnya. Cara ini adalah dengan menggunakan algoritma berikut, kami berbagi jumlah yang lebih besar dengan sisanya lebih sedikit. Kemudian kita membagi pembagi kita dengan sisanya dan terus melakukan ini dalam lingkaran sampai terjadi pembagian sempurna. Nilai terakhir dan ternyata menjadi pembagi persekutuan terbesar yang diinginkan.

Berikut contoh penggunaannya dari algoritma ini :

Mari kita coba mencari tahu apa yang dimiliki GCD 816 dan 252:

816/252 = 3 dan sisanya 60. Sekarang kita bagi 252 dengan 60;
252/60 = 4 sisanya kali ini menjadi 12. Mari kita lanjutkan proses melingkar kita, bagi enam puluh dengan dua belas;
60/12 = 5. Karena kali ini kita tidak mendapat sisa apapun, kita sudah mendapatkan hasil yang siap, dua belas adalah nilai yang kita cari.

Jadi, di akhir proses kami kami mendapat gcd (816;252) = 12.

Tindakan jika perlu untuk menentukan GCD jika lebih dari dua nilai ditentukan

Kita sudah mengetahui apa yang harus dilakukan jika ada dua bilangan berbeda, sekarang kita akan belajar bagaimana bertindak jika ada 3 atau lebih.

Terlepas dari semua kerumitan yang tampak, tugas ini tidak akan lagi menimbulkan masalah bagi kita. Sekarang kita pilih dua angka mana saja dan tentukan nilai yang kita cari. Langkah selanjutnya adalah mencari gcd dari hasil yang diperoleh dan sepertiga dari menetapkan nilai. Kemudian kita kembali bertindak sesuai dengan prinsip yang sudah kita ketahui untuk keempat, kelima, dan seterusnya.

Kesimpulan

Jadi, meskipun tugas yang awalnya diberikan kepada kita tampak sangat rumit, sebenarnya semuanya sederhana, yang penting bisa melakukan proses pembagian secara akurat dan patuhi salah satu dari dua algoritme yang dijelaskan di atas.

Meskipun kedua metode tersebut cukup dapat diterima, di sekolah Menengah metode pertama lebih sering digunakan. Hal ini disebabkan karena faktorisasi menjadi faktor prima akan diperlukan pada pembelajaran berikut ini topik pendidikan- penentuan kelipatan persekutuan terbesar (KPK). Namun perlu dicatat sekali lagi bahwa penggunaan algoritma Euclidean sama sekali tidak dapat dianggap salah.

Video

Dengan video ini Anda dapat mempelajari cara mencari pembagi persekutuan terbesar.

Tidak mendapatkan jawaban atas pertanyaan Anda? Sarankan topik kepada penulis.

Artikel ini dikhususkan untuk masalah menemukan pembagi persekutuan terbesar. Pertama kita akan menjelaskan apa itu bilangan bulat dan memberikan beberapa contoh, memperkenalkan definisi pembagi persekutuan terbesar dari 2, 3 bilangan atau lebih, dan kemudian kita fokus pada sifat umum konsep ini dan kami akan membuktikannya.

Yandex.RTB RA-339285-1

Apa yang dimaksud dengan pembagi persekutuan

Untuk memahami apa itu pembagi persekutuan terbesar, pertama-tama kita rumuskan apa itu pembagi persekutuan bilangan bulat pada umumnya.

Pada artikel tentang kelipatan dan pembagi, kita telah mengatakan bahwa bilangan bulat selalu memiliki beberapa pembagi. Di sini kita tertarik pada pembagi sejumlah bilangan bulat tertentu sekaligus, terutama yang persekutuan (identik) untuk semua. Mari kita tuliskan definisi dasarnya.

Definisi 1

Pembagi persekutuan beberapa bilangan bulat adalah bilangan yang dapat menjadi pembagi setiap bilangan dari himpunan tertentu.

Contoh 1

Berikut contoh pembagi tersebut: tiga adalah pembagi persekutuan untuk bilangan - 12 dan 9, karena persamaan 9 = 3 · 3 dan − 12 = 3 · (− 4) benar. Bilangan 3 dan - 12 mempunyai faktor persekutuan lainnya, seperti 1, − 1 dan − 3. Mari kita ambil contoh lain. Empat bilangan bulat 3, − 11, − 8 dan 19 mempunyai dua faktor persekutuan: 1 dan - 1.

Mengetahui sifat-sifat pembagian, kita dapat mengatakan bahwa bilangan bulat apa pun dapat dibagi dengan satu dan dikurangi satu, yang berarti bahwa himpunan bilangan bulat mana pun sudah memiliki setidaknya dua pembagi yang sama.

Perhatikan juga bahwa jika kita mempunyai pembagi persekutuan b untuk beberapa bilangan, maka bilangan yang sama dapat dibagi nomor berlawanan, yaitu, pada - b. Pada prinsipnya kita hanya boleh mengambil pembagi positif saja, maka semua pembagi persekutuannya juga akan lebih besar dari 0. Pendekatan ini juga dapat digunakan, namun diabaikan sama sekali angka negatif tidak seharusnya.

Berapakah pembagi persekutuan terbesar (PBT)

Menurut sifat-sifat pembagian, jika b adalah pembagi bilangan bulat a yang tidak sama dengan 0, maka modulus b tidak boleh lebih besar dari modulus a, oleh karena itu, bilangan apa pun yang tidak sama dengan 0 mempunyai nomor akhir jangka pembagi garis. Ini berarti bahwa jumlah pembagi persekutuan dari beberapa bilangan bulat, setidaknya satu di antaranya berbeda dari nol, juga akan berhingga, dan dari seluruh himpunannya kita selalu dapat memilih yang paling banyak. jumlah besar(sebelumnya kita telah membahas tentang konsep bilangan bulat terbesar dan terkecil, kami menyarankan Anda untuk mengulangi materi ini).

Dalam pembahasan selanjutnya kita akan berasumsi bahwa setidaknya salah satu himpunan bilangan yang perlu kita cari pembagi persekutuan terbesarnya akan berbeda dari 0. Jika semuanya sama dengan 0, maka pembaginya dapat berupa bilangan bulat apa pun, dan karena jumlahnya tak terhingga, kita tidak dapat memilih bilangan terbesar. Dengan kata lain, tidak mungkin mencari pembagi persekutuan terbesar untuk himpunan bilangan yang sama dengan 0.

Mari kita beralih ke rumusan definisi utama.

Definisi 2

Pembagi persekutuan terbesar dari beberapa bilangan adalah bilangan bulat terbesar yang membagi semua bilangan tersebut.

Secara tertulis, pembagi persekutuan terbesar paling sering dilambangkan dengan singkatan GCD. Untuk dua bilangan dapat ditulis gcd (a, b).

Contoh 2

Apa contoh gcd untuk dua bilangan bulat? Misalnya, untuk 6 dan - 15 akan menjadi 3. Mari kita benarkan hal ini. Pertama, kita tuliskan semua pembagi enam: ± 6, ± 3, ± 1, lalu semua pembagi lima belas: ± 15, ± 5, ± 3, dan ± 1. Setelah itu, kita pilih yang umum: yaitu − 3, − 1, 1 dan 3. Dari jumlah tersebut, Anda harus memilih angka terbesar. Ini akan menjadi 3.

Untuk tiga bilangan atau lebih, penentuan pembagi persekutuan terbesarnya hampir sama.

Definisi 3

Pembagi persekutuan terbesar dari tiga bilangan atau lebih adalah bilangan bulat terbesar yang dapat membagi semua bilangan tersebut sekaligus.

Untuk bilangan a 1, a 2, …, an, pembaginya mudah dilambangkan sebagai GCD (a 1, a 2, …, an). Nilai pembaginya sendiri dituliskan FPB (a 1, a 2, ..., a n) = b.

Contoh 3

Berikut contoh pembagi persekutuan terbesar dari beberapa bilangan bulat: 12, - 8, 52, 16. Sama dengan empat, artinya kita dapat menulis KPK (12, - 8, 52, 16) = 4.

Anda dapat memeriksa kebenaran pernyataan ini dengan menuliskan semua pembagi bilangan-bilangan tersebut dan kemudian memilih yang terbesar.

Dalam praktiknya, sering kali pembagi persekutuan terbesar sama dengan salah satu bilangan tersebut. Ini terjadi ketika nomor yang diberikan Anda dapat membagi semua angka lainnya (di paragraf pertama artikel kami memberikan bukti pernyataan ini).

Contoh 4

Jadi, pembagi persekutuan terbesar dari bilangan 60, 15 dan - 45 adalah 15, karena lima belas tidak hanya habis dibagi 60 dan - 45, tetapi juga oleh dirinya sendiri, dan tidak ada pembagi yang lebih besar untuk semua bilangan tersebut.

Sebuah kasus khusus dibentuk bersama bilangan prima. Mereka adalah bilangan bulat dengan pembagi persekutuan terbesar 1.

Sifat dasar algoritma GCD dan Euclidean

Pembagi persekutuan terbesar mempunyai beberapa sifat karakteristik. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorema dan buktikan masing-masing.

Perhatikan bahwa properti ini diformulasikan untuk bilangan bulat lebih besar dari nol, dan kami hanya akan mempertimbangkan pembagi positif.

Definisi 4

Bilangan a dan b mempunyai pembagi persekutuan terbesar sama dengan gcd untuk b dan a, yaitu gcd (a, b) = gcd (b, a). Membalikkan angka tidak mempengaruhi hasil akhir.

Properti ini mengikuti definisi GCD dan tidak memerlukan pembuktian.

Definisi 5

Jika bilangan a dapat dibagi dengan bilangan b, maka himpunan pembagi persekutuan kedua bilangan tersebut akan sama dengan himpunan pembagi bilangan b, yaitu gcd (a, b) = b.

Mari kita buktikan pernyataan ini.

Bukti 1

Jika bilangan a dan b mempunyai pembagi yang sama, maka salah satu dari keduanya dapat habis dibagi. Pada saat yang sama, jika a adalah kelipatan b, maka setiap pembagi b juga akan menjadi pembagi a, karena sifat dapat dibagi memiliki sifat transitivitas. Artinya, setiap pembagi b akan sama dengan bilangan a dan b. Hal ini membuktikan bahwa jika a dapat dibagi dengan b, maka himpunan semua pembagi kedua bilangan tersebut akan berimpit dengan himpunan pembagi salah satu bilangan b. Dan karena pembagi terbesar suatu bilangan adalah bilangan itu sendiri, maka pembagi persekutuan terbesar dari bilangan a dan b juga akan sama dengan b, yaitu. KPK (sebuah , b) = b . Jika a = b, maka gcd (a, b) = gcd (a, a) = gcd (b, b) = a = b, misalnya gcd (132, 132) = 132.

Dengan menggunakan sifat ini, kita dapat mencari pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan jika salah satu bilangan tersebut dapat dibagi dengan bilangan lainnya. Pembagi ini sama dengan salah satu dari dua bilangan yang dapat membagi bilangan kedua. Misalnya gcd (8, 24) = 8, karena 24 adalah kelipatan delapan.

Definisi 6 Bukti 2

Mari kita coba buktikan sifat ini. Awalnya kita mempunyai persamaan a = b q + c, dan setiap pembagi persekutuan dari a dan b juga akan membagi c, yang dijelaskan properti yang sesuai dapat dibagi. Oleh karena itu, setiap pembagi persekutuan b dan c akan membagi a. Artinya himpunan pembagi persekutuan a dan b akan berimpit dengan himpunan pembagi b dan c, termasuk pembagi terbesarnya, yang berarti persamaan gcd (a, b) = gcd (b, c) benar.

Definisi 7

Properti berikut ini disebut algoritma Euclidean. Dengan bantuannya, Anda dapat menghitung pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan, serta membuktikan sifat-sifat GCD lainnya.

Sebelum merumuskan sifat, kami menyarankan Anda untuk mengulangi teorema yang telah kami buktikan di artikel tentang pembagian dengan sisa. Berdasarkan persamaan tersebut, bilangan habis dibagi a dapat direpresentasikan sebagai b · q + r, dengan b sebagai pembagi, q sebagai bilangan bulat (disebut juga hasil bagi tidak lengkap), dan r sebagai sisa yang memenuhi syarat 0 ≤ r ≤ B.

Katakanlah kita memiliki dua bilangan bulat yang lebih besar dari 0, yang persamaan berikut ini benar:

a = bq 1 + r 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

Persamaan ini berakhir ketika r k + 1 sama dengan 0. Hal ini pasti akan terjadi, karena barisan b > r 1 > r 2 > r 3, ... adalah barisan bilangan bulat menurun, yang hanya dapat memuat sejumlah bilangan berhingga. Artinya r k adalah pembagi persekutuan terbesar dari a dan b, yaitu r k = gcd (a, b).

Pertama-tama, kita perlu membuktikan bahwa r k adalah pembagi persekutuan dari bilangan a dan b, dan setelah itu, r k bukan sekedar pembagi, melainkan pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan tertentu.

Mari kita lihat daftar persamaan di atas, dari bawah ke atas. Menurut persamaan terakhir,
rk − 1 dapat dibagi dengan rk . Berdasarkan fakta ini, serta sifat pembagi persekutuan terbesar yang telah dibuktikan sebelumnya, dapat dikatakan bahwa r k − 2 dapat dibagi dengan r k , karena
r k − 1 dibagi r k dan r k dibagi r k .

Persamaan ketiga dari bawah memungkinkan kita menyimpulkan bahwa r k − 3 dapat dibagi dengan r k , dst. Yang kedua dari bawah adalah b habis dibagi rk , dan yang pertama a habis dibagi rk . Dari semua ini kita menyimpulkan bahwa r k adalah pembagi persekutuan dari a dan b.

Sekarang mari kita buktikan bahwa rk = GCD (a , b) . Apa yang perlu dilakukan untuk ini? Tunjukkan bahwa setiap pembagi persekutuan dari a dan b akan membagi r k. Mari kita nyatakan r 0 .

Mari kita lihat daftar persamaan yang sama, tetapi dari atas ke bawah. Berdasarkan sifat sebelumnya, kita dapat menyimpulkan bahwa r 1 habis dibagi r 0, artinya menurut persamaan kedua, r 2 habis dibagi r 0. Kita turunkan semua persamaan dan dari persamaan terakhir kita simpulkan bahwa r k habis dibagi r 0 . Oleh karena itu, rk = gcd (a , b) .

Setelah mempertimbangkan sifat ini, kita menyimpulkan bahwa himpunan pembagi persekutuan a dan b serupa dengan himpunan pembagi GCD dari bilangan-bilangan tersebut. Pernyataan ini, yang merupakan konsekuensi dari algoritma Euclidean, akan memungkinkan kita menghitung semua pembagi persekutuan dari dua bilangan tertentu.

Mari beralih ke properti lainnya.

Definisi 8

Jika a dan b adalah bilangan bulat tidak sama dengan 0, maka harus ada dua bilangan bulat lain u 0 dan v 0 yang persamaan FPB (a, b) = a · u 0 + b · v 0 valid.

Persamaan yang diberikan dalam pernyataan properti adalah representasi linier dari pembagi persekutuan terbesar a dan b. Ini disebut relasi Bezout, dan bilangan u 0 dan v 0 disebut koefisien Bezout.

Bukti 3

Mari kita buktikan sifat ini. Mari kita tuliskan barisan persamaan menggunakan algoritma Euclidean:

Persamaan pertama menyatakan bahwa r 1 = a − b · q 1 . Mari kita nyatakan 1 = s 1 dan − q 1 = t 1 dan tulis ulang persamaan ini dalam bentuk r 1 = s 1 · a + t 1 · b. Di sini bilangan s 1 dan t 1 adalah bilangan bulat. Persamaan kedua memungkinkan kita menyimpulkan bahwa r 2 = b − r 1 · q 2 = b − (s 1 · a + t 1 · b) · q 2 = − s 1 · q 2 · a + (1 − t 1 · q 2) b . Mari kita nyatakan − s 1 · q 2 = s 2 dan 1 − t 1 · q 2 = t 2 dan tulis ulang persamaannya menjadi r 2 = s 2 · a + t 2 · b, di mana s 2 dan t 2 juga akan menjadi bilangan bulat. Hal ini karena jumlah bilangan bulat, hasil kali dan selisihnya juga merupakan bilangan bulat. Dengan cara yang persis sama kita memperoleh persamaan ketiga r 3 = s 3 · a + t 3 · b, dari persamaan berikutnya r 4 = s 4 · a + t 4 · b, dst. Pada akhirnya kita menyimpulkan bahwa rk = s k · a + t k · b untuk bilangan bulat s k dan t k . Karena r k = GCD (a, b), kita menyatakan s k = u 0 dan t k = v 0. Hasilnya, kita dapat memperoleh representasi linier dari GCD dalam bentuk yang diperlukan: GCD (a, b) = a · u 0 + b · v 0.

Definisi 9

GCD (ma, m b) = m GCD (a, b) untuk sembarang nilai alami M.

Bukti 4

Properti ini dapat dibenarkan sebagai berikut. Mari kita kalikan kedua ruas setiap persamaan dalam algoritma Euclidean dengan bilangan m dan dapatkan FPB (m · a, m · b) = m · r k, dan r k adalah GCD (a, b). Artinya gcd (ma, m b) = m gcd (a, b). Sifat pembagi persekutuan terbesar inilah yang digunakan saat mencari GCD menggunakan metode faktorisasi.

Definisi 10

Jika bilangan a dan b mempunyai pembagi persekutuan p, maka gcd (a: p, b: p) = gcd (a, b): p. Dalam hal p = GCD (a, b) kita memperoleh GCD (a: GCD (a, b), b: GCD (a, b) = 1, maka bilangan a: GCD (a, b) dan b : GCD (a , b) relatif prima.

Karena a = p (a: p) dan b = p (b: p), maka berdasarkan sifat sebelumnya, kita dapat membuat persamaan berbentuk gcd (a, b) = gcd (p (a: p), p · (b: p)) = p · GCD (a: p , b: p) , di antaranya pembuktiannya adalah dari properti ini. Kami menggunakan pernyataan ini ketika kami memberi pecahan biasa Ke bentuk yang tidak dapat direduksi.

Definisi 11

Pembagi persekutuan terbesar dari a 1, a 2, …, a k adalah bilangan d k, yang dapat dicari dengan menghitung GCD (a 1, a 2) = d 2, GCD (d 2, a 3) = d 3 secara berurutan , KPK (d 3 , a 4) = d 4 , … , KPK (d k - 1 , a k) = d k .

Properti ini berguna ketika mencari pembagi persekutuan terbesar dari tiga bilangan atau lebih. Dengan menggunakannya, Anda dapat mengurangi tindakan ini menjadi operasi dengan dua angka. Basisnya adalah akibat wajar dari algoritma Euclidean: jika himpunan pembagi persekutuan a 1, a 2 dan a 3 berimpit dengan himpunan d 2 dan a 3, maka himpunan tersebut juga berimpit dengan pembagi d 3. Pembagi bilangan a 1, a 2, a 3 dan a 4 bertepatan dengan pembagi d 3, artinya juga bertepatan dengan pembagi d 4, dst. Pada akhirnya, kita mendapatkan bahwa pembagi persekutuan dari bilangan a 1, a 2, ..., a k akan bertepatan dengan pembagi d k, dan karena pembagi terbesar dari bilangan d k adalah bilangan itu sendiri, maka GCD (a 1, a 2, ..., ak) = dk.

Itu saja yang ingin kami sampaikan kepada Anda tentang sifat-sifat pembagi persekutuan terbesar.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Namun banyak pula bilangan asli yang habis dibagi bilangan asli lainnya.

Misalnya:

Bilangan 12 habis dibagi 1, 2, 3, 4, 6, 12;

Bilangan 36 habis dibagi 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Bilangan-bilangan yang habis dibagi seluruhnya (untuk 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12) disebut pembagi angka. Pembagi bilangan asli A- adalah bilangan asli yang membagi bilangan tertentu A tanpa jejak. Bilangan asli yang mempunyai lebih dari dua pembagi disebut gabungan. Perlu diketahui bahwa angka 12 dan 36 mempunyai faktor persekutuan. Bilangan-bilangan tersebut adalah: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Pembagi terbesar bilangan-bilangan tersebut adalah 12.

Pembagi persekutuan dari dua bilangan tertentu A Dan B- ini adalah bilangan yang membagi kedua bilangan tersebut tanpa sisa A Dan B. Pembagi persekutuan beberapa bilangan (GCD) adalah bilangan yang berfungsi sebagai pembagi masing-masing bilangan tersebut.

Secara singkat pembagi persekutuan terbesar dari suatu bilangan A Dan B tulis seperti ini:

Contoh: KPK (12; 36) = 12.

Pembagi angka dalam notasi solusi menunjukkan huruf kapital"D".

Contoh:

KPK (7; 9) = 1

Angka 7 dan 9 hanya memiliki satu pembagi yang sama - angka 1. Angka seperti itu disebut saling primachi slami.

bilangan koprima- ini adalah bilangan asli yang hanya memiliki satu pembagi persekutuan - bilangan 1. KPKnya adalah 1.

Pembagi persekutuan terbesar (GCD), properti.

Properti dasar: pembagi persekutuan terbesar M Dan N habis dibagi oleh pembagi persekutuan apa pun dari bilangan-bilangan tersebut. Contoh: Untuk bilangan 12 dan 18, pembagi persekutuan terbesarnya adalah 6; habis dibagi semua pembagi persekutuan dari bilangan-bilangan berikut: 1, 2, 3, 6.
Akibat wajar 1: himpunan pembagi persekutuan M Dan N bertepatan dengan himpunan pembagi GCD( M, N).
Akibat wajar 2: himpunan kelipatan persekutuan M Dan N bertepatan dengan himpunan beberapa KPK ( M, N).

Artinya, khususnya, untuk mereduksi suatu pecahan menjadi bentuk yang tidak dapat direduksi, Anda perlu membagi pembilang dan penyebutnya dengan gcdnya.

Pembagi bilangan persekutuan terbesar M Dan N dapat didefinisikan sebagai yang terkecil elemen positif himpunan semua kombinasi liniernya:

dan karena itu merepresentasikannya sebagai kombinasi angka linier M Dan N:

Rasio ini disebut hubungan Bezout, dan koefisiennya kamu Dan ay — Koefisien Bezout. Koefisien Bezout dihitung secara efisien dengan algoritma Euclidean yang diperluas. Pernyataan ini digeneralisasikan ke himpunan bilangan asli - artinya subgrup dari grup yang dihasilkan oleh himpunan tersebut bersifat siklik dan dihasilkan oleh satu elemen: GCD ( A 1 , A 2 , … , sebuah).

Hitung pembagi persekutuan terbesar (PBB).

Cara efisien untuk menghitung gcd dua angka adalah Algoritma Euclidean Dan bineralgoritma. Selain itu, nilai gcd ( M,N) dapat dengan mudah dihitung jika Anda mengetahuinya perluasan kanonik angka M Dan N menjadi faktor prima:

dimana adalah bilangan prima yang berbeda, dan dan merupakan bilangan bulat non-negatif (dapat bernilai nol jika bilangan prima yang bersesuaian tidak termasuk dalam pemuaian). Kemudian GCD ( M,N) dan NOC ( M,N) dinyatakan dengan rumus:

Jika ada lebih dari dua angka: , gcdnya ditemukan oleh ke algoritma berikut:

- ini adalah GCD yang diinginkan.

Juga, untuk menemukannya pembagi persekutuan terbesar, Anda dapat memfaktorkan setiap bilangan yang diberikan menjadi faktor prima. Kemudian tuliskan secara terpisah hanya faktor-faktor yang termasuk dalam semuanya nomor yang diberikan. Kemudian kita mengalikan angka-angka yang tertulis - hasil perkaliannya adalah pembagi persekutuan terbesar .

Mari kita lihat perhitungan pembagi persekutuan terbesar langkah demi langkah:

1. Uraikan pembagi bilangan menjadi faktor prima:

Lebih mudah untuk menulis perhitungan menggunakan garis vertikal. Di sebelah kiri garis pertama-tama kita tuliskan pembaginya, di sebelah kanan - pembaginya. Selanjutnya, di kolom kiri kita menuliskan nilai hasil bagi. Mari kita jelaskan langsung dengan sebuah contoh. Mari kita faktorkan bilangan 28 dan 64 menjadi faktor prima.