Kokia yra skaičiaus dispersija 5. Atsitiktinio dydžio sklaida

Tai yra skirtumas matematinis lūkestis atsitiktinio dydžio kvadratas ir jo lūkesčių kvadratas.

D(X)=M(X^2)-M^2(X)

Dispersija apibūdina atsitiktinio dydžio reikšmės sklaidos laipsnį, palyginti su jo numatoma verte. Jei visos reikšmės yra glaudžiai susitelkusios aplink jo numatomą vertę ir nuokrypis nuo laukiamos vertės yra didesnis, tai toks atsitiktinis kintamasis turi nedidelę dispersiją, o jei jis yra išsklaidytas ir didelių nukrypimų nuo M tikimybė yra didelė, tada atsitiktinė reikšmė turi didelę sklaidą.

Savybės:

1. Dispersija nuolat lygi 0 D(C)=0

2. Atsitiktinio dydžio sandaugos dispersija pagal konstantą C yra lygi atsitiktinio dydžio X sklaidos konstantos D(CX)=C^2D(X) kvadratui.

3. Jei reikšmės X ir Y yra nepriklausomos, jų sumos (skirtumo) dispersija yra lygi dispersijų sumai

D(X Y)=D(X)+D(Y)

4. Atvejų reikšmių sklaida nepasikeis, jei prie jos bus pridėta konstanta

Teorema:

Įvykių A atvejų skaičiaus sklaida n nepriklausomi testai kurių kiekvienoje įvykių pasireiškimo tikimybė yra pastovi ir lygi p, lygi bandymų skaičiaus sandaugai iš įvykio tikimybės ir tikimybės, kad įvykiai neatsiras viename bandyme

Standartinis nuokrypis.

Vadinamas atsitiktinio dydžio X vidutinis kvadratinis nuokrypis aritmetinė šaknis dispersijos

Nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai. Tikimybių skirstinio funkcija ir jos savybės.

Vadinamas atsitiktinis dydis, kurio reikšmė užpildo tam tikrą intervalą tęstinis.

Intervalai gali būti baigtiniai, pusiau begaliniai arba begaliniai.

Paskirstymo funkcija Šv.

DSV nurodymo metodai netaikomi nuolatiniam. Šiuo atžvilgiu įvedama tikimybių pasiskirstymo funkcijos sąvoka.

Paskirstymo funkcija yra funkcija F(x), kuri kiekvienai reikšmei x nustato tikimybę, kad reikšmės X atvejis įgis mažesnę nei x reikšmę, t.y.

Funkcija DSV platinimai nustatoma reikšmė (x1,x2,x3) su tikimybe (p1,p2,p3)

Taigi, pavyzdžiui, paskirstymo funkcija binominis skirstinys nustatoma pagal formulę:

Atsitiktinis kintamasis vadinama tolydine, jei jos skirstinio funkcija yra tolydi, dalinai diferencijuojama funkcija su tolydine išvestine.

Savybės:

1.funkcijos reikšmė priklauso

2. pasiskirstymo funkcija yra nemažėjanti funkcija F(x2)

3. Tikimybė, kad atsitiktinis dydis X įgis reikšmę, esančią intervale (α,β), yra lygi skirstinio funkcijos prieaugiui šiame intervale P(α

Pasekmė. Tikimybė, kad atvejis įgis vieną reikšmę, yra 0.

4. Jei visos galimos reikšmės X reikšmės priklauso (a,b), tada F(x)=0 x a ir F(x)=1 x b

5. Tikimybė, kad reikšmės X atvejis įgis didesnę už x reikšmę, yra lygi skirtumui tarp vieneto ir skirstinio funkcijos

Naujų žinių, įgūdžių ir gebėjimų perdavimo ir įsisavinimo pamoka.

Tema: dispersija. Jo savybės.

Pamokos tikslai:

• Kognityviniai: 1) tam tikros matematinių žinių, gebėjimų, įgūdžių sistemos perdavimas mokiniams; 2) mokinių įgūdžių ugdymas
  spręsti pagrindinius tikimybių teorijos uždavinių tipus ir pritaikyti teoriją konkrečiose skirtingose ​​situacijose; 3) idėjų apie aukštosios matematikos idėjas ir metodus formavimas; 4) mokinių ugdomosios ir pažintinės veiklos metodų formavimas remiantis aukštosios matematikos akademinio dalyko medžiaga.
• Lavinamieji: 1) mąstymo ugdymas; 2) atminties ugdymas; 3) kūrybinės veiklos elementų, kaip mąstymo savybių, ugdymas; 4) kalbos ugdymas, kurį sudaro matematinės terminijos įsisavinimas, taip pat apibrėžimų, sąvokų konstravimo ir darbo su jais metodai.
• Ugdomasis: 1) skiepyti mokiniams meilę pasirinktai profesijai ir šiam dalykui.

Užduotis: nustatyti atsitiktinio dydžio dispersijos savybes ir išvesti jo skaičiavimo formulę.

Pamokos eiga.

1. Organizacinis momentas.
2. Kartoti seną ir mokytis naujos medžiagos.
3. Naujos medžiagos konsolidavimas.
4. Namų darbai.

1. Pamokoje dalyvaujančių mokinių patikrinimas.

2. Matematika yra visų mokslų karalienė!
Laivai negali skristi be jo,
Be jos negalite padalyti akro žemės,
Jūs net negalite nusipirkti duonos, negalite suskaičiuoti rublio,
Ko nesužinosite, o kai sužinosite, nesuprasite!

Mokytojas: „Taigi, matematinis lūkestis nevisiškai apibūdina atsitiktinį kintamąjį“

1 mokinys: „O, kaip aš toks pasipūtęs.

Studentas 2: „Taip, tu teisus, tu sakai tiesą“.

1 mokinys: „Bet kas staiga mane pakeis, nes visiems reikia mano formulės“.

Studentas 2: „Taip, pirmiausia prisimink viską sau“.

Studentas 1: „Jokių problemų, šios formulės žinomos visiems. Ir jei reikšmių rinkinys yra begalinis, tada lūkesčiai randami kaip serija arba, tiksliau, jos suma:

Ir jei kiekis staiga yra nenutrūkstamas, mes turime teisę apsvarstyti ribinį atvejį ir galiausiai gauname štai ką:

2 studentas: „Bet visa tai juokinga, nes nėra jokių lūkesčių. Jo nebėra!"

1 mokinys: „Ne, lūkestis egzistuoja, kai ir integralas, ir suma yra absoliučiai konverguojantys“.

2 studentas: „Ir aš sakau vieną dalyką: mums nereikia laukti“.

1 studentas: „O kaip tai gali būti? Taip, tai paprasta."

Mokytojas: „Sustok, sustok, baigkime ginčą. Paimkite rašiklį ir sąsiuvinį, o kelyje išspręsime ginčą. Tačiau prieš pradėdami prisiminkime tik vieną dalyką, kam yra lygus nukrypimas nuo matematinio lūkesčio.

3 mokinys: „O, aš tai prisimenu“.

Mokytojas: „Prašau, čia yra kreida, lenta“.

4 mokinys: „Skirtumas X – M(X) vadinamas atsitiktinio dydžio X nuokrypiu nuo jo matematinio lūkesčio M(X). Nuokrypis yra atsitiktinis dydis. Kadangi matematinis atsitiktinio kintamojo lūkestis yra pastovus dydis, o matematinis konstantos lūkestis yra lygus šiam

konstanta, tada M(X – M(X)) = M(X) – M(M(X)) = M (X) – M(X) = 0. t, e, M(X – M(X) ) =0."

Mokytojas: „Taip, viskas teisinga, bet draugai, tai negali būti vertinama kaip atsitiktinio dydžio nuokrypio nuo jo matematinės vertės sklaidos matas. Ir iš to išplaukia, kad atsižvelgiama į modulius arba kvadratinius nuokrypius. Dabar įsiklausykite į apibrėžimą: atsitiktinio dydžio X – dispersija arba sklaida – yra matematinis jo nuokrypio kvadrato lūkestis. Jis žymimas kaip D(X), o formulė atrodo taip: D(X) = М((Х – М(Х)) 2). (1) Dabar nustatykime, kokį ženklą skirsime kiekiui?

5 mokinys: „Iš matematinio lūkesčio savybių ir apibrėžimo galime gauti tik vieną dalyką, kad kaip dydis, dispersija yra neneigiama D(X) > 0“ (2).

Mokytojas: „Atsižvelgdami į lygybę vienas, gauname dispersijos nustatymo formulę: D(X) = M(X 2) – (M(X)) 2. Ką galbūt kas nors įrodys“.

6 mokinys: „Leisk man pabandyti. D(X)=M((X – M(X)) 2) = M(X2 – 2ХМ(Х)+(М(Х)) 2)= М(Х 2) – 2М(ХМ(Х)+ M((M(X)) 2)=M(X 2) – 2M(X)M(X)+(M(X)) 2 =M(X 2) – (M(X)) 2 "( 3) )

Mokytojas: „Panagrinėkime atsitiktinio dydžio savybes:

1. Dispersija C – kaip pastovi reikšmė lygi nuliui: D(C) - 0 (C – const). (4)

2. Pastovųjį koeficientą galima paimti iš dispersijos ženklo, padalijus jį kvadratu: D(CX)=C 2 D(X). (5)

3. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos dispersija lygi jų dispersijų sumai: D(X+Y) = D(X) + D(Y). (6)

4. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių skirtumo dispersija lygi jų dispersijų sumai: D(X – Y) = D(X) + D(Y). (7)

Įrodykime šias savybes atsižvelgdami į lūkesčių savybes:

D(C) = М((С – М(С)) 2) = М((С – С 2)) = М(0) = 0. Pirmoji savybė įrodyta, tai reiškia, kad pastovi reikšmė neturi išsklaidymas, nes turi tą pačią reikšmę.

Dabar įrodykime antrąją savybę: D(CX) – М((СХ – М(СХ)) 2) = М((СХ)

CM(X)) 2) = M(C 2 (X – M(X)) 2) = C 2 M((X – M(X)) 2) = C 2 D(X).

Norėdami įrodyti trečiąją savybę, naudojame trečiąją formulę:

D(X+Y) = M((X+Y) 2) – (M(X+Y)) 2 = M(X2 +2XY+Y 2) – (M(X)+M(Y)) 2 = M(X 2)+M(2XY)+M(Y 2) – ((M(X)) 2 + 2M(X) M(Y)+(M(Y)) 2) = M(X 2) +2M(X)M(Y)+M(Y 2) – (M(X)) 2 – 2M(X)M(Y) – (M(Y)) 2 = M(X 2) – (M( X)) 2 +M(Y 2) – (M(Y)) 2 = D(X) – D(Y).

Trečioji savybė taikoma bet kokiam porų nepriklausomų atsitiktinių dydžių skaičiui.

Ketvirtosios savybės įrodymas išplaukia iš (5) ir (6) formulių.

D(X – Y) = D(X +(- Y)) – D(X) +D(- Y)=D(X)+(-l) 2 D(Y) = D(X)+D( Y).

Jeigu atsitiktinis dydis X yra diskretusis ir jo pasiskirstymo dėsnis pateiktas P(X=x k) = p k (k= 1,2,3,n).

Taigi atsitiktinis dydis (X - M(X)) 2 turi tokį pasiskirstymo dėsnį: (k=1,2,3,n), =l.

Remdamiesi matematinio lūkesčio apibrėžimu, gauname formulę

Ištisinio atsitiktinio dydžio X, kurio visos galimos reikšmės priklauso segmentui [a, b], dispersija nustatoma pagal formulę:

D(X)=(x-M(X)) 2 p(x)dx (8)

čia р(х) yra šio dydžio pasiskirstymo tankis. Dispersiją galima apskaičiuoti naudojant formulę:

Mokiniams, turintiems pažymius „4“ ir „5“, formulę (9) būtina įrodyti namuose.

3. Naujos medžiagos konsolidavimas bandomojo darbo forma.

1) Bandomasis darbas tema „Dispersija ir jos savybės“.

1. Tęskite apibrėžimą: dispersija yra.

2. Pasirinkite tinkamą formulę dispersijai apskaičiuoti:

a) D(X)=D(X) 2 – (D(X)) 2;
b) D(X)=M(X – D(X 2));
c)D(X)=M((X-M(X))2);
d) D(X)=M(X)2 – (M(X))2;

Sklaida statistikoje randama kaip individualios charakteristikos reikšmės kvadratu nuo . Priklausomai nuo pradinių duomenų, jis nustatomas naudojant paprastas ir svertines dispersijos formules:

1. (nesugrupuotiems duomenims) apskaičiuojamas pagal formulę:

2. Svertinis dispersija (variacijų serijoms):

kur n yra dažnis (X faktoriaus pakartojamumas)

Dispersijos nustatymo pavyzdys

Šiame puslapyje aprašomas standartinis dispersijos nustatymo pavyzdys, taip pat galite peržiūrėti kitas jo nustatymo problemas

1 pavyzdys. Pateikiami duomenys apie 20 neakivaizdinių studentų grupę. Būtina sudaryti charakteristikos pasiskirstymo intervalų eilutę, apskaičiuoti vidutinę charakteristikos reikšmę ir ištirti jos sklaidą

Sukurkime intervalų grupavimą. Nustatykime intervalo diapazoną naudodami formulę:

čia X max yra didžiausia grupavimo charakteristikos vertė;
X min – minimali grupavimo charakteristikos reikšmė;
n – intervalų skaičius:

Priimame n=5. Žingsnis yra toks: h = (192 - 159) / 5 = 6,6

Sukurkime intervalų grupavimą

Tolesniems skaičiavimams sudarysime pagalbinę lentelę:

X'i yra intervalo vidurys. (pvz., intervalo vidurys 159 – 165,6 = 162,3)

Vidutinį mokinių ūgį nustatome naudodami svertinio aritmetinio vidurkio formulę:

Nustatykime dispersiją naudodami formulę:

Dispersijos formulę galima paversti taip:

Iš šios formulės išplaukia, kad dispersija yra lygi skirtumas tarp pasirinkimų kvadratų vidurkio ir kvadrato bei vidurkio.

Dispersija variacijų eilutėse vienodais intervalais, naudojant momentų metodą, galima apskaičiuoti taip, naudojant antrąją dispersijos savybę (visas parinktis padalijus iš intervalo reikšmės). Dispersijos nustatymas, apskaičiuotas naudojant momentų metodą, naudojant šią formulę, yra mažiau pastangų reikalaujanti:

kur i yra intervalo reikšmė;
A yra įprastas nulis, kuriam patogu naudoti didžiausio dažnio intervalo vidurį;
m1 yra pirmosios eilės momento kvadratas;
m2 - antros eilės momentas

(jei statistinėje visumoje charakteristika pasikeičia taip, kad yra tik du vienas kitą paneigiantys variantai, toks kintamumas vadinamas alternatyviu) gali būti apskaičiuojamas naudojant formulę:

Į šią dispersijos formulę pakeitę q = 1- p, gauname:

Dispersijos tipai

Bendra dispersija matuoja charakteristikos kitimą visoje populiacijoje kaip visumoje, veikiant visiems šį kitimą sukeliantiems veiksniams. Jis lygus atskirų charakteristikos x verčių nuokrypių nuo bendros vidutinės x vertės vidutiniam kvadratui ir gali būti apibrėžta kaip paprasta dispersija arba svertinė dispersija.

charakterizuoja atsitiktinę variaciją, t.y. svyravimų dalis, kuri atsiranda dėl neatsižvelgtų veiksnių įtakos ir nepriklauso nuo veiksnio-atributo, kuris sudaro grupės pagrindą. Tokia dispersija yra lygi atskirų X grupės požymio verčių nuokrypių nuo grupės aritmetinio vidurkio kvadratui ir gali būti apskaičiuojama kaip paprasta dispersija arba kaip svertinė dispersija.

Taigi, dispersijos rodikliai grupės viduje bruožo kitimas grupėje ir nustatomas pagal formulę:

kur xi yra grupės vidurkis;
ni yra vienetų skaičius grupėje.

Pavyzdžiui, grupės viduje skirtumai, kuriuos reikia nustatyti, tiriant darbuotojų kvalifikacijos įtaką darbo našumo lygiui dirbtuvėse, rodo kiekvienos grupės produkcijos svyravimus, kuriuos lemia visi galimi veiksniai (techninė įrangos būklė, prieinamumas). įrankiai ir medžiagos, darbuotojų amžius, darbo intensyvumas ir kt.), išskyrus kvalifikacinės kategorijos skirtumus (grupėje visi darbuotojai turi vienodą kvalifikaciją).

Grupės viduje esančių dispersijų vidurkis atspindi atsitiktinumą, t. y. tą kitimo dalį, kuri įvyko veikiant visiems kitiems veiksniams, išskyrus grupavimo veiksnį. Jis apskaičiuojamas pagal formulę:

Būdingas sisteminis gautos charakteristikos kitimas, atsirandantis dėl veiksnio-ženklo, sudarančio grupės pagrindą, įtakos. Jis lygus grupės vidurkių nuokrypių nuo bendrojo vidurkio vidutiniam kvadratui. Tarpgrupinė dispersija apskaičiuojama pagal formulę:

Statistikos dispersijos pridėjimo taisyklė

Pagal dispersijų pridėjimo taisyklė bendras dispersijos dydis yra lygus grupės viduje ir tarp grupių skirtumų vidurkio sumai:

Šios taisyklės prasmė yra ta, kad bendra dispersija, atsirandanti veikiant visiems veiksniams, yra lygi dispersijų, atsirandančių veikiant visiems kitiems veiksniams, ir dispersijos, atsirandančios dėl grupavimo veiksnio, sumai.

Naudodami dispersijų pridėjimo formulę, galite nustatyti trečią nežinomą dispersiją iš dviejų žinomų dispersijų, taip pat įvertinti grupavimo charakteristikos įtakos stiprumą.

Dispersijos savybės

1. Jei visos charakteristikos reikšmės sumažinamos (padidinamos) tuo pačiu pastoviu dydžiu, tada dispersija nepasikeis.
2. Jei visos charakteristikos reikšmės sumažinamos (padidinamos) tiek pat kartų n, tai dispersija atitinkamai sumažės (padidės) n^2 kartus.

Atsitiktinio dydžio X matematinė prognozė (vidutinė reikšmė), pateikta diskrečioje tikimybių erdvėje, yra skaičius m =M[X]=∑x i p i, jei eilutė absoliučiai suartėja.

Paslaugos paskirtis. Naudodamiesi internetine paslauga apskaičiuojama matematinė prognozė, dispersija ir standartinis nuokrypis(žr. pavyzdį). Be to, nubraižytas skirstinio funkcijos F(X) grafikas.

Atsitiktinio dydžio matematinio lūkesčio savybės

1. Matematinis pastovios reikšmės lūkestis lygus sau pačiam: M[C]=C, C – konstanta;
2. M=C M[X]
3. Atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai: M=M[X]+M[Y]
4. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai: M=M[X] M[Y] , jei X ir Y yra nepriklausomi.

Dispersijos savybės

1. Konstantos reikšmės dispersija lygi nuliui: D(c)=0.
2. Pastovų koeficientą galima ištraukti iš po dispersijos ženklo, padalijus jį kvadratu: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Jeigu atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi, tai sumos dispersija lygi dispersijų sumai: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Jei atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra priklausomi: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Sklaidai tinka ši skaičiavimo formulė:
   D(X) = M(X 2)-(M(X)) 2

Pavyzdys. Žinomi dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių X ir Y matematiniai lūkesčiai ir dispersijos: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Raskite atsitiktinio dydžio Z=9X-8Y+7 matematinę lūkestį ir dispersiją.
Sprendimas. Remiantis matematinio lūkesčio savybėmis: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Remiantis dispersijos savybėmis: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81 * 9 - 64 * 6 = 345

Matematinės lūkesčių skaičiavimo algoritmas

1. Poras dauginame po vieną: x i iš p i .
2. Sudėkite kiekvienos poros sandaugą x i p i .
   Pavyzdžiui, jei n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

1 pavyzdys.

2 pavyzdys. Diskretus atsitiktinis kintamasis turi tokią pasiskirstymo eilutę:

Sprendimas. A reikšmė randama iš santykio: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 arba 0,24 = 3 a , iš kur a = 0,08

3 pavyzdys. Nustatykite diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį, jei žinoma jo dispersija, ir x 1 x 1 = 6; x 2 =9; x 3 =x; x 4 = 15
p 1 = 0,3; p 2 = 0,3; p 3 = 0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96

Sprendimas.
Čia reikia sukurti dispersijos d(x) nustatymo formulę:
d(x) = x 1 2 p 1 + x 2 2 p 2 + x 3 2 p 3 + x 4 2 p 4 -m(x) 2
kur lūkestis m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Mūsų duomenims
m(x)=6*0,3+9*0,3+x3 *0,1+15*0,3=9+0,1x3
12,96 = 6 2 0,3 + 9 2 0,3 + x 3 2 0,1 + 15 2 0,3-(9 + 0,1 x 3) 2
arba -9/100 (x 2 -20x+96) = 0
Atitinkamai, turime rasti lygties šaknis, ir jų bus dvi.
x 3 = 8, x 3 = 12
Pasirinkite tą, kuris atitinka sąlygą x 1 x 3 = 12

Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis
x 1 = 6; x 2 =9; x 3 = 12; x 4 = 15
p 1 =0,3; p 2 = 0,3; p 3 = 0,1; p 4 =0,3

Tikimybių teorija – speciali matematikos šaka, kurią studijuoja tik aukštųjų mokyklų studentai. Ar jums patinka skaičiavimai ir formulės? Ar jūsų negąsdina perspektyvos susipažinti su normaliuoju skirstiniu, ansamblio entropija, matematiniais lūkesčiais ir diskretiškojo atsitiktinio dydžio sklaida? Tada ši tema jums bus labai įdomi. Susipažinkime su keliomis svarbiausiomis pagrindinėmis šios mokslo šakos sąvokomis.

Prisiminkime pagrindus

Net jei prisimenate paprasčiausias tikimybių teorijos sąvokas, nepamirškite pirmųjų straipsnio pastraipų. Esmė ta, kad be aiškaus pagrindinių dalykų supratimo negalėsite dirbti su toliau aptartomis formulėmis.

Taigi, įvyksta koks nors atsitiktinis įvykis, koks nors eksperimentas. Dėl savo veiksmų galime sulaukti kelių rezultatų – vieni iš jų pasitaiko dažniau, kiti rečiau. Įvykio tikimybė – tai faktiškai gautų vieno tipo baigčių skaičiaus ir bendro galimų baigčių skaičiaus santykis. Tik žinodami klasikinį šios sąvokos apibrėžimą, galite pradėti tyrinėti nuolatinių atsitiktinių dydžių matematinius lūkesčius ir sklaidą.

Aritmetinis vidurkis

Dar mokykloje per matematikos pamokas pradėjai dirbti su aritmetiniu vidurkiu. Ši sąvoka plačiai naudojama tikimybių teorijoje, todėl jos negalima ignoruoti. Šiuo metu mums svarbiausia, kad su juo susidursime atsitiktinio dydžio matematinio lūkesčio ir sklaidos formulėse.

Turime skaičių seką ir norime rasti aritmetinį vidurkį. Viskas, ko mums reikia, yra susumuoti viską, kas turima, ir padalyti iš sekos elementų skaičiaus. Turėkime skaičius nuo 1 iki 9. Elementų suma bus lygi 45, o šią reikšmę padalinsime iš 9. Atsakymas: - 5.

Sklaida

Moksliniu požiūriu dispersija yra vidutinis gautų charakteristikos verčių nuokrypių kvadratas nuo aritmetinio vidurkio. Jis žymimas viena didžiąja lotyniška raide D. Ko reikia jai apskaičiuoti? Kiekvienam sekos elementui apskaičiuojame skirtumą tarp esamo skaičiaus ir aritmetinio vidurkio ir jį kvadratu. Bus lygiai tiek daug vertybių, kiek gali būti renginio, kurį svarstome, rezultatų. Toliau viską susumuojame ir padalijame iš sekos elementų skaičiaus. Jei turime penkis galimus rezultatus, padalinkite iš penkių.

Dispersija taip pat turi savybių, kurias reikia atsiminti, kad ją būtų galima panaudoti sprendžiant problemas. Pavyzdžiui, kai atsitiktinis dydis padidėja X kartų, dispersija padidėja X kvadratu kartų (t. y. X*X). Jis niekada nėra mažesnis už nulį ir nepriklauso nuo verčių keitimo aukštyn arba žemyn vienodais kiekiais. Be to, nepriklausomų bandymų atveju sumos dispersija yra lygi dispersijų sumai.

Dabar neabejotinai turime apsvarstyti diskretinio atsitiktinio dydžio dispersijos ir matematinio lūkesčio pavyzdžius.

Tarkime, kad atlikome 21 eksperimentą ir gavome 7 skirtingus rezultatus. Kiekvieną iš jų stebėjome atitinkamai 1, 2, 2, 3, 4, 4 ir 5 kartus. Kam bus lygi dispersija?

Pirmiausia apskaičiuokime aritmetinį vidurkį: elementų suma, žinoma, yra 21. Padalinkite ją iš 7, gaudami 3. Dabar iš kiekvieno pradinės sekos skaičiaus atimkite 3, kiekvieną reikšmę padėkite kvadratu ir sudėkite rezultatus. Rezultatas yra 12. Dabar tereikia skaičių padalyti iš elementų skaičiaus, ir, atrodytų, viskas. Bet yra laimikis! Tai aptarkime.

Priklausomybė nuo eksperimentų skaičiaus

Pasirodo, skaičiuojant dispersiją, vardiklyje gali būti vienas iš dviejų skaičių: arba N, arba N-1. Čia N yra atliktų eksperimentų skaičius arba sekos elementų skaičius (kuris iš esmės yra tas pats). Nuo ko tai priklauso?

Jei testų skaičius matuojamas šimtais, į vardiklį turime įrašyti N, jei vienetais, tada N-1. Mokslininkai nusprendė nubrėžti ribą gana simboliškai: šiandien ji eina per skaičių 30. Jei atlikome mažiau nei 30 eksperimentų, tada sumą padalinsime iš N-1, o jei daugiau, tai iš N.

Užduotis

Grįžkime prie mūsų dispersijos ir matematinių lūkesčių problemos sprendimo pavyzdžio. Gavome tarpinį skaičių 12, kurį reikėjo padalyti iš N arba N-1. Kadangi atlikome 21 eksperimentą, tai yra mažiau nei 30, pasirinksime antrąjį variantą. Taigi atsakymas yra toks: dispersija yra 12/2 = 2.

Laukimas

Pereikime prie antrosios koncepcijos, kurią turime apsvarstyti šiame straipsnyje. Matematinis lūkestis yra visų galimų rezultatų, padaugintų iš atitinkamų tikimybių, rezultatas. Svarbu suprasti, kad gauta reikšmė, kaip ir dispersijos skaičiavimo rezultatas, visai problemai gaunamas tik vieną kartą, nesvarbu, kiek rezultatų joje atsižvelgiama.

Matematinio lūkesčio formulė gana paprasta: paimame rezultatą, padauginame jį iš tikimybės, pridedame tą patį prie antro, trečio rezultato ir tt Viską, kas susiję su šia sąvoka, nesunku apskaičiuoti. Pavyzdžiui, numatomų verčių suma yra lygi numatomai sumos vertei. Tas pats pasakytina ir apie darbą. Ne kiekvienas dydis tikimybių teorijoje leidžia atlikti tokias paprastas operacijas. Paimkime problemą ir apskaičiuokime dviejų sąvokų, kurias iš karto ištyrėme, reikšmę. Be to, mus blaškė teorija – laikas praktikuotis.

Kitas pavyzdys

Atlikome 50 bandymų ir gavome 10 rūšių rezultatų – skaičių nuo 0 iki 9 – skirtingu procentais. Tai yra atitinkamai: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Prisiminkite, kad norint gauti tikimybes, reikia padalyti procentines reikšmes iš 100. Taigi gauname 0,02; 0,1 ir kt. Pateiksime atsitiktinio dydžio dispersijos ir matematinio lūkesčio uždavinio sprendimo pavyzdį.

Aritmetinį vidurkį apskaičiuojame pagal formulę, kurią prisimename iš pradinės mokyklos: 50/10 = 5.

Dabar paverskime tikimybes į rezultatų skaičių „gabalais“, kad būtų lengviau skaičiuoti. Gauname 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 ir 9. Iš kiekvienos gautos reikšmės atimame aritmetinį vidurkį, po kurio kiekvieną gautą rezultatą padalome kvadratu. Pažiūrėkite, kaip tai padaryti naudojant pirmąjį elementą kaip pavyzdį: 1 - 5 = (-4). Kitas: (-4) * (-4) = 16. Jei norite naudoti kitas reikšmes, atlikite šiuos veiksmus patys. Jei viską padarėte teisingai, sudėję juos visus gausite 90.

Tęskime dispersijos ir numatomos vertės skaičiavimą, 90 padalydami iš N. Kodėl mes pasirenkame N, o ne N-1? Teisingai, nes atliktų eksperimentų skaičius viršija 30. Taigi: 90/10 = 9. Gavome dispersiją. Jei gausite kitą numerį, nenusiminkite. Greičiausiai padarėte paprastą klaidą skaičiavimuose. Dar kartą patikrinkite, ką parašėte, ir tikriausiai viskas atsistos į savo vietas.

Galiausiai prisiminkite matematinio lūkesčio formulę. Visų skaičiavimų nepateiksime, tik parašysime atsakymą, kuriuo galėsite pasitikrinti atlikę visas reikalingas procedūras. Numatoma vertė bus 5,48. Prisiminkime tik, kaip atlikti operacijas, kaip pavyzdį naudodami pirmuosius elementus: 0*0.02 + 1*0.1... ir pan. Kaip matote, mes tiesiog padauginame rezultato vertę iš jos tikimybės.

Nukrypimas

Kita sąvoka, glaudžiai susijusi su sklaida ir matematiniais lūkesčiais, yra standartinis nuokrypis. Jis žymimas arba lotyniškomis raidėmis sd, arba graikiškomis mažosiomis raidėmis „sigma“. Ši koncepcija parodo, kiek vidutiniškai reikšmės nukrypsta nuo pagrindinės funkcijos. Norėdami rasti jo reikšmę, turite apskaičiuoti dispersijos kvadratinę šaknį.

Jei nubraižote normalaus pasiskirstymo grafiką ir norite tiesiogiai jame matyti kvadratinį nuokrypį, tai galima padaryti keliais etapais. Paimkite pusę vaizdo į kairę arba į dešinę nuo režimo (centrinė vertė), nubrėžkite statmeną horizontaliai ašiai, kad gautų figūrų plotai būtų lygūs. Atkarpos tarp pasiskirstymo vidurio ir gautos projekcijos į horizontaliąją ašį dydis parodys standartinį nuokrypį.

Programinė įranga

Kaip matyti iš formulių aprašymų ir pateiktų pavyzdžių, dispersijos ir matematinės lūkesčių skaičiavimas aritmetiniu požiūriu nėra pati paprasčiausia procedūra. Norint nešvaistyti laiko, prasminga naudoti aukštosiose mokyklose naudojamą programą - ji vadinama „R“. Jame yra funkcijų, leidžiančių apskaičiuoti daugelio sąvokų reikšmes iš statistikos ir tikimybių teorijos.

Pavyzdžiui, nurodote reikšmių vektorių. Tai daroma taip: vektorius<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Apibendrinant

Sklaida ir matematinis lūkestis yra be kurių sunku ką nors apskaičiuoti ateityje. Pagrindiniame paskaitų kurse universitetuose jos aptariamos jau pirmaisiais dalyko studijų mėnesiais. Būtent dėl ​​šių paprastų sąvokų nesuvokimo ir nesugebėjimo jų apskaičiuoti daugelis studentų iškart pradeda atsilikti nuo programos, o vėliau sesijos pabaigoje gauna blogus pažymius, o tai atima stipendiją.

Praktikuokite bent vieną savaitę, pusvalandį per dieną, spręsdami problemas, panašias į pateiktas šiame straipsnyje. Tada atlikdami bet kurį tikimybių teorijos testą galėsite susidoroti su pavyzdžiais be pašalinių patarimų ir apgaulės lapų.