7 klasėje nagrinėjome funkcijas y = C, y = kx, y = kx + m, y = x 2 ir galiausiai priėjo prie išvados, kad lygtis su dviem formos kintamieji y = f(x) (funkcija) turi matematinį modelį, kurį patogu nustatyti specifinę reikšmę nepriklausomas kintamasis x (argumentas), apskaičiuokite atitinkamą

atitinkama priklausomo kintamojo y reikšmė. Pavyzdžiui, jei funkcija y = x 2 pateikta, t.y. f(x) = x 2, tada x = 1 gauname y = 1 2 = 1; Trumpai tariant, parašyta taip: f(1) = 1. Jei x = 2, gauname f(2) = 2 2 = 4, ty y = 4; jei x = - 3, gauname f(- 3) = (- 3) 2 = 9, ty y = 9 ir t.

Jau 7 klasėje jūs ir aš pradėjome suprasti, kad lygybėje y = f(x) dešinėje pusėje, t.y. išraiška f(x) neapsiriboja keturiais aukščiau išvardytais atvejais (C, kx, kx + m, x 2).
Pavyzdžiui, mes jau susitikome dalimis funkcijos, t.y. nurodytas funkcijas skirtingos formulės skirtingais intervalais. Štai viena iš tokių funkcijų:

y = f(x), kur

Ar prisimeni, kaip tokias funkcijas pavaizduoti? Pirmiausia reikia sukonstruoti parabolę y = x 2 ir paimti jos dalį x< 0 (левая ветвь параболы, рис. 1), затем надо построить прямую у = 2х и взять ее часть при х >0 (2 pav.). Ir galiausiai reikia sujungti abi pasirinktas dalis viename brėžinyje, t.y. statyti ant vieno koordinačių plokštuma(žr. 3 pav.).

Dabar mūsų užduotis yra tokia: papildyti tiriamų funkcijų atsargas. IN tikras gyvenimas yra procesai, aprašyti įvairių matematiniai modeliai formos y = f(x), o ne tik tuos, kuriuos išvardinome aukščiau. Šioje dalyje nagrinėsime funkciją y = kx 2, kur koeficientas k yra bet koks skaičius, kuris skiriasi nuo nulio.

Tiesą sakant, funkcija y = kx 2 vienu atveju jums yra šiek tiek pažįstama. Pažiūrėkite: jei k = 1, tai gausime y = x 2; Šią funkciją studijavote 7 klasėje ir tikriausiai prisimenate, kad jos grafikas yra parabolė (1 pav.). Aptarkime, kas atsitinka esant kitoms koeficiento k reikšmėms.
Apsvarstykite dvi funkcijas: y = 2x 2 ir y = 0,5x 2. Sudarykite pirmosios funkcijos y = 2x 2 verčių lentelę:

Sukurkime taškus (0; 0), (1; 2), (-1; 2), (2; 8), (-2; 8), (1,5; 4,5), (-1,5; 4,5) koordinačių plokštumoje (4 pav.); jie nubrėžia tam tikrą liniją, nubrėžkime ją

(5 pav.).
Padarykite antrosios funkcijos y = 0,5x 2 verčių lentelę:

Sukonstruokime taškus (0; 0), (1; 0,5), (-1; 0,5), (2; 2), (-2; 2), C; 4.5), (-3; 4.5) koordinačių plokštumoje (6 pav.); jie nubrėžia tam tikrą liniją, nubrėžkime ją (7 pav.)

.

Taškai, parodyti pav. 4 ir 6 kartais vadinami atitinkamos funkcijos grafiko valdymo taškais.

Palyginkite 1, 5 ir 7 paveikslus. Ar ne tiesa, kad nubrėžtos linijos yra panašios? Kiekvienas iš jų vadinamas parabole; šiuo atveju taškas (0; 0) vadinamas parabolės viršūne, o ašis y – parabolės simetrijos ašimi. Parabolės šakų „judėjimo aukštyn greitis“ priklauso nuo koeficiento k vertės arba, kaip sakoma,
parabolės „statumo laipsnis“. Tai aiškiai matoma fig. 8, kur visos trys aukščiau sukonstruotos parabolės yra toje pačioje koordinačių plokštumoje.

Lygiai tokia pati situacija yra su bet kuria kita y = kx 2 formos funkcija, kur k > 0. Jos grafikas yra parabolė, kurios viršūnė yra pradžioje, parabolės šakos nukreiptos į viršų, o kuo statesnė didesnis koeficientas k. Y ašis yra parabolės simetrijos ašis. Beje, dėl trumpumo matematikai dažnai sako „parabolė y = kx 2“ vietoj ilgos frazės „parabolė, tarnaujanti kaip funkcijos y = kx 2 grafikas“, o vietoj termino „parabolė y = kx 2“ parabolė“ jie vartoja terminą „parabolės ašis“.

Ar pastebite, kad yra analogija su funkcija y = kx? Jei k > 0, tai funkcijos y = kx grafikas yra tiesė, einanti per koordinačių pradžią (atminkite, trumpai pasakėme: tiesė y = kx), ir čia taip pat yra „statumo laipsnis“. tiesė priklauso nuo koeficiento k reikšmės. Tai aiškiai matoma ant
ryžių. 9, kur grafikai rodomi vienoje koordinačių sistemoje tiesinės funkcijos y = kx trims koeficientų reikšmėms

Grįžkime prie funkcijos y = kx 2. Išsiaiškinkime, kaip padėtis neigiamo koeficiento ft atveju. Sukurkime, pavyzdžiui, funkcijos grafiką

y = - x 2 (čia k = - 1). Sukurkime verčių lentelę:

Pažymėkite taškus (0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (- 3; - 9) koordinačių plokštumoje (10 pav.); jie nubrėžia tam tikrą liniją, nubrėžkime ją (11 pav.). Tai parabolė, kurios viršūnė yra taške (0; 0), y ašis yra simetrijos ašis, tačiau skirtingai nei tuo atveju, kai k > 0, šį kartą parabolės šakos nukreiptos žemyn. Panaši situacija ir su kitais neigiamos reikšmės koeficientas k.

Taigi funkcijos grafikas yra parabolė, kurios viršūnė yra ištakoje; y ašis yra parabolės ašis; parabolės šakos nukreiptos aukštyn ties k>0 u žemyn ties k<0.

Taip pat atkreipkime dėmesį, kad parabolė y = kx 2 paliečia x ašį taške (0; 0), tai yra, viena parabolės šaka sklandžiai pereina į kitą, tarsi spaustų prie x ašies.
Jei nubraižote funkcijų y = x2 ir y = - x2 grafikus toje pačioje koordinačių sistemoje, nesunku pastebėti, kad šios parabolės yra simetriškos viena kitai x ašies atžvilgiu, o tai aiškiai matoma Fig. 12. Lygiai taip pat parabolės y = 2x 2 ir y = - 2x 2 yra simetriškos viena kitai x ašies atžvilgiu (nebūkite tingūs, sukurkite šias
dvi paraboles toje pačioje koordinačių sistemoje ir įsitikinkite, kad teiginys yra teisingas).

Apskritai funkcijos y = - f(x) grafikas yra simetriškas funkcijos y = f(x) grafikui x ašies atžvilgiu.

Funkcijos y = kx 2 savybės, kai k > 0

Apibūdindami šios funkcijos ypatybes, remsimės ja geometrinis modelis- parabolė (13 pav.).

1. Kadangi bet kuriai x reikšmei atitinkamą y reikšmę galima apskaičiuoti naudojant formulę y = kx 2, funkcija apibrėžiama bet kuriame x taške (bet kuriai argumento x reikšmei). Trumpai tariant, parašyta taip: funkcijos apibrėžimo sritis yra (-oo, +oo), t.y. visa koordinačių eilutė.

2. y = 0, kai x = 0; y > O at . Tai matyti ir iš funkcijos grafiko (visa ji yra virš x ašies), bet galima pateisinti ir be grafiko pagalbos: jei

Tada kx 2 > O kaip dviejų sandauga teigiami skaičiai k ir x 2.

3. y = kx 2 — nuolatinė funkcija. Prisiminkime, kad kol kas šį terminą laikome sinonimu sakiniui „funkcijos grafikas yra ištisinė linija, kurią galima nubrėžti nepakeliant pieštuko nuo popieriaus“. Aukštesnėse klasėse bus pateiktas tikslesnis matematinis funkcijos tęstinumo sampratos aiškinimas, nesiremiant geometrine iliustracija.

4.y/ naim = 0 (pasiekta x = 0); nai6 neegzistuoja.

Prisiminkime, kad (/naim yra labiausiai mažesnė vertė funkcijos ir Unaib. — didžiausia funkcijos reikšmė duotame intervale; jei intervalas nenurodytas, tai unaim- ir y naib atitinkamai mažiausias ir didžiausia vertė funkcijos apibrėžimo srityje.

5. Funkcija y = kx 2 didėja kaip x > O ir mažėja kaip x< 0.

Prisiminkime, kad 7 klasės algebros kurse sutarėme iškviesti funkciją, kurios grafikas nagrinėjamame intervale eina iš kairės į dešinę tarsi „įkalnėn“, didėja, ir funkciją, kurios grafikas nagrinėjamame intervale eina iš kairės į tiesiai, tarsi „nuokalnėn“, - mažėja. Tiksliau galime pasakyti taip: sakoma, kad funkcija y = f (x) didėja intervale X, jei šiame intervale didesnę vertę argumentų atitikmenų
didesnė funkcijos vertė; sakoma, kad funkcija y = f (x) mažėja intervale X, jei šiame intervale didesnė argumento reikšmė atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.

„Algebra 7“ vadovėlyje grafiką skaitančios funkcijos savybių surašymo procesą pavadinome. Grafiko skaitymo procesas palaipsniui taps turtingesnis ir įdomesnis, nes išmoksime naujų funkcijų savybių. Mes aptarėme penkias aukščiau išvardytas savybes 7 klasėje dėl funkcijų, kurias ten mokėmės. Pridėkime vieną naują nuosavybę.

Funkcija y = f(x) vadinama apribota žemiau, jei visos funkcijos reikšmės yra didesnės už tam tikrą skaičių. Geometriškai tai reiškia, kad funkcijos grafikas yra virš tam tikros tiesės, lygiagrečios x ašiai.

Dabar pažiūrėkite: funkcijos y = kx 2 grafikas yra virš tiesės y = - 1 (arba y = - 2, nesvarbu) - tai parodyta Fig. 13. Vadinasi, y - kx2 (k > 0) yra funkcija, apribota iš apačios.

Kartu su funkcijomis, apribotomis žemiau, taip pat atsižvelgiama į aukščiau apribotas funkcijas. Sakoma, kad funkcija y - f(x) yra apribota iš viršaus, jei visos funkcijos reikšmės yra mažesnės už tam tikrą skaičių. Geometriškai tai reiškia, kad funkcijos grafikas yra žemiau tiesės, lygiagrečios x ašiai.
Ar yra tokia tiesė parabolei y = kx 2, kur k > 0? Nr. Tai reiškia, kad funkcija nėra viršutinė riba.

Taigi, gavome dar vieną nuosavybę, pridėkime ją prie penkių aukščiau išvardytų.

6. Funkcija y = kx 2 (k > 0) apribota žemiau, o ne aukščiau.

Funkcijos y = kx 2 prie k savybės< 0

Apibūdindami šios funkcijos savybes, remiamės jos geometriniu modeliu – parabole (14 pav.).

1. Funkcijos apibrėžimo sritis yra (-oo, +oo).

2. y = 0, kai x = 0; adresu< 0 при .

Z.у = kx 2 yra ištisinė funkcija.
4. y nai6 = 0 (pasiekta esant x = 0), tikslas neegzistuoja.

5. Funkcija didėja kaip x< 0, убывает при х > 0.

6.Funkcija apribota iš viršaus, o ne iš apačios.

Paaiškinkime paskutinę savybę: yra tiesė, lygiagreti x ašiai (pavyzdžiui, y = 1, ji nubrėžta 14 pav.), kad visa parabolė būtų žemiau šios tiesės; tai reiškia, kad funkcija yra viršutinė riba. Kita vertus, neįmanoma nubrėžti tiesės, lygiagrečios x ašiai, kad visa parabolė būtų virš šios tiesės; tai reiškia, kad funkcija nėra apribota žemiau.

Aukščiau naudojama judesių tvarka išvardijant funkcijos ypatybes nėra dėsnis, jei ji susiklostė chronologiškai tokiu būdu.

Daugiau ar mažiau tam tikra tvarka 9 klasės algebros kurse judesius plėtosime palaipsniui ir suvienodinsime.

1 pavyzdys. Raskite atkarpoje mažiausią ir didžiausią funkcijos y = 2x 2 reikšmes: a) ; b) [- 2, - 1]; c) [- 1, 1,5].

Sprendimas.
a) Sukurkime funkcijos y = 2x2 grafiką ir paryškinkime jos dalį atkarpoje (15 pav.). Atkreipiame dėmesį, kad 1/vardas. = 0 (pasiekta, kai x = 0), ir y max = 8 (pasiekta, kai x = 2).

b) Sukonstruokime funkcijos y = 2x2 grafiką ir paryškinkime jos dalį atkarpoje [- 2, - 1] (16 pav.). Atkreipiame dėmesį, kad 2/max = 2 (pasiekta x = - 1), o y max = 8 (pasiekta x = - 2).

c) Sukonstruokime funkcijos y = 2x2 grafiką ir paryškinkime jos dalį atkarpoje [- 1, 1.5] (17 pav.). Pastebime, kad unanm = 0 (pasiekiama esant x = 0), o y labiausiai pasiekiama taške x = 1,5; Apskaičiuokime šią reikšmę: (1,5) = 2-1,5 2 = 2-2,25 = 4,5. Taigi, y max = 4,5.

2 pavyzdys. Išspręskite lygtį - x 2 = 2x - 3.

Sprendimas. Vadovėlyje „Algebra-7“ sukūrėme algoritmą grafinis sprendimas lygtis, prisiminkime tai.

Norėdami grafiškai išspręsti lygtį f (x) = g (x), jums reikia:

1) apsvarstykite dvi funkcijas y = -x 2 ir y = 2x -3;
2) sudaryti funkcijos i/ = / (x) grafiką;
3) sudaryti funkcijos y = g (x) grafiką;
4) rasti sudarytų grafikų susikirtimo taškus; abscis-
Šių taškų sys yra lygties f(x) = g (x) šaknys.
Taikykime šį algoritmą duotai lygčiai.
1) Apsvarstykite dvi funkcijas: y = - x2 ir y = 2x - 3.
2) Sukonstruokime parabolę – funkcijos y = - x 2 grafiką (18 pav.).

3) Sukurkime funkcijos y = 2x - 3 grafiką. Jai sukurti pakanka rasti bet kuriuos du taškus. Jei x = 0, tai y = - 3; jei x = 1,

tada y = -1. Taigi, mes radome du taškus (0; -3) ir (1; -1). Tiesi linija, einanti per šiuos du taškus (funkcijos y = 2x - 3 grafikas), pavaizduota tame pačiame paveikslėlyje.

brėžinys (žr. 18 pav.).

4) Pagal brėžinį nustatome, kad tiesė ir parabolė susikerta dviejuose taškuose A(1; -1) ir B(-3; -9). Reiškia, duota lygtis turi dvi šaknis: 1 ir - 3 - tai taškų A ir B abscisės.

Atsakymas: 1,-3.

komentuoti.Žinoma, negalima aklai pasitikėti grafinėmis iliustracijomis. Gal tik mums atrodo, kad taškas A turi koordinates (1; - 1), ir toliau
Ar jie iš tikrųjų skiriasi, pavyzdžiui (0,98; - 1,01)?

Todėl visada pravartu pasitikrinti pačiam. Taigi nagrinėjamame pavyzdyje turite įsitikinti, kad taškas A(1; -1) priklauso parabolei y = - x 2 (tai paprasta - tiesiog pakeiskite taško A koordinates į formulę y = - x 2 gauname - 1 = - 1 2 - teisingą skaitinę lygybę) ir tiesę y = 2x - 3 (ir tai paprasta - tiesiog pakeiskite taško A koordinates į formulę y = 2x - 3; gauname - 1 = 2-3 – teisinga skaitinė lygybė). Tą patį reikia padaryti dėl
8 punktai. Šis patikrinimas rodo, kad nagrinėjamoje lygtyje grafiniai stebėjimai davė teisingą rezultatą.

3 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą

Sprendimas. Pirmąją sistemos lygtį paverskime y = - x 2 forma. Šios funkcijos grafikas yra parabolė, parodyta fig. 18.
Antrąją sistemos lygtį transformuokime į formą y = 2x - 3. Šios funkcijos grafikas yra tiesė, parodyta pav. 18.

Parabolė ir tiesė susikerta taškuose A (1; -1) ir B (- 3; - 9). Šių taškų koordinatės yra sprendiniai duota sistema lygtys.

Atsakymas: (1; -1), (-3; -9).

4 pavyzdys. Duota funkcija y - f (x), kur

Reikalinga:

a) apskaičiuokite f(-4), f(-2), f(0), f(1,5), f(2), f(3);

b) sudaryti funkcijos grafiką;

c) naudokite grafiką funkcijos savybėms išvardyti.

Sprendimas,

a) Reikšmė x = - 4 tenkina sąlygą – todėl f(-4) turi būti apskaičiuojama naudojant pirmąją funkcijos apibrėžimo eilutę. Turime f(x) = - 0,5x2, o tai reiškia
f(-4) = -0,5 . (-4) 2 = -8.
Panašiai randame:

f(-2) = -0,5 . (-2) 2 =-2;
f(0) = -0,5 . 0 2 = 0.

Reikšmė atitinka sąlygą, todėl ji turi būti apskaičiuojama naudojant antrą funkcijos specifikacijos eilutę. Turime f(x) = x + 1, o tai reiškia

Reikšmė x = 1,5 atitinka 1 sąlygą< х < 2, т. е. f(1,5) надо вычислять по третьей строке задания функции. Имеем f (х) = 2х 2 , значит,
f(1,5) = 2-1,5 2 = 4,5.
Panašiai gauname
f(2) = 2 . 2 2 =8.
Reikšmė x = 3 neatitinka nė vienos iš trijų funkcijos nurodymo sąlygų, todėl f(3) šiuo atveju negalima apskaičiuoti, taškas x = 3 nepriklauso funkcijos apibrėžimo sričiai. F(3) skaičiavimo užduotis yra neteisinga.

b) Grafą sudarysime „gabalas po gabalo“. Pirmiausia sukonstruokime parabolę y = -0,5x 2 ir parinkkime jos dalį atkarpoje [-4, 0] (19 pav.). Tada statome tiesę y = x + 1 u. Parinkime jos dalį pusinio intervale (0, 1] (20 pav.) Tada sukonstruosime parabolę y = 2x2 ir parinksime jos dalį pusinio intervale

(1, 2] (21 pav.).

Galiausiai visas tris „gabalėlius“ pavaizduosime vienoje koordinačių sistemoje; gauname funkcijos y = f(x) grafiką (22 pav.).

c) Išvardinkime funkcijos savybes arba, kaip susitarėme sakyti, perskaitykime grafiką.

1. Funkcijos apibrėžimo sritis yra atkarpa [—4, 2].

2. y = 0, kai x = 0; y > 0 ties 0<х<2;у<0 при - 4 < х < 0.

3. Funkcija patiria pertrūkį, kai x = 0.

4. Funkcija didėja atkarpoje [-4, 2].

5. Funkcija ribojama tiek iš apačios, tiek iš viršaus.

6. y max = -8 (pasiekta x = -4); y dauguma6. = 8 (pasiekta x = 2).

5 pavyzdys. Duota funkcija y = f(x), kur f(x) = 3x 2. Rasti:

f(1), f(-2), f(а), f(2а), f(а + 1), f(-х), f(Зх), f(x - 1),
f(x + a), f(x) + 5, f(x) + b, f(x + a) + b, f(x 2), f(2x 3).

Sprendimas. Kadangi f (x) = 3x 2, nuosekliai gauname:

f(1) =3 .1 2 = 3;
f(a) = 2;
f(a+1) = 3(a+1)2;
f(3x) = 3.(3x) 2 = 27x2;
f(x + a) = 3(x + a) 2;

f(x 2) +b = 3x 2 +b
f(x 2) = 3 . (x 2) 2

F(- 2) = Z . (-2) 2 = 12
f(2a) =З . (2a) 2 = 12a 2

F(x) =З . (-x) 2 = 3 x 2

F(-x)+ 5 =3x 2 +5
f(x + a) + b = 3 (x + a) 2 + b;
f(2x3) = 3 . (2x3)2

Mes ir toliau nagrinėjame temą “ sprendžiant lygtis“ Mes jau susipažinome su tiesinėmis lygtimis ir pereiname prie pažinties kvadratines lygtis.

Pirmiausia pažiūrėsime, kas yra kvadratinė lygtis, kaip ji rašoma bendra forma ir pateiksime susijusius apibrėžimus. Po to mes naudosime pavyzdžius, norėdami išsamiai išnagrinėti, kaip sprendžiamos neišsamios kvadratinės lygtys. Toliau pereisime prie pilnųjų lygčių sprendimo, gausime šaknies formulę, susipažinsime su kvadratinės lygties diskriminantu ir apsvarstysime tipinių pavyzdžių sprendimus. Galiausiai atsekime ryšius tarp šaknų ir koeficientų.

Puslapio naršymas.

Kas yra kvadratinė lygtis? Jų rūšys

Pirmiausia turite aiškiai suprasti, kas yra kvadratinė lygtis. Todėl logiška pradėti pokalbį apie kvadratines lygtis kvadratinės lygties apibrėžimu, taip pat su jais susijusiais apibrėžimais. Po to galite apsvarstyti pagrindinius kvadratinių lygčių tipus: redukuotas ir neredukuotas, taip pat pilnas ir nepilnas lygtis.

Kvadratinių lygčių apibrėžimas ir pavyzdžiai

Apibrėžimas.

Kvadratinė lygtis yra formos lygtis a x 2 +b x+c=0, kur x yra kintamasis, a, b ir c yra kai kurie skaičiai, o a yra ne nulis.

Iš karto pasakykime, kad kvadratinės lygtys dažnai vadinamos antrojo laipsnio lygtimis. Taip yra dėl to, kad kvadratinė lygtis yra algebrinė lygtis antrasis laipsnis.

Pateiktas apibrėžimas leidžia pateikti kvadratinių lygčių pavyzdžius. Taigi 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 ir t.t. Tai yra kvadratinės lygtys.

Apibrėžimas.

Skaičiai a, b ir c vadinami kvadratinės lygties koeficientai a·x 2 +b·x+c=0, o koeficientas a vadinamas pirmuoju, arba didžiausiu, arba koeficientu x 2, b yra antrasis koeficientas, arba koeficientas x, o c yra laisvasis narys .

Pavyzdžiui, paimkime kvadratinę lygtį, kurios forma yra 5 x 2 −2 x −3=0, čia pirmaujantis koeficientas yra 5, antrasis koeficientas lygus −2, o laisvasis narys lygus −3. Atkreipkite dėmesį, kad kai koeficientai b ir (arba) c yra neigiami, kaip ką tik pateiktame pavyzdyje, trumpoji kvadratinės lygties forma yra 5 x 2 −2 x −3=0, o ne 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

Verta pažymėti, kad kai koeficientai a ir (arba) b yra lygūs 1 arba −1, tada kvadratinėje lygtyje jie paprastai nėra aiškiai išreikšti, o tai yra dėl tokių rašymo ypatumų. Pavyzdžiui, kvadratinėje lygtyje y 2 −y+3=0 pirmaujantis koeficientas yra vienas, o y koeficientas lygus −1.

Sumažintos ir neredukuotos kvadratinės lygtys

Priklausomai nuo pirmaujančio koeficiento reikšmės, skiriamos redukuotos ir neredukuotos kvadratinės lygtys. Pateiksime atitinkamus apibrėžimus.

Apibrėžimas.

Vadinama kvadratinė lygtis, kurios pirmaujantis koeficientas yra 1 duota kvadratinė lygtis. Priešingu atveju kvadratinė lygtis yra nepaliestas.

Pagal šį apibrėžimą kvadratinės lygtys x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 ir kt. – duota, kiekviename iš jų pirmasis koeficientas lygus vienetui. A 5 x 2 −x−1=0 ir kt. - neredukuotos kvadratinės lygtys, kurių pirmaujantys koeficientai skiriasi nuo 1.

Iš bet kurios nesumažintos kvadratinės lygties, padalijus abi puses iš pirmaujančio koeficiento, galite pereiti prie redukuotos. Šis veiksmas yra lygiavertė transformacija, tai yra, tokiu būdu gauta sumažinta kvadratinė lygtis turi tas pačias šaknis kaip ir pradinė neredukuota kvadratinė lygtis, arba, kaip ji, neturi šaknų.

Pažiūrėkime į pavyzdį, kaip atliekamas perėjimas iš neredukuotos kvadratinės lygties į redukuotą.

Pavyzdys.

Iš lygties 3 x 2 +12 x−7=0 pereikite prie atitinkamos sumažintos kvadratinės lygties.

Sprendimas.

Mums tereikia padalyti abi pradinės lygties puses iš pirmaujančio koeficiento 3, jis yra ne nulis, kad galėtume atlikti šį veiksmą. Turime (3 x 2 +12 x-7):3=0:3, kuris yra tas pats, (3 x 2):3+(12 x):3-7:3=0, o tada (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, iš kur . Taip gavome redukuotą kvadratinę lygtį, kuri yra lygiavertė pradinei.

Atsakymas:

Pilnos ir nepilnos kvadratinės lygtys

Kvadratinės lygties apibrėžime yra sąlyga a≠0. Ši sąlyga būtina, kad lygtis a x 2 + b x + c = 0 būtų kvadratinė, nes kai a = 0 ji iš tikrųjų tampa b x + c = 0 formos tiesine lygtimi.

Kalbant apie koeficientus b ir c, jie gali būti lygūs nuliui tiek atskirai, tiek kartu. Tokiais atvejais kvadratinė lygtis vadinama nepilna.

Apibrėžimas.

Vadinama kvadratine lygtimi a x 2 +b x+c=0 nepilnas, jei bent vienas iš koeficientų b, c yra lygus nuliui.

Savo ruožtu

Apibrėžimas.

Pilna kvadratinė lygtis yra lygtis, kurioje visi koeficientai skiriasi nuo nulio.

Tokie vardai buvo suteikti neatsitiktinai. Tai paaiškės iš tolesnių diskusijų.

Jei koeficientas b lygus nuliui, tai kvadratinė lygtis įgauna formą a·x 2 +0·x+c=0 ir yra lygiavertė lygčiai a·x 2 +c=0. Jei c=0, tai yra, kvadratinė lygtis turi formą a·x 2 +b·x+0=0, tada ją galima perrašyti kaip a·x 2 +b·x=0. O su b=0 ir c=0 gauname kvadratinę lygtį a·x 2 =0. Gautos lygtys skiriasi nuo pilnos kvadratinės lygties tuo, kad jų kairėje pusėje nėra nei termino su kintamuoju x, nei laisvojo nario, nei abiejų. Iš čia ir kilo jų pavadinimas – nepilnos kvadratinės lygtys.

Taigi lygtys x 2 +x+1=0 ir −2 x 2 −5 x+0.2=0 yra pilnų kvadratinių lygčių pavyzdžiai, o x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 yra nepilnos kvadratinės lygtys.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas

Iš ankstesnėje pastraipoje pateiktos informacijos matyti, kad yra trijų tipų nepilnos kvadratinės lygtys:

• a·x 2 =0, jį atitinka koeficientai b=0 ir c=0;
• ax2 +c=0, kai b=0;
• ir a·x 2 +b·x=0, kai c=0.

Panagrinėkime eilės tvarka, kaip sprendžiamos kiekvieno iš šių tipų nepilnos kvadratinės lygtys.

a x 2 =0

Pradėkime nuo nepilnų kvadratinių lygčių, kuriose koeficientai b ir c lygūs nuliui, tai yra a x 2 =0 formos lygtimis. Lygtis a·x 2 =0 yra lygiavertė lygčiai x 2 =0, kuri gaunama iš originalo, padalijus abi dalis iš nulinio skaičiaus a. Akivaizdu, kad lygties x 2 =0 šaknis yra lygi nuliui, nes 0 2 =0. Ši lygtis neturi kitų šaknų, o tai paaiškinama tuo, kad bet kuriam nuliniam skaičiui p galioja nelygybė p 2 >0, o tai reiškia, kad esant p≠0 lygybė p 2 =0 niekada nepasiekiama.

Taigi nepilna kvadratinė lygtis a·x 2 =0 turi vieną šaknį x=0.

Kaip pavyzdį pateikiame nepilnos kvadratinės lygties −4 x 2 =0 sprendinį. Ji atitinka lygtį x 2 =0, jos vienintelė šaknis yra x=0, todėl pradinė lygtis turi vieną šaknies nulį.

Trumpas sprendimas šiuo atveju gali būti parašytas taip:
−4 x 2 =0,
x 2 = 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Dabar pažiūrėkime, kaip sprendžiamos nepilnos kvadratinės lygtys, kuriose koeficientas b lygus nuliui ir c≠0, tai yra a x 2 +c=0 formos lygtys. Žinome, kad perkėlus terminą iš vienos lygties pusės į kitą su priešingu ženklu, taip pat padalijus abi lygties puses ne nuliu skaičiumi, gaunama lygiavertė lygtis. Todėl galime atlikti tokias lygiavertes nepilnos kvadratinės lygties a x 2 +c=0 transformacijas:

• perkelkite c į dešinę pusę, taip gaunama lygtis a x 2 =-c,
• ir padalinti abi puses iš a, gauname .

Gauta lygtis leidžia daryti išvadas apie jos šaknis. Priklausomai nuo a ir c reikšmių, išraiškos reikšmė gali būti neigiama (pavyzdžiui, jei a=1 ir c=2, tada ) arba teigiama (pavyzdžiui, jei a=–2 ir c=6, tada ), jis nėra lygus nuliui , nes pagal sąlygą c≠0. Atskirai analizuosime atvejus ir.

Jei , tai lygtis neturi šaknų. Šis teiginys išplaukia iš to, kad bet kurio skaičiaus kvadratas yra neneigiamas skaičius. Iš to išplaukia, kad kai , tada bet kuriam skaičiui p lygybė negali būti teisinga.

Jei , tada situacija su lygties šaknimis yra kitokia. Šiuo atveju, jei prisimename apie , tada lygties šaknis iš karto tampa akivaizdi, nes . Nesunku atspėti, kad skaičius taip pat yra lygties šaknis, iš tikrųjų . Ši lygtis neturi kitų šaknų, kurias galima parodyti, pavyzdžiui, prieštaravimu. Padarykime tai.

Ką tik paskelbtos lygties šaknis pažymėkime x 1 ir −x 1 . Tarkime, kad lygtis turi dar vieną šaknį x 2, kuri skiriasi nuo nurodytų šaknų x 1 ir −x 1. Yra žinoma, kad jos šaknis pakeitus lygtimi, o ne x, lygtis paverčiama teisinga skaitine lygybe. Jei x 1 ir −x 1 turime , o x 2 turime . Skaičių lygybių savybės leidžia atlikti teisingų skaitinių lygčių etapo atėmimą, todėl atėmus atitinkamas lygybių dalis gaunama x 1 2 −x 2 2 =0. Veiksmų su skaičiais savybės leidžia gautą lygybę perrašyti į (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Žinome, kad dviejų skaičių sandauga yra lygi nuliui tada ir tik tada, kai bent vienas iš jų yra lygus nuliui. Todėl iš gautos lygybės išplaukia, kad x 1 −x 2 =0 ir (arba) x 1 +x 2 =0, kuris yra tas pats, x 2 =x 1 ir (arba) x 2 = −x 1. Taigi mes priėjome prie prieštaravimo, nes pradžioje sakėme, kad lygties x 2 šaknis skiriasi nuo x 1 ir −x 1. Tai įrodo, kad lygtis neturi kitų šaknų, išskyrus ir .

Apibendrinkime šioje pastraipoje pateiktą informaciją. Nebaigta kvadratinė lygtis a x 2 +c=0 yra lygiavertė lygčiai, kuri

• neturi šaknų, jei
• turi dvi šaknis ir , jei .

Panagrinėkime a·x 2 +c=0 formos nepilnų kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžius.

Pradėkime nuo kvadratinės lygties 9 x 2 +7=0. Perkėlus laisvąjį terminą į dešinę lygties pusę, jis įgis formą 9 x 2 =−7. Padalinę abi gautos lygties puses iš 9, gauname . Kadangi dešinėje pusėje yra neigiamas skaičius, ši lygtis neturi šaknų, todėl pradinė nepilna kvadratinė lygtis 9 x 2 +7 = 0 neturi šaknų.

Išspręskime dar vieną nepilną kvadratinę lygtį −x 2 +9=0. Devynetuką perkeliame į dešinę pusę: −x 2 =−9. Dabar padalijame abi puses iš −1, gauname x 2 =9. Dešinėje pusėje yra teigiamas skaičius, iš kurio darome išvadą, kad arba . Tada užrašome galutinį atsakymą: nepilna kvadratinė lygtis −x 2 +9=0 turi dvi šaknis x=3 arba x=−3.

a x 2 +b x=0

Belieka išspręsti paskutinio tipo nepilnų kvadratinių lygčių, kai c=0, sprendimą. Neišsamios kvadratinės lygtys formos a x 2 + b x = 0 leidžia išspręsti faktorizavimo metodas. Akivaizdu, kad galime, esantys kairėje lygties pusėje, kuriai pakanka iš skliaustų išimti bendrą koeficientą x. Tai leidžia pereiti nuo pradinės nepilnos kvadratinės lygties prie lygiavertės x·(a·x+b)=0 formos lygties. Ir ši lygtis yra lygiavertė aibei dviejų lygčių x=0 ir a·x+b=0, iš kurių pastaroji yra tiesinė ir jos šaknis x=-b/a.

Taigi nepilna kvadratinė lygtis a·x 2 +b·x=0 turi dvi šaknis x=0 ir x=−b/a.

Norėdami konsoliduoti medžiagą, išanalizuosime konkretaus pavyzdžio sprendimą.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtį.

Sprendimas.

Išėmus x iš skliaustų gaunama lygtis . Tai lygi dviem lygtims x=0 ir . Išsprendžiame gautą tiesinę lygtį: , ir mišrųjį skaičių padalijus iš paprastosios trupmenos, randame . Todėl pradinės lygties šaknys yra x=0 ir .

Įgijus reikiamą praktiką, galima trumpai parašyti tokių lygčių sprendinius:

Atsakymas:

x=0 , .

Diskriminantas, kvadratinės lygties šaknų formulė

Norėdami išspręsti kvadratines lygtis, yra šaknies formulė. Užsirašykime kvadratinės lygties šaknų formulė:, kur D=b 2 −4 a c- vadinamasis kvadratinės lygties diskriminantas. Įrašas iš esmės reiškia, kad .

Naudinga žinoti, kaip buvo gauta šaknies formulė ir kaip ji naudojama ieškant kvadratinių lygčių šaknų. Išsiaiškinkime tai.

Kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas

Išspręskime kvadratinę lygtį a·x 2 +b·x+c=0. Atlikime keletą lygiaverčių transformacijų:

• Abi šios lygties puses galime padalyti iš nulinio skaičiaus a, todėl gaunama tokia kvadratinė lygtis.
• Dabar pasirinkite visą kvadratą jo kairėje pusėje: . Po to lygtis įgis formą .
• Šiame etape paskutinius du terminus galima perkelti į dešinę su priešingu ženklu, turime .
• Taip pat pakeiskime išraišką dešinėje pusėje: .

Dėl to gauname lygtį, kuri yra lygiavertė pradinei kvadratinei lygčiai a·x 2 +b·x+c=0.

Analogiškos formos lygtis jau išsprendėme ankstesnėse pastraipose, kai nagrinėjome. Tai leidžia padaryti tokias išvadas apie lygties šaknis:

• jei , tai lygtis neturi realių sprendinių;
• jei , tada lygtis turi formą , todėl , Iš kurios matoma tik jos šaknis;
• jei , tada arba , kuris yra tas pats kaip arba , Tai yra, lygtis turi dvi šaknis.

Taigi lygties šaknų buvimas ar nebuvimas, taigi ir pradinė kvadratinė lygtis, priklauso nuo išraiškos ženklo dešinėje. Savo ruožtu šios išraiškos ženklą lemia skaitiklio ženklas, nes vardiklis 4·a 2 visada yra teigiamas, tai yra išraiškos b 2 −4·a·c ženklas. Ši išraiška buvo vadinama b 2 −4 a c kvadratinės lygties diskriminantas ir nurodytas laišku D. Iš čia aiški diskriminanto esmė – pagal jo reikšmę ir ženklą jie daro išvadą, ar kvadratinė lygtis turi realias šaknis, o jei taip, koks jų skaičius – vienas ar du.

Grįžkime prie lygties ir perrašykime ją diskriminaciniu žymėjimu: . Ir mes darome išvadas:

• jei D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• jei D=0, tai ši lygtis turi vieną šaknį;
• galiausiai, jei D>0, tai lygtis turi dvi šaknis arba, kurią galima perrašyti į formą arba, o išplėtus ir suvedus trupmenas į bendrą vardiklį gauname.

Taigi išvedėme kvadratinės lygties šaknų formules, jos turi formą , kur diskriminantas D apskaičiuojamas pagal formulę D=b 2 −4·a·c.

Su jų pagalba, naudodami teigiamą diskriminantą, galite apskaičiuoti abi realiąsias kvadratinės lygties šaknis. Kai diskriminantas lygus nuliui, abi formulės suteikia tą pačią šaknies reikšmę, atitinkančią unikalų kvadratinės lygties sprendimą. O naudojant neigiamą diskriminantą, kai bandome panaudoti kvadratinės lygties šaknų formulę, susiduriame su neigiamo skaičiaus kvadratinės šaknies ištraukimu, o tai perkelia mus už mokyklos mokymo programos ribų. Naudojant neigiamą diskriminantą, kvadratinė lygtis neturi tikrų šaknų, bet turi porą kompleksinis konjugatasšaknis, kurias galima rasti naudojant tas pačias šaknų formules, kurias gavome.

Kvadratinių lygčių sprendimo naudojant šaknies formules algoritmas

Praktiškai spręsdami kvadratines lygtis galite iš karto naudoti šaknies formulę, kad apskaičiuotumėte jų reikšmes. Bet tai labiau susiję su sudėtingų šaknų paieška.

Tačiau mokykliniame algebros kurse paprastai kalbame ne apie sudėtingas, o apie realias kvadratinės lygties šaknis. Tokiu atveju, prieš naudojant kvadratinės lygties šaknų formules, patartina pirmiausia rasti diskriminantą, įsitikinti, kad jis yra neneigiamas (kitaip galime daryti išvadą, kad lygtis neturi realių šaknų), ir tik tada apskaičiuokite šaknų reikšmes.

Aukščiau pateiktas samprotavimas leidžia mums rašyti kvadratinės lygties sprendimo algoritmas. Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 +b x+c=0, turite:

• naudodamiesi diskriminantinės formulės D=b 2 −4·a·c, apskaičiuokite jos reikšmę;
• padaryti išvadą, kad kvadratinė lygtis neturi realių šaknų, jei diskriminantas yra neigiamas;
• apskaičiuokite vienintelę lygties šaknį naudodami formulę, jei D=0;
• Raskite dvi realias kvadratinės lygties šaknis naudodami šaknies formulę, jei diskriminantas yra teigiamas.

Čia tik pažymime, kad jei diskriminantas yra lygus nuliui, taip pat galite naudoti formulę, ji duos tokią pat reikšmę kaip .

Galite pereiti prie kvadratinių lygčių sprendimo algoritmo naudojimo pavyzdžių.

Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai

Panagrinėkime trijų kvadratinių lygčių sprendinius su teigiamu, neigiamu ir nuliniu diskriminantu. Išnagrinėjus jų sprendimą, pagal analogiją bus galima išspręsti bet kurią kitą kvadratinę lygtį. Pradėkime.

Pavyzdys.

Raskite lygties x 2 šaknis +2·x−6=0.

Sprendimas.

Šiuo atveju turime tokius kvadratinės lygties koeficientus: a=1, b=2 ir c=−6. Pagal algoritmą pirmiausia reikia apskaičiuoti diskriminantą, nurodytą a, b ir c pakeičiame į diskriminanto formulę, kurią turime D=b 2 –4·a·c=2 2 –4·1·(–6)=4+24=28. Kadangi 28>0, tai yra, diskriminantas yra didesnis už nulį, kvadratinė lygtis turi dvi realias šaknis. Suraskime juos naudodami šaknies formulę, mes gauname, čia galite supaprastinti gautas išraiškas darydami perkeliant daugiklį už šaknies ženklo po to sumažinama frakcija:

Atsakymas:

Pereikime prie kito tipinio pavyzdžio.

Pavyzdys.

Išspręskite kvadratinę lygtį −4 x 2 +28 x−49=0 .

Sprendimas.

Pradedame rasdami diskriminantą: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Todėl ši kvadratinė lygtis turi vieną šaknį, kurią randame kaip , tai yra,

Atsakymas:

x=3,5.

Belieka apsvarstyti galimybę išspręsti kvadratines lygtis su neigiamu diskriminantu.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtį 5·y 2 +6·y+2=0.

Sprendimas.

Štai kvadratinės lygties koeficientai: a=5, b=6 ir c=2. Mes pakeičiame šias reikšmes į diskriminacinę formulę, kurią turime D=b 2 –4·a·c=6 2 –4·5·2=36–40=–4. Diskriminantas yra neigiamas, todėl ši kvadratinė lygtis neturi realių šaknų.

Jei reikia nurodyti sudėtingas šaknis, taikome gerai žinomą kvadratinės lygties šaknų formulę ir atliekame operacijos su kompleksiniais skaičiais:

Atsakymas:

nėra tikrų šaknų, sudėtingos šaknys yra: .

Dar kartą atkreipkime dėmesį, kad jei kvadratinės lygties diskriminantas yra neigiamas, tada mokykloje jie paprastai iš karto užrašo atsakymą, kuriame nurodo, kad nėra tikrų šaknų, o sudėtingų šaknų nerandama.

Net antrojo koeficiento šaknies formulė

Kvadratinės lygties šaknų formulė, kur D=b 2 −4·a·c, leidžia gauti kompaktiškesnės formos formulę, leidžiančią išspręsti kvadratines lygtis su lyginiu x koeficientu (arba tiesiog su a 2·n formos koeficientas, pavyzdžiui, arba 14· ln5=2·7·ln5 ). Išveskime ją.

Tarkime, reikia išspręsti kvadratinę lygtį, kurios formos a x 2 +2 n x+c=0. Raskime jo šaknis pagal mums žinomą formulę. Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame diskriminantą D = (2 n) 2 -4 a c = 4 n 2 -4 a c = 4 (n 2 -a c), tada naudojame šaknies formulę:

Išraišką n 2 −a c pažymėkime kaip D 1 (kartais ji žymima D "). Tada nagrinėjamos kvadratinės lygties šaknų formulė su antruoju koeficientu 2 n įgis tokią formą , kur D 1 =n 2 −a·c.

Nesunku pastebėti, kad D=4·D 1 arba D 1 =D/4. Kitaip tariant, D 1 yra ketvirtoji diskriminanto dalis. Aišku, kad D 1 ženklas yra toks pat kaip D ženklas. Tai yra, ženklas D 1 taip pat yra kvadratinės lygties šaknų buvimo ar nebuvimo rodiklis.

Taigi, norint išspręsti kvadratinę lygtį su antruoju koeficientu 2 · n, jums reikia

• Apskaičiuokite D 1 =n 2 −a·c ;
• Jei D1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Jei D 1 =0, tada formule apskaičiuokite vienintelę lygties šaknį;
• Jei D 1 >0, tada pagal formulę raskite dvi realias šaknis.

Apsvarstykite galimybę išspręsti pavyzdį naudodami šioje pastraipoje gautą šaknies formulę.

Pavyzdys.

Išspręskite kvadratinę lygtį 5 x 2 −6 x −32=0 .

Sprendimas.

Antrasis šios lygties koeficientas gali būti pavaizduotas kaip 2·(−3) . Tai yra, galite perrašyti pradinę kvadratinę lygtį į formą 5 x 2 +2 (-3) x-32=0, čia a=5, n=-3 ir c=-32, ir apskaičiuoti ketvirtąją kvadratinės lygties dalį. diskriminuojantis: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Kadangi jos reikšmė yra teigiama, lygtis turi dvi realias šaknis. Raskime juos naudodami atitinkamą šaknies formulę:

Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinės lygties šaknims buvo galima naudoti įprastą formulę, tačiau šiuo atveju tektų atlikti daugiau skaičiavimo darbų.

Atsakymas:

Kvadratinių lygčių formos supaprastinimas

Kartais prieš pradedant skaičiuoti kvadratinės lygties šaknis naudojant formules, nepakenks užduoti klausimą: „Ar galima supaprastinti šios lygties formą? Sutikite, kad skaičiavimų požiūriu kvadratinę lygtį 11 x 2 −4 x−6=0 išspręsti bus lengviau nei 1100 x 2 −400 x−600=0.

Paprastai kvadratinės lygties formos supaprastinimas pasiekiamas padauginus arba padalijus abi puses iš tam tikro skaičiaus. Pavyzdžiui, ankstesnėje pastraipoje buvo galima supaprastinti lygtį 1100 x 2 −400 x −600=0, padalijus abi puses iš 100.

Panaši transformacija atliekama su kvadratinėmis lygtimis, kurių koeficientai nėra . Šiuo atveju abi lygties pusės paprastai dalijamos iš absoliučių jo koeficientų verčių. Pavyzdžiui, paimkime kvadratinę lygtį 12 x 2 −42 x+48=0. absoliučios jo koeficientų reikšmės: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Abi pradinės kvadratinės lygties puses padalijus iš 6, gauname lygiavertę kvadratinę lygtį 2 x 2 −7 x+8=0.

Ir padauginus abi kvadratinės lygties puses paprastai atsisakoma trupmeninių koeficientų. Šiuo atveju dauginimas atliekamas pagal jo koeficientų vardiklius. Pavyzdžiui, jei abi kvadratinės lygties pusės yra padaugintos iš LCM(6, 3, 1)=6, tada ji įgis paprastesnę formą x 2 +4·x−18=0.

Apibendrinant šį punktą, pastebime, kad jie beveik visada atsikrato minuso esant didžiausiam kvadratinės lygties koeficientui, pakeisdami visų narių ženklus, o tai atitinka abiejų pusių padauginimą (arba padalijimą) iš −1. Pavyzdžiui, paprastai nuo kvadratinės lygties −2 x 2 −3 x+7=0 pereinama prie sprendinio 2 x 2 +3 x−7=0 .

Kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų ryšys

Kvadratinės lygties šaknų formulė išreiškia lygties šaknis per jos koeficientus. Remdamiesi šaknies formule, galite gauti kitus ryšius tarp šaknų ir koeficientų.

Labiausiai žinomos ir taikomos formulės iš Vietos teoremos yra formos ir . Visų pirma, duotoje kvadratinėje lygtyje šaknų suma yra lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu, o šaknų sandauga yra lygi laisvajam nariui. Pavyzdžiui, kvadratinės lygties 3 x 2 −7 x + 22 = 0 forma galime iš karto pasakyti, kad jos šaknų suma lygi 7/3, o šaknų sandauga lygi 22/3.

Naudodami jau parašytas formules, galite gauti daugybę kitų kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų jungčių. Pavyzdžiui, kvadratinės lygties šaknų kvadratų sumą galite išreikšti jos koeficientais: .

Nuorodos.

• Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 8 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich. - 11 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01155-2.

Tikiuosi, kad išstudijavę šį straipsnį sužinosite, kaip rasti visos kvadratinės lygties šaknis.

Naudojant diskriminantą, sprendžiamos tik pilnosios kvadratinės lygtys, sprendžiamos nepilnos kvadratinės lygtys, naudojami kiti metodai, kuriuos rasite straipsnyje „Nepilnių kvadratinių lygčių sprendimas“.

Kokios kvadratinės lygtys vadinamos pilnosiomis? Tai ax 2 + b x + c = 0 formos lygtys, kur koeficientai a, b ir c nėra lygūs nuliui. Taigi, norėdami išspręsti visą kvadratinę lygtį, turime apskaičiuoti diskriminantą D.

D = b 2 – 4ac.

Atsižvelgdami į diskriminanto reikšmę, surašysime atsakymą.

Jei diskriminantas yra neigiamas skaičius (D< 0),то корней нет.

Jei diskriminantas lygus nuliui, tai x = (-b)/2a. Kai diskriminantas yra teigiamas skaičius (D > 0),

tada x 1 = (-b - √D)/2a ir x 2 = (-b + √D)/2a.

Pavyzdžiui. Išspręskite lygtį x 2– 4x + 4 = 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Atsakymas: 2.

Išspręskite 2 lygtį x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Atsakymas: nėra šaknų.

Išspręskite 2 lygtį x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81) / (2 2) = (-5 - 9) / 4 = - 3,5

x 2 = (-5 + √81) / (2 2) = (-5 + 9) / 4 = 1

Atsakymas: – 3,5; 1.

Taigi įsivaizduokime pilnų kvadratinių lygčių sprendimą naudodami 1 paveiksle pateiktą diagramą.

Naudodami šias formules galite išspręsti bet kurią pilną kvadratinę lygtį. Jums tiesiog reikia būti atsargiems lygtis buvo parašyta kaip standartinės formos daugianario

A x 2 + bx + c, kitaip galite padaryti klaidą. Pavyzdžiui, rašydami lygtį x + 3 + 2x 2 = 0, galite klaidingai nuspręsti, kad

a = 1, b = 3 ir c = 2. Tada

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ir tada lygtis turi dvi šaknis. Ir tai netiesa. (Žr. 2 pavyzdžio sprendimą aukščiau).

Todėl, jei lygtis parašyta ne kaip standartinės formos daugianario, pirmiausia visa kvadratinė lygtis turi būti parašyta kaip standartinės formos daugianomas (pirmas turėtų būti monomas su didžiausiu eksponentu, t. y. A x 2 , tada su mažiau – bx ir tada laisvas narys Su.

Sprendžiant sumažintą kvadratinę lygtį ir kvadratinę lygtį su lyginiu koeficientu antrajame dėme, galite naudoti kitas formules. Susipažinkime su šiomis formulėmis. Jei pilnoje kvadratinėje lygtyje koeficientas antruoju nariu yra lygus (b = 2k), tada lygtį galite išspręsti naudodami 2 paveikslo diagramoje pateiktas formules.

Pilna kvadratinė lygtis vadinama redukuota, jei koeficientas at x 2 yra lygi vienetui ir lygtis įgauna formą x 2 + px + q = 0. Tokią lygtį galima pateikti sprendiniui arba ją galima gauti visus lygties koeficientus padalijus iš koeficiento A, stovi prie x 2 .

3 paveiksle parodyta sumažinto kvadrato sprendimo schema
lygtys. Pažvelkime į šiame straipsnyje aptartų formulių taikymo pavyzdį.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Išspręskime šią lygtį naudodami 1 paveikslo diagramoje parodytas formules.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = -1 - √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Atsakymas: –1 – √3; –1 + √3

Galite pastebėti, kad x koeficientas šioje lygtyje yra lyginis skaičius, tai yra b = 6 arba b = 2k, iš kur k = 3. Tada pabandykime išspręsti lygtį naudodami D paveikslo diagramoje pateiktas formules. 1 = 3 2–3 (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 – 3√3)/3 = (3 (-1 – √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Atsakymas: –1 – √3; –1 + √3. Pastebėję, kad visi šios kvadratinės lygties koeficientai dalijasi iš 3 ir atlikę padalijimą, gauname sumažintą kvadratinę lygtį x 2 + 2x – 2 = 0 Išspręskite šią lygtį naudodami sumažintos kvadratinės formules.
lygtys 3 pav.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 – 2√3)/2 = (2 (-1 – √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Atsakymas: –1 – √3; –1 + √3.

Kaip matote, sprendžiant šią lygtį naudojant skirtingas formules, gavome tą patį atsakymą. Todėl gerai įsisavinę 1 paveikslo diagramoje parodytas formules, visada galėsite išspręsti bet kurią pilną kvadratinę lygtį.

blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

Kvadratinės lygtys. Diskriminuojantis. Sprendimas, pavyzdžiai.

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai...“)

Kvadratinių lygčių tipai

Kas yra kvadratinė lygtis? Kaip tai atrodo? Per terminą kvadratinė lygtis raktinis žodis yra "kvadratas". Tai reiškia, kad lygtyje Būtinai turi būti x kvadratas. Be jo, lygtyje gali būti (arba negali būti!) tik X (iki pirmos laipsnio) ir tik skaičius (laisvas narys). Ir neturėtų būti X iki dviejų.

Matematine prasme kvadratinė lygtis yra tokios formos lygtis:

Čia a, b ir c- kai kurie skaičiai. b ir c- Visiškai bet koks, bet A– nieko kito nei nulis. Pavyzdžiui:

Čia A =1; b = 3; c = -4

Čia A =2; b = -0,5; c = 2,2

Čia A =-3; b = 6; c = -18

Na, supranti...

Šiose kvadratinėse lygtyse kairėje yra pilna komplektacija narių. X kvadratu su koeficientu A, x iki pirmojo laipsnio su koeficientu b Ir laisvas narys s.

Tokios kvadratinės lygtys vadinamos pilnas.

O jeigu b= 0, ką mes gauname? Turime X bus prarastas pirmajai galiai. Taip atsitinka padauginus iš nulio.) Pasirodo, pavyzdžiui:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x = 0,

-x 2 +4x=0

ir kt. Ir jei abu koeficientai b Ir c yra lygūs nuliui, tada dar paprasčiau:

2x2 =0,

-0,3x2 =0

Tokios lygtys, kuriose kažko trūksta, vadinamos nepilnos kvadratinės lygtys. Tai gana logiška.) Atkreipkite dėmesį, kad x kvadratas yra visose lygtyse.

Beje, kodėl A negali būti lygus nuliui? Ir vietoj to pakeičiate A nulis.) Mūsų X kvadratas išnyks! Lygtis taps tiesinė. O sprendimas visai kitoks...

Tai visi pagrindiniai kvadratinių lygčių tipai. Pilnas ir neišsamus.

Kvadratinių lygčių sprendimas.

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimas.

Kvadratines lygtis nesunku išspręsti. Pagal formules ir aiškias, paprastas taisykles. Pirmajame etape reikia duotą lygtį paversti standartine forma, t.y. į formą:

Jei lygtis jums jau pateikta šioje formoje, jums nereikia atlikti pirmojo etapo.) Svarbiausia yra teisingai nustatyti visus koeficientus, A, b Ir c.

Kvadratinės lygties šaknų radimo formulė atrodo taip:

Išraiška po šaknies ženklu vadinama diskriminuojantis. Bet daugiau apie jį žemiau. Kaip matote, norėdami rasti X, naudojame tik a, b ir c. Tie. koeficientai iš kvadratinės lygties. Tiesiog atsargiai pakeiskite vertybes a, b ir c Skaičiuojame pagal šią formulę. Pakeiskime su savo ženklais! Pavyzdžiui, lygtyje:

A =1; b = 3; c= -4. Čia mes tai užrašome:

Pavyzdys beveik išspręstas:

Tai yra atsakymas.

Tai labai paprasta. Ir ką, jūs manote, kad neįmanoma suklysti? Na taip, kaip...

Dažniausios klaidos yra painiojimas su ženklų reikšmėmis a, b ir c. Arba, tiksliau, ne su jų ženklais (kur susipainioti?), o su neigiamų verčių pakeitimu į šaknų skaičiavimo formulę. Čia padeda išsamus formulės įrašymas su konkrečiais skaičiais. Jei kyla problemų su skaičiavimais, tai padaryti!

Tarkime, kad turime išspręsti šį pavyzdį:

Čia a = -6; b = -5; c = -1

Tarkime, žinote, kad pirmą kartą retai sulaukiate atsakymų.

Na, netingėk. Tai užtruks apie 30 sekundžių parašyti papildomą eilutę ir klaidų skaičių smarkiai sumažės. Taigi mes rašome išsamiai, su visais skliaustais ir ženklais:

Atrodo neįtikėtinai sunku taip kruopščiai parašyti. Bet taip tik atrodo. Išbandykite. Na, arba pasirinkti. Kas geriau, greitas ar teisingas?

Be to, aš tave pradžiuginsiu. Po kurio laiko nebereikės visko taip kruopščiai surašyti. Tai išsispręs savaime. Ypač jei naudojate praktinius metodus, kurie aprašyti toliau. Šis blogas pavyzdys su daugybe minusų gali būti išspręstas lengvai ir be klaidų!

Tačiau dažnai kvadratinės lygtys atrodo šiek tiek kitaip. Pavyzdžiui, taip: Ar atpažinote?) Taip! Tai.

nepilnos kvadratinės lygtys

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas. a, b ir c.

Jas taip pat galima išspręsti naudojant bendrą formulę. Jums tereikia teisingai suprasti, kam jie čia prilygsta. Ar išsiaiškinote? Pirmame pavyzdyje a = 1; b = -4; c A ? Jo visai nėra! Na taip, tai tiesa. Matematikoje tai reiškia c = 0 ! Tai viskas. Vietoj to formulėje pakeiskite nulį c, ir mums pasiseks. Tas pats su antruoju pavyzdžiu. Tik pas mus čia nėra nulio Su b !

, A

Tačiau nepilnas kvadratines lygtis galima išspręsti daug paprasčiau. Be jokių formulių. Panagrinėkime pirmąją nepilną lygtį. Ką galite padaryti kairėje pusėje? Galite ištraukti X iš skliaustų! Išimkime.
Taigi, kas iš to? Ir tai, kad sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai kuris nors iš veiksnių yra lygus nuliui! Netikite manimi? Gerai, tada sugalvokite du ne nuo nulio skaičius, kuriuos padauginus bus gautas nulis!
Neveikia? tai tiek... Todėl drąsiai galime rašyti:, x 1 = 0.

x 2 = 4 Visi. Tai bus mūsų lygties šaknys. Tinka abu. Pakeitus bet kurį iš jų į pradinę lygtį, gauname teisingą tapatybę 0 = 0. Kaip matote, sprendimas yra daug paprastesnis nei naudojant bendrą formulę. Beje, atkreipsiu dėmesį, kuris X bus pirmasis, o kuris antras – tai visiškai abejinga. Patogu rašyti eilės tvarka, x 1 x 2- kas mažesnis ir

- kas didesnis.

Antrąją lygtį taip pat galima išspręsti paprastai. Perkelkite 9 į dešinę pusę. Mes gauname:

Belieka išgauti šaknį iš 9, ir viskas. Tai paaiškės: . Taip pat dvi šaknys, x 1 = -3.

x 2 = 3
Taip išsprendžiamos visos nepilnos kvadratinės lygtys. Arba įdėdami X iš skliaustų arba tiesiog perkeldami skaičių į dešinę ir ištraukdami šaknį.

Diskriminuojantis. Diskriminacinė formulė.

Magiškas žodis diskriminuojantis ! Retas gimnazistas nėra girdėjęs šio žodžio! Frazė „sprendžiame per diskriminantą“ įkvepia pasitikėjimo ir užtikrintumo. Nes nereikia tikėtis gudrybių iš diskriminanto! Juo naudotis paprasta ir be problemų.) Primenu bendriausią sprendimo formulę bet koks kvadratinės lygtys:

Išraiška po šaknies ženklu vadinama diskriminantu. Paprastai diskriminantas žymimas raide D. Diskriminacinė formulė:

D = b 2 - 4ac

Ir kuo ši išraiška tokio nuostabaus? Kodėl jis nusipelnė ypatingo pavadinimo? Ką diskriminanto prasmė? Juk juk -b, arba 2ašioje formulėje jie specialiai nieko nevadina... Raidės ir raidės.

Štai toks dalykas. Sprendžiant kvadratinę lygtį naudojant šią formulę, tai įmanoma tik trys atvejai.

1. Diskriminantas yra teigiamas. Tai reiškia, kad iš jo galima išgauti šaknį. Ar šaknis išgaunama gerai, ar prastai – kitas klausimas. Svarbu tai, kas išgaunama iš esmės. Tada jūsų kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Du skirtingi sprendimai.

2. Diskriminantas lygus nuliui. Tada turėsite vieną sprendimą. Kadangi nulio pridėjimas ar atėmimas skaitiklyje nieko nekeičia. Griežtai kalbant, tai ne viena šaknis, o du vienodi. Tačiau supaprastintoje versijoje įprasta kalbėti apie vienas sprendimas.

3. Diskriminantas yra neigiamas. Negalima paimti neigiamo skaičiaus kvadratinės šaknies. O gerai. Tai reiškia, kad sprendimų nėra.

Tiesą sakant, sprendžiant kvadratines lygtis, diskriminanto sąvoka tikrai nereikalinga. Mes pakeičiame koeficientų reikšmes į formulę ir suskaičiuojame. Ten viskas vyksta savaime, dvi šaknys, viena ir nė viena. Tačiau sprendžiant sudėtingesnes užduotis, be žinių diskriminanto reikšmė ir formulė negali apsieiti. Ypač lygtyse su parametrais. Tokios lygtys yra akrobatinis skraidis valstybiniam egzaminui ir vieningam valstybiniam egzaminui!)

Taigi, kaip išspręsti kvadratines lygtis per diskriminantą, kurį prisiminėte. Arba išmokote, o tai irgi nėra blogai.) Mokate teisingai nustatyti a, b ir c. Ar žinai kaip? dėmesingai pakeiskite juos į šaknies formulę ir dėmesingai suskaičiuok rezultatą. Jūs suprantate, kad čia yra raktinis žodis dėmesingai?

Dabar atkreipkite dėmesį į praktinius metodus, kurie žymiai sumažina klaidų skaičių. Tie patys, kurie dėl neatidumo... Dėl ko vėliau tampa skaudu ir įžeidžiama...

Pirmas susitikimas . Nebūkite tingus prieš išspręsdami kvadratinę lygtį ir įveskite ją į standartinę formą. Ką tai reiškia?
Tarkime, kad po visų transformacijų gausite tokią lygtį:

Neskubėkite rašyti šaknies formulės! Beveik neabejotinai sumaišysite šansus a, b ir c. Teisingai sukonstruokite pavyzdį. Pirma, X kvadratas, tada be kvadrato, tada laisvas terminas. kaip tai:

Ir vėl, neskubėkite! Minusas prieš X kvadratą gali jus tikrai nuliūdinti. Lengva pamiršti... Atsikratykite minuso. Kaip? Taip, kaip mokyta ankstesnėje temoje! Turime padauginti visą lygtį iš -1. Mes gauname:

Bet dabar galite drąsiai užsirašyti šaknų formulę, apskaičiuoti diskriminantą ir baigti spręsti pavyzdį. Spręskite patys.

Dabar turėtumėte turėti šaknis 2 ir -1. Priėmimas antras. Patikrinkite šaknis! Pagal Vietos teoremą. Nebijok, aš viską paaiškinsiu! Tikrinama paskutinis lygtis. Tie. ta, kurią naudojome užrašydami šaknies formulę. Jei (kaip šiame pavyzdyje) koeficientas a = 1 , patikrinti šaknis lengva. Užtenka juos padauginti. Rezultatas turėtų būti nemokamas narys, t.y. mūsų atveju -2. Atkreipkite dėmesį, ne 2, o -2! Laisvas narys su savo ženklu

. Jei nepasiseka, vadinasi, jau kažkur susisukote. Ieškokite klaidos. b Jei tai veikia, turite pridėti šaknis. Paskutinis ir paskutinis patikrinimas. Koeficientas turėtų būti Su priešinga b pažįstamas. Mūsų atveju -1+2 = +1. Koeficientas
, kuris yra prieš X, yra lygus -1. Taigi, viskas teisinga! Gaila, kad tai taip paprasta tik pavyzdžiams, kur x kvadratas yra grynas, su koeficientu a = 1.

Bet bent jau patikrinkite tokias lygtis! Klaidų bus vis mažiau. Trečias priėmimas

. Jei jūsų lygtis turi trupmenų koeficientus, atsikratykite trupmenų! Padauginkite lygtį iš bendro vardiklio, kaip aprašyta pamokoje „Kaip išspręsti lygtis? Tapatybės transformacijos“. Dirbant su trupmenomis, klaidos kažkodėl šliaužia...

Beje, blogą pavyzdį pažadėjau supaprastinti su krūva minusų. Prašau! Štai jis.

Kad nesusipainiotume su minusais, lygtį padauginame iš -1. Mes gauname:

tai viskas! Spręsti yra vienas malonumas!

Taigi, apibendrinkime temą.

Praktiniai patarimai: 1. Prieš spręsdami kvadratinę lygtį įvedame į standartinę formą ir ją sudarome.

Teisingai

2. Jei prieš X kvadratą yra neigiamas koeficientas, jį pašaliname visą lygtį padauginę iš -1.

3. Jei koeficientai trupmeniniai, tai trupmenas eliminuojame padauginę visą lygtį iš atitinkamo koeficiento. 4. Jei x kvadratas yra grynas, jo koeficientas lygus vienetui, sprendinį galima nesunkiai patikrinti naudojant Vietos teoremą.

Padaryk tai!

Dabar galime nuspręsti.)

Išspręskite lygtis:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Todėl drąsiai galime rašyti:
Atsakymai (netvarkingai):

x 2 = 52

x 1,2 =
x 1 = 2

x 2 = -0,5

Taip pat dvi šaknys
x 1 = -3

x – bet koks skaičius

jokių sprendimų
x 1 = 0,25

Ar viskas tinka? Puiku! Kvadratinės lygtys nėra jūsų galvos skausmas. Pirmieji trys veikė, o likusieji ne? Tada problema yra ne su kvadratinėmis lygtimis. Problema yra identiškose lygčių transformacijose. Pažiūrėk nuorodą, tai naudinga.

Ne visai pavyksta? O gal visai nesiseka? Tada jums padės 555 skyrius. Visi šie pavyzdžiai yra suskirstyti. Parodyta pagrindinis klaidos sprendime. Žinoma, kalbame ir apie identiškų transformacijų panaudojimą sprendžiant įvairias lygtis. Labai padeda!

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Pradinis lygis

Kvadratinės lygtys. Išsamus vadovas (2019 m.)

Sąvokoje „kvadratinė lygtis“ pagrindinis žodis yra „kvadratinė“. Tai reiškia, kad lygtyje būtinai turi būti kintamasis (tas pats x) kvadratas, o trečiosios (ar didesnės) laipsnio x neturėtų būti.

Daugelio lygčių sprendimas yra kvadratinių lygčių sprendimas.

Išmokime nustatyti, kad tai yra kvadratinė lygtis, o ne kokia nors kita lygtis.

1 pavyzdys.

Atsikratykime vardiklio ir kiekvieną lygties narį padauginkime iš

Viską perkelkime į kairę pusę ir sudėkime terminus mažėjančia X galių tvarka

Dabar galime drąsiai teigti, kad ši lygtis yra kvadratinė!

2 pavyzdys.

Padauginkite kairę ir dešinę puses iš:

Ši lygtis, nors ir iš pradžių joje buvo, nėra kvadratinė!

3 pavyzdys.

Padauginkime viską iš:

Baisu? Ketvirtasis ir antrasis laipsniai... Tačiau jei pakeisime, pamatysime, kad turime paprastą kvadratinę lygtį:

4 pavyzdys.

Atrodo, kad ten yra, bet pažiūrėkime atidžiau. Viską perkelkime į kairę pusę:

Žiūrėkite, ji sumažinta – ir dabar tai paprasta tiesinė lygtis!

Dabar pabandykite patys nustatyti, kurios iš šių lygčių yra kvadratinės, o kurios ne:

Pavyzdžiai:

Atsakymai:

1. kvadratas;
2. kvadratas;
3. ne kvadratas;
4. ne kvadratas;
5. ne kvadratas;
6. kvadratas;
7. ne kvadratas;
8. kvadratas.

Matematikai visas kvadratines lygtis paprastai skirsto į šiuos tipus:

• Užbaigtos kvadratinės lygtys- lygtys, kuriose koeficientai ir, kaip ir laisvasis terminas c, nėra lygūs nuliui (kaip pavyzdyje). Be to, tarp pilnųjų kvadratinių lygčių yra duota- tai lygtys, kuriose koeficientas (lygtis iš pirmojo pavyzdžio yra ne tik baigta, bet ir sumažinta!)

• Nebaigtos kvadratinės lygtys- lygtys, kuriose koeficientas ir (arba) laisvasis narys c yra lygūs nuliui:

  Jie yra neišsamūs, nes trūksta kažkokio elemento. Bet lygtyje visada turi būti X kvadratas!!! Priešingu atveju tai bus nebe kvadratinė lygtis, o kokia nors kita lygtis.

Kodėl jie sugalvojo tokį skirstymą? Atrodytų, kad yra X kvadratas, ir gerai. Šis skirstymas nustatomas sprendimo metodais. Pažvelkime į kiekvieną iš jų išsamiau.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas

Pirmiausia sutelkime dėmesį į nepilnų kvadratinių lygčių sprendimą – jos daug paprastesnės!

Yra neišsamių kvadratinių lygčių tipai:

1. , šioje lygtyje koeficientas yra lygus.
2. , šioje lygtyje laisvasis narys yra lygus.
3. , šioje lygtyje koeficientas ir laisvasis narys yra lygūs.

1. i. Kadangi žinome, kaip paimti kvadratinę šaknį, naudokite šią lygtį

Išraiška gali būti neigiama arba teigiama. Skaičius kvadratu negali būti neigiamas, nes padauginus du neigiamus arba du teigiamus skaičius visada bus teigiamas skaičius, taigi: jei, tai lygtis neturi sprendinių.

Ir jei, tada mes gauname dvi šaknis. Šių formulių nereikia įsiminti. Svarbiausia, kad jūs turite žinoti ir visada atsiminti, kad tai negali būti mažiau.

Pabandykime išspręsti keletą pavyzdžių.

5 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Dabar belieka ištraukti šaknį iš kairės ir dešinės pusės. Juk prisimeni, kaip išgauti šaknis?

Atsakymas:

Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu!!!

6 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Atsakymas:

7 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

O! Skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia, kad lygtis

jokių šaknų!

Tokioms lygtims, kurios neturi šaknų, matematikai sugalvojo specialią piktogramą - (tuščias rinkinys). O atsakymą galima parašyti taip:

Atsakymas:

Taigi ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Čia nėra jokių apribojimų, nes mes neištraukėme šaknies.
8 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų:

Taigi,

Ši lygtis turi dvi šaknis.

Atsakymas:

Paprasčiausias nepilnų kvadratinių lygčių tipas (nors visos paprastos, tiesa?). Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Čia atsisakysime pavyzdžių.

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimas

Primename, kad visa kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kurioje

Išspręsti visas kvadratines lygtis yra šiek tiek sunkiau (tik šiek tiek) nei šias.

Prisimink Bet kurią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą! Net nepilnas.

Kiti metodai padės tai padaryti greičiau, bet jei kyla problemų dėl kvadratinių lygčių, pirmiausia įvaldykite sprendimą naudodami diskriminantą.

1. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant diskriminantą.

Spręsti kvadratines lygtis naudojant šį metodą yra labai paprasta, svarbiausia atsiminti veiksmų seką ir porą formulių.

Jei, tada lygtis turi šaknį. Ypatingą dėmesį reikia skirti žingsniui. Diskriminantas () nurodo lygties šaknų skaičių.

• Jei, tada žingsnio formulė bus sumažinta iki. Taigi lygtis turės tik šaknį.
• Jei, tada veiksme negalėsime išgauti diskriminanto šaknies. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Grįžkime prie savo lygčių ir pažvelkime į keletą pavyzdžių.

9 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

1 veiksmas mes praleidžiame.

2 veiksmas.

Mes randame diskriminantą:

Tai reiškia, kad lygtis turi dvi šaknis.

3 veiksmas.

Atsakymas:

10 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Lygtis pateikiama standartine forma, taigi 1 veiksmas mes praleidžiame.

2 veiksmas.

Mes randame diskriminantą:

Tai reiškia, kad lygtis turi vieną šaknį.

Atsakymas:

11 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Lygtis pateikiama standartine forma, taigi 1 veiksmas mes praleidžiame.

2 veiksmas.

Mes randame diskriminantą:

Tai reiškia, kad negalėsime išgauti diskriminanto šaknies. Lygties šaknų nėra.

Dabar mes žinome, kaip teisingai užrašyti tokius atsakymus.

Atsakymas: jokių šaknų

2. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą.

Jei prisimenate, yra lygties tipas, kuris vadinamas sumažinta (kai koeficientas a yra lygus):

Tokias lygtis labai lengva išspręsti naudojant Vietos teoremą:

Šaknų suma duota kvadratinė lygtis yra lygi, o šaknų sandauga yra lygi.

12 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Šią lygtį galima išspręsti naudojant Vietos teoremą, nes .

Lygties šaknų suma lygi, t.y. gauname pirmąją lygtį:

Ir produktas yra lygus:

Sudarykime ir išspręskime sistemą:

• Ir. Suma yra lygi;
• Ir. Suma yra lygi;
• Ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Atsakymas: ; .

13 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Atsakymas:

14 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Pateikta lygtis, kuri reiškia:

Atsakymas:

Kvadratinės LYGTYBĖS. VIDURIO LYGIS

Kas yra kvadratinė lygtis?

Kitaip tariant, kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kur - nežinomasis, - kai kurie skaičiai ir.

Skaičius vadinamas didžiausiu arba pirmasis koeficientas kvadratinė lygtis, - antrasis koeficientas, A - nemokamas narys.

Kodėl? Nes jei lygtis iš karto tampa tiesinė, nes išnyks.

Šiuo atveju ir gali būti lygus nuliui. Šioje kėdėje lygtis vadinama nepilna. Jei visi terminai yra vietoje, tai yra, lygtis baigta.

Įvairių tipų kvadratinių lygčių sprendimai

Neišsamių kvadratinių lygčių sprendimo būdai:

Pirmiausia pažvelkime į nepilnų kvadratinių lygčių sprendimo būdus – jie paprastesni.

Galime išskirti šiuos lygčių tipus:

I., šioje lygtyje koeficientas ir laisvasis narys yra lygūs.

II. , šioje lygtyje koeficientas yra lygus.

III. , šioje lygtyje laisvasis narys yra lygus.

Dabar pažvelkime į kiekvieno iš šių potipių sprendimą.

Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Skaičius kvadratu negali būti neigiamas, nes padauginus du neigiamus arba du teigiamus skaičius, rezultatas visada bus teigiamas. Štai kodėl:

jei, tai lygtis neturi sprendinių;

jei turime dvi šaknis

Šių formulių nereikia įsiminti. Svarbiausia atsiminti, kad jo negali būti mažiau.

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

Atsakymas:

Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu!

Skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia, kad lygtis

jokių šaknų.

Norėdami trumpai užrašyti, kad problema neturi sprendimų, naudojame tuščio rinkinio piktogramą.

Atsakymas:

Taigi, ši lygtis turi dvi šaknis: ir.

Atsakymas:

Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų:

Produktas yra lygus nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Tai reiškia, kad lygtis turi sprendimą, kai:

Taigi, ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis: ir.

Pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Paskaičiuokime kairę lygties pusę ir raskime šaknis:

Atsakymas:

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimo būdai:

1. Diskriminuojantis

Tokiu būdu kvadratines lygtis išspręsti lengva, svarbiausia atsiminti veiksmų seką ir porą formulių. Atminkite, kad bet kurią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą! Net nepilnas.

Ar pastebėjote šaknį iš diskriminanto šaknų formulėje? Tačiau diskriminantas gali būti neigiamas. Ką daryti? Ypatingą dėmesį turime skirti 2 žingsniui. Diskriminantas nurodo lygties šaknų skaičių.

• Jei, tada lygtis turi šaknis:
• Jei, tada lygtis turi tas pačias šaknis, o iš tikrųjų vieną šaknį:

  Tokios šaknys vadinamos dvigubomis šaknimis.

• Jei, tada diskriminanto šaknis nėra išgaunama. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Kodėl galimas skirtingas šaknų skaičius? Pereikime prie kvadratinės lygties geometrinės reikšmės. Funkcijos grafikas yra parabolė:

Ypatingu atveju, kuris yra kvadratinė lygtis, . Tai reiškia, kad kvadratinės lygties šaknys yra susikirtimo su abscisių ašimi (ašiu) taškai. Parabolė gali išvis nesikirsti su ašimi arba gali susikirsti viename (kai parabolės viršūnė yra ant ašies) arba dviejuose taškuose.

Be to, koeficientas yra atsakingas už parabolės šakų kryptį. Jei, tada parabolės šakos nukreiptos aukštyn, o jei, tada žemyn.

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

Atsakymas:

Atsakymas:.

Atsakymas:

Tai reiškia, kad sprendimų nėra.

Atsakymas:.

2. Vietos teorema

Naudoti Vietos teoremą labai paprasta: tereikia pasirinkti skaičių porą, kurios sandauga būtų lygi laisvajam lygties nariui, o suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu.

Svarbu atsiminti, kad Vietos teorema gali būti taikoma tik sumažintos kvadratinės lygtys ().

Pažvelkime į kelis pavyzdžius:

1 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Šią lygtį galima išspręsti naudojant Vietos teoremą, nes . Kiti koeficientai: ; .

Lygties šaknų suma yra tokia:

Ir produktas yra lygus:

Išsirinkime skaičių poras, kurių sandauga yra lygi, ir patikrinkime, ar jų suma lygi:

• Ir. Suma yra lygi;
• Ir. Suma yra lygi;
• Ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Taigi ir yra mūsų lygties šaknys.

Atsakymas: ; .

2 pavyzdys:

Sprendimas:

Išsirinkime skaičių poras, kurios pateikia sandaugą, ir patikrinkime, ar jų suma yra lygi:

ir: jie duoda iš viso.

ir: jie duoda iš viso. Norint gauti, pakanka tiesiog pakeisti tariamų šaknų požymius: ir, galų gale, produktą.

Atsakymas:

3 pavyzdys:

Sprendimas:

Laisvasis lygties narys yra neigiamas, todėl šaknų sandauga yra neigiamas skaičius. Tai įmanoma tik tuo atveju, jei viena iš šaknų yra neigiama, o kita - teigiama. Todėl šaknų suma yra lygi jų modulių skirtumai.

Parinkime tokias skaičių poras, kurios duoda sandaugą ir kurių skirtumas lygus:

ir: jų skirtumas lygus – netinka;

ir: - netinka;

ir: - netinka;

ir: - tinka. Belieka tik prisiminti, kad viena iš šaknų yra neigiama. Kadangi jų suma turi būti lygi, šaknis su mažesniu moduliu turi būti neigiama: . Mes tikriname:

Atsakymas:

4 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Pateikta lygtis, kuri reiškia:

Laisvasis terminas yra neigiamas, todėl šaknų sandauga yra neigiama. Ir tai įmanoma tik tada, kai viena lygties šaknis yra neigiama, o kita – teigiama.

Pažymime skaičių poras, kurių sandauga yra lygi, ir tada nustatykime, kurios šaknys turi turėti neigiamą ženklą:

Akivaizdu, kad tik šaknys tinka pirmajai sąlygai:

Atsakymas:

5 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Pateikta lygtis, kuri reiškia:

Šaknų suma yra neigiama, o tai reiškia, kad bent viena iš šaknų yra neigiama. Bet kadangi jų produktas yra teigiamas, tai reiškia, kad abi šaknys turi minuso ženklą.

Parinkime skaičių poras, kurių sandauga yra lygi:

Akivaizdu, kad šaknys yra skaičiai ir.

Atsakymas:

Sutikite, labai patogu sugalvoti šaknis žodžiu, o ne skaičiuoti šį bjaurų diskriminantą. Stenkitės kuo dažniau naudoti Vietos teoremą.

Tačiau Vietos teorema reikalinga, kad būtų lengviau ir greičiau rasti šaknis. Kad naudotumėte jį, turite atlikti veiksmus automatiškai. Ir tam išspręskite dar penkis pavyzdžius. Tačiau neapgaudinėkite: jūs negalite naudoti diskriminanto! Tik Vietos teorema:

Savarankiško darbo užduočių sprendimai:

Užduotis 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Pagal Vietos teoremą:

Kaip įprasta, atranką pradedame nuo kūrinio:

Netinka, nes kiekis;

: suma yra tokia, kokios jums reikia.

Atsakymas: ; .

2 užduotis.

Ir vėl mūsų mėgstamiausia Vieta teorema: suma turi būti lygi, o sandauga turi būti lygi.

Bet kadangi turi būti ne, o, keičiame šaknų ženklus: ir (iš viso).

Atsakymas: ; .

3 užduotis.

Hmm... Kur tai yra?

Turite perkelti visas sąlygas į vieną dalį:

Šaknų suma lygi sandaugai.

Gerai, sustok! Lygtis nepateikta. Tačiau Vietos teorema taikoma tik pateiktose lygtyse. Taigi pirmiausia turite pateikti lygtį. Jei negalite vadovauti, atsisakykite šios idėjos ir spręskite kitu būdu (pavyzdžiui, per diskriminantą). Leiskite jums priminti, kad pateikti kvadratinę lygtį reiškia, kad pagrindinis koeficientas būtų lygus:

Puiku. Tada šaknų suma lygi ir sandaugai.

Čia pasirinkti taip pat paprasta, kaip kriaušes gliaudyti: juk tai pirminis skaičius (atsiprašau už tautologiją).

Atsakymas: ; .

4 užduotis.

Laisvas narys yra neigiamas. Kuo tai ypatinga? Ir faktas yra tas, kad šaknys turės skirtingus ženklus. O dabar atrankos metu tikriname ne šaknų sumą, o jų modulių skirtumą: šis skirtumas lygus, o produktas.

Taigi, šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų yra minusas. Vietos teorema sako, kad šaknų suma yra lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu, ty. Tai reiškia, kad mažesnė šaknis turės minusą: ir, kadangi.

Atsakymas: ; .

5 užduotis.

Ką daryti pirmiausia? Teisingai, pateikite lygtį:

Vėlgi: pasirenkame skaičiaus veiksnius, o jų skirtumas turėtų būti lygus:

Šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų yra minusas. Kuris? Jų suma turėtų būti lygi, o tai reiškia, kad minuso šaknis bus didesnė.

Atsakymas: ; .

Leiskite man apibendrinti:

1. Vietos teorema naudojama tik pateiktose kvadratinėse lygtyse.
2. Naudojant Vietos teoremą, galima rasti šaknis pagal atranką, žodžiu.
3. Jei lygtis nepateikta arba nerandama tinkama laisvojo nario veiksnių pora, tada nėra sveikų šaknų ir ją reikia išspręsti kitu būdu (pavyzdžiui, per diskriminantą).

3. Viso kvadrato parinkimo būdas

Jei visi terminai, kuriuose yra nežinomasis, yra pavaizduoti terminų forma iš sutrumpintų daugybos formulių - sumos arba skirtumo kvadratu, tada pakeitus kintamuosius, lygtis gali būti pateikta nepilnos kvadratinės lygties forma.

Pavyzdžiui:

1 pavyzdys:

Išspręskite lygtį:.

Sprendimas:

Atsakymas:

2 pavyzdys:

Išspręskite lygtį:.

Sprendimas:

Atsakymas:

Apskritai transformacija atrodys taip:

Iš to seka: .

Ar tau nieko neprimena? Tai yra diskriminacinis dalykas! Būtent taip mes gavome diskriminuojančios formulę.

Kvadratinės LYGTYBĖS. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Kvadratinė lygtis- tai formos lygtis, kur - nežinomasis, - kvadratinės lygties koeficientai, - laisvasis narys.

Pilna kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientai nėra lygūs nuliui.

Sumažinta kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientas, tai yra: .

Nebaigta kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientas ir (arba) laisvasis narys c yra lygūs nuliui:

• jei koeficientas, lygtis atrodo taip: ,
• jei yra laisvasis terminas, lygtis turi tokią formą: ,
• jei ir, lygtis atrodo taip: .

1. Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimo algoritmas

1.1. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

1) Išreikškime nežinomybę: ,

2) Patikrinkite išraiškos ženklą:

• jei, tada lygtis neturi sprendinių,
• jei, tai lygtis turi dvi šaknis.

1.2. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

1) Išimkime bendrą koeficientą iš skliaustų: ,

2) sandauga lygi nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Todėl lygtis turi dvi šaknis:

1.3. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

Ši lygtis visada turi tik vieną šaknį: .

2. Algoritmas sprendžiant pilnąsias kvadratines lygtis formos kur

2.1. Sprendimas naudojant diskriminantą

1) Perkelkime lygtį į standartinę formą: ,

2) Apskaičiuokime diskriminantą pagal formulę: , kuri nurodo lygties šaknų skaičių:

3) Raskite lygties šaknis:

• jei, tada lygtis turi šaknis, kurios randamos pagal formulę:
• jei, tada lygtis turi šaknį, kuri randama pagal formulę:
• jei, tai lygtis neturi šaknų.

2.2. Sprendimas naudojant Vietos teoremą

Sumažintos kvadratinės lygties (formos kur lygtis) šaknų suma lygi, o šaknų sandauga lygi, t.y. , A.

2.3. Sprendimas pasirenkant pilną kvadratą