Didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmių radimas. Kaip rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę intervale

Kas yra funkcijos ekstremumas ir kokia būtina ekstremumo sąlyga?

Funkcijos ekstremumas yra funkcijos maksimumas ir minimumas.

Būtina sąlyga Funkcijos maksimumas ir minimumas (ekstremumas) yra tokie: jei funkcijos f(x) taške x = a yra ekstremumas, tai šiuo metu išvestinė yra arba nulis, arba begalinė, arba jos nėra.

Ši sąlyga yra būtina, bet nepakankama. Išvestinė taške x = a gali eiti į nulį, begalybę arba neegzistuoti, jei funkcija šiame taške neturi ekstremumo.

Kaip atrodo pakankama būklė funkcijos ekstremumas (maksimalus ar minimumas)?

Pirmoji sąlyga:

Jei pakankamai arti taško x = a išvestinė f?(x) yra teigiama į kairę nuo a ir neigiama į dešinę nuo a, tai taške x = a funkcija f(x) turi maksimalus

Jei pakankamai arti taško x = a išvestinė f?(x) yra neigiama kairėje nuo a ir teigiama į dešinę nuo a, tai taške x = a funkcija f(x) turi minimumas su sąlyga, kad funkcija f(x) čia yra ištisinė.

Vietoj to galite naudoti antrąją pakankamą funkcijos ekstremumo sąlygą:

Tegul taške x = a pirmoji išvestinė f?(x) išnyksta; jei antroji išvestinė f??(a) yra neigiama, tai funkcija f(x) turi maksimumą taške x = a, jei teigiama, tai turi minimumą.

Kas yra kritinis funkcijos taškas ir kaip jį rasti?

Tai funkcijos argumento reikšmė, kuriai esant funkcijai yra ekstremumas (t. y. maksimalus arba minimumas). Norėdami jį rasti, jums reikia rasti išvestinę funkcija f?(x) ir, prilyginant ją nuliui, išspręskite lygtį f?(x) = 0. Šios lygties šaknys, taip pat tie taškai, kuriuose šios funkcijos išvestinė neegzistuoja, yra kritiniai taškai, t.y. argumento reikšmės, kuriose gali būti ekstremumas. Juos nesunku atpažinti pažiūrėjus išvestinis grafikas: mus domina tos argumento reikšmės, kuriose funkcijos grafikas kerta abscisių ašį (Ox ašį), ir tos, kuriose grafikas nutrūksta.

Pavyzdžiui, suraskime parabolės ekstremumas.

Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Funkcijos išvestinė: y?(x) = 6x + 2

Išspręskite lygtį: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

IN tokiu atveju kritinis taškas yra x0=-1/3. Funkcija turi šią argumento reikšmę ekstremumas. Jam rasti, pakeiskite rastą skaičių funkcijos išraiškoje vietoj „x“:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Kaip nustatyti funkcijos maksimumą ir minimumą, t.y. didžiausios ir mažiausios jo vertės?

Jei išvestinės ženklas einant per kritinį tašką x0 pasikeičia iš „pliuso“ į „minusą“, tai x0 yra maksimalus taškas; jei išvestinės ženklas pasikeičia iš minuso į pliusą, tai x0 yra minimalus taškas; jei ženklas nesikeičia, tai taške x0 nėra nei maksimumo, nei minimumo.

Nagrinėjamu pavyzdžiu:

Paimame savavališką argumento reikšmę kritinio taško kairėje: x = -1

Esant x = -1, išvestinės vertė bus y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (t. y. ženklas yra „minusas“).

Dabar paimame savavališką argumento reikšmę kritinio taško dešinėje: x = 1

Esant x = 1, išvestinės reikšmė bus y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (t. y. ženklas yra "pliusas").

Kaip matote, išvestinė ženklą iš minuso į pliusą, eidama per kritinį tašką, pakeitė. Tai reiškia, kad esant kritinei vertei x0 turime mažiausią tašką.

Didžiausias ir nai mažesnė vertė funkcijas ant intervalo(segmente) randami naudojant tą pačią procedūrą, tik atsižvelgiant į tai, kad galbūt ne visi kritiniai taškai bus nurodytame intervale. Tie kritiniai taškai, kurie yra už intervalo ribų, turi būti neįtraukti. Jei intervale yra tik vienas kritinis taškas, jis turės arba maksimumą, arba minimumą. Šiuo atveju, norėdami nustatyti didžiausias ir mažiausias funkcijos reikšmes, taip pat atsižvelgiame į funkcijos reikšmes intervalo galuose.

Pavyzdžiui, suraskime didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes

y(x) = 3sin(x) – 0,5x

intervalais:

Taigi, funkcijos išvestinė yra

y?(x) = 3cos(x) – 0,5

Išsprendžiame lygtį 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arkos(0,16667) + 2πk.

Mes randame kritinius taškus intervale [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (neįtraukta į intervalą)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arckos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arckos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (neįtraukta į intervalą)

Funkcijos reikšmes randame ties kritines vertes argumentas:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Matyti, kad intervale [-9; 9] didžiausia vertė funkcija turi x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

o mažiausias – esant x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Ant intervalo [-6; -3] turime tik vieną kritinį tašką: x = -4,88. Funkcijos reikšmė, kai x = -4,88, yra lygi y = 5,398.

Raskite funkcijos reikšmę intervalo galuose:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Ant intervalo [-6; -3] turime didžiausią funkcijos reikšmę

y = 5,398, kai x = -4,88

mažiausia vertė -

y = 1,077, kai x = -3

Kaip rasti funkcijos grafiko vingio taškus ir nustatyti išgaubtą ir įgaubtą puses?

Norėdami rasti visus tiesės y = f(x) vingio taškus, turite rasti antrąją išvestinę, prilyginti ją nuliui (išspręsti lygtį) ir išbandyti visas tas x reikšmes, kurių antroji išvestinė lygi nuliui, begalinis arba neegzistuoja. Jei, einant per vieną iš šių reikšmių, antroji išvestinė keičia ženklą, tai funkcijos grafikas šiame taške turi linksnį. Jei jis nesikeičia, tada nėra lenkimo.

Lygties f šaknys? (x) = 0, taip pat galimi funkcijos ir antrosios išvestinės nutrūkimo taškai, funkcijos apibrėžimo sritį padalija į daugybę intervalų. Išgaubtumą kiekviename jų intervale lemia antrosios išvestinės ženklas. Jei antroji išvestinė tiriamo intervalo taške yra teigiama, tai linija y = f(x) yra įgaubta aukštyn, o jei neigiama, tada žemyn.

Kaip rasti dviejų kintamųjų funkcijos kraštutinumą?

Norint rasti funkcijos f(x,y), diferencijuojamos jos specifikacijos srityje, ekstremalumą, reikia:

1) suraskite kritinius taškus ir tam - išspręskite lygčių sistemą

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) kiekvienam kritiniam taškui P0(a;b) ištirti, ar skirtumo ženklas išlieka nepakitęs

visuose taškuose (x;y) pakankamai arti P0. Jei skirtumas išlieka teigiamas ženklas, tada taške P0 turime minimumą, jei neigiamą, tai maksimumą. Jei skirtumas neišlaiko savo ženklo, tada taške P0 nėra ekstremumo.

Funkcijos ekstremumai nustatomi panašiai daugiau argumentai.

Kokie gazuoti gaivieji gėrimai valo paviršius?
Yra nuomonė, kad gazuotas gaivusis gėrimas Coca-Cola gali ištirpinti mėsą. Bet, deja, tiesioginių to įrodymų nėra. Priešingai, yra teigiamų faktų, patvirtinančių, kad dvi dienas Coca-Cola gėrime palikta mėsa keičia vartotojų savybes ir niekur nedingsta.

Standartinių butų išplanavimus, namų aprašymus ir nuotraukas galite peržiūrėti svetainėse: - www.kvadroom.ru/planirovki - www.prime-realty.ru/tip/tip.htm - goodgoods.ru/pages/1093353787.html - www.cnko

Kaip gydyti neurozę
Neurozė (Novolat. neurosis, kilęs iš senovės graikų νε?ρον – nervas; sinonimai – psichoneurozė, neurozinis sutrikimas) – klinikoje: bendras funkcinių psichogeninių grįžtamųjų sutrikimų grupės, linkusios išlikti, pavadinimas.

Kas yra afelionas
Apocentras – orbitos taškas, kuriame elipsine orbita aplink kitą kūną besisukantis kūnas pasiekia didžiausią atstumą nuo pastarojo. Tame pačiame taške pagal antrąjį Keplerio dėsnį – greitį orbitos judėjimas tampa minimalus. Apocenter yra taške, kuris yra diametraliai priešingas periapsiui. Ypatingais atvejais įprasta vartoti specialius terminus:

Kas yra mamonas
Mamon (m.r.), mammon (f.r.) – žodis, kilęs iš graikų kalbos. mamonos ir reiškia turtus, žemiškus lobius, palaiminimus. Tarp kai kurių senovės pagonių tautų jis buvo turto ir naudos dievas. Minėtas Šventasis Raštas iš evangelistų Mato ir Luko: „Niekas negali tarnauti dviem šeimininkams: arba vieno, o kito nekęs.

Kada yra stačiatikių Velykos 2049 m.?
2015 metais stačiatikių Velykos bus balandžio 12 d., o katalikų Velykos – balandžio 5 d. IN bažnytiniai kalendoriai stačiatikių Velykų datos pateikiamos pagal Julijaus kalendorius (senas Stilius), o katalikų Velykos skaičiuojamos pagal šiuolaikinį Grigaliaus kalendorių ( naujas stilius), todėl datų palyginimas reikalauja tam tikrų protinių pastangų

Kas yra rublis
Rublis – tai šiuolaikinių Rusijos, Baltarusijos (Baltarusijos rublis), Padniestrės (Padniestrės rublio) valiutų pavadinimas. Rusijos rublis taip pat yra apyvartoje Pietų Osetija ir Abchazija. Praeityje - valiutos vienetas Rusijos respublikos ir kunigaikštystės, Maskvos Didžioji Kunigaikštystė, Rusijos carystė, Lietuvos Didžioji Kunigaikštystė, Rusijos imperija ir įvairių

Kiek laiko Ariel Sharon buvo komos būsenos?
Ariel Arik Sharon (Sheinerman) – Izraelio karinė, politinė ir valstybininkas, Izraelio ministras pirmininkas 2001–2006 m. Gimimo data: 1928 m. vasario 26 d. Gimimo vieta: Kfar Malal gyvenvietė netoli Kfar Sava, Izraelis Mirties data: 2014 m. sausio 11 d. Mirties vieta: Ramat Gan, Gush Dan, Iz

Kas buvo neandertaliečiai
Neandertalietis, neandertalietis (lot. Homo neanderthalensis arba Homo sapiens neandertalietis) - fosilijų rūšysžmonių, gyvenusių prieš 300-24 tūkst. Pavadinimo kilmė Manoma, kad neandertaliečių kaukolė pirmą kartą buvo rasta 1856 m

Kiek metų yra Geoffrey Rush
Geoffrey Rush yra Australijos kino ir scenos aktorius. „Oskaro“ (1997), BAFTA (1996, 1999), „Auksinio gaublio“ (1997, 2005) laureatas. Dauguma garsių filmų su jo dalyvavimu - „Švytėjimas“

Kaip nustatyti funkcijos grafiko išgaubtumo ir įgaubimo intervalus
Kas yra funkcijos ekstremumas ir kokia būtina ekstremumo sąlyga? Funkcijos ekstremumas yra funkcijos maksimumas ir minimumas. Būtinoji funkcijos maksimumo ir minimumo (ekstremumo) sąlyga yra tokia: jei funkcijos f(x) taške x = a yra ekstremumas, tai išvestinė šiame taške yra arba nulis, arba begalinė, arba ne egzistuoja. Ši sąlyga yra būtina, bet nepakankama. Išvestinė t

Didžiausia (mažiausia) funkcijos reikšmė yra didžiausia (mažiausia) priimta ordinačių reikšmė nagrinėjamame intervale.

Norėdami rasti didžiausią arba mažiausią funkcijos reikšmę, turite:

1. Patikrinkite, kurie stacionarūs taškai yra įtraukti į tam tikrą segmentą.
2. Apskaičiuokite funkcijos reikšmę atkarpos galuose ir stacionariuose taškuose nuo 3 veiksmo
3. Iš gautų rezultatų pasirinkite didžiausią arba mažiausią reikšmę.

Norėdami rasti didžiausią arba mažiausią taškų skaičių, jums reikia:

1. Raskite funkcijos $f"(x)$ išvestinę
2. Raskite stacionarius taškus išsprendę lygtį $f"(x)=0$
3. Funkcijos išvestinės koeficientas.
4. Nubrėžkite koordinačių liniją, uždėkite ant jos stacionarius taškus ir gautuose intervaluose nustatykite išvestinės ženklus, naudodami 3 žingsnio žymėjimą.
5. Raskite maksimalų arba mažiausią taškų skaičių pagal taisyklę: jei taške išvestinė pakeičia ženklą iš pliuso į minusą, tai bus didžiausias taškas (jei iš minuso į pliusą, tai bus mažiausias taškas). Praktiškai patogu naudoti rodyklių atvaizdą intervalais: intervale, kuriame išvestinė yra teigiama, rodyklė brėžiama aukštyn ir atvirkščiai.

Kai kurių elementariųjų funkcijų išvestinių lentelė:

Pagrindinės diferenciacijos taisyklės

1. Sumos ir skirtumo išvestinė lygi kiekvieno nario išvestinei

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Raskite funkcijos $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$ išvestinę

Sumos ir skirtumo išvestinė yra lygi kiekvieno nario išvestinei

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Produkto darinys.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Raskite išvestinę $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Dalinio išvestinė

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Raskite išvestinę $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Išvestinė sudėtinga funkcija yra lygus išorinės funkcijos išvestinės ir vidinės funkcijos išvestinės sandaugai

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Raskite funkcijos $y=2x-ln⁡(x+11)+4$ mažiausią tašką

1. Raskime ODZ funkcijos: $x+11>0; x>-11 USD

2. Raskite funkcijos $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$ išvestinę

3. Raskite stacionarius taškus prilygindami išvestinę nuliui

$(2x+21)/(x+11)=0$

Trupmena lygi nuliui, jei skaitiklis lygus nuliui, o vardiklis nėra nulis

$2x+21=0; x≠-11 USD

4. Nubrėžkime koordinačių liniją, ant jos pastatykime stacionarius taškus ir gautuose intervaluose nustatykime išvestinės ženklus. Norėdami tai padaryti, pakeiskite bet kurį skaičių iš dešiniojo krašto į išvestinę, pavyzdžiui, nulį.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Minimaliame taške išvestinė keičia ženklą iš minuso į pliusą, todėl taškas $-10.5$ yra minimalus taškas.

Atsakymas: -10,5 USD

Raskite didžiausią funkcijos $y=6x^5-90x^3-5$ reikšmę segmente $[-5;1]$

1. Raskite funkcijos $y′=30x^4-270x^2$ išvestinę

2. Išvestinę prilyginkite nuliui ir raskite stacionarius taškus

30 USD x ^ 4–270 x ^ 2 = 0 USD

Išimsime bendras daugiklis 30 $ x ^ 2 $ skliausteliuose

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Kiekvieną veiksnį prilyginkime nuliui

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Pasirinkite stacionarius taškus, kurie priklauso šis segmentas $[-5;1]$

Stacionarūs taškai $x=0$ ir $x=-3$ mums tinka

4. Apskaičiuokite funkcijos reikšmę atkarpos galuose ir stacionariuose taškuose nuo 3 veiksmo

Ir norint ją išspręsti, jums reikės minimalių žinių apie temą. Kitas baigiasi mokslo metai, visi nori atostogauti, o norėdama priartinti šią akimirką, iškart pereisiu prie reikalo:

Pradėkime nuo srities. Sąlygoje nurodytas plotas yra ribotas uždaryta taškų rinkinys plokštumoje. Pavyzdžiui, taškų, apribotų trikampiu, rinkinys, įskaitant VISĄ trikampį (jei iš sienų„išskirkite“ bent vieną tašką, tada regionas nebebus uždarytas). Praktikoje taip pat yra stačiakampių, apskritų ir šiek tiek didesnių sričių. sudėtingos formos. Reikėtų pažymėti, kad teoriškai matematinė analizė pateikiami griežti apibrėžimai apribojimai, izoliacija, ribos ir kt., bet manau, kad visi žino šias sąvokas intuityviu lygmeniu, ir dabar nieko daugiau nereikia.

Plokščias plotas paprastai žymimas raide ir, kaip taisyklė, nurodomas analitiškai - keliomis lygtimis (nebūtinai linijinis); rečiau nelygybės. Tipiškas frazės posūkis: "uždara zona, apribotas linijomis ».

Neatsiejama nagrinėjamos užduoties dalis yra ploto sukūrimas brėžinyje. Kaip tai padaryti? Turite nubrėžti visas išvardytas linijas (šiuo atveju 3 tiesiai) ir analizuoti, kas atsitiko. Ieškoma sritis paprastai būna švelniai užtamsinta, o jos riba pažymėta stora linija:


Taip pat galima nustatyti tą pačią sritį tiesinės nelygybės: , kurie dėl tam tikrų priežasčių dažnai rašomi kaip išvardintas sąrašas, o ne kaip sistema.
Kadangi riba priklauso regionui, tada visos nelygybės, žinoma, atsainiai.

O dabar užduoties esmė. Įsivaizduokite, kad ašis išeina tiesiai į jus nuo pradžios. Apsvarstykite funkciją, kuri tęstinis kiekviename ploto taškas. Šios funkcijos grafikas parodo kai kuriuos paviršius, Ir šiek tiek laimės yra tai, kad norint išspręsti šiandienos problemą, mums nereikia žinoti, kaip atrodo šis paviršius. Jis gali būti aukščiau, žemiau, kirsti plokštumą - visa tai nesvarbu. Ir svarbu tai: pagal Weierstrasso teoremos, tęstinis V ribotas uždarytas srityje funkcija pasiekia didžiausią vertę (aukščiausias") ir mažiausiai (mažiausias") vertybes, kurias reikia rasti. Tokios vertybės pasiekiamos arba V stacionarūs taškai, priklausantis regionuiD , arba taškuose, kurie yra ant šios srities ribos. Tai veda prie paprasto ir skaidraus sprendimo algoritmo:

1 pavyzdys

Ribotu būdu uždara zona

Sprendimas: Visų pirma, piešinyje turite pavaizduoti sritį. Deja, man tai techniškai sunku padaryti interaktyvus modelis užduotį, todėl iš karto pateiksiu galutinę iliustraciją, kurioje pavaizduoti visi tyrimo metu rasti „įtartini“ taškai. Paprastai jie pateikiami vienas po kito, kai jie atrandami:

Remiantis preambule, patogu sprendimą suskirstyti į du punktus:

I) Raskite stacionarius taškus. Tai yra standartinis veiksmas, kurį pakartotinai atlikome klasėje. apie kelių kintamųjų ekstremumus:

Rastas stacionarus taškas priklauso sritys: (pažymėkite ant piešinio), tai reiškia, kad turėtume apskaičiuoti funkcijos reikšmę tam tikrame taške:

- kaip straipsnyje Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmės segmente, svarbius rezultatus Parašysiu paryškintu šriftu. Juos patogu pieštuku atsekti sąsiuvinyje.

Atkreipkite dėmesį į mūsų antrąją laimę – nėra prasmės tikrinti pakankama sąlyga ekstremumui. Kodėl? Net jei funkcija tam tikru momentu pasiekia, pvz. vietinis minimumas , tada tai NEREIKIA, kad gauta reikšmė bus minimalus visame regione (žr. pamokos pradžią apie besąlyginius kraštutinumus) .

Ką daryti, jei stacionarus taškas nepriklauso regionui? Beveik nieko! Reikėtų tai pastebėti ir pereiti prie kito punkto.

II) Tiriame regiono sieną.

Kadangi kraštinė susideda iš trikampio kraštinių, studiją patogu suskirstyti į 3 poskyrius. Bet geriau to nedaryti. Mano požiūriu, naudingiau pirmiausia nagrinėti segmentus lygiagrečiai koordinačių ašys, o pirmiausia – patys gulintys ant kirvių. Norėdami suvokti visą veiksmų seką ir logiką, pabandykite ištirti pabaigą „vienu įkvėpimu“:

1) Panagrinėkime apatinę trikampio kraštinę. Norėdami tai padaryti, pakeiskite tiesiai į funkciją:

Arba galite tai padaryti taip:

Geometriškai tai reiškia koordinačių plokštuma (kuri taip pat pateikiama lygtyje)"išraižo" iš paviršiai„erdvinė“ parabolė, kurios viršūnė iškart kyla įtarimų. Išsiaiškinkime kur ji yra:

– gauta vertė „įkrito“ į sritį, ir gali pasirodyti, kad taške (pažymėta brėžinyje) funkcija pasiekia didžiausią arba mažiausią reikšmę visame regione. Vienaip ar kitaip, atlikime skaičiavimus:

Kiti „kandidatai“, žinoma, yra segmento galai. Apskaičiuokime funkcijos reikšmes taškuose (pažymėta brėžinyje):

Čia, beje, galite atlikti žodinį mini patikrinimą naudodami „nuplėštą“ versiją:

2) Tyrimams dešinioji pusė mes pakeičiame trikampį į funkciją ir „sutvarkome dalykus“:

Čia mes nedelsdami atliksime grubų patikrinimą, „skambindami“ jau apdorotą segmento galą:
, Puiku.

Geometrinė situacija yra susijusi su ankstesniu tašku:

– gauta reikšmė taip pat „pateko į mūsų interesų sritį“, o tai reiškia, kad turime apskaičiuoti, kam lygi funkcija atsiradusiame taške:

Panagrinėkime antrąjį segmento galą:

Naudojant funkciją , atlikime kontrolinį patikrinimą:

3) Turbūt kiekvienas gali atspėti, kaip ištirti likusią pusę. Mes jį pakeičiame į funkciją ir atliekame supaprastinimus:

Segmento galai jau buvo ištirtos, tačiau juodraštyje vis tiek tikriname, ar teisingai radome funkciją :
– sutapo su 1 pastraipos rezultatu;
– sutapo su 2 pastraipos rezultatu.

Belieka išsiaiškinti, ar segmente yra kažkas įdomaus:

- Yra! Pakeitę tiesę į lygtį, gauname šio „įdomumo“ ordinatę:

Pažymime tašką brėžinyje ir randame atitinkamą funkcijos reikšmę:

Patikrinkime skaičiavimus naudodami „biudžeto“ versiją :
, įsakymas.

Ir paskutinis žingsnis: Atidžiai peržiūrime visus „paryškintus“ skaičius, pradedantiesiems rekomenduoju sudaryti net vieną sąrašą:

iš kurių parenkame didžiausias ir mažiausias reikšmes. Atsakymas Užsirašykime suradimo problemos stiliumi didžiausios ir mažiausios segmento funkcijos reikšmės:

Bet kokiu atveju dar kartą pakomentuosiu geometrine prasme rezultatas:
– čia daugiausia aukstas taskas paviršiai zonoje;
– čia daugiausia žemiausias taškas paviršiai rajone.

Analizuojamoje užduotyje nustatėme 7 „įtartinus“ taškus, tačiau jų skaičius įvairiose užduotyse skiriasi. Trikampio regiono minimalų „tyrimų rinkinį“ sudaro trys taškai. Taip atsitinka, kai, pavyzdžiui, funkcija nurodo lėktuvas– visiškai aišku, kad stacionarių taškų nėra, o didžiausias/mažiausias reikšmes funkcija gali pasiekti tik trikampio viršūnėse. Tačiau yra tik vienas ar du panašūs pavyzdžiai – dažniausiai tenka susidurti su kokiais nors 2 eilės paviršius.

Jei bandysite tokias užduotis šiek tiek išspręsti, tada trikampiai gali priversti galvą suktis, todėl aš jums pasiruošiau neįprasti pavyzdžiai kad taptų kvadratas :))

2 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes uždaroje zonoje, kurią riboja linijos

3 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes ribotame uždarame regione.

Ypatingas dėmesys Atkreipkite dėmesį į racionalią regiono ribos tyrimo tvarką ir techniką, taip pat į tarpinių patikrinimų grandinę, kuri beveik visiškai išvengs skaičiavimo klaidų. Paprastai tariant, galite tai išspręsti bet kokiu būdu, tačiau kai kuriose problemose, pavyzdžiui, 2 pavyzdyje, yra visos galimybės gerokai apsunkinti jūsų gyvenimą. Apytikslis pavyzdys baigti užduotis pamokos pabaigoje.

Susisteminkime sprendimo algoritmą, kitu atveju su mano kaip voro darbštumu jis kažkaip pasiklydo ilgoje 1-ojo pavyzdžio komentarų gijoje:

– Pirmuoju žingsniu statome plotą, patartina jį nuspalvinti ir paryškinti kraštą paryškinta linija. Sprendimo metu atsiras taškai, kuriuos reikia pažymėti brėžinyje.

– Raskite stacionarius taškus ir apskaičiuokite funkcijos reikšmes tik tuose iš jų kurie priklauso regionui. Tekste paryškiname gautas reikšmes (pavyzdžiui, apibraukite jas pieštuku). Jei stacionarus taškas NEPRIklauso regionui, tai pažymime šį faktą piktograma arba žodžiu. Jeigu stacionarūs taškai visai ne, tada darome raštišką išvadą, kad jų nėra. Bet kokiu atveju šio punkto negalima praleisti!

– Tiriame regiono sieną. Pirma, pravartu suprasti tiesias linijas, kurios yra lygiagrečios koordinačių ašims (jei tokių iš viso yra). Taip pat pabrėžiame funkcijų reikšmes, apskaičiuotas „įtartiniuose“ taškuose. Aukščiau daug pasakyta apie sprendimo techniką, o kai kas dar bus pasakyta žemiau – skaitykite, skaitykite dar kartą, gilinkitės į tai!

– Iš pasirinktų skaičių pasirinkite didžiausią ir mažiausią reikšmes ir pateikite atsakymą. Kartais atsitinka taip, kad funkcija pasiekia tokias reikšmes keliuose taškuose vienu metu - šiuo atveju visi šie taškai turėtų atsispindėti atsakyme. Tegu pvz. ir paaiškėjo, kad tai mažiausia vertė. Tada mes tai užrašome

Paskutiniai pavyzdžiai skirti kitiems naudingų idėjų kuris bus naudingas praktikoje:

4 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes uždarame regione .

Išlaikiau autoriaus formuluotę, kurioje plotas pateiktas dvigubos nelygybės forma. Šią sąlygą galima parašyti lygiavertė sistema arba tradicine šios užduoties forma:

Primenu, kad su netiesinis susidūrėme su nelygybėmis , o jei nesuprantate žymėjimo geometrinės reikšmės, prašome nedelsti ir išsiaiškinti situaciją jau dabar;-)

Sprendimas, kaip visada, pradedama sukonstruoti sritį, kuri atstovauja tam tikrą „padą“:

Hmm, kartais tenka kramtyti ne tik mokslo granitą...

I) Raskite stacionarius taškus:

Sistema yra idiotų svajonė :)

Nejudantis taškas priklauso regionui, ty yra ant jo ribos.

Ir taip, viskas gerai... pamoka praėjo puikiai – štai ką reiškia gerti tinkamą arbatą =)

II) Tiriame regiono sieną. Nesivaržydami pradėkime nuo x ašies:

1) Jei , tada

Raskime, kur yra parabolės viršūnė:
– vertink tokias akimirkas – „pataikė“ tiesiai iki taško, nuo kurio jau viskas aišku. Tačiau vis tiek nepamirštame patikrinti:

Apskaičiuokime funkcijos reikšmes segmento galuose:

2) Apsvarstykime apatinę „pado“ dalį „vienu prisėdimu“ - be jokių kompleksų ją pakeičiame į funkciją, o mus domina tik segmentas:

Kontrolė:

Tai jau suteikia jaudulio monotoniškam važiavimui raižyta trasa. Raskime kritinius taškus:

Nuspręskime kvadratinė lygtis, ar prisimeni dar ką nors apie tai? ...Tačiau, žinoma, atminkite, kitaip jūs neskaitytumėte šių eilučių =) Jei dviejuose ankstesniuose pavyzdžiuose skaičiavimai po kablelio(kas, beje, reta), tada čia mūsų laukia įprasti bendrosios trupmenos. Mes randame „X“ šaknis ir naudojame lygtį, norėdami nustatyti atitinkamas „kandidatų“ taškų „žaidimo“ koordinates:


Apskaičiuokime funkcijos reikšmes rastuose taškuose:

Patikrinkite funkciją patys.

Dabar atidžiai studijuojame laimėtus trofėjus ir užrašome atsakyti:

Tai yra „kandidatai“, tai yra „kandidatai“!

Dėl savarankiškas sprendimas:

5 pavyzdys

Raskite mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes uždaroje teritorijoje

Įrašas iš garbanoti breketai skamba taip: „taškų rinkinys toks“.

Kartais į panašių pavyzdžių naudoti Lagranžo daugiklio metodas, tačiau vargu ar tikrai reikės jį naudoti. Taigi, pavyzdžiui, jei duota funkcija su ta pačia sritimi „de“, tai po pakeitimo į ją – su išvestine iš jokių sunkumų; Be to, viskas sudaryta „vienoje eilutėje“ (su ženklais), nereikia atskirai apsvarstyti viršutinio ir apatinio puslankių. Bet, žinoma, yra ir daugiau sudėtingų atvejų, kur be Lagrange funkcijos (kur, pavyzdžiui, yra ta pati apskritimo lygtis) Sunku išsiversti – kaip ir be gero poilsio!

Visiems gero laiko ir iki greito pasimatymo kitame sezone!

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys: Sprendimas: Pavaizduokime sritį brėžinyje:

Smulkus ir gražus paprasta užduotis iš tų, kurie tarnauja kaip gelbėjimosi priemonė plūduriuojančiam studentui, kategorijos. Gamtoje liepos vidurys, tad pats laikas su nešiojamuoju kompiuteriu įsikurti paplūdimyje. Ankstus rytas pradėjo žaisti saulėtas zuikis teoriją, kad netrukus susitelktų į praktiką, kurioje, nepaisant tariamo lengvumo, smėlyje yra stiklo šukių. Šiuo atžvilgiu rekomenduoju sąžiningai apsvarstyti kelis šio puslapio pavyzdžius. Dėl sprendimų praktines užduotis turi sugebėti rasti išvestinių ir suprasti straipsnio medžiagą Monotoniškumo intervalai ir funkcijos ekstremumai.

Pirma, trumpai apie pagrindinį dalyką. Pamokoje apie funkcijos tęstinumas Pateikiau tęstinumo taške ir tęstinumo intervale apibrėžimą. Pavyzdinis funkcijos elgesys segmente suformuluotas panašiai. Funkcija yra nepertraukiama tam tikru intervalu, jei:

1) jis yra tęstinis intervale ;
2) ištisinis taške Dešinėje ir taške paliko.

Antroje pastraipoje kalbėjome apie vadinamąjį vienpusis tęstinumas veikia taške. Yra keletas būdų, kaip jį apibrėžti, bet aš pasiliksiu prie anksčiau pradėtos linijos:

Funkcija yra nuolatinė taške Dešinėje, jei jis apibrėžtas tam tikrame taške ir jo dešinioji riba sutampa su funkcijos reikšme tam tikrame taške: . Jis yra nenutrūkstamas taške paliko, jei apibrėžta tam tikrame taške ir jo kairioji riba lygi verteiŠiuo atveju:

Įsivaizduok tai žali taškai- tai yra nagai, ant kurių pritvirtinama stebuklinga elastinė juosta:

Psichiškai paimkite raudoną liniją į rankas. Akivaizdu, kad ir kiek temptume grafiką aukštyn ir žemyn (išilgai ašies), funkcija vis tiek išliks ribotas– viršuje tvora, apačioje tvora, o aptvare ganosi mūsų gaminys. Taigi, funkcija, kuri tęsiasi intervale, yra ribojama. Matematinės analizės metu šis iš pažiūros paprastas faktas yra konstatuojamas ir griežtai įrodytas. Pirmoji Weierstrasso teorema....Daugelį erzina, kad matematikoje nuobodžiai pagrindžiami elementarūs teiginiai, bet tai turi svarbią reikšmę. Tarkime, tam tikras kilpinių viduramžių gyventojas ištraukė grafiką į dangų už matomumo ribos, tai buvo įterpta. Prieš išrandant teleskopą, ribota funkcija erdvėje nebuvo akivaizdi! Tikrai, kaip žinoti, kas mūsų laukia už horizonto? Juk kažkada Žemė buvo laikoma plokščia, todėl šiandien net ir įprasta teleportacija reikalauja įrodymų =)

Pagal Antroji Weierstrasso teorema, ištisinis segmentefunkcija pasiekia savo tikslūs viršutinis kraštas ir tavo tikslus apatinis kraštas .

Taip pat skambinama numeriu maksimali funkcijos reikšmė segmente ir yra žymimi , o skaičius yra mažiausia funkcijos reikšmė atkarpoje pažymėtas .

Mūsų atveju:

Pastaba : teoriškai įrašai yra įprasti .

Grubiai tariant, didžiausia reikšmė yra ten, kur yra aukščiausias grafiko taškas, o mažiausia – ten, kur yra žemiausias taškas.

Svarbu! Kaip jau buvo pabrėžta straipsnyje apie funkcijos ekstremumai, didžiausia funkcijos vertė Ir mažiausia funkcijos reikšmė – NE TAS PATS, Ką maksimali funkcija Ir minimali funkcija. Taigi nagrinėjamame pavyzdyje skaičius yra funkcijos minimumas, bet ne mažiausia reikšmė.

Beje, kas vyksta už segmento ribų? Taip, net potvynis nagrinėjamos problemos kontekste mūsų visiškai nedomina. Užduotis apima tik dviejų skaičių paiešką Štai ir viskas!

Be to, sprendimas yra grynai analitinis nereikia daryti piešinio!

Algoritmas yra ant paviršiaus ir siūlo save iš aukščiau esančio paveikslo:

1) Raskite funkcijos reikšmes kritinius taškus, kurie priklauso šiam segmentui.

Pagauk dar vieną premiją: čia nereikia tikrinti, ar pakankama ekstremumo sąlyga, nes, kaip ką tik parodyta, ar yra minimumas arba maksimumas dar negarantuoja, koks yra minimalus arba maksimali vertė. Parodomoji funkcija pasiekia maksimumą ir likimo valia toks pat skaičius yra didžiausia segmento funkcijos reikšmė. Bet, žinoma, toks sutapimas įvyksta ne visada.

Taigi pirmuoju žingsniu greičiau ir paprasčiau apskaičiuoti funkcijos reikšmes kritiniuose segmentui priklausančiuose taškuose, nesijaudinant, ar juose yra ekstremalių, ar ne.

2) Apskaičiuojame funkcijos reikšmes segmento galuose.

3) Iš funkcijų reikšmių, rastų 1 ir 2 pastraipose, pasirinkite mažiausią ir didžiausią didelis skaičius, parašykite atsakymą.

Atsisėdame ant kranto mėlyna jūra ir kulnais trenkiame į seklią vandenį:

1 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes segmente

Sprendimas:
1) Apskaičiuokime funkcijos reikšmes kritiniuose taškuose, priklausančiuose šiam segmentui:

Apskaičiuokime funkcijos reikšmę antroje kritinis taškas:

2) Apskaičiuokime funkcijos reikšmes segmento galuose:

3) „Paryškinti“ rezultatai gauti su eksponentais ir logaritmais, o tai labai apsunkina jų palyginimą. Dėl šios priežasties apsiginkluokite skaičiuotuvu arba Excel ir apskaičiuokime apytiksles reikšmes, nepamiršdami:

Dabar viskas aišku.

Atsakymas:

Dalinis-racionalus nepriklausomo sprendimo pavyzdys:

6 pavyzdys

Raskite maksimalų ir minimalią vertę veikia tam tikru intervalu

Šiame straipsnyje kalbėsiu apie tai, kaip rasti įgūdį pritaikyti funkcijos tyrimui: rasti didžiausią ar mažiausią jos reikšmę. Ir tada mes išspręsime keletą problemų iš užduoties B15 nuo Atidarykite banką užduotys .

Kaip įprasta, pirmiausia prisiminkime teoriją.

Bet kurio funkcijos tyrimo pradžioje mes ją randame

Norėdami rasti didžiausią ar mažiausią funkcijos reikšmę, turite ištirti, kokiais intervalais funkcija didėja, o kuriais mažėja.

Norėdami tai padaryti, turime rasti funkcijos išvestinę ir ištirti jos pastovaus ženklo intervalus, tai yra intervalus, per kuriuos išvestinė išlaiko savo ženklą.

Intervalai, per kuriuos funkcijos išvestinė yra teigiama, yra didėjančios funkcijos intervalai.

Intervalai, kurių funkcijos išvestinė yra neigiama, yra mažėjančios funkcijos intervalai.

1 . Išspręskime užduotį B15 (Nr. 245184)

Norėdami tai išspręsti, vadovausimės tokiu algoritmu:

a) Raskite funkcijos apibrėžimo sritį

b) Raskime funkcijos išvestinę.

c) Prilyginkime nuliui.

d) Raskime funkcijos pastovaus ženklo intervalus.

e) Raskite tašką, kuriame funkcija įgyja didžiausią reikšmę.

f) Raskite funkcijos reikšmę šiame taške.

Išsamų šios užduoties sprendimą paaiškinu VAIZDO PAMOKAJE:

Jūsų naršyklė tikriausiai nepalaikoma. Norėdami naudotis treniruokliu " Vieninga valstybinių egzaminų valanda“, pabandykite atsisiųsti
Firefox

2. Išspręskime užduotį B15 (Nr. 282862)

Raskite didžiausią funkcijos reikšmę segmente

Akivaizdu, kad funkcija įgauna didžiausią atkarpos reikšmę didžiausiame taške, kai x=2. Raskime funkcijos reikšmę šiame taške:

Atsakymas: 5

3. Išspręskime užduotį B15 (Nr. 245180):

Raskite didžiausią funkcijos reikšmę

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Kadangi pagal pradinės funkcijos apibrėžimo sritį title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Skaitiklis lygus nuliui ties . Patikrinkime, ar ODZ priklauso funkcijai. Norėdami tai padaryti, patikrinkime, ar sąlyga title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

tai reiškia, kad taškas priklauso ODZ funkcijai

Panagrinėkime išvestinės taško dešinėje ir kairėje ženklą:

Matome, kad funkcija įgauna didžiausią reikšmę taške . Dabar suraskime funkcijos reikšmę:

Pastaba 1. Atkreipkite dėmesį, kad šioje užduotyje neradome funkcijos apibrėžimo srities: fiksavome tik apribojimus ir patikrinome, ar taškas, kuriame išvestinė lygi nuliui, priklauso funkcijos apibrėžimo sričiai. Paaiškėjo, kad to pakanka šiai užduočiai atlikti. Tačiau taip būna ne visada. Tai priklauso nuo užduoties.

2 pastaba. Tirdami sudėtingos funkcijos elgesį, galite naudoti šią taisyklę:

• jei kompleksinės funkcijos išorinė funkcija didėja, tada funkcija įgyja didžiausią reikšmę tame pačiame taške, kuriame vidinė funkcija užima didžiausią vertę. Tai išplaukia iš didėjančios funkcijos apibrėžimo: funkcija didėja intervalu I, jei didesnę vertę argumentas iš šio intervalo atitinka didesnę funkcijos reikšmę.
• jei kompleksinės funkcijos išorinė funkcija mažėja, tada funkcija įgyja didžiausią reikšmę tame pačiame taške, kuriame vidinė funkcija įgauna mažiausią reikšmę . Tai išplaukia iš mažėjančios funkcijos apibrėžimo: funkcija mažėja I intervale, jei didesnė argumento reikšmė iš šio intervalo atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.

Mūsų pavyzdyje išorinė funkcija didėja visoje apibrėžimo srityje. Po logaritmo ženklu yra išraiška - kvadratinis trinaris, kuris su neigiamu pirmaujančiu koeficientu taške įgyja didžiausią reikšmę . Tada šią x reikšmę pakeičiame funkcijos lygtimi ir atrasti didžiausią jo vertę.