Mažiausia funkcijos y x 2 reikšmė yra. Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė atvirame intervale

Pamoka tema: „Didžiausių ir mažiausių ištisinės funkcijos reikšmių radimas segmente“

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Vadovai ir treniruokliai „Integral“ internetinėje parduotuvėje 10 klasei nuo 1C
Geometrijos uždavinių sprendimas. Interaktyvios konstravimo užduotys 7-10 kl
Geometrijos uždavinių sprendimas. Interaktyvios užduotys kuriant erdvėje

Ką mes studijuosime:

Didžiausios ir mažiausios reikšmės radimas iš funkcijos grafiko

Vaikinai, mes jau anksčiau radome didžiausias ir mažiausias funkcijos reikšmes. Pažiūrėjome į funkcijos grafiką ir nustatėme, kur funkcija pasiekia didžiausią reikšmę, o kur – mažiausią.
Pakartokime:

Iš mūsų funkcijos grafiko matyti, kad didžiausia vertė pasiekiama taške x= 1, ji lygi 2. Mažiausia reikšmė pasiekiama taške x= -1, ir ji lygi -2. Šiuo metodu gana paprasta rasti didžiausias ir mažiausias reikšmes, tačiau ne visada įmanoma nubrėžti funkciją.

Didžiausios ir mažiausios reikšmės radimas naudojant išvestinę

Vaikinai, ką manote, kaip galite rasti didžiausią ir mažiausią vertę naudodami išvestinę priemonę?

Atsakymą galima rasti funkcijos temos ekstremalyje. Ten jūs ir aš radome maksimumo ir minimumo taškus, argi terminai nėra panašūs? Tačiau didžiausios ir mažiausios reikšmės neturėtų būti painiojamos su maksimalia ir mažiausia funkcijos sąvokomis.

Taigi, pristatykime taisykles:
a) Jei funkcija yra nepertraukiama intervale, tai šiame intervale ji pasiekia didžiausias ir mažiausias reikšmes.
b) Funkcija gali pasiekti maksimalias ir minimalias reikšmes tiek segmentų galuose, tiek jos viduje. Pažvelkime į šį punktą išsamiau.

A paveiksle funkcija pasiekia maksimalias ir minimalias reikšmes segmentų galuose.
B paveiksle funkcija pasiekia maksimalias ir minimalias reikšmes segmento viduje. C paveiksle mažiausias taškas yra atkarpos viduje, o didžiausias – atkarpos pabaigoje, taške b.
c) Jei didžiausios ir mažiausios vertės pasiekiamos segmento viduje, tada tik stacionariuose arba kritiniuose taškuose.

Algoritmas atkarpoje tolydžios funkcijos y= f(x) didžiausios ir mažiausios reikšmės radimui

• Raskite išvestinę f"(x).
• Raskite fiksuotojo ryšio linijas ir kritinius taškus segmento viduje.
• Apskaičiuokite funkcijos reikšmę stacionariuose ir kritiniuose taškuose, taip pat f(a) ir f(b). Pasirinkite mažiausią ir didžiausią reikšmę; tai bus mažiausios ir didžiausios funkcijos reikšmių taškai.

Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė atvirame intervale

Vaikinai, kaip rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes atvirame intervale? Norėdami tai padaryti, naudosime svarbią teoremą, kuri yra įrodyta aukštosios matematikos metu.

Teorema. Tegul funkcija y= f(x) yra tolydi intervale x ir turi unikalų stacionarų arba kritinį tašką x= x0 šiame intervale, tada:
a) jei x= x0 yra maksimalus taškas, tai y yra maksimumas. = f(x0).
b) jei x= x0 yra mažiausias taškas, tai y yra pavadinimas. = f(x0).

Pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos y= $\frac(x^3)(3)$ + 2x 2 + 4x - 5 reikšmę segmente
a) [-9;-1], b) [-3;3], c) .
Sprendimas: Raskite išvestinę: y"= x 2 + 4x + 4.
Išvestinė egzistuoja visoje apibrėžimo srityje, tada turime rasti stacionarius taškus.
y" = 0, kai x = -2.
Atliksime tolesnius reikiamų segmentų skaičiavimus.
a) Raskite funkcijos reikšmes atkarpos galuose ir stacionariame taške.
Tada y vardas. = -122, kai x = -9; y maks. = y = -7$\frac(1)(3)$, kai x= -1.
b) Raskite funkcijos reikšmes atkarpos galuose ir ties stacionarus taškas. Didžiausios ir mažiausios vertės pasiekiamos segmento galuose.
Tada y vardas. = -8, kai x = -3, y maks. = 34, kai x = 3.
c) Stacionarus taškas nepatenka į mūsų atkarpą, raskime reikšmes atkarpos galuose.
Tada y vardas. = 34, kai x = 3, y maks. = 436, kai x = 9.

Pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos y= x 2 - 3x + 5 + |1-x| segmente.
Sprendimas: Išplėskime modulį ir pakeiskime savo funkciją:
y = x 2 - 3x + 5 + 1 - x, jei x ≤ 1.
y = x 2 - 3x + 5 - 1 + x, jei x ≥ 1.

Tada mūsų funkcija bus tokia:
\begin(lygtis*)f(x)= \begin(cases) x^2 - 4x + 6,\quad for\quad x ≤ 1 \\ x^2 - 2x + 4,\quad for\quad x ≥ 1 \end(atvejai) \end(lygtis*) Raskime kritinius taškus: \begin(equation*)f"(x)= \begin(cases) 2x - 4,\quad for\quad x ≤ 1 \\ 2x - 2, \quad for\quad x ≥ 1 \end(atvejai) \pabaiga(lygtis*) \begin(equation*)f"(x)=0,\quad for\quad x= \begin(cases) 2,\ quad for \quad x ≤ 1 \\ 1,\quad for\quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) Taigi, turime du stacionarius taškus ir nepamirškime, kad mūsų funkcija susideda iš dviejų skirtingų funkcijų. x.
Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame funkcijos reikšmes stacionariuose taškuose ir segmento galuose:
Atsakymas: Funkcija pasiekia mažiausią reikšmę stacionariame taške x= 1, y yra mažiausia. = 3. Funkcija pasiekia didžiausią reikšmę atkarpos pabaigoje taške x = 4, y max. = 12.

Pavyzdys

Raskite didžiausią funkcijos y= $\frac(3x)(x^2 + 3)$ reikšmę spindulyje: , b) , c) [-4;7].
b) Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos y= x 2 - 6x + 8 + |x - 2| reikšmę. atkarpoje [-1;5].
c) Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos y= $-2x-\frac(1)(2x)$ reikšmę (0;+∞).

Praktiniu požiūriu didžiausias susidomėjimas yra naudoti išvestinę, kad būtų galima rasti didžiausias ir mažiausias funkcijos reikšmes. Su kuo tai susiję? Maksimalus pelnas, kaštų minimizavimas, optimalios įrangos apkrovos nustatymas... Kitaip tariant, daugelyje gyvenimo sričių tenka spręsti kai kurių parametrų optimizavimo problemas. Ir tai yra didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmių radimo užduotys.

Reikėtų pažymėti, kad didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės paprastai ieškomos tam tikrame intervale X, kuris yra arba visa funkcijos sritis, arba apibrėžimo srities dalis. Pats intervalas X gali būti atkarpa, atviras intervalas , begalinis intervalas.

Šiame straipsnyje mes kalbėsime apie tai, kaip aiškiai rasti didžiausias ir mažiausias vertes suteikta funkcija vienas kintamasis y=f(x) .

Puslapio naršymas.

Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė – apibrėžimai, iliustracijos.

Trumpai pažvelkime į pagrindinius apibrėžimus.

Didžiausia funkcijos reikšmė kad bet kam nelygybė yra tiesa.

Mažiausia funkcijos reikšmė y=f(x) intervale X vadinama tokia reikšme kad bet kam nelygybė yra tiesa.

Šie apibrėžimai yra intuityvūs: didžiausia (mažiausia) funkcijos reikšmė yra didžiausia (mažiausia) priimtina reikšmė nagrinėjamame intervale ties abscisėmis.

Stacionarūs taškai– tai yra argumento reikšmės, kai funkcijos išvestinė tampa lygi nuliu.

Kodėl ieškant didžiausių ir mažiausių verčių reikia stacionarių taškų? Atsakymą į šį klausimą duoda Ferma teorema. Iš šios teoremos išplaukia, kad jei diferencijuojama funkcija turi ekstremumą ( vietinis minimumas arba vietinis maksimumas) tam tikrame taške, tada šis taškas yra nejudantis. Taigi funkcija dažnai paima didžiausią (mažiausią) reikšmę intervale X viename iš šio intervalo stacionarių taškų.

Be to, funkcija dažnai gali įgyti didžiausias ir mažiausias reikšmes taškuose, kuriuose pirmoji šios funkcijos išvestinė neegzistuoja, o pati funkcija yra apibrėžta.

Iš karto atsakykime į vieną dažniausių klausimų šia tema: „Ar visada įmanoma nustatyti didžiausią (mažiausią) funkcijos reikšmę“? Ne, ne visada. Kartais intervalo X ribos sutampa su funkcijos apibrėžimo srities ribomis arba intervalas X yra begalinis. O kai kurios funkcijos begalybėje ir apibrėžimo srities ribose gali turėti ir be galo dideles, ir be galo mažas reikšmes. Tokiais atvejais nieko negalima pasakyti apie didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę.

Aiškumo dėlei pateiksime grafinę iliustraciją. Pažvelkite į nuotraukas ir daug kas taps aiškiau.

Ant segmento

Pirmame paveikslėlyje funkcija užima didžiausias (max y) ir mažiausias (min y) vertes stacionariuose taškuose, esančiuose atkarpos viduje [-6;6].

Apsvarstykite atvejį, pavaizduotą antrame paveikslėlyje. Pakeiskime segmentą į . Šiame pavyzdyje mažiausia funkcijos reikšmė pasiekiama stacionariame taške, o didžiausia – taške, kurio abscisė atitinka dešiniąją intervalo ribą.

3 paveiksle atkarpos [-3;2] ribiniai taškai yra taškų, atitinkančių didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę, abscisės.

Atviru intervalu

Ketvirtajame paveikslėlyje funkcija paima didžiausias (max y) ir mažiausias (min y) vertes stacionariuose taškuose, esančiuose atviro intervalo viduje (-6;6).

Intervale negalima daryti išvadų apie didžiausią reikšmę.

Begalybėje

Septintame paveikslėlyje pateiktame pavyzdyje funkcija įgauna didžiausią reikšmę (max y) stacionariame taške, kurio abscisė x=1, o mažiausia reikšmė (min y) pasiekiama dešinėje intervalo riboje. Esant minus begalybei, funkcijos reikšmės asimptotiškai artėja prie y=3.

Per intervalą funkcija nepasiekia nei mažiausios, nei didžiausios reikšmės. Kai x=2 artėja iš dešinės, funkcijos reikšmės linkusios į minus begalybę (tiesė x=2 yra vertikali asimptota), ir kadangi abscisė linkusi padidinti begalybę, funkcijos reikšmės asimptotiškai artėja prie y = 3. Šio pavyzdžio grafinė iliustracija parodyta 8 paveiksle.

Algoritmas, skirtas rasti didžiausią ir mažiausią ištisinės funkcijos reikšmes segmente.

Parašykime algoritmą, leidžiantį rasti didžiausią ir mažiausią segmento funkcijos reikšmes.

1. Surandame funkcijos apibrėžimo sritį ir patikriname, ar joje yra visas segmentas.
2. Randame visus taškus, kuriuose pirmoji išvestinė neegzistuoja ir kurie yra segmente (paprastai tokie taškai randami funkcijose su argumentu po modulio ženklu ir galios funkcijos su trupmeniniu-racionaliuoju rodikliu). Jei tokių taškų nėra, pereikite prie kito punkto.
3. Nustatome visus stacionarius taškus, patenkančius į atkarpą. Norėdami tai padaryti, prilyginame jį nuliui, išsprendžiame gautą lygtį ir pasirenkame tinkamas šaknis. Jei nėra stacionarių taškų arba nė vienas iš jų nepatenka į atkarpą, pereikite prie kito taško.
4. Apskaičiuojame funkcijos reikšmes pasirinktuose stacionariuose taškuose (jei yra), taškuose, kuriuose nėra pirmosios išvestinės (jei yra), taip pat x=a ir x=b.
5. Iš gautų funkcijos reikšmių išrenkame didžiausią ir mažiausią – jos bus atitinkamai reikalingos didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės.

Išanalizuokime pavyzdžio sprendimo algoritmą, kad surastume didžiausias ir mažiausias segmento funkcijos reikšmes.

Pavyzdys.

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę

• ant segmento;
• atkarpoje [-4;-1] .

Sprendimas.

Funkcijos sritis yra visa rinkinys realūs skaičiai, išskyrus nulį, tai yra . Abu segmentai patenka į apibrėžimo sritį.

Raskite funkcijos išvestinę, atsižvelgiant į:

Akivaizdu, kad funkcijos išvestinė egzistuoja visuose atkarpų taškuose ir [-4;-1].

Iš lygties nustatome stacionarius taškus. Vienintelė tikroji šaknis yra x=2. Šis stacionarus taškas patenka į pirmąjį segmentą.

Pirmuoju atveju apskaičiuojame funkcijos reikšmes atkarpos galuose ir stacionariame taške, ty x=1, x=2 ir x=4:

Todėl didžiausia funkcijos reikšmė pasiekiama, kai x=1, ir mažiausia reikšmė – ties x=2.

Antruoju atveju funkcijų reikšmes apskaičiuojame tik atkarpos [-4;-1] galuose (nes jame nėra nė vieno stacionaraus taško):

Tegul funkcija y =f(X) yra nuolatinis intervale [ a, b]. Kaip žinoma, tokia funkcija šiame segmente pasiekia maksimalias ir minimalias reikšmes. Funkcija gali priimti ir šias reikšmes vidinis taškas segmentas [ a, b] arba ant atkarpos ribos.

Norėdami rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes segmente [ a, b] būtina:

1) suraskite kritinius funkcijos taškus intervale ( a, b);

2) apskaičiuokite funkcijos reikšmes rastuose kritiniuose taškuose;

3) apskaičiuokite funkcijos reikšmes segmento galuose, tai yra, kada x=A ir x = b;

4) iš visų apskaičiuotų funkcijos reikšmių pasirinkite didžiausią ir mažiausią.

Pavyzdys. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes

segmente.

Kritinių taškų paieška:

Šie taškai yra segmento viduje; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

taške x= 3 ir taške x= 0.

Išgaubtumo ir vingio taško funkcijos tyrimas.

Funkcija y = f (x) paskambino išgaubtas tarpais (a, b) , jei jo grafikas yra po liestine, nubrėžta bet kuriame šio intervalo taške, ir yra vadinamas išgaubtas žemyn (įgaubtas), jei jo grafikas yra virš liestinės.

Taškas, per kurį išgaubtumas pakeičiamas įdubimu arba atvirkščiai, vadinamas vingio taškas.

Išgaubtumo ir vingio taško tyrimo algoritmas:

1. Raskite antrosios rūšies kritinius taškus, ty taškus, kuriuose antroji išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja.

2. Nubrėžkite kritinius taškus skaičių tiesėje, padalydami jį intervalais. Kiekviename intervale raskite antrosios išvestinės ženklą; jei , tada funkcija yra išgaubta į viršų, jei, tada funkcija yra išgaubta žemyn.

3. Jei, einant per antrosios rūšies kritinį tašką, ženklas pasikeičia ir šioje vietoje antroji išvestinė lygi nuliui, tai šis taškas yra vingio taško abscisė. Raskite jo ordinates.

Funkcijos grafiko asimptotės. Asimptotų funkcijos tyrimas.

Apibrėžimas. Funkcijos grafiko asimptote vadinama tiesiai, kuri turi savybę, kad atstumas nuo bet kurio grafiko taško iki šios linijos linkęs į nulį, nes taškas grafike neribotai juda nuo pradžios.

Yra trys asimptotų tipai: vertikaliai, horizontaliai ir nuožulniai.

Apibrėžimas. Tiesi linija vadinama vertikali asimptota funkcinė grafika y = f(x), jei bent viena iš funkcijos vienpusių ribų šiame taške yra lygi begalybei, tai yra

kur yra funkcijos nepertraukiamumo taškas, tai yra, ji nepriklauso apibrėžimo sričiai.

Pavyzdys.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – lūžio taškas.

Apibrėžimas. Tiesiai y =A paskambino horizontalioji asimptote funkcinė grafika y = f(x) prie , jei

Pavyzdys.

Apibrėžimas. Tiesiai y =kx +b (k≠ 0) vadinamas įstrižinė asimptotė funkcinė grafika y = f(x) adresu , kur

Bendra funkcijų tyrimo ir grafikų sudarymo schema.

Funkcijų tyrimo algoritmasy = f(x) :

1. Raskite funkcijos sritį D (y).

2. Raskite (jei įmanoma) grafiko susikirtimo taškus su koordinačių ašimis (jei x= 0 ir at y = 0).

3. Patikrinkite funkcijos lygumą ir nelygumą ( y (‒ x) = y (x) ‒ paritetas; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ nelyginis).

4. Raskite funkcijos grafiko asimptotes.

5. Raskite funkcijos monotoniškumo intervalus.

6. Raskite funkcijos kraštutinumą.

7. Raskite funkcijos grafiko išgaubimo (įgaubtumo) ir vingio taškų intervalus.

8. Remdamiesi atliktais tyrimais, sukonstruokite funkcijos grafiką.

Pavyzdys. Ištirkite funkciją ir sukurkite jos grafiką.

1) D (y) =

x= 4 – lūžio taškas.

2) Kada x = 0,

(0; ‒ 5) – susikirtimo taškas su oi.

At y = 0,

3) y(‒ x)= funkcija bendras vaizdas(nei lyginis, nei nelyginis).

4) Mes tiriame asimptotus.

a) vertikaliai

b) horizontaliai

c) suraskite pasvirusius asimptotus kur

‒pasviroji asimptotės lygtis

5) B duota lygtis nereikia rasti funkcijos monotoniškumo intervalų.

6)

Šie kritiniai taškai padalija visą funkcijos apibrėžimo sritį į intervalą (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ir (10; +∞). Patogu gautus rezultatus pateikti šios lentelės forma.