Funkcijos y grafikas ir savybės. Galios funkcija, jos savybės ir grafikas Demonstracinė medžiaga Pamoka-paskaita Funkcijos samprata

Galios funkcija, jos savybės ir grafikas Demonstracinė medžiaga Pamoka-paskaita Funkcijos samprata. Funkcijos savybės. Galios funkcija, jos savybės ir grafikas. 10 klasė Visos teisės saugomos. Autorių teisės su Autorių teisės su

Pamokos eiga: kartojimas. Funkcija. Funkcijų savybės. Naujos medžiagos mokymasis. 1. Galios funkcijos apibrėžimas.Galingumo funkcijos apibrėžimas. 2. Galios funkcijų savybės ir grafikai. Studijuotos medžiagos konsolidavimas. Skaičiavimas žodžiu. Skaičiavimas žodžiu. Pamokos santrauka. Namų darbų užduotis.

Funkcijos apibrėžimo sritis ir reikšmių sritis Visos nepriklausomo kintamojo reikšmės sudaro funkcijos apibrėžimo sritį x y=f(x) f Funkcijos apibrėžimo sritis Funkcijos All reikšmių sritis reikšmes, kurias priklausomas kintamasis sudaro funkcijos Function reikšmių sritį. Funkcijų savybės

Funkcijos grafikas Pateikiame funkciją, kur xY y x,75 3 0,6 4 0,5 Funkcijos grafikas yra visų koordinačių plokštumos taškų, kurių abscisės lygios argumento reikšmėms, aibė, o ordinatės yra lygios atitinkamoms funkcijos reikšmėms. Funkcija. Funkcijų savybės

Y x Funkcijos apibrėžimo sritis ir 4 reikšmių diapazonas y=f(x) Funkcijos apibrėžimo sritis: Funkcijos reikšmių sritis: Funkcija. Funkcijų savybės

Lyginė funkcija y x y=f(x) Grafikas lygi funkcija yra simetriškas operatyvinio stiprintuvo ašies atžvilgiu. Funkcija y=f(x) iškviečiama net jei f(-x) = f(x) bet kuriam x iš funkcijos Function apibrėžimo srities. Funkcijų savybės

Nelyginė funkcija y x y=f(x) Grafikas nelyginė funkcija simetriška koordinačių pradžios O(0;0) atžvilgiu Funkcija y=f(x) vadinama nelygine, jei f(-x) = -f(x) bet kuriam x iš funkcijos Funkcija apibrėžimo srities. Funkcijų savybės

Laipsninės funkcijos apibrėžimas Funkcija, kurioje p yra tikrasis skaičius, vadinama laipsnio funkcija. p y=x p P=x y 0 Pamokos eiga

Laipsnio funkcija x y 1. Formos laipsnio funkcijų apibrėžimo sritis ir reikšmių diapazonas, kur n – natūralusis skaičius, yra visi realūs skaičiai. 2. Šios funkcijos yra keistos. Jų grafikas yra simetriškas kilmės atžvilgiu. Galios funkcijų savybės ir grafikai

Laipsniškos funkcijos su racionaliu teigiamu eksponentu. . y x Galios funkcijų savybės ir grafikai

Galios funkcija su racionaliu neigiamas rodiklis. Tokių funkcijų apibrėžimo sritis ir verčių diapazonas yra visi teigiami skaičiai. Funkcijos nėra nei lyginės, nei nelyginės. Tokios funkcijos mažėja visoje apibrėžimo srityje. y x Galios funkcijų savybės ir grafikai Pamokos eiga

Pateikiamos galios funkcijų savybės ir grafikai skirtingos reikšmės eksponentas. Pagrindinės formulės, apibrėžimo sritys ir reikšmių rinkiniai, paritetas, monotoniškumas, didėjimas ir mažėjimas, ekstremumai, išgaubimas, linksniai, susikirtimo taškai su koordinačių ašimis, ribos, konkrečios reikšmės.

Formulės su galios funkcijomis

Galios funkcijos y = x p apibrėžimo srityje turime sekančias formules:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Galios funkcijų savybės ir jų grafikai

Galios funkcija, kai rodiklis lygus nuliui, p = 0

Jei laipsnio funkcijos rodiklis y = x p lygus nuliui, p = 0, tada galios funkcija apibrėžiama visiems x ≠ 0 ir yra konstanta, lygi vienybei:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Galios funkcija su natūraliu nelyginiu rodikliu, p = n = 1, 3, 5, ...

Apsvarstykite laipsnio funkciją y = x p = x n, kurios natūralusis nelyginis rodiklis n = 1, 3, 5, ... .

Šis rodiklis gali būti parašytas ir tokia forma: n = 2k + 1, kur k = 0, 1, 2, 3, ... yra neneigiamas sveikasis skaičius. Žemiau pateikiamos tokių funkcijų savybės ir grafikai.

Galios funkcijos y = x n grafikas su natūraliu nelyginiu eksponentu įvairioms eksponento n = 1, 3, 5, ... reikšmėms. -∞ < x < ∞
Taikymo sritis: -∞ < y < ∞
Kelios reikšmės: Paritetas:
nelyginis, y(-x) = - y(x) Monotoniškas:
monotoniškai didėja Kraštutinumai:
Nr
Išgaubtas:< x < 0 выпукла вверх
ties -∞< x < ∞ выпукла вниз
0 val Posūkio taškai:
Posūkio taškai:
x = 0, y = 0
;
Ribos:
Privačios vertybės:
kai x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
kai x = 0, y(0) = 0 n = 0
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:
jei n = 1, funkcija yra atvirkštinė: x = y

jei n ≠ 1, atvirkštinė funkcija yra n laipsnio šaknis:

Apsvarstykite laipsnio funkciją y = x p = x n, kurios natūralusis lyginis rodiklis n = 2, 4, 6, ... .

Šis rodiklis gali būti parašytas ir tokia forma: n = 2k, kur k = 1, 2, 3, ... - natūralus. Toliau pateikiamos tokių funkcijų savybės ir grafikai.

Galios funkcijos y = x n grafikas su natūraliu nelyginiu eksponentu įvairioms eksponento n = 1, 3, 5, ... reikšmėms. -∞ < x < ∞
Taikymo sritis: Galios funkcijos y = x n grafikas su natūraliu lyginiu eksponentu įvairioms eksponento n = 2, 4, 6, ... reikšmėms.< ∞
Kelios reikšmės: 0 ≤ m
nelyginis, y(-x) = - y(x)
lygus, y(-x) = y(x)
jei x ≤ 0 monotoniškai mažėja
monotoniškai didėja jei x ≥ 0 monotoniškai didėja
Nr minimumas, x = 0, y = 0
0 val Kraštutinumai:
išgaubtas žemyn Posūkio taškai:
x = 0, y = 0
;
Ribos:
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: kai x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
kai x = 0, y(0) = 0 n = 0
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1 jei n = 2,:
kvadratinė šaknis

jei n ≠ 2, n laipsnio šaknis:

Galios funkcija su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu, p = n = -1, -2, -3, ...

Apsvarstykite laipsnio funkciją y = x p = x n, kurios sveikasis skaičius neigiamas rodiklis n = -1, -2, -3, ... .

Jei įdėsime n = -k, kur k = 1, 2, 3, ... yra natūralusis skaičius, tada jį galima pavaizduoti taip:

Laipsninės funkcijos y = x n grafikas su neigiamu sveikuoju rodikliu įvairioms eksponento n = -1, -2, -3, ... reikšmėms.

Galios funkcijos y = x n grafikas su natūraliu nelyginiu eksponentu įvairioms eksponento n = 1, 3, 5, ... reikšmėms. Nelyginis rodiklis, n = -1, -3, -5, ...
Taikymo sritis:Žemiau pateiktos funkcijos y = x n su nelyginiu neigiamu rodikliu n = -1, -3, -5, ... savybės.
Kelios reikšmės: Paritetas:
nelyginis, y(-x) = - y(x) x ≠ 0
monotoniškai didėja Kraštutinumai:
Nr
y ≠ 0< 0 : выпукла вверх
monotoniškai mažėja
0 val Kraštutinumai:
išgaubtas žemyn Kraštutinumai:
ties x
y ≠ 0< 0, y < 0
jei x > 0: išgaubta žemyn
x = 0, y = 0
; ; ;
Ribos:
kai x = 0, y(0) = 0 n = 0
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Ženklas:
jei x > 0, y > 0< -2 ,

kai n = -1,

ties n

Galios funkcijos y = x n grafikas su natūraliu nelyginiu eksponentu įvairioms eksponento n = 1, 3, 5, ... reikšmėms. Nelyginis rodiklis, n = -1, -3, -5, ...
Taikymo sritis: Lyginis eksponentas, n = -2, -4, -6, ...
Kelios reikšmės: 0 ≤ m
nelyginis, y(-x) = - y(x)
y ≠ 0< 0 : монотонно возрастает
Žemiau pateikiamos funkcijos y = x n su lyginiu neigiamu rodikliu n = -2, -4, -6, ... savybės.
monotoniškai didėja Kraštutinumai:
Nr minimumas, x = 0, y = 0
0 val Kraštutinumai:
išgaubtas žemyn Kraštutinumai:
ties x Lyginis eksponentas, n = -2, -4, -6, ...
x = 0, y = 0
; ; ;
Ribos:
kai x = 0, y(0) = 0 n = 0
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
y > 0
jei x > 0, y > 0< -2 ,

jei x > 0: monotoniškai mažėja

kai n = -2,

Galios funkcija su racionaliuoju (trupmeniniu) rodikliu

Apsvarstykite laipsnio funkciją y = x p su racionaliuoju (trupmeniniu) rodikliu, kur n yra sveikas skaičius, m > 1 yra natūralusis skaičius. Be to, n, m neturi bendrų daliklių. Trupmeninio rodiklio vardiklis yra nelyginis Tegul vardiklis trupmeninis rodiklis nelyginiai laipsniai: m = 3, 5, 7, ... . Šiuo atveju galios funkcija x p apibrėžiama tiek teigiamai, tiek neigiamos reikšmės.

argumentas x.< 0

Panagrinėkime tokių laipsnio funkcijų savybes, kai eksponentas p yra tam tikrose ribose: .

p reikšmė yra neigiama, p

Tegul racionalusis eksponentas (su nelyginiu vardikliu m = 3, 5, 7, ...)

Pateikiame laipsnio funkcijos y = x p savybes su racionaliu neigiamu eksponentu, kur n = -1, -3, -5, ... yra nelyginis neigiamas sveikasis skaičius, m = 3, 5, 7 ... yra nelyginis natūralusis skaičius.

Galios funkcijos y = x n grafikas su natūraliu nelyginiu eksponentu įvairioms eksponento n = 1, 3, 5, ... reikšmėms. Nelyginis rodiklis, n = -1, -3, -5, ...
Taikymo sritis:Žemiau pateiktos funkcijos y = x n su nelyginiu neigiamu rodikliu n = -1, -3, -5, ... savybės.
Kelios reikšmės: Paritetas:
nelyginis, y(-x) = - y(x) x ≠ 0
monotoniškai didėja Kraštutinumai:
Nr
y ≠ 0< 0 : выпукла вверх
monotoniškai mažėja
0 val Kraštutinumai:
išgaubtas žemyn Kraštutinumai:
ties x
y ≠ 0< 0, y < 0
jei x > 0: išgaubta žemyn
x = 0, y = 0
; ; ;
Ribos:
kai x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
kai x = 0, y(0) = 0 n = 0
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1

Lyginis skaitiklis, n = -2, -4, -6, ...

Laipsninės funkcijos y = x p savybės su racionaliu neigiamu eksponentu, kur n = -2, -4, -6, ... yra lyginis neigiamas sveikasis skaičius, m = 3, 5, 7 ... yra nelyginis natūralusis skaičius .

Galios funkcijos y = x n grafikas su natūraliu nelyginiu eksponentu įvairioms eksponento n = 1, 3, 5, ... reikšmėms. Nelyginis rodiklis, n = -1, -3, -5, ...
Taikymo sritis: Lyginis eksponentas, n = -2, -4, -6, ...
Kelios reikšmės: 0 ≤ m
nelyginis, y(-x) = - y(x)
y ≠ 0< 0 : монотонно возрастает
Žemiau pateikiamos funkcijos y = x n su lyginiu neigiamu rodikliu n = -2, -4, -6, ... savybės.
monotoniškai didėja Kraštutinumai:
Nr minimumas, x = 0, y = 0
0 val Kraštutinumai:
išgaubtas žemyn Kraštutinumai:
ties x Lyginis eksponentas, n = -2, -4, -6, ...
x = 0, y = 0
; ; ;
Ribos:
kai x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
kai x = 0, y(0) = 0 n = 0
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1

P reikšmė yra teigiama, mažesnė už vieną, 0< p < 1

Galios funkcijos grafikas su racionalus rodiklis (0 < p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Nelyginis skaitiklis, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Galios funkcijos y = x n grafikas su natūraliu nelyginiu eksponentu įvairioms eksponento n = 1, 3, 5, ... reikšmėms. -∞ < x < +∞
Taikymo sritis: -∞ < y < +∞
Kelios reikšmės: Paritetas:
nelyginis, y(-x) = - y(x) Monotoniškas:
monotoniškai didėja Kraštutinumai:
Nr
y ≠ 0< 0 : выпукла вниз
jei x > 0: išgaubta į viršų
0 val Posūkio taškai:
išgaubtas žemyn Posūkio taškai:
ties x
y ≠ 0< 0, y < 0
jei x > 0: išgaubta žemyn
x = 0, y = 0
;
Ribos:
kai x = -1, y(-1) = -1
kai x = 0, y(0) = 0
jei x = 1, y(1) = 1
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1

Lyginis skaitiklis, n = 2, 4, 6, ...

Pateikiamos laipsnio funkcijos y = x p savybės, kurių racionalusis rodiklis yra 0 ribose< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Galios funkcijos y = x n grafikas su natūraliu nelyginiu eksponentu įvairioms eksponento n = 1, 3, 5, ... reikšmėms. -∞ < x < +∞
Taikymo sritis: Galios funkcijos y = x n grafikas su natūraliu lyginiu eksponentu įvairioms eksponento n = 2, 4, 6, ... reikšmėms.< +∞
Kelios reikšmės: 0 ≤ m
nelyginis, y(-x) = - y(x)
y ≠ 0< 0 : монотонно убывает
jei x > 0: didėja monotoniškai
monotoniškai didėja minimumas, kai x = 0, y = 0
Nr išgaubta aukštyn, kai x ≠ 0
0 val Kraštutinumai:
išgaubtas žemyn Posūkio taškai:
ties x jei x ≠ 0, y > 0
x = 0, y = 0
;
Ribos:
kai x = -1, y(-1) = 1
kai x = 0, y(0) = 0
jei x = 1, y(1) = 1
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1

P indeksas yra didesnis nei vienas, p > 1

Galios funkcijos grafikas su racionaliuoju rodikliu (p > 1) įvairioms eksponento reikšmėms, kur m = 3, 5, 7, ... - nelyginis.

Nelyginis skaitiklis, n = 5, 7, 9, ...

Laipsninės funkcijos y = x p, kurios racionalusis rodiklis didesnis už vienetą, savybės: .

Galios funkcijos y = x n grafikas su natūraliu nelyginiu eksponentu įvairioms eksponento n = 1, 3, 5, ... reikšmėms. -∞ < x < ∞
Taikymo sritis: -∞ < y < ∞
Kelios reikšmės: Paritetas:
nelyginis, y(-x) = - y(x) Monotoniškas:
monotoniškai didėja Kraštutinumai:
Nr
Išgaubtas:< x < 0 выпукла вверх
ties -∞< x < ∞ выпукла вниз
0 val Posūkio taškai:
išgaubtas žemyn Posūkio taškai:
x = 0, y = 0
;
Ribos:
kai x = -1, y(-1) = -1
kai x = 0, y(0) = 0
jei x = 1, y(1) = 1
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1

Kur n = 5, 7, 9, ... - nelyginis natūralusis, m = 3, 5, 7 ... - nelyginis natūralus.

Lyginis skaitiklis, n = 4, 6, 8, ...

Galios funkcijos y = x n grafikas su natūraliu nelyginiu eksponentu įvairioms eksponento n = 1, 3, 5, ... reikšmėms. -∞ < x < ∞
Taikymo sritis: Galios funkcijos y = x n grafikas su natūraliu lyginiu eksponentu įvairioms eksponento n = 2, 4, 6, ... reikšmėms.< ∞
Kelios reikšmės: 0 ≤ m
nelyginis, y(-x) = - y(x)
y ≠ 0< 0 монотонно убывает
Laipsninės funkcijos y = x p, kurios racionalusis rodiklis didesnis už vienetą, savybės: .
monotoniškai didėja minimumas, kai x = 0, y = 0
Nr minimumas, x = 0, y = 0
0 val Kraštutinumai:
išgaubtas žemyn Posūkio taškai:
x = 0, y = 0
;
Ribos:
kai x = -1, y(-1) = 1
kai x = 0, y(0) = 0
jei x = 1, y(1) = 1
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1

Kur n = 4, 6, 8, ... - lyginis natūralus, m = 3, 5, 7 ... - nelyginis natūralus.

jei x > 0 monotoniškai didėja Trupmeninio rodiklio vardiklis lyginis Tegul trupmeninio rodiklio vardiklis yra lyginis: m = 2, 4, 6, ... . Šiuo atveju galios funkcija x p nėra apibrėžta neigiamoms argumento reikšmėms. Jo savybės sutampa su galios funkcijos savybėmis su

neracionalus rodiklis

(žr. kitą skyrių). Galios funkcija su neracionaliu eksponentu Apsvarstykite laipsnio funkciją y = x p su neracionaliuoju rodikliu p.

Tokių funkcijų savybės skiriasi nuo aukščiau aptartų tuo, kad jos nėra apibrėžtos neigiamoms argumento x reikšmėms.

Už< 0

Galios funkcijos y = x n grafikas su natūraliu nelyginiu eksponentu įvairioms eksponento n = 1, 3, 5, ... reikšmėms. teigiamas vertes
Taikymo sritis: Lyginis eksponentas, n = -2, -4, -6, ...
nelyginis, y(-x) = - y(x) x ≠ 0
Nr minimumas, x = 0, y = 0
0 val Kraštutinumai:
išgaubtas žemyn Kraštutinumai:
x = 0, y = 0 ;
argumentu, savybės priklauso tik nuo eksponento p reikšmės ir nepriklauso nuo to, ar p yra sveikasis skaičius, racionalusis ar neracionalus. y = x p skirtingoms eksponento p reikšmėms.

Galios funkcija su teigiamu rodikliu p > 0

Rodiklis mažesnis nei vienas 0< p < 1

Galios funkcijos y = x n grafikas su natūraliu nelyginiu eksponentu įvairioms eksponento n = 1, 3, 5, ... reikšmėms. x ≥ 0
Taikymo sritis: y ≥ 0
nelyginis, y(-x) = - y(x) Monotoniškas:
Nr išgaubtas į viršų
0 val Kraštutinumai:
išgaubtas žemyn Posūkio taškai:
x = 0, y = 0
Ribos: Jei x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
y = x p skirtingoms eksponento p reikšmėms.

Rodiklis yra didesnis nei vienas p > 1

Galios funkcijos y = x n grafikas su natūraliu nelyginiu eksponentu įvairioms eksponento n = 1, 3, 5, ... reikšmėms. x ≥ 0
Taikymo sritis: y ≥ 0
nelyginis, y(-x) = - y(x) Monotoniškas:
Nr minimumas, x = 0, y = 0
0 val Kraštutinumai:
išgaubtas žemyn Posūkio taškai:
x = 0, y = 0
Ribos: Jei x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
y = x p skirtingoms eksponento p reikšmėms.

Naudota literatūra:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir kolegijų studentams, „Lan“, 2009 m.

Duota metodinė medžiaga yra tik nuoroda ir nurodo į platų ratą temomis Straipsnyje apžvelgiami pagrindinių elementariųjų funkcijų grafikai ir aptariami svarbiausias klausimas – kaip teisingai ir GREITAI sudaryti grafiką. Tyrimo metu aukštoji matematika nežinant pagrindinių tvarkaraščių elementarios funkcijos Bus sunku, todėl labai svarbu atsiminti, kaip atrodo parabolės, hiperbolės, sinuso, kosinuso ir kt. grafikai, ir atsiminti kai kurias funkcijos reikšmes. Taip pat pakalbėsime apie kai kurias pagrindinių funkcijų savybes.

Nepretenduoju į medžiagų išsamumą ir mokslinį kruopštumą, visų pirma bus akcentuojama praktika – tie dalykai, su kuriais Žmogus sutinkamas pažodžiui kiekviename žingsnyje, bet kurioje aukštosios matematikos temoje. Manekenų diagramos? Galima būtų taip sakyti.

Dėl daugybės skaitytojų prašymų spustelėjamas turinys:

Be to, yra labai trumpa šios temos santrauka
– įvaldykite 16 tipų diagramas studijuodami ŠEŠIUS puslapius!

Rimtai, šeši, net aš nustebau. Ši santrauka yra patobulinta grafika ir yra prieinama už nominalų mokestį, galite peržiūrėti demonstracinę versiją. Failą patogu atsispausdinti, kad grafikai visada būtų po ranka. Ačiū už paramą projektui!

Ir tuoj pat pradėkime:

Kaip teisingai sukonstruoti koordinacines ašis?

Praktiškai kontrolinius darbus studentai beveik visada pildo atskiruose sąsiuviniuose, išdėstytuose kvadratu. Kodėl jums reikia languotų ženklų? Juk darbą iš principo galima atlikti ir ant A4 formato lapų. O narvas būtinas tik kokybiškam ir tiksliam brėžinių suprojektavimui.

Bet koks funkcijos grafiko brėžinys prasideda koordinačių ašimis.

Piešiniai gali būti dvimačiai arba trimačiai.

Pirmiausia panagrinėkime dvimatį atvejį Dekarto stačiakampė sistema koordinates:

1) Piešti koordinačių ašys. Ašis vadinama x ašis , o ašis yra y ašis . Mes visada stengiamės juos nupiešti tvarkingas ir nekreivas. Rodyklės taip pat neturėtų būti panašios į Papa Carlo barzdą.

2) Pažymėkite ašis didžiosiomis raidėmis„X“ ir „Y“. Nepamirškite pažymėti ašių.

3) Nustatykite skalę išilgai ašių: nubrėžkite nulį ir du vienetus. Darant piešinį patogiausia ir dažniausiai naudojama mastelė: 1 vnt. = 2 langeliai (piešinys kairėje) – jei įmanoma, laikykitės. Tačiau karts nuo karto nutinka taip, kad piešinys netelpa ant sąsiuvinio lapo – tada sumažiname mastelį: 1 vnt. = 1 langelis (piešinys dešinėje). Retai, bet pasitaiko, kad piešinio mastelį tenka dar labiau sumažinti (arba padidinti).

NEREIKIA „kulkosvaidžio“ …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Už koordinačių plokštuma nėra paminklas Dekartui, o studentas – ne balandis. Dedame nulis Ir du vienetai išilgai ašių. Kartais vietoj vienetų, patogu „žymėti“ kitas reikšmes, pavyzdžiui, „du“ abscisių ašyje ir „trys“ ordinačių ašyje – ir ši sistema (0, 2 ir 3) taip pat vienareikšmiškai apibrėžs koordinačių tinklelį.

Geriau PRIEŠ konstruojant brėžinį įvertinti numatomus brėžinio matmenis. Taigi, pavyzdžiui, jei užduočiai reikia nubrėžti trikampį su viršūnėmis , , , tada visiškai aišku, kad populiari skalė 1 vienetas = 2 langeliai neveiks. Kodėl? Pažiūrėkime į esmę – čia teks išmatuoti penkiolika centimetrų žemyn, ir, aišku, piešinys netilps (arba vos tilps) ant sąsiuvinio lapo. Todėl iš karto pasirenkame mažesnę skalę: 1 vienetas = 1 langelis.

Beje, apie centimetrus ir užrašų knygelės ląsteles. Ar tiesa, kad 30 bloknoto langelių yra 15 centimetrų? Kad būtų smagu, liniuote sąsiuvinyje išmatuokite 15 centimetrų. SSRS tai galėjo būti tiesa... Įdomu pastebėti, kad tuos pačius centimetrus matuojant horizontaliai ir vertikaliai rezultatai (ląstelėse) skirsis! Griežtai tariant, šiuolaikiniai sąsiuviniai yra ne languoti, o stačiakampiai. Tai gali atrodyti nesąmonė, tačiau tokiose situacijose kompasu piešti, pavyzdžiui, apskritimą, yra labai nepatogu. Tiesą sakant, tokiomis akimirkomis pradedate galvoti apie draugo Stalino, kuris buvo išsiųstas į stovyklas dėl įsilaužimo gamyboje, teisingumą, jau nekalbant apie vidaus automobilių pramonę, krentančius lėktuvus ar sprogstančias elektrines.

Kalbant apie kokybę, arba trumpa rekomendacija raštinės reikmenims. Šiandien dauguma parduodamų sąsiuvinių yra, švelniai tariant, visiškas šūdas. Dėl to, kad jie sušlampa, ir ne tik nuo gelinių rašiklių, bet ir nuo tušinukų! Jie taupo pinigus popieriuje. Dėl registracijos bandymai Rekomenduoju naudoti sąsiuvinius iš Archangelsko celiuliozės ir popieriaus gamyklos (18 lapų, tinklelis) arba „Pjaterochka“, nors jie yra brangesni. Patartina rinktis gelinį rašiklį net pigiausias kiniškas gelio užpildas yra daug geresnis nei tušinukas, kuris arba ištepa, arba suplėšo popierių. Vienintelis „konkurencinis“ tušinukas, kurį prisimenu, yra Erichas Krause. Rašo aiškiai, gražiai ir nuosekliai – ar pilna šerdis, ar beveik tuščia.

Papildomai: stačiakampės koordinačių sistemos matymas akimis analitinė geometrija aprašyta straipsnyje Tiesinė (ne) vektorių priklausomybė. Vektorių pagrindas, išsamią informaciją apie koordinačių ketvirčius rasite antroje pamokos pastraipoje Tiesinės nelygybės.

3D dėklas

Čia beveik tas pats.

1) Nubrėžkite koordinačių ašis. Standartas: ašis taikyti – nukreipta į viršų, ašis – nukreipta į dešinę, ašis – nukreipta žemyn į kairę griežtai 45 laipsnių kampu.

2) Pažymėkite ašis.

3) Nustatykite skalę išilgai ašių. Skalė išilgai ašies yra du kartus mažesnė už skalę išilgai kitų ašių. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad dešiniajame brėžinyje aš panaudojau nestandartinį „įpjovą“ išilgai ašies (ši galimybė jau buvo paminėta aukščiau). Mano požiūriu, tai tikslesnė, greitesnė ir estetiškesnė - nereikia ieškoti ląstelės vidurio po mikroskopu ir „lipdyti“ vieneto, esančio arti koordinačių pradžios.

Darydami 3D piešinį pirmenybę teikite masteliui
1 vienetas = 2 langeliai (piešinys kairėje).

Kam skirtos visos šios taisyklės? Taisyklės sukurtos tam, kad būtų pažeistos. Tai aš dabar padarysiu. Faktas yra tas, kad vėlesnius straipsnio brėžinius aš padarysiu „Excel“, o koordinačių ašys atrodys neteisingos teisingas dizainas. Visus grafikus galėčiau nupiešti ranka, bet iš tikrųjų baisu juos braižyti, nes „Excel“ nenori piešti daug tiksliau.

Grafikai ir pagrindinės elementariųjų funkcijų savybės

Linijinė funkcija pateikiama lygtimi. Tiesinių funkcijų grafikas yra tiesioginis. Norint sukurti tiesią liniją, pakanka žinoti du taškus.

1 pavyzdys

Sukurkite funkcijos grafiką. Raskime du taškus. Kaip vieną iš taškų pravartu pasirinkti nulį.

Jei, tada

Paimkime kitą tašką, pavyzdžiui, 1.

Jei, tada

Atliekant užduotis taškų koordinatės paprastai apibendrinamos lentelėje:

Ir pačios vertės skaičiuojamos žodžiu arba juodraštyje, skaičiuokle.

Rasti du taškai, padarykime piešinį:

Rengdami piešinį visada pasirašome ant grafikos.

Būtų naudinga prisiminti specialius tiesinės funkcijos atvejus:

Atkreipkite dėmesį, kaip padėjau parašus, parašai neturėtų leisti neatitikimų studijuojant piešinį. IN šiuo atveju Labai nepageidautina parašą dėti šalia linijų susikirtimo taško arba apačioje dešinėje tarp grafikų.

1) Formos () tiesinė funkcija vadinama tiesiogine proporcingumu. Pavyzdžiui,. Tiesioginio proporcingumo grafikas visada eina per kilmę. Taigi tiesės tiesimas yra supaprastintas – pakanka rasti tik vieną tašką.

2) Formos lygtis nurodo tiesę, lygiagrečią ašiai, visų pirma, pati ašis pateikiama lygtimi. Funkcijos grafikas sudaromas iš karto, nerandant taškų. Tai reiškia, kad įrašas turėtų būti suprantamas taip: „y visada yra lygus –4, bet kuriai x reikšmei“.

3) Formos lygtis nurodo tiesę, lygiagrečią ašiai, visų pirma, pati ašis pateikiama lygtimi. Taip pat iš karto nubraižomas funkcijos grafikas. Įrašas turėtų būti suprantamas taip: „x visada, esant bet kuriai y reikšmei, yra lygus 1“.

Kai kas paklaus, kam prisiminti 6 klasę?! Taip yra, gal ir taip, bet per ilgus praktikos metus sutikau gerą tuziną studentų, kuriuos glumino užduotis sukonstruoti grafiką, pavyzdžiui, arba.

Tiesios linijos kūrimas yra labiausiai paplitęs veiksmas kuriant brėžinius.

Tiesi linija išsamiai aptariama analitinės geometrijos eigoje, o norintieji gali pasiskaityti straipsnį Tiesės lygtis plokštumoje.

Kvadratinės, kubinės funkcijos grafikas, daugianario grafikas

Parabolė. Tvarkaraštis kvadratinė funkcija () reiškia parabolę. Pasvarstykime garsus incidentas:

Prisiminkime kai kurias funkcijos savybes.

Taigi, mūsų lygties sprendimas: – būtent šioje vietoje yra parabolės viršūnė. Kodėl taip yra, galima sužinoti iš teorinio straipsnio apie išvestinę ir funkcijos ekstremalių pamoką. Tuo tarpu apskaičiuokime atitinkamą „Y“ reikšmę:

Taigi, viršūnė yra taške

Dabar randame kitus taškus, įžūliai naudodami parabolės simetriją. Reikėtų pažymėti, kad funkcija – nėra net, tačiau, nepaisant to, niekas nepanaikino parabolės simetrijos.

Kokia tvarka rasti likusius taškus, manau, paaiškės iš galutinės lentelės:

Šis algoritmas konstrukcijas perkeltine prasme galima pavadinti „šauteliniu“ arba „pirmyn ir atgal“ principu su Anfisa Čechova.

Padarykime piešinį:

Iš išnagrinėtų grafikų į galvą ateina dar viena naudinga funkcija:

Dėl kvadratinės funkcijos () tiesa:

Jei , tada parabolės šakos nukreiptos į viršų.

Jei , tada parabolės šakos nukreiptos žemyn.

Išsamių žinių apie kreivę galima įgyti pamokoje Hiperbolė ir parabolė.

Funkcija suteikia kubinę parabolę. Štai piešinys, pažįstamas iš mokyklos:

Išvardinkime pagrindines funkcijos savybes

Funkcijos grafikas

Tai yra viena iš parabolės šakų. Padarykime piešinį:

Pagrindinės funkcijos savybės:

Šiuo atveju ašis yra vertikali asimptota hiperbolės grafikui ties .

Būtų DIDELĖ klaida, jei braižydami brėžinį neatsargiai leistumėte grafiką susikirsti su asimptote.

Taip pat vienpusės ribos mums sako, kad hiperbolė neapribota iš viršaus Ir neapribota iš apačios.

Panagrinėkime funkciją begalybėje: , tai yra, jei pradėsime judėti ašimi į kairę (arba dešinę) iki begalybės, tada „žaidimai“ bus tvarkingas žingsnis be galo arti artėja prie nulio ir atitinkamai hiperbolės šakos be galo arti priartėti prie ašies.

Taigi ašis yra horizontalioji asimptote funkcijos grafikui, jei „x“ linkęs į pliuso arba minuso begalybę.

Funkcija yra nelyginis, todėl hiperbolė yra simetriška kilmei. Šis faktas akivaizdu iš brėžinio, be to, tai lengvai patikrinama analitiškai: .

() formos funkcijos grafikas vaizduoja dvi hiperbolės šakas.

Jei , tada hiperbolė yra pirmajame ir trečiajame koordinačių ketvirčiuose(žr. paveikslėlį aukščiau).

Jei , tada hiperbolė yra antrajame ir ketvirtame koordinačių ketvirčiuose.

Nurodytą hiperbolės buvimo vietą lengva analizuoti geometrinių grafikų transformacijų požiūriu.

3 pavyzdys

Sukurkite dešinę hiperbolės šaką

Mes naudojame taškinio konstravimo metodą, o reikšmes naudinga parinkti taip, kad jos būtų dalijamos iš visumos:

Padarykime piešinį:

Čia nebus sunku sukonstruoti kairiąją hiperbolės šaką; Grubiai tariant, lentelėje taškas po taško statyba mintyse pridėkite minusą prie kiekvieno skaičiaus, padėkite atitinkamus taškus ir nubrėžkite antrą šaką.

Išsamus geometrine informacija apie nagrinėjamą eilutę galima rasti straipsnyje Hiperbolė ir parabolė.

Eksponentinės funkcijos grafikas

Šiame skyriuje iš karto apžvelgsiu eksponentinę funkciją, nes aukštosios matematikos uždaviniuose 95% atvejų atsiranda eksponentinė.

Primenu, kad tai yra neracionalus skaičius: , to prireiks konstruojant grafiką, kurį, tiesą sakant, statysiu be ceremonijų. Trys taškai, gal užteks:

Kol kas palikime funkcijos grafiką ramybėje, daugiau apie tai vėliau.

Pagrindinės funkcijos savybės:

Funkcijų grafikai ir tt atrodo iš esmės vienodai.

Turiu pasakyti, kad antrasis atvejis praktikoje pasitaiko rečiau, bet pasitaiko, todėl maniau, kad būtina jį įtraukti į šį straipsnį.

Logaritminės funkcijos grafikas

Apsvarstykite funkciją su natūralusis logaritmas.
Padarykime tašką po taško brėžinį:

Jei pamiršote, kas yra logaritmas, skaitykite savo mokyklinius vadovėlius.

Pagrindinės funkcijos savybės:

Apibrėžimo sritis:

Vertybių diapazonas: .

Funkcija nėra ribojama iš viršaus: , nors ir lėtai, bet logaritmo atšaka kyla iki begalybės.
Panagrinėkime funkcijos, esančios netoli nulio, veikimą dešinėje: . Taigi ašis yra vertikali asimptota funkcijos grafikas kaip "x" linkęs į nulį iš dešinės.

Būtina žinoti ir atsiminti tipinę logaritmo reikšmę: .

Logaritmo grafikas pagrinde atrodo iš esmės taip pat: , , ( dešimtainis logaritmasį 10 bazę) ir kt. Tuo pačiu metu, nei didesnė bazė, tuo diagrama bus plokščiesnė.

Bylos nenagrinėsime, nepamenu kada paskutinį kartąŠiuo pagrindu sukūriau grafiką. O logaritmas, atrodo, yra labai retas svečias aukštosios matematikos uždaviniuose.

Šios pastraipos pabaigoje pasakysiu dar vieną faktą: Eksponentinė funkcija ir logaritminė funkcija – tai dvi tarpusavyje atvirkštinės funkcijos. Jei atidžiai pažvelgsite į logaritmo grafiką, pamatysite, kad tai yra tas pats eksponentas, tik jis yra šiek tiek kitaip.

Trigonometrinių funkcijų grafikai

Kur mokykloje prasideda trigonometrinės kančios? Teisingai. Iš sinuso

Nubraižykime funkciją

Ši linija paskambino sinusoidinė.

Priminsiu, kad „pi“ yra neracionalus skaičius: , o trigonometrijoje nuo jo raibo akys.

Pagrindinės funkcijos savybės:

Ši funkcija yra periodiškai su laikotarpiu. Ką tai reiškia? Pažiūrėkime į segmentą. Kairėje ir dešinėje nuo jo lygiai ta pati grafiko dalis kartojama be galo.

Apibrėžimo sritis: , tai yra, bet kuriai „x“ reikšmei yra sinusinė reikšmė.

Vertybių diapazonas: . Funkcija yra ribotas: , tai yra, visi „žaidėjai“ sėdi griežtai segmente .
Taip nebūna: arba, tiksliau, atsitinka, bet šios lygtys neturi sprendimo.

1) Funkcijų sritis ir funkcijų diapazonas.

Funkcijos domenas yra visų galiojančių aibė tikrosios vertybės argumentas x(kintamasis x), kuriai skirta funkcija y = f(x) pasiryžusi. Funkcijos diapazonas yra visų realių reikšmių rinkinys y, kurią funkcija priima.

IN elementarioji matematika funkcijos tiriamos tik realiųjų skaičių aibėje.

2) Funkcijos nuliai.

Nulinė funkcija yra argumento vertė, kai funkcijos reikšmė lygi nuliui.

3) Funkcijos pastovaus ženklo intervalai.

Funkcijos pastovaus ženklo intervalai yra argumentų reikšmių rinkiniai, kurių funkcijos reikšmės yra tik teigiamos arba tik neigiamos.

4) Funkcijos monotoniškumas.

Didėjanti funkcija (tam tikru intervalu) yra funkcija, kuriai didesnę vertę argumentas iš šio intervalo atitinka didesnę funkcijos reikšmę.

Mažėjanti funkcija (tam tikrame intervale) yra funkcija, kuriai atitinka didesnė argumento reikšmė iš šio intervalo mažesnė vertė funkcijas.

5) Lyginė (neporinė) funkcija.

Lyginė funkcija yra funkcija, kurios apibrėžimo sritis yra simetriška kilmės atžvilgiu ir bet kuriai X iš apibrėžimo srities lygybė f(-x) = f(x).

Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas ordinatės atžvilgiu. X Nelyginė funkcija yra funkcija, kurios apibrėžimo sritis yra simetriška kilmės atžvilgiu ir bet kuriai iš apibrėžimo srities lygybė yra teisinga f(-x) = - f(x

)..

Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas kilmei. 6) Ribotos ir neribotos funkcijos Funkcija vadinama ribota, jei yra tokia

teigiamas skaičius.

M toks, kad |f(x)| ≤ M visoms x reikšmėms. Jei tokio skaičiaus nėra, tada funkcija yra neribota. 7) Funkcijos periodiškumas Funkcija f(x) yra periodinė, jei yra nulinis skaičius T, kad bet kuriam x iš funkcijos apibrėžimo srities galioja: f(x+T) = f(x). Šis mažiausias skaičius vadinamas funkcijos periodu. Visi

trigonometrinės funkcijos

yra periodiniai. (Trigonometrinės formulės).

19. Pagrindinės elementarios funkcijos, jų savybės ir grafikai. Funkcijų taikymas ekonomikoje.

Pagrindinės elementarios funkcijos. Jų savybės ir grafikai 1. Tiesinė funkcija.

Linijinė funkcija vadinama formos funkcija, kur x yra kintamasis, a ir b yra realieji skaičiai. Skaičius A paskambino nuolydis tiesiai, jis

lygus tangentei

šios tiesės polinkio į teigiamą x ašies kryptį kampas. Tiesinės funkcijos grafikas yra tiesi linija. Jis apibrėžiamas dviem taškais.

Tiesinės funkcijos savybės

1. Apibrėžimo sritis – visų realiųjų skaičių aibė: D(y)=R

2. Reikšmių aibė yra visų realiųjų skaičių aibė: E(y)=R

3. Funkcija įgyja nulinę reikšmę, kai arba.

4. Funkcija didėja (mažėja) visoje apibrėžimo srityje.

Formos funkcija, kurioje x yra kintamasis, koeficientai a, b, c yra realieji skaičiai, vadinama kvadratinis

Nacionalinis tyrimų universitetas

Taikomosios geologijos katedra

Santrauka apie aukštąją matematiką

Tema: „Pagrindinės elementarios funkcijos,

jų savybės ir grafikai“

Užbaigta:

Patikrinta:

mokytojas

Apibrėžimas. Funkcija, pateikta pagal formulę y=a x (kur a>0, a≠1) vadinama eksponentine funkcija su baze a.

Suformuluosime pagrindines savybes eksponentinė funkcija:

1. Apibrėžimo sritis yra visų realiųjų skaičių aibė (R).

2. Diapazonas – visų teigiamų realiųjų skaičių aibė (R+).

3. Jei a > 1, funkcija didėja visoje skaičių eilutėje; 0 val<а<1 функция убывает.

4. Yra bendros formos funkcija.

, intervale xО [-3;3]

Funkcija y(x)=x n, kur n yra skaičius ОR, vadinama laipsnio funkcija. Skaičius n gali turėti skirtingas reikšmes: ir sveikąjį, ir trupmeninį, ir lyginį, ir nelyginį. Atsižvelgiant į tai, galios funkcija bus kitokia. Panagrinėkime specialius atvejus, kurie yra laipsnio funkcijos ir atspindi pagrindines šio tipo kreivės savybes tokia tvarka: laipsnio funkcija y=x² (funkcija su lyginiu eksponentu – parabolė), laipsnio funkcija y=x³ (funkcija su nelyginiu eksponentu - kubinė parabolė) ir funkcija y=√x (x iki ½ laipsnio) (funkcija su trupmeniniu rodikliu), funkcija su neigiamu sveikuoju skaičiumi (hiperbolė).

Maitinimo funkcija y=x²

1. D(x)=R – funkcija apibrėžta visoje skaitinėje ašyje;

2. E(y)= ir didėja intervale

Maitinimo funkcija y=x³

1. Funkcijos y=x³ grafikas vadinamas kubine parabole. Galios funkcija y=x³ turi šias savybes:

2. D(x)=R – funkcija apibrėžta visoje skaitinėje ašyje;

3. E(y)=(-∞;∞) – funkcija paima visas reikšmes savo apibrėžimo srityje;

4. Kai x=0 y=0 – funkcija eina per koordinačių O(0;0) pradžią.

5. Funkcija didėja visoje apibrėžimo srityje.

6. Funkcija nelyginė (simetriška kilmei).

, intervale xО [-3;3]

Priklausomai nuo skaitinio koeficiento priešais x³, funkcija gali būti stati/plokščia ir didėjanti/mažėjanti.

Galios funkcija su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu:

Jei rodiklis n yra nelyginis, tai tokios laipsnio funkcijos grafikas vadinamas hiperbole. Galios funkcija su sveikuoju neigiamu eksponentu turi šias savybes:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) bet kuriam n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), jei n yra nelyginis skaičius; E(y)=(0;∞), jei n yra lyginis skaičius;

3. Funkcija mažėja visoje apibrėžimo srityje, jei n yra nelyginis skaičius; funkcija didėja intervale (-∞;0) ir mažėja intervale (0;∞), jei n yra lyginis skaičius.

4. Funkcija nelyginė (simetriška kilmei), jei n yra nelyginis skaičius; funkcija yra net jei n yra lyginis skaičius.

5. Funkcija eina per taškus (1;1) ir (-1;-1), jei n yra nelyginis skaičius ir per taškus (1;1) ir (-1;1), jei n yra lyginis skaičius.

, intervale xО [-3;3]

Galios funkcija su trupmeniniu rodikliu

Laipsnio funkcija su trupmeniniu rodikliu (paveikslėlis) turi funkcijos grafiką, parodytą paveikslėlyje. Laipsnio funkcija su trupmeniniu rodikliu turi šias savybes: (paveikslėlis)

1. D(x) ОR, jei n yra nelyginis skaičius ir D(x)=
, intervale xО
, intervale xО [-3;3]

Logaritminė funkcija y = log a x turi šias savybes:

1. Apibrėžimo sritis D(x)О (0; + ∞).

2. Vertybių diapazonasE(y) О (- ∞; + ∞)

3. Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė (bendros formos).

4. Funkcija didėja intervalu (0; + ∞), kai a > 1, mažėja, kai (0; + ∞), kai 0< а < 1.

Funkcijos y = log a x grafiką galima gauti iš funkcijos y = a x grafiko, naudojant simetrijos transformaciją apie tiesę y = x. 9 paveiksle pavaizduotas logaritminės funkcijos grafikas, kai > 1, o 10 paveiksle - 0< a < 1.