Sveiki, mieli Argemonos universiteto studentai! Sveiki atvykę į kitą paskaitą apie funkcijų ir integralų magiją.
Šiandien kalbėsime apie hiperbolę. Pradėkime nuo paprasto. Paprasčiausias hiperbolės tipas yra:
Ši funkcija, skirtingai nei tiesi linija standartinėse formose, turi ypatingą savybę. Kaip žinome, trupmenos vardiklis negali būti nulis, nes negalima dalyti iš nulio.
x ≠ 0
Iš čia darome išvadą, kad apibrėžimo sritis yra visa skaičių eilutė, išskyrus tašką 0: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).
Jei x linksta į 0 iš dešinės (parašyta taip: x->0+), t.y. tampa labai labai mažas, bet išlieka teigiamas, tada y tampa labai labai didelis teigiamas (y->+∞).
Jei x linkęs į 0 iš kairės (x->0-), t.y. absoliučia verte tampa labai labai mažas, bet išlieka neigiamas, tada y taip pat bus neigiamas, bet absoliučia verte bus labai didelis (y->-∞).
Jei x linkęs plius begalybė (x->+∞), t.y. tampa labai dideliu teigiamu skaičiumi, tai y taps vis mažesniu teigiamu skaičiumi, t.y. bus linkęs į 0, visą laiką išliks teigiamas (y->0+).
Jei x linkęs į minus begalybę (x->-∞), t.y. tampa didelio modulio, bet neigiamu skaičiumi, tada y taip pat visada bus neigiamas skaičius, bet mažo modulio (y->0-).
Y, kaip ir x, negali turėti reikšmės 0. Ji tik linkusi į nulį. Todėl reikšmių rinkinys yra toks pat kaip apibrėžimo sritis: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).
Remdamiesi šiais samprotavimais, galime schematiškai nubraižyti funkcijos grafiką
Matyti, kad hiperbolė susideda iš dviejų dalių: viena yra 1-ame koordinačių kampe, kur x ir y reikšmės yra teigiamos, o antroji dalis yra trečiajame koordinačių kampe, kur yra x ir y reikšmės. yra neigiami.
Jei pereiname nuo -∞ iki +∞, tada matome, kad mūsų funkcija sumažėja nuo 0 iki -∞, tada įvyksta staigus šuolis (nuo -∞ iki +∞) ir prasideda antroji funkcijos šaka, kuri taip pat mažėja, bet nuo +∞ iki 0. Tai yra, ši hiperbolė mažėja.
Jei tik šiek tiek pakeisite funkciją: pasinaudokite minuso magija,
(1")
Tokia funkcija stebuklingai iš 1 ir 3 koordinačių ketvirčių persikels į 2 ir 4 ketvirčius ir taps vis didėjantis.
Leiskite jums priminti, kad funkcija yra didėja, jei dviem reikšmėms x 1 ir x 2, kad x 1<х 2 , значения функции находятся в том же отношении f(х 1) < f(х 2).
Ir funkcija bus mažėja, jei f(x 1) > f(x 2) toms pačioms x reikšmėms.
Hiperbolės šakos artėja prie ašių, bet niekada jų nesikerta. Vadinamos tiesės, prie kurių funkcijos grafikas artėja, bet niekada nesusikerta asimptotasšią funkciją.
Mūsų funkcijai (1) asimptotės yra tiesės x = 0 (OY ašis, vertikali asimptotė) ir y = 0 (OX ašis, horizontali asimptotė).
Dabar šiek tiek apsunkinkime paprasčiausią hiperbolę ir pažiūrėkime, kas atsitiks su funkcijos grafiku.
(2)
Tiesiog prie vardiklio pridėjome konstantą „a“. Skaičiaus pridėjimas prie vardiklio kaip termino prie x reiškia visos „hiperbolinės konstrukcijos“ (kartu su vertikalia asimptote) (-a) pozicijų perkėlimą į dešinę, jei a yra neigiamas skaičius, ir (-a) pozicijas į kairę. jei a - teigiamas skaičius.
Kairiajame grafike prie x pridedama neigiama konstanta (a<0, значит, -a>0), dėl ko grafikas pasislenka į dešinę, o dešiniajame grafike yra teigiama konstanta (a>0), dėl kurios grafikas perkeliamas į kairę.
O kokia magija gali paveikti „hiperbolinės struktūros“ perdavimą aukštyn ar žemyn? Prie trupmenos pridedamas pastovus narys.
(3)
Dabar visa mūsų funkcija (abi šakos ir horizontalioji asimptotė) pakils b pozicijomis aukštyn, jei b yra teigiamas skaičius, ir nusileis b pozicijomis, jei b yra neigiamas skaičius.
Atkreipkite dėmesį, kad asimptotai juda kartu su hiperbole, t.y. hiperbolė (abi jos šakos) ir abi jos asimptotos būtinai turi būti laikomos neatskiriama struktūra, kuri tolygiai juda į kairę, dešinę, aukštyn arba žemyn. Labai malonus jausmas, kai tik pridėję skaičių galite priversti visą funkciją judėti bet kuria kryptimi. Argi ne magija, kad galite labai lengvai įvaldyti ir savo nuožiūra nukreipti teisinga linkme?
Beje, tokiu būdu galite valdyti bet kurios funkcijos judėjimą. Kitose pamokose šį įgūdį įtvirtinsime.
Prieš klausdamas jūsų namų darbai, noriu atkreipti jūsų dėmesį į šią funkciją
(4)
Apatinė hiperbolės atšaka nuo 3 koordinačių kampo juda aukštyn – į antrąją, į kampą, kuriame y reikšmė yra teigiama, t.y. ši šaka atsispindi simetriškai OX ašies atžvilgiu. Ir dabar gauname lygią funkciją.
ką daro" lygi funkcija"? Funkcija vadinama net, jei įvykdoma sąlyga: f(-x)=f(x)
Funkcija vadinama nelyginis, jei įvykdoma sąlyga: f(-x)=-f(x)
Mūsų atveju
(5)
Kiekviena lyginė funkcija yra simetriška OY ašiai, t.y. pergamentą su grafiko piešiniu galima sulankstyti išilgai OY ašies, ir dvi grafiko dalys tiksliai sutaps viena su kita.
Kaip matome, ši funkcija taip pat turi dvi asimptotes – horizontalią ir vertikalią. Skirtingai nuo aukščiau aptartų funkcijų, ši funkcija vienoje dalyje didėja, o kitoje mažėja.
Dabar pabandykime manipuliuoti šiuo grafiku pridėdami konstantų.
(6)
Prisiminkite, kad pridėjus konstantą kaip terminą prie „x“, visas grafikas (kartu su vertikalia asimptote) pasislenka horizontaliai, išilgai horizontalios asimptotės (į kairę arba į dešinę, priklausomai nuo šios konstantos ženklo).
(7)
Ir pridėjus konstantą b kaip terminą prie trupmenos, grafikas juda aukštyn arba žemyn. Tai labai paprasta!
Dabar pabandykite patys eksperimentuoti su šia magija.
1 namų darbai.
Kiekvienas savo eksperimentams naudoja dvi funkcijas: (3) ir (7).
a = pirmasis jūsų LD skaitmuo
b = antrasis jūsų LD skaitmuo
Pabandykite pasiekti šių funkcijų magiją, pradedant nuo paprasčiausios hiperbolės, kaip dariau pamokoje, ir palaipsniui pridedant savo konstantas. Jau galite modeliuoti funkciją (7) pagal galutinę funkcijos formą (3). Nurodykite apibrėžimo sritis, reikšmių rinkinį ir asimptotes. Kaip veikia funkcijos: mažėja, didėja. Lyginis – nelyginis. Apskritai pabandykite atlikti tą patį tyrimą, kaip ir klasėje. Galbūt rasite dar ką nors, apie ką pamiršau pakalbėti.
Beje, abi paprasčiausios hiperbolės (1) šakos yra simetriškos 2 ir 4 pusiausvyros atžvilgiu koordinačių kampai. Dabar įsivaizduokite, kad hiperbolė pradėjo suktis aplink šią ašį. Paimkime tokią gražią figūrą, kurią galima naudoti.
2 užduotis. Kur galiu jį panaudoti? ši figūra? Pabandykite nubrėžti funkcijos (4) sukimosi figūrą jos simetrijos ašies atžvilgiu ir pagalvokite, kur tokia figūra galėtų būti pritaikyta.
Prisiminkite, kaip paskutinės pamokos pabaigoje gavome tiesią liniją su pradurtu tašku? Ir štai paskutinis 3 užduotis.
Sukurkite šios funkcijos grafiką:
(8)
Koeficientai a, b yra tokie pat kaip ir 1 užduotyje.
c = trečias jūsų LD skaitmuo arba a-b, jei jūsų LD yra dviejų skaitmenų.
Maža užuomina: pirmiausia reikia supaprastinti trupmeną, gautą pakeitus skaičius, o tada gausite įprastą hiperbolę, kurią turite sukonstruoti, tačiau galiausiai turite atsižvelgti į pradinės išraiškos apibrėžimo sritį.
Svarbios pastabos!
1. Jei vietoj formulių matote gobbledygook, išvalykite talpyklą. Kaip tai padaryti savo naršyklėje, parašyta čia:
2. Prieš pradėdami skaityti straipsnį, atkreipkite dėmesį į mūsų navigatorių naudingas šaltinis Už
Norėdami suprasti, kas čia bus parašyta, turite gerai žinoti, kas yra atvirkštinė priklausomybė ir su kuo ji naudojama. Jei esate tikri, kad žinote viską apie atvirkštinius santykius, sveiki atvykę. Bet jei ne, turėtumėte perskaityti temą "".
Taip pat labai rekomenduoju pirmiausia išmokti statyti, nes tokių yra bendrieji principai kvadratinėms ir atvirkštinėms priklausomybėms nubraižyti.
Pradėkime nuo nedidelio patikrinimo:
Kas yra atvirkštinis proporcingumas?
Kaip atrodo aprašanti funkcija? atvirkštinis ryšys V bendras vaizdas(formulė)?
Kaip vadinamas tokios funkcijos grafikas?
Kokie koeficientai įtakoja funkcijos grafiką ir kaip?
Jei sugebėjote iš karto atsakyti į šiuos klausimus, skaitykite toliau. Jei bent vienas klausimas sukėlė sunkumų, eikite į.
Taigi, jūs jau žinote, kaip elgtis su atvirkštiniu ryšiu, analizuoti jo grafiką ir sudaryti grafiką pagal taškus.
Na, tai viskas, jūs išmokote sukurti bet kokią hiperbolę.
Taip pat atkreipiu dėmesį, kad hiperbolės sudarymo taisyklės pasirodė šiek tiek paprastesnės nei parabolės, nes kiekvienas skaičius tiesiog perkelia grafiką viena kryptimi. Ir koeficientai nesusiję vienas su kitu.
ATVIRKŠTINĖS PRIKLAUSOMYBĖS GRAFŲ KONSTRUKCIJA. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS
1. Apibrėžimas
Funkcija, apibūdinanti atvirkštinį ryšį, yra formos kur funkcija.
Atvirkštinio ryšio grafikas yra hiperbolė.
2. Koeficientai ir.
Atsakingas už „plokštumas“ ir grafiko kryptis: kuo šis koeficientas didesnis, tuo hiperbolė yra toliau nuo pradžios, todėl ji „suka“ ne taip staigiai (žr. pav.). Koeficiento ženklas turi įtakos, kuriuose ketvirčiuose yra grafikas:
- jei, ir perjunkite žemyn, jei.
Todėl tai yra horizontalioji asimptote.
3. Funkcijos grafiko sudarymo taisyklė:
0) Nustatykite koeficientus ir.
1) Sudarome funkcijos grafiką (pirmiausia naudojant 3-4 taškus dešinė šaka, tada simetriškai nubrėžiama kairioji šaka).
2) Grafikas turi būti perkeltas į dešinę. Bet lengviau perkelti ne grafiką, o ašis, taigi ašį judėti į kairę.
3) Grafikas turėtų būti perkeltas aukštyn. Bet lengviau perkelti ne grafiką, o ašis, taigi ašį judėti žemyn.
4) Paliekame senas ašis (tiesias linijas, kurios buvo mūsų ašys 1 punkte) kaip punktyrines linijas. Dabar tai tik vertikalios ir horizontalios asimptotės.
Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, tai reiškia, kad esate labai šaunus.
Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate šiame 5%!
Dabar svarbiausia.
Jūs supratote šios temos teoriją. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Jūs jau esate geresnis už didžiąją daugumą jūsų bendraamžių.
Problema ta, kad to gali nepakakti...
Už ką?
Už sėkmingas užbaigimas Vieningas valstybinis egzaminas, skirtas stojant į koledžą už biudžetą ir, SVARBIAUSIA, visam gyvenimui.
Niekuo neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...
Žmonės, kurie gavo geras išsilavinimas, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.
Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.
Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos yra daug daugiau atvirumo daugiau galimybių ir gyvenimas taps šviesesnis? nezinau...
Bet pagalvok pats...
Ko reikia, kad būtumėte tikri, kad vieningo valstybinio egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?
ĮGYKITE SAVO RANKĄ SPRĘSDAMI ŠIOS TEmos problemas.
Per egzaminą teorijos neprašys.
Jums reikės spręsti problemas prieš laiką.
Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog neturėsite laiko.
Tai kaip sporte – reikia kartoti daug kartų, kad laimėtum užtikrintai.
Raskite kolekciją, kur tik norite, būtinai su sprendimais, išsamią analizę ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!
Galite naudoti mūsų užduotis (neprivaloma) ir mes, žinoma, jas rekomenduojame.
Kad galėtumėte geriau atlikti užduotis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio galiojimo laiką.
Kaip? Yra dvi parinktys:
- Atrakinkite visas paslėptas užduotis šiame straipsnyje -
- Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 vadovėlio straipsniuose - Pirkite vadovėlį - 499 RUR
Taip, mūsų vadovėlyje yra 99 tokie straipsniai ir iš karto galima atidaryti visas užduotis ir visus paslėptus tekstus.
Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama VISĄ svetainės gyvenimą.
Ir pabaigai...
Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.
„Supratau“ ir „aš galiu išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.
Raskite problemas ir jas spręskite!
Hiperbolė yra plokštumos taškų rinkinys, atstumų nuo dviejų nurodytų taškų, židinių skirtumas yra pastovi reikšmė ir lygi .
Panašiai kaip ir elipsėje, židinius dedame taškuose , (žr. 1 pav.).
Ryžiai. 1
Iš paveikslo matyti, kad gali būti atvejų ir title="Rended by QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> title="Pateikė QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> , тогда согласно определению !}
Yra žinoma, kad trikampyje skirtumas tarp dviejų kraštinių yra mažesnis nei trečiosios kraštinės, todėl, pavyzdžiui, gauname:
Išveskime abi puses į aikštę ir po tolimesnių transformacijų rasime:
Kur. Hiperbolės lygtis (1) yra kanoninė hiperbolės lygtis.
Hiperbolė yra simetriška atžvilgiu koordinačių ašys, todėl, kalbant apie elipsę, pakanka nubraižyti jos grafiką pirmame ketvirtyje, kur:
Pirmojo ketvirčio verčių diapazonas.
Kai turime vieną iš hiperbolės viršūnių. Antroji viršūnė. Jei , tada nėra realių šaknų iš (1). Jie sako, kad ir yra įsivaizduojamos hiperbolės viršūnės. Iš santykio paaiškėja, kad pakankamai didelės vertybės yra artimiausios lygybės vieta title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> title="Pateikė QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> . Поэтому прямая есть линией, расстояние между которой и соответствующей точкой гиперболы направляется к нулю при .!}
Hiperbolės forma ir savybės
Panagrinėkime (1) lygtį hiperbolės formą ir vietą.
- Kintamieji ir yra įtraukti į (1) lygtį poromis. Todėl jei taškas priklauso hiperbolei, tai taškai taip pat priklauso hiperbolei. Tai reiškia, kad figūra yra simetriška ašims ir taškui, kuris vadinamas hiperbolės centru.
- Raskime susikirtimo taškus su koordinačių ašimis. Pakeitę į (1) lygtį, matome, kad hiperbolė kerta ašį taškuose . Pateikę ją, gauname lygtį, kuri neturi sprendinių. Tai reiškia, kad hiperbolė nekerta ašies. Taškai vadinami hiperbolės viršūnėmis. Atkarpa = ir vadinama tikrąja hiperbolės ašimi, o atkarpa – įsivaizduojama hiperbolės ašimi. Skaičiai ir vadinami atitinkamai realiąja ir įsivaizduojama hiperbolės pusašiais. Ašių sukurtas stačiakampis vadinamas pagrindiniu hiperbolės stačiakampiu.
- Iš (1) lygties paaiškėja, kad , tai yra . Tai reiškia, kad visi hiperbolės taškai yra tiesės dešinėje (dešinė hiperbolės šaka) ir kairėje linijos (kairioji hiperbolės šaka).
- Paimkime tašką ant hiperbolės pirmame ketvirtyje, tai yra, ir todėl . Nuo 0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="31" width="156" style="vertical-align: -12px;"> 0" title="Pateikė QuickLaTeX.com" height="31" width="156" style="vertical-align: -12px;"> , при title="Pateikė QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Pateikė QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> , тогда функция монотонно возрастает при title="Pateikė QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Pateikė QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> . Аналогично, так как при title="Pateikė QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Pateikė QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> , тогда функция выпуклая вверх при title="Pateikė QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Pateikė QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> .!}
Hiperbolės asimptotės
Yra du hiperbolės asimptotai. Raskime pirmojo ketvirčio hiperbolės šakos asimptotę ir tada naudokime simetriją. Apsvarstykite pirmojo ketvirčio esmę, ty. Šiuo atveju asimptotas turi formą: , kur
Tai reiškia, kad tiesi linija yra funkcijos asimptotė. Todėl dėl simetrijos hiperbolės asimptotės yra tiesios linijos.
Naudodamiesi nustatytomis charakteristikomis, sukonstruosime hiperbolės atšaką, esančią pirmajame ketvirtyje, ir naudosime simetriją:
Ryžiai. 2
Tuo atveju, kai , tai yra, hiperbolė apibūdinama lygtimi. Šioje hiperbolėje yra asimptotų, kurie yra koordinačių kampų pusiausvyros.
Hiperbolės konstravimo problemų pavyzdžiai
1 pavyzdys
Užduotis
Raskite hiperbolės ašis, viršūnes, židinius, ekscentriškumą ir asimptočių lygtis. Sukurkite hiperbolę ir jos asimptotes.
Sprendimas
Sumažinkime hiperbolės lygtį į kanoninę formą:
Lyginant duota lygtis su kanoniniu (1) randame , , . Smailės, fokusai ir . Ekscentriškumas; Asptotai; Mes statome parabolę. (žr. 3 pav.)
Parašykite hiperbolės lygtį:
Sprendimas
Užrašę asimptotės lygtį forma randame hiperbolės pusašių santykį. Atsižvelgiant į problemos sąlygas, išplaukia, kad . Todėl uždavinys buvo sumažintas iki lygčių sistemos sprendimo:
Pakeitę antrąją sistemos lygtį, gauname:
kur . Dabar randame.
Todėl hiperbolė turi tokią lygtį:
Atsakymas
.Hiperbolė ir jos kanoninė lygtis atnaujinta: 2017 m. birželio 17 d.: Moksliniai straipsniai.Ru
Apibrėžimas 7.2. Vadinamas geometrinis taškų lokusas plokštumoje, kurios atstumų skirtumas iki dviejų fiksuotų taškų yra pastovus hiperbolė.
Pastaba 7.2. Kalbant apie atstumų skirtumą, turima omenyje, kad nuo didesnis atstumas atimama mažesnė. Tai reiškia, kad iš tikrųjų hiperbolei atstumų nuo bet kurio jos taško iki dviejų fiksuotų taškų skirtumo modulis yra pastovus. #
Hiperbolės apibrėžimas yra panašus į apibrėžimą elipsė. Vienintelis skirtumas tarp jų yra tas, kad hiperbolei atstumų iki fiksuotų taškų skirtumas yra pastovus, o elipsei – tų pačių atstumų suma. Todėl natūralu, kad šios kreivės turi daug bendro tiek savybėmis, tiek vartojama terminija.
Hiperbolės apibrėžimo fiksuoti taškai (pažymime juos F 1 ir F 2) vadinami hiperboliniai triukai. Atstumas tarp jų (vadinkime jį 2c) vadinamas židinio nuotolis, o atkarpos F 1 M ir F 2 M, jungiančios savavališką hiperbolės tašką M su jo židiniais, yra židinio spinduliai.
Hiperbolės tipą visiškai lemia židinio nuotolis |F 1 F 2 | = 2c ir konstantos 2a reikšmė, vienodas skirtumasžidinio spinduliai, o jo padėtis plokštumoje - židinių F 1 ir F 2 padėtis.
Iš hiperbolės apibrėžimo išplaukia, kad ji, kaip ir elipsė, yra simetriška tiesės, einančios per židinį, atžvilgiu, taip pat tiesės, dalijančios atkarpą F 1 F 2 per pusę ir statmenos jai atžvilgiu. (7.7 pav.). Pirmoji iš šių simetrijos ašių vadinama tikroji hiperbolės ašis, o antroji – jos įsivaizduojama ašis. Pastovi vertė o dalyvavimas hiperbolės apibrėžime vadinamas tikroji hiperbolės pusašis.
Atkarpos F 1 F 2, jungiančios hiperbolės židinius, vidurio taškas yra jos simetrijos ašių sankirtoje ir todėl yra hiperbolės simetrijos centras, kuris tiesiog vadinamas hiperbolės centras.
Hiperbolės tikroji ašis 2a neturi būti didesnė už židinio atstumą 2c, nes trikampiui F 1 MF 2 (žr. 7.7 pav.) nelygybė ||F 1 M| - |F 2 M| | ≤ |F 1 F 2 |. Lygybė a = c galioja tik tiems taškams M, kurie yra ant tikroji ašis hiperbolės simetrija už intervalo F 1 F 2. Atsisakę šio išsigimusio atvejo, darysime prielaidą, kad a
Hiperbolės lygtis. Panagrinėkime tam tikrą hiperbolę plokštumoje, kurios židiniai yra taškuose F 1 ir F 2 ir tikroji ašis 2a. Tegul 2c yra židinio nuotolis, 2c = |F 1 F 2 | > 2a. Pagal 7.2 pastabą hiperbolė susideda iš tų taškų M(x; y), kuriems | |F 1 M| - - |F 2 M| | = 2a. Rinksim stačiakampė koordinačių sistema Deguonis, kad hiperbolės centras būtų ties kilmės, o dėmesys buvo nukreiptas į x ašis(7.8 pav.). Tokia nagrinėjamos hiperbolės koordinačių sistema vadinama kanoninis, o atitinkami kintamieji yra kanoninis.
Kanoninėje koordinačių sistemoje hiperbolės židiniai turi koordinates F1 (c; 0) ir F2 (-c; 0). Naudodamiesi atstumo tarp dviejų taškų formule, užrašome sąlygą ||F 1 M| - |F 2 M|| = 2a koordinatėmis |√((x - c) 2 + y 2) - √((x + c) 2 + y 2)| = 2a, kur (x; y) yra taško M koordinatės. Norėdami supaprastinti šią lygtį, atsikratykime modulio ženklo: √((x - c) 2 + y 2) - √((x + c) 2 + y 2) = ±2a, antrą radikalą perkelkite į dešinėje pusėje ir padėkite jį kvadratu: (x - c) 2 + y 2 = (x + c) 2 + y 2 ± 4a √((x + c) 2 + y 2) + 4a 2. Supaprastinus gauname -εx - a = ±√((x + c) 2 + y 2), arba
√((x + c) 2 + y 2) = |εx + a| (7.7)
kur ε = s/a. Padarykime kvadratą antrą kartą ir vėl atneškime panašių narių: (ε 2 - 1)x 2 - y 2 = c 2 - a 2 arba, atsižvelgiant į lygybę ε = c/a ir darant prielaidą, kad b 2 = c 2 - a 2,
x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 (7,8)
Vadinama reikšmė b > 0 įsivaizduojama hiperbolės pusašis.
Taigi, mes nustatėme, kad bet kuris hiperbolės taškas, kurio židiniai yra F 1 (c; 0) ir F 2 (-c; 0), ir tikroji pusašis a atitinka (7.8) lygtį. Tačiau taip pat būtina parodyti, kad taškų, esančių už hiperbolės ribų, koordinatės šios lygties netenkina. Norėdami tai padaryti, atsižvelgiame į visų hiperbolių šeimą su nurodytais židiniais F 1 ir F 2. Ši hiperbolių šeima turi bendras simetrijos ašis. Iš geometrinių svarstymų aišku, kad kiekvienas plokštumos taškas (išskyrus taškus, esančius tikrosioje simetrijos ašyje už intervalo F1F2, ir taškus, esančius įsivaizduojamoje simetrijos ašyje) priklauso kokiai nors šeimos hiperbolei, ir tik viena, kadangi atstumų skirtumas nuo taško iki židinių F 1 ir F 2 keičiasi iš hiperbolės į hiperbolę. Tegul taško M(x; y) koordinatės tenkina (7.8) lygtį, o pats taškas priklauso šeimos hiperbolei, turinčiai tam tikrą tikrosios pusašies reikšmę ã. Tada, kaip įrodėme, jo koordinatės tenkina lygtį 
Vadinasi, dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistema
turi bent vieną sprendimą. Tiesiogiai patikrinę esame įsitikinę, kad ã ≠ a tai neįmanoma. Iš tiesų, neįskaitant, pavyzdžiui, x iš pirmosios lygties:
po transformacijų gauname lygtį
kuri ã ≠ a neturi sprendinių, nes . Taigi, (7.8) yra lygtis hiperbolės, kurios tikroji pusašis a > 0, o įsivaizduojama pusašis b = √(c 2 - a 2) > 0. Ji vadinama kanoninė hiperbolės lygtis.
Hiperbolės rūšis. Savo forma hiperbolė (7,8) pastebimai skiriasi nuo elipsės. Atsižvelgiant į tai, kad hiperbolėje yra dvi simetrijos ašys, pakanka sukonstruoti tą jos dalį, kuri yra pirmajame kanoninės koordinačių sistemos ketvirtyje. Pirmajame ketvirtyje, t.y. jei x ≥ 0, y ≥ 0, kanoninė hiperbolės lygtis yra vienareikšmiškai išspręsta y atžvilgiu:
y = b/a √(x 2 - a 2). (7,9)
Šios funkcijos y(x) tyrimas duoda tokius rezultatus.
Funkcijos apibrėžimo sritis yra (x: x ≥ a) ir šioje apibrėžimo srityje ji yra nuolatinė kaip sudėtinga funkcija, o taške x = a jis yra ištisinis dešinėje. Vienintelis funkcijos nulis yra taškas x = a.
Raskime funkcijos y(x) išvestinę: y"(x) = bx/a√(x 2 - a 2). Iš čia darome išvadą, kad x > a funkcija didėja monotoniškai. Be to, 
, tai reiškia, kad funkcijos grafiko susikirtimo su abscisių ašimi taške x = a yra vertikali liestinė. Funkcija y(x) turi antrą išvestinę y" = -ab(x 2 - a 2) -3/2, kai x > a, ir ši išvestinė yra neigiama. Todėl funkcijos grafikas yra išgaubtas aukštyn, o ten nėra vingio taškų.
Nurodyta funkcija turi įstrižinė asimptotė, tai išplaukia iš dviejų ribų:
Pasvirusi asimptotė apibūdinama lygtimi y = (b/a)x.
Funkcijos (7.9) tyrimas leidžia sudaryti jos grafiką (7.9 pav.), kuris sutampa su hiperbolės (7.8) dalimi, esančia pirmame ketvirtyje.
Kadangi hiperbolė yra simetriška savo ašims, visa kreivė turi tokią formą, kaip parodyta Fig. 7.10. Hiperbolė susideda iš dviejų simetriškų šakų, esančių skirtingose
pusės nuo savo įsivaizduojamos simetrijos ašies. Šios šakos nėra ribojamos iš abiejų pusių, o tiesės y = ±(b/a)x yra vienu metu ir dešiniosios, ir kairiosios hiperbolės šakų asimptotės.
Hiperbolės simetrijos ašys skiriasi tuo, kad tikrosios ašys kerta hiperbolę, o įsivaizduojamos ašys, būdamos vienodu atstumu nuo židinių esančių taškų, nesikerta (todėl ji vadinama įsivaizduojama). Du tikrosios simetrijos ašies susikirtimo su hiperbole taškai vadinami hiperbolės viršūnėmis (taškai A(a; 0) ir B(-a; 0) 7.10 pav.).
Hiperbolės konstravimas išilgai jos tikrosios (2a) ir įsivaizduojamosios (2b) ašių turėtų prasidėti stačiakampiu, kurio centras yra ištakoje ir 2a ir 2b kraštinės, atitinkamai lygiagrečios realiajai ir įsivaizduojamai hiperbolės simetrijos ašims ( 7.11 pav.). Hiperbolės asimptotės yra šio stačiakampio įstrižainių tąsos, o hiperbolės viršūnės – stačiakampio kraštinių susikirtimo su tikrąja simetrijos ašimi taškai. Atkreipkite dėmesį, kad stačiakampis ir jo padėtis plokštumoje vienareikšmiškai lemia hiperbolės formą ir padėtį. Stačiakampio kraštinių santykis b/a lemia hiperbolės suspaudimo laipsnį, tačiau vietoj šio parametro dažniausiai naudojamas hiperbolės ekscentriškumas. Hiperbolės ekscentriškumas vadinamas jo židinio nuotolio ir tikrosios ašies santykiu. Ekscentriškumas žymimas ε. Hiperbolei, aprašytai (7.8) lygtimi, ε = c/a. Atkreipkite dėmesį, kad jei elipsės ekscentriškumas gali paimti reikšmes iš pusės intervalo)
