EGZAMINŲ PROGRAMA

kurse „Matematinė analizė“ (A-5,13,14-13)

1. Apribotos ir neapribotos aibės. Pavyzdžiai.

2. Viršutinė ir apatinė skaičių aibės ribos. Egzistencijos teorema

tiksli viršutinė (tiksli apatinė) rinkinio riba.

3. Skaičių seka. Skaičių sekos riba.

Ryšys tarp konvergentinių ir be galo mažų sekų.

4. Begalinės mažos sekos ir jų savybės.

5. Be galo didelės sekos ir jų ryšys su be galo mažomis

sekos.

6. Aritmetinės savybės sekos ribos.

7. Konvergencinių sekų savybės: ribos unikalumas,

konvergencinės sekos ribos.

8. Konvergencinių sekų savybės: perėjimas į ribą in

nelygybės.

9. Monotoniškos sekos. Teorema apie monotoniškumo ribą

sekos.

10. Skaičius e.

11. Lemma dėl įdėtų segmentų.

12. Pasekmės, dalinės ribos. Apriboti bendravimą

sekos su dalinėmis ribomis.

13. Bolzano-Weierstrasso teorema.

14. Košinis skaitinės sekos konvergencijos kriterijus.

15. Funkcijos riba: du apibrėžimai ir jų lygiavertiškumas.

16. Funkcijų ribų aritmetinės savybės.

17. Funkcijų ribų savybės: ribos unikalumas; apribojimas

funkcija, kuri turi ribą.

18. Funkcijų ribų savybės: perėjimas prie ribos nelygybėse.

19. Vienpusės ribos ir jų ryšys su funkcijos riba.

20. Pirmoji nuostabi riba.

21. Antroji nepaprasta riba.

22. Be galo mažos funkcijos ir jų savybės.

23. Be galo didelės funkcijos ir jų ryšys su be galo mažomis

funkcijas.

24. Be galo mažų funkcijų palyginimas. Pavyzdžiai.

25. Ekvivalentinės be galo mažos funkcijos (lentelė). Teorema apie

lygiavertės be galo mažos funkcijos.

26. Lyginimas yra begalinis puikios funkcijos. Pavyzdžiai.

27. Funkcijos tęstinumas taške (3 apibrėžimai). Funkcijų savybės,

ištisinis taške.

28. Sudėtinės funkcijos tęstinumas.

29. Funkcijos pertrūkių taškų klasifikacija.

30. Monotoninės funkcijos lūžio taškai.

31. Pirmoji Weierstrasso teorema.

32. Antroji Weierstrasso teorema.

33. Tolydžios funkcijos nulio teorema.

34. Bolzano-Cauchy teorema apie tarpines ištisinės linijos vertes

funkcijas. Bolzano-Koši teoremos išvados.

35. Monotoninės funkcijos tęstinumo kriterijus.

36. Atvirkštinės funkcijos tęstinumas.

37. Vienodas funkcijos tęstinumas. Kantoro teorema.

38. Funkcijos taške išvestinė. Dariniai elementarios funkcijos

(pavyzdžiai ir lentelė). Geometrinė reikšmė išvestinė.

39. Funkcijos diferencijavimas taške (du apibrėžimai ir jų

lygiavertiškumas). Diferencijuojamos funkcijos tęstinumas.

40. Diferencijuojamųjų funkcijų aritmetinės savybės.

41. Sudėtinės funkcijos išvestinė.

42. Atvirkštinės funkcijos išvestinė.

43. Parametriškai apibrėžtos funkcijos išvestinė.

44. Aukštesnių pavedimų išvestinės priemonės. Leibnizo formulė.

45. Funkcijos diferencialas. Diferencinės savybės. Nekintamumas

pirmojo diferencialo rašymo formos.

46. ​​Aukštesnių užsakymų skirtumai. Įrašymo formos nekintamumas

antrasis diferencialas.

47. Ferma teorema.

48. Rolio teorema.

49. Lagranžo teorema.

50. Koši teorema diferencijuojamoms funkcijoms.

51. L'Hopital taisyklė.

52. 53. 54. Teiloro formulė su likusiu terminu Peano forma. Taylor formulė su likusiu terminu Lagrange forma. Taylor formulės elementarioms funkcijoms.

55. Funkcijos monotoniškumo ženklas.

56. Vietinis ekstremumas funkcijas. Būtina sąlyga vietiniams

ekstremumas.

57. Pirma pakankama būklė vietinis ekstremumas.

58. Antroji pakankama vietinio ekstremumo sąlyga.

59. Funkcijos išgaubtumas. Pakankama funkcijos išgaubtumo sąlyga.

60. Funkcijos išgaubtumo ir funkcijos grafiko liestinės ryšys

(formuluotė).

64. Funkcijos vingio taškas. Būtina vingio taško sąlyga.

65. Pakankamos sąlygos vingio taškui (2 teoremos).

66. Funkcijos grafiko asimptotės.

1. Apribotos ir neapribotos aibės. Pavyzdžiai.

Įrodymas. Pasekmė. Pavyzdys.

2. Viršutinė ir apatinė skaičių aibės ribos. Teorema apie tikslios viršutinės (tikslios apatinės) aibės ribos egzistavimą.

pareiškimas. Įrodymas.

Teorema apie tikslios viršutinės (apatinės) ribos egzistavimą. Įrodymas.

3. Skaičių seka. Skaičių sekos riba. Ryšys tarp konvergentinių ir be galo mažų sekų.

Teorema apie ryšį b.m. ir konvergentinė seka. Įrodymas.

4. Begalinės mažos sekos ir jų savybės.

1 teorema. Įrodymas.

Pasekmė.

5. Be galo didelės sekos ir jų ryšys su be galo mažomis sekomis.

Teorema.

Įrodymas.

6. Sekos ribų aritmetinės savybės.

Teorema.Įrodymai. Teorema. Įrodymas.

7. Konvergencinių sekų savybės: ribos unikalumas, konvergencinės sekos ribojimas.

Teorema:(dėl ribos unikalumo): Jei
-konvergentas, tada yra tik viena riba.

Įrodymas:

Leiskite
,
,
.

Kad būtumėte tikri
mes turime:

.

<
<

<. <
.

Prieštaravimas.

Teorema:(apie konvergencinės sekos ribojimą): Jei
-susilieja, tada jis yra ribojamas.

- konvergentinis


:

.

Paimkime =1


.

Pažymėkime tada

Tada

Vadinasi, abiem atvejais

komentaras: priešingai nėra tiesa.

8. Konvergencinių sekų savybės: perėjimas į ribą nelygybėse.

Teorema: (apie perėjimo į nelygybę ribojimą):

Leiskite
,
.

. Tada
.

komentaras:

.

Įrodymas (prieštaraujant):

Leiskite
.

Paimkime
.

Pažymėkime

.

- prieštaravimas.

komentaras: Jei sekos elementai patenkinti
, tada iš to išplaukia
.


.

=, =,



.

9. Monotoniškos sekos. Teorema apie monotoniškos sekos ribą.

Apibrėžimas:
- monotoniškai didėjantis (monotoniškai mažėjantis),

Jeigu

(
). Jei nelygybė yra griežta, tada

sekos griežtai didėja (mažėja).

Teorema (apie monotoniškos sekos ribą). Leiskite

Monotoniškai didėja ir yra ribojamas iš viršaus. Tada susilieja ir

.

Įrodymas:

apribota iš viršaus =>tikslaus viršutinio egzistavimo teorema

briaunos

. Įrodykime tai
.

: 1)

2)
.

Paimkime savavališką
, žymi
nuo 2).

1)=>

2)=>
(monot. amžius).

Iš to išplaukia, kad
,
=>

.

Mes įrodėme pakankamą sąlygą sekos skaitinei konvergencijai (monot. ir riba.)

10. Skaičius e.

Sunku įrodyti, kad funkcija
adresu

turi limitą. Ši riba nurodyta raide atradėjo garbei

jo Sankt Peterburgo matematikas Leonhardas Euleris. Nustatyta, kad

tai neracionalus skaičius ir kas =2.718281828459…. formulė,

apibrėžiantis skaičius tradiciškai vadinamas antruoju nuostabiu

riba.

. Taip pat numeris -pagrindas

natūralūs logaritmai.

Pasvarstykime
.

Apribotos ir neapribotos aibės. Baigtinės ir begalinės aibės

Aibės su elementų skaičiumi gali būti baigtinės arba begalinės

Apsvarstykite savavališką begalinę aibę realūs skaičiai, jį galima nurodyti bet kokiu būdu. Tokie

Rinkiniai yra, pavyzdžiui, rinkinys natūraliuosius skaičius, rinkinys tinkamos trupmenos, realiųjų skaičių nuo 0 iki 1 rinkinys, šaknų rinkinys nuodėmės lygtys x = ½ ir kt.

Bet kurį iš aibės skaičių pažymime x, o pati aibė bus žymima X.

Apibrėžimai 7.3.

Jei aibėje X yra toks skaičius M, kad visiems x≤M, tai aibė X vadinama apribota aukščiau (skaičiumi M), o pati M vadinama viršutine X riba. Pavyzdžiui, aibė natūralios frakcijos iš viršaus apribota skaičiumi 1 (ir apskritai bet kokiu skaičiumi, didesniu arba lygiu 1), natūralioji eilutė yra neribota iš viršaus

Aibė, apribota iš apačios, ir apatinė riba apibrėžiamos panašiai

Iš viršaus (iš apačios) apribota aibė gali būti ir apribota, ir iš apačios (iš viršaus). Taigi tinkamų trupmenų aibė yra apribota ir iš viršaus, ir iš apačios, o natūralioji eilutė apribota žemiau, bet ne aukščiau.

Jei aibė aukščiau (žemiau) yra neribota, tada „netinkamas“ skaičius laikomas jos viršutine (apatine) riba. Kalbant apie šiuos „netinkamus“ arba „begalinius“ skaičius, darome prielaidą, kad koks būtų tikrasis skaičius α.

Aibė, apribota ir aukščiau, ir žemiau, vadinama (paprasčiausiai) ribotas.

Jeigu aibė ribojama iš viršaus, t.y. turi baigtinę viršutinę ribą M, tada tuo pačiu metu jis turi begalinį viršutinių ribų skaičių (kadangi, pavyzdžiui, bet koks skaičius >M taip pat bus viršutinė riba). Iš visų viršutinių ribų įdomiausia yra mažiausia (dar žinoma kaip tikslūs viršutinė riba, viršūnė, aibės X viršūnė, supX (iš ​​lot. supremum – didžiausias))

Tiksli apatinė riba ( apatinis kraštas, aibės X infinum, inf X (iš ​​infinum – mažiausias))

Apibrėžimas '

Skaičius β vadinamas viršutine skaičių aibės X riba, jei:

2’) bet kuriam ε>0 yra toks, kad x > β - ε

α=inf X apibrėžimui „suformuluokite figūrą patys. 7.3 (2).

Tegul ; Tada

sup = sup (a, b) = b, inf [a, b] = inf (a, b) = a.

Šie pavyzdžiai rodo, kad apatinis ir viršutinis paviršiai gali priklausyti pačiam rinkiniui arba nepriklausyti.

Pagal savo apibrėžimą viršutinė ir apatinė rinkinio ribos yra unikalios. Tiesą sakant, jei kurioje nors aibėje, net priklausančioje išplėstinei skaičių eilutei, yra mažiausias (didžiausias) elementas, tai jis yra unikalus, nes iš dviejų skirtingi elementai aibės didžiausias iš jų negali būti mažiausias elementas, o mažiausias negali būti didžiausias.

Ar aibė, apribota aukščiau (žemiau), visada turi tikslią viršutinę (apatinę) ribą? Iš tiesų, kadangi viršutinių (apatinių) ribų yra be galo daug, o tarp begalinės skaičių aibės ne visada yra didžiausias (mažiausias), supremumo (infinum) egzistavimas reikalauja specialaus įrodymo.

7.3(1) teorema

Kiekviena netuščia aibė, apribota aukščiau, turi viršutinę ribą, o kiekviena netuščia aibė, apribota žemiau, turi apatinę ribą.

Įrodymas

Tegul jis nėra tuščias numerių rinkinys A apribota iš viršaus, B yra visų skaičių, kurie ribojasi iš viršaus aibės A aibė. Jei tada iš skaičiaus, ribojančio iš viršaus, apibrėžimo

nustatyti, iš to seka, kad a≤b. Todėl pagal tęstinumo savybę realūs skaičiai yra toks skaičius β, kad nelygybė a≤β≤b galioja visiems. Nelygybė reiškia, kad skaičius β riboja aibę A iš viršaus, o nelygybė reiškia, kad skaičius β yra mažiausias iš visų skaičių, kurie riboja aibę A iš viršaus.

Panašiai įrodoma, kad iš apačios apribota skaičių aibė turi infimumą.

Panagrinėkime abipusį grafikų išdėstymą atvirkštinės funkcijos V Dekarto sistema koordinates ir įrodykite šį teiginį.

Lemma 1.1. Jei a, b R, tai plokštumos taškai M 1 (a, b), M 2 (b, a) yra simetriški tiesės y = x atžvilgiu.

Jei a = b, tai taškai M1, M2 sutampa ir yra tiesėje y = x. Darysime prielaidą, kad a 6= b. Tiesė, einanti per taškus M1, M2, turi lygtį y = −x+a+b, todėl yra statmena tiesei y = x.

Kadangi atkarpos M1 vidurys M2 turi koordinates a + 2 b ,a + 2 b ! , Tai

jis yra tiesėje y = x. Todėl taškai M1, M2

Pasekmė. Jei funkcijos f: X −→ Y ir ϕ : Y −→ X yra viena kitai atvirkštinės, tai jų grafikai yra simetriški tiesės y = x atžvilgiu, jei jie brėžiami toje pačioje koordinačių sistemoje.

Tegu f = ((x, f(x)) | x X),ϕ = ((y, ϕ(y)) | y Y ) yra atitinkamai funkcijų f ir ϕ grafikai. Nes

(a, b) f (b = f(a), a X) (a = ϕ(b), b Y) (b, a)ϕ ,

tada, remiantis įrodyta lema, grafikai f ir ϕ simetriškas tiesei y = x.

1.6 Skaitinių aibių savybės

1.6.1 Apribotų skaičių rinkiniai

Apibrėžimas 1.26. Tegu X yra netuščia skaičių aibė. Laikoma, kad aibė X yra apribota aukščiau (žemiau), jei yra skaičius a, kad x 6 a (x > a ) bet kuriam elementui x X . Šiuo atveju skaičius a vadinamas viršutine (apatinė) aibės X riba. Aibė, apribota žemiau ir aukščiau, vadinama ribota.

Naudojant loginius simbolius, aibės X viršutinė riba užrašoma taip:

a R: x 6 a, x X.

Atsižvelgdami į skaičiaus modulio savybes, galime pateikti tokį lygiavertį apribotos aibės apibrėžimą.

Apibrėžimas 1.27. Netuščia skaičių aibė X vadinama ribota, jei yra teigiamas skaičius M, kad

Apibrėžimas 1.28. Elementas iš skaitinės aibės X vadinamas didžiausiu (minimaliu) elementu X, jei x 6 a (atitinkamai, x > a) bet kuriam X iš x, ir jie rašo: a = max X (atitinkamai, a = min X) .

Remiantis eilės aksioma (3.b), nesunku parodyti, kad jei aibė X R turi maksimalų (minimalų) elementą, tada ji yra unikali.

Atkreipkite dėmesį, kad jei skaičių aibėje X yra didžiausias (minimalus) elementas a, tada jis yra apribotas aukščiau (žemiau), o skaičius a yra viršutinė (apatinė) aibės X riba. Tačiau ne kiekviena skaičių aibė, apribota aukščiau (žemiau). ) turi maksimalų (minimalų) elementą .

1.5 pavyzdys. Parodykime, kad aibė X = )