Tikslios viršutinės aibės ribos teorema. Viršutinio (apatinio) veido buvimas

MATEMATINĖ ANALIZĖ

I dalis

RIBŲ TEORIJA. Sekos riba ir funkcijos riba. Tikslios viršybės egzistencijos teorema.

Tegul kintamasis x n ima begalinę reikšmių seką

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

ir žinomas kintamojo kitimo dėsnis x n, t.y. visiems natūralusis skaičius n galite nurodyti atitinkamą vertę x n. Todėl daroma prielaida, kad kintamasis x n yra funkcija n:

x n = f(n)

Apibrėžkime vieną iš svarbiausios sąvokos matematinė analizė – sekos riba arba, kas yra tas pats, kintamojo riba x n, einantis per seką x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

Apibrėžimas. Pastovus skaičius a paskambino sekos riba x 1 , x 2 , ..., x n , ... . arba kintamojo riba x n, jei savavališkai mažam teigiamam skaičiui e yra toks natūralusis skaičius N(t. y. numeris N), kad visos kintamojo reikšmės x n, pradedant nuo x N, skiriasi nuo a Autorius absoliuti vertė mažiau nei e. Šis apibrėžimas trumpai parašyta taip:

| x n - a |< (2)

visų akivaizdoje n  N, arba kas tas pats,

Koši ribos nustatymas. Skaičius A vadinamas funkcijos f (x) riba taške a, jei ši funkcija apibrėžta tam tikroje taško a kaimynystėje, išskyrus patį tašką a, ir kiekvienam ε > 0 yra δ > 0 taip, kad visiems x, atitinkantiems sąlygą |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Heine ribos nustatymas. Skaičius A vadinamas funkcijos f (x) riba taške a, jei ši funkcija apibrėžta tam tikroje taško a kaimynystėje, išskyrus patį tašką a, ir bet kuriai tokiai sekai, konverguojant į skaičių a, atitinkama funkcijų reikšmių seka konverguoja į skaičių A.

Jei funkcija f (x) turi ribą taške a, tai ši riba yra unikali.

Skaičius A 1 vadinamas funkcijos f (x) riba taške a kairėje, jei kiekvienam ε > 0 yra δ >

Skaičius A 2 vadinamas funkcijos f (x) riba taške a dešinėje, jei kiekvienam ε > 0 yra δ > 0, todėl nelygybė galioja visiems

Kairėje esanti riba žymima dešinėje esančia riba. Šios ribos apibūdina funkcijos veikimą kairėje ir dešinėje nuo taško a. Tai dažnai vadinama vienpusėmis ribomis. Nurodant vienpuses x → 0 ribas, pirmasis nulis paprastai praleidžiamas: ir. Taigi, dėl funkcijos

Jei kiekvienam ε > 0 yra taško δ kaimynystė, kad visiems x, atitinkantiems sąlygą |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, tada jie sako, kad funkcija f (x) taške a turi begalinę ribą:

Taigi funkcija taške x = 0 turi begalinę ribą. Dažnai skiriamos +∞ ir –∞ lygios ribos. Taigi,

Jei kiekvienam ε > 0 yra δ > 0, kad kiekvienam x > δ nelygybė |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Tikslios viršybės egzistencijos teorema

Apibrėžimas:АR mR, m yra viršutinis (apatinis) А paviršius, jei аА аm (аm).

Apibrėžimas: Aibė A apribota iš viršaus (iš apačios), jei egzistuoja m, kad galioja aA, am (am).

Apibrėžimas: SupA=m, jei 1) m yra A viršija

2) m': m' m“ nėra A viršūnė

InfA = n, jei 1) n yra A infimumas

2) n': n'>n => n' nėra A infimumas

Apibrėžimas: SupA=m yra toks skaičius, kad: 1)  aA am

2) >0 a  A, kad a  a-

InfA = n yra toks skaičius, kad: 1) 1)  aA an

2) >0 a  A, kad a E a+

Teorema: Bet kuri netuščia aibė AR, apribota iš viršaus, turi tikslią viršūnę ir unikalią.

Įrodymas:

Sukonstruokime skaičių m skaičių tiesėje ir įrodykime, kad tai yra A viršybė.

[m]=maks.([a]:aA) [[m], [m]+1]A=>[m]+1 – viršutinė A riba

Segmentas [[m],[m]+1] – padalintas į 10 dalių

m 1 = max:aA)]

m 2 = maks., m 1:aA)]

m k =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K – viršutinis kraštas A

Įrodykime, kad m=[m],m 1 ...m K yra aukščiausia suma ir kad ji yra unikali:

k: tada yra taškas, kuriame funkcija pasiekia maksimumą, yra taškas, kuriame funkcija pasiekia savo minimumą.

Įrodymas:

Tegul funkcija f(x) yra tolydi į , tada pagal 1 teoremą ji apribota šiuo intervalu. Todėl funkcijų reikšmių rinkinys yra ribotas. Tada, remiantis aukščiausiojo lygio principu, šis rinkinys turi tikslią viršutinę ir tikslią apatinę ribas.

Pažymime: ir parodome, kad tai bus didžiausia funkcijos f(x) reikšmė atkarpoje : .

Tarkime, priešingai, ty .

Nuo tada f(x)< .

pristatykime funkciją . Funkcija yra ištisinė, nes -f(x) 0. Tada pagal pirmąją Weierstrass teoremą funkcija apribota .

, kur >0

Kadangi ši nelygybė galioja, skaičius nėra tiksli viršutinė funkcijos reikšmių rinkinio riba. Mes pasiekiame prieštaravimą, o tai reiškia, kad mūsų prielaida yra neteisinga. Panašiai galima įrodyti, kad nuolatinė funkcija pasiekia savo minimali vertė. Teorema įrodyta.

DIFERENCIJOS FUNKCIJOS Ritinio ir Lagranžo teoremos.Formulė T

Eylor su likusiu terminu Lagrange forma. Rolio teorema.

Jei funkcija f(x) yra ištisinė uždarame intervale [a, b], ji turi išvestinę intervalo viduje ir jei

f(a) = f(b) 0 tada intervalo [a, b] viduje yra bent viena tokia reikšmė x< x 0 < b), что

(a 0 ) = 0.

f "(x Įrodymas.

Panagrinėkime du atvejus. 1. Funkcija f(x) yra pastovus intervale [ a, b ]; Tada f" (x) = 0 bet kam< x < b) x(a

, t.y. Rolle teoremos teiginys vykdomas automatiškai. 1. Funkcija 2. Funkcija nėra pastovus (1 pav.); tada jis pasiekia didžiausią ar mažiausią arba abi šias vertes vidiniame intervalo taške, nes f(b) = f(a) , o jei - f(a) mažiausia vertė 1. Funkcija, tada didžiausia reikšmė yra funkcija

[šiai apylinkei galima paimti intervalą ( 1. Funkcija Kadangi pagal sąlygą x 0 turi taške išvestinė, tada pagal teoremą apie būtinas atributas

(a 0 ) = 0 ,

ekstremumas,

ir Rolio teorema įrodyta. Rolle teorema turi paprastą geometrinį aiškinimą: jei duotas kreivės y = f(x) lankas AB, kurio kiekviename taške yra liestinė, o galai A ir B yra vienodu atstumu nuo Ox ašies, tai šiame lanke yra bent vienas taškas, kuriame kreivės liestinė t bus lygiagreti lanką sutraukiančiai stygai, taigi ir Ox ašiai

(žr. 1 pav.). Jei koordinačių ašis pasuksime kampu a, tai galai A Ir B lankai AB nebebus tokiu pat atstumu nuo ašies Jautis" , bet liestinė t lankai vis tiek bus lygiagreti akordui (žr. 1 pav.). Todėl natūralu tikėtis, kad teorema galioja: Jei pateikiamas kreivės y = f(x) lankas AB su nuolat kintančia liestine, tai šiame lanke yra bent vienas taškas, kuriame liestinė yra lygiagreti ją jungiančiai stygai AB

Lagrange'o teoremos Lagranžo teorema.[yra pastovus intervale [] Jei funkcija f(x) yra ištisinė uždarame intervale 0 tada intervalo [a, b] viduje yra bent viena tokia reikšmė x< x 0 < b), что

ir jo viduje yra išvestinė f "(x), tada yra bent viena tokia reikšmė x.

f "(x f(b) – f(a) = (b – a)f "(x)

Apsvarstykite pagalbininko funkciją,

F(x) = f(x) – k(x – a) Kur lankai- stygos kampinis koeficientas

(žr. 2 pav.).

Ši funkcija tenkina visas Rolio teoremos sąlygas. Tiesą sakant, kada x = a mes turime F(a) = f(a) - k(a - a) = f(a) , adresu x = b

mes turime 1. Funkcija A Be to, kadangi funkcija nuolatinis [ a, b] ir skiriasi ( a, b), tada funkcija F(x) = f(x) – k(x – a) yra nuolatinis [ a, b] ir skiriasi ( a, b).

Todėl pagal Rolle teoremą intervale ( a, b) yra toks punktas x 0 , Ką

F"(x 0 ) = 0 ,

(a 0 ) – k = 0

Iš čia mes turime

f(b) – f(a) = (b – a)f “ (x 0 ) ,

Q.E.D.

Nes a + (b - a) = b, tada vertė a+(b – a), kur Q yra tinkama teigiama trupmena (0 <  < 1) , yra lygus tam tikram skaičiui intervale ( a, b), todėl Lagranžo formulę galima parašyti formoje

f(b) – f(a) = (b – a)f “

Jei įdėsite a = x, b = x +x, kur b - a =x, tada Lagranžo formulė bus parašyta formoje

y = f(x +x) - f(x) =xf"(x+x).

Anksčiau buvo įrodyta, kad jei funkcija lygi konstantai C bet kokia verte x intervale (a, b), tada jo išvestinė lygi nuliui.

Įrodykime dabar atvirkštinė teorema, kuri yra Lagrange'o teoremos pasekmė:

Jei išvestinė f "(x) išnyksta bet kurioms x reikšmėms intervale (a, b), tada šiame intervale f (x) = C.

Tiesą sakant, jei x 1 A x 2 - bet kurios dvi vertės intervale (a, b), tada pagal Lagrange'o teoremą turime

Tegu pvz 2 ) - f(x 1 ) = (x 2 -x 1 )f"(x 0 ),

kur, x 1 < x 0 < x 2 . Bet kadangi f"(x 0 ) = 0 , Tai

Tegu pvz 2 ) - f(x 1 ) = 0,

kuri įrodo mūsų teoremą.

Iš to tiesiogiai išplaukia svarbi teorema:

Jei dvi funkcijos f 1 (x) ir f 2 (x) turi tą pačią išvestinę intervale (a, b), tada jie skiriasi vienas nuo kito pastovia verte šiame intervale.

Iš tiesų, apsvarstykite funkciją

(x) = f 2 (x)–f 1 (x).

Tada už bet kokią vertę x nuo intervalo (a, b)

"(x) = f 2 "(x)-f 1 "(x) = 0.

Bet tai reiškia, kad  (x) = C ir todėl

f 2 (x)–f 1 (x) = C.

Taylor formulė. Leiskite į intervaląfunkcija f(x) yra diferencijuojama n kartų ir galioja šios lygybės:

f(a) = f(b) = f "(a) = f ""(a)= ... = f (n-1) (a) = 0

Tada intervalo vidujeyra bent viena reikšmė su,prie kurio

f (n) (c) = 0

f "(x Autorius Rolio teorema x = b

f "(x 0 ) = 0 ,

Kur a< x 0 < b . Tada f "(x) intervale tenkina Rolle teoremą, nes pagal sąlygą f "(a) = 0 A f "(x 0 ) = 0 , ir todėl

f ""(x 1 ) = 0 ,

Kur a< x 1 < x 0 .

Rolle teoremos taikymas funkcijoms iš eilės f ""(x), f """(x), ..., f (n-1) (x), pagaliau randame:

f (n) (c) = 0,

Kur a< c < x n-1 < b . Teorema įrodyta.

Dabar išsiaiškinkime Taylor formulė su likusiu terminu Lagrange forma.

Tegul funkcija f(x) skiriasi n kartų per intervalą.

Apsvarstykite pagalbininko funkciją

(x) = f(x) – P(x),

Atskirkime n kartų funkcija  (x). Tada turėsime

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 (n-1) (x) = f (n-1) (x)-A n-1 – A n (x - a),

 (n) (x) = f (n) (x)-A n

Reikalaujame, kad funkcija  (x) tenkino apibendrintos Rolio teoremos sąlygas. Tada turėsime

(1) .

Kadangi funkcija  (x) tenkina apibendrintos Rolio teoremos sąlygas, tada yra tokia reikšmė su (a< c < b) , Ką

 (n) (c) = f (n) c) – A n = 0 (2)

Ribotas rinkinys. Tikslūs kraštai

Moivre'o formulė

Jį 1707 m. rado A. Moivre; jos modernią žymėjimą pasiūlė L. Euleris 1748 m.

z n =r n e in j =r n(cos n j +i nuodėmė n j). (3)

(3) formulė įrodoma indukcija įjungta n.

Kompleksinių skaičių dauginimas

Ji akivaizdžiai teisi. Tarkime, kai kuriems tai tiesa n, įrodykime tai už n+1. Turime:

Tam tikram atvejui randame tą, kuris tenkina lygtį. Kitaip tariant, suraskime šaknį n laipsnis kompleksinis skaičius. Turime r n e in j =r e i y Þ n j=y+2p k, kÎZ , r= iš kur gauname formules

kurie naudojami šaknies apskaičiavimui n- kompleksinio skaičiaus laipsnis. Šaknies paieškos procesas n- kompleksinio skaičiaus laipsnis z galima apibūdinti taip. Jei šis skaičius nėra lygus 0, tada bus būtent tokios šaknys n. Visi jie bus teisingumo viršūnės n– kvadratas, įrašytas į spindulio apskritimą . Viena iš šio daugiakampio viršūnių turi argumentą, lygų.

Pavyzdys. Apskaičiuokite. Todėl šiuo atveju reikia trijų verčių:

Ryžiai. 1.7

komentuoti: palyginimo ženklai mažesni nei, didesni nei (<, >) nėra apibrėžti C .

1.3. Viršutinė ir apatinė rinkinio ribos realūs skaičiai

Ribojimas ir daugybės ribos.

E rinkinys apribotas aukščiau:$b"xÎ E:x£ b.

b - viršutinė rinkinio riba:"xÎE:x£ b.

Apribotas rinkinys:$a"xÎ E: x³ a.

a - apatinis kraštas rinkiniai:"xÎE: x ³ a.

Tiksli rinkinio suma yra tokia: b = sup E yra skaičius, atitinkantis dvi savybes:

1)(b – viršutinis kraštas)"xÎ E:x£ b.

2) (ne mažiau) "e>0 $ xÎ E: x > b- e.

Tikslus infimumas nustatomas panašiai a = inf E.Apribotas rinkinysE:$b"xÎ E: .

komentaras: Jeigu b = sup E, Tai -b= inf E¢, Kur E¢- veidrodis E daug, E¢={xÎR:(-x)ÎE} .

Teorema 1. Netuščia aibė, apribota aukščiau, turi aukščiausią sumą.

Įrodymas: Leiskite b viršutinė rinkinio riba E Ir aÎ E. Pažymėkime [ a 1 ,b 1 ] segmentas, jei joje yra taškų iš E. Kitu atveju per [ a 1 ,b 1 ] žymi atkarpą

Ryžiai. 1.8

Atkreipkite dėmesį į šio sukonstruoto segmento savybes:

1) "xÎE: x£ b 1 .

2) EÇ[ a 1 ,b 1 ] ¹ Æ .

Šią procedūrą kartojame [ a 1 ,b 1 ] ir tt Dėl to gauname įdėtų segmentų seką [ a k, b k], atitinkantis šias savybes:

1)"xÎE: x £ b k .

2) EÇ[ a k, b k ] ¹ Æ .

Tai įrodoma indukcija. Tarkime, kad segmentas [ a k, b k] su nurodytomis savybėmis. Padalinkite jį per pusę tašku. per [ a k + 1 ,b k + 1 ] žymi vieną iš segmentų , kuri turi netuščią sankryžą su E. Jei abiejuose yra

Ryžiai. 1.9

taškų iš E, Tas [ a k + 1 ,b k + 1 ] tebūnie dešinysis segmentas. Gautas segmentas turi savybes 1), 2). Šių segmentų ilgiai b k - a k =(b-a)/ 2k linkę į 0, taigi yra vienaskaita c bendri visiems šiems segmentams. Šis skaičius yra tiksli viršutinė šio rinkinio riba. Tikrai:

1) "xÎ E: x £ c.

Tarkime priešingai: $ xÎ E:x>c, imkime, nes jis egzistuoja tada, iš kur jis seka b n< x , o tai prieštarauja sąlygai xÎ[ a n, b n].

Ryžiai. 1.10

2) "e > 0 $xÎE: x > c - e.

Bet kokiam e yra n: b n - a n< e . Pasirinkime bet kurią xÎ[ a n, b n] . Dėl nuosavybės 1) tai bus tiesa x< c, Be to

c-x£ b n - a n< e . Taigi, reikalingas x.

Ryžiai. 1.11

Panašiai galima įrodyti, kad iš netuščios aibės, apribotos žemiau, yra infimum.

Teorema 2. Tikslus supremumas (jei jis yra) yra unikalus.

Įrodymas: Tebūnie du tikslūs veidai b 2 , b 1 , b 1 2 . Paimkite e = b 2 - b 1 > 0. Pagal nustatant tikslią viršutinę ribą (už b 2) $xÎ E: x > b 2 - e = b 1, o tai kam prieštarauja b 1 viršutinis kraštas.