Metų laikai

Pagrindinės determinantų savybės ir jų geometrinė reikšmė Pradžia Turtas 2.12. Gramo matricos determinantas iš tiesiškai

priklausoma sistema vektoriai yra 0. Įrodymas. Tegul vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma. Tada arba sistemoje yra
nulinis vektorius , o teiginys šiuo atveju yra akivaizdus, ​​arba yra vektorius, kuris gali būti tiesiškai išreikštas per ankstesnius sistemos vektorius. Gramo matricoje atimti iš
i , o teiginys šiuo atveju yra akivaizdus, ​​arba yra vektorius, kuris gali būti tiesiškai išreikštas per ankstesnius sistemos vektorius. Gramo matricoje-toji eilutė, ankstesnės eilutės su koeficientais . Gramo matricos determinantas nepasikeis, bet Eilė taps nuliu. Nulinės eilutės matricos determinantas

lygus nuliui , todėl Gramo matricos determinantas yra lygus nuliui. R pažiūrėkime
geometrine prasme Gramų matricos iš tiesinės nepriklausomos vektorių sistemos. Jeigu
k Gramų matricos iš tiesinės nepriklausomos vektorių sistemos=1, tada
- vektoriaus ilgio kvadratas. Jeigu >1, tada taikome jį vektorių sistemai ortogonalizacijos procesas ir konstrukcija
ortogonalioji sistema vektoriai. Pažymėkime pagal
P
perėjimo matricą iš sistemos prie sistemos. Ši matrica turi
trikampis vaizdas , o jo pagrindinėje įstrižainėje yra 1, o jo determinantas lygus 1. Be to, ir todėl Gramo matricų determinantai yra lygūs. Kadangi vektorinė sistema yra stačiakampė, tada šios vektorių sistemos Gramo matrica yra įstrižainė, o jos determinantas Gramų matricos iš tiesinės nepriklausomos vektorių sistemos lygus produktui
šios sistemos vektorių ilgių kvadratu. Taigi lygybė yra nustatyta. Apsvarstykite atvejį =2. Tada
lygus į šoną nuleisto lygiagretainio aukščio ilgiui
(žr. Klaida: nuorodos šaltinis nerastas). Todėl produktas
lygus lygiagretainio plotui, kurį apima vektoriai, ir Gramo matricos determinantas Gramų matricos iš tiesinės nepriklausomos vektorių sistemos lygus kvadratui šio lygiagretainio plotas. Jeigu
=3, tada vektorius
į vektorių apimamą plokštumą

. Todėl trijų vektorių Gramo matricos determinantas yra lygus vektorių aprėpto gretasienio tūrio kvadratui Gramų matricos iš tiesinės nepriklausomos vektorių sistemos. Kadangi visi samprotavimai yra apibendrinami iki savavališko matmens, tokiu būdu nustatoma savybė.
Savybė 2.13 Vektorių sistemos Gramo matricos determinantas yra lygus 0, jei sistema yra tiesiškai priklausoma, ir tūrio kvadratui

-dimensinis gretasienis, apimantis vektorius

kitaip.

priklausoma sistema Dabar parodykime Hadamardo nelygybę.
tiesiškai priklausomas, tada nelygybė akivaizdi. Tegul ši vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma. Taikykime jam ortogonalizacijos procesą ir sukurkime stačiakampę vektorių sistemą
. Vektorius yra stačiakampis vektoriaus komponentas įjungta linijinis apvalkalas vektoriai
, todėl
pagal Besselio nelygybę (2.2 teorema). Be to, tai ir reikėjo įrodyti.

Hadamardo nelygybė virsta lygybe tik tada, kai pradinė vektorių sistema yra stačiakampė. Kitais atvejais nelygybė yra griežta.

Išvada 2.5 Nelygybės galioja
Ir
.

priklausoma sistema IN n- matmenų aritmetinė erdvė apsibrėžkime taškinis produktas pagal formulę
. Apsvarstykite vektorių sistemą, kurią sudaro matricos stulpeliai A. Šios vektorinės sistemos Gramo matrica lygi
ir Hadamardo nelygybe
. Nes
, tada nelygybė
įdiegta. Taikydami gautą nelygybę perkeltai matricai, gauname
.

Išvada 2.6 Leiskite
. Tada
.

Įrodymas aišku.

Padėkime
ir, toliau, indukcija
. Matrica turi tvarką , jo determinantas yra lygus
ir visi jo elementai yra lygūs
. Nesunku patikrinti, ar nelygybė (2.6 išvada) šioje matricoje virsta lygybe.

1. Apsvarstykite savavališkus vektorius. Pirmiausia darykime prielaidą, kad šie vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi. Šiuo atveju bet kurio iš šių vektorių sudarytas gramo determinantas skirsis nuo nulio. Tada, darant prielaidą, kad pagal (22)

(23)

ir dauginant iš termino šias nelygybes ir nelygybę

, (24)

.

Taigi, Gramo determinantas tiesiškai nepriklausomi vektoriai teigiamas, tiesiškai priklausomiems jis yra lygus nuliui. Gramo determinantas niekada nėra neigiamas.

Pažymime santrumpa . Tada nuo (23) ir (24)

kur yra lygiagretainio, pastatyto ant ir, plotas. Kitas,

,

kur yra gretasienio, pastatyto ant vektorių, tūris. Tęsdami toliau, randame:

,

ir galiausiai

. (25)

Natūralu tai vadinti -dimensinio gretasienio tūriu, pastatytu ant vektorių kaip ant briaunų.

Pažymėkime , vektoriaus koordinates tam tikru ortonormaliu pagrindu ir tegul

Tada remiantis (14)

ir todėl [žr formulė (25)]

. (26)

Ši lygybė turi tokią geometrinę reikšmę:

Kvadratinis gretasienio tūris lygi sumai kvadratiniai jo projekcijų tūriai į visas koordinačių matmenų poerdves. Visų pirma, kai iš (26) nurodyta:

. (26)

Naudojant formules (20), (21), (22), (26), (26"), išspręsta keletas pagrindinių metrinės vienetinės ir euklidinės analitinės geometrijos uždavinių.

2. Grįžkime prie išplėtimo (15). Tai tiesiogiai išplaukia iš to:

kuri kartu su (22) suteikia nelygybę (savavališkiems vektoriams )

šiuo atveju lygybės ženklas galioja tada ir tik tada, kai vektorius yra statmenas vektoriams.

Iš čia nesunku gauti vadinamąją Hadamardo nelygybę

kur lygybės ženklas galioja tada ir tik tada, kai vektoriai yra poros stačiakampiai. Nelygybė (29) išreiškia tokį geometriškai akivaizdų faktą:

Gretasienio tūris neviršija jo briaunų ilgių sandaugos ir yra lygus šiai sandaugai tik tada, kai gretasienis yra stačiakampis.

Hadamardo nelygybė gali būti suteikta normali išvaizda, įtraukiant (28) ir įvedant determinantą, sudarytą iš vektorių koordinačių tam tikru ortonormaliu pagrindu:

.

Tada iš (26") ir (28) seka

. (28)

3. Dabar nustatykime apibendrintą Hadamardo nelygybę, apimančią ir nelygybę (27), ir nelygybę (28):

ir lygybės ženklas galioja tada ir tik tada, kai kiekvienas vektorius yra statmenas bet kuriam vektoriui arba vienam iš determinantų, lygus nuliui.

Nelygybė (28") turi tokią geometrinę reikšmę:

Lygiagretainio vamzdžio tūris neviršija dviejų papildomų paviršių tūrių sandaugos ir yra lygus šiai sandaugai tada ir tik tada, kai šie paviršiai yra vienas kitą stačiakampiai arba bent vienas iš jų turi nulinį tūrį.

Nelygybės (29) pagrįstumą nustatysime indukciniu būdu vektorių skaičiaus atžvilgiu. Nelygybė yra teisinga, kai šis skaičius yra 1 [žr formulė (27)].

Leiskite mums pristatyti du poerdes ir, atitinkamai, su bazėmis ir . Akivaizdu,. Panagrinėkime stačiakampius išplėtimus

.

Lygiagretainio tūrio kvadrato pakeitimas pagrindo tūrio ir aukščio kvadrato sandauga [žr. formulė (22)], randame

Šiuo atveju iš vektoriaus skaidymo seka:

, (31)

o čia ženklas vyksta tik tada, kai .

Naudodami dabar santykius (30), (30"), (31) ir indukcijos prielaidą, gauname:

Gavome nelygybę (29). Pereidami prie paaiškinimo, kada ženklas atsiranda šioje nelygybėje, mes manome, kad tai Ir . Tada taip pat pagal (30"). Ir . Kadangi santykiuose (32) lygybės ženklas galioja visur, tai, be to, remiantis indukcijos prielaida, kiekvienas vektorius yra stačiakampis kiekvienam vektoriui. Akivaizdu, kad vektorius taip pat turi šią savybę

Taigi apibendrinta Hadamardo nelygybė yra visiškai nustatyta.

4. Apibendrintai Hadamardo nelygybei (29) taip pat gali būti suteikta analitinė forma.

Leisti būti savavališka teigiama apibrėžta Hermito forma. Atsižvelgiant į vektoriaus koordinates matmenų erdvėje su pagrindu, formą laikome pagrindine metrine forma (žr. 224 psl.). Tada ji taps vientisa erdve. Taikykime apibendrintą Hadamardo nelygybę baziniams vektoriams: - realioji koeficientų matrica teigiama apibrėžtoji kvadratine forma tarp vektorių ir , nustatę jį iš santykio

.

Iš Bunyakovskio nelygybės išplaukia, kad ji turi tikrą vertę.

Maždaug prieš 20 metų turėjau galimybę universitete studijuoti aukštąją matematiką ir pradėjome nuo matricų (gal kaip ir visi to meto studentai). Kažkodėl manoma, kad matricų yra daugiausia lengva temažinant aukštoji matematika. Galbūt todėl, kad visos operacijos su matricomis priklauso nuo determinanto apskaičiavimo metodų ir kelių formulių, sukurtų determinanto pagrindu. Atrodytų, viskas paprasta. Bet... Pabandykite atsakyti į pagrindinį klausimą – kas yra determinantas, kas reiškia skaiciu gauni kai skaiciuoji? (užuomina: toks variantas kaip „determinantas yra skaičius, kurį randa tam tikras taisykles“ nėra teisingas atsakymas, nes kalbama apie gavimo būdą, o ne apie pačią determinanto esmę). Ar tu pasiduodi? - Tada skaityk toliau...

Iš karto noriu pasakyti, kad nesu matematikas nei pagal išsilavinimą, nei pagal pareigas. Išskyrus tai, kad aš domiuosi dalykų esme ir kartais stengiuosi juos „įsigilinti“. Panašiai buvo ir su determinantu: reikėjo susidurti su daugybine regresija, o šioje ekonometrijos dalyje beveik viskas daroma per... matricas, velniop. Taigi man pačiam teko atlikti nedidelį tyrimą, nes nė vienas iš mano pažįstamų matematikų nepateikė aiškaus atsakymo į užduotą klausimą, kuris iš pradžių skambėjo kaip „kas yra lemiamas veiksnys“. Visi ginčijosi, kad determinantas yra skaičius, kuris apskaičiuojamas ypatingu būdu, o jei jis lygus nuliui, tai... Apskritai, kaip ir bet kuriame tiesinės algebros vadovėlyje. Ačiū, praėjome.

Jei vienas žmogus sugalvojo idėją, kitas žmogus turėtų sugebėti ją suprasti (nors kartais tam reikia apsiginkluoti papildomomis žiniomis). Kreipimasis į „puikią ir galingą“ paieškos variklį parodė, kad „lygiagretainio plotas yra lygus vektorių – lygiagretainio kraštinių – suformuotos matricos determinanto moduliui“. Kalbėdamas paprasta kalba, jei matrica yra būdas parašyti lygčių sistemą, tada kiekviena lygtis atskirai apibūdina vektorių. Konstruodami matricoje nurodytus vektorius nuo pradžios taško, taip apibrėžiame tam tikrą figūrą erdvėje. Jei mūsų erdvė yra vienmatė, tai figūra yra atkarpa; jei jis dvimatis, tai figūra yra lygiagretainis ir pan.

Pasirodo, vienmatės erdvės determinantas yra atkarpos ilgis, plokštumai - figūros plotas, trimatei figūrai - jos tūris... jie tęsiasi. n matmenų erdvės, kurio neįsivaizduojame. Jei figūros tūris (tai yra 3*3 matricos determinantas) yra lygus nuliui, tai reiškia, kad pati figūra nėra trimatė (ji gali būti dvimatė, vienmatė ar net taškas). Matricos rangas yra tikrasis (maksimalus) erdvės, kurios determinantas nėra lygus nuliui, matmuo.

Taigi su determinantu beveik viskas aišku: jis nustato lygčių sistemos aprašytų vektorių suformuotos figūros „tūrį“ (nors neaišku, kodėl jo reikšmė nepriklauso nuo to, ar turime reikalą su pradine matrica arba perkeltas – galbūt perkėlimas yra tipas afininė transformacija?). Dabar turime suprasti operacijas su matricomis...

Jei matrica yra lygčių sistema (kitaip kodėl mums reikia kai kurių skaičių lentelės, neturinčios nieko bendro su realybe?), tada su ja galime daryti skirtingus dalykus. Pavyzdžiui, galime pridėti dvi tos pačios matricos eilutes arba padauginti eilutę iš skaičiaus (tai yra, kiekvieną eilutės koeficientą padauginame iš to paties skaičiaus). Jei turime dvi vienodų matmenų matricas, galime jas pridėti (svarbiausia, kad mes nepridedame buldogo su raganosiu - bet ar matematikai, kurdami matricų teoriją, pagalvojo apie šį scenarijų?). Tai intuityviai aišku, juolab kad tiesinėje algebroje tokius veiksmus iliustruoja lygčių sistemos.

Tačiau kokia yra matricos daugybos esmė? Kaip vieną lygčių sistemą padauginti iš kitos? Ką šiuo atveju reiškia tai, ką aš gaunu? Kodėl komutacinė taisyklė netaikoma matricų dauginimui (tai yra, matricų B * A sandauga ne tik nelygi sandaugai A * B, bet ir ne visada įmanoma)? Kodėl, padauginus matricą iš stulpelio vektoriaus, gauname stulpelio vektorių, o padauginus eilutės vektorių iš matricos, gauname eilutės vektorių?

Na, tai ne taip, kaip Vikipedija, tai netgi šiuolaikiniai vadovėliai tiesinėje algebroje yra bejėgiai pateikti bet kokį aiškų paaiškinimą. Kadangi studijuoti ką nors pagal principą „pirma tikėk, o vėliau suprask“ – ne man, pasineriu į šimtmečių gelmes (tiksliau, skaitau XX a. pirmos pusės vadovėlius) ir randu. įdomi frazė…

Jeigu paprastųjų vektorių rinkinys, t.y. nukreiptas geometriniai segmentai, yra trimatė erdvė, tai šios erdvės dalis, susidedanti iš vektorių, lygiagrečių tam tikrai plokštumai, yra dvimatė erdvė, o visi vektoriai, lygiagrečiai tam tikrai tiesei, sudaro vienmatę vektorinę erdvę.

Bet kuris straipsnis baigiasi tuo momentu, kai autoriui pavargsta jį rašyti. A t. Kadangi nekėliau sau tikslo aprėpti begalybės, o tik norėjau suprasti aprašytų operacijų su matricomis esmę ir kaip tiksliai matricos yra susijusios su mano sprendžiamomis lygčių sistemomis, todėl į tolimesnes gelmes nesigilinau. tiesinė algebra, bet grįžo prie ekonometrijos ir daugybinė regresija, bet darė tai sąmoningiau. Supratimas, ką ir kodėl darau ir kodėl tik taip, o ne kitaip. Tai, ką gavau šioje medžiagoje, galima pavadinti „skyriu apie pagrindinių tiesinės algebros operacijų esmę, kurią dėl tam tikrų priežasčių jie pamiršo išspausdinti vadovėliuose“. Bet mes neskaitome vadovėlių, ar ne? Jei atvirai, kai mokiausi universitete, labai pasiilgau supratimasčia iškeltus klausimus, todėl tikiuosi, kad pateikdamas šią sunkią medžiagą kiek įmanoma plačiau paprastais žodžiais, darau gerą darbą ir padedu kam nors susivokti matricinė algebra, perkeliant operacijas su matricomis iš skyriaus „kamlanie su tamburinu“ į skyrių „ praktinių įrankių, taikomas sąmoningai“.

Turtas 2.7. Tiesiškai priklausomos vektorių sistemos Gramo matricos determinantas lygus 0.

priklausoma sistema Tegul vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma. Tada arba sistemoje yra nulinis vektorius, ir teiginys šiuo atveju yra akivaizdus, ​​arba yra vektorius, kurį galima tiesiškai išreikšti ankstesniais sistemos vektoriais. Gramo matricoje atimkite iš , o teiginys šiuo atveju yra akivaizdus, ​​arba yra vektorius, kuris gali būti tiesiškai išreikštas per ankstesnius sistemos vektorius. Gramo matricoje eilutė, ankstesnės eilutės su koeficientais . Gramo matricos determinantas nepasikeis, bet , o teiginys šiuo atveju yra akivaizdus, ​​arba yra vektorius, kuris gali būti tiesiškai išreikštas per ankstesnius sistemos vektorius. Gramo matricoje Eilė taps nuliu. Matricos su nuline eilute determinantas yra lygus nuliui, todėl Gramo matricos determinantas yra lygus nuliui.

Panagrinėkime tiesinės nepriklausomos vektorių sistemos Gramo matricos geometrinę reikšmę. Jeigu Gramų matricos iš tiesinės nepriklausomos vektorių sistemos=1, tada yra vektoriaus ilgio kvadratas. Jeigu Gramų matricos iš tiesinės nepriklausomos vektorių sistemos>1, tada vektorių sistemai pritaikome ortogonalizacijos procesą ir sukuriame stačiakampę vektorių sistemą. Pažymėkime pagal vektoriai perėjimo iš sistemos į sistemą matrica. Ši matrica yra trikampio formos, jos pagrindinė įstrižainė yra 1, o determinantas yra 1. Be to, ir todėl Gramo matricų determinantai yra lygūs. Kadangi vektorių sistema yra stačiakampė, šios vektorių sistemos Gramo matrica yra įstrižainė, o jos determinantas yra lygus šios sistemos vektorių ilgių kvadratų sandaugai. Taigi lygybė yra nustatyta. Apsvarstykite atvejį Gramų matricos iš tiesinės nepriklausomos vektorių sistemos=2. Tada jis lygus į šoną nuleisto lygiagretainio aukščio ilgiui (žr. 1 pav.). Vadinasi, sandauga yra lygi lygiagretainio, kurį apima vektoriai, plotui, o Gramo matricos determinantas yra lygus šio lygiagretainio ploto kvadratui. Jeigu Gramų matricos iš tiesinės nepriklausomos vektorių sistemos=3, tada vektorius yra statmena vektoriaus komponentė plokštumai, kurią apima vektoriai . Vadinasi, trijų vektorių Gramo matricos determinantas yra lygus vektorių aprėpto gretasienio tūrio kvadratui. Kadangi visi samprotavimai yra apibendrinami iki savavališko matmens, tokiu būdu nustatoma savybė.

Savybė 2.8 Vektorių sistemos Gramo matricos determinantas yra lygus 0, jei sistema yra tiesiškai priklausoma, ir tūrio kvadratui Gramų matricos iš tiesinės nepriklausomos vektorių sistemos-dimensinis gretasienis, aprėptas vektoriais skirtingai.

Dabar parodykime Hadamardo nelygybę.

2.4 teorema.

priklausoma sistema Jei vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma, tai nelygybė akivaizdi. Tegul ši vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma. Taikykime jam ortogonalizacijos procesą ir sukurkime stačiakampę vektorių sistemą. Vektorius yra stačiakampis vektoriaus komponentas tiesiniame vektorių korpuse, taigi pagal Besselio nelygybę (2.2 teorema). Be to, tai ir reikėjo įrodyti.

Hadamardo nelygybė virsta lygybe tik tada, kai pradinė vektorių sistema yra stačiakampė. Kitais atvejais nelygybė yra griežta.

Išvada 2.5 Nelygybės galioja Ir .

priklausoma sistema IN n-dimensinė aritmetinė erdvė skaliarinę sandaugą apibrėžiame pagal formulę . Apsvarstykite vektorių sistemą, kurią sudaro matricos stulpeliai A.Šios vektorių sistemos Gramo matrica yra lygi ir pagal Hadamardo nelygybę . Nes , tada nelygybė įdiegta. Taikydami gautą nelygybę perkeltai matricai, gauname .