Pamoka tema: "Funkcijos $y=x^3$ grafikas ir savybės. Grafikų braižymo pavyzdžiai"
Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų. Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.
Mokymo priemonės ir simuliatoriai Integral internetinėje parduotuvėje 7 klasei
Elektroninis vadovėlis 7 klasei „Algebra per 10 minučių“
Edukacinis kompleksas 1C "Algebra, 7-9 klasės"
Funkcijos $y=x^3$ savybės
Apibūdinkime šios funkcijos savybes:
1. x yra nepriklausomas kintamasis, y yra priklausomas kintamasis.
2. Apibrėžimo sritis: akivaizdu, kad bet kuriai argumento (x) reikšmei galima apskaičiuoti funkcijos (y) reikšmę. Atitinkamai, šios funkcijos apibrėžimo sritis yra visa skaičių eilutė.
3. Reikšmių diapazonas: y gali būti bet koks. Atitinkamai, reikšmių diapazonas taip pat yra visa skaičių eilutė.
4. Jei x= 0, tai y= 0.
Funkcijos $y=x^3$ grafikas
1. Sukurkime verčių lentelę:
2. Už teigiamas vertes Funkcijos $y=x^3$ x grafikas labai panašus į parabolę, kurios šakos labiau „prispaustos“ prie OY ašies.
3. Nes už neigiamos reikšmės x funkcija $y=x^3$ turi priešingos reikšmės, tada funkcijos grafikas yra simetriškas kilmei.
Dabar pažymėkime taškus koordinačių plokštuma ir sudaryti grafiką (žr. 1 pav.).
Ši kreivė vadinama kubine parabole.
Pavyzdžiai
I. Mažame laive jis buvo visiškai pasibaigęs gėlo vandens. Reikia atvežti pakankamas kiekis vanduo is miesto. Vanduo užsakomas iš anksto ir sumokamas už pilną kubą, net jei pripildai šiek tiek mažiau. Kiek kubelių turėčiau užsisakyti, kad nereikėtų permokėti už papildomą kubą ir visiškai užpildyti baką? Yra žinoma, kad bako ilgis, plotis ir aukštis yra lygūs 1,5 m. Išspręskime šią problemą neatlikdami skaičiavimų.
Sprendimas:
1. Sukurkime funkcijos $y=x^3$ grafiką.
2. Raskite tašką A, x koordinatę, kuri lygi 1,5. Matome, kad funkcijos koordinatė yra tarp reikšmių 3 ir 4 (žr. 2 pav.). Taigi reikia užsisakyti 4 kubelius.
Modulius turinčių funkcijų grafikų sudarymas paprastai sukelia didelių sunkumų moksleiviams. Tačiau viskas nėra taip blogai. Pakanka prisiminti keletą algoritmų tokioms problemoms spręsti, ir jūs galite lengvai sukurti grafiką net labiausiai atrodančiam sudėtinga funkcija. Išsiaiškinkime, kokie tai yra algoritmai.
1. Funkcijos y = |f(x)| grafiko braižymas
Atkreipkite dėmesį, kad funkcijų reikšmių rinkinys y = |f(x)| : y ≥ 0. Taigi tokių funkcijų grafikai visada yra tik viršutinėje pusplokštumoje.
Funkcijos y = |f(x)| grafiko braižymas susideda iš šių paprastų keturių žingsnių.
1) Atsargiai ir kruopščiai sukonstruokite funkcijos y = f(x) grafiką.
2) Palikite nepakeistus visus grafiko taškus, esančius virš 0x ašies arba ant jos.
3) Rodyti grafiko dalį, esančią žemiau 0x ašies, simetriškai 0x ašies atžvilgiu.
1 pavyzdys. Nubraižykite funkcijos y = |x 2 – 4x + 3| grafiką
1) Sudarome funkcijos y = x 2 – 4x + 3 grafiką. Akivaizdu, kad šios funkcijos grafikas yra parabolė. Raskime visų parabolės susikirtimo su koordinačių ašimis taškų koordinates ir parabolės viršūnės koordinates.
x 2 – 4x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Todėl parabolė taškuose (3, 0) ir (1, 0) kerta 0x ašį.
y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.
Todėl parabolė taške (0, 3) kerta 0y ašį.
Parabolės viršūnių koordinatės:
x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.
Todėl taškas (2, -1) yra šios parabolės viršūnė.
Naudodamiesi gautais duomenimis nubrėžkite parabolę (1 pav.)
2) Diagramos dalis, esanti žemiau 0x ašies, rodoma simetriškai 0x ašies atžvilgiu.
3) Gauname pradinės funkcijos ( ryžių. 2, parodyta punktyrine linija).
2. Funkcijos y = f(|x|) braižymas
Atkreipkite dėmesį, kad y = f(|x|) formos funkcijos yra lyginės:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Tai reiškia, kad tokių funkcijų grafikai yra simetriški 0y ašies atžvilgiu.
Funkcijos y = f(|x|) grafiko braižymas susideda iš tokios paprastos veiksmų grandinės.
1) Nubraižykite funkcijos y = f(x) grafiką.
2) Palikite tą grafiko dalį, kuriai x ≥ 0, tai yra, grafiko dalį, esančią dešinėje pusplokštumoje.
3) Rodyti (2) punkte nurodytą grafiko dalį simetriškai 0y ašiai.
4) Kaip galutinį grafiką pasirinkite (2) ir (3) punktuose gautų kreivių sąjungą.
2 pavyzdys. Nubraižykite funkcijos y = x 2 – 4 · |x| grafiką + 3
Kadangi x 2 = |x| 2, tada pradinę funkciją galima perrašyti tokia forma: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Dabar galime taikyti aukščiau pasiūlytą algoritmą.
1) Kruopščiai ir kruopščiai sudarome funkcijos y = x 2 – 4 x + 3 grafiką (taip pat žr. ryžių. 1).
2) Paliekame tą grafiko dalį, kuriai x ≥ 0, tai yra grafiko dalį, esančią dešinėje pusplokštumoje.
3) Ekranas dešinėje pusėje grafika yra simetriška 0y ašiai.
(3 pav.).
3 pavyzdys. Nubraižykite funkcijos y = log 2 |x| grafiką
Taikome aukščiau pateiktą schemą.
1) Sudarykite funkcijos y = log 2 x grafiką (4 pav.).
3. Funkcijos y = |f(|x|)| braižymas
Atkreipkite dėmesį, kad y formos funkcijos = |f(|x|)| taip pat yra lygūs. Iš tiesų, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), todėl jų grafikai yra simetriški 0y ašiai. Tokių funkcijų reikšmių rinkinys: y ≥ 0. Tai reiškia, kad tokių funkcijų grafikai yra tik viršutinėje pusplokštumoje.
Norėdami nubrėžti funkciją y = |f(|x|)|, turite:
1) Atsargiai sukonstruokite funkcijos y = f(|x|) grafiką.
2) Palikite nepakeistą grafiko dalį, esančią virš 0x ašies arba ant jos.
3) Rodyti grafiko dalį, esančią žemiau 0x ašies, simetriškai 0x ašies atžvilgiu.
4) Kaip galutinį grafiką pasirinkite (2) ir (3) punktuose gautų kreivių sąjungą.
4 pavyzdys. Nubraižykite funkcijos y = |-x 2 + 2|x| grafiką – 1|.
1) Atkreipkite dėmesį, kad x 2 = |x| 2. Tai reiškia, kad vietoj pradinės funkcijos y = -x 2 + 2|x| – 1
galite naudoti funkciją y = -|x| 2 + 2|x| – 1, nes jų grafikai sutampa.
Sudarome grafiką y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Tam naudojame 2 algoritmą.
a) Nubraižykite funkciją y = -x 2 + 2x – 1 (6 pav.).
b) Paliekame tą grafiko dalį, kuri yra dešinėje pusplokštumoje.
c) Gautą grafiko dalį atvaizduojame simetriškai 0y ašiai.
d) Gautas grafikas parodytas paveiksle punktyrine linija (7 pav.).
2) Virš 0x ašies taškų nėra, 0x ašies taškus paliekame nepakeistus.
3) Diagramos dalis, esanti žemiau 0x ašies, rodoma simetriškai 0x atžvilgiu.
4) Gautas grafikas parodytas paveiksle su punktyrine linija (8 pav.).
5 pavyzdys. Nubraižykite funkciją y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Pirmiausia reikia nubraižyti funkciją y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Norėdami tai padaryti, grįžtame prie 2 algoritmo.
a) Atsargiai nubraižykite funkciją y = (2x – 4) / (x + 3) (9 pav.).
Atkreipkite dėmesį, kad šią funkciją yra trupmeninė tiesinė, o jo grafikas yra hiperbolė. Norėdami nubrėžti kreivę, pirmiausia turite rasti grafiko asimptotes. Horizontaliai – y = 2/1 (x koeficientų santykis trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje), vertikaliai – x = -3.
2) Tą grafiko dalį, kuri yra virš 0x ašies arba ant jos, paliksime nepakeistą.
3) Diagramos dalis, esanti žemiau 0x ašies, bus rodoma simetriškai 0x atžvilgiu.
4) Galutinis grafikas parodytas paveikslėlyje (11 pav.).
svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.
Pažiūrėkime, kaip sukurti grafiką naudojant modulį.
Raskime taškus, kurių perėjime keičiasi modulių ženklas.
Kiekvieną išraišką pagal modulį prilyginame 0. Turime dvi iš jų x-3 ir x+3.
x-3=0 ir x+3=0
x=3 ir x=-3
Mūsų skaičių eilutė bus padalinta į tris intervalus (-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞). Kiekviename intervale turite nustatyti modulinių išraiškų ženklą.
1. Tai padaryti labai paprasta, apsvarstykite pirmąjį intervalą (-∞;-3). Paimkime bet kurią šio segmento reikšmę, pavyzdžiui, -4 ir pakeiskime ją į kiekvieną modulinė lygtis vietoj x reikšmės.
x=-4
x-3=-4-3=-7 ir x+3=-4+3=-1
Abi išraiškos turi neigiamus ženklus, tai reiškia, kad lygtyje prieš modulio ženklą dedame minusą, o vietoj modulio ženklo dedame skliaustus ir gauname reikiamą lygtį intervale (-∞;-3).
y= — (x-3)-( — (x+3))=-x+3+x+3=6
Intervale (-∞;-3) gautas grafikas tiesinė funkcija(tiesioginis) y=6
2. Apsvarstykite antrąjį intervalą (-3;3). Sužinokime, kaip atrodys grafiko lygtis šiame segmente. Paimkime bet kurį skaičių nuo -3 iki 3, pavyzdžiui, 0. Reikšmę x pakeiskite 0.
x=0
x-3=0-3=-3 ir x+3=0+3=3
Pirmoji išraiška x-3 turi neigiamą ženklą, o antroji išraiška x+3 – teigiamą. Todėl prieš reiškinį x-3 rašome minuso ženklą, o prieš antrąjį – pliuso ženklą.
y= — (x-3)-( + (x+3))=-x+3-x-3=-2x
Intervale (-3;3) gavome tiesinės funkcijos (tiesės) grafiką y=-2x
3. Apsvarstykite trečiąjį intervalą (3;+∞). Paimkime bet kurią šio segmento reikšmę, pavyzdžiui, 5, ir pakeiskime reikšmę x į kiekvieną modulinę lygtį.
x=5
x-3=5-3=2 ir x+3=5+3=8
Abiejų išraiškų ženklai pasirodė teigiami, o tai reiškia, kad lygtyje prieš modulio ženklą dedame pliusą, o vietoj modulio ženklo dedame skliaustus ir gauname reikiamą lygtį intervale (3;+ ∞).
y= + (x-3)-( + (x+3))=x-3-x-3=-6
Intervale (3;+∞) gavome tiesinės funkcijos (tiesės) grafiką у=-6
4. Dabar apibendrinkime grafiką y=|x-3|-|x+3|.
Intervale (-∞;-3) sudarome tiesinės funkcijos (tiesės) y=6 grafiką.
Intervale (-3;3) sudarome tiesinės funkcijos (tiesės) y=-2x grafiką.
Norėdami sudaryti y = -2x grafiką, pasirenkame kelis taškus.
x=-3 y=-2*(-3)=6 rezultatas yra taškas (-3;6)
x=0 y=-2*0=0 rezultatas yra taškas (0;0)
x=3 y=-2*(3)=-6 rezultatas yra taškas (3;-6)
Ant intervalo (3;+∞) sudarome tiesinės funkcijos (tiesės) grafiką у=-6.
5. Dabar išanalizuokime rezultatą ir atsakykime į klausimą, suraskime k reikšmę, kurią turi tiesė y=kx su grafiku y=|x-3|-|x+3| duota funkcija turi tiksliai vieną bendrą tašką.
Tiesė y=kx bet kuriai k reikšmei visada eis per tašką (0;0). Todėl galime pakeisti tik šios tiesės nuolydį y=kx, o už nuolydį atsakingas koeficientas k.
Jei k yra bet koks teigiamas skaičius, tada bus viena tiesės y=kx sankirta su grafiku y=|x-3|-|x+3|. Šis variantas mums tinka. 
Jei k įgauna reikšmę (-2;0), tai tiesės y=kx sankirta su grafiku y=|x-3|-|x+3| bus trys. Šis variantas mums netinka. 
Jei k=-2, bus daug sprendinių [-2;2], nes tiesė y=kx sutaps su grafiku y=|x-3|-|x+3| šioje srityje. Šis variantas mums netinka. 
Jei k yra mažesnis nei -2, tai tiesė y=kx su grafiku y=|x-3|-|x+3| turės vieną sankryžą. Šis variantas mums tinka. 
Jei k=0, tai tiesės y=kx susikirtimas su grafiku y=|x-3|-|x+3| bus ir toks variantas mums tinka. 
Atsakymas: kai k priklauso intervalui (-∞;-2)U ir didėja intervale )
