Modulinių lygčių sprendimas. Užklasinė pamoka – Vietos teorema

Iš karto pereikime prie lažybų sistemos svarstymo, kai vienintelis teisingas žaidimo rezultato variantas vietoj dviejų bus trys, pavyzdžiui:
X - piešti;
W1 - pirmosios komandos pergalė;
W2 - antrosios komandos pergalė.

Kaip jau galėjote atspėti, pagrindinis šios strategijos pritaikymas yra futbolo lažybos. Štai keletas 1-X-2 lažybų sistemos pavyzdžių, kuriuos naudodami galite neprarasti statymų, jei neatspėsite rungtynių baigties.

Vienas pavyzdys. Tarkime, kad yra keletas gerų rungtynių, kurių koeficientas yra nuo 1,75 iki 2,1, daugumoje visų rungtynių, dėl kurių būsite tikri. Atliekant statymus dėl kelių tokių rungtynių, kyla rizika, kad bent viena iš futbolo komandų baigs lygiosiomis, o galiausiai galite prarasti viską.

Bet kad to išvengtumėte, tereikia pasinaudoti 1-X-2 lažybų sistema, žinoma, laimėjimai bus mažesni, bet net jei kuri nors iš pasirinktų komandų nežais jūsų statymo, galėsite atgauti pinigų, kuriuos statote. Tačiau, kaip taisyklė, tai nėra labai įdomu, nes galite atsižvelgti į visas įmanomas lygiąsias rungtynėse ir turėti labai gerą pranašumą.

Tarkime, yra trys futbolo rungtynes, kurio koeficientas svyruoja nuo 1,8 iki 2,0, kur, jūsų nuomone, turėtų laimėti pirmoji komanda. Tada turėsite atlikti statymus už 4 greituosius statymus (1 pav.):

1 pav. – statymo pavyzdys

Tarkime, visiems statymams iš viso išleidome tik 400 USD, maždaug 10 už kiekvieną greitąjį statymą. Visoms komandoms laimėjus, pelną skaičiuojame tokiu principu: 1,8 * 1,8 * 1,8 * 100 USD. = 580,30 USD, bet situacijoje, kai vienas iš žaidimų baigiasi lygiosiomis, tada skaičiuojame pagal schemą 1,8*1,8*2,7*100 c.u. = 870 USD Nebloga pergalė, ar sutiktumėte?

Tačiau visada yra rizika ir neturėtumėte pamiršti, kad jei jūsų statymai nepasiteisins arba lygiosios bus daugiau nei vienos, jūs prarasite savo pinigus. Taip pat reikėtų pažymėti, kad šią sistemą galite modifikuoti, o tai savo ruožtu padidins tikimybę laimėti statymus. Panagrinėkime nedidelį pavyzdį, kuris pateikiamas šiek tiek žemiau, atsižvelgiant į pergalės galimybes antrajai komandai, bet tik vienai futbolo porai. Šiuo atveju labai tiks šis rinkinys (2 pav.):

2 pav. Lažybų pavyzdys

Taigi, visų penkių mūsų pateiktų greitųjų statymų šansai tiesiog turi būti bent 5.

Lažybų sistema yra 1-X-2, antras variantas. Iš dalies tai primena pirmąją sistemą šią sistemą leis labai efektyviai paskirstyti visus statymus, būtent už komandas, kurios geriau žaidžia išvykoje. Tarkime, iš viso yra trys komandos, kurios žaidžia geriau nei kitos išvykoje, tai yra, statysime taip (3 pav.):

3 pav. Lažybų pavyzdys

piešti - "X"
svečių komandos pergalė - „2“

Jei atsižvelgsime į tai, kad visi komandų koeficientai, kaip taisyklė, yra labai aukšti, tada pasiekti sistemos pelningumą kiekvienam greitajam statymui nebus sunku.

Taip pat reikėtų pažymėti, kad praktikoje ši sistema labai dažnai taikoma būtent rungtynėms su dideli šansai, kadangi pirmoji mūsų aprašyta sistema leidžia pasiekti gerų rezultatų.

Tačiau verta paminėti, kad labai dažnai kyla abejonių dėl pačios sistemos efektyvumo, nes atlikę tris vienkartinių statymų rungtynes ​​galite gauti neblogai, bet galbūt labai geras rezultatas nei greitieji statymai naudojant pirmąją iš aukščiau paminėtų sistemų.

Tačiau antroji sistema, galima sakyti, yra efektyvesnė statant tiesiai už komandas, kurios išvykoje pralaimi rečiau nei kitos. Bet kaip taisyklė, čia bus taip pat, kaip ir pirmoje sistemoje, dažnai pasitaikys atvejų, kai jums bus daug pelningiau statyti visą sumą už vieną greitąjį statymą, o ne žaisti pagal antrąją sistemą.

Štai kodėl šios 1-X-2 lažybų strategijos efektyvumas turėtų būti skaičiuojamas kiekvienam konkrečiam jūsų statymui.

Duotojo šaknų suma kvadratinė lygtis lygus antrajam koeficientui c priešingas ženklas, o šaknų sandauga lygi laisvas narys.

(Prisiminkime: sumažinta kvadratinė lygtis yra lygtis, kurios pirmasis koeficientas yra 1).

Paaiškinimas:

Tegu kvadratinė lygtis kirvis 2 +bx +c= 0 turi šaknis X 1 ir X 2. Tada pagal Vietos teoremą:

1 pavyzdys:

Pateikta lygtis x 2 – 7x + 10 = 0 turi šaknis 2 ir 5.

Šaknų suma yra 7, o sandauga yra 10.

Ir mūsų lygtyje antrasis koeficientas yra -7, o laisvasis narys yra 10.

Taigi šaknų suma lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu, o šaknų sandauga lygi laisvajam nariui.

Gana dažnai yra kvadratinių lygčių, kurias galima lengvai apskaičiuoti naudojant Vietos teoremą - be to, su jo pagalba lengviau juos apskaičiuoti. Tai lengva patikrinti ir ankstesniame, ir kitame pavyzdyje.

2 pavyzdys. Išspręskite kvadratinę lygtį X 2 – 2X – 24 = 0.

Sprendimas.

Taikome Vietos teoremą ir užrašome dvi tapatybes:

X 1 · X 2 = –24

X 1 + X 2 = 2

Parenkame tokius veiksnius –24, kad jų suma būtų lygi 2. Truputį pagalvojus randame: 6 ir –4. Patikrinkime:

6 · (– 4) = –24.

6 + (– 4) = 6 – 4 = 2.

Kaip pastebėjote, praktiškai Vietos teoremos esmė yra išskaidyti laisvąjį narį duotoje kvadratinėje lygtyje į veiksnius, kurių suma lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu.

Šie veiksniai bus šaknys.

Tai reiškia, kad mūsų kvadratinės lygties šaknys yra 6 ir –4. X 1 = 6, X 2 = –4.

Atsakymas:

3 pavyzdys. Išspręskime kvadratinę lygtį 3x 2 + 2x – 5 = 0.

Sprendimas.

Čia kalbame ne apie sumažintą kvadratinę lygtį. Tačiau tokias lygtis taip pat galima išspręsti naudojant Vietos teoremą, jei jų koeficientai yra subalansuoti - pavyzdžiui, jei pirmojo ir trečiojo koeficientų suma yra lygi antrajam su priešingu ženklu.

3 + (–5) = –2.

Lygties koeficientai yra subalansuoti: pirmojo ir trečiojo narių suma yra lygi antrajam su priešingu ženklu:

Pagal Vietos teoremą
x 1 + x 2 = –2/3

x 1 x 2 = –5/3.

Turime rasti du skaičius, kurių suma yra –2/3, o sandauga –5/3. Šie skaičiai bus lygties šaknys.
Pirmasis skaičius atspėjamas iš karto: jis yra 1. Juk kai x = 1, lygtis virsta paprasčiausiu sudėjimu ir atėmimu:
3 + 2 – 5 = 0. Kaip rasti antrąją šaknį? Pavaizduokime 1 kaip 3/3, kad visi skaičiai turėtų tas pats vardiklis : Taip lengviau. Ir jie iškart klausia tolesni veiksmai

. Jei x 1 = 3/3, tada:

3/3 + x 2 = –2/3.

Išspręskime paprastą lygtį:

x 2 = –2/3 – 3/3.

Atsakymas: x 1 = 1; x 2 = –5/3 4 pavyzdys: Išspręskite 7 kvadratinę lygtį 2 – 64 pavyzdys: Išspręskite 7 kvadratinę lygtį – 1 = 0.

x

Sprendimas: X Iš karto atsiskleidžia viena šaknis – ji patraukia akį:

1 = 1 (nes paprasta aritmetika pasirodo: 7 – 6 – 1 = 0).
7 + (– 1) = 6.

Lygties koeficientai yra subalansuoti: pirmojo ir trečiojo suma yra lygi antrajai su priešingu ženklu: Pagal Vietos teoremą sudarome dvi tapatybes (nors iršiuo atveju

X 1 · X 2 = –1/7
X 1 + X 2 = 6/7

užtenka vieno iš jų):

X 2 = –1/7: 1 = –1/7

Pakeiskite reikšmę x 1 į bet kurią iš šių dviejų išraiškų ir raskite x 2: X 1 = 1; X 2 = –1/7

Atsakymas :

Sumažintos kvadratinės lygties diskriminantas. Sumažintos kvadratinės lygties diskriminantas gali būti apskaičiuojamas kaip bendroji formulė

, ir supaprastintu būdu:At

D = 0, aukščiau pateiktos lygties šaknis galima apskaičiuoti naudojant formulę:< 0, то уравнение не имеет корней.

Jeigu D

Jei D = 0, tai lygtis turi vieną šaknį.

Jei D > 0, tai lygtis turi dvi šaknis. (Statymas 1x2lažinkitės dėl rezultatogalva-į-galva) yra vienas iš pagrindinių lažybų tarpininkų. Nereikia skaičiuoti laukiamų taškų, skaičiuoti kampinių, kas įmuš pirmas ir pan. Pakanka tik įsitikinti, ar laimės pirmoji komanda, antroji, ar bus lygiosios.

Šį statymą galima atlikti tiek tiesioginiame režime, tiek prieš rungtynes. Dažniausiai tai aktualu futbolas ir ledo ritulys, bet galima ir kitose sporto šakose. Verta pasakyti, kad „head-to-head“ statymas yra tipiškas nebūdinga tenisui, tinkliniam, beisbolui ir kitoms sporto šakoms, kur laimėti gali tik vienas žmogus/komanda (juk X nėra). Šiuo atveju naudojamas vienas statymas.

Be to, tokio pobūdžio statymai gali būti atliekami arba dėl galutinio rungtynių rezultato (komandos pergalė žaidimo pabaigoje) arba dėl žaidimo rezultato pirmajame kėlinyje (pavyzdžiui, „Liverpool“ pergalė taškais po 45 min. žaisti).

Tiesą sakant, statymas dėl rezultato numato galutinę rungtynių baigtį. O 1X2 kartais vadinamas dėl santrumpos: 1 šiuo atveju – šeimininkų pergalė, X – lygiosios, o 2 – svečių pergalė (kai kam patinka santrumpa Namai-Lygiosios-Svečiai).

Vienas iš šio tipo lažybų trūkumų yra tas, kad kartais yra platus koeficientų diapazonas. Taigi, rungtynių favorito koeficientas gali būti 1,0 priešinga pusė 12 ir daugiau.

Statymo „head-to-head“ laimėjimai apskaičiuojami statymo sumą padauginus iš koeficiento tuo metu, kai buvo atliktas statymas. Atitinkamai, jei svečiai laimi su koeficientu 10 ir statymo suma yra 1000 rublių. jūsų pelnas bus 10 000 rublių.

Vis dar neaišku, ką lažybose reiškia 1x2? Pateikime pavyzdį. Paimkime rungtynes ​​Rusija – Vokietija. Rusiją pažymėkime skaičiumi 1, Vokietiją – 2. Lygiąsias imkime kaip sąlyginį X. Bukmekerio koeficientas pergalei Rusijai (5,3), Vokietijai (1,9), lygioms (2,4). Jūsų statymas už Rusijos pergalę yra 500 rublių. Jei statymas (1) laimi, į savo sąskaitą gausite 500x5,3=2650 rublių. Jei laimėsite (2) arba X, nieko negausite ir prarasite statymo sumą.

Aukščiau pateiktas lažybų pateikimo lažybų tarpininke pavyzdys.

Viena iš trijų krypčių statymo modifikacijų yra statymai "Dvigubas šansas", kurios sumažina rizikos laipsnį ir padidina pergalės procentą. Yra 1X, 2X ir 12 variantų. Ką reiškia šie pavadinimai? Paimkime tą patį mačą Rusija – Vokietija. 1X statymas reiškia, kad statote už pirmosios komandos pergalę (Rusija) arba dėl lygiųjų rungtynėse (X).

Atitinkamai, jei rezultatas yra 1:1, statymą laimėsite. 2X rodo jūsų pirmenybę Vokietijai arba lygiąsias. Na, o statymas 12 reiškia Rusijos arba Vokietijos laimėjimą, jei bus lygiosios, statymas bus prarastas. Šio tipo lažybų trūkumai yra akivaizdūs: kadangi iš tikrųjų prognozuojate ne 1 įvykį, o 2 galimus įvykius, lažybų agentai sumažina koeficientus. Taigi, pavyzdžiui, jei Rusijos pergalės koeficientas yra 5,3, jei nuspręsite pridėti 1X lygiąsias, koeficientas greičiausiai sumažės iki 3,2 ar mažesnis.

Tikiuosi, kad padėjome jums suprasti 1X2 statymo vertės problemą. Išdrįskite ir būkite nugalėtojai.

Lygties akh 3 +bx 2 +cx+d=0 sprendimo algoritmas:

1. Pasirinkdami raskite lygties šaknį (tarp laisvojo nario daliklių);

2. Padalinkite daugianarį ah 3 + bx 2 + cx + d ant x-x 1 , kur x 1 - lygties ah šaknis 3 + bx 2 + cx + d =0;

3. Dalinį prilyginkite nuliui ir išspręskite gautą lygtį;

4.Užrašykite atsakymą.

Išspręskite lygtį -6x 3 -x 2 +5x+2=0

1. Raskite laisvojo nario daliklius: ±1,±2,±3,±6.

2. x=1 yra lygties šaknis.

3. Padalinkite daugianarį -6x 3 -x 2 +5x+2 iš dvinario

x-1 (pagal Bezouto teoremos 1 išvadą).

3. Išspręskite lygtį: -6x 2 -7x-2=0,

6x 2 -7x-2+0, x 1 = -, x 2 = -.

4. Atsakymas. x=1, x = -, x = -.

Šis lygčių sprendimo būdas yra universalus. Jis gali būti naudojamas sprendžiant keturias, penkias ir tt lygtis. laipsnių, palaipsniui nuleidžiant juos iki antrojo laipsnio.

1 pavyzdys.

Išspręskite lygtį x 4 +3x 3 -13x 2 -9x+30=0.

1. Tarp laisvojo nario daliklių randame lygties šaknis. Tai yra 2 ir -5.

2. Pagal Bezout teoremos 1 išvadą, daugianomas x 4 +3x 3 -13x 2 -9x+30 dalijasi iš x-2 ir x+5, todėl dalijasi iš (x-2)(x+5)= x 2 + 3x-10.

3. Daugiavardžius: x 4 +3x 3 -13x 2 -9x+30 padalinkime iš x 2 +3x-10.

4.Išspręskite lygtį x 2 -3=0, x 1,2 =
.

Atsakymas. x =
, x = -, x = -5, x = 2.

Išspręskite lygtį 3x 5 +x 4 -15x 3 -5x 2 +12x+4=0.

1. Tarp laisvojo nario daliklių randame lygties šaknis. Tai yra 1, -1, 2 ir -2

2. Pagal Bezout teoremos 1 išvadą, daugianario 3x 5 +x 4 -15x 3 -5x 2 +12x+4 dalijasi iš x-1, x+1, x-2 ir x+2, todėl dalijasi iš (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)=

(x 2 -1) (x 2 -4) = x 4 -5x 2 +4.

3. Daugiavardžius: 3x 5 +x 4 -15x 3 -5x 2 +12x+4 padalinkime iš x 4 -5x 2 +4.

4. Išspręskite lygtį 3x+1 =0, x=-.

5. Atsakymas. x=-2, x=-1, x=-, x=1, x=2.

Išspręskite lygtį

(2x 2 -1) 2 +x (2x-1) 2 = (x+1) 2 +16x 2 -6

Perkelkime visus narius į kairėje pusėje, atidarykite skliaustus ir pateikite panašius terminus.

4x 4 -4x 2 +1+4x 3 -4x 2 +x-x 2 -2x-1-16x 2 +6+0, 4x 4 +4x 3 -25x 2 -x+6=0.(1)

Laisvojo nario dalikliai: ±1;±2;±3;±6. Jei lygtis turi sveikųjų skaičių šaknis, tai yra vienas iš daliklių. Pakeitimas parodė, kad tai yra 2. Pagal Bezouto teoremą, daugianaris 4x 4 +4x 3 -25x 2 –x+6 dalijasi iš x-2 be liekanos. Datuke gauname: 4x 3 +12x 2 –x – 3.

Perrašome (1) lygtį į formą: (x-2)(4x 3 +12x 2 –x – 3)=0.

Išspręskime lygtį 4x 3 +12x 2 –x – 3=0. -3 yra šios lygties šaknis, nes ją pakeitus x, lygtis virsta tikra skaitine lygybe. Padalinkite daugianarį 4x 3 +12x 2 –x – 3 iš x+3, gausime 4x 2 -1. Kvadratinė lygtis 4x 2 -1=0 turi šaknis x= ±.

Atsakymas. x = 2, x = -3, x = ±.

Jei tarp laisvojo nario daliklių nėra lygties šaknų, naudokite koeficientų ir lygties šaknų ryšį.

Jeigu a lygties šaknis 0 X n + a 1 4 pavyzdys: Išspręskite 7 kvadratinę lygtį n -1 + a 2 4 pavyzdys: Išspręskite 7 kvadratinę lygtį n -2 ...+ a n -1 4 pavyzdys: Išspręskite 7 kvadratinę lygtį+ a n =0, tadamyra laisvojo nario daliklis, o c yra pirmaujančio koeficiento daliklis.

Tokių lygčių sprendimo algoritmas:

1. Raskite laisvojo nario ir pirmaujančiojo koeficiento daliklius;

2. Sudaryti skirtingas trupmenas, kurmyra laisvojo nario dalikliai, o c yra pirminio koeficiento dalikliai;

3. Pakeitimu nustatykite, kuri trupmena yra lygties šaknis;

4. Padalinkite daugianarį iš daugianario;

5.Išspręskite lygtį prilygindami koeficientą nuliui;

6. Užsirašykite atsakymą.

Išspręskite lygtį 6x 3 -3x 2 -5x - 1=0.

1. Laisvojo termino dalikliai: ±1. Šie skaičiai nėra lygties šaknys. Randame pirmaujančio koeficiento daliklius: ±1, ±2, ±3, ±6.

2. Padarykime skirtingas trupmenas:

3. – yra lygties šaknis.

2. Remiantis Bezout teoremos 1 išvada, daugianaris 6x 3 -3x 2 -5x - 1 dalijasi iš x+.

3. Padalinkime daugianario:

4. Išspręskite lygtį 6x 2 -6x-2=0, 3x 2 -3x-1=0, D = 21, x 1,2 =
,

5. Atsakymas. x 1,2 =, x = -.

Dauginamo dalijimas iš daugianario
galima padaryti kitu būdu.

Leiskite =
∙(x-a)+ R .

Leiskite Rasti daugianario ir skaičiaus koeficientus
, atidarykite skliaustus dešinėje lygybių pusėje: ir sulyginkite koeficientus tais pačiais laipsniais kairėje ir dešinėje. Mes pasiekiame
.[ 4]

.

Iš to išplaukia, kad kai Polinomo ir likusios dalies koeficientai apskaičiuojami pagal šią lentelę:.

1 pavyzdys.

Ši lentelė vadinama

Hornerio schema

Padalinkite 2x3 -3x+5 iš x-4.

Naudokime Hornerio schemą dalinio ir liekanos koeficientams apskaičiuoti. Vadinasi, Hornerio schema suteikia

3.2 bendras metodas

bet kurio daugianario faktorizacija.

Kairėje lygties pusėje esantis polinomas pavaizduotas kaip dviejų daugianario su nežinomais koeficientais sandauga:

1.Dėl kubinė lygtis: x 3 +bx 2 +cx+d=0, a≠0, x 3 +bx 2 +cx+d=(x 2 +рх+g)(x+t)=x 3 +x 2 t+px 2 +ptx+gx+gt=x 3 +(t+p)x 2 +(pt+g)x+gt.

Kadangi daugianariai yra lygūs, tada koeficientai už vienodi laipsniai yra lygūs. Gauname lygčių sistemą:

2. Ketvirtojo laipsnio lygtis: x 4 +ax 3 +bx 2 +cx+d=0, a≠0

x 4 +ax 3 +bx 2 +cх+d =(x 2 +mx+n)(x 2 +kx+t)=x 4 +(k+m)x 3 +(m+mk+n)x 2 +(mt+nk)x+nt.

Kadangi daugianariai yra lygūs, tų pačių laipsnių koeficientai yra lygūs. Gauname lygčių sistemą:
Išspręsdami sistemą, randame nežinomus koeficientus.

Išspręskite lygtį x 4 -2x 2 - 8x - 3=0.

Įsivaizduokime daugianarį x 4 -2x 2 - 8x -3 kaip dviejų trinadžių sandaugą su nežinomais koeficientais: x 4 -2x 2 - 8x -3=

(x 2 +mx+n)(x 2 +kx+t)=x 4 +(k+m)x 3 +(n+mk+t)x 2 +(mt+nk)x+nt.

Gauname lygčių sistemą:
Iš lygties nt=-3 išplaukia, kad turime atsižvelgti į šiuos atvejus: 1 .n = 3, t = -1; 2. n = -3, t = 1; 3. n = 1, t = -3; 4 . n = -1, t = 3.

Pakeitę šias poras į likusias sistemos lygtis, gauname, kad su n=3,t=-1 x 4 -2x 2 - 8x -3= (x 2 +2x+3)(x 2 -2x-1) =0. Išspręskime lygtis x 2 +2x+3=0 ir x 2 -2x-1=0. Pirmosios lygties diskriminantas yra neigiamas, o tai reiškia, kad ji neturi realių šaknų. Antrosios lygties diskriminantas yra 8, x 1,2 =1±
.

Atsakymas. x 1,2 =1±.

3.4. Norėdami išspręsti bikvadratinės lygtys ir lygtis redukuojant į kvadratines lygtis, dažnai naudojamas naujų kintamųjų įvedimo metodas. Jis taip pat gali būti naudojamas lygtims aukštesni laipsniai.

Išspręskite lygtį x 4 +2x 3 – 22x 2 +2x+1=0.

Kadangi x=0 nėra lygties šaknis, abi lygties puses galima padalyti iš x2 neprarandant šaknų. Gauname lygtį

x 2 +2x-22++ =0, sugrupuokime terminus

(x 2 +) + 2 (x+)-22 = 0.

Pakeiskime x +=t, tada (x +) 2 =t 2.

x 2 +2+= t 2, x 2 += t 2 -2 Pradinė lygtis redukuojama į lygtį t 2 -2 +2t-22= 0, t 2 +2t -24= 0,t 1 =-. 6, t 2 =4 Grįžkime prie pradinio kintamojo: 1). x +=-6, 2). x +=4.
Išspręskime kiekvieną lygtį. 1). x +=-6, x 2 +6x+1 = 0, D = 32, x 1,2 =

Atsakymas., x 1 = -3+2, x 2 = -3-2.

x 1 = -3+2, x 2 = -3-2.

Formos lygtis:

1 pavyzdys.

(x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = E;

Išspręskite lygtį (x+1)(x+2)(x+4)(x+5)=40.

Sugrupuokime veiksnius ((x+1)(x+5))∙((x+4)(x+2))=40, atlikime daugybą skliausteliuose (x 2 +6x+5)(x 2 +6x +8) =40, Taikykite pakeitimą: x 2 +6x=t, tada (t 2 +5)(t 2 +8)=40, t 4 +13t 2 +40=40, t 4 +13t 2 =0 , t 2 (t 2 +13)=0, t=0, t 2 +13=0 neturi realių šaknų.

Atsakymas. x=0, x= -6.

1 pavyzdys.

Išspręskite lygtį

(x 2 -3x+ 1) (x 2 +3x+2) (x 2 -9x+20) = -30.

Suskaičiuokime antrąjį ir trečiąjį trinalį, kad tai padarytume, išspręsdami tris lygtis, raskite daugianario šaknis:

x 2 +3x+2=0, x 1 = -1, x 2 = -2.

x 2 -9x+20=0, x 1 = 4, x 2 = 5. Gauname lygtį

(x 2 -3x+ 1) (x+1) (x+2) (x-4) (x-5) = -30,

(x 2 -3x+ 1)((x+1)∙(x-4))((x+2)∙(x -_5)) = -30,

(x 2 -3x+ 1)(x 2 -3x-4)(x 2 -3x-10)=-30, Įveskime naują kintamąjį. Leiskite

x 2 -3x+ 1=t, tada t(t-5)(t-11)=-30, t=6 yra šios lygties šaknis. Atidarykime skliaustus ir gaukime t 3 -16t 2 +55t+30=0,

Daugiavardį t 3 -16t 2 +55t+30 padaliname iš t-6, ir dalinyje gauname t 2 -10t-5.

Išspręskime lygtį t 2 -10t-5=0, t 1 =5+
, t 2 =5-.

Grįžkime prie pradinio kintamojo, tam išsprendžiame tris lygtis:

Atsakymas. x 1,2 =, x 3,4 =
, x 5,6 =
.

Formos lygtis (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = Eх 2 ;

Išspręskite lygtį:

(x – 4) (x 2 + 15 + 50) (x – 2) = 18 x 2

Paskaičiuokime koeficientą x 2 + 15 + 50.

x 2 + 15 + 50 = 0, x 1 = -5, x 2 = -10, tada x 2 + 15x + 50 = (x + 5) (x + 10). Lygtis bus tokia:

(x – 4) (x + 5) (x + 10) (x – 2) = 18 x 2,

(x 2 + x – 20) (x 2 + 8x – 20) = 18x 2. Kadangi x = 0 nėra lygties šaknis, tada padalijus abi lygties puses iš x 2, gauname

(x+1- )(x+8-)=18.

Įveskime naują kintamąjį. Tegul t= x-, tada (t+1)(t+8)=18,

t 2 +9t-10=0, t 1 =10, t 2 =-1 Grįžkime prie pradinio kintamojo:

Atsakymas. x=-5, x = 4, x= -5 -3
, x= -5 +3.

Formos lygtis ax 4 +bx 3 +cx 2 +bx+a=0, ax 6 +bx 5 +cx 4 +dx 3 +cx 2 +bx+a=0 ir kt. Tokios lygtys vadinamos grąžinamas Jie turi savotišką „simetriją“: koeficientas ties x 6 yra lygus laisvajam terminui, koeficientas ties x 5 ir x, ties x 4 ir x 2 yra lygus. Abipusės lygtys išsprendžiamos naudojant pakeitimą x +=t.

Lygtis x 4 +2x 3 – 22x 2 +2x+1=0 sveikųjų skaičių šaknų neturi (laisvojo nario ±1 dalikliai nėra lygties šaknys).

Kadangi x = 0 nėra lygties šaknis, padalijus abi lygties puses iš x 2, gauname (x 2 + ) -2(x+)-22=0.

Įveskime naują kintamąjį. Tegu t= x+, tada x 2 +2+ =t 2, gauname lygtį t 2 -2-2t-22=0, t 2 -2t-24=0 t 1 =6, t 2 =-4. Grįžkime prie pradinio kintamojo:

Atsakymas. x 1,2 = 3 ±2, x 3,4 = -2 ±.

3.5.. Kvadratinėms lygtims išspręsti naudojamas viso kvadrato išskyrimo metodas. Norėdami išspręsti trečiojo ir ketvirtojo laipsnio lygtis, taip pat galite naudoti dvinarias formules.

Sutrumpintos daugybos formulės, kurias žinote:

(x±a) 2 =x 2 ±2x+a 2;

(x±a) 3 =x 3 ±3x 2 a+3xa 2 ±a 3;

(x+a)(x-a)=x2-a2;

(x+a)(x2-x+a2)= x3+a3;

(x-a)(x2 +x+a2)= x3-a3;

(x+y+z) 2 =x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2xz+2yz/

Formulę (x+a) 4 galima gauti taip: (x+a) 4 = (x+a) 3 (x+3)= (x 3 +3x 2 a+3xa 2 +a 3) (x+ a) = x 4 +4x 3 a+6x 2 a 2 +4x 3 +a 4.

Išsiplėtimo koeficientus galima rasti naudojant Paskalio trikampį

(pagal vardą prancūzų matematikas Blaise'as Pascalis):

Kiekvienoje šio trikampio eilutėje laipsnio koeficientai, išskyrus pirmąjį ir paskutinį, gaunami poromis sudedant artimiausius ankstesnės eilutės koeficientus.

Pavyzdys.1.

Jei (x+a) 7: eksponentas lygus skaičiui 7, tai reiškia, kad jo koeficientai yra aštuntoje eilutėje, tai yra 1,7,21,35,35,21,7,1, kurie gaunami iš ankstesnės eilutės taip:

7=1+6, 21=6+15, 35=15+20, 35= 20+15, 21=15+20, 7=6+1.

Gauname: (x+a) 7 =x 7 +7x 6 a+21x 5 a 2 +35x 4 a 3 +35x 3 a 4 +21x 2 a 5 +7x 6 +a 7.

Rašant sutrumpintos aukštesnių galių daugybos formules, galioja šie principai:

Gauto daugianario narių skaičius vienete daugiau nei rodiklis laipsnių;

Rodiklis X kiekvienas kitas narys turi vienu mažiau ir rodiklį a− dar vienas;

x ir a rodiklių suma yra pastovi ir lygi daugianario rodikliui;

Vienodu atstumu nuo pradžios ir pabaigos polinomo koeficientai yra lygūs.

Išspręskite lygtį x 3 +6x 2 +12x-16=0.

Sprendimas: naudokite formulę (x+a) 3 = 1∙x 3 +3x 2 a+3xa 2 +1∙a 3.

x 3 +6x 2 +12x+16=0, (x 3 +3,2x 2 +3,2 2 x+2 3) +8 = 0, (x+2) 3 +2 3 =0, (x+ 2) +2)((x+2)2-2 (x+2)+4)=0, 1. x=-4, 2. (x+2) 2-2 (x+2)+ 4=0,

x 2 +2x +4=0, D=-12, nėra tikrų šaknų.

Atsakymas. x = -4.

Išspręskite lygtį x 4 -12x 3 +54x 2 -108x+48=0, x 4 -12x 3 +54x 2 -108x+48= (x 4 -4x 3 ∙3+6x 2 3 2 -4x3 3 + 4 4 ) -4 4 +48= (x-3) 4 -64+48=0, (x-3) 4 - 16=0. Taikykime kvadratų skirtumą (x-3-4)(x-3+4)=0, (x-7)(x+1)=0, x=7, x=-1.

Atsakymas: x=-1, x=7.

3.6. Vietos teoremos taikymas.

1.Vietos teorema kubinei lygčiai:

jei x 1, x 2, x 3 ─ lygties x 3 +bx 2 +cx+d=0, a≠0, šaknys, Tai

X 1 + x 2 + x 3 =- b,

4 pavyzdys: Išspręskite 7 kvadratinę lygtį 1 X 2 + 4 pavyzdys: Išspręskite 7 kvadratinę lygtį 2 X 3 + 4 pavyzdys: Išspręskite 7 kvadratinę lygtį 1 4 pavyzdys: Išspręskite 7 kvadratinę lygtį 3 = c,

X 1 X 2 X 3 = - d.

2.Vietos teorema ketvirtojo laipsnio lygtims:

jei x 1, x 2, x 3, x 4 yra lygties x 4 + b x 3 +cx 2 +x+dx+e=0 šaknys, Tai

X 1 + x 2 + x 3 +x 4 =- b,

4 pavyzdys: Išspręskite 7 kvadratinę lygtį 1 X 2 + 4 pavyzdys: Išspręskite 7 kvadratinę lygtį 1 X 3 + 4 pavyzdys: Išspręskite 7 kvadratinę lygtį 1 X 4 + 4 pavyzdys: Išspręskite 7 kvadratinę lygtį 2 X 3 + 4 pavyzdys: Išspręskite 7 kvadratinę lygtį 2 4 pavyzdys: Išspręskite 7 kvadratinę lygtį 4 +x 3 X 4 = c,

X 1 X 2 X 3 X 4 = e,

4 pavyzdys: Išspręskite 7 kvadratinę lygtį 1 X 2 X 3 + 4 pavyzdys: Išspręskite 7 kvadratinę lygtį 1 X 2 X 4 + 4 pavyzdys: Išspręskite 7 kvadratinę lygtį 1 X 3 X 4 + 4 pavyzdys: Išspręskite 7 kvadratinę lygtį 2 X 3 4 pavyzdys: Išspręskite 7 kvadratinę lygtį 4 = - d.

Išspręskite lygtį x 3 -4 x 2 +x+6=0.

tegul x 1, x 2, x 3, x 4 ─ lygties šaknys, tada x 1 + x 2 + x 3 =4, x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 1 x 3 =1, x 1 x 2 x 3 = -6. Patikrinkime, kuris iš skaičių ±1, ±2, ±3, ±6 tenkina sąlygas: x 1 + x 2 + x 3 =4, x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 1 x 3 =1, x 1 x 2 x 3 = -6. Tai yra x=-1, x=2 ir x=3.

Sutrumpintų daugybos formulių taikymas.

Literatūra

1. Vygodskis M.Ya. Pradinės matematikos vadovas. – M. Valstybinė fizinės ir matematikos literatūros leidykla, 1970 m.

2. Galitsky M.L., Goldman M., Zvavich L.I. 8-9 klasių algebros uždavinių rinkinys: vadovėlis mokyklų ir klasių mokiniams su nuodugniais matematikos mokymais: 4 leidimas - M.: Prosveshchenie, 1997.

3. Yu.M. Kolyaginas. Algebra ir analizės pradžia: vadovėlis (profilis ir pagrindinis lygis) bendrojo ugdymo įstaigų 10 klasei - M.: Mnemosyna 2006 m.

4. Makarychev Yu.N., Mindyukas N.G. Papildomi skyriai mokykliniam vadovėliui. 8 klasė M., Išsilavinimas, 1996 m.

5. K.S. Muravinas. Algebra 8: vadovėlis ugdymo įstaigoms - M: Drofa, 2008 m

6. Enciklopedinis jauno matematiko žodynas. – M.: Pedagogika, 2007 m.

7. /spr/algebra/ferrary.htm

KONTAKTAI:

347611, Rostovo sritis, Salskio rajonas, x. Majakas, šv. Centrinis, 4

Su vienu nežinomu, tai yra lygtys formos (*) Pn(x)= ...