Taikymas. 1. Taškinis produktas funkcijas.

1. Funkcijų taškinė sandauga.

Leiskite ant segmento [ a, b] atsižvelgiant į funkcijų sistemą, kurios yra kvadratinės integruojamos į [ a, b]:

u 0 (x), u 1 (x), u 2 (x), …, u n(x), …, (1)

Panašiai kaip tarp elementų vektorinė erdvė pristatė taškinio gaminio veikimas vektoriai, kurie atitinka vektorių porą suteikta erdvė kažkoks skaičius - skaliarinis , ir tarp šios funkcijų sistemos elementų tu aš(x), u j(x) gali būti apibrėžtas funkcijų skaliarinės sandaugos veikimas, toliau žymimas kaip ( tu aš(x), u j(x)).

Pagal apibrėžimą skaliarinės sandaugos operacija tarp elementų x , y Ir z turi turėti tam tikrą erdvę (įskaitant tarp funkcijų sistemos elementų). šias savybes:

Taškų sandauga tarp funkcinės erdvės elementų tu aš(x), u j(x) i, j= 0, 1, 2,..., integruojama [ a, b] su kvadratu, įvedamas naudojant integravimo operaciją:

1 apibrėžimas. Sistema (1) yra stačiakampė funkcijų sistema segmente [ a, b], jei yra dvi funkcijos tu aš(x), u j(x), i, j= 0, 1, 2, ... tam tikros sistemos
stačiakampis (tarp vienas kito) [ a, b].

2 apibrėžimas. Pavadinkime dvi funkcijas tu aš(x), u j(x), i, j= 0, 1, 2, ... sistemos (1)
stačiakampis segmente [ a, b], jei tenkinama ši jų skaliarinio sandauga sąlyga:

(4)

Skaičius - paskambino funkcijos norma tu aš(x).

Jei visos funkcijos tu aš(x) turi vienkartinis tarifas , t.y.

l i = 1, i = 0, 1, 2, ... (5)

o funkcijų sistema (1) yra statmena [ a, b], tada tokia sistema vadinama
ortonormalus arba normalus stačiakampė sistema atkarpoje [ a, b].

Jei iš pradžių nesilaikoma funkcijų normalumo sąlygų, iš sistemos (1), jei reikia, galite pereiti prie sistemos (6), kuri tikrai bus normali:

, i = 0, 1, 2, ... (6)

Atkreipkite dėmesį, kad iš nuosavybės ortogonalumą kurios nors sistemos elementai, jie turėtų būti linijinė nepriklausomybė , t.y. teisingas toks teiginys: Bet koks stačiakampė sistema nuliniai vektoriai(elementai)yra tiesiškai nepriklausomas.

2 .Bazinių funkcijų samprata.

Iš kurso tiesinė algebra Jūs žinote, kad į vektorinę erdvę galite patekti vektoriaus pagrindu- vektorių rinkinys, kuriame gali būti bet koks tam tikros vektorių erdvės vektorius vienintelis būdas vaizduojamas kaip tiesinis bazinių vektorių derinys. Tuo pačiu metu nė vienas bazinis vektorius negali būti pavaizduotas kaip baigtinis tiesinis likusių bazinių vektorių derinys (tiesinė bazinių vektorių nepriklausomybė).

Taigi, pavyzdžiui, bet koks vektorius trimatė erdvė gali būti vienareikšmiškai pavaizduota kaip tiesinis bazinių vektorių derinys :

= .

Kur a, b, Ir c- kai kurie skaičiai. Ir dėl linijinė nepriklausomybė bazinių vektorių (ortogonalumas). nė vienas iš vektorių atskirai negali būti pavaizduotas kaip tiesinis likusių bazinių vektorių derinys.

Panašiai kaip aukščiau, erdvėje daugianario funkcijos, t.y. ne aukštesnio laipsnio daugianario erdvėje n:

Pn(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n. (7)

iš gali būti įvestas pagrindas elementarus daugianario (orientacinis) funkcijas :

x 0 , x, x 2 , x 3 , …, x n(8)

Be to, akivaizdu, kad bazinės funkcijos (8) yra tiesiškai nepriklausomos, t.y. nė viena iš pagrindinių funkcijų (8) negali būti pavaizduota kaip tiesinis likusių bazinių funkcijų derinys. Be to, akivaizdu, kad bet kuris laipsnio daugianomas nėra didesnis už n gali būti vienareikšmiškai pavaizduota forma (7), t.y. tiesinio bazinių funkcijų derinio pavidalu (8).

j i(x) = g i(x-a) i + (x-a)i+ 1 , i= 1, 2, …, n(9)

Tai iš dalies paaiškina gerai žinomas matematinė analizė Weierstrasso teorema, pagal kurią bet kuri ištisinė eilutė intervale [ a, b] funkcija f(x) Gali būti " gerai» yra apytikslis šiame segmente tam tikru polinomu Pn(x) laipsnių n, t.y. laipsnio didinimas n daugianario Pn(x), jis visada gali būti taip arti, kaip norite tinka nuolatinė funkcija f(x).

Kadangi bet kurį daugianarį galima pavaizduoti kaip (8) arba (9) tipo bazinių daugianario funkcijų tiesinį derinį, tai pagal Weierstrasso teoremą tolydi (t. y. du kartus diferencijuojama funkcija, kuri yra sprendimas diferencialinė lygtis antros eilės) gali būti pavaizduotas kaip tiesinis bazinių funkcijų derinys (9), kurios yra du kartus diferencijuojamos ir poromis tiesiškai nepriklausomos.

Klausimai tema

„Paprastųjų ribinių reikšmių uždavinių apytikslio sprendimo metodai
diferencialinės lygtys".

(25 - 26 paskaitos)

1. Pagrindiniai apibrėžimai: tiesinis nustatymas ribinės vertės problema antrojo užsakymo ODE; ribinių verčių problemų tipai ir klasifikacija.

2. Metodai, kaip sumažinti ribines vertes problemas iki pradines užduotis : problemos pareiškimas; stebėjimo metodas; mažinimo metodas; diferencialinis šlavimo metodas.

3. Baigtinio skirtumo metodas: problemos pareiškimas; baigtinių skirtumų metodo universalumas sprendžiant ribinių verčių uždavinius; išvestinės aproksimacijų tipų parinkimas, siekiant sumažinti ribinės reikšmės problemą iki SALU su matrica, turinčia tridiagonalinę struktūrą.

4. Interpoliacijos metodas arba kolokacijos metodas: apytikslio sprendimo paieška bazinių funkcijų tiesinio derinio pavidalu, reikalavimai bazinėms funkcijoms, kad būtų tenkinamos ribinės sąlygos; tiesinės kombinacijos koeficientų paieška pagal tikslių ir apytikslių sprendinių kolokacijos mazguose sutapimo sąlygą; bazinių funkcijų pasirinkimas.

5. Galerkino metodas- pagrindinės Galerkino metodo teorijos sąvokos. Apytikslio sprendimo radimas tiesinės kombinacijos pavidalu pagrindines funkcijas , reikalavimai pagrindinėms funkcijoms. Tiesinio derinio koeficientų parinkimas, kuris nustato apytikslio sprendimo tipą iš minimizavimo sąlygos likučiai , dėl tikslaus sprendimo pakeitimo diferencinė problema norimą apytikslį sprendimą.

Federalinė švietimo agentūra

Valstybinė aukštojo profesinio mokymo įstaiga, pavadinta Sankt Peterburgo valstybiniu kalnakasybos institutu. G. V. Plekhanova

(technikos universitetas)

A.P. Gospodarikovas, G.A. Colton, S.A. Chačatryanas

Furjė serija. Furjė integralas.

Operatyvinis skaičiavimas

Mokomasis ir metodinis vadovas

SANKT PETERBURGAS

UDC 512 + 517.2 (075.80)

Mokomasis ir metodinis vadovas suteikia galimybę įgyti praktinių įgūdžių analizuojant funkcijas naudojant Furjė eilučių išplėtimą arba atvaizdavimą Furjė integralu ir skirtas specialybių dieninių ir neakivaizdinių studijų savarankiškam darbui.

Vadove nagrinėjami pagrindiniai operatyvinio skaičiavimo klausimai ir plati techninių problemų klasė, naudojant operatyvinio skaičiavimo pagrindus.

Mokslinis redaktorius prof. . A.P. Gospodarikovas

Recenzentai: skyrius aukštoji matematika 1 Sankt Peterburgo valstybinis elektrotechnikos universitetas; Fizikos ir matematikos mokslų daktaras mokslai V.M. Čistjakovas(Sankt Peterburgo valstybinis politechnikos universitetas).

Gospodarikovas A.P.

G723. Furjė serija. Furjė integralas. Operatyvinis skaičiavimas: Mokomasis ir metodinis vadovas / A.P. Gospodarikovas,G.A. Coltonas,S.A. Chačatryanas; Sankt Peterburgo valstybinis kalnakasybos institutas (technikos universitetas). Sankt Peterburgas, 2005. 102 p.

ISBN 5-94211-104-9

UDC 512 + 517.2 (075.80)

BBK 22.161.5

Įvadas

Iš Furjė teorijos žinoma, kad turint tam tikrą įtaką fizinėms, techninėms ir kitoms sistemoms, jo rezultatas pakartoja pradinio įvesties signalo formą, skiriasi tik mastelio koeficientu. Aišku, kad į tokius signalus (jie vadinami savais) sistema reaguoja paprasčiausiu būdu. Jei savavališkas įvesties signalas yra linijinis savo signalų derinys, o sistema yra tiesinė, tai sistemos atsakas į šį savavališką signalą yra reakcijų į savo signalus suma. Ir taip visa informacija informaciją apie sistemą galima gauti iš jos „statybinių blokų“ – sistemos atsakymų į savo įvesties signalus. Tai daroma, pavyzdžiui, elektrotechnikoje, įvedant sistemos dažnio atsaką (perdavimo funkciją). Paprasčiausių tiesinių, laiko nekintamų sistemų (pavyzdžiui, aprašytų įprastomis diferencialinėmis lygtimis su pastoviais koeficientais) savosios funkcijos kai kuriais atvejais yra formos harmonikos. Tokiu būdu galima gauti savavališkos įtakos sistemai rezultatą, jei pastaroji pateikiama kaip tiesinė harmonikų kombinacija (bendruoju atveju Furjė serijos arba Furjė integralo forma) . Tai yra viena iš priežasčių, kodėl teorijoje ir programose reikia naudoti trigonometrinės eilutės (Furjė serijos) arba Furjė integralo sąvoką.

1 skyrius. Furjė serija

§ 1. Vektorinės erdvės

Štai trumpa informacija iš vektorinės algebros, būtinos norint geriau suprasti pagrindinius Furjė eilučių teorijos principus.

Panagrinėkime geometrinių vektorių aibę  (vektorių erdvę), kuriai įprastu būdu įvedama vektorių lygybės sąvoka, linijinės operacijos(vektorių sudėjimas ir atėmimas, vektoriaus dauginimas iš skaičiaus) ir vektorių skaliarinės daugybos operacijos.

Įveskime erdvėje  stačiakampį pagrindą, susidedantį iš trijų porinių stačiakampių vektorių ,Ir . Nemokamas vektorius
yra tiesinis bazinių vektorių derinys:

. (1.1)

Koeficientai  i (i= 1, 2, 3), vadinamos vektorių koordinatėmis palyginti su pagrindu
, galima apibrėžti taip. Vektoriaus taškinė sandauga ir vienas iš bazinių vektorių

.

Dėl pagrindo ortogonalumo skaliarinės sandaugos
adresu
, todėl paskutinės lygybės dešinėje tik vienas narys yra nulis, atitinkantis
, Štai kodėl
, kur

, (1.2)

Kur
.

Jei vektoriai Ir pateiktos pagal jų koordinates
Ir
, tada jų skaliarinė sandauga

.

Nuo kada
taškinis produktas
, tada dviguboje sumoje tik vienodus indeksus turintys nariai yra nuliniai, todėl

Ypač kai
iš (1.3) išplaukia

. (1.4)

§ 2. Vidinis produktas ir funkcijų norma

Pažymėkime simboliu
funkcijų rinkinys, kuris yra ištisinis intervale [ a, b], t.y. funkcijos, turinčios intervalą [ a, b] baigtinis skaičius nenutrūkstamų pirmosios rūšies taškų ir ištisinių visuose kituose šio intervalo taškuose.

Funkcijų taškinė sandauga
skambino numeriu

.

Funkcijų skaliarinės sandaugos savybės visiškai sutampa su vektorių skaliarinės sandaugos savybėmis:

1.
.

2.
.

3.
.

4.
;
.

Taigi taškinis produktas tiesiškai priklauso nuo jo komponentų. Ši savybė vadinama skaliarinės sandaugos bilineariškumu.

Funkcijos
vadinami ortogoniniais
ant [ a, b], jei
.

Funkcijos norma
tarpais [a, b] vadinamas neneigiamu skaičiumi , kurio kvadratas lygus funkcijos skaliarinei sandaugai sau:

.

Funkcijos normos savybės iš esmės sutampa su vektoriaus modulio savybėmis:

1.
.

2. Jei funkcija
yra nuolatinis [ a, b] Ir
, Tai
. Nes
, tada kada

,

kur
. Paskutinio santykio diferencijavimas atsižvelgiant į ir taikydami Barrow teoremą gauname
ir todėl
.

3. Tkosinusų teorema .


.

Pasekmė. Jeigu
, Tai
(Pitagoro teorema).

4. Apibendrinta Pitagoro teorema. Jei funkcijos (k = = 1, 2, …, n) yra poros statmenos intervale
, Tai

.

Naudodami skaliarinės sandaugos dvitiesiškumo savybę, gauname

Dėl funkcijų ortogonalumo taškiniai gaminiai
adresu
, Štai kodėl

.

5. nKoši – Bunyakovskio lygybė
, arba kas tas pats,

.

Bet kokiam tikram

Taigi, kvadratinis trinaris kairėje paskutinės nelygybės pusėje išsaugo ženklą visoje realioje ašyje, todėl jo diskriminuojantis
.

1 pratimas. Įrodykite 1-3 funkcijų skaliarinės sandaugos savybes.

2 pratimas. Parodykite šių teiginių pagrįstumą:

a) funkcija
statmenos funkcijoms
Ir
tarpais
bet kokiems sveikiesiems skaičiams k Ir m;

b) bet kokiems sveikiesiems skaičiams k Ir m funkcijas
Ir
stačiakampis intervale
;

c) funkcijos
Ir
, ir taip pat
Ir
adresu
stačiakampis intervalais
Ir
;

d) funkcijos
Ir
nėra stačiakampis intervale
.

3 pratimas. Naudodamiesi normos savybe 5, įrodykite trikampio nelygybę

.

Dabar atkreipkime dėmesį į kai kurias skaliarinės sandaugos ir normos savybes. Taikant nelygybę ir atsižvelgiant į tai, kad galime parašyti:

Dabar įrodykime vadinamąją trikampio taisyklę

Turime:

arba, atsižvelgdami į (128), gauname:

iš kur seka (129).

Baigdami šį klausimą panagrinėsime, kokią įtaką koordinačių sistemos pasirinkimas turi erdvės metrikai, tai yra vektoriaus ilgio kvadrato išraiškai. Tarkime, kad vietoj pagrindinio Dekarto imame nauja sistema koordinates, o kai kuriuos nepriklausomus vektorius imame kaip pagrindinius vektorius

Bet kuriam vektoriui turėsime:

kur yra jo komponentai naujoje koordinačių sistemoje.

Šio vektoriaus ilgio kvadratas bus išreikštas vektoriaus ir jo paties skaliarine sandauga, t.y.

Išplėsdami tai pagal aukščiau pateiktas formules, turėsime tokią vektoriaus ilgio kvadrato išraišką:

kur koeficientai nustatomi pagal formules

Perstačius piktogramas jos akivaizdžiai tampa konjuguotos, t.y.

Formos (130) suma su koeficientais, atitinkančiais sąlygą (131), paprastai vadinama Hermito forma. Iš karto akivaizdu, kad bet kuri formos (130) išraiška pagal sąlygą (131) turės tik realias reikšmes visiems galimiems kompleksiniams kompleksams, nes esant dviems sumos (130) nariams bus konjuguota, o forma, dėl sąlygos (131) koeficientai bus realūs . Be to, pati Ermito formos konstrukcija in šiuo atveju galime teigti, kad suma (130) bus neneigiama ir išnyks tik tada, kai visi bus lygūs nuliui. Formulė (130) nustato erdvės metriką naujoje koordinačių sistemoje.

Metrika (130) sutaps su metrika (110) atitinkamoje Dekarto sistema, jei ties arba at t.y., kitaip tariant, jei vektoriai, kuriuos laikysime vektoriais, bus vienas kitą stačiakampiai vienetai (vieno ilgio).

Toliau bet kuri tarpusavyje stačiakampių ir vienetiniai vektoriai vadinsime tai ortonormalia sistema.

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad jei formulė (113) apibrėžia vienetinę vektoriaus komponentų transformaciją, tada atitinkama transformacija perėjimui iš ankstesnių vienetų vektorių į naujus bus pateikta lentelėje.

prieštaringas U. Šiuo atveju dėl (123) ši lentelė sutaps su lentele U, o iš tikrųjų stačiakampės transformacijos tai tiesiog sutaps su U.