The internetinis skaičiuotuvas leidžia spręsti diferencialines lygtis internetu. Pakanka įvesti savo lygtį į atitinkamą lauką, nurodant funkcijos išvestinę apostrofu, ir spustelėti mygtuką „išspręsti lygtį“, o sistema, įdiegta populiarios „WolframAlpha“ svetainės pagrindu, parodys išsamią informaciją sprendžiant diferencialinę lygtį visiškai nemokamai. Taip pat galite apibrėžti Koši problemą taip, kad iš viso rinkinio galimi sprendimai pasirinkite koeficientą, atitinkantį pateiktas pradines sąlygas. Koši problema įvedama atskirame lauke.

Diferencialinė lygtis

Pagal numatytuosius nustatymus lygties funkcija y yra kintamojo funkcija x. Tačiau galite nurodyti savo kintamojo pavadinimą, jei į lygtį įrašysite, pavyzdžiui, y(t), skaičiuotuvas automatiškai tai atpažins y yra funkcija iš kintamojo t. Skaičiuoklės pagalba galite išspręsti diferencialines lygtis bet kokio sudėtingumo ir tipo: vienalytės ir nehomogeninės, tiesinės arba netiesinės, pirmos eilės arba antros ir aukštesnės eilės, lygtys su atskiriamais arba neatskiriamais kintamaisiais ir kt. Sprendimo skirtumas. lygtys pateiktos analitinė forma, Tai turi Išsamus aprašymas. Diferencialinės lygtys labai paplitęs fizikoje ir matematikoje. Jų neapskaičiavus neįmanoma išspręsti daugelio uždavinių (ypač matematinės fizikos).

Vienas iš diferencialinių lygčių sprendimo etapų yra funkcijų integravimas. Yra standartiniai diferencialinių lygčių sprendimo metodai. Būtina lygtis redukuoti į formą su atskiriamais kintamaisiais y ir x ir atskirai integruoti atskirtas funkcijas. Norėdami tai padaryti, kartais reikia atlikti tam tikrą pakeitimą.

Diferencialinė lygtis yra lygtis, apimanti funkciją ir vieną ar daugiau jos išvestinių. Daugumoje praktinių problemų funkcijos yra fiziniai dydžiai, išvestinės atitinka šių dydžių kitimo greičius, o lygtis lemia ryšį tarp jų.

Šiame straipsnyje aptariami tam tikrų tipų paprastųjų diferencialinių lygčių sprendimo būdai, kurių sprendinius galima parašyti forma elementarios funkcijos, tai yra daugianario, eksponentinės, logaritminės ir trigonometrinės, taip pat jų atvirkštinės funkcijos. Daugelis šių lygčių pasitaiko realiame gyvenime, nors daugumos kitų diferencialinių lygčių šiais metodais išspręsti nepavyksta, o atsakymas joms rašomas specialių funkcijų forma arba galios serija, arba yra skaitmeniniai metodai.

Norėdami suprasti šį straipsnį, turite mokėti diferencialinį ir integralinį skaičiavimą, taip pat šiek tiek suprasti dalines išvestines. Taip pat rekomenduojama žinoti pagrindus tiesinė algebra taikant diferencialinėms lygtims, ypač antros eilės diferencialinėms lygtims, nors žinios apie diferencialines ir integralinis skaičiavimas.

Preliminari informacija

• Diferencialinės lygtys turi plačią klasifikaciją. IN Šis straipsnis kalba apie įprastos diferencialinės lygtys, tai yra apie lygtis, apimančias vieno kintamojo funkciją ir jo išvestines. Paprastąsias diferencialines lygtis daug lengviau suprasti ir išspręsti nei dalinės diferencialinės lygtys, kurie apima kelių kintamųjų funkcijas. Šiame straipsnyje nenagrinėjamos dalinės diferencialinės lygtys, nes šių lygčių sprendimo metodai paprastai nustatomi pagal jų konkrečią formą.
  • Žemiau pateikiami keli įprastų diferencialinių lygčių pavyzdžiai.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Žemiau yra keletas dalinių diferencialinių lygčių pavyzdžių.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\dalinis y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Įsakymas diferencialinė lygtis nustatoma pagal didžiausios išvestinės, įtrauktos į duota lygtis. Pirmoji iš minėtų įprastų diferencialinių lygčių yra pirmos eilės, o antroji – antros eilės lygtis. Laipsnis diferencialinės lygties laipsnis yra didžiausias laipsnis, į kurį pakeliamas vienas iš šios lygties narių.
  • Pavyzdžiui, žemiau esanti lygtis yra trečios eilės ir antrojo laipsnio.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ dešinė)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Diferencialinė lygtis yra tiesinė diferencialinė lygtis tuo atveju, kai funkcija ir visos jos išvestinės yra pirmojo laipsnio. Priešingu atveju lygtis yra netiesinė diferencialinė lygtis. Tiesinės diferencialinės lygtys yra nuostabios tuo, kad jų sprendiniai gali būti naudojami formuojant tiesinius derinius, kurie taip pat bus pateiktos lygties sprendiniai.
  • Žemiau pateikiami keli tiesinių diferencialinių lygčių pavyzdžiai.
  • Žemiau pateikiami keli netiesinių diferencialinių lygčių pavyzdžiai. Pirmoji lygtis yra netiesinė dėl sinuso termino.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Bendras sprendimasĮprasta diferencialinė lygtis nėra unikali, ji apima savavališkos integravimo konstantos. Daugeliu atvejų savavališkų konstantų skaičius yra lygus lygties tvarkai. Praktiškai šių konstantų reikšmės nustatomos remiantis duotomis pradines sąlygas, tai yra, pagal funkcijos ir jos išvestinių vertes x = 0. (\displaystyle x=0.) Skaičius pradines sąlygas, kuriuos būtina rasti privatus sprendimas diferencialinė lygtis, daugeliu atvejų taip pat yra lygi duotosios lygties tvarkai.
  • Pavyzdžiui, šiame straipsnyje bus nagrinėjama toliau pateiktos lygties sprendimas. Tai antros eilės tiesinė diferencialinė lygtis. Jo bendras sprendimas yra dvi savavališkos konstantos. Norint rasti šias konstantas, būtina žinoti pradines sąlygas x (0) (\displaystyle x(0)) Ir x ′ (0) . (\displaystyle x"(0).) Paprastai pradinės sąlygos nurodomos taške x = 0, (\displaystyle x=0,), nors tai nėra būtina. Šiame straipsnyje taip pat bus aptarta, kaip rasti konkrečius sprendimus tam tikroms pradinėms sąlygoms.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Žingsniai

1 dalis

Naudojantis šia paslauga, tam tikra informacija gali būti perkelta į „YouTube“.

1. Pirmosios eilės tiesinės lygtys. IN šį skyrių Nagrinėjami pirmos eilės tiesinių diferencialinių lygčių sprendimo būdai bendrai ir specialūs atvejai, kai kai kurie nariai lygūs nuliui. Apsimeskime tai y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x)) Ir q (x) (\displaystyle q(x)) yra funkcijos x. (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x) ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x) = 0.) Pagal vieną iš pagrindinių teoremų matematinė analizė, funkcijos išvestinės integralas taip pat yra funkcija. Taigi, norint rasti jos sprendimą, pakanka tiesiog integruoti lygtį. Reikėtų atsižvelgti į tai, kad skaičiuojant neapibrėžtą integralą, atsiranda savavališka konstanta.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x) = 0.) Mes naudojame metodą kintamųjų atskyrimas. Tai perkelia skirtingus kintamuosius į skirtingas lygties puses. Pavyzdžiui, galite perkelti visus narius iš y (\displaystyle y)į vieną, o visi nariai su x (\displaystyle x)į kitą lygties pusę. Nariai taip pat gali būti perkelti d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x) Ir d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), kurios yra įtrauktos į išvestines išraiškas, tačiau reikia atsiminti, kad tai yra teisinga simbolis, o tai patogu atskiriant sudėtingą funkciją. Šių narių, kurie vadinami, aptarimas diferencialai, nepatenka į šio straipsnio taikymo sritį.

   • Pirmiausia turite perkelti kintamuosius į priešingas lygybės ženklo puses.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Integruokime abi lygties puses. Po integravimo abiejose pusėse atsiras savavališkos konstantos, kurias galima perkelti dešinioji pusė lygtys.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • 1.1 pavyzdys. Paskutiniame žingsnyje naudojome taisyklę e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) ir pakeistas e C (\displaystyle e^(C))įjungta C (\displaystyle C), nes tai taip pat yra savavališka integravimo konstanta.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\displaystyle (\begin) )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(sulygiuotas)))

   P (x) ≠ 0, q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) Norėdami rasti bendrą sprendimą, pristatėme integruojantis veiksnys kaip funkcija x (\displaystyle x) kairę pusę sumažinti į bendrą išvestinę ir taip išspręsti lygtį.

   • Padauginkite abi puses iš μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μd y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • Norint sumažinti kairę pusę iki bendrosios išvestinės, reikia atlikti šiuos pakeitimus:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Paskutinė lygybė tai reiškia d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Tai yra integruojantis veiksnys, kurio pakanka bet kuriai pirmos eilės tiesinei lygčiai išspręsti. Dabar galime išvesti formulę, kaip išspręsti šią lygtį μ , (\displaystyle \mu ,) nors mokymui pravartu atlikti visus tarpinius skaičiavimus.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • 1.2 pavyzdys.Šis pavyzdys parodo, kaip rasti konkretų diferencialinės lygties sprendimą su nurodytomis pradinėmis sąlygomis.
     • t y d t + 2 y = t 2, y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(sulygintas)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(sulygiuotas)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3 = y(2) = 1+(\frac (C) (4)),\quad C = 8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Pirmosios eilės tiesinių lygčių sprendimas (žymėjimas Intuit - nacionalinis atviras universitetas).

2. Netiesinės pirmos eilės lygtys. Šiame skyriuje aptariami kai kurių pirmos eilės netiesinių diferencialinių lygčių sprendimo būdai. Nors nėra bendro tokių lygčių sprendimo metodo, kai kurias iš jų galima išspręsti naudojant toliau nurodytus metodus.

   D y d x = f (x, y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Jei funkcija f (x, y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) galima suskirstyti į vieno kintamojo funkcijas, tokia lygtis vadinama diferencialinė lygtis su atskiriamais kintamaisiais. Tokiu atveju galite naudoti aukščiau pateiktą metodą:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
   • 1.3 pavyzdys.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\) pradėti(sulygiuotas)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(sulygiuotas)))

   D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Apsimeskime tai g (x , y) (\displaystyle g(x,y)) Ir h (x , y) (\displaystyle h(x,y)) yra funkcijos x (\displaystyle x) Ir y. (\displaystyle y.) Tada vienalytė diferencialinė lygtis yra lygtis, kurioje g (\displaystyle g) Ir h (\displaystyle h) yra vienarūšės funkcijos tokiu pat laipsniu. Tai yra, funkcijos turi tenkinti sąlygą g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) Kur k (\displaystyle k) vadinamas homogeniškumo laipsniu. Tinkama gali būti naudojama bet kokia homogeninė diferencialinė lygtis kintamųjų pakaitalai (v = y / x (\displaystyle v=y/x) arba v = x / y (\displaystyle v=x/y)) konvertuoti į lygtį su atskiriamais kintamaisiais.

   • 1.4 pavyzdys. Aukščiau pateiktas homogeniškumo aprašymas gali atrodyti neaiškus. Pažvelkime į šią koncepciją su pavyzdžiu.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Pirmiausia reikia pažymėti, kad ši lygtis yra netiesinė y. (\displaystyle y.) Taip pat matome, kad tokiu atveju Jūs negalite atskirti kintamųjų. Tuo pačiu metu ši diferencialinė lygtis yra vienalytė, nes ir skaitiklis, ir vardiklis yra vienarūšiai, kurių laipsnis yra 3. Todėl galime pakeisti kintamuosius v = y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x) ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm) (d) )v) ((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Dėl to turime lygtį v (\displaystyle v) su atskiriamais kintamaisiais.
     • v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) Tai Bernulio diferencialinė lygtis- ypatingo tipo netiesinė pirmojo laipsnio lygtis, kurios sprendimas gali būti parašytas naudojant elementariąsias funkcijas.

   • Padauginkite abi lygties puses iš (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac () (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Mes naudojame sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklę kairėje pusėje ir paverčiame lygtį į tiesinė lygtis palyginti y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) kuriuos galima išspręsti naudojant aukščiau nurodytus metodus.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) = 0.) Tai lygtis in pilni diferencialai . Būtina rasti vadinamąjį potenciali funkcija φ (x, y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), kuris tenkina sąlygą d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • Dėl vykdymo ši sąlyga privalo turėti bendra išvestinė. Suminėje išvestinėje atsižvelgiama į priklausomybę nuo kitų kintamųjų. Norėdami apskaičiuoti bendrą išvestinę φ (\displaystyle \varphi ) Autorius x , (\displaystyle x,) manome, kad y (\displaystyle y) taip pat gali priklausyti nuo x. (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Sąlygų palyginimas mums suteikia M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))) Ir N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Tai yra tipiškas rezultatas daugiamatėms lygtims, kuriose mišrios išvestinės sklandžias funkcijas lygūs vienas kitam. Kartais šis atvejis vadinamas Clairaut teorema. Šiuo atveju diferencialinė lygtis yra visuminė diferencialinė lygtis, jei kita sąlyga:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • Suminių diferencialų lygčių sprendimo būdas yra panašus į potencialių funkcijų suradimą esant kelioms išvestinėms, kurias trumpai aptarsime. Pirmiausia integruokime M (\displaystyle M) Autorius x. (\displaystyle x.) Nes M (\displaystyle M) yra funkcija ir x (\displaystyle x), Ir y , (\displaystyle y,) integruodami gauname nepilną funkciją φ , (\displaystyle \varphi ,) paskirtas kaip φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Rezultatas taip pat priklauso nuo y (\displaystyle y) integravimo konstanta.
     • φ (x, y) = ∫ M (x, y) d x = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Po to, norint gauti c (y) (\displaystyle c(y)) galime imti gautos funkcijos dalinę išvestinę atžvilgiu y , (\displaystyle y,) sulyginti rezultatą N (x, y) (\displaystyle N(x,y)) ir integruoti. Taip pat pirmiausia galite integruoti N (\displaystyle N), o tada paimkite dalinę išvestinę x (\displaystyle x), kuri leis jums rasti savavališką funkciją d(x). (\displaystyle d(x).) Tinka abu būdai, dažniausiai integravimui pasirenkama paprastesnė funkcija.
     • N (x, y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\) dalinis (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • 1.5 pavyzdys. Galite paimti dalines išvestines ir pamatyti, kad žemiau pateikta lygtis yra visa diferencialinė lygtis.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x, y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(sulygintas)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\dalinis \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(sulyginta)))
     • d c d y = 0, c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Jei diferencialinė lygtis nėra visuminė diferencialinė lygtis, kai kuriais atvejais galite rasti integravimo koeficientą, leidžiantį konvertuoti ją į bendrą diferencialinę lygtį. Tačiau tokios lygtys retai naudojamos praktikoje, nors ir integruojantis veiksnys egzistuoja, pasitaiko, kad jį randa nelengva, todėl šios lygtys šiame straipsnyje nenagrinėjamos.

2 dalis

1. Homogeninės tiesinės diferencialinės lygtys su pastovūs koeficientai. Šios lygtys plačiai naudojamos praktikoje, todėl jų sprendimas yra itin svarbus. Tokiu atveju mes kalbame apie ne apie vienarūšes funkcijas, o apie tai, kad lygties dešinėje pusėje yra 0 Kitas skyrius parodys, kaip išspręsti atitinkamą nevienalytis diferencialines lygtis. Žemiau a (\displaystyle a) Ir b (\displaystyle b) yra konstantos.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Charakteristinė lygtis. Ši diferencialinė lygtis yra nuostabi tuo, kad ją galima labai lengvai išspręsti, jei atkreipsite dėmesį į tai, kokias savybes turėtų turėti jos sprendimai. Iš lygties aišku, kad y (\displaystyle y) o jo išvestinės yra proporcingos viena kitai. Iš ankstesnių pavyzdžių, kurie buvo aptarti skyriuje apie pirmosios eilės lygtis, žinome, kad šią savybę turi tik eksponentinė funkcija. Todėl galima pateikti ansatz(išsamus spėjimas) apie tai, koks bus duotosios lygties sprendimas.

   • Sprendimas turės eksponentinės funkcijos formą e r x , (\displaystyle e^(rx),) Kur r (\displaystyle r) yra konstanta, kurios reikšmę reikia rasti. Pakeiskite šią funkciją į lygtį ir gaukite tokią išraišką
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Ši lygtis rodo, kad eksponentinės funkcijos ir daugianario sandauga turi būti lygi nuliui. Yra žinoma, kad jokioms laipsnio reikšmėms eksponentas negali būti lygus nuliui. Iš to darome išvadą, kad daugianario lygus nuliui. Taigi, mes sumažinome diferencialinės lygties sprendimo užduotį iki daug paprastesnės algebrinės lygties sprendimo problemos, kuri vadinama būdingąja tam tikros diferencialinės lygties lygtimi.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Turime dvi šaknis. Kadangi ši diferencialinė lygtis yra tiesinė, jos bendras sprendimas yra tiesinis dalinių sprendimų derinys. Kadangi tai yra antros eilės lygtis, žinome, kad taip yra tikrai bendras sprendimas, o kitų nėra. Griežtesnis to pagrindimas yra teoremos apie sprendimo egzistavimą ir unikalumą, kurias galima rasti vadovėliuose.
   • Naudingas būdas patikrinti, ar du sprendiniai yra tiesiškai nepriklausomi, yra apskaičiuoti Vronskiana. Vronskis W (\displaystyle W) yra matricos, kurios stulpeliuose yra funkcijos ir nuoseklios jų išvestinės, determinantas. Tiesinės algebros teorema teigia, kad funkcijos, įtrauktos į Vronskį, yra tiesiškai priklausomos, jei Vronskio lygus nuliui. Šiame skyriuje galime patikrinti, ar du sprendiniai yra tiesiškai nepriklausomi – kad tai padarytume, turime įsitikinti, kad Wronskianas nėra nulis. Vronskis svarbus sprendžiant nehomogenines diferencialines lygtis su pastoviais koeficientais kintamų parametrų metodu.
     • W = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • Kalbant apie tiesinę algebrą, susidaro visų duotosios diferencialinės lygties sprendinių aibė vektorinė erdvė, kurios matmuo yra lygus diferencialinės lygties tvarkai. Šioje erdvėje galima pasirinkti pagrindą tiesiškai nepriklausomas sprendimus vienas nuo kito. Tai įmanoma dėl to, kad funkcija y (x) (\displaystyle y(x)) galioja linijinis operatorius. Darinys yra tiesinis operatorius, nes jis paverčia diferencijuojamų funkcijų erdvę į visų funkcijų erdvę. Lygtys vadinamos vienarūšėmis tais atvejais, kai kai kuriems linijinis operatorius L (\displaystyle L) turime rasti lygties sprendimą L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Dabar pereikime prie kelių konkrečių pavyzdžių. Kelių šaknų atvejis charakteristikos lygtis Tai apžvelgsime šiek tiek vėliau, skyriuje apie užsakymo sumažinimą.

   Jei šaknys r ± (\displaystyle r_(\pm )) yra skirtingi realūs skaičiai, diferencialinė lygtis turi kitas sprendimas

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Dvi sudėtingos šaknys. Iš pagrindinės algebros teoremos išplaukia, kad sprendiniai į sprendinius daugianario lygtys su realiais koeficientais turi šaknis, kurios yra tikrosios arba sudaro konjuguotas poras. Todėl, jei kompleksinis skaičius r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta ) tada yra charakteristikos lygties šaknis r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) taip pat yra šios lygties šaknis. Taigi sprendimą galime parašyti formoje c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) tačiau tai sudėtingas skaičius ir nepageidautinas sprendžiant praktines problemas.

   • Vietoj to galite naudoti Eulerio formulė e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), kuri leidžia mums parašyti sprendimą formoje trigonometrinės funkcijos:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Dabar galite vietoj konstantos c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) užsirašyti c 1 (\displaystyle c_(1)), ir išraiška i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) pakeistas c 2 . (\displaystyle c_(2).) Po to gauname tokį sprendimą:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin\beta x))
   • Yra ir kitas būdas rašyti sprendimą pagal amplitudę ir fazę, kuris geriau tinka fizikos uždaviniams.
   • 2.1 pavyzdys. Raskime toliau pateiktos diferencialinės lygties sprendimą su nurodytomis pradinėmis sąlygomis. Norėdami tai padaryti, turite paimti gautą tirpalą, taip pat jo vedinys, ir pakeiskite jas į pradines sąlygas, kurios leis mums nustatyti savavališkas konstantas.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0, x (0) = 1, x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\rodymo stilius x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin (lygiuotas)x"(t)&=-(\frac (3) (2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end (sulyginta)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2, c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0) = -1 =-(\frac (3) (2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac) (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   N-osios eilės diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais sprendimas (įrašyta Intuit - National Open University).

2. Mažėjanti tvarka. Eilės redukcija yra diferencialinių lygčių sprendimo metodas, kai žinomas vienas tiesiškai nepriklausomas sprendimas. Šis metodas susideda iš lygties eilės sumažinimo vienu, o tai leidžia išspręsti lygtį naudojant ankstesniame skyriuje aprašytus metodus. Tegul sprendimas yra žinomas. Pagrindinė užsakymų mažinimo idėja yra rasti sprendimą žemiau esančioje formoje, kur reikia apibrėžti funkciją v (x) (\displaystyle v(x)), pakeičiant jį į diferencialinę lygtį ir surandant v(x). (\displaystyle v(x).) Pažiūrėkime, kaip eilės mažinimas gali būti naudojamas sprendžiant diferencialinę lygtį su pastoviais koeficientais ir keliomis šaknimis.

   
   

   Kelios šaknys vienalytė diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais. Prisiminkite, kad antros eilės lygtis turi turėti du tiesiškai nepriklausomus sprendinius. Jei charakteristikos lygtis turi kelias šaknis, sprendinių aibė Ne sudaro erdvę, nes šie sprendimai yra tiesiškai priklausomi. Šiuo atveju, norint rasti antrą tiesiškai nepriklausomą sprendimą, būtina naudoti eilės mažinimą.

   • Tegul būdingoji lygtis turi kelias šaknis r (\displaystyle r). Tarkime, kad antrasis sprendimas gali būti parašytas formoje y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), ir pakeiskite jį į diferencialinę lygtį. Šiuo atveju dauguma terminų, išskyrus terminą su antrąja funkcijos išvestine v , (\displaystyle v,) bus sumažintas.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • 2.2 pavyzdys. Pateikiame tokią lygtį, kuri turi kelias šaknis r = – 4. (\displaystyle r=-4.) Keitimo metu dauguma terminų sumažinami.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\pabaiga (sulygiuota)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(sulygiuotas) )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e) ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(sulygintas)))
   • Panašiai kaip mūsų ansatz diferencialinei lygčiai su pastoviais koeficientais, šiuo atveju tik antroji išvestinė gali būti lygi nuliui. Integruojame du kartus ir gauname norimą išraišką v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Tada bendras diferencialinės lygties su pastoviais koeficientais sprendimas tuo atveju, kai charakteristinė lygtis turi kelias šaknis, gali būti parašytas tokia forma. Patogumui galite prisiminti, kad norint gauti tiesinę nepriklausomybę, pakanka tiesiog padauginti antrąjį terminą iš x (\displaystyle x). Šis sprendinių rinkinys yra tiesiškai nepriklausomas, todėl mes radome visus šios lygties sprendimus.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Užsakymo sumažinimas taikomas, jei sprendimas žinomas y 1 (x) (\displaystyle y_ (1) (x)), kurį galima rasti arba pateikti problemos teiginyje.

   • Mes ieškome sprendimo formoje y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1) (x)) ir pakeiskite ją į šią lygtį:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Nes y 1 (\displaystyle y_(1)) yra diferencialinės lygties sprendimas, visi terminai su v (\displaystyle v) yra mažinami. Galų gale tai lieka pirmos eilės tiesinė lygtis. Norėdami tai matyti aiškiau, pakeiskime kintamuosius w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\) frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Jei integralus galima apskaičiuoti, bendrąjį sprendimą gauname kaip elementariųjų funkcijų derinį. Priešingu atveju sprendimas gali būti paliktas vientisa forma.

3. Koši-Eulerio lygtis. Koši-Eulerio lygtis yra antros eilės diferencialinės lygties pavyzdys su kintamieji koeficientai, kurie turi tikslius sprendinius. Ši lygtis naudojama praktikoje, pavyzdžiui, sprendžiant Laplaso lygtį sferinėmis koordinatėmis.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Charakteristinė lygtis. Kaip matote, šioje diferencialinėje lygtyje kiekvienas narys turi galios koeficientą, kurio laipsnis yra lygus atitinkamos išvestinės eilės tvarkai.

   • Taigi, galite pabandyti ieškoti sprendimo formoje y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) kur būtina nustatyti n (\displaystyle n), kaip ir mes ieškojome sprendinio tiesinės diferencialinės lygties su pastoviais koeficientais eksponentinės funkcijos pavidalu. Po diferenciacijos ir pakeitimo gauname
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • Norėdami naudoti charakteringą lygtį, turime manyti, kad x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Taškas x = 0 (\displaystyle x=0) paskambino taisyklingas vienaskaitos taškas diferencialinė lygtis. Tokie taškai svarbūs sprendžiant diferencialines lygtis naudojant laipsnio eilutes. Ši lygtis turi dvi šaknis, kurios gali būti skirtingos ir tikrosios, daugybinės arba sudėtingos konjuguotos.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b) )))(2)

   Dvi skirtingos tikrosios šaknys. Jei šaknys n ± (\displaystyle n_(\pm )) yra tikri ir skirtingi, tada diferencialinės lygties sprendimas turi tokią formą:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Dvi sudėtingos šaknys. Jei charakteristikos lygtis turi šaknis n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), sprendimas yra sudėtinga funkcija.

   • Norėdami transformuoti sprendimą į realią funkciją, pakeičiame kintamuosius x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) tai yra t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,) ir naudokite Eilerio formulę. Panašūs veiksmai buvo atlikti anksčiau nustatant savavališkas konstantas.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Tada bendrą sprendimą galima parašyti kaip
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Kelios šaknys. Norint gauti antrą tiesiškai nepriklausomą sprendimą, reikia dar kartą sumažinti tvarką.

   • Skaičiuoti reikia nemažai, tačiau principas išlieka tas pats: pakeičiame y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))į lygtį, kurios pirmasis sprendinys yra y 1 (\displaystyle y_(1)). Po sumažinimų paaiškėja sekančią lygtį:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Tai yra pirmos eilės tiesinė lygtis v ′ (x) . (\displaystyle v"(x).) Jo sprendimas yra v (x) = c 1 + c 2 ln⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Taigi sprendimas gali būti parašytas tokia forma. Tai gana lengva prisiminti – gauti antrą tiesiškai savarankiškas sprendimas tik reikia papildomo nario ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Nehomogeninės tiesinės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais. Nehomogeninės lygtys turi formą L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) Kur f (x) (\displaystyle f(x))- vadinamasis laisvas narys. Remiantis diferencialinių lygčių teorija, bendras šios lygties sprendimas yra superpozicija privatus sprendimas y p (x) (\displaystyle y_(p)(x)) Ir papildomas sprendimas y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).) Tačiau šiuo atveju konkretus sprendimas reiškia ne pradinių sąlygų pateiktą sprendimą, o sprendimą, kurį lemia heterogeniškumo buvimas (laisvas terminas). Papildomas sprendimas yra atitinkamos vienalytės lygties sprendimas, kurioje f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) Bendras sprendimas yra šių dviejų sprendimų superpozicija, nes L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), ir nuo to laiko L [ y c ] = 0, (\displaystyle L=0,) tokia superpozicija iš tiesų yra bendras sprendimas.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Metodas neapibrėžti koeficientai. Neapibrėžtų koeficientų metodas naudojamas tais atvejais, kai pertraukos narys yra eksponentinių, trigonometrinių, hiperbolinių ar laipsnių funkcijų derinys. Garantuojama, kad turės tik šias funkcijas galutinis skaičius tiesiškai nepriklausomi dariniai. Šiame skyriuje rasime konkretų lygties sprendimą.

   • Palyginkime terminus f (x) (\displaystyle f(x)) su terminais nekreipiant dėmesio į nuolatinius veiksnius. Galimi trys atvejai.
     • Nėra dviejų vienodų narių.Šiuo atveju konkretus sprendimas y p (\displaystyle y_(p)) bus linijinis terminų derinys iš y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) yra narys x n (\displaystyle x^(n)) ir narys iš y c , (\displaystyle y_(c),) Kur n (\displaystyle n) yra nulis arba teigiamas sveikasis skaičius, ir šis terminas atitinka atskirą charakteringos lygties šaknį. Tokiu atveju y p (\displaystyle y_(p)) sudarys iš funkcijų derinio x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) jo tiesiškai nepriklausomi dariniai, taip pat kiti terminai f (x) (\displaystyle f(x)) ir jų tiesiškai nepriklausomi dariniai.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) yra narys h (x) , (\displaystyle h(x),) kuris yra kūrinys x n (\displaystyle x^(n)) ir narys iš y c , (\displaystyle y_(c),) Kur n (\displaystyle n) lygus 0 arba teigiamam sveikajam skaičiui, ir šis terminas atitinka daugkartinis charakteristikos lygties šaknis. Tokiu atveju y p (\displaystyle y_(p)) yra tiesinis funkcijos derinys x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(Kur s (\displaystyle s)- šaknies dauginys) ir jos tiesiškai nepriklausomi dariniai, taip pat kiti funkcijos nariai f (x) (\displaystyle f(x)) ir jo tiesiškai nepriklausomi dariniai.
   • Užsirašykime y p (\displaystyle y_(p)) kaip linijinis aukščiau išvardytų terminų derinys. Šių koeficientų dėka tiesiniu deriniu šis metodas vadinamas „neapibrėžtų koeficientų metodu“. Kai pasirodys turinys y c (\displaystyle y_(c)) terminai gali būti atmesti dėl savavališkų konstantų buvimo y c . (\displaystyle y_(c).) Po to mes pakeičiame y p (\displaystyle y_(p))į lygtį ir sulyginkite panašius terminus.
   • Mes nustatome koeficientus. Šiame etape gaunama algebrinių lygčių sistema, kurią dažniausiai galima išspręsti be jokių problemų. Šios sistemos sprendimas leidžia mums gauti y p (\displaystyle y_(p)) ir taip išspręskite lygtį.
   • 2.3 pavyzdys. Panagrinėkime nehomogeninę diferencialinę lygtį, kurios laisvasis narys turi baigtinį skaičių tiesiškai nepriklausomų išvestinių. Ypatingą tokios lygties sprendimą galima rasti neapibrėžtų koeficientų metodu.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t) = Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(sulygintas)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 - 25 B + 6 B = - 1 , B = 1 19 - 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A) =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ pabaiga (atvejai)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6) ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Lagranžo metodas. Lagranžo metodas arba savavališkų konstantų kitimo metodas yra bendresnis nehomogeninių diferencialinių lygčių sprendimo metodas, ypač tais atvejais, kai pertraukos narys neturi baigtinio skaičiaus tiesiškai nepriklausomų išvestinių. Pavyzdžiui, kada nemokami nariai tan ⁡ x (\displaystyle \tan x) arba x − n (\displaystyle x^(-n)) norint rasti konkretų sprendimą, būtina naudoti Lagranžo metodą. Lagranžo metodas netgi gali būti naudojamas sprendžiant diferencialines lygtis su kintamaisiais koeficientais, nors šiuo atveju, išskyrus Koši-Eulerio lygtį, jis naudojamas rečiau, nes papildomas sprendimas paprastai neišreiškiamas terminais. elementarios funkcijos.

   • Tarkime, kad sprendimas turi tokią formą. Jo išvestinė pateikta antroje eilutėje.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2) (x) y_ (2) (x))
     • y ′ = v 1 y 1 + v 1 y 1 + v 2 y 2 + v 2 y 2 (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Kadangi siūlomame sprendime yra du nežinomi kiekiai, būtina nustatyti papildomas sąlyga. Pasirinkime šią papildomą sąlygą tokia forma:
     • v 1 "y 1 + v 2" y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2) = 0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y"" = v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)"+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)")
   • Dabar galime gauti antrą lygtį. Pakeitę ir perskirstę narius, galite sugrupuoti narius su 1 versija (\displaystyle v_(1)) ir nariai su 2 versija (\displaystyle v_(2)). Šie terminai mažinami, nes y 1 (\displaystyle y_(1)) Ir y 2 (\displaystyle y_ (2)) yra atitinkamos vienalytės lygties sprendiniai. Dėl to gauname tokią lygčių sistemą
     • v 1 ′ y 1 + v 2 y 2 = 0 v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\pabaiga (sulygiuota)))
   • Šią sistemą galima konvertuoti į matricos lygtis malonus A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) kurio sprendimas yra x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Dėl matricos 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) atvirkštinė matrica randama dalijant iš determinanto, pertvarkant įstrižainės elementus ir keičiant neįstrižainių elementų ženklą. Tiesą sakant, šios matricos determinantas yra Wronskian.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • Išraiškos, skirtos 1 versija (\displaystyle v_(1)) Ir 2 versija (\displaystyle v_(2)) pateikiami žemiau. Kaip ir eiliškumo mažinimo metodu, šiuo atveju integravimo metu atsiranda savavališka konstanta, kuri apima papildomą sprendinį bendrame diferencialinės lygties sprendime.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1) (x)=-\int (\frac (1) (W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2) (x)=\int (\frac (1) (W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Nacionalinio atvirojo universiteto „Intuit“ paskaita „N-osios eilės tiesinės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais“.

Praktinis naudojimas

Diferencialinės lygtys nustato ryšį tarp funkcijos ir vienos ar kelių jos išvestinių. Kadangi tokie ryšiai yra labai dažni, diferencialinės lygtys buvo plačiai taikomos įvairiose srityse, o kadangi gyvename keturiose dimensijose, šios lygtys dažnai yra diferencialinės lygtys. privatus dariniai. Šiame skyriuje pateikiamos kai kurios svarbiausios tokio tipo lygtys.

• Eksponentinis augimas ir nykimas. Radioaktyvusis skilimas. Sudėtinės palūkanos. Greitis cheminės reakcijos. Vaistų koncentracija kraujyje. Neribotas gyventojų skaičiaus augimas. Niutono-Richmanno dėsnis. IN realus pasaulis Yra daug sistemų, kuriose augimo ar nykimo greitis bet kuriuo metu yra proporcingas kiekiui Šis momentas laiko arba gali būti gerai apytiksliai pagal modelį. Taip yra todėl, kad šios diferencialinės lygties sprendimas, eksponentinė funkcija, yra vienas iš labiausiai svarbias funkcijas matematikoje ir kituose moksluose. Daugiau bendras atvejis kontroliuojant populiacijos augimą, sistemoje gali būti papildomų narių, kurie riboja augimą. Žemiau pateiktoje lygtyje konstanta k (\displaystyle k) gali būti didesnis arba mažesnis už nulį.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Harmoninės vibracijos. Tiek klasikinėje, tiek in Kvantinė mechanika harmoninis osciliatorius yra vienas iš svarbiausių fizinės sistemos dėl savo paprastumo ir plataus pritaikymo sudėtingesnėms sistemoms, tokioms kaip paprasta švytuoklė, aproksimuoti. IN klasikinė mechanika harmoninės vibracijos apibūdinamos lygtimi, susiejančia padėtį materialus taškas su jos pagreičiu pagal Huko dėsnį. Šiuo atveju taip pat galima atsižvelgti į slopinimą ir varomąsias jėgas. Žemiau pateiktoje išraiškoje x ˙ (\displaystyle (\taškas (x)))- laiko išvestinė x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta )- parametras, apibūdinantis slopinimo jėgą, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- sistemos kampinis dažnis, F (t) (\displaystyle F(t))- priklauso nuo laiko varomoji jėga. Harmoninis osciliatorius taip pat yra elektromagnetinėje virpesių grandinės, kur jį galima įgyvendinti tiksliau nei mechaninėse sistemose.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\taškas (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• Besselio lygtis. Besselio diferencialinė lygtis naudojama daugelyje fizikos sričių, įskaitant bangų lygtį, Laplaso lygtį ir Šriodingerio lygtį, ypač esant cilindrinei arba sferinė simetrija. Ši antros eilės diferencialinė lygtis su kintamaisiais koeficientais nėra Cauchy-Eulerio lygtis, todėl jos sprendiniai negali būti užrašyti kaip elementarios funkcijos. Beselio lygties sprendiniai yra Besselio funkcijos, kurios yra gerai ištirtos dėl jų taikymo daugelyje sričių. Žemiau pateiktoje išraiškoje α (\displaystyle \alpha )- atitinkanti konstanta tvarka Beselio funkcijos.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Maksvelo lygtys. Kartu su Lorenco jėga, Maxwello lygtys sudaro pagrindą klasikinė elektrodinamika. Tai yra keturios elektrinės dalinės diferencialinės lygtys E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) ir magnetinis B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) laukai. Toliau pateiktose išraiškose ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- įkrovos tankis, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))- srovės tankis ir ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0)) Ir μ 0 (\displaystyle \mu _(0))- atitinkamai elektrinės ir magnetinės konstantos.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle\c)\dotnabla(sulygiuotas (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(sulyginta)))
• Šriodingerio lygtis. Kvantinėje mechanikoje Schrödingerio lygtis yra pagrindinė judėjimo lygtis, apibūdinanti dalelių judėjimą pagal pokyčius bangos funkcija Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) su laiku. Judėjimo lygtis apibūdinama elgesiu Hamiltono H^(\displaystyle (\hat (H))) - operatorius, kuris apibūdina sistemos energiją. Vienas iš gerai žinomų Schrödingerio lygties pavyzdžių fizikoje yra lygtis vienai nereliatyvistinei dalelei, kuriai taikomas potencialas. V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Daugelis sistemų aprašomos nuo laiko priklausoma Schrödingerio lygtimi, o kairėje lygties pusėje yra E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) Kur E (\displaystyle E)- dalelių energija. Toliau pateiktose išraiškose ℏ (\displaystyle \hbar )- sumažinta Planko konstanta.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• Bangos lygtis. Fizika ir technologijos neįsivaizduojamos be bangų, jų yra visų tipų sistemose. Apskritai bangos apibūdinamos žemiau pateikta lygtimi, kurioje u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t)) yra norima funkcija ir c (\displaystyle c)- eksperimentiškai nustatyta konstanta. d'Alembertas pirmasis atrado, kad vienmačio atvejo bangos lygties sprendimas yra bet koks funkcija su argumentu x − c t (\displaystyle x-ct), kuris apibūdina bangą laisva forma, plinta į dešinę. Bendras vienmačio atvejo sprendimas yra šios funkcijos tiesinis derinys su antrąja funkcija su argumentu x + c t (\displaystyle x+ct), kuris apibūdina bangą, sklindančią į kairę. Šis sprendimas pateikiamas antroje eilutėje.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Navier-Stokes lygtys. Navier-Stokes lygtys apibūdina skysčių judėjimą. Kadangi skysčių yra beveik visose mokslo ir technologijų srityse, šios lygtys yra labai svarbios prognozuojant orus, projektuojant orlaivius, studijuojant. vandenyno srovės ir sprendimai daugeliui kitų taikomų problemų. Navier-Stokes lygtys yra netiesinės dalinės diferencialinės lygtys, ir daugeliu atvejų jas labai sunku išspręsti, nes netiesiškumas sukelia turbulenciją, o norint gauti stabilų sprendimą skaitmeniniais metodais, reikia skaidyti į labai mažas ląsteles, o tam reikia didelės skaičiavimo galios. Praktiniais hidrodinamikos tikslais turbulentiniams srautams modeliuoti naudojami tokie metodai kaip laiko vidurkis. Dar daugiau pagrindinių klausimų, tokių kaip sprendimų egzistavimas ir unikalumas netiesines lygtis dalinėse išvestinėse, o Navier-Stokes lygčių trijų dimensijų sprendimo egzistavimo ir unikalumo įrodymas įtrauktas į matematines problemas tūkstantmetis. Žemiau yra nesuspaudžiamo skysčio srauto lygtis ir tęstinumo lygtis.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h, ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (u)bf (u)b )(\dalinis t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Daugelio diferencialinių lygčių paprasčiausiai negalima išspręsti naudojant aukščiau nurodytus metodus, ypač tuos, kurie paminėti paskutiniame skyriuje. Tai taikoma tais atvejais, kai lygtyje yra kintamieji koeficientai ir nėra Cauchy-Eulerio lygtis arba kai lygtis yra netiesinė, išskyrus keletą labai retų atvejų. Tačiau aukščiau pateikti metodai gali išspręsti daugelį svarbių diferencialinių lygčių, su kuriomis dažnai susiduriama įvairiose srityse Mokslai.
• Skirtingai nuo diferenciacijos, kuri leidžia rasti bet kurios funkcijos išvestinę, daugelio išraiškų integralas negali būti išreikštas elementariomis funkcijomis. Taigi negaiškite laiko bandydami apskaičiuoti integralą ten, kur tai neįmanoma. Pažvelkite į integralų lentelę. Jei diferencialinės lygties sprendinys negali būti išreikštas elementariomis funkcijomis, kartais jis gali būti pavaizduotas integralo forma, ir šiuo atveju nesvarbu, ar šį integralą galima apskaičiuoti analitiškai.

Įspėjimai

• Išvaizda diferencialinė lygtis gali būti klaidinanti. Pavyzdžiui, žemiau pateiktos dvi pirmos eilės diferencialinės lygtys. Pirmąją lygtį galima lengvai išspręsti naudojant šiame straipsnyje aprašytus metodus. Iš pirmo žvilgsnio nedidelis pakeitimas y (\displaystyle y)įjungta y 2 (\displaystyle y^(2)) antroje lygtyje jis tampa netiesinis ir tampa labai sunkiai išsprendžiamas.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

Paprastoji diferencialinė lygtis yra lygtis, susiejanti nepriklausomą kintamąjį, nežinomą šio kintamojo funkciją ir įvairios eilės jo išvestinius (arba diferencialus).

Diferencialinės lygties tvarka vadinamas aukščiausios jame esančios išvestinės eilės tvarka.

Be įprastų, tiriamos ir dalinės diferencialinės lygtys. Tai lygtys, susijusios su nepriklausomais kintamaisiais, nežinoma šių kintamųjų funkcija ir jos dalinės išvestinės tų pačių kintamųjų atžvilgiu. Bet mes tik apsvarstysime įprastos diferencialinės lygtys ir todėl trumpumo dėlei praleisime žodį „įprastas“.

Diferencialinių lygčių pavyzdžiai:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

(1) lygtis yra ketvirtos eilės, (2) lygtis yra trečios eilės, (3) ir (4) lygtys yra antros eilės, (5) lygtis yra pirmos eilės.

Diferencialinė lygtis n eilėje nebūtinai turi būti aiški funkcija, visos jos išvestinės nuo pirmosios iki n-osios eilės ir nepriklausomas kintamasis. Jame negali būti aiškiai tam tikros eilės išvestinių, funkcijos ar nepriklausomo kintamojo.

Pavyzdžiui, (1) lygtyje aiškiai nėra trečios ir antros eilės išvestinių, taip pat funkcijos; (2) lygtyje - antros eilės išvestinė ir funkcija; (4) lygtyje – nepriklausomas kintamasis; (5) lygtyje – funkcijos. Tik (3) lygtyje yra aiškiai visos išvestinės, funkcija ir nepriklausomas kintamasis.

Diferencialinės lygties sprendimas kiekviena funkcija vadinama y = f(x), kai pakeičiama į lygtį, ji virsta tapatybe.

Diferencialinės lygties sprendimo paieškos procesas vadinamas jo integracija.

1 pavyzdys. Raskite diferencialinės lygties sprendimą.

Sprendimas. Parašykime šią lygtį į formą . Sprendimas yra surasti funkciją iš jos išvestinės. Pradinė funkcija, kaip žinoma iš integralinio skaičiavimo, yra antiderivatinė, t.y.

Štai kas yra šios diferencialinės lygties sprendimas . Keistis joje C, gausime skirtingus sprendimus. Sužinojome, kad yra begalinis rinkinys pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendiniai.

Bendrasis diferencialinės lygties sprendimas n eilė yra jos sprendimas, aiškiai išreikštas nežinomos funkcijos atžvilgiu ir turintis n nepriklausomos savavališkos konstantos, t.y.

1 pavyzdyje pateiktos diferencialinės lygties sprendimas yra bendras.

Dalinis diferencialinės lygties sprendimas vadinamas sprendimas, kuriame savavališkoms konstantoms suteikiamos konkrečios skaitinės reikšmės.

2 pavyzdys. Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendimą ir konkretų sprendimą .

Sprendimas. Integruokime abi lygties puses tiek kartų, kiek lygi diferencialinės lygties tvarkai.

,

.

Dėl to gavome bendrą sprendimą -

pateiktos trečios eilės diferencialinės lygties.

Dabar suraskime konkretų sprendimą nurodytomis sąlygomis. Norėdami tai padaryti, pakeiskite jų reikšmes vietoj savavališkų koeficientų ir gaukite

.

Jei, be diferencialinės lygties, pradinė sąlyga pateikiama forma , tada tokia problema vadinama Cauchy problema . Pakeiskite reikšmes ir į bendrąjį lygties sprendimą ir raskite savavališkos konstantos reikšmę C, o tada konkretus rastos reikšmės lygties sprendimas C. Tai yra Koši problemos sprendimas.

3 pavyzdys. Išspręskite Koši uždavinį diferencialinei lygčiai iš 1 pavyzdžio subjekto iki .

Sprendimas. Pradinės sąlygos reikšmes pakeisime bendruoju sprendimu y = 3, x= 1. Gauname

Užrašome šios pirmos eilės diferencialinės lygties Koši uždavinio sprendimą:

Norint išspręsti diferencialines lygtis, net ir pačias paprasčiausias, reikia gerų integravimo ir išvestinių įgūdžių, įskaitant sudėtingas funkcijas. Tai galima pamatyti toliau pateiktame pavyzdyje.

4 pavyzdys. Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendimą.

Sprendimas. Lygtis parašyta tokia forma, kad galėtumėte iškart integruoti abi puses.

.

Taikome integravimo keičiant kintamąjį metodą (pakeitimą). Tebūnie tada.

Privaloma paimti dx o dabar – dėmesys – tai darome pagal kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisykles, kadangi x ir yra sudėtinga funkcija(„Obuolys“ yra kvadratinės šaknies ištraukimas arba, kas yra tas pats, padidinimas iki „pusės“, o „malta mėsa“ yra pati išraiška po šaknimi):

Mes randame integralą:

Grįžtant prie kintamojo x, mes gauname:

.

Tai yra bendras šios pirmojo laipsnio diferencialinės lygties sprendimas.

Ne tik ankstesnių skyrių įgūdžiai aukštoji matematika bus reikalingi sprendžiant diferencialines lygtis, bet ir pradinės, tai yra mokyklinės matematikos, įgūdžių. Kaip jau minėta, bet kokios eilės diferencialinėje lygtyje gali nebūti nepriklausomo kintamojo, tai yra kintamojo x. Išspręsti šią problemą padės mokyklos žinios apie proporcijas, kurios nebuvo pamirštos (tačiau, priklausomai nuo to, kas). Tai yra kitas pavyzdys.

Pirmosios eilės diferencialinės lygtys. Sprendimų pavyzdžiai.
Diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais

Diferencialinės lygtys (DE). Šie du žodžiai paprastai kelia siaubą paprastam žmogui. Diferencialinės lygtys daugeliui studentų atrodo pernelyg sudėtingos ir sunkiai įvaldomos. Uuuuuu... diferencialinės lygtys, kaip man visa tai išgyventi?!

Tokia nuomonė ir toks požiūris yra iš esmės klaidingi, nes iš tikrųjų DIFERENCINĖS LYGTYBĖS – PAPRASTAS IR NET LINKSMAS. Ką reikia žinoti ir mokėti, kad išmoktum spręsti diferencialines lygtis? Dėl sėkmingas tyrimas turi gerai integruoti ir atskirti. Kuo geriau nagrinėjamos temos Vieno kintamojo funkcijos išvestinė Ir Neapibrėžtas integralas, tuo lengviau bus suprasti diferencialines lygtis. Pasakysiu daugiau, jei turite daugiau ar mažiau padorų integracijos įgūdžių, tada tema jau beveik įvaldyta! Kuo daugiau įvairių tipų integralų galėsite išspręsti, tuo geriau. Kodėl? Turėsite daug integruotis. Ir atskirti. Taip pat labai rekomenduojama išmokti rasti.

95% atvejų bandymai Yra 3 pirmosios eilės diferencialinių lygčių tipai: atskiriamas lygtis kurią apžvelgsime šioje pamokoje; vienarūšės lygtys Ir tiesinės nehomogeninės lygtys. Tiems, kurie pradeda studijuoti difuzorius, patariu skaityti pamokas būtent tokia tvarka, o išstudijavus pirmuosius du straipsnius, nepakenks sustiprinti savo įgūdžius papildomame seminare - lygtys redukuojamos į vienarūšes.

Yra dar retesnių diferencialinių lygčių tipų: visuminės diferencialinės lygtys, Bernulio lygtys ir kai kurios kitos. Svarbiausios iš paskutinių dviejų tipų yra lygtys suminiuose diferencialuose, nes be šios diferencialinės lygties aš manau nauja medžiaga – dalinė integracija.

Jei liko tik diena ar dvi, Tai itin greitam paruošimui Yra žaibo kursas pdf formatu.

Taigi, orientyrai nustatyti – eime:

Pirmiausia prisiminkime įprastas algebrines lygtis. Juose yra kintamųjų ir skaičių. Paprasčiausias pavyzdys: . Ką reiškia išspręsti įprastą lygtį? Tai reiškia rasti skaičių rinkinys, kurios tenkina šią lygtį. Nesunku pastebėti, kad vaikų lygtis turi vieną šaknį: . Kad būtų smagu, patikrinkime ir pakeiskime rastą šaknį į mūsų lygtį:

– gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad sprendimas buvo rastas teisingai.

Difuzoriai sukurti panašiai!

Diferencialinė lygtis Pirmas užsakymas apskritai yra:
1) nepriklausomas kintamasis;
2) priklausomasis kintamasis (funkcija);
3) pirmoji funkcijos išvestinė: .

Kai kuriose pirmosios eilės lygtyse gali nebūti „x“ ir (arba) „y“, tačiau tai nėra reikšminga - svarbu eiti į valdymo kambarį buvo pirmasis vedinys ir neturėjo aukštesnių eilių išvestiniai – , ir kt.

Ką reiškia ? Išspręsti diferencialinę lygtį reiškia rasti visų funkcijų rinkinys, kurios tenkina šią lygtį. Toks funkcijų rinkinys dažnai turi formą (– savavališką konstantą), kuri vadinama bendras diferencialinės lygties sprendimas.

1 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį

Pilna amunicija. Kur pradėti sprendimas?

Visų pirma, reikia perrašyti išvestinę šiek tiek kitokia forma. Primename sudėtingą pavadinimą, kuris tikriausiai daugeliui iš jūsų atrodė juokingas ir nereikalingas. Štai kas galioja difuzoriuose!

Antrame žingsnyje pažiūrėkime, ar tai įmanoma atskiri kintamieji? Ką reiškia atskirti kintamuosius? Apytiksliai kalbant, kairėje pusėje mums reikia išvykti tik "graikai", A dešinėje pusėje organizuoti tik "X". Kintamieji skirstomi naudojant „mokyklines“ manipuliacijas: iškeliant juos iš skliaustų, perkeliant terminus iš dalies į dalį keičiant ženklą, perkeliant veiksnius iš dalies į dalį pagal proporcingumo taisyklę ir kt.

Diferencialai ir yra visiški karo veiksmų skleidėjai ir aktyvūs dalyviai. Nagrinėjamame pavyzdyje kintamieji lengvai atskiriami sumetant veiksnius pagal proporcingumo taisyklę:

Kintamieji yra atskirti. Kairėje pusėje yra tik „Y“, dešinėje – tik „X“.

Kitas etapas - diferencialinės lygties integravimas. Tai paprasta, mes dedame integralus iš abiejų pusių:

Žinoma, reikia imti integralus. Šiuo atveju jie yra lentelėse:

Kaip prisimename, konstanta priskiriama bet kokiam antidariniui. Čia yra du integralai, bet konstantą užtenka parašyti vieną kartą (kadangi konstanta + konstanta vis tiek yra lygi kitai konstantai). Daugeliu atvejų jis dedamas dešinėje pusėje.

Griežtai tariant, paėmus integralus, diferencialinė lygtis laikoma išspręsta. Vienintelis dalykas yra tai, kad mūsų „y“ neišreiškiamas per „x“, tai yra, pateikiamas sprendimas numanomame forma. Diferencialinės lygties sprendimas implicitine forma vadinamas bendrasis integralas diferencialinė lygtis. Tai yra, tai yra bendras integralas.

Atsakymas šia forma yra gana priimtinas, bet ar yra geresnis pasirinkimas? Pabandykime gauti bendras sprendimas.

Prašau, prisiminkite pirmąją techniką, tai labai dažna ir dažnai naudojama atliekant praktines užduotis: jei po integravimo dešinėje pusėje atsiranda logaritmas, tai daugeliu atvejų (bet ne visada!) konstantą taip pat patartina rašyti po logaritmu.

Tai yra, VIETOJ dažniausiai rašomi įrašai .

Kodėl tai būtina? Ir tam, kad būtų lengviau išreikšti „žaidimą“. Naudojant logaritmų savybę . Tokiu atveju:

Dabar logaritmus ir modulius galima pašalinti:

Funkcija pateikiama aiškiai. Tai yra bendras sprendimas.

Atsakymas: bendras sprendimas: .

Atsakymus į daugelį diferencialinių lygčių gana lengva patikrinti. Mūsų atveju tai daroma gana paprastai, imame rastą sprendimą ir jį išskiriame:

Tada išvestinę pakeičiame į pradinė lygtis :

– gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad bendrasis sprendimas tenkina lygtį, kurią ir reikėjo patikrinti.

Pateikdami konstantą skirtingas vertes, galite gauti begalinį skaičių privatūs sprendimai diferencialinė lygtis. Akivaizdu, kad bet kuri iš funkcijų , ir kt. tenkina diferencialinę lygtį.

Kartais vadinamas bendrasis sprendimas funkcijų šeima. Šiame pavyzdyje bendras sprendimas yra linijinių funkcijų šeima, tiksliau, tiesioginio proporcingumo šeima.

Nuodugniai peržiūrėjus pirmąjį pavyzdį, tikslinga atsakyti į kelis naivūs klausimai apie diferencialines lygtis:

1)Šiame pavyzdyje mes galėjome atskirti kintamuosius. Ar tai visada galima padaryti? Ne ne visada. Ir dar dažniau kintamųjų negalima atskirti. Pavyzdžiui, į vienarūšės pirmos eilės lygtys, pirmiausia turite jį pakeisti. Kitų tipų lygtyse, pavyzdžiui, pirmos eilės tiesinėje nehomogeninėje lygtyje, norint rasti bendrą sprendimą, reikia naudoti įvairius metodus ir metodus. Lygtys su atskiriamais kintamaisiais, kurias svarstome pirmoje pamokoje, yra paprasčiausias diferencialinių lygčių tipas.

2) Ar visada įmanoma integruoti diferencialinę lygtį? Ne ne visada. Labai lengva sugalvoti „įmantrią“ lygtį, kurios negalima integruoti, be to, yra integralų, kurių negalima imti. Tačiau panašius DE galima išspręsti apytiksliai naudojant specialius metodus. D'Alembertas ir Košis garantuoja... ...ugh, slepiasi daugiau.Kad tik dabar daug skaityčiau, aš beveik pridėjau „iš kito pasaulio“.

3) Šiame pavyzdyje mes gavome sprendimą bendro integralo pavidalu . Ar visada galima rasti bendrą sprendimą iš bendro integralo, tai yra, aiškiai išreikšti „y“? Ne ne visada. Pavyzdžiui: . Na, kaip čia galima išreikšti „graikiškai“? Tokiais atvejais atsakymas turėtų būti rašomas kaip bendrasis integralas. Be to, kartais galima rasti bendrą sprendimą, tačiau jis parašytas taip gremėzdiškai ir nerangiai, kad geriau palikti atsakymą bendro integralo forma

4) ...galbūt kol kas užteks. Pirmajame pavyzdyje, su kuriuo susidūrėme dar vienas svarbus momentas, bet kad „manekenų“ neapimčiau naujos informacijos lavina, paliksiu tai kitai pamokai.

Mes neskubėsime. Kitas paprastas nuotolinio valdymo pultas ir kitas tipiškas sprendimas:

2 pavyzdys

Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą, atitinkantį pradinę sąlygą

Sprendimas: pagal būklę reikia susirasti privatus sprendimas DE, kuris tenkina nurodytą pradinę sąlygą. Ši klausimo formuluotė taip pat vadinama Cauchy problema.

Pirmiausia randame bendrą sprendimą. Lygtyje nėra kintamojo „x“, tačiau tai neturėtų klaidinti, svarbiausia, kad ji turėtų pirmąją išvestinę.

Išvestinę perrašome į tinkama forma:

Akivaizdu, kad kintamuosius galima atskirti, berniukus į kairę, mergaites į dešinę:

Integruokime lygtį:

Gaunamas bendrasis integralas. Čia aš nupiešiau konstantą su žvaigždute, tiesa, kad labai greitai ji pavirs kita konstanta.

Dabar bandome paversti bendrąjį integralą bendruoju sprendimu (aiškiai išreikškite „y“). Prisiminkime senus gerus dalykus iš mokyklos: . Tokiu atveju:

Indikatoriaus konstanta atrodo kažkaip nekošeriškai, todėl dažniausiai nuleidžiama ant žemės. Išsamiau, tai atsitinka taip. Naudodamiesi laipsnių savybe, funkciją perrašome taip:

Jei yra konstanta, tai taip pat yra tam tikra konstanta, perskirkime ją raide:

Atminkite, kad konstanta yra „nugriauti“. antroji technika, kuris dažnai naudojamas sprendžiant diferencialines lygtis.

Taigi bendras sprendimas yra toks: . Tai puiki eksponentinių funkcijų šeima.

Paskutiniame etape turite rasti konkretų sprendimą, kuris tenkintų nurodytą pradinę sąlygą. Tai taip pat paprasta.

Kokia užduotis? Reikia pasiimti toks konstantos reikšmę, kad sąlyga būtų įvykdyta.

Jis gali būti suformatuotas įvairiais būdais, bet tai tikriausiai bus aiškiausias būdas. Bendrajame sprendime vietoj „X“ pakeičiame nulį, o vietoj „Y“ – dviem:



Tai yra,

Standartinė versija dizainas:

Dabar rastą konstantos reikšmę pakeičiame bendruoju sprendimu:
– tai yra konkretus sprendimas, kurio mums reikia.

Atsakymas: privatus sprendimas:

Patikrinkime. Privataus sprendimo tikrinimas susideda iš dviejų etapų:

Pirmiausia reikia patikrinti, ar konkretus rastas sprendimas tikrai atitinka pradinę sąlygą? Vietoj „X“ pakeičiame nulį ir pamatome, kas atsitiks:
– taip, tikrai, buvo gautas dvejetas, vadinasi, pirminė sąlyga yra įvykdyta.

Antrasis etapas jau pažįstamas. Paimame gautą konkretų sprendimą ir randame išvestinę:

Į pradinę lygtį pakeičiame:

– gaunama teisinga lygybė.

Išvada: konkretus sprendimas buvo rastas teisingai.

Pereikime prie prasmingesnių pavyzdžių.

3 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį

Sprendimas: Išvestinę perrašome mums reikalinga forma:

Vertiname, ar galima atskirti kintamuosius? Gali. Antrąjį terminą perkeliame į dešinę, pakeisdami ženklą:

Ir mes perkeliame daugiklius pagal proporcingumo taisyklę:

Kintamieji yra atskirti, integruokime abi dalis:

Turiu jus perspėti, kad teismo diena artėja. Jei gerai nesimokote neapibrėžtieji integralai, išsprendėte keletą pavyzdžių, tada nebėra kur dėtis – dabar turėsite juos įvaldyti.

Kairiosios pusės integralą nesunku rasti su kotangento integralu naudodamiesi standartine technika, kurią apžvelgėme pamokoje Trigonometrinių funkcijų integravimas praeitais metais:

Dešinėje pusėje turime logaritmą ir, pagal mano pirmąją techninę rekomendaciją, konstanta taip pat turėtų būti parašyta po logaritmu.

Dabar bandome supaprastinti bendrąjį integralą. Kadangi turime tik logaritmus, tai visiškai įmanoma (ir būtina) jų atsikratyti. Naudojant žinomos savybės Kiek įmanoma „pakuojame“ logaritmus. Aš parašysiu labai išsamiai:

Pakuotė baigta, kad būtų barbariškai suplyšusi:

Ar įmanoma išreikšti „žaidimą“? Gali. Būtina išlyginti abi dalis kvadratu.

Bet jums to daryti nereikia.

Trečias techninis patarimas: jei norint gauti bendrą sprendimą reikia pakelti į galią arba įsišaknyti, tada Daugeliu atvejų turėtumėte susilaikyti nuo šių veiksmų ir palikti atsakymą bendro integralo forma. Faktas yra tas, kad bendras sprendimas atrodys tiesiog baisus - su didelėmis šaknimis, ženklais ir kitomis šiukšlėmis.

Todėl atsakymą rašome bendro integralo forma. Laikoma gera praktika pateikti jį forma , tai yra, dešinėje pusėje, jei įmanoma, palikite tik konstantą. To daryti nebūtina, bet įtikti profesoriui visada naudinga ;-)

Atsakymas: bendras integralas:

! Pastaba: Bendrasis bet kurios lygties integralas gali būti parašytas daugiau nei vienu būdu. Taigi, jei jūsų rezultatas nesutampa su anksčiau žinomu atsakymu, tai nereiškia, kad lygtį išsprendėte neteisingai.

Bendrąjį integralą taip pat gana lengva patikrinti, svarbiausia, kad būtų galima rasti netiesiogiai nurodytos funkcijos išvestinė. Išskirkime atsakymą:

Abu terminus padauginame iš:

Ir padalinti iš:

Pradinė diferencialinė lygtis buvo gauta tiksliai, o tai reiškia, kad bendrasis integralas buvo rastas teisingai.

4 pavyzdys

Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą, atitinkantį pradinę sąlygą. Atlikite patikrinimą.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys.

Leiskite jums priminti, kad algoritmas susideda iš dviejų etapų:
1) bendro sprendimo radimas;
2) rasti reikiamą konkretų sprendimą.

Patikra taip pat atliekama dviem etapais (žr. pavyzdį 2 pavyzdyje), jums reikia:
1) įsitikinkite, kad konkretus rastas sprendimas atitinka pradinę sąlygą;
2) patikrinkite, ar konkretus sprendimas apskritai atitinka diferencialinę lygtį.

Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

5 pavyzdys

Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą , tenkinantis pradinę sąlygą. Atlikite patikrinimą.

Sprendimas: Pirma, suraskime bendrą sprendimą. Šioje lygtyje jau yra paruošti diferencialai, o tai reiškia, kad sprendimas yra supaprastintas. Mes atskiriame kintamuosius:

Integruokime lygtį:

Kairėje esantis integralas yra lentelės formos, o dešinėje esantis integralas imamas funkcijos įtraukimo po diferencialiniu ženklu metodas:

Gautas bendrasis integralas, ar galima sėkmingai išreikšti bendrąjį sprendimą? Gali. Iš abiejų pusių pakabiname logaritmus. Kadangi jie yra teigiami, modulio ženklai nereikalingi:

(Tikiuosi, kad visi supranta transformaciją, tokius dalykus jau reikėtų žinoti)

Taigi bendras sprendimas yra toks:

Raskime tam tikrą sprendimą, atitinkantį pateiktą pradinę sąlygą.
Bendrajame sprendime vietoj „X“ pakeičiame nulį, o vietoj „Y“ – dviejų logaritmą:

Labiau pažįstamas dizainas:

Rastą konstantos reikšmę pakeičiame bendruoju sprendiniu.

Atsakymas: privatus sprendimas:

Patikrinkite: Pirmiausia patikrinkime, ar įvykdyta pradinė sąlyga:
- viskas yra gerai.

Dabar patikrinkime, ar rastas konkretus sprendimas iš viso atitinka diferencialinę lygtį. Išvestinio radimas:

Pažvelkime į pradinę lygtį: – jis pateikiamas diferencialais. Yra du būdai patikrinti. Galima išreikšti skirtumą nuo rastos išvestinės:

Rastą konkretų sprendimą ir gautą diferencialą pakeisime pradine lygtimi :

Mes naudojame pagrindinę logaritminę tapatybę:

Gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad konkretus sprendimas buvo rastas teisingai.

Antrasis tikrinimo būdas yra veidrodinis ir labiau pažįstamas: iš lygties Išreikškime išvestinę, kad tai padarytume, visas dalis padaliname iš:

O į transformuotą DE pakeičiame gautą dalinį sprendinį ir rastą išvestinę. Dėl supaprastinimų taip pat turėtų būti pasiekta teisinga lygybė.

6 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį. Pateikite atsakymą bendrojo integralo forma.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys, užbaigti sprendimą ir atsakyti pamokos pabaigoje.

Kokie sunkumai laukia sprendžiant diferencialines lygtis su atskiriamais kintamaisiais?

1) Ne visada akivaizdu (ypač „arbatinukui“), kad kintamuosius galima atskirti. Pasvarstykime sąlyginis pavyzdys: . Čia reikia išimti veiksnius iš skliaustų: ir atskirti šaknis: . Aišku ką daryti toliau.

2) Sunkumai su pačia integracija. Integralai dažnai nėra patys paprasčiausi, o jei yra trūkumų rasti įgūdžių neapibrėžtas integralas, tada su daugybe difuzorių bus sunku. Be to, logika „kadangi diferencialinė lygtis paprasta, tegul integralai būna sudėtingesni“ yra populiari tarp rinkinių ir mokymo vadovų sudarytojų.

3) Transformacijos su konstanta. Kaip visi pastebėjo, konstanta diferencialinėse lygtyse gali būti tvarkoma gana laisvai, o kai kurios transformacijos ne visada aiškios pradedančiajam. Pažvelkime į kitą sąlyginį pavyzdį: . Patartina visus terminus padauginti iš 2: . Gauta konstanta taip pat yra tam tikra konstanta, kurią galima žymėti taip: . Taip, ir kadangi dešinėje pusėje yra logaritmas, patartina konstantą perrašyti kitos konstantos forma: .

Bėda ta, kad jie dažnai nesivargina su indeksais ir naudoja tą pačią raidę. Dėl to sprendimo įrašas yra tokios formos:

Kokia erezija? Čia yra klaidų! Griežtai kalbant, taip. Tačiau, žiūrint iš esmės, klaidų nėra, nes transformuojant kintamąją konstantą vis tiek gaunama kintamoji konstanta.

Arba kitas pavyzdys, tarkime, kad sprendžiant lygtį gaunamas bendrasis integralas. Šis atsakymas atrodo negražiai, todėl patartina pakeisti kiekvieno termino ženklą: . Formaliai čia yra dar viena klaida – reikia rašyti dešinėje. Tačiau neoficialiai numanoma, kad „minus ce“ vis dar yra pastovus ( kuris taip pat lengvai gali turėti bet kokią reikšmę!), todėl dėti „minusą“ nėra prasmės ir galite naudoti tą pačią raidę.

Stengsiuosi vengti neatsargaus požiūrio, o konvertuojant konstantoms vis tiek priskirti skirtingus indeksus.

7 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį. Atlikite patikrinimą.

Sprendimas:Ši lygtis leidžia atskirti kintamuosius. Mes atskiriame kintamuosius:

Integruokime:

Nebūtina konstantos čia apibrėžti kaip logaritmą, nes iš to nieko naudingo nebus.

Atsakymas: bendras integralas:

Patikrinkite: atskirkite atsakymą ( numanoma funkcija):

Atsikratome trupmenų, padaugindami abu terminus iš:

Gauta pradinė diferencialinė lygtis, o tai reiškia, kad bendrasis integralas buvo rastas teisingai.

8 pavyzdys

Raskite konkretų DE sprendimą.
,

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Vienintelė užuomina yra ta, kad čia gausite bendrąjį integralą, o teisingiau tariant, turite sugalvoti, kad rastumėte ne konkretų sprendimą, o dalinis integralas. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Prisiminkime užduotį, su kuria susidūrėme ieškant apibrėžtųjų integralų:

arba dy = f(x)dx. Jos sprendimas:

ir reikia skaičiuoti neapibrėžtą integralą. Praktikoje dažniau pasitaiko sunki užduotis: rasti funkciją y, jei žinoma, kad jis tenkina formos santykį

Šis ryšys sieja nepriklausomą kintamąjį x, nežinoma funkcija y ir jos dariniai iki eilės n imtinai, yra vadinami .

Diferencialinė lygtis apima funkciją po vienos ar kitos eilės išvestinių (arba diferencialų) ženklu. Aukščiausia tvarka vadinama tvarka (9.1) .

Diferencialinės lygtys:

- Pirmas užsakymas,

Antras užsakymas

- penktoji tvarka ir kt.

Funkcija, kuri tenkina duotą diferencialinę lygtį, vadinama jos sprendimu , arba integralinis . Ją išspręsti reiškia rasti visus jos sprendimus. Jei reikiamai funkcijai y pavyko gauti formulę, kuri pateikia visus sprendimus, tada sakome, kad radome jos bendrą sprendimą , arba bendrasis integralas .

Bendras sprendimas yra n savavališkos konstantos ir atrodo

Jei gaunamas santykis, kuris susijęs x, y Ir n savavališkos konstantos, tokia forma, kuri neleidžiama y -

tada toks ryšys vadinamas (9.1) lygties bendruoju integralu.

Cauchy problema

Kiekvienas konkretus sprendimas, t. y. kiekviena specifinė funkcija, kuri tenkina duotą diferencialinę lygtį ir nepriklauso nuo savavališkų konstantų, vadinama konkrečiu sprendimu , arba dalinis integralas. Norint gauti konkrečius sprendinius (integralus) iš bendrųjų, konstantoms turi būti suteikiamos konkrečios skaitinės reikšmės.

Konkretaus sprendimo grafikas vadinamas integraliąja kreive. Bendrasis sprendimas, kuriame yra visi daliniai sprendiniai, yra integralinių kreivių šeima. Pirmos eilės lygčiai ši šeima priklauso nuo vienos savavališkos lygties konstantos n-tas užsakymas - nuo n savavališkos konstantos.

Koši problema yra rasti tam tikrą lygties sprendimą n- eilės, tenkina n pradinės sąlygos:

pagal kuriuos nustatoma n konstantų c 1, c 2,..., c n.

1 eilės diferencialinės lygtys

Pirmos eilės diferencialinei lygčiai, kuri yra neišspręsta išvestinės atžvilgiu, ji turi formą

arba leistinam santykinai

3.46 pavyzdys. Raskite bendrąjį lygties sprendimą

Sprendimas. Integruodami gauname

kur C yra savavališka konstanta. Jei C priskiriame konkrečias skaitines reikšmes, gauname konkrečius sprendimus, pvz.

3.47 pavyzdys. Apsvarstykite didėjančią pinigų sumą, įneštą į banką, priskaičiuojant 100 r sudėtines palūkanas per metus. Tegul Yo yra pradinė pinigų suma, o Yx - pabaigoje x metų. Jei palūkanas skaičiuoja kartą per metus, gauname

kur x = 0, 1, 2, 3,.... Kai palūkanos skaičiuojamos du kartus per metus, gauname

kur x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Skaičiuojant palūkanas n kartą per metus ir jei x paima nuoseklias reikšmes 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., tada

Nurodykite 1/n = h, tada ankstesnė lygybė atrodys taip:

Su neribotu padidinimu n(at ) riboje pasiekiame pinigų sumos didinimo procesą nuolat kaupiant palūkanas:

Taigi aišku, kad nuolat keičiantis x pinigų pasiūlos kitimo dėsnis išreiškiamas 1 eilės diferencine lygtimi. kur Y x yra nežinoma funkcija, x- nepriklausomas kintamasis, r- pastovus. Išspręskime šią lygtį, kad tai padarytume, perrašome taip:

kur , arba , kur P reiškia e C .

Iš pradinių sąlygų Y(0) = Yo randame P: Yo = Pe o, iš kur Yo = P. Todėl sprendinys turi tokią formą:

Apsvarstykime antrąjį ekonomine problema. Makroekonominiai modeliai taip pat aprašomi I eilės tiesinėmis diferencialinėmis lygtimis, apibūdinančiomis pajamų arba produkcijos Y pokyčius kaip laiko funkcijas.

3.48 pavyzdys. Tegul nacionalinės pajamos Y didėja proporcingai jų vertei:

ir tegul valdžios sektoriaus išlaidų deficitas yra tiesiogiai proporcingas pajamoms Y su proporcingumo koeficientu q. Dėl išlaidų deficito didėja valstybės skola D:

Pradinės sąlygos Y = Yo ir D = Do, kai t = 0. Iš pirmosios lygties Y = Yoe kt. Pakeitę Y gauname dD/dt = qYoe kt . Bendras sprendimas turi formą
D = (q/ k) Yoe kt +С, kur С = const, kuris nustatomas iš pradinių sąlygų. Pakeitę pradines sąlygas, gauname Do = (q/ k)Yo + C. Taigi, galiausiai,

D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),

tai rodo, kad valstybės skola didėja tokiu pačiu santykiniu tempu k, tokios pat kaip nacionalinės pajamos.

Panagrinėkime paprasčiausias diferencialines lygtis n eilės, tai yra formos lygtys

Jo bendrą sprendimą galima gauti naudojant n kartų integracijos.

3.49 pavyzdys. Apsvarstykite pavyzdį y """ = cos x.

Sprendimas. Integruodami, randame

Bendras sprendimas turi formą

Tiesinės diferencialinės lygtys

Jie plačiai naudojami ekonomikoje, pasvarstykime, kaip išspręsti tokias lygtis. Jei (9.1) turi tokią formą:

tada jis vadinamas tiesiniu, kur рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) - nurodytas funkcijas. Jei f(x) = 0, tai (9.2) vadinamas vienarūšiu, kitu atveju nehomogeniniu. Bendrasis lygties (9.2) sprendinys yra lygus bet kurio konkrečių jos sprendinių sumai y(x) ir ją atitinkančios homogeninės lygties bendras sprendinys:

Jei koeficientai р o (x), р 1 (x),..., р n (x) yra pastovūs, tai (9.2)

(9.4) vadinama tiesine diferencialine lygtimi su pastoviais eilės koeficientais n .

(9.4) turi tokią formą:

Neprarasdami bendrumo, galime nustatyti p o = 1 ir įrašyti (9.5) į formą

Ieškosime (9.6) sprendinio formoje y = e kx, kur k yra konstanta. Mes turime: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Pakeisdami gautas išraiškas į (9.6), turėsime:

(9.7) yra algebrinė lygtis, jos nežinomas yra k, tai vadinama charakteristika. Būdingoji lygtis turi laipsnį n Ir nšaknys, tarp kurių gali būti tiek daug, tiek sudėtingų. Tegul k 1 , k 2 ,..., k n yra tikri ir skirtingi - konkretūs sprendimai (9.7) ir bendrieji

Apsvarstykite tiesinę homogeninę antros eilės diferencialinę lygtį su pastoviais koeficientais:

Jai būdinga lygtis turi formą

(9.9)

jo diskriminantas D = p 2 - 4q, priklausomai nuo D ženklo, galimi trys atvejai.

1. Jei D>0, tai šaknys k 1 ir k 2 (9.9) yra tikrosios ir skirtingos, o bendrasis sprendinys turi tokią formą:

Sprendimas. Charakteristinė lygtis: k 2 + 9 = 0, iš kur k = ± 3i, a = 0, b = 3, bendrasis sprendimas turi tokią formą:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Tyrime naudojamos 2 eilės tiesinės diferencialinės lygtys ekonominis modelis voratinklio tipas su prekių atsargomis, kai P kainos kitimo greitis priklauso nuo atsargų dydžio (žr. 10 punktą). Jei pasiūla ir paklausa yra tiesinės kainos funkcijos, tai yra

a yra konstanta, kuri lemia reakcijos greitį, tada kainos kitimo procesas apibūdinamas diferencine lygtimi:

Tam tikram sprendimui galime paimti konstantą

prasminga pusiausvyros kaina. Nukrypimas tenkina vienalytė lygtis

(9.10)

Būdinga lygtis bus tokia:

Jei terminas teigiamas. Pažymėkime . Charakteristinės lygties k 1,2 = ± i w šaknys, todėl bendrasis sprendinys (9.10) turi tokią formą:

kur C ir yra savavališkos konstantos, jos nustatomos iš pradinių sąlygų. Gavome kainų kitimo laikui bėgant dėsnį: