Monomo pakėlimas iki natūralios galios yra taisyklė. Vaizdo pamoka „Monomilių dauginimas

Apibrėžimas, kaip padauginti monomio iš monomio, apima monomio pakėlimą į laipsnį. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime, kaip išspręsti pavyzdžius natūralus rodiklis su visais niuansais.

Monomalio dauginimo iš laipsnio taisyklė

Norint pakelti monomiją į galią, reikia visą veiksmą padalyti į kelis etapus.

Panagrinėkime daugianario sprendimą standartinis vaizdas 2 · x · y 5 . Pakėlus iki 3 laipsnio, gauname, kad (2 · x · y 5) 3 . At išsamus svarstymas matyti, kad jis susideda iš 2, x ir y 5 formos faktorių. Tada galite atlikti tapatybės transformacija naudojant laipsnių savybes.

Įjungta pradinis etapas nustatome, kad (2 x y 5) 3 = 2 3 x 3 (y 5) 3, po to pakeičiame (y 5) 3 y 15, tada gauname 2 3 · x 3 · (y 5) 3 = 2 3 · x 3 · y 15 formos išraišką. Galite dirbti padidindami skaičių 2 iki laipsnio. Gauname, kad 2 3 = 8 galima pakeisti 8 x 3 y 15 . Tai standartinės formos daugianario.

1 apibrėžimas

Yra mononomo pakėlimo į valdžią taisyklės:

• įrašyti išraišką;
• gaminio pakėlimo į galią savybės taikymas;
• Taikykite laipsnio laipsnio didinimo savybę ir apskaičiuokite skaičių laipsnius.

2 apibrėžimas

Monomo pakėlimo į laipsnį rezultatas yra naujas monomis. Sukūrę standartine forma, taip pat gauname standartinės formos daugianarį.

Pavyzdžiai

Pažvelkime į daugianario pakėlimo į laipsnius sprendimų pavyzdžius.

1 pavyzdys

Pakelkite iki laipsnio daugianario (x · y) 10 , - 1 4 · x , (− 0 , 3 · a 2 · b 3 · c 4) 3 .

Sprendimas

Norint pakelti į laipsnį, reikia naudoti formos (x · y) 10 = x 10 · y 10 eksponencijos taisyklę, tada matome, kad gauta išraiška laipsnyje neturi galių. Tada jums reikia pereiti prie kito žingsnio. Mes tai gauname

1 1 4 x 2 = - 1 1 4 2 x 2

Paskutinė išraiška turi formos dalį - 1 1 4 2, kurią reikia pakeisti. Tada - 1 1 4 2 = - 1 1 4 2 x 2 = 1 9 16 x 2, tada - 1 1 4 2 x 2 = 1 9 16 x 2

Trumpas įrašas atrodo taip:

1 1 4 x 2 = - 1 1 4 2 x 2 = 1 9 16 x 2

Dabar reikia pakelti gaminį iki galios:

(− 0 , 3 · a 2 · b 3 · c 4) 3 = (− 0, 3) 3 · (a 2) 3 · (b 3) 3 · (c 4) 3 .

Panaudoję galios savybę, nustatome, kad turime apskaičiuoti (− 0, 3) 3. Tai aišku

(a 2) 3 = a 2 3 = a 6, (b 3) 3 = b 3 3 = b 9, (c 4) 3 = c 4 3 = c 12

(− 0 , 3) ​​3 = (− 0, 3) · (− 0, 3) · (− 0, 3) = − 0, 027, tada mes tai gauname − 0,027 a 6 b 9 c 12.

Trumpas sprendimas pavaizduotas taip: (− 0, 3 · a 2 · b 3 · c 4) 3 = (− 0, 3) 3 · (a 2) 3 · (b 3) 3 · (c 4) 3 = − 0, 027 · a 6 · b 9 · c 12.

Atsakymas: (x · y) 10 = x 10 · y 10, - 1 1 4 · x = 1 9 16 · x 2 ir (− 0, 3 · a 2 · b 3 · c 4) 3 = − 0, 027 · a 6 b 9 c 12

Toliau pateiktame pavyzdyje bus parodytas nestandartinės formos monomio eksponencija.

2 pavyzdys

Kvadratas daugianario formos 2 x 3 5 x .

Sprendimas

Pagal sąlygą turime, kad daugianomas nėra parašytas standartine forma. Tai reiškia, kad būtina jį kvadratuoti. Tada gauname formos (2 x 3 5 x) 2 = 2 2 (x 3) 2 5 2 x 2 = 4 x 6 25 x 2 išraišką. Turėdami gautą monomiją, turėtumėte pereiti į standartinę 100 x 8 formą.

Pradinę išraišką užrašome 2 x 3 5 x = 10 x 4, po to atliekame kėlimą į 2 laipsnį. Mes gauname: (10 x 4) 2 = 10 2 (x 4) 2 = 100 x 8.

Akivaizdu, kad rezultatas yra lygiavertis. Tai yra, norėdami išspręsti, galite sumažinti išraišką iki standartinės formos arba išspręsti ją pagal sąlygą, rezultatas bus toks pat.

Atsakymas:(2 x 3 x 5 x) 2 = 100 x 8.

Keliant į laipsnį, atsiranda niuansas, kai prieš daugianarį yra minusas. Jei turime tokią išraišką kaip − a 4 · b 7 · c 2 , tai rastume, kad - 1 yra daugianario koeficientas. Leidžiama tai aiškiai parašyti.

3 pavyzdys

Pakelkite iki laipsnio (− x 2 · y 4) 3 .

Sprendimas

Pagal sąlygą turime, kad - 1 yra išraiškos koeficientas, tada jį reikia parašyti aiškiai: (− x 2 · y 4) 3 = (− 1 · x 2 · y 4) 3. Naudodamiesi eksponencijos taisyklėmis, nustatome, kad išraiška yra (− 1 x 2 y 4) 3 = (− 1) 3 (x 2) 3 (y 4) 3 = − 1 x 6 y 12. Koeficiento - 1 buvimas rašomas tiesiog kaip − x 6 · y 12

Reikalinga išraiška yra (− x 2 · y 4) 3 = (− 1 · x 2 · y 4) 3 = (− 1) 3 · (x 2) 3 · (y 4) 3 = − 1 · x 6 · y 12 = − x 6 · y 12 .

Atsakymas:(− x 2 · y 4) 3 = − x 6 · y 12 .

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

>>Matematika: monomijų dauginimas, monomio pakėlimas iki natūralus laipsnis

Monomijų dauginimas. Monomo pakėlimas į natūralią galią

Raskite trijų vienatūrių sandaugą: 2a 2 bc 5,
Sprendimas. Turime:

Supaprastinkite išraišką (- 2a 2 bc 3) 5 (t. y. pavaizduokite ją kaip monomiją).

Sprendimas (- 2a 2 bc 3) 5 = - 2 5 (a 2) 5 b 5 (c 3) 5 = -32a 10 b 5 c15.

Pirmiausia naudojome faktą, kad keldami produktą į laipsnį, kiekvieną veiksnį turime padidinti iki šios galios. Todėl turime įrašą 2 5 (a 2) 5 b5 (c 3) 5 .

Antra, pasinaudojome tuo, kad (- 2) 5 = - 2 5.

Trečia, mes panaudojome faktą, kad pakeliant laipsnį į laipsnį, rodikliai dauginami. Todėl vietoj (a 2) 5 parašėme 10, o vietoj (c 3) 5 – c 15.

Pavaizduokite monomiją 36a 2 b 4 c 5 kaip monomijų sandaugą.

Sprendimas. Čia, kaip 2 pavyzdyje iš § 10, sprendimas nėra unikalus. Štai keletas sprendimų:

36a 2 b 4 c 5 =(18a 2) (2b 4 c 5);
36a 2 b 4 c 5 =(36abc) (ab 3 c 4),
36a 2 b 4 c 5 = (- 3b 4) (- 12a 2 c 5);
36a 2 b 4 c 5 =(2a 3) (3bc) (6b 3 c 4)

Pabandykite patys sugalvoti dar kelis 3 pavyzdžio sprendimus.

A. V. Pogorelovas, Geometrija 7-11 klasei, Vadovėlis skirta švietimo įstaigų

IN šią pamoką Apžvelgsime monomijų dauginimo ir pakėlimo į natūraliąsias galias operacijas, išsiaiškinsime, kokiais monomijomis galima atlikti šias operacijas. Prisiminkime galios pakėlimo į galią taisyklę. Išmoksime išspręsti kai kurias tipines problemas, būtent išraiškų supaprastinimą, eksponenciją ir atvirkštinę problemą.

Tema:Monomilai. Aritmetinės operacijos su vienanariais

Pamoka:Monomijų dauginimas, natūralių galių pakėlimas

Iš ankstesnių pamokų prisiminėme, kad galite pridėti ir atimti vienanarius, bet tik panašius, bet galite padauginti ir pakelti bet kokius vienatūrius iki natūralios laipsnio. Išsiaiškinkime, kodėl tai įmanoma, žiūrėdami pavyzdžius.

1 pavyzdys: . Šis monomis sumažinamas iki standartinės formos. Ką reiškia padauginti jį iš kito monomio?

;

Ir visa tai padauginkite iš trečiojo monomio:

;

Dėl to mes gavome monomiją - skaičių ir laipsnių sandaugą nestandartine forma. Iš to išplaukia, kad bet kokie monomai gali būti padauginti.

Sumažinkime gautą monomiją iki standartinės formos:

Kadangi pakėlimas į laipsnį iš tikrųjų yra monomio padauginimas iš savęs tam tikrą skaičių kartų, o bet kokie monomilai gali būti padauginti, mes turime visas teises pakelti monomius ir vėl bet kokius į natūralią galią.

Pažiūrėkime į pavyzdžius.

1 pavyzdys:

2 pavyzdys:

3 pavyzdys:

Pastabos apie 1-3 pavyzdžius: padauginus du ar daugiau vienanarių, gaunamas naujas nestandartinės formos monomis, todėl norint atlikti daugybos operaciją, tereikia konvertuoti šį naują vienanarį į standartinę formą.

Pažvelkime į monomio pakėlimo į galią pavyzdžius.

1 pavyzdys:

2 pavyzdys:

3 pavyzdys:

4 pavyzdys:

Komentarai apie 1-4 pavyzdžius: keldami monomiją į laipsnį, pirmiausia turite pakelti jo koeficientą iki laipsnio, o tada raidės dalį. Norėdami tai padaryti, turėtumėte prisiminti laipsnio didinimo iki laipsnio taisyklę, būtent, kad eksponentai yra dauginami. Be to, spręsdami 3 ir 4 pavyzdžius, turėtumėte atsiminti, kad „-1“ bet kokiam lyginiam laipsniui duos „1“, o nelyginiam – „-1“.

Panagrinėkime tipines užduotis:

1 pavyzdys: ir

Kadangi „2“ yra natūrali galia, o monomiją galime pakelti iki bet kokios prigimtinės galios, atlikime pirmą veiksmą:

Norėdami išspręsti antrąjį veiksmą, turime atsiminti, kad bet kuris skaičius iki nulio laipsnio yra vienas, su sąlyga, kad šis skaičius nėra nulis, nes jis neturi reikšmės, tai yra, mes turime teisę rašyti:

2 pavyzdys: vietoj „*“ ženklo įdėkite monomiją taip, kad galiotų lygybė:

Kairėje pusėje koeficientas vis dar yra trys, o dešinėje – devyni, vadinasi, kairėje trūksta trijų; kintamasis b kairėje pusėje yra antrajame laipsnyje, o dešinėje - trečiajame, o tai reiškia kairėje pusėje reikia padauginti iš b iki pirmojo laipsnio:

Apsvarstykite šiuos dalykus tipinė užduotis. Pristatykite suteiktas monomialas kokio nors monomio kvadrato pavidalu:

1 pavyzdys: ;

Turite nustatyti, kurį vienanarį kvadratu norite gauti.

Norėdami gauti 81, turite įvesti 9 kvadratą, tai yra, norimo monomio koeficientas yra 9.

Norėdami gauti , turime jį kvadratu, todėl turime:

;

Tačiau kyla klausimas: ar mūsų pateiktas atsakymas yra vienareikšmis? Ar galima rasti kitą vienanarį, kurį padalijus kvadratu, gautųsi duotoji monomalė?

Norėdami atsakyti į šį klausimą, prisiminkime, kad , tai yra, yra dar vienas monomis, kurį pateikus kvadratu, bus gautas duotasis – tai yra .

2 pavyzdys:

Šis pavyzdys išspręstas panašiai kaip ir ankstesnis.

Apsvarstykite supaprastinimo problemą

1 pavyzdys:

Išvada: šioje pamokoje apžvelgėme monomijų dauginimo ir pakėlimo į natūralią galią operacijas ir išmokome išspręsti kai kurias tipines problemas.