Monomo samprata
Monomalio apibrėžimas: monomialas yra algebrinė išraiška, kuris naudoja tik daugybą.
Standartinė monomilo forma
Kokia yra standartinė monomilo forma? Monomialas rašomas standartine forma, jei jis pirmiausia turi skaitinį koeficientą ir šis koeficientas vadinamas monomio koeficientu, monomilyje yra tik vienas, monomio raidės yra abėcėlės tvarka ir kiekviena raidė pasitaiko tik vieną kartą.
Standartinės formos monomio pavyzdys:
čia visų pirma yra skaičius, monomio koeficientas, o šis skaičius yra tik vienas mūsų viename, kiekviena raidė pasitaiko tik vieną kartą ir raidės yra išdėstytos abėcėlės tvarka, šiuo atveju tai lotyniška abėcėlė.
Kitas standartinės formos monomio pavyzdys:
kiekviena raidė pasirodo tik vieną kartą, jos išdėstytos lotynų abėcėlės tvarka, bet kur yra monomio koeficientas, t.y. skaitinis veiksnys, kuris turėtų būti pirmas? Jis čia lygus vienam: 1 adm.
Ar monomio koeficientas gali būti neigiamas? Taip, galbūt, pavyzdžiui: -5a.
Ar monomio koeficientas gali būti trupmeninis? Taip, galbūt, pavyzdžiui: 5.2a.
Jeigu monomialas susideda tik iš skaičiaus, t.y. neturi laiškų, kaip jį atnešti standartinis vaizdas? Bet koks skaičius, kuris yra skaičius, jau yra standartinės formos, pavyzdžiui: skaičius 5 yra standartinės formos monomis.
Monomijų sumažinimas iki standartinės formos
Kaip pakeisti monomiją į standartinę formą? Pažiūrėkime į pavyzdžius.
Tegu pateikiamas monomialas 2a4b, kad jis būtų standartinis. Padauginame du jo skaitinius koeficientus ir gauname 8ab. Dabar monomialas rašomas standartine forma, t.y. turi tik vieną skaitinį veiksnį, parašytas pirmoje vietoje, kiekviena raidė monomijoje pasitaiko tik vieną kartą ir šios raidės yra išdėstytos abėcėlės tvarka. Taigi 2a4b = 8ab.
Pateikta: monomialas 2a4a, perkelkite monomiją į standartinę formą. Skaičius 2 ir 4 padauginame, sandaugą aa pakeisdami antrąja laipsniu 2. Gauname: 8a 2 . Tai yra standartinis vaizdas suteiktas monomialas. Taigi 2a4a = 8a 2 .
Panašūs monomai
Kas yra panašūs monomai? Jei monomai skiriasi tik koeficientais arba yra lygūs, tada jie vadinami panašiais.
Panašių vienatūrių pavyzdys: 5a ir 2a. Šie monomai skiriasi tik koeficientais, vadinasi, yra panašūs.
Ar monomiečiai 5abc ir 10cba panašūs? Perkelkime antrąjį mononomą į standartinę formą ir gaukime 10abc. Dabar matome, kad monomai 5abc ir 10abc skiriasi tik savo koeficientais, vadinasi, yra panašūs.
Monomijų pridėjimas
Kokia yra monomijų suma? Galime tik sumuoti panašius monomelius. Pažvelkime į monomijų pridėjimo pavyzdį. Kokia yra vienanarių 5a ir 2a suma? Šių vienanarių suma bus į juos panašus mononomas, kurio koeficientas lygi sumai terminų koeficientai. Taigi, monomijų suma yra 5a + 2a = 7a.
Daugiau monomijų pridėjimo pavyzdžių:
2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4
Vėlgi. Galite pridėti tik panašius vienatūrius;
Monomijų atėmimas
Kuo skiriasi monomijos? Galime atimti tik panašius vienatūrius. Pažvelkime į monomijų atėmimo pavyzdį. Kuo skiriasi monomilai 5a ir 2a? Šių monomijų skirtumas bus panašus į juos mononomas, kurio koeficientas lygus skirtumuišių monomijų koeficientai. Taigi, monomijų skirtumas yra 5a - 2a = 3a.
Daugiau monomijų atėmimo pavyzdžių:
10a 2 - 3a 2 = 7a 2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4
Monomijų dauginimas
Kas yra monomijų sandauga? Pažiūrėkime į pavyzdį:
tie. monomijų sandauga yra lygi monomiui, kurio faktoriai yra sudaryti iš pirminių monomijų faktorių.
Kitas pavyzdys:
2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .
Kaip atsirado šis rezultatas? Kiekviename koeficiente yra laipsnis „a“: pirmame - „a“ iki 2 laipsnio, o antrajame - „a“ iki 5 laipsnio. Tai reiškia, kad gaminyje bus laipsnio „a“ iš 7, nes padauginus identiškas raides, jų laipsniai išsiskleidžia:
A 2 * a 5 = a 7 .
Tas pats pasakytina ir apie faktorių „b“.
Pirmojo koeficiento koeficientas yra du, o antrojo – vienas, taigi rezultatas yra 2 * 1 = 2.
Rezultatas buvo apskaičiuotas taip: 2a 7 b 12.
Iš šių pavyzdžių aišku, kad monomijų koeficientai dauginami, o identiškos raidės sandaugoje pakeičiamos jų galių sumomis.
Šioje pamokoje pateiksime griežtą monomio apibrėžimą, apsvarstykite įvairių pavyzdžių iš vadovėlio. Prisiminkime galių dauginimo tais pačiais pagrindais taisykles. Apibrėžkime standartinę monomio formą, monomio ir jo raidinės dalies koeficientą. Panagrinėkime dvi pagrindines standartines operacijas su monomijomis, ty sumažinimą iki standartinės formos ir konkretaus apskaičiavimą skaitinė reikšmė monomialas at duotomis vertybėmisį jį įtraukti pažodiniai kintamieji. Suformuluokime taisyklę, kaip monomiją redukuoti į standartinę formą. Mokykimės spręsti tipinės užduotys su bet kokiais monomijomis.
Tema:Monomilai. Aritmetinės operacijos su vienanariais
Pamoka:Monomo samprata. Standartinė monomilo forma
Apsvarstykite keletą pavyzdžių:
3. 
;
Mes rasime bendrų bruožų pateiktoms išraiškoms. Visais trimis atvejais išraiška yra skaičių ir kintamųjų, pakeltų iki laipsnio, sandauga. Remdamiesi tuo mes suteikiame mononominis apibrėžimas : monomialas yra algebrinė išraiška, kurią sudaro laipsnių ir skaičių sandauga.
Dabar pateikiame išraiškų, kurios nėra monomijos, pavyzdžius:
Raskime skirtumą tarp šių ir ankstesnių posakių. Tai susideda iš to, kad 4-7 pavyzdžiuose yra sudėjimo, atimties ar padalijimo operacijos, o 1-3 pavyzdžiuose, kurie yra monomijos, šių operacijų nėra.
Štai dar keli pavyzdžiai:
Išraiška skaičius 8 yra vienareikšmė, nes ji yra laipsnio ir skaičiaus sandauga, o 9 pavyzdys nėra monomialas.
Dabar išsiaiškinkime veiksmai su monomijomis .
1. Supaprastinimas. Pažvelkime į pavyzdį Nr. 3 ;ir pavyzdys Nr. 2 /
Antrame pavyzdyje matome tik vieną koeficientą - , kiekvienas kintamasis pasitaiko tik vieną kartą, tai yra kintamasis " A" yra vaizduojamas vienoje kopijoje kaip "", taip pat kintamieji "" ir "" rodomi tik vieną kartą.
Pavyzdyje Nr. 3, priešingai, yra du skirtingi koeficientai - ir , kintamąjį "" matome du kartus - kaip "" ir kaip "", panašiai, kintamasis "" pasirodo du kartus. tai yra ši išraiška turėtų būti supaprastintas, todėl mes pasiekiame pirmas veiksmas, atliktas su monomijomis, yra monomijos sumažinimas iki standartinės formos . Norėdami tai padaryti, sumažinsime išraišką iš 3 pavyzdžio į standartinę formą, tada apibrėžsime šią operaciją ir sužinosime, kaip sumažinti bet kokį monomiją į standartinę formą.
Taigi, apsvarstykite pavyzdį:
Pirmasis veiksmas redukuojant į standartinę formą visada yra visų skaitinių faktorių padauginimas:
;
Rezultatas šio veiksmo bus pašauktas monomialo koeficientas .
Toliau reikia padauginti galias. Padauginkime kintamojo laipsnius " X"pagal laipsnių dauginimo tais pačiais pagrindais taisyklę, kuri teigia, kad dauginant laipsniai pridedami:
Dabar padauginkime galias“ adresu»:
;
Taigi, čia yra supaprastinta išraiška:
;
Bet koks monomas gali būti sumažintas iki standartinės formos. Suformuluokime standartizacijos taisyklė :
Padauginkite visus skaitinius veiksnius;
Įdėkite gautą koeficientą į pirmąją vietą;
Padauginkite visus laipsnius, tai yra, gaukite raidės dalį;
Tai yra, bet kuriam monomiui būdingas koeficientas ir raidinė dalis. Žvelgiant į ateitį, pastebime, kad monomai, turintys tą pačią raidės dalį, vadinami panašiais.
Dabar turime pasitreniruoti monomijų sumažinimo iki standartinės formos technika . Apsvarstykite pavyzdžius iš vadovėlio:
Užduotis: perkelkite monomiją į standartinę formą, įvardykite koeficientą ir raidės dalį.
Norėdami atlikti užduotį, naudosime monomio redukavimo į standartinę formą taisyklę ir laipsnių savybes.
1. 
;
3. 
;
Komentarai apie pirmąjį pavyzdį: Pirmiausia nustatykime, ar ši išraiška tikrai yra vienareikšmė. Galime sakyti, kad ši išraiška yra monominė, nes tenkinama aukščiau pateikta sąlyga. Toliau, vadovaudamiesi monomio sumažinimo į standartinę formą taisykle, padauginame skaitinius veiksnius:
- radome duoto monomio koeficientą;
; ; ; tai yra, gaunama pažodinė išraiškos dalis:;
Užsirašykime atsakymą: ;
Komentarai dėl antrojo pavyzdžio: Vykdome taisyklę:
1) padauginkite skaitinius veiksnius:
2) padauginkite laipsnius:
Kintamieji pateikiami vienu egzemplioriumi, tai yra, jų negalima padauginti iš nieko, jie perrašomi be pakeitimų, laipsnis padauginamas:
Užsirašykime atsakymą:
;
IN šiame pavyzdyje vienanario koeficientas lygus vienetui, o raidės dalis – .
Komentarai dėl trečiojo pavyzdžio: a Panašiai kaip ir ankstesniuose pavyzdžiuose, atliekame šiuos veiksmus:
1) padauginkite skaitinius veiksnius:
;
2) padauginkite laipsnius:
;
Užsirašykime atsakymą: ;
Šiuo atveju monomio koeficientas yra „“, o raidės dalis 
.
Dabar pasvarstykime antroji standartinė monomijų operacija . Kadangi monomialas yra algebrinė išraiška, susidedanti iš pažodinių kintamųjų, kurie gali būti specifiniai skaitines reikšmes, tada turime aritmetiką skaitinė išraiška, kurį reikėtų apskaičiuoti. Tai yra, kita daugianario operacija yra apskaičiuojant jų konkrečią skaitinę reikšmę .
Pažiūrėkime į pavyzdį. Pateiktas mononominis:
šis monomialas jau sumažintas iki standartinės formos, jo koeficientas lygus vienetui, o raidinė dalis
Anksčiau sakėme, kad algebrinė išraiška ne visada gali būti apskaičiuota, tai yra, į ją įtraukti kintamieji negali įgyti jokios reikšmės. Monomo atveju į jį įtraukti kintamieji gali būti bet kokie.
Taigi, į pateiktas pavyzdys reikia apskaičiuoti monomio reikšmę ties , , , .
Matematikoje yra daug įvairių matematinių išraiškų, kai kurios iš jų turi savo pavadinimus. Netrukus susipažinsime su viena iš šių sąvokų – tai monomialas.
Monomiškas yra matematinė išraiška, kurį sudaro skaičių sandauga, kintamieji, kurių kiekvienas tam tikru mastu gali būti įtrauktas į sandaugą. Norėdami geriau suprasti naująją koncepciją, turite susipažinti su keliais pavyzdžiais.
Monomijų pavyzdžiai
4 išraiškos, x^2 , -3*a^4, 0,7*c, ¾*y^2 yra monomai. Kaip matote, tik vienas skaičius arba kintamasis (su galia arba be jo) taip pat yra vienareikšmis. Bet, pavyzdžiui, išraiškos 2+c, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 jau yra nėra monomai, nes jie neatitinka apibrėžimų. Pirmoji išraiška vartoja „suma“, o tai yra nepriimtina, antroji – „dalyba“, o trečioji – skirtumą.
Pasvarstykime dar keli pavyzdziai.
Pavyzdžiui, išraiška 2*a^3*b/3 taip pat yra vienareikšmė, nors yra dalybos. Bet šiuo atveju dalyba įvyksta iš skaičiaus, todėl atitinkamą išraišką galima perrašyti taip: 2/3*a^3*b. Kitas pavyzdys: Kuri iš reiškinių 2/x ir x/2 yra vienareikšmė, o kuri ne? Teisingas atsakymas yra tas, kad pirmoji išraiška nėra vienareikšmė, o antroji yra vienareikšmė.
Standartinė monomilo forma
Pažvelkite į šias dvi vienarūšes išraiškas: ¾*a^2*b^3 ir 3*a*1/4*b^3*a. Tiesą sakant, tai yra du vienodi monomai. Ar ne tiesa, kad pirmoji išraiška atrodo patogesnė už antrąją?
Taip yra todėl, kad pirmoji išraiška parašyta standartine forma. Standartinė daugianario forma yra sandauga, sudaryta iš skaitinio koeficiento ir įvairių kintamųjų laipsnių. Skaitinis koeficientas vadinamas monomio koeficientu.
Norint paversti monomiją į standartinę formą, pakanka padauginti visus monomile esančius skaitinius veiksnius ir pateikti gautą skaičių į pirmąją vietą. Tada padauginkite visas galias, turinčias tą pačią raidžių bazę.
Monomo sumažinimas iki standartinės formos
Jei mūsų pavyzdyje antroje išraiškoje padauginsime visus skaitinius veiksnius iš 3*1/4 ir tada padauginsime a*a, gausime pirmąjį monomį. Šis veiksmas vadinamas monomio sumažinimu iki standartinės formos.
Jei skiriasi tik du monomai skaitinis koeficientas arba yra lygiaverčiai vienas kitam, tada tokie monomilai matematikoje vadinami panašiais.
Šioje pamokoje pateiksime griežtą monomilo apibrėžimą ir pažvelgsime į įvairius vadovėlio pavyzdžius. Prisiminkime galių dauginimo tais pačiais pagrindais taisykles. Apibrėžkime standartinę monomio formą, monomio ir jo raidinės dalies koeficientą. Panagrinėkime dvi pagrindines tipines operacijas su monomijomis, būtent sumažinimą iki standartinės formos ir konkrečios skaitinės monomijos vertės apskaičiavimą tam tikroms į jį įtrauktų pažodinių kintamųjų reikšmėms. Suformuluokime taisyklę, kaip monomiją redukuoti į standartinę formą. Sužinokime, kaip išspręsti standartines problemas naudojant bet kokius monomelius.
Tema:Monomilai. Aritmetinės operacijos su vienanariais
Pamoka:Monomo samprata. Standartinė monomilo forma
Apsvarstykite keletą pavyzdžių:
3. ;
Raskime bendrus pateiktų posakių bruožus. Visais trimis atvejais išraiška yra skaičių ir kintamųjų, pakeltų iki laipsnio, sandauga. Remdamiesi tuo mes suteikiame mononominis apibrėžimas : monomialas yra algebrinė išraiška, kurią sudaro laipsnių ir skaičių sandauga.
Dabar pateikiame išraiškų, kurios nėra monomijos, pavyzdžius:
Raskime skirtumą tarp šių ir ankstesnių posakių. Tai susideda iš to, kad 4-7 pavyzdžiuose yra sudėjimo, atimties ar padalijimo operacijos, o 1-3 pavyzdžiuose, kurie yra monomijos, šių operacijų nėra.
Štai dar keli pavyzdžiai:
Išraiška skaičius 8 yra vienareikšmė, nes ji yra laipsnio ir skaičiaus sandauga, o 9 pavyzdys nėra monomialas.
Dabar išsiaiškinkime veiksmai su monomijomis .
1. Supaprastinimas. Pažvelkime į pavyzdį Nr. 3 ;ir pavyzdys Nr. 2 /
Antrame pavyzdyje matome tik vieną koeficientą - , kiekvienas kintamasis pasitaiko tik vieną kartą, tai yra kintamasis " A" yra vaizduojamas vienoje kopijoje kaip "", taip pat kintamieji "" ir "" rodomi tik vieną kartą.
Pavyzdyje Nr. 3, priešingai, yra du skirtingi koeficientai - ir , kintamąjį "" matome du kartus - kaip "" ir kaip "", panašiai, kintamasis "" pasirodo du kartus. Tai reiškia, kad ši išraiška turėtų būti supaprastinta, todėl mes pasiekiame pirmas veiksmas, atliktas su monomijomis, yra monomijos sumažinimas iki standartinės formos . Norėdami tai padaryti, sumažinsime išraišką iš 3 pavyzdžio į standartinę formą, tada apibrėžsime šią operaciją ir sužinosime, kaip sumažinti bet kokį monomiją į standartinę formą.
Taigi, apsvarstykite pavyzdį:
Pirmasis veiksmas redukuojant į standartinę formą visada yra visų skaitinių faktorių padauginimas:
;
Šio veiksmo rezultatas bus vadinamas monomialo koeficientas .
Toliau reikia padauginti galias. Padauginkime kintamojo laipsnius " X"pagal laipsnių dauginimo tais pačiais pagrindais taisyklę, kuri teigia, kad dauginant laipsniai pridedami:
Dabar padauginkime galias“ adresu»:
;
Taigi, čia yra supaprastinta išraiška:
;
Bet koks monomas gali būti sumažintas iki standartinės formos. Suformuluokime standartizacijos taisyklė :
Padauginkite visus skaitinius veiksnius;
Įdėkite gautą koeficientą į pirmąją vietą;
Padauginkite visus laipsnius, tai yra, gaukite raidės dalį;
Tai yra, bet kuriam monomiui būdingas koeficientas ir raidinė dalis. Žvelgiant į ateitį, pastebime, kad monomai, turintys tą pačią raidės dalį, vadinami panašiais.
Dabar turime pasitreniruoti monomijų sumažinimo iki standartinės formos technika . Apsvarstykite pavyzdžius iš vadovėlio:
Užduotis: perkelkite monomiją į standartinę formą, įvardykite koeficientą ir raidės dalį.
Norėdami atlikti užduotį, naudosime monomio redukavimo į standartinę formą taisyklę ir laipsnių savybes.
1. ;
3. ;
Komentarai apie pirmąjį pavyzdį: Pirmiausia nustatykime, ar ši išraiška tikrai yra vienareikšmė. Galime sakyti, kad ši išraiška yra monominė, nes tenkinama aukščiau pateikta sąlyga. Toliau, vadovaudamiesi monomio sumažinimo į standartinę formą taisykle, padauginame skaitinius veiksnius:
- radome duoto monomio koeficientą;
; ; ; tai yra, gaunama pažodinė išraiškos dalis:;
Užsirašykime atsakymą: ;
Komentarai dėl antrojo pavyzdžio: Vykdome taisyklę:
1) padauginkite skaitinius veiksnius:
2) padauginkite laipsnius:
Kintamieji pateikiami vienu egzemplioriumi, tai yra, jų negalima padauginti iš nieko, jie perrašomi be pakeitimų, laipsnis padauginamas:
Užsirašykime atsakymą:
;
Šiame pavyzdyje monomio koeficientas yra lygus vienetui, o raidės dalis yra .
Komentarai dėl trečiojo pavyzdžio: a Panašiai kaip ir ankstesniuose pavyzdžiuose, atliekame šiuos veiksmus:
1) padauginkite skaitinius veiksnius:
;
2) padauginkite laipsnius:
;
Užsirašykime atsakymą: ;
Šiuo atveju monomio koeficientas yra „“, o raidės dalis .
Dabar pasvarstykime antroji standartinė monomijų operacija . Kadangi monomialas yra algebrinė išraiška, susidedanti iš pažodinių kintamųjų, galinčių įgyti tam tikras skaitines reikšmes, turime aritmetinę skaitinę išraišką, kurią reikia įvertinti. Tai yra, kita daugianario operacija yra apskaičiuojant jų konkrečią skaitinę reikšmę .
Pažiūrėkime į pavyzdį. Pateiktas mononominis:
šis monomialas jau sumažintas iki standartinės formos, jo koeficientas lygus vienetui, o raidinė dalis
Anksčiau sakėme, kad algebrinė išraiška ne visada gali būti apskaičiuota, tai yra, į ją įtraukti kintamieji negali įgyti jokios reikšmės. Monomo atveju į jį įtraukti kintamieji gali būti bet kokie.
Taigi pateiktame pavyzdyje turite apskaičiuoti monomio reikšmę , , , .
Monomilai yra skaičių, kintamųjų ir jų galių sandauga. Skaičiai, kintamieji ir jų galios taip pat laikomi monominiais. Pavyzdžiui: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Monomialas 5aa2b2b gali būti sumažintas iki formos 20a^2b^2. Tai yra, standartinė monomio forma yra koeficiento (kuris yra pirmas) sandauga. kintamieji. Koeficientai 1 ir -1 nerašomi, bet minusas išlaikomas nuo -1. Monomialas ir jo standartinė forma
Išraiškos 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x yra skaičių, kintamųjų ir jų laipsnių sandaugos. Tokios išraiškos vadinamos monomijomis. Skaičiai, kintamieji ir jų galios taip pat laikomi monominiais.
Pavyzdžiui, išraiškos 8, 35, y ir y2 yra vienareikšmės.
Standartinė monomio forma yra monomialas, kurio forma yra skaitinio veiksnio ir įvairių kintamųjų laipsnių sandauga. Bet kurį monomą galima sumažinti iki standartinės formos, padauginus visus į jį įtrauktus kintamuosius ir skaičius. Štai pavyzdys, kaip sumažinti monomiją į standartinę formą:
4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5
Skaitinis monomio koeficientas, parašytas standartine forma, vadinamas monomio koeficientu. Pavyzdžiui, monomio koeficientas -7x2y2 lygus -7. Laikoma, kad monomijų x3 ir -xy koeficientai yra lygūs 1 ir -1, nes x3 = 1x3 ir -xy = -1xy
Monomio laipsnis yra visų į jį įtrauktų kintamųjų rodiklių suma. Jei monomilyje nėra kintamųjų, tai yra, tai yra skaičius, tada jo laipsnis laikomas lygiu nuliui.
Pavyzdžiui, monomio 8x3yz2 laipsnis yra 6, monomio 6x yra 1, o -10 laipsnis yra 0.
Monomijų dauginimas. Monomijų pakėlimas į galias
Dauginant monomius ir keliant monomius į laipsnius, naudojama laipsnių dauginimo taisyklė su tuo pačiu pagrindu ir laipsnio pakėlimo į laipsnį taisyklė. Tai sukuria monomiją, kuri paprastai pateikiama standartine forma.
Pavyzdžiui
4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3
((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6
