Санамсаргүй үйл явцын жишээний корреляцийн функцийг хэрхэн олох вэ. Хөдөлгөөнгүй үйл явцын хамаарлын функц

Бид хаа сайгүй дугуй хэлбэртэй, тойргийг хардаг: энэ бол машины дугуй, тэнгэрийн хаяа, сарны диск юм. Математикчид геометрийн дүрсийг - хавтгай дээрх тойрог - маш эрт дээр үеэс судалж эхэлсэн.

-ээс ихгүй зайд байрлах хавтгай дээрх цэгүүдийн багцыг төв ба радиустай тойрог гэнэ. Тойрог нь төвөөс яг алслагдсан цэгүүдээс бүрдсэн тойрогоор хязгаарлагддаг. Төвийг тойргийн цэгүүдтэй холбосон сегментүүд нь урттай бөгөөд тэдгээрийг мөн радиус (тойрог, тойрог) гэж нэрлэдэг. Тойргийн хоёр радиусаар хуваагдсан хэсгүүдийг нэрлэдэг дугуй салбарууд(Зураг 1). Хөвч - тойрог дээрх хоёр цэгийг холбосон сегмент нь тойргийг хоёр сегмент, тойрог нь хоёр нуман болгон хуваадаг (Зураг 2). Төвөөс хөвч рүү татсан перпендикуляр нь түүнийг болон түүний дагуух нумуудыг хагасаар хуваана. Хөвч нь урт байх тусам төв рүү ойртох тусам; хамгийн урт хөвч - төвөөр дамжин өнгөрөх хөвчийг диаметр (тойрог, тойрог) гэж нэрлэдэг.

Хэрэв шулуун шугамыг тойргийн төвөөс хол зайд авбал at тойрогтой огтлолцдоггүй, тойрогтой огтлолцдог шугамыг хөвчний дагуу огтлолцох ба түүнийг секант гэж нэрлэдэг бөгөөд at нь тойрог ба тойрогтой нэг нийтлэг цэгтэй байна. тойрог ба шүргэгч гэж нэрлэдэг. Шүргэгч нь шүргэлтийн цэг рүү татсан радиустай перпендикуляр байдгаараа тодорхойлогддог. Түүний гаднах цэгээс тойрог руу хоёр шүргэгчийг татах боломжтой бөгөөд тэдгээрийн өгөгдсөн цэгээс шүргэлтийн цэгүүд хүртэлх хэрчмүүд нь тэнцүү байна.

Тойргийн нумыг өнцгийн нэгэн адил градус ба бутархайгаар хэмжиж болно. Бүх тойргийн нэг хэсгийг зэрэг болгон авна. Төвийн өнцөг (Зураг 3) нь тулгуурласан нумантай ижил тооны градусаар хэмжигддэг; бичээстэй өнцгийг хагас нумаар хэмждэг. Хэрэв өнцгийн орой нь тойрог дотор оршдог бол градусаар илэрхийлсэн өнцөг нь нумын нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна (Зураг 4, а). Тойргийн гадна оройтой өнцөг (Зураг 4,б), нумуудыг огтолж, тойрог дээр байгаа өнцгийг нумын хагасын зөрүүгээр хэмжинэ. Эцэст нь шүргэгч ба хөвчний хоорондох өнцөг хагастай тэнцүүтэдгээрийн хооронд хүрээлэгдсэн тойргийн нум (Зураг 4,в).

Тойрог ба тойрог байна хязгааргүй олонлогтэгш хэмийн тэнхлэгүүд.

Гурвалжны өнцгийн хэмжилт ба ижил төстэй байдлын теоремуудаас тойрог доторх пропорциональ хэрчмүүдийн талаархи хоёр теоремыг дагаж мөрдөөрэй. Хөвчний теорем нь хэрэв цэг тойрог дотор орвол түүнийг дайран өнгөрөх хөвчүүдийн сегментүүдийн уртын үржвэр тогтмол байна гэж хэлдэг. Зураг дээр. 5, а. Секант ба шүргэгчийн тухай теорем (эдгээр шугамын хэсгүүдийн сегментүүдийн уртыг хэлнэ) хэрэв цэг тойргийн гадна байрладаг бол секантын үржвэр ба түүний гаднах хэсэг нь өөрчлөгдөөгүй бөгөөд шүргэгчийн квадраттай тэнцүү байна ( Зураг 5, b).

Эрт дээр үед хүмүүс тойрогтой холбоотой асуудлыг шийдэхийг хичээдэг байсан - тойрог эсвэл түүний нумын урт, тойрог эсвэл салбар, сегментийн талбайг хэмжих. Тэдгээрийн эхнийх нь цэвэр "практик" шийдэлтэй: та тойрог дагуу утас тавьж, дараа нь буулгаж, захирагч дээр түрхэх, эсвэл тойрог дээр цэгийг тэмдэглээд захирагчийн дагуу "өнхрүүлж" болно (та боломжтой) , эсрэгээр, захирагчтай тойрог "өнхрүүл"). Ямар нэг байдлаар хэмжилтүүд нь тойргийн диаметртэй харьцуулсан харьцаа бүх тойрогт ижил байгааг харуулсан. Энэ харилцааг ихэвчлэн тэмдэглэдэг Грек үсэг("pi" нь эхний үсэг юм Грек үгпериметрон нь "тойрог" гэсэн утгатай).

Гэсэн хэдий ч эртний Грекийн математикчид тойргийн тойргийг тодорхойлох ийм эмпирик, туршилтын арга барилд сэтгэл хангалуун бус байсан: тойрог бол шугам, өөрөөр хэлбэл Евклидийн хэлснээр "өргөнгүй урт" бөгөөд ийм утаснууд байдаггүй. Хэрэв бид захирагчийн дагуу тойргийг эргэлдүүлбэл асуулт гарч ирнэ: яагаад бид тойргийг өөр утгыг авдаггүй вэ? Нэмж дурдахад энэ арга нь тойргийн талбайг тодорхойлох боломжийг бидэнд олгосонгүй.

Үүний шийдлийг дараах байдлаар олсон: хэрвээ бид тогтмол -гонуудыг тойрог дотор бичээстэй гэж үзвэл хязгааргүйд ханддаг гэж үзвэл тэдгээр нь . Тиймээс дараахь, аль хэдийн хатуу тодорхойлолтуудыг оруулах нь зүйн хэрэг юм: тойргийн урт нь тойрог дотор бичигдсэн тогтмол гурвалжны периметрийн дарааллын хязгаар бөгөөд тойргийн талбай нь дарааллын хязгаар юм. тэдний нутаг дэвсгэрийн. Энэ аргыг орчин үеийн математикт бас хүлээн зөвшөөрдөг бөгөөд зөвхөн тойрог, тойрог төдийгүй бусад муруй хэсэг эсвэл муруйн шугамаар хязгаарлагдах хэсгүүдтэй холбоотой: ердийн олон өнцөгтүүдийн оронд муруй дээрх оройтой тасархай шугамын дараалал эсвэл талбайн контурууд. гэж үздэг бөгөөд урт нь тасархай шугамын хамгийн их холбоосууд руу тэг рүү чиглэх үед хязгаарыг авна.

Тойргийн нумын уртыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлно: нумыг тэнцүү хэсгүүдэд хувааж, хуваах цэгүүдийг тасархай шугамаар холбож, нумын уртыг өгнө. хязгаартай тэнцүү байназэрэг тасархай шугамуудын периметрүүд нь хязгааргүй рүү тэмүүлдэг. (Эртний Грекчүүдийн нэгэн адил бид хязгаар гэсэн ойлголтыг өөрөө тайлбарлаагүй - энэ нь геометрийн тухай ярихаа больсон бөгөөд зөвхөн 19-р зуунд нэлээд хатуу нэвтрүүлсэн.)

Тооны тодорхойлолтоос харахад тойргийн томъёо дараах байдалтай байна.

Нумын уртын хувьд бид ижил төстэй томьёог бичиж болно: хоёр нуман ба нийтлэг төв өнцөгтэй тул ижил төстэй байдлын бодол нь пропорцийг илэрхийлдэг бөгөөд үүнээс пропорцийг илэрхийлдэг бөгөөд хязгаарт хүрсний дараа бид бие даасан байдлыг олж авдаг. нумын радиус) харьцаа . Энэ харьцаа нь зөвхөн төвийн өнцгөөр тодорхойлогддог бөгөөд энэ өнцгийн радиан хэмжигдэхүүн ба төвтэй харгалзах бүх нумууд гэж нэрлэгддэг. Энэ нь нумын уртын томъёог өгнө.

нумын радиан хэмжигдэхүүн хаана байна.

Бичсэн томьёо нь зүгээр л дахин бичсэн тодорхойлолт эсвэл тэмдэглэгээ боловч тэдгээрийн тусламжтайгаар бид зөвхөн тэмдэглэгээнээс хол байгаа тойрог ба секторын талбайн томъёог олж авдаг.

Эхний томьёог гаргахын тулд тойрог дотор бичсэн ердийн гурвалжны талбайн томъёоны хязгаарт очиход хангалттай.

Тодорхойлолтоор зүүн талтойргийн талбарт, баруун тал нь тоо руу чиглэнэ

ба , түүний медиануудын суурь ба , дунд цэгүүд ба шулууны хэрчмүүд нь түүний өндрийн огтлолцлын цэгээс орой хүртэл.

Энэ тойрог нь 18-р зуунд олдсон. агуу эрдэмтэн Л.Эйлер (Тиймээс үүнийг Эйлерийн тойрог гэж нэрлэдэг) дараагийн зуунд Германы нэгэн мужийн биеийн тамирын сургуулийн багш дахин нээсэн. Энэ багшийг Карл Фейербах гэдэг (тэр нь түүний ах байсан алдартай философичЛюдвиг Фейербах). Нэмж дурдахад, К.Фейербах есөн цэгийн тойрог нь ямар ч геометртэй нягт холбоотой дөрвөн цэгтэй болохыг олж мэдэв. өгөгдсөн гурвалжин. Эдгээр нь дөрвөн тойрогтой харилцах цэгүүд юм тусгай төрөл(Зураг 2). Эдгээр тойргийн нэг нь бичээстэй, үлдсэн гурав нь тойрог юм. Тэд гурвалжингийн буланд бичээстэй, хүрч байна гаднаастүүний талууд. Эдгээр тойргийн есөн цэгийн тойрогтой холбогдох цэгүүдийг Фейербах цэг гэж нэрлэдэг. Тиймээс есөн цэгийн тойрог нь үнэндээ арван гурван цэгийн тойрог юм.

Хэрэв та түүний хоёр шинж чанарыг мэддэг бол энэ тойрог барихад маш хялбар байдаг. Нэгдүгээрт, есөн цэгийн тойргийн төв нь гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн төвийг түүний ортоцентр (түүний өндрийн огтлолцлын цэг) цэгтэй холбосон сегментийн дунд байрладаг. Хоёрдугаарт, өгөгдсөн гурвалжны радиус нь түүнийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн радиусын хагастай тэнцүү байна.

Тойрог нь бүх цэгүүд нь тойргийн төв гэж нэрлэгддэг тодорхой цэгээс (О цэг) ижил зайд байрладаг хавтгай хаалттай шугам юм.
(Тойрог - геометрийн дүрс, өгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн зайд байрлах бүх цэгүүдээс бүрдэнэ.)

Тойрог нь тойрогоор хязгаарлагдсан хавтгайн хэсэг бөгөөд О цэгийг мөн тойргийн төв гэж нэрлэдэг.

Тойргийн цэгээс түүний төв хүртэлх зай, мөн тойргийн төвийг түүний цэгтэй холбосон хэрчмийг радиус гэнэ. тойрог / тойрог.
Тойрог, тойргийг бидний амьдрал, урлаг, дизайнд хэрхэн ашигладаг болохыг хараарай.

Chord - Грек - ямар нэг зүйлийг хооронд нь холбодог утас
Диаметр - "хэмжилтээр дамжуулан"

Дугуй хэлбэр

Өнцөг нь байнга өсөн нэмэгдэж буй хэмжээгээр тохиолдож болох бөгөөд үүний дагуу байнга өсөн нэмэгдэж буй эргэлтийг олж авдаг - тэдгээр нь бүрмөсөн алга болж, онгоц тойрог болох хүртэл.Энэ нь маш энгийн бөгөөд нэгэн зэрэг маш хэцүү тохиолдол, энэ талаар би дэлгэрэнгүй ярихыг хүсч байна. Энгийн болон нарийн төвөгтэй байдал нь аль аль нь өнцөг байхгүйгээс үүдэлтэй гэдгийг энд тэмдэглэх нь зүйтэй. Тойрог нь энгийн, учир нь түүний хилийн даралтыг тэгш өнцөгт хэлбэртэй харьцуулахад тэгшитгэдэг - энд ялгаа тийм ч их биш юм. Дээд тал нь зүүн, баруун тийш, зүүн ба баруун нь доод тал руу үл мэдэгдэх урсдаг тул энэ нь нарийн төвөгтэй юм.

В.Кандинский

IN Эртний Гректойрог ба тойрог нь төгс төгөлдөр байдлын титэм гэж тооцогддог. Үнэн хэрэгтээ, цэг бүрт тойрог нь ижил аргаар зохион байгуулагдсан бөгөөд энэ нь өөрөө хөдлөх боломжийг олгодог. Тойргийн энэ өмчийг хийсэн болзошгүй тохиолдолдугуйнууд, учир нь тэнхлэг ба дугуйны зангилаа нь үргэлж холбоотой байх ёстой.

Сургуульд маш их зүйл судалдаг ашигтай шинж чанаруудтойрог. Хамгийн сайхан теоремуудын нэг бол дараах теорем юм: бид зурж үзье өгсөн онооогтлолцсон шулуун шугам өгөгдсөн тойрог, дараа нь энэ цэгээс хүртэлх зайны үржвэр шулуун шугамтай тойргийн огтлолцлын цэгүүд нь шулуун шугамыг яг яаж татсанаас хамаарахгүй. Энэ теорем нь хоёр мянга орчим жилийн настай.

Зураг дээр. Зураг 2-т хоёр тойрог, тойргийн гинжийг харуулсан бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь эдгээр хоёр тойрог болон гинжин хэлхээний хоёр хөршийг шүргэж байна. Швейцарийн геометр Якоб Штайнер 150 орчим жилийн өмнө нотолсон дараагийн мэдэгдэл: хэрэв гурав дахь тойргийн зарим сонголтын хувьд гинж хаагдсан бол гурав дахь тойргийн бусад сонголтод хаалттай болно. Үүнээс үзэхэд гинж нэг удаа хаагдахгүй бол гурав дахь тойргийн аль ч сонголтын хувьд хаагдахгүй. Зурсан зураачдааХэрэв гинжийг дүрсэлсэн бол түүнийг ажиллуулахын тулд шаргуу ажиллах эсвэл математикч руу хандаж, гинж хаагдсан эхний хоёр тойргийн байршлыг тооцоолох хэрэгтэй болно.

Бид эхлээд дугуйны тухай дурдсан боловч дугуйны өмнө ч хүмүүс дугуй мод хэрэглэдэг байсан- хүнд ачаа тээвэрлэх зориулалттай бул.

Бөөрөнхий хэлбэрээс өөр хэлбэрийн бул ашиглах боломжтой юу? ГерманИнженер Франц Рело зурагт үзүүлсэн өнхрүүш нь ижил шинж чанартай болохыг олж мэдэв. 3. Энэ дүрсийг оройн цэгүүд нь төвтэй тойргийн нумуудыг зурах замаар олж авна тэгш талт гурвалжинбусад хоёр оройг холбох. Хэрэв бид энэ зураг руу хоёр зэрэгцээ шүргэгч зурвал тэдгээрийн хоорондох зай болнотэдгээр нь анхны тэгш талт гурвалжны хажуугийн урттай тэнцүү байх тул ийм бул нь дугуй хэлбэртэйгээс муу биш юм. Хожим нь булны үүрэг гүйцэтгэх боломжтой бусад дүрсийг зохион бүтээжээ.

Энз. "Би ертөнцийг судалж байна. Математик", 2006 он

Гурвалжин бүр, үүнээс гадна зөвхөн нэг, есөн цэгийн тойрог. ЭнэГурвалжны байрлалыг тодорхойлсон дараах гурван гурвалсан цэгийг дайран өнгөрөх тойрог: түүний D1 D2 ба D3 өндрийн суурь, D4, D5, D6 медиануудын суурь.шулуун хэрчмүүдийн D7, D8, D9-ийн дунд цэгүүд нь түүний H өндөрүүдийн огтлолцлын цэгээс орой хүртэл.

Энэ тойрог нь 18-р зуунд олдсон. агуу эрдэмтэн Л.Эйлер (Тиймээс үүнийг Эйлерийн тойрог гэж нэрлэдэг) дараагийн зуунд Германы нэгэн мужийн биеийн тамирын сургуулийн багш дахин нээсэн. Энэ багшийг Карл Фейербах гэдэг (тэр нэрт философич Людвиг Фейербахын ах байсан).Нэмж дурдахад, К.Фейербах есөн цэгийн тойрог нь өгөгдсөн гурвалжны геометртэй нягт холбоотой өөр дөрвөн цэгтэй болохыг олж мэдэв. Эдгээр нь тусгай төрлийн дөрвөн тойрогтой харилцах цэгүүд юм. Эдгээр тойргийн нэг нь бичээстэй, үлдсэн гурав нь тойрог юм. Тэдгээр нь гурвалжны буланд бичээстэй бөгөөд гадна талаас нь хажуу тийшээ хүрдэг. Эдгээр тойргийн D10, D11, D12, D13 есөн цэгийн тойрогтой холбогдох цэгүүдийг Фейербах цэг гэж нэрлэдэг. Тиймээс есөн цэгийн тойрог нь үнэндээ арван гурван цэгийн тойрог юм.

Хэрэв та түүний хоёр шинж чанарыг мэддэг бол энэ тойрог барихад маш хялбар байдаг. Нэгдүгээрт, есөн цэгийн тойргийн төв нь гурвалжингийн тойргийн төвийг H цэгтэй холбосон сегментийн дунд байрладаг - түүний ортоцентр (түүний өндрийн огтлолцлын цэг). Хоёрдугаарт, өгөгдсөн гурвалжны радиус нь түүнийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн радиусын хагастай тэнцүү байна.

Энз. Залуу математикчдад зориулсан лавлах ном, 1989 он

Тойрог- өгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн зайд байрлах хавтгайн бүх цэгүүдээс бүрдэх геометрийн дүрс.

Энэ цэгийг (O) гэж нэрлэдэг тойргийн төв.
Тойргийн радиус- энэ бол төвийг тойргийн аль ч цэгтэй холбосон сегмент юм. Бүх радиусууд ижил урттай (тодорхойлолтоор).
Аккорд- тойрог дээрх хоёр цэгийг холбосон сегмент. Тойргийн төвөөр дамжин өнгөрөх хөвчийг нэрлэдэг диаметр. Тойргийн төв нь ямар ч диаметрийн дунд цэг юм.
Тойрог дээрх дурын хоёр цэгийг хоёр хэсэгт хуваа. Эдгээр хэсэг бүрийг нэрлэдэг тойргийн нум. нум гэж нэрлэдэг хагас тойрог, хэрэв түүний төгсгөлүүдийг холбосон сегмент нь диаметртэй бол.
Нэгж хагас тойргийн уртыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ π .
Нийтлэг төгсгөлтэй тойргийн хоёр нумын градусын хэмжүүрүүдийн нийлбэр нь тэнцүү байна 360º.
Тойргоор хүрээлэгдсэн хавтгайн хэсгийг гэнэ эргэн тойронд.
Тойрог салбар- нумын үзүүрийг тойргийн төвтэй холбосон хоёр радиусаар хүрээлэгдсэн тойргийн хэсэг. Салбарыг хязгаарлаж буй нумыг нэрлэдэг салбарын нум.
Хоёр тойрог байна ерөнхий төв, гэж нэрлэдэг төвлөрсөн.
Зөв өнцгөөр огтлолцсон хоёр тойргийг нэрлэдэг ортогональ.

Шулуун шугам ба тойргийн харьцангуй байрлал

Хэрэв тойргийн төвөөс шулуун шугам хүртэлх зай радиусаас багатойрог ( d), дараа нь шулуун ба тойрог нь хоёр байна нийтлэг цэгүүд. Энэ тохиолдолд шугамыг дуудна секанттойрогтой холбоотой.
Хэрэв тойргийн төвөөс шулуун шугам хүртэлх зай нь тойргийн радиустай тэнцүү бол шулуун ба тойрог нь зөвхөн нэг нийтлэг цэгтэй байна. Энэ мөрийг нэрлэдэг тойрогтой шүргэгч, тэдгээрийн нийтлэг цэг гэж нэрлэдэг шугам ба тойргийн хоорондох шүргэлтийн цэг.
Хэрэв тойргийн төвөөс шулуун шугам хүртэлх зай радиусаас ихтойрог, дараа нь шулуун шугам ба тойрог нийтлэг зүйл байхгүй

Төв ба бичээстэй өнцөг

Төв өнцөгнь тойргийн төвд байрлах оройтой өнцөг юм.
Бичсэн өнцөг- орой нь тойрог дээр байрлах, талууд нь тойрогтой огтлолцох өнцөг.

Бичсэн өнцгийн теорем

Бичсэн өнцгийг түүний орших нумын хагасаар хэмждэг.

Дүгнэлт 1.
Ижил нуманд оршдог бичээстэй өнцөг нь тэнцүү байна.

Дүгнэлт 2.
Хагас тойргоор хүрээлэгдсэн бичээстэй өнцөг нь зөв өнцөг юм.

Осолцогч хөвчүүдийн сегментүүдийн үржвэрийн тухай теорем.

Хэрэв тойргийн хоёр хөвч огтлолцож байвал нэг хөвчний сегментүүдийн үржвэр нь нөгөө хөвчний сегментүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Үндсэн томъёо

Тойрог:

C = 2∙π∙R

Дугуй нумын урт:

R = С/(2∙π) = D/2

Диаметр:

D = C/π = 2∙R

Дугуй нумын урт:

l = (π∙R) / 180∙α,
Хаана α - дугуй нумын уртын хэмжүүр)

Тойргийн талбай:

S = π∙R 2

Дугуй хэлбэрийн салбар:

S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Тойргийн тэгшитгэл

IN тэгш өнцөгт системтойргийн радиусын координатын тэгшитгэл rцэг дээр төвлөрсөн C(x o;y o) нь дараах хэлбэртэй байна.

(x - x o) 2 + (y - y o) 2 = r 2

r радиустай тойргийн тэгшитгэл нь төв нь гарал үүсэл нь дараах хэлбэртэй байна.

x 2 + y 2 = r 2

Эхлээд тойрог ба тойрог хоёрын ялгааг ойлгоцгооё. Энэ ялгааг харахын тулд хоёр тоо юу болохыг анхаарч үзэхэд хангалттай. Эдгээр нь дээр байрладаг хавтгай дээрх хязгааргүй тооны цэгүүд юм тэнцүү зайнэг төв цэгээс. Гэхдээ, хэрэв тойрог нь бүрдэнэ дотоод орон зай, тэгвэл энэ нь тойрогт хамаарахгүй. Эндээс харахад тойрог нь түүнийг хязгаарлаж буй тойрог (тойрог(r)), тойрог дотор байгаа тоо томшгүй олон тооны цэгүүд юм.

Тойрог дээр байрлах дурын L цэгийн хувьд OL=R тэгшитгэл үйлчилнэ. (OL сегментийн урт нь тойргийн радиустай тэнцүү).

Тойрог дээрх хоёр цэгийг холбосон сегмент нь түүнийх юм хөвч.

Тойргийн төвөөр шууд дамждаг хөвч нь диаметрэнэ тойрог (D). Диаметрийг D=2R томъёогоор тооцоолж болно

Тойрогтомъёогоор тооцоолно: C=2\pi R

Тойргийн талбай: S=\pi R^(2)

Тойргийн нумтүүний хоёр цэгийн хооронд байрлах хэсгийг гэнэ. Эдгээр хоёр цэг нь тойргийн хоёр нумыг тодорхойлдог. CD хөвч нь CMD ба CLD гэсэн хоёр нумыг агуулдаг. Ижил хөвчүүд нь тэнцүү нумуудыг агуулна.

Төв өнцөгХоёр радиусын хооронд байрлах өнцгийг гэнэ.

Нуман урттомъёог ашиглан олж болно:

Ашиглаж байна градусын хэмжүүр: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
Радиан хэмжигдэхүүнийг ашиглан: CD = \alpha R

Хөвчний перпендикуляр голч нь хөвч болон түүгээр татагдсан нумуудыг хагасаар хуваадаг.

Хэрэв тойргийн AB ба CD хөвчүүд N цэг дээр огтлолцдог бол N цэгээр тусгаарлагдсан хөвчний сегментүүдийн үржвэрүүд хоорондоо тэнцүү байна.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Тойрогтой шүргэгч

Тойрогтой шүргэгчТойрогтой нэг нийтлэг цэгтэй шулуун шугамыг дуудах нь заншилтай байдаг.

Хэрэв шугам нь хоёр нийтлэг цэгтэй бол түүнийг дуудна секант.

Хэрэв та радиусыг шүргэгч цэг рүү зурвал энэ нь тойрогтой шүргэгчтэй перпендикуляр байх болно.

Энэ цэгээс тойрог руугаа хоёр шүргэгч зуръя. Шүргэгч хэрчмүүд хоорондоо тэнцүү байх бөгөөд тойргийн төв нь энэ цэгийн оройтой өнцгийн биссектрист дээр байрлана.

AC = CB

Одоо цэгээсээ тойрог руу шүргэгч ба секант зуръя. Шүргэдэг сегментийн уртын квадрат нь байх болно гэдгийг бид олж мэдэв бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байнасегментийг бүхэлд нь гадна тал руу нь салгана.

AC^(2) = CD \cdot BC

Бид дүгнэж болно: эхний секантын бүхэл бүтэн сегмент ба түүний гадаад хэсгийн бүтээгдэхүүн нь хоёр дахь секантын бүх сегмент ба түүний гадаад хэсгийн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Тойрог дахь өнцөг

Зэрэглэлийн хэмжүүр төв өнцөгба түүний тулгуурласан нум нь тэнцүү байна.

\angle COD = \аяга CD = \alpha ^(\circ)

Бичсэн өнцөгорой нь тойрог дээр байрлах ба талууд нь хөвч агуулсан өнцөг юм.

Энэ нумын хагастай тэнцэх тул та нумын хэмжээг мэдэж байж тооцоолж болно.

\angle AOB = 2 \angle АХБ

Диаметр, бичээстэй өнцөг, зөв өнцгийг үндэслэнэ.

\ өнцөг CBD = \ өнцөг CED = \ өнцөг CAD = 90 ^ (\ тойргоор)

Нэг нумыг хамарсан бичээстэй өнцөг нь ижил байна.

Нэг хөвч дээр тулгуурласан бичээстэй өнцгүүд нь ижил буюу нийлбэр нь 180^ (\circ)-тэй тэнцүү байна.

\өнцөг АХБ + \өнцөг AKB = 180^ (\ тойрог)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Нэг тойрог дээр ижил өнцөгтэй, өгөгдсөн суурьтай гурвалжны оройнууд байрладаг.

Тойрог дотор оройтой, хоёр хөвчний хооронд байрлах өнцөг нь нийлбэрийн хагастай ижил байна өнцгийн утгуудӨгөгдсөн болон босоо өнцгийн дотор байрлах тойргийн нумууд.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\аяга DmC + \аяга AlB \баруун)

Тойргийн гадна талын оройтой, хоёр секантын хооронд байрлах өнцөг нь өнцгийн дотор байрлах тойргийн нумын өнцгийн утгын хагасын зөрүүтэй ижил байна.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\аяга DmC - \аяга AlB \баруун)

Бичсэн тойрог

Бичсэн тойрогнь олон өнцөгтийн талуудтай шүргэгч тойрог юм.

Олон өнцөгтийн булангийн биссектрис огтлолцох цэг дээр түүний төв байрлана.

Олон өнцөгт бүрт тойрог бичээгүй байж болно.

Бичсэн тойрог бүхий олон өнцөгтийн талбайг дараах томъёогоор олно.

S = pr,

p нь олон өнцөгтийн хагас периметр,

r нь бичээстэй тойргийн радиус юм.

Үүнээс үзэхэд бичээстэй тойргийн радиус нь дараахтай тэнцүү байна.

r = \frac(S)(p)

Уртуудын нийлбэр эсрэг талуудХэрэв тойрог нь гүдгэр дөрвөлжин хэлбэртэй байвал ижил байх болно. Мөн эсрэгээр: эсрэг талын уртын нийлбэр нь ижил байвал тойрог нь гүдгэр дөрвөлжин хэлбэртэй тохирно.

AB + DC = AD + BC

Аль ч гурвалжинд тойрог бичих боломжтой. Ганцхан л. Бисектрисс огтлолцох цэг дээр дотоод булангуудзураг, энэ бичээстэй тойргийн төв нь хэвтэж байх болно.

Бичсэн тойргийн радиусыг дараах томъёогоор тооцоолно.

r = \frac(S)(p) ,

Энд p = \frac(a + b + c)(2)

Тойрог

Хэрэв тойрог нь олон өнцөгтийн орой бүрийг дайран өнгөрвөл ийм тойргийг ихэвчлэн нэрлэдэг олон өнцөгтийн тухай тайлбарласан.

Энэ зургийн талуудын перпендикуляр биссектрисын огтлолцлын цэг дээр тойргийн төв байх болно.

Радиусыг олон өнцөгтийн дурын 3 оройгоор тодорхойлсон гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиусаар тооцож олно.

Идэх дараагийн нөхцөл: Дөрвөн өнцөгтийн эргэн тойронд тойргийг зөвхөн нийлбэрээр дүрсэлж болно эсрэг талын булангууд 180^( \circ) -тэй тэнцүү байна.

\ өнцөг A + \ өнцөг C = \ өнцөг B + \ өнцөг D = 180 ^ (\ тойрог)

Аливаа гурвалжны эргэн тойронд та тойрог, зөвхөн нэгийг дүрсэлж болно. Ийм тойргийн төв нь тэдгээрийн огтлолцох цэг дээр байрлана перпендикуляр биссектрисгурвалжны талууд.