Хязгаарлагдмал тойрог. Харааны хөтөч (2019)
Хамгийн эхний асуулт бол юуг дүрсэлсэн бэ - юуны талаар?
Үнэндээ заримдаа энэ нь ямар ч зүйлийн эргэн тойронд тохиолддог, гэхдээ бид гурвалжны эргэн тойронд (заримдаа тэд "тухай" гэж хэлдэг) тойргийн тухай ярих болно. Энэ юу вэ?
Тэгээд төсөөлөөд үз дээ, гайхалтай баримт гарч ирдэг:
Энэ баримт яагаад гайхширч байна вэ?
Гэхдээ гурвалжин бол өөр!
Мөн хүн болгонд дамжин өнгөрөх тойрог байдаг гурван оргилыг давж, өөрөөр хэлбэл, хүрээлэгдсэн тойрог.
Үүний баталгаа гайхалтай баримтта онолын дараах түвшингээс олж болно, гэхдээ бид жишээ нь, дөрвөлжин гэж авбал хүн бүрт дөрвөн оройг дайран өнгөрөх тойрог байхгүй болно гэдгийг л тэмдэглэж байна. Жишээлбэл, параллелограмм бол маш сайн дөрвөлжин боловч түүний дөрвөн оройг дайран өнгөрөх тойрог байхгүй!
Зөвхөн тэгш өнцөгтийн хувьд байдаг:
За ингээд гурвалжин бүр өөрийн гэсэн тойрогтой байдаг!Мөн энэ тойргийн төвийг олоход үргэлж хялбар байдаг.
Энэ юу болохыг та мэдэх үү перпендикуляр биссектрис?
Одоо гурвалжны талуудтай гурван перпендикуляр биссектрисаг авч үзвэл юу болохыг харцгаая.
Энэ нь харагдаж байна (мөн энэ нь яг нотлогдох ёстой, гэхдээ бид үүнийг батлахгүй). бүх гурван перпендикуляр нэг цэгт огтлолцоно.Зургийг хараарай - бүх гурван перпендикуляр биссектрис нэг цэг дээр огтлолцдог.
Хязгаарлагдсан тойргийн төв үргэлж гурвалжин дотор байдаг гэж та бодож байна уу? Төсөөлөөд үз дээ - үргэлж биш!
Гэхдээ хэрэв хурц өнцөгт, дараа нь - дотор:
Тэгш өнцөгт гурвалжинг юу хийх вэ?
Мөн нэмэлт урамшууллын хамт:
Бид хүрээлэгдсэн тойргийн радиусын тухай ярьж байгаа тул: энэ нь юутай тэнцүү вэ дурын гурвалжин? Мөн энэ асуултын хариулт байдаг: гэж нэрлэгддэг .
Тухайлбал:
Тэгээд мэдээж
1. Оршихуй ба тойрог төв
Эндээс асуулт гарч ирнэ: гурвалжин бүрт ийм тойрог байдаг уу? Энэ нь хүн болгонд тийм гэж харагдаж байна. Түүнээс гадна бид одоо хүрээлэгдсэн тойргийн төв хаана байрладаг вэ гэсэн асуултад хариулах теоремыг томъёолох болно.
Ингэж хараарай:
Зоригтой байж энэ теоремыг баталцгаая. Хэрэв та "" гэсэн сэдвийг аль хэдийн уншиж, гурван биссектрис яагаад нэг цэгт огтлолцдогийг ойлгосон бол энэ нь танд илүү хялбар байх болно, гэхдээ уншаагүй бол санаа зовох хэрэггүй: одоо бид үүнийг олох болно.
Бид цэгийн байршлын (GLP) үзэл баримтлалыг ашиглан нотолгоог хийх болно.
Жишээлбэл, бөмбөгний багц юм - " байршил» дугуй объект уу? Үгүй ээ мэдээж бөөрөнхий... тарвас байдаг болохоор. Энэ нь ярих чадвартай хүмүүсийн багц, "геометрийн газар" мөн үү? Үгүй ээ, учир нь ярьж чаддаггүй нялх хүүхдүүд байдаг. Амьдралд "цэгүүдийн геометрийн байршил" -ын жишээг олоход хэцүү байдаг. Геометрийн хувьд илүү хялбар байдаг. Жишээлбэл, бидэнд яг хэрэгтэй зүйл энд байна:
Энд олонлог нь перпендикуляр биссектрис бөгөөд " " шинж чанар нь "хэсгүүдийн төгсгөлөөс ижил зайд (цэг) байх" юм.
Бид шалгах уу? Тиймээс, та хоёр зүйлд итгэлтэй байх хэрэгтэй:
- Сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байгаа аливаа цэг нь түүний перпендикуляр биссектрист байрлана.
c ба c-г холбоно.Тэгвэл шугам нь медиан ба өндөр b байна. Энэ нь тэгш өнцөгтүүд гэсэн үг юм - бид перпендикуляр биссектрис дээр байрлах аливаа цэг ба цэгүүдээс ижил зайтай байхыг баталгаажуулсан.
Дундыг нь аваад холбож өгье. Үр дүн нь медиан юм. Гэхдээ нөхцөлийн дагуу зөвхөн медиан нь ижил өнцөгт төдийгүй өндөр, өөрөөр хэлбэл перпендикуляр биссектрис юм. Энэ нь цэг нь перпендикуляр биссектриса дээр яг байрладаг гэсэн үг юм.
Бүгд! Үүнийг бид бүрэн баталгаажуулсан Сегментийн перпендикуляр биссектриса нь сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал юм.
Энэ бүхэн сайн, гэхдээ бид хязгаарлагдмал тойргийн талаар мартсан уу? Огт үгүй ээ, бид дөнгөж сая өөрсдийгөө “довтолгооны рашаан” бэлдлээ.
Гурвалжинг авч үзье. Хоёр биссектораль перпендикуляр зурж, хэрчмүүд болон гэж хэлье. Тэд хэзээ нэгэн цагт огтлолцох бөгөөд бид үүнийг нэрлэх болно.
Одоо анхаарлаа хандуулаарай!
Цэг нь перпендикуляр биссектрист байрладаг;
цэг нь перпендикуляр биссектриса дээр байрладаг.
Энэ нь, мөн гэсэн үг юм.
Үүнээс хэд хэдэн зүйл бий:
Нэгдүгээрт, цэг нь сегментийн перпендикуляр гурав дахь биссектрист байрлах ёстой.
Өөрөөр хэлбэл, перпендикуляр биссектрис мөн цэгээр дамжин өнгөрөх ёстой бөгөөд бүх гурван перпендикуляр биссектрис нэг цэгт огтлолцдог.
Хоёрдугаарт: Хэрэв бид нэг цэг дээр төвтэй, радиустай тойрог зурах юм бол энэ тойрог мөн цэг ба цэгийг хоёуланг нь дайран өнгөрөх болно, өөрөөр хэлбэл энэ нь хүрээлэгдсэн тойрог болно. Энэ нь гурван перпендикуляр биссектрисын огтлолцол нь аль ч гурвалжны хувьд хүрээлэгдсэн тойргийн төв юм гэсэн үг юм.
Хамгийн сүүлчийн зүйл бол: өвөрмөц байдлын тухай. Цэгийг өвөрмөц аргаар олж авах боломжтой нь тодорхой (бараг) тул тойрог нь өвөрмөц юм. За, бид "бараг"-ыг таны эргэцүүлэн бодоход үлдээх болно. Тиймээс бид теоремыг баталсан. Та "Уррай!" Гэж хашгирч болно.
Хэрэв асуудал "хязгаарлагдсан тойргийн радиусыг ол" гэж асуувал яах вэ? Эсвэл эсрэгээр радиусыг өгсөн, гэхдээ та өөр зүйл олох хэрэгтэй байна уу? Тойргийн радиусыг гурвалжны бусад элементүүдтэй холбох томьёо байна уу?
Анхаарна уу: синусын теорем үүнийг заасан Хязгаарлагдсан тойргийн радиусыг олохын тулд танд нэг тал (ямар ч!) ба түүний эсрэг талын өнцөг хэрэгтэй болно.. Ингээд л болоо!
3. Тойргийн төв - дотор эсвэл гадна талд
Одоо асуулт гарч ирнэ: хүрээлэгдсэн тойргийн төв гурвалжны гадна байж болох уу?
Хариулт: аль болох их. Түүнээс гадна энэ нь үргэлж мохоо гурвалжинд тохиолддог.
Тэгээд ерөнхийдөө:
Тойрог дугуй. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН
1. Гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог
Энэ бол гурвалжны гурван оройг дайран өнгөрөх тойрог юм.
2. Оршихуй ба тойрог төв
За ингээд сэдэв дууслаа. Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол та маш дажгүй байна гэсэн үг.
Учир нь хүмүүсийн ердөө 5% нь ямар нэг зүйлийг бие даан эзэмших чадвартай байдаг. Хэрэв та эцсээ хүртэл уншсан бол та энэ 5% -д байна!
Одоо хамгийн чухал зүйл.
Та энэ сэдвээр онолыг ойлгосон. Би давтан хэлье, энэ бол зүгээр л супер! Та үе тэнгийнхнийхээ дийлэнх олонхоос аль хэдийн илүү болсон.
Асуудал нь энэ нь хангалтгүй байж магадгүй юм ...
Юуны төлөө?
Учир нь амжилттай дуусгахУлсын нэгдсэн шалгалт, коллежид төсвөөр элсэх, ХАМГИЙН ЧУХАЛ насан туршдаа.
Би чамайг юунд ч итгүүлэхгүй, нэг л зүйлийг хэлье...
Хүлээн авсан хүмүүс сайн боловсрол, хүлээн аваагүй хүмүүсээс хамаагүй их орлого олдог. Энэ бол статистик.
Гэхдээ энэ нь гол зүйл биш юм.
Хамгийн гол нь тэд ИЛҮҮ АЗ ЖАРГАЛТАЙ байдаг (ийм судалгаанууд байдаг). Магадгүй тэдний өмнө илүү их нээлттэй байгаа болохоор тэр байх илүү их боломжуудтэгээд амьдрал илүү гэрэл гэгээтэй болох уу? Мэдэхгүй...
Гэхдээ өөрийнхөөрөө бод...
Улсын нэгдсэн шалгалтанд бусдаас илүү байж, эцэст нь... аз жаргалтай байхын тулд юу хэрэгтэй вэ?
ЭНЭ СЭДВИЙН АСУУДЛЫГ ШИЙДВЭРЭЭР ГАРАА АВНА.
Шалгалтын үеэр танаас онол асуухгүй.
Танд хэрэгтэй болно цаг хугацааны эсрэг асуудлыг шийдвэрлэх.
Хэрэв та тэдгээрийг шийдэж амжаагүй бол (МАШ ИХ!) Та хаа нэгтээ тэнэг алдаа гаргах нь дамжиггүй, эсвэл зүгээр л цаг зав гарахгүй.
Энэ нь спорттой адил юм - баттай ялахын тулд та үүнийг олон удаа давтах хэрэгтэй.
Хүссэн газраасаа цуглуулгаа олоорой зайлшгүй шийдэл бүхий, нарийвчилсан шинжилгээ мөн шийд, шийд, шийд!
Та бидний даалгавруудыг (заавал биш) ашиглаж болно, бид мэдээж санал болгож байна.
Бидний даалгавруудыг илүү сайн ашиглахын тулд та одоо уншиж байгаа YouClever сурах бичгийн ашиглалтын хугацааг уртасгахад туслах хэрэгтэй.
Яаж? Хоёр сонголт байна:
- Энэ нийтлэл дэх бүх далд ажлуудын түгжээг тайлах - 299 рубль.
- Сурах бичгийн бүх 99 нийтлэл дэх бүх далд даалгаврын хандалтыг нээнэ үү - 999 рубль.
Тийм ээ, бидний сурах бичигт ийм 99 өгүүлэл байгаа бөгөөд тэдгээрт байгаа бүх даалгаврууд болон далд текстүүдийг шууд нээх боломжтой.
Хоёр дахь тохиолдолд бид танд өгөх болносимулятор "Бүх түвшний нарийн төвөгтэй байдлын хувьд сэдэв бүрийн шийдэл, хариулт бүхий 6000 асуудал." Энэ нь ямар ч сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай байх болно.
Үнэн хэрэгтээ энэ нь зүгээр л симулятор биш, бүхэл бүтэн сургалтын хөтөлбөр юм. Шаардлагатай бол та ҮНЭГҮЙ ашиглах боломжтой.
Сайтын оршин тогтнох БҮХ хугацаанд бүх текст, хөтөлбөрт хандах боломжтой.
Тэгээд эцэст нь ...
Хэрэв танд бидний даалгавар таалагдахгүй бол бусдыг хайж олоорой. Зөвхөн онол дээр бүү зогс.
“Ойлголоо”, “Би шийдэж чадна” гэдэг бол огт өөр чадвар юм. Танд хоёулаа хэрэгтэй.
Асуудлыг хайж олоод шийдээрэй!
Тэгш өнцөгт гурвалжингаар хүрээлэгдсэн тойрог. Энэ нийтлэлд бид нэг нотлох баримтыг авч үзэх болно. математикийн баримт", энэ нь геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд өргөн хэрэглэгддэг. Зарим эх сурвалжид энэ баримтыг теорем гэж тодорхойлсон бол заримд нь өөр өөр томъёолол байдаг, гэхдээ тэдгээрийн мөн чанар нь ижил байдаг;
Гурав дахь орой нь энэ тойрог дээр байрлах тойргийн диаметр дээр баригдсан аливаа гурвалжин тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна!
Өөрөөр хэлбэл, энэ геометрийн хэв маяг нь гурвалжны оройг хаана байрлуулахаас үл хамааран энэ оройн өнцөг үргэлж зөв байх болно.
Математикийн шалгалтанд маш олон даалгавар байдаг бөгөөд тэдгээрийг шийдвэрлэх явцад энэ өмчийг ашигладаг.
Би стандарт нотолгоог маш ойлгомжгүй, хэт ачаалалтай гэж үздэг математик тэмдэгтүүд, та үүнийг сурах бичгээс олох болно. Бид энгийн бөгөөд ойлгомжтой зүйлийг авч үзэх болно. Би үүнийг гайхалтай зохиолоос олж мэдсэн " Математикчийн уйлах", Би багш, оюутнуудад уншихыг зөвлөж байна.
Эхлээд зарим онолын санааг санацгаая.
Параллелограммын тэмдэг.Параллелограмм нь эсрэг талын талуудтай тэнцүү. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв дөрвөлжин нь эсрэг талын хос хостой бол энэ дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм болно.
Тэгш өнцөгт тэмдэг.Тэгш өнцөгт нь параллелограмм бөгөөд диагональ нь тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, параллелограмм нь ижил диагональтай бол энэ нь тэгш өнцөгт юм.
*Тэгш өнцөгт нь параллелограмм юм;
Ингээд эхэлцгээе:
Гурвалжинг аваад тойргийн төвтэй харьцуулахад 180 0 эргүүлье (эргэв). Бид тойрог дотор бичээстэй дөрвөн өнцөгтийг авна.
Бид гурвалжинг зүгээр л эргүүлсэн тул дөрвөлжингийн эсрэг талууд тэнцүү байгаа нь параллелограмм гэсэн үг юм. Гурвалжинг яг 180 градус эргүүлсэн тул түүний орой нь "анхны" гурвалжны оройн эсрэг талд байрлана.
Дөрвөн өнцөгтийн диагональууд тэнцүү тул диаметртэй байдаг. Бидэнд эсрэг талууд нь тэнцүү, диагональууд нь тэнцүү дөрвөн өнцөгт байгаа тул энэ нь тэгш өнцөгт бөгөөд түүний бүх өнцөг нь тэгш өнцөгт юм.
Энэ бол бүх нотолгоо!
Та үүнийг бас энгийн бөгөөд ойлгомжтой гэж үзэж болно:
Өөр нотлох баримтыг үзнэ үү =>>
С цэгээс бид тойргийн төвийг дайран өнгөрөх сегментийг барьж, нөгөө үзүүр нь тойргийн эсрэг цэг дээр (D цэг) байх болно. D цэгийг А ба В оройтой холбоно:
Бид дөрвөн өнцөгттэй болсон. Гурвалжин AOD гурвалжинтай тэнцүүХоёр талдаа OWL ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг:
Гурвалжны тэгш байдлаас харахад AD = CB байна.
Үүний нэгэн адил AC = DB.
Дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм гэж бид дүгнэж болно. Нэмж дурдахад түүний диагональууд тэнцүү байна - AB нь эхлээд диаметрээр өгөгдсөн, CD нь мөн диаметр юм (O цэгээр дамжин өнгөрдөг).
Тиймээс ACBD нь тэгш өнцөгт бөгөөд бүх өнцөг нь зөв гэсэн үг юм. Батлагдсан!
Өөр нэг гайхалтай арга нь тухайн өнцөг нь үргэлж зөв байдаг гэдгийг тодорхой бөгөөд "сайхан" хэлдэг.
тухай мэдээллийг харж, санаж байна. Одоо ноорог зургийг харна уу:
AOB өнцөг нь АХБ нуман дээр суурилсан төв өнцгөөс өөр зүйл биш бөгөөд 180 градустай тэнцүү байна. Тиймээ, AB бол тойргийн диаметр боловч AOB-ийг тоолоход юу ч саад болохгүй төв өнцөг(энэ бол шулуун өнцөг). ACB өнцөг нь АХБ дээр мөн адил нуман дээр тулгуурладаг.
Мөн бид бичээстэй өнцөг гэдгийг мэднэ хагастай тэнцүүтөв, өөрөөр хэлбэл бид С цэгийг тойрог дээр хэрхэн байрлуулсан ч ACB өнцөг нь үргэлж 90 градустай тэнцүү байх бөгөөд энэ нь шулуун гэсэн үг юм.
Асуудлыг, ялангуяа шалгалтанд хамрагдсан асуудлыг шийдвэрлэхэд ямар дүгнэлт хийж болох вэ?
Хэрэв нөхцөл нь тойрог дотор бичээстэй, энэ тойргийн голч дээр баригдсан гурвалжны тухай бол энэ гурвалжин нь гарцаагүй тэгш өнцөгт гурвалжин болно.
Хэрэв тэгш өнцөгт гурвалжинг тойрог дотор бичдэг гэж байгаа бол энэ нь түүний гипотенуз нь түүний диаметртэй (түүнтэй тэнцүү), гипотенузын төв нь тойргийн төвтэй давхцаж байна гэсэн үг юм.
Ингээд л болоо. Танд амжилт хүсье!
Хүндэтгэсэн, Александр Крутицких.
Шугамын сегментийн перпендикуляр биссектрис
Тодорхойлолт 1. Сегментийн перпендикуляр биссектрисЭнэ сегментэд перпендикуляр шулуун шугам гэж нэрлэгддэг ба түүний дундуур дамждаг (Зураг 1).
Теорем 1. Хэсэгт перпендикуляр биссектрисын цэг бүр байрлана төгсгөлүүдээс ижил зайд энэ сегмент.
Баталгаа. Ингээд авч үзье дурын цэг D, AB хэрчимтэй перпендикуляр биссектриса дээр хэвтэж (Зураг 2) ба ADC ба BDC гурвалжин тэнцүү болохыг батал.
Үнэн хэрэгтээ эдгээр гурвалжнууд нь AC ба BC хөлүүд нь тэнцүү, DC хөл нь нийтлэг байдаг тэгш өнцөгт гурвалжнууд юм. ADC ба BDC гурвалжнуудын тэгш байдал нь AD ба DB сегментүүдийн тэгш байдлыг илэрхийлдэг. Теорем 1 батлагдсан.
Теорем 2 (Теорем 1-тэй эсрэгээр). Хэрэв цэг нь сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байгаа бол энэ сегментийн перпендикуляр биссектрист байрладаг.
Баталгаа. Теорем 2-ыг эсрэгээр баталцгаая. Энэ зорилгын үүднээс зарим Е цэг нь сегментийн төгсгөлүүдээс ижил зайд байгаа боловч энэ сегментийн перпендикуляр биссектрист дээр байрладаггүй гэж үзье. Энэ таамаглалыг зөрчилд оруулъя. Юуны өмнө Е ба А цэгүүд зэрэгцээ орших тохиолдлыг авч үзье өөр өөр талууддунд перпендикуляраас (Зураг 3). Энэ тохиолдолд EA сегмент нь перпендикуляр биссектрисийг ямар нэгэн цэгээр огтолж байгаа бөгөөд бид үүнийг D үсгээр тэмдэглэнэ.
AE сегмент нь EB сегментээс урт гэдгийг баталцгаая. Үнэхээр,
Тиймээс Е ба А цэгүүд перпендикуляр биссектрисын эсрэг талд байрлах тохиолдолд бид зөрчилтэй байна.
Одоо Е ба А цэгүүд перпендикуляр биссектрисын нэг талд байрлах тохиолдлыг авч үзье (Зураг 4). EB сегмент нь AE сегментээс урт гэдгийг баталцгаая. Үнэхээр,
Үүссэн зөрчилдөөн нь теорем 2-ын баталгааг бүрэн хангана
Гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог
Тодорхойлолт 2. Гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог, гурвалжны бүх гурван оройг дайран өнгөрөх тойрог гэж нэрлэдэг (Зураг 5). Энэ тохиолдолд гурвалжинг дуудна тойрог дотор бичээстэй гурвалжинэсвэл бичээстэй гурвалжин.
Гурвалжингийн тойргийн шинж чанарууд. Синусын теорем
| Зураг | Зурах | Өмч |
| Перпендикуляр биссектриса гурвалжны талууд руу |  |
нэг цэг дээр огтлолцоно
. |
 |
|
|
| Төв талаар дүрсэлсэн хурц гурвалжинтойрог | Төвийн талаар тайлбарлав хурц өнцөгт дотор гурвалжин. | |
| Төв тэгш өнцөгт гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог |  | Төвийн талаар тайлбарлав тэгш өнцөгт
гипотенузын дунд
. |
| Төв мохоо гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог |  | Төвийн талаар тайлбарлав мохоо өнцөгт гурвалжин тойрог худлаа гадна гурвалжин. |
 |
|
|
| Дөрвөлжин гурвалжин |  | S = 2Р 2 гэм Анүгэл Бнүгэл C , |
| Эргэн тойрны радиус | Аливаа гурвалжны хувьд тэгш байдал нь үнэн юм: |
,| Гурвалжны хажуугийн перпендикуляр биссектрис |
Бүх перпендикуляр биссектрис , дурын гурвалжны талууд руу зурсан, нэг цэг дээр огтлолцоно . |
| Гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог |
Аливаа гурвалжинг тойргоор хүрээлж болно . Гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн төв нь гурвалжны хажуу тал руу татсан бүх перпендикуляр биссектрисс огтлолцох цэг юм. |
| Хурц гурвалжны хүрээлэгдсэн тойргийн төв |
Төвийн талаар тайлбарлав хурц өнцөгт гурвалжин тойрог худлаа дотор гурвалжин. |
| Тэгш өнцөгт гурвалжны хүрээлэгдсэн тойргийн төв |
Төвийн талаар тайлбарлав тэгш өнцөгт гурвалжин тойрог байна гипотенузын дунд . |
| Мохоо гурвалжны хүрээлэгдсэн тойргийн төв |
Төвийн талаар тайлбарлав мохоо өнцөгт гурвалжин тойрог худлаа гадна гурвалжин. |
Аливаа гурвалжны хувьд дараах тэгшитгэлүүд үнэн (синусын теорем):
Үүнд: a, b, c нь гурвалжны талууд, A, B, C нь гурвалжны өнцөг, R нь хүрээлэгдсэн тойргийн радиус юм. |
| Гурвалжны талбай |
Аливаа гурвалжны хувьд тэгш байдал нь үнэн юм: S = 2Р 2 гэм Анүгэл Бнүгэл C , Энд A, B, C нь гурвалжны өнцөг, S нь гурвалжны талбай, R нь хүрээлэгдсэн тойргийн радиус юм. |
| Эргэн тойрны радиус |
Аливаа гурвалжны хувьд тэгш байдал нь үнэн юм: a, b, c нь гурвалжны талууд, S нь гурвалжны талбай, R нь хүрээлэгдсэн тойргийн радиус юм. |
Гурвалжны тойргийн шинж чанарын талаархи теоремуудын баталгаа
Теорем 3. Дурын гурвалжны хажуу тал руу татсан бүх перпендикуляр биссектристер нэг цэгт огтлолцоно.
Баталгаа. АС ба AB талууд руу татсан хоёр перпендикуляр биссектрисийг авч үзье гурвалжин ABC, ба тэдгээрийн огтлолцлын цэгийг О үсэгтэй тэмдэглэнэ (Зураг 6).
О цэг нь АС сегментийн перпендикуляр биссектриса дээр байрладаг тул теорем 1-ийн дагуу тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.
О цэг нь AB сегментийн перпендикуляр биссектрист байрладаг тул теорем 1-ийн дагуу дараахь тэгшитгэлийг хангана.
Тиймээс тэгш байдал нь үнэн юм:
Эндээс теорем 2-ыг ашиглан бид О цэг нь ВС сегментийн перпендикуляр биссектрис дээр байрладаг гэж дүгнэв.
Ийнхүү нотлох шаардлагатай гурван перпендикуляр биссектрис бүгд ижил цэгээр дамждаг. Аливаа гурвалжинг тойргоор хүрээлж болно . Гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн төв нь гурвалжны хажуу тал руу татсан бүх перпендикуляр биссектрисс огтлолцох цэг юм.
Үр дагавар.
Теорем 3-ыг батлахдаа дараахь тэгшитгэлийг олж авав.
Үүнээс үзэхэд төв нь О цэгт, OA, OB, OC радиустай тойрог нь ABC гурвалжны бүх гурван оройг дайран өнгөрдөг бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай байв.
Гурвалжин бол хамгийн энгийн хавтгай хавтгай юм. олон өнцөгт хэлбэрүүд. Оройнуудын аль нэг өнцгийн утга 90° байвал гурвалжинг тэгш өнцөгт гурвалжин гэнэ. Ийм олон өнцөгтийг 3 орой тус бүр өөрийн хил (тойрог)-той нэг нийтлэг цэгтэй байхаар тойрог зурах боломжтой. Энэ тойрог нь хязгаарлагдмал, оршихуй гэж нэрлэгдэх болно зөв өнцөгтүүнийг барих ажлыг ихээхэн хялбаршуулдаг.
Танд хэрэгтэй болно
- Захирагч, луужин, тооны машин.
Заавар
1. Та барих шаардлагатай тойргийн радиусыг тодорхойлж эхэл. Хэрэв гурвалжны талуудын уртыг хэмжих боломжтой бол түүний гипотенуз буюу баруун өнцгийн эсрэг талд байрлах тал дээр анхаарлаа хандуулаарай. Үүнийг хэмжиж, үүссэн утгыг хагасаар хуваана - энэ нь зөв гурвалжны эргэн тойронд дүрслэгдсэн тойргийн радиус болно.
2. Хэрэв гипотенузын урт нь тодорхойгүй боловч хөлний урт (a ба b) байвал (зөв өнцгийн хажуугийн 2 тал) байвал Пифагорын теоремыг ашиглан радиусыг (R) ол. Үүнээс үзэхэд энэ параметр нь хөлний квадрат уртын нийлбэрээс гаргаж авсан квадрат язгуурын хагастай тэнцүү байх болно: R=?*?(a?+b?).
3. Хэрэв зөвхөн нэг хөлний урт (a) ба зэргэлдээх хурц өнцгийн хэмжээ (?) мэдэгдэж байвал хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг (R) тодорхойлно. тригонометрийн функц- косинус. Тэгш өнцөгт гурвалжинд энэ нь гипотенуз ба энэ хөлний уртын харьцааг тодорхойлдог. Хөлийн уртын хагасыг алдарт өнцгийн косинудад хуваасан хэсгийг тооцоол: R=?*a/cos(?).
4. Хэрэв хөлний аль нэгнийх нь урт (a) -аас гадна түүний эсрэг байрлах хурц өнцгийн (?) утга мэдэгдэж байвал радиусыг (R) тооцоолохын тулд өөр тригонометрийн функц болох синусыг ашиглана. Функц ба талыг солихоос гадна томьёонд юу ч өөрчлөгдөхгүй - хөлний уртыг мэдэгдэж буй хурц өнцгийн синусаар хувааж, үр дүнг хагасаар хуваана: R=?*b/sin(?).
5. Аль нэгээр нь радиусыг олсны дараа жагсаасан аргуудхүрээлэгдсэн тойргийн төвийг тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд үр дүнгийн утгыг луужин дээр тавиад гурвалжны орой бүрт тохируулна уу. Дүрслэх бүтэн тойрогшаардлагагүй, гипотенузтай огтлолцох газрыг хялбархан тэмдэглээрэй - энэ цэг нь тойргийн төв болно. Энэ бол тэгш өнцөгт гурвалжны чанар бөгөөд түүнийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн төв нь хамгийн урт талынх нь дунд байдаг. Луужин дээр байрлуулсан радиусын тойргийг төвийг нь илрүүлсэн цэг дээр зур. Ингэснээр барилгын ажил дуусна.
Хааяа тухай гүдгэр олон өнцөгтБүх өнцгийн оройнууд түүн дээр байхаар тойрог зурахыг зөвшөөрнө. Олон өнцөгттэй холбоотой ийм тойргийг хязгаарлагдмал гэж нэрлэх хэрэгтэй. Тэр төвбичээстэй зургийн периметрийн дотор байх албагүй, харин тайлбарласан шинж чанарыг ашиглана тойрог, энэ цэгийг олж илрүүлэх нь ердийнх шиг тийм ч хэцүү биш юм.
Танд хэрэгтэй болно
- Захирагч, харандаа, протектор эсвэл дөрвөлжин, луужин.
Заавар
1. Хэрэв тойргийг дүрслэх шаардлагатай олон өнцөгтийг цаасан дээр зурсан бол олох төвба тойрог нь захирагч, харандаа, протектор эсвэл дөрвөлжин хангалттай. Зургийн тал бүрийн уртыг хэмжиж, дунд хэсгийг нь тодорхойлж, зургийн энэ хэсэгт туслах цэгийг байрлуул. Квадрат эсвэл протекторын тусламжтайгаар энэ тал руу перпендикуляр олон өнцөгт доторх сегментийг эсрэг талтай огтлолцох хүртэл зур.
2. Олон өнцөгтийн бусад талтай ижил үйлдлийг хий. Баригдсан 2 сегментийн огтлолцол нь хүссэн цэг болно. Энэ нь тайлбарласан үндсэн шинж чанараас үүдэлтэй тойрог- тэр төвхэдэн талтай гүдгэр олон өнцөгт нь эдгээр талууд руу татсан перпендикуляр биссектрисын огтлолцлын цэг дээр байнга оршино.
3. Ердийн олон өнцөгтүүдийн хувьд тодорхойлолт төвмөн бичээстэй тойрогЭнэ нь хамаагүй хялбар байж болох юм. Хэрэв энэ нь дөрвөлжин бол хоёр диагональ зурна гэж бодъё - тэдгээрийн огтлолцол байх болно төвом гэж бичсэн байна тойрог. Аль ч тэгш тооны талуудтай эерэг олон өнцөгт хоёр хос эсрэг талын өнцгийг туслах сегментүүдтэй хослуулахад хангалттай. төвтодорхойлсон тойрогтэдгээрийн огтлолцох цэгтэй давхцах ёстой. Тэгш өнцөгт гурвалжинд асуудлыг шийдэхийн тулд зургийн хамгийн урт талын дунд хэсэг болох гипотенузыг хялбархан тодорхойлно.
4. Хэрэв тухайн цэгийн байрлалыг тодорхойлсны дараа тухайн олон өнцөгтийг тойрсон тойрог зурахыг дипломын ажилд зөвшөөрөх эсэх нь нөхцөл байдлаас тодорхойгүй бол. төвмөн та тайлбарласан аргуудын аль нэгийг ашиглан олж мэдэх боломжтой. Илэрсэн цэг ба орой бүрийн хоорондох зайг луужин дээр тэмдэглээд луужингаа шаардлагатай хэмжээнд тохируулна уу төв тойрогба тойрог зур - бүх орой нь үүн дээр хэвтэх ёстой тойрог. Хэрэв тийм биш бол энэ нь үндсэн шинж чанаруудын нэг нь хангагдаагүй гэсэн үг бөгөөд энэ олон өнцөгтийг тойрсон тойргийг дүрслэх боломжгүй юм.
Тодорхойлолтын дагуу тайлбарлав тойрогбүх булангийн оройг дамжин өнгөрөх ёстой олон өнцөгт өгөгдсөн. Энэ тохиолдолд энэ нь ямар төрлийн олон өнцөгт байх нь хамаагүй - гурвалжин, дөрвөлжин, тэгш өнцөгт, трапец эсвэл өөр зүйл. Мөн олон өнцөгт үнэн эсвэл худал эсэх нь хамаагүй. Эргэн тойронд олон өнцөгтүүд байдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй тойрогдүрслэх боломжгүй. Үүнийг дүрслэхийг үргэлж зөвшөөрдөг тойроггурвалжны эргэн тойронд. Дөрвөн өнцөгтийн тухайд гэвэл тойрогТа дөрвөлжин, тэгш өнцөгт эсвэл ижил өнцөгт трапецийг дүрсэлж болно.
Танд хэрэгтэй болно
- Тодорхойлогдсон олон өнцөгт
- Захирагч
- Дөрвөлжин
- Харандаа
- Луужин
- Протектор
- Синус ба косинусын хүснэгтүүд
- Математик дүрслэл ба томьёо
- Пифагорын теорем
- Синусын теорем
- Косинусын теорем
- Гурвалжингийн ижил төстэй байдлын шинж тэмдэг
Заавар
1. -ээр олон өнцөгт байгуул өгөгдсөн параметрүүдмөн эргэн тойронд нь дүрслэхийг зөвшөөрөх эсэхийг тодорхойлох тойрог. Хэрэв танд дөрвөн өнцөгт өгөгдсөн бол түүний нийлбэрийг тооцоол эсрэг талын булангууд. Тэд тус бүр нь 180 ° -тай тэнцүү байх ёстой.
2. Дүрслэхийн тулд тойрог, та түүний радиусыг тооцоолох хэрэгтэй. Төрөл бүрийн олон өнцөгт тойргийн төв хаана байгааг санаарай. Гурвалжинд энэ нь бүх өндрийн огтлолцлын цэг дээр байрладаг өгөгдсөн гурвалжин. Дөрвөлжин ба тэгш өнцөгтийн хувьд - диагональуудын огтлолцлын цэг дээр, трапецын хувьд - тэгш хэмийн тэнхлэгийг хажуугийн талуудын дунд цэгүүдийг холбосон шугамтай огтлолцох цэг дээр, бусад гүдгэр олон өнцөгтийн хувьд - цэг дээр. талуудын дундах перпендикуляруудын огтлолцол.
3. Пифагорын теоремыг ашиглан дөрвөлжин ба тэгш өнцөгтийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн диаметрийг тооцоол. Энэ нь тэнцүү байх болно квадрат язгууртэгш өнцөгтийн талуудын квадратуудын нийлбэрээс. Бүх талууд тэнцүү квадратын хувьд диагональ нь хажуугийн квадратаас хоёр дахин их квадрат язгууртай тэнцүү байна. Диаметрийг 2-т хуваах нь радиусыг өгнө.
4. Гурвалжны тойргийн радиусыг тооцоол. Гурвалжны параметрүүд нь нөхцөлд өгөгдсөн тул R = a/(2·sinA) томъёогоор радиусыг тооцоол, a нь гурвалжны талуудын нэг, ? - түүний эсрэг талын өнцөг. Энэ талын оронд та өөр аль ч тал болон түүний эсрэг талын өнцгийг авч болно.
5. Трапецийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг тооцоол. R = a*d*c / 4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c)) Энэ томъёонд a ба b нь трапецын суурь, h нь өндөр, d нь диагональ, p = 1 /2*(a+d+c) . Дутуу утгыг тооцоолох. Трапецын талуудын урт ба өнцгийг асуудлын нөхцөлд зааж өгсөн тул синус эсвэл косинусын теоремыг ашиглан өндрийг тооцоолж болно. Гурвалжны өндрийг мэдэж, ижил төстэй байдлын шинж тэмдгийг харгалзан диагональыг тооцоол. Үүний дараа дээрх томьёог ашиглан радиусыг тооцоолоход л үлддэг.
Сэдвийн талаархи видео
Хэрэгтэй зөвлөгөө
Өөр олон өнцөгтийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг тооцоолохын тулд цувралыг гүйцэтгэнэ нэмэлт барилга байгууламж. Параметрүүдийг нь мэддэг илүү энгийн тоонуудыг аваарай.
Зөвлөгөө 4: Хурц өнцөг ба гипотенузыг ашиглан тэгш өнцөгт гурвалжинг хэрхэн зурах вэ
Гурвалжны аль нэг оройн өнцөг нь 90° байвал түүнийг тэгш өнцөгт гурвалжин гэнэ. Энэ өнцгийн эсрэг талын талыг гипотенуз, гурвалжны хоёр хурц өнцгийн эсрэг талын талыг хөл гэнэ. Хэрэв гипотенузын урт ба аль нэгийнх нь хэмжээ хурц булангууд, дараа нь энэ өгөгдөл нь дор хаяж хоёр аргыг ашиглан гурвалжин байгуулахад хангалттай.
Танд хэрэгтэй болно
- Нэг хуудас цаас, харандаа, захирагч, луужин, тооны машин.
Заавар
1. 1-р арга нь харандаа, цааснаас гадна захирагч, протектор, дөрвөлжин шаарддаг. Нэгдүгээрт, гипотенуз болох талыг зурж - А цэгийг тавьж, түүнээс гипотенузын мэдэгдэж буй уртыг салгаж, С цэгийг тавиад цэгүүдийг нэгтгэнэ.
2. Тэг тэмдэг нь А цэгтэй давхцах байдлаар протекторыг зурсан хэрчим дээр холбож, мэдэгдэж буй хурц өнцгийн утгыг хэмжиж, туслах цэгийг байрлуулна. А цэгээс эхэлж туслах цэгээр дамжин өнгөрөх шугамыг зур.
3. Квадратыг АС хэрчимд зөв өнцгийг C цэгээс эхлэх байдлаар холбоно. Дөрвөлжин өмнөх алхам дээр зурсан шугамыг B үсэгээр огтолж байгаа цэгийг тэмдэглээд C цэгтэй нэгтгэнэ. Ингэснээр дөрвөлжингийн барилгын ажил дуусна. Алдарт АС урттай АС (гипотенуз) ба А орой дээрх хурц өнцөг бүхий тэгш өнцөгт гурвалжинг дуусгах болно.
4. Өөр нэг арга нь харандаа, цааснаас гадна захирагч, луужин, тооны машин шаарддаг. Хөлний уртыг тооцоолж эхэл - нэг хурц өнцгийн хэмжээ, гипотенузын уртыг мэдэх нь үүнд хангалттай юм.
5. Мэдэгдэж буй хэмжигдэхүүний (β) өнцгийн эсрэг байрлах хөлний уртыг (AB) тооцоол. бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байнаГипотенузын уртыг (АС) алдартай өнцгийн синусаар AB=AC*sin(β).
6. Нөгөө хөлний уртыг тодорхойл (BC) - энэ нь гипотенузын урт ба өгөгдсөн өнцгийн косинусын BC=AC*cos(β) үржвэртэй тэнцүү байна.
7. А цэгийг байрлуулж, түүнээс гипотенузын уртыг хэмжиж, С цэгийг байрлуулж, тэдгээрийн хооронд шугам зурна.
8. Тав дахь алхамд тооцоолсон AB хөлний уртыг луужин дээр хойш тавьж, төв нь А цэг дээр байгаа туслах хагас тойрог зур.
9. Зургаа дахь алхамд тооцсон BC хөлний уртыг луужин дээр тавиад, төв нь С цэг дээр байгаа туслах хагас тойрог зур.
10. 2 хагас тойргийн огтлолцлын цэгийг B үсгээр тэмдэглээд A ба B, C ба B цэгүүдийн хооронд хэрчмүүдийг зур. Ингэснээр тэгш өнцөгт гурвалжинг барьж дуусгана.
Зөвлөгөө 5: Тэгш өнцөгт гурвалжны талуудыг юу гэж нэрлэдэг вэ?
Эрт дээр үеэс хүмүүс тэгш өнцөгт гурвалжны гайхалтай шинж чанарыг сонирхож эхэлсэн. Эдгээр шинж чанаруудын ихэнхийг эртний Грекийн эрдэмтэн Пифагор тодорхойлсон байдаг. Эртний Грект тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын нэр бас гарч ирэв.
Аль гурвалжинг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг вэ?
Хэд хэдэн төрлийн гурвалжин байдаг. Зарим нь бүх хурц өнцөгтэй, зарим нь нэг мохоо, хоёр хурц өнцөгтэй, бусад нь хоёр хурц, нэг шулуунтай. Энэ тэмдгийн дагуу эдгээрийн төрөл бүр геометрийн хэлбэрүүдба нэрийг авсан: хурц өнцөгт, мохоо өнцөгт, тэгш өнцөгт. Өөрөөр хэлбэл аль нэг өнцөг нь 90° байх гурвалжинг тэгш өнцөгт гурвалжин гэнэ. Эхнийхтэй төстэй өөр нэг тодорхойлолт байдаг. Хоёр тал нь перпендикуляр гурвалжинг тэгш өнцөгт гурвалжин гэнэ.
Гипотенуз ба хөл
Хурц өнцөгт ба мохоо гурвалжинбулангийн оройг холбосон сегментүүдийг анхдагч тал гэж нэрлэдэг. Гурвалжин дээр тэгш өнцөгт талТэд бас өөр нэртэй байдаг. Зөв өнцгөөр зэргэлдээх хүмүүсийг хөл гэж нэрлэдэг. Зөв өнцгийн эсрэг талын талыг гипотенуз гэж нэрлэдэг. -аас орчуулав Грек үг"гипотенуз" нь "нягт", "хөл" нь "перпендикуляр" гэсэн утгатай.
Гипотенуз ба хөлний хоорондын хамаарал
Тэгш өнцөгт гурвалжны талууд нь тодорхой харилцаа холбоогоор холбогддог бөгөөд энэ нь тооцооллыг ихээхэн хөнгөвчилдөг. Жишээлбэл, хөлний хэмжээсийг мэдсэнээр та гипотенузын уртыг тооцоолж болно. Үүнийг нээсэн математикчийн нэрээр нэрлэгдсэн энэ хамаарлыг Пифагорын теорем гэж нэрлэсэн бөгөөд дараах байдлаар харагдана: c2 = a2 + b2, энд c нь гипотенуз, a ба b нь хөл юм. Өөрөөр хэлбэл, гипотенуз нь хөлний квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгууртай тэнцүү байх болно. Хөл тус бүрийг олохын тулд гипотенузын квадратаас нөгөө хөлийн квадратыг хасч, үүссэн ялгаанаас квадрат язгуурыг гаргаж авахад хангалттай.
Зэргэлдээ болон эсрэг талын хөл
DIA тэгш өнцөгт гурвалжинг зур. С үсэг нь ихэвчлэн зөв өнцгийн оройг, A ба B - хурц өнцгийн оройг илэрхийлдэг. Бүхэл бүтэн өнцгийн эсрэг талын талуудыг тэдгээрийн эсрэг байрлах өнцгийн нэрсийн дагуу a, b, c гэж нэрлэх нь тохиромжтой. А өнцгийг хараарай. А хөл нь түүний эсрэг, b хөл нь зэргэлдээ байх болно. Хандлага эсрэг талгипотенузыг синус гэж нэрлэдэг. Энэхүү тригонометрийн функцийг sinA=a/c томъёогоор тооцоолж болно. Зэргэлдээх хөлний гипотенузын харьцааг косинус гэж нэрлэдэг. Үүнийг cosA=b/c томъёогоор тооцоолно. Тиймээс өнцөг болон талуудын аль нэгийг мэдэж байгаа тул эдгээр томъёог ашиглан нөгөө талыг тооцоолох боломжтой болно. Тригонометрийн харилцааХоёр тал нь бас холбогдсон. Эсрэг талынх нь зэргэлдээх харьцааг шүргэгч, зэргэлдээх нь эсрэг талын харьцааг котангенс гэнэ. Эдгээр хамаарлыг tgA=a/b эсвэл ctgA=b/a томъёогоор илэрхийлж болно.
