Тодорхойлолт 1. Тооны тэнхлэг (тооны шугам, координатын шугам) Ox нь О цэгийг сонгосон шулуун шугам юм гарал үүсэл (координатын гарал үүсэл)(Зураг 1), чиглэл

О → x

гэж жагсаасан эерэг чиглэлмөн сегментийг тэмдэглэсэн бөгөөд уртыг нь авна уртын нэгж.

Тодорхойлолт 2. Уртыг уртын нэгж болгон авсан сегментийг масштаб гэж нэрлэдэг.

Тоон тэнхлэг дээрх цэг бүр координаттай байдаг бөгөөд энэ нь бодит тоо. О цэгийн координат тэг байна. Ox туяа дээр байрлах дурын А цэгийн координат нь OA хэрчмийн урттай тэнцүү байна. Ox туяанд оршдоггүй тоон тэнхлэгийн дурын А цэгийн координат сөрөг бөгөөд үнэмлэхүй утгаараа OA сегментийн урттай тэнцүү байна.

Тодорхойлолт 3. Тэгш өнцөгт декартын координатын систем Хавтгай дээрх Оксихоёрыг харилцан дууд перпендикуляртоон тэнхлэгүүд Ox and Oy with ижил масштабтайТэгээд нийтлэг эхлэлцаг тоолох O цэг дээр байх ба 90° өнцгөөр Ox туяанаас Oy туяа руу эргэх нь тухайн чиглэлд явагдана. цагийн зүүний эсрэг(Зураг 2).

Анхаарна уу. 2-р зурагт үзүүлсэн тэгш өнцөгт декартын координатын Окси системийг нэрлэнэ зөв координатын систем, ялгаатай зүүн координатын системүүд, Ох цацрагийг 90° өнцгөөр эргүүлэх нь цагийн зүүний дагуу хийгдэнэ. Энэхүү гарын авлагад бид Бид зөвхөн баруун гар талын координатын системийг авч үздэг, тусгайлан заагаагүй.

Хэрэв бид хавтгайд Окси-ийн тэгш өнцөгт декартын координатын зарим системийг оруулбал онгоцны цэг бүрийг олж авна. хоёр координат – абсциссаТэгээд ординат, эдгээрийг дараах байдлаар тооцно. А нь хавтгай дээрх дурын цэг байг. А цэгээс перпендикуляр буулгая А.А. 1 ба А.А. 2 шулуун шугам руу Ox болон Oy тус тус (Зураг. 3).

Тодорхойлолт 4. А цэгийн абсцисса нь тухайн цэгийн координат юм А Ox тооны тэнхлэг дээрх 1, А цэгийн ординат нь цэгийн координат болно А Oy тооны тэнхлэг дээр 2.

Тэмдэглэл Цэгийн координат (абсцисса ба ординат).Тэгш өнцөгт декартын координатын систем дэх Oxy (Зураг 4) -ийг ихэвчлэн тэмдэглэдэг. А(x;y) эсвэл А = (x; y).

Анхаарна уу. О цэгийг дуудлаа гарал үүсэл, координаттай О(0 ; 0) .

Тодорхойлолт 5. Тэгш өнцөгт декартын координатын системд Окси тооны тэнхлэгҮхэрийг абсцисса тэнхлэг, Oy тоон тэнхлэгийг ординатын тэнхлэг гэж нэрлэдэг (Зураг 5).

Тодорхойлолт 6. Тус бүр нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй Декарт системкоординатууд нь хавтгайг 4 дөрөвний (квадрант) хуваадаг бөгөөд тэдгээрийн дугаарыг 5-р зурагт үзүүлэв.

Тодорхойлолт 7. Тэгш өнцөгт декартын координатын систем өгөгдсөн хавтгайг гэнэ координатын хавтгай.

Анхаарна уу. Абсцисса тэнхлэгийг тохируулсан координатын хавтгайтэгшитгэл y= 0, ординатын тэнхлэгийг координатын хавтгайд тэгшитгэлээр өгөв x = 0.

Мэдэгдэл 1. Хоёр цэгийн хоорондох зайкоординатын хавтгай

А 1 (x 1 ;y 1) Тэгээд А 2 (x 2 ;y 2)

тооцоолсон томъёоны дагуу

Баталгаа. Зураг 6-г авч үзье.

Тиймээс,

Q.E.D.

Координатын хавтгай дээрх тойргийн тэгшитгэл

Oxy координатын хавтгайд (Зураг 7) цэг дээр төвтэй R радиустай тойргийг авч үзье. А 0 (x 0 ;y 0) .

Зааварчилгаа

Бичнэ үү математик үйлдлүүдтекст хэлбэрээр хийж, хайлтын асуулгын талбарт оруулна уу нүүр хуудасХэрэв та тооцоолуур ашиглах боломжгүй, гэхдээ интернетэд холбогдох боломжтой бол Google сайт. Энэхүү хайлтын систем нь олон үйлдэлт тооцоолууртай бөгөөд ашиглахад бусад бүхнээс хамаагүй хялбар юм. Товчлууртай интерфейс байхгүй - бүх өгөгдлийг нэг талбарт текст хэлбэрээр оруулах ёстой. Жишээлбэл, хэрэв мэддэг бол координатууд туйлын цэгүүд сегментгурван хэмжээст координатын системд A(51.34 17.2 13.02) ба A(-11.82 7.46 33.5), дараа нь координатууддунд цэг сегмент C((51.34-11.82)/2 (17.2+7.46)/2 (13.02+33.5)/2). Хайлтын хайлтын талбарт (51.34-11.82)/2, дараа нь (17.2+7.46)/2 болон (13.02+33.5)/2 гэж оруулснаар та Google-г ашиглаж болно. координатууд C(19.76 12.33 23.26).

Стандарт тэгшитгэлтойрог нь хэд хэдэн зүйлийг олж мэдэх боломжийг олгодог чухал мэдээлэлЭнэ зургийн тухай, жишээлбэл, түүний төвийн координат, радиусын урт. Зарим асуудалд эсрэгээрээ өгөгдсөн параметрүүдтэгшитгэл үүсгэх хэрэгтэй.

Зааварчилгаа

Танд өгсөн даалгаврын дагуу тойргийн талаар ямар мэдээлэлтэй болохыг тодорхойл. Гэдгийг санах эцсийн зорилгоЭнэ нь төвийн координат, түүнчлэн диаметрийг тодорхойлох хэрэгцээ юм. Таны бүх үйлдэл энэ тодорхой үр дүнд хүрэхэд чиглэгдсэн байх ёстой.

Координатын шугам эсвэл бусад шугамтай огтлолцох цэг байгаа талаарх мэдээллийг ашиглана уу. Хэрэв тойрог абсцисса тэнхлэгийг дайран өнгөрвөл хоёр дахь нь координат 0, ординатын тэнхлэгээр дамжин өнгөрвөл эхнийх нь координат байх болно гэдгийг анхаарна уу. Эдгээр координатууд нь тойргийн төвийн координатыг олох, мөн радиусыг тооцоолох боломжийг олгоно.

Секант ба шүргэгчийн үндсэн шинж чанаруудын талаар бүү мартаарай. Ялангуяа хамгийн ашигтай теорем бол хүрэх цэг дээр радиус ба тангенс нь тэгш өнцөг үүсгэдэг. Гэхдээ хичээлийн явцад ашигласан бүх теоремуудыг батлахыг танаас шаардаж болохыг анхаарна уу.

Тойргийн тэгшитгэлд тодорхой өгөгдлийг хэрхэн ашиглахыг нэн даруй олж мэдэхийн тулд хамгийн стандарт төрлүүдийг шийдээрэй. Тиймээс, аль хэдийн дурдсан ажлуудаас гадна шууд өгөгдсөн координатуудТойргийн тэгшитгэлийг бүрдүүлэхийн тулд огтлолцох цэгүүд байгаа эсэх талаар мэдээлэл өгсөн тохиолдолд та тойргийн төв, хөвчний урт, энэ хөвч дээр байрлах талаархи мэдлэгийг ашиглаж болно.

Шийдэх, барих тэгш өнцөгт гурвалжин, үндэс нь байх болно өгөгдсөн аккорд, А тэнцүү талууд- радиус. Шаардлагатай өгөгдлийг хялбархан олох боломжтой эмхэтгэл. Үүнийг хийхийн тулд хавтгай дахь сегментийн уртыг олох томъёог ашиглахад хангалттай.

Сэдвийн талаархи видео

Тойрог нь төвөөсөө ижил зайд байгаа хавтгай дээрх олон цэгээс бүрдсэн дүрсийг ойлгодог. Төвөөс цэг хүртэлх зай тойроградиус гэж нэрлэдэг.

Туйлын координатууд

дугаарыг дуудаж байна туйлын радиусцэгүүд эсвэл Эхний туйлын координат. Зай нь сөрөг байж болохгүй тул аливаа цэгийн туйлын радиус нь . Эхний туйлын координатыг мөн тэмдэглэв Грек үсэг("ro"), гэхдээ би Латин хувилбарт дассан бөгөөд ирээдүйд үүнийг ашиглах болно.

дугаарыг дуудаж байна туйлын өнцөгөгсөн цэг эсвэл Хоёр дахь туйлын координат. Туйлын өнцөг нь ихэвчлэн дотроо өөр өөр байдаг (гэж нэрлэгддэг үндсэн өнцгийн утгууд). Гэсэн хэдий ч мужийг ашиглах нь нэлээд зөвшөөрөгдөхүйц бөгөөд зарим тохиолдолд тэгээс "нэмэх хязгааргүй" хүртэлх бүх өнцгийн утгыг шууд авч үзэх шаардлагатай байдаг. Дашрамд хэлэхэд, та градусаар ажилладаг тул өнцгийн радиан хэмжигдэхүүнд дасахыг зөвлөж байна дээд математик not comme il faut гэж үздэг.

Хосыг дуудаж байна туйлын координатцэгүүд Тэдгээрийг олоход хялбар бөгөөд тодорхой утгууд. Тангенс хурц өнцөгтэгш өнцөгт гурвалжин - хамаарал байдаг эсрэг хөлзэргэлдээх хөл рүү: тиймээс өнцөг нь өөрөө: . Пифагорын теоремын дагуу гипотенузын квадрат нийлбэртэй тэнцүү байнахөлийн квадратууд: тиймээс туйлын радиус:

Тиймээс, .

Нэг оцон шувуу сайн, харин сүрэг нь дээр.


Сөрөг чиглэсэн өнцөг Уншигчдын зарим нь энэ чиглэлийн талаар хараахан мэдээгүй байх магадлалтай гэж би үүнийг сумаар тэмдэглэв. Хэрэв хүсвэл та тус бүрдээ 1 эргэлт (рад эсвэл 360 градус) "эрэг" хийж, дашрамд хэлэхэд тухтай байх боломжтой. хүснэгтийн утгууд:

Гэхдээ эдгээр "уламжлалт" чиглэлтэй өнцгүүдийн сул тал нь цагийн зүүний эсрэг хэт хол (180 градусаас дээш) "мушгисан" явдал юм. "Яагаад хомсдолтой байна, яагаад хомс байна вэ" гэсэн асуултыг би таамаглаж байна сөрөг өнцөг? Математикийн хувьд хамгийн богино ба оновчтой арга замууд. Физикийн үүднээс авч үзвэл эргэлтийн чиглэл нь ихэвчлэн чухал ач холбогдолтой байдаг - бидний хүн нэг бүр бариулыг буруу чиглэлд татаж хаалгыг онгойлгохыг оролдсон =)

Туйлын координат дээр цэг байгуулах дараалал, техник

Сайхан зургуудЭдгээр нь үзэсгэлэнтэй, гэхдээ тэдгээрийг туйлын координатын системд барих нь маш хэцүү ажил юм. Туйлтын өнцөгтэй цэгүүдэд ямар ч хүндрэл байхгүй , бидний жишээнд эдгээр нь цэгүүд юм ; 45 градусын үржвэртэй утгууд нь тийм ч их асуудал үүсгэдэггүй: . Гэхдээ цэгийг хэрхэн зөв, чадварлаг барих вэ?

Танд алаг цаас, харандаа болон дараах зүйлс хэрэгтэй болно зургийн хэрэгсэл: захирагч, луужин, протектор. IN эцсийн арга зам, та зөвхөн нэг захирагчтай, эсвэл бүр ... түүнгүйгээр ч байж болно! Уншаад л энэ улс ялагдашгүй гэдгийг дахин нотлох болно =)

Жишээ 1

Туйлын координатын системд цэг байгуул.

Юуны өмнө та үүнийг олж мэдэх хэрэгтэй градусын хэмжүүрөнцөг Хэрэв булан нь танил бус эсвэл эргэлзээтэй байвал ашиглах нь дээр ширэээсвэл радианыг градус болгон хувиргах ерөнхий томъёо. Тэгэхээр бидний өнцөг (эсвэл).

Туйлын координатын системийг зурж (хичээлийн эхлэлийг харна уу) протекторыг авцгаая. Бөөрөнхий багажны эзэд 240 градусыг тэмдэглэхэд хүндрэлтэй байх болно, гэхдээ өндөр магадлалтайТаны гарт төхөөрөмжийн хагас дугуй хэлбэртэй хувилбар байх болно. Асуудал бүрэн байхгүйХэрэв танд принтер, хайч байгаа бол протектор гар урлалаар шийддэг.

Хоёр арга бий: хуудсыг эргүүлж, 120 градусаар тэмдэглэнэ, эсвэл хагас эргэлтийг "эрэглэн" шалгана. эсрэг талын булан. Насанд хүрэгчдийн аргыг сонгоод 60 градусын тэмдэглэгээ хийцгээе.


Лилипутын протектор, эсвэл аварга тор =) Гэхдээ өнцгийг хэмжихэд масштаб чухал биш.

Харандаа ашиглан шонг дайран өнгөрч буй нимгэн шулуун шугамыг зурж, тэмдэглэгээг хий.


Бид өнцгийг нь ангилсан, одоо туйлын радиус дараагийнх нь байна. Луужин аваад шугамын дагууБид түүний шийдлийг 3 нэгж болгон тохируулсан бөгөөд ихэнхдээ энэ нь мэдээжийн хэрэг сантиметр юм.

Одоо зүүг шон дээр болгоомжтой байрлуулж, мөн эргэлтийн хөдөлгөөнБид жижиг сериф (улаан өнгө) хийдэг. Шаардлагатай цэгийг барьсан:


Та захирагчийг барьсан шулуун шугам дээр шууд хэрэглэж, 3 сантиметрийг хэмжих замаар луужингүйгээр хийж болно. Гэхдээ бид дараа нь үзэх болно туйлын координатын системд барихтай холбоотой асуудлуудадердийн нөхцөл байдал бол та хоёр эсвэл тэмдэглэх шаардлагатай үед тохиолддог их хэмжээнийижил туйлын радиустай цэгүүд тул металыг хатууруулах нь илүү үр дүнтэй байдаг. Тодруулбал, бидний зурсан зурган дээр луужингийн хөлийг 180 градус эргүүлснээр хоёр дахь ховил хийж, туйлтай харьцуулахад тэгш хэмтэй цэг байгуулахад хялбар байдаг. Дараах догол мөр дэх материалтай ажиллахын тулд үүнийг ашиглацгаая:

Тэгш өнцөгт ба туйлын координатын системийн хоорондын хамаарал

Мэдээжийн хэрэг нэмьетуйлын координатын системд "ердийн" координатын торыг зурж, зурган дээр цэг зурна уу.

Туйлын координатыг зурахдаа энэ холболтыг үргэлж санаж байх нь ашигтай байдаг. Хэдийгээр дур зоргоороо энэ нь өөр ямар ч сануулгагүйгээр өөрийгөө санал болгодог.

Туйлын болон декартын координатуудын хоорондын хамаарлыг жишээгээр тогтооцгооё тодорхой цэг. Ингээд авч үзье зөв гурвалжин, үүнд гипотенуз нь туйлын радиустай тэнцүү: , хөлүүд нь декартын координатын систем дэх цэгийн "X" ба "Y" координатуудтай тэнцүү байна: .

Хурц өнцгийн синус нь эсрэг талын гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Хурц өнцгийн косинус нь зэргэлдээх хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Үүний зэрэгцээ бид ерөнхий боловсролын сургуулийн 9-р ангийн сургалтын хөтөлбөрөөс синус, косинус (мөн арай өмнөх шүргэгч) гэсэн тодорхойлолтуудыг давтсан.

Цэгийн декарт координатыг туйлын координатаар нь илэрхийлэх ажлын томьёог лавлах номондоо нэмж оруулаарай - бид тэдгээрийг нэгээс олон удаа, дараагийн удаад яг одоо шийдэх хэрэгтэй болно =)

Тэгш өнцөгт координатын систем дэх цэгийн координатыг олъё.

Тиймээс:

Үүссэн томьёо нь барилгын асуудалд өөр нэг цоорхойг нээж өгдөг бөгөөд энэ нь та огтлогчгүйгээр хийх боломжтой юм: эхлээд бид цэгийн декарт координатыг олдог (мэдээжийн хэрэг ноорог дээр), дараа нь бид зурган дээрх хүссэн газраа оюун ухаандаа олдог. энэ цэгийг тэмдэглэ. Асаалттай эцсийн шатбаригдсан цэг ба туйлыг дайран өнгөрөх нимгэн шулуун шугамыг зурна. Үүний үр дүнд өнцгийг протектороор хэмжсэн гэж мэдэгдэв.

Цөхрөнгөө барсан оюутнууд сурах бичиг, дэвтэр, дэвтэр зэргийг ашиглан захирагчгүйгээр ч хийж чаддаг нь инээдтэй юм. ангийн дэвтэрЭцсийн эцэст дэвтэр үйлдвэрлэгчид 1 нүд = 5 миллиметр хэмжигдэхүүнийг анхаарч үзсэн.

Энэ бүхэн надад авъяаслаг нисгэгчид Беломорын багцын дагуу курс төлөвлөж байсан алдартай онигоог санагдуулсан =) Хэдийгээр хошигнол нь бодит байдлаас тийм ч хол биш боловч Оросын дотоодын нислэгийн нэгэнд Холбооны мэдээлснээр онгоцны бүх навигацийн хэрэгслүүд эвдэрч, багийнхан би ердийн аяга ус ашиглан онгоцыг амжилттай газардсан нь онгоцны газартай харьцуулахад өнцгийг харуулсан. Мөн нисэх зурвас - энэ нь салхины шилнээс харагдаж байна.

Хичээлийн эхэнд иш татсан Пифагорын теоремыг ашигласнаар олж авахад хялбар байдаг урвуу томьёо: , иймээс:

"Фи" өнцгийг өөрөө арктангенсээр илэрхийлдэг - яг адилхан комплекс тооны аргументбүх зовлонтойгоо хамт.

Мөн хоёр дахь бүлгийн томъёог жишиг тээшиндээ байрлуулахыг зөвлөж байна.

Дараа нь нарийвчилсан шинжилгээбие даасан оноотой нислэгүүд, сэдвийн байгалийн үргэлжлэл рүү шилжье:

Туйлын координат дахь шугамын тэгшитгэл

Үндсэндээ туйлын координатын систем дэх шугамын тэгшитгэл нь туйлын өнцгөөс туйлын радиусын функц (аргумент). Энэ тохиолдолд туйлын өнцгийг харгалзан үзнэ радианд(!) Мөн тасралтгүй-аас хүртэлх утгыг авдаг (заримдаа үүнийг хязгааргүй, эсвэл хэд хэдэн асуудалд тав тухтай байлгахын тулд авч үзэх хэрэгтэй). Үүнд багтсан "phi" өнцгийн утга бүр домэйнфункц нь туйлын радиусын нэг утгатай тохирч байна.

Туйлын функцийг нэг төрлийн радартай зүйрлэж болно - шонноос гарч буй гэрлийн туяа цагийн зүүний эсрэг эргэлдэж, шугамыг "илрүүлдэг" (зурдаг).

Туйлын муруйны стандарт жишээ бол Архимедийн спираль. Дараах зураг нь түүнийг харуулж байна эхний тойрог- туйлын өнцгийг дагаж байгаа туйлын радиус 0-ээс утгыг авах үед:

Цаашилбал, туйлын тэнхлэгийг цэг дээр гаталж, спираль туйлаас хязгааргүй хол хөдөлж, тайрах болно. Гэхдээ ижил төстэй тохиолдлуудпрактик дээр тэд маш ховор байдаг; илүү ердийн нөхцөл байдал, дараагийн бүх хувьсгалуудад бид хүрээн дэх "нэг шугамын дагуу алхаж" байдаг.

Эхний жишээнд бид ойлголттой тулгардаг тодорхойлолтын домэйнтуйлын функц: туйлын радиус нь сөрөг биш тул сөрөг өнцгийг энд авч үзэх боломжгүй.

! Анхаарна уу : зарим тохиолдолд хэрэглэх нь заншилтай байдаг ерөнхий туйлын координатууд, радиус нь сөрөг байж болох бөгөөд бид энэ хандлагыг хэсэг хугацааны дараа товчхон судлах болно

Архимедийн спиральаас гадна өөр олон алдартай муруйнууд байдаг, гэхдээ тэдний хэлснээр та урлагийг хангалттай авч чаддаггүй тул би бодит практик даалгаварт ихэвчлэн олддог жишээнүүдийг сонгосон.

Нэгдүгээрт, хамгийн энгийн тэгшитгэл ба хамгийн энгийн шугамууд:

Маягтын тэгшитгэл нь туйлаас гарч ирэхийг заадаг Рэй. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв өнцгийн үнэ цэнэ бол энэ тухай бодоорой Үргэлж("эр" гэж юу ч байсан) байнга, тэгээд энэ нь ямар мөр вэ?

Анхаарна уу : туйлын координатын ерөнхий системд өгөгдсөн тэгшитгэлтуйлыг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг тодорхойлно

Маягтын тэгшитгэл нь тодорхойлно ... эхний удаа таах - if хэний ч төлөөӨнцгийн "phi" радиус тогтмол хэвээр байна уу? Үнэндээ энэ бол тодорхойлолт юм тойроградиусын туйл дээр төвлөрсөн .

Жишээлбэл, . Тодорхой болгохын тулд энэ шулууны тэгшитгэлийг тэгш өнцөгт координатын системд олъё. Өмнөх догол мөрөнд олж авсан томъёог ашиглан бид орлуулалтыг хийнэ.

Хоёр талыг квадрат болгоё:

– тойргийн тэгшитгэлрадиус 2-ын гарал үүсэл дээр төвтэй, үүнийг шалгах шаардлагатай.

Нийтлэлийг бүтээж, гаргаснаас хойш векторуудын шугаман хамаарал ба шугаман бие даасан байдлын тухайБи сайтын зочдоос "энгийн бөгөөд тохиромжтой тэгш өнцөгт координатын систем байдаг, яагаад бидэнд өөр ташуу хэрэгтэй байна вэ?" гэсэн асуултыг тавьсан хэд хэдэн захидал хүлээн авсан. аффин тохиолдол?. Хариулт нь энгийн: математик нь бүх зүйлийг, хүн бүрийг хамрахыг эрмэлздэг! Нэмж дурдахад, тухайн нөхцөл байдалд тав тухтай байдал чухал байдаг - таны харж байгаагаар тэгшитгэлийн туйлын энгийн байдлаас шалтгаалан туйлын координат дахь тойрогтой ажиллах нь илүү ашигтай байдаг.

Тэгээд заримдаа математик загвартаамаглаж байна шинжлэх ухааны нээлтүүд. Тиймээс нэгэн цагт Казанийн их сургуулийн ректор Н.И. Лобачевский хатуу нотолсон, дамжуулан дурын цэгонгоц зурж болно хязгааргүй олон шулуун шугамууд, үүнтэй зэрэгцээ. Үүний үр дүнд түүнийг бүх зүйлээр гүтгэсэн шинжлэх ухааны ертөнц, гэхдээ ... няцаах энэ баримтхэн ч чадахгүй. Зөвхөн сайхан зууны дараа одон орон судлаачид сансарт гэрэл муруй зам дагуу тархдаг болохыг олж мэдсэн бөгөөд Лобачевскийн энэхүү нээлтээс нэлээд өмнө түүний албан ёсоор боловсруулсан Евклидийн бус геометр ажиллаж эхэлжээ. Энэ нь жижиг (одон орны хэмжүүрээр) зайнаас шалтгаалан муруйлт нь бидэнд үл үзэгдэх орон зайн өмч гэж үздэг.

Илүү утга учиртай барилгын ажлыг авч үзье:

Жишээ 2

Шугам барих

Шийдэл: эхлээд олъё домэйн. Туйлын радиус нь сөрөг биш тул тэгш бус байдал хэвээр байх ёстой. Та тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх сургуулийн дүрмийг санаж болно, гэхдээ энд энгийн тохиолдлуудүүн шиг, би илүү хурдан санал болгож байна харааны аргашийдэл:

Косинусын графикийг төсөөлөөд үз дээ. Хэрэв энэ нь таны санах ойд бүртгэгдээгүй байгаа бол хуудаснаас олоорой Энгийн функцүүдийн графикууд. Тэгш бус байдал бидэнд юу хэлэх вэ? Энэ нь косинусын графикийг байрлуулах ёстойг бидэнд хэлдэг бага бишабсцисса тэнхлэг. Энэ нь сегмент дээр тохиолддог. Үүний дагуу интервал тохиромжтой биш юм.

Тиймээс бидний функцийг тодорхойлох домэйн нь: , өөрөөр хэлбэл график нь туйлын баруун талд байрладаг (декарт системийн нэр томъёогоор - баруун хагас хавтгайд).

Туйлын координатуудад аль шугам нь тодорхой тэгшитгэлийг тодорхойлдог талаар тодорхойгүй ойлголт байдаг тул үүнийг байгуулахын тулд та түүнд хамаарах цэгүүдийг олох хэрэгтэй - илүү их байх тусмаа сайн. Ихэвчлэн тэд арав, хоёр (эсвэл бүр бага) хязгаарлагддаг. Мэдээжийн хэрэг хамгийн хялбар арга бол авах явдал юм хүснэгтийн өнцгийн утгууд. Илүү тодорхой болгохын тулд, сөрөг утгуудБи нэг эргэлтийг "эрэглэх" болно:

Косинусын паритетын улмаас хамааралтай эерэг утгуудТа дахин тоолох шаардлагагүй:

Туйлын координатын системийг дүрсэлж, олсон цэгүүдийг зурж үзье ижил утгуудДээр дурдсан технологийг ашиглан луужингаар хос ховил хийж, "эр"-ийг нэг удаа хойшлуулах нь тохиромжтой.

Зарчмын хувьд шугамыг тодорхой зурсан боловч таамаглалыг бүрэн батлахын тулд декартын координатын систем дэх тэгшитгэлийг олъё. Та саяхан олж авсан томъёог ашиглаж болно , гэхдээ би танд илүү зальтай мэхний талаар хэлье. Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг зохиомлоор "er" -ээр үржүүлж, шилжилтийн илүү нягт томъёог ашигладаг.

Тодруулж байна төгс дөрвөлжин, бид шугамын тэгшитгэлийг танигдахуйц хэлбэрт оруулав.

– тойргийн тэгшитгэлцэг дээр төвтэй, радиус 2.

Нөхцөл байдлын дагуу барилгын ажлыг зүгээр л хийх шаардлагатай байсан тул бид олсон цэгүүдийг шугамаар жигд холбодог.

Бэлэн. Жаахан жигд бус болчихвол зүгээр, дугуй гэдгийг нь мэдэх шаардлагагүй байсан ;-)

Бид яагаад интервалаас гадуурх өнцгийн утгыг авч үзээгүй юм бэ? Хариулт нь энгийн: ямар ч утгагүй. Функцийн үечилсэн байдлаас шалтгаалан бид баригдсан тойргийн дагуу төгсгөлгүй гүйлттэй тулгардаг.

Энгийн дүн шинжилгээ хийж, хэлбэрийн тэгшитгэл нь цэг дээр төвтэй диаметртэй тойргийг тодорхойлдог гэсэн дүгнэлтэд хүрэхэд хялбар байдаг. Дүрслэлээр хэлбэл, ийм бүх тойрог нь туйлын тэнхлэг дээр "сууж", туйлаар дамждаг. Хэрэв тэгвэл хөгжилтэй компанизүүн тийш шилжих болно - туйлын тэнхлэгийн үргэлжлэл рүү (яагаад гэдгийг бодоорой).

Үүнтэй төстэй даалгавар бие даасан шийдвэр:

Жишээ 3

Тэгш өнцөгт координатын системд шугам барьж, тэгшитгэлийг нь ол.

Асуудлыг шийдэх журмыг системчилье.

Юуны өмнө бид функцийн тодорхойлолтыг олоход тохиромжтой синусоидсинус хаана сөрөг биш байгааг нэн даруй ойлгох.

Хоёр дахь шатанд бид цэгүүдийн туйлын координатыг ашиглан тооцоолно хүснэгтийн өнцгийн утгууд; Тооцооллын тоог багасгах боломжтой эсэхэд дүн шинжилгээ хийнэ үү?

Гурав дахь алхамд бид туйлын координатын систем дэх цэгүүдийг зурж, тэдгээрийг шугамаар болгоомжтой холбоно.

Эцэст нь бид декартын координатын систем дэх шугамын тэгшитгэлийг олно.

Ойролцоогоор дээжХичээлийн төгсгөлд шийдлүүд.

Ерөнхий алгоритммөн бид барилгын техникийг туйлын координатаар нарийвчлан тодорхойлсон
мөн мэдэгдэхүйц хурдасгахлекцийн хоёрдугаар хэсэгт, гэхдээ үүнээс өмнө бид өөр нэг нийтлэг мөртэй танилцах болно.

Цагаан сарнай

Тийм ээ, бид дэлбээтэй цэцгийн тухай ярьж байна:

Жишээ 4

Туйлтын координат дахь тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугамыг байгуул

Цагаан сарнайг бүтээх хоёр арга бий. Нэгдүгээрт, туйлын радиус сөрөг байж болохгүй гэж үзээд нугасан замыг дагана уу.

Шийдэл:

a) Функцийн тодорхойлолтын мужийг олъё:

Энэ тригонометрийн тэгш бус байдалГрафикаар шийдэхэд хэцүү биш: нийтлэлийн материалаас Графикийн геометрийн хувиргалтХэрэв функцийн аргумент хоёр дахин нэмэгдвэл түүний график ординатын тэнхлэг хүртэл 2 дахин багасах нь мэдэгдэж байна. Эхний жишээн дээрх функцийн графикийг олно уу заасан хичээл. Энэ синусоид х тэнхлэгийн дээгүүр хаана байрладаг вэ? Интервалтайгаар . Үүний үр дүнд тэгш бус байдал нь харгалзах сегментүүдээр хангагдана домэйнбидний үүрэг: .

Ерөнхийдөө авч үзвэл тэгш бус байдлын шийдэл нь нэгдэл юм хязгааргүй тоосегментүүд, гэхдээ дахин бид зөвхөн нэг үеийг сонирхож байна.

Магадгүй зарим уншигчдад илүү хялбар байх болно аналитик аргаТодорхойлолтын домэйныг олохын тулд би үүнийг "дугуй бялуу зүсэх" гэж нэрлэх болно. Бид таслах болно тэнцүү хэсгүүдэд хуваанаба юуны түрүүнд эхний хэсгийн хил хязгаарыг ол. Бид дараах үндэслэлийг гаргаж байна. синус нь сөрөг биш, Хэзээ түүний аргумент 0-ээс рад хүртэл хэлбэлздэг. багтаасан. Бидний жишээнд: . Давхар тэгш бус байдлын бүх хэсгийг 2-т хувааснаар бид шаардлагатай интервалыг олж авна.

Одоо бид цагийн зүүний эсрэг "90 градусын тэнцүү хэсгүүдийг" дараалан хайчилж эхэлнэ.

– олдсон сегмент нь мэдээжийн хэрэг тодорхойлолтын домэйнд багтсан болно;

– дараагийн интервал – оруулаагүй;

- дараагийн сегмент - орсон;

- эцэст нь интервалыг оруулаагүй болно.

Яг л Daisy шиг - "хайртай, хайрладаггүй, хайрладаг, хайрладаггүй" =) Энд аз гэж байдаггүй. Тийм ээ, энэ бол Хятад хэл дээрх хайрын нэг төрөл юм.

Тэгэхээр, мөн зураас нь хоёр ижил дэлбээтэй сарнайг илэрхийлдэг. Зургийг схемийн дагуу зурах боломжтой боловч зөв олж, тэмдэглэхийг зөвлөж байна дэлбээний орой. Оройнууд нь тохирч байна тодорхойлолтын домэйны сегментүүдийн дунд цэгүүд, аль нь энэ жишээндтодорхой өнцгийн координаттай байна . Хаана дэлбээний уртнь:

Халамжтай цэцэрлэгчийн байгалийн үр дүн энд байна.

Дэлбээний уртыг тэгшитгэлээс хялбархан харж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй - синус хязгаарлагдмал тул: , дараа нь хамгийн их утга"эр" мэдээж хоёроос хэтрэхгүй.

б) Шугам барьцгаая, тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Мэдээжийн хэрэг, энэ сарнайн дэлбээний урт нь хоёртой тэнцүү боловч юуны түрүүнд бид тодорхойлолтын домэйныг сонирхож байна. Хэрэглэх боломжтой аналитик арга"тайрах": Аргумент нь синус нь сөрөг биш юмтэгээс "pi"-г багтаасан мужид байна, in энэ тохиолдолд: . Бид тэгш бус байдлын бүх хэсгийг 3-т хувааж, эхний интервалыг авна.

Дараа нь бид "бялууг хэсэг болгон хувааж" эхэлдэг. (60 градус):
– сегмент нь тодорхойлолтын домайн руу орно;
– интервал – оруулахгүй;
- сегмент - тохирох болно;
– интервал – оруулахгүй;
- сегмент - тохирох болно;
– интервал – оруулахгүй.

Процесс нь 360 градусаар амжилттай дууссан.

Тиймээс тодорхойлолтын хамрах хүрээ нь: .

Бүрэн эсвэл хэсэгчлэн гүйцэтгэсэн үйлдлүүд нь оюун санааны хувьд хийхэд хялбар байдаг.

Барилга. Хэрэв өмнөх догол мөрөнд бүх зүйл зөв өнцгөөр, 45 градусын өнцгөөр сайн хийгдсэн бол энд та бага зэрэг хийх хэрэгтэй болно. Олъё дэлбээний орой. Тэдний урт нь даалгаврын эхэн үеэс л харагдаж байсан бөгөөд энэ нь тодорхойлолтын сегментийн дунд цэгүүдтэй тэнцүү өнцгийн координатыг тооцоолох явдал юм.

Дэлбээний оройн хооронд тэнцүү зай байх ёстойг анхаарна уу, энэ тохиолдолд 120 градус байна.

Зургийг 60 градусын салбар болгон тэмдэглэхийг зөвлөж байна (хязгаарлагдмал ногоон шугамууд) ба дэлбээний оройн чиглэлийг зур (саарал зураас). Луужин ашиглан оройг өөрөө тэмдэглэх нь тохиромжтой - 2 нэгжийн зайг нэг удаа хэмжиж, 30, 150, 270 градусын зурсан чиглэлд гурван ховил хийнэ.

Бэлэн. Энэ бол хэцүү ажил гэдгийг би ойлгож байна, гэхдээ хэрэв та бүх зүйлийг ухаалгаар зохицуулахыг хүсч байвал цаг хугацаа зарцуулах хэрэгтэй болно.

Томьёолъё ерөнхий томъёо : хэлбэрийн тэгшитгэл нь натурал тоо), дэлбээний урт нь -тэй тэнцүү байх туйлын дэлбээтэй сарнайг тодорхойлдог.

Жишээлбэл, тэгшитгэлд дэлбээнгийн урт нь 5 нэгж, 5 дэлбээтэй сарнайг 3 нэгж урттай, тэгшитгэлд зааж өгсөн болно. гэх мэт.

Нийтлэг гарал үүсэл (координатын гарал үүсэл), уртын нийтлэг нэгж бүхий бие биедээ перпендикуляр огтлолцсон хоёр буюу гурван тэнхлэгийн дараалсан системийг гэнэ. тэгш өнцөгт декартын координатын систем .

Ерөнхий декартын координатын систем (аффины координатын систем) заавал перпендикуляр тэнхлэгүүдийг оруулахгүй байж болно. хүндэтгэлд Францын математикчРене Декарт (1596-1662) бүх тэнхлэгт уртын нийтлэг нэгжийг хэмжиж, тэнхлэг нь шулуун байдаг яг ийм координатын системийг нэрлэсэн.

Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт декартын координатын систем хоёр тэнхлэгтэй ба орон зай дахь тэгш өнцөгт декартын координатын систем - гурван тэнхлэг. Хавтгай эсвэл орон зайн цэг бүрийг координатын дараалсан багцаар тодорхойлдог - координатын системийн уртын нэгжид тохирох тоонууд.

Тодорхойлолтоос харахад шулуун шугам дээр, өөрөөр хэлбэл нэг хэмжээст дээр декартын координатын систем байгааг анхаарна уу. Шулуун дээр декартын координатыг оруулах нь шугамын аль ч цэгийг нарийн тодорхойлогдсон бодит тоо, өөрөөр хэлбэл координаттай холбох арга замуудын нэг юм.

Рене Декартын бүтээлүүдэд бий болсон координатын арга нь бүх математикийн хувьсгалт бүтцийн өөрчлөлтийг тэмдэглэв. Тайлбарлах боломжтой болсон алгебрийн тэгшитгэл(эсвэл тэгш бус байдал) геометрийн дүрс (график) хэлбэрээр, эсрэгээр нь шийдлийг хайх геометрийн асуудлууданалитик томъёо, тэгшитгэлийн системийг ашиглах. Тийм ээ, тэгш бус байдал z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOyмөн энэ хавтгай дээр 3 нэгжээр байрладаг.

Декартын координатын системийг ашиглан өгөгдсөн муруй дээрх цэгийн гишүүнчлэл нь тоонуудтай тохирч байна. xТэгээд yзарим тэгшитгэлийг хангана. Тиймээс, өгөгдсөн цэг дээр төвтэй тойрог дээрх цэгийн координатууд ( а; б) тэгшитгэлийг хангана (x - а)² + ( y - б)² = Р² .

Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт декартын координатын систем

Нийтлэг гарал үүсэлтэй хавтгай дээрх хоёр перпендикуляр тэнхлэг нь ижил масштабын нэгжийг үүсгэдэг Декарт тэгш өнцөгт системхавтгай дээрх координатууд . Эдгээр тэнхлэгүүдийн нэгийг тэнхлэг гэж нэрлэдэг Үхэр, эсвэл x тэнхлэг , нөгөө нь - тэнхлэг Өө, эсвэл у тэнхлэг . Эдгээр тэнхлэгүүдийг координатын тэнхлэгүүд гэж бас нэрлэдэг. -ээр тэмдэглэе МxТэгээд Мyтус тус дурын цэгийн проекц Мтэнхлэг дээр ҮхэрТэгээд Өө. Хэрхэн төсөөлөл авах вэ? Цэгээр дамжин өнгөрье М Үхэр. Энэ шулуун шугам нь тэнхлэгийг огтолж байна Үхэрцэг дээр Мx. Цэгээр дамжин өнгөрье Мтэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугам Өө. Энэ шулуун шугам нь тэнхлэгийг огтолж байна Өөцэг дээр Мy. Үүнийг доорх зурагт үзүүлэв.

xТэгээд yоноо МБид чиглүүлсэн сегментүүдийн утгыг зохих ёсоор дуудах болно ОМxТэгээд ОМy. Эдгээр чиглэсэн сегментүүдийн утгыг дараах байдлаар тооцоолно x = x0 - 0 Тэгээд y = y0 - 0 . Декарт координат xТэгээд yоноо М абсцисса Тэгээд ординат . Гол нь тэр Мкоординаттай xТэгээд y, дараах байдлаар тэмдэглэнэ. М(x, y) .

Координатын тэнхлэгүүд нь онгоцыг дөрөв хуваадаг квадрат , дугаарлалтыг доорх зурагт үзүүлэв. Энэ нь мөн тодорхой квадрант дахь байршлаас хамааран цэгүүдийн координатын тэмдэглэгээний зохицуулалтыг харуулдаг.

Хавтгай дээрх декартын тэгш өнцөгт координатаас гадна туйлын координатын системийг ихэвчлэн авч үздэг. Нэг координатын системээс нөгөөд шилжих аргын талаар - хичээл дээр туйлын координатын систем .

Орон зай дахь тэгш өнцөгт декартын координатын систем

Орон зай дахь декарт координатуудыг хавтгай дээрх декарт координатуудтай бүрэн адилтгаж оруулав.

Орон зай дахь харилцан перпендикуляр гурван тэнхлэг ( координатын тэнхлэгүүд) нийтлэг эхлэлтэй Омөн ижил масштабын нэгжээр тэдгээр нь үүсдэг Орон зай дахь декартын тэгш өнцөгт координатын систем .

Эдгээр тэнхлэгүүдийн нэгийг тэнхлэг гэж нэрлэдэг Үхэр, эсвэл x тэнхлэг , нөгөө нь - тэнхлэг Өө, эсвэл у тэнхлэг , гурав дахь - тэнхлэг Оз, эсвэл тэнхлэг хэрэглэнэ . Болъё Мx, Мy Мz- дурын цэгийн төсөөлөл Мтэнхлэг дээрх орон зай Үхэр , ӨөТэгээд Озтус тус.

Цэгээр дамжин өнгөрье М ҮхэрҮхэрцэг дээр Мx. Цэгээр дамжин өнгөрье Мтэнхлэгт перпендикуляр хавтгай Өө. Энэ онгоц тэнхлэгийг огтолж байна Өөцэг дээр Мy. Цэгээр дамжин өнгөрье Мтэнхлэгт перпендикуляр хавтгай Оз. Энэ онгоц тэнхлэгийг огтолж байна Озцэг дээр Мz.

Декарт тэгш өнцөгт координат x , yТэгээд zоноо МБид чиглүүлсэн сегментүүдийн утгыг зохих ёсоор дуудах болно ОМx, ОМyТэгээд ОМz. Эдгээр чиглэсэн сегментүүдийн утгыг дараах байдлаар тооцоолно x = x0 - 0 , y = y0 - 0 Тэгээд z = z0 - 0 .

Декарт координат x , yТэгээд zоноо Мдагуу дуудагддаг абсцисса , ординат Тэгээд өргөдөл гаргах .

Хосоор авсан координатын тэнхлэгүүд нь координатын хавтгайд байрладаг xOy , yOzТэгээд zOx .

Декартын координатын систем дэх цэгүүдийн талаархи асуудлууд

Жишээ 1.

А(2; -3) ;

Б(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Эдгээр цэгүүдийн абсцисса тэнхлэг дээрх проекцуудын координатыг ол.

Шийдэл. Энэ хичээлийн онолын хэсгээс үзэхэд абсцисса тэнхлэг дээрх цэгийн проекц нь абсцисса тэнхлэг дээр, өөрөөр хэлбэл тэнхлэг дээр байрладаг. Үхэр, тиймээс тухайн цэгийн абсциссатай тэнцэх абсцисса, ординат (тэнхлэг дээрх координат) байна. Өө, x тэнхлэг нь 0 цэгт огтлолцдог), тэгтэй тэнцүү. Тиймээс бид x тэнхлэг дээрх эдгээр цэгүүдийн дараах координатуудыг олж авна.

Аx(2;0);

Бx(3;0);

Cx (-5; 0).

Жишээ 2.Декартын координатын системд цэгүүдийг хавтгайд өгдөг

А(-3; 2) ;

Б(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Эдгээр цэгүүдийн ордны тэнхлэг дээрх проекцуудын координатыг ол.

Шийдэл. Энэ хичээлийн онолын хэсгээс үзэхэд ординатын тэнхлэг дээрх цэгийн проекц нь ординатын тэнхлэг дээр, өөрөөр хэлбэл тэнхлэг дээр байрладаг. Өө, тиймээс цэгийн ординаттай тэнцэх ординат ба абсцисса (тэнхлэг дээрх координат) байна. Үхэр, ординатын тэнхлэг нь 0 цэгт огтлолцдог), тэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс бид ордны тэнхлэг дээрх эдгээр цэгүүдийн дараах координатуудыг олж авна.

Ау(0;2);

Бу(0;1);

Cу(0;-2).

Жишээ 3.Декартын координатын системд цэгүүдийг хавтгайд өгдөг

А(2; 3) ;

Б(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Үхэр .

Үхэр Үхэр Үхэр, ижил абсциссатай байх болно өгсөн оноо, ба ординат нь тэнцүү үнэмлэхүй үнэ цэнэӨгөгдсөн цэгийн ординат ба түүний эсрэг тэмдэг. Тиймээс бид тэнхлэгтэй харьцуулахад эдгээр цэгүүдэд тэгш хэмтэй цэгүүдийн дараах координатуудыг олж авна Үхэр :

А"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Декартын координатын системийг ашиглан асуудлыг өөрөө шийдэж, дараа нь шийдлүүдийг хар

Жишээ 4.Аль квадратуудад (дөрвөлжин, квадранттай зурах - "Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт декартын координатын систем" догол мөрний төгсгөлд) цэг байрлаж болохыг тодорхойлох. М(x; y) , Хэрэв

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − y = 0 ;

4) x + y = 0 ;

5) x + y > 0 ;

6) x + y < 0 ;

7) x − y > 0 ;

8) x − y < 0 .

Жишээ 5.Декартын координатын системд цэгүүдийг хавтгайд өгдөг

А(-2; 5) ;

Б(3; -5) ;

C(а; б) .

Эдгээр цэгүүдэд тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй цэгүүдийн координатыг ол Өө .

Хамтдаа асуудлыг шийдье

Жишээ 6.Декартын координатын системд цэгүүдийг хавтгайд өгдөг

А(-1; 2) ;

Б(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Эдгээр цэгүүдэд тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй цэгүүдийн координатыг ол Өө .

Шийдэл. Тэнхлэгийг тойрон 180 градус эргүүл Өөтэнхлэгээс чиглэлтэй сегмент Өөэнэ хүртэл. Хавтгайн квадратуудыг харуулсан зураг дээр бид тэнхлэгтэй харьцуулахад өгөгдсөн цэгтэй тэгш хэмтэй байгааг харж байна. Өө, өгөгдсөн цэгтэй ижил ординаттай байх ба абсцисса нь абсцисс нь үнэмлэхүй утгаараа тухайн цэгийн абсциссатай тэнцүү ба тэмдгийн эсрэг байна. Тиймээс бид тэнхлэгтэй харьцуулахад эдгээр цэгүүдэд тэгш хэмтэй цэгүүдийн дараах координатуудыг олж авна Өө :

А"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Жишээ 7.Декартын координатын системд цэгүүдийг хавтгайд өгдөг

А(3; 3) ;

Б(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Эхтэй харьцуулахад эдгээр цэгүүдэд тэгш хэмтэй цэгүүдийн координатыг ол.

Шийдэл. Бид эхлэлээс өгөгдсөн цэг рүү чиглэсэн сегментийг эхийн эргэн тойронд 180 градус эргүүлнэ. Хавтгайн квадратуудыг харуулсан зураг дээр бид координатын эхтэй харьцуулахад өгөгдсөн цэгтэй тэгш хэмтэй цэг нь абсцисса ба ординат нь абсцисса ба өгөгдсөн цэгийн ординаттай үнэмлэхүй утгатай байх болно, гэхдээ бид харж байна. эсрэг талын тэмдэг. Тиймээс бид гарал үүсэлтэй харьцуулахад эдгээр цэгүүдэд тэгш хэмтэй цэгүүдийн дараах координатуудыг олж авна.

А"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Жишээ 8.

А(4; 3; 5) ;

Б(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Эдгээр цэгүүдийн проекцуудын координатыг ол.

1) онгоцонд Окси ;

2) онгоцонд Oxz ;

3) онгоц руу Ойз ;

4) абсцисса тэнхлэг дээр;

5) ординатын тэнхлэг дээр;

6) хэрэглээний тэнхлэг дээр.

1) Хавтгай дээрх цэгийн проекц Оксинь өөрөө энэ хавтгай дээр байрладаг тул өгөгдсөн цэгийн абсцисса ба ординаттай тэнцэх абсцисса ба ординат, тэгтэй тэнцэх аппликаттай байна. Тиймээс бид эдгээр цэгүүдийн проекцуудын дараах координатуудыг олж авна Окси :

Аxy (4; 3; 0);

Бxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Хавтгай дээрх цэгийн проекц Oxzнь өөрөө энэ хавтгайд байрладаг тул өгөгдсөн цэгийн абсцисса ба аппликейттай тэнцэх абсцисса ба аппликейт, тэгтэй тэнцүү ординаттай байна. Тиймээс бид эдгээр цэгүүдийн проекцуудын дараах координатуудыг олж авна Oxz :

Аxz (4; 0; 5);

Бxz (-3; 0; 1);

Cxz (2; 0; 0).

3) Хавтгай дээрх цэгийн проекц Ойзнь өөрөө энэ хавтгайд байрладаг тул өгөгдсөн цэгийн ординат ба аппликаттай тэнцүү, абсцисса нь тэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс бид эдгээр цэгүүдийн проекцуудын дараах координатуудыг олж авна Ойз :

Аyz(0; 3; 5);

Бyz (0; 2; 1);

Cyz (0; -3; 0).

4) Энэ хичээлийн онолын хэсгээс үзэхэд абсцисса тэнхлэг дээрх цэгийн проекц нь абсцисса тэнхлэг дээр, өөрөөр хэлбэл тэнхлэг дээр байрладаг. Үхэр, тиймээс тухайн цэгийн абсциссатай тэнцүү абсциссатай ба проекцын ординат ба хэрэглүүр нь тэгтэй тэнцүү байна (ординат ба хэрэглээний тэнхлэгүүд абсциссатай 0 цэгт огтлолцдог тул). Бид эдгээр цэгүүдийн абсцисса тэнхлэг дээрх проекцуудын дараах координатуудыг олж авна.

Аx (4; 0; 0);

Бx (-3; 0; 0);

Cx(2;0;0).

5) Ординатын тэнхлэг дээрх цэгийн проекц нь ординатын тэнхлэг дээр, өөрөөр хэлбэл тэнхлэг дээр байрладаг. Өө, тиймээс тухайн цэгийн ординаттай тэнцэх ординаттай байх ба проекцын абсцисса болон хэрэглүүр нь тэгтэй тэнцүү байна (абсцисс ба хэрэглээний тэнхлэгүүд нь ординатын тэнхлэгийг 0 цэгт огтолж байгаа тул). Эдгээр цэгүүдийн ордны тэнхлэг дээрх проекцуудын дараах координатуудыг бид олж авна.

Ау(0; 3; 0);

Бу (0; 2; 0);

Cу(0;-3;0).

6) Хэрэглээний тэнхлэг дээрх цэгийн проекц нь хэрэглээний тэнхлэг дээр, өөрөөр хэлбэл тэнхлэг дээр байрладаг. Оз, тиймээс тухайн цэгийн өөрийнх нь хэрэглүүртэй тэнцэх хэрэглүүртэй ба проекцын абсцисса ба ординат нь тэгтэй тэнцүү байна (абсцисса ба ординатын тэнхлэгүүд нь хэрэглээний тэнхлэгийг 0 цэгт огтолж байгаа тул). Эдгээр цэгүүдийн хэрэглээний тэнхлэг дээрх проекцуудын дараах координатуудыг бид олж авна.

Аz (0; 0; 5);

Бz (0; 0; 1);

Cz(0; 0; 0).

Жишээ 9.Декартын координатын системд цэгүүдийг орон зайд өгдөг

А(2; 3; 1) ;

Б(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Эдгээр цэгүүдэд тэгш хэмтэй цэгүүдийн координатыг ол:

1) онгоц Окси ;

2) онгоц Oxz ;

3) онгоц Ойз ;

4) абсцисса тэнхлэгүүд;

5) ординатын тэнхлэгүүд;

6) тэнхлэгийг хэрэглэх;

7) координатын гарал үүсэл.

1) Тэнхлэгийн нөгөө талд байгаа цэгийг "зөөх" Окси Окси, өгөгдсөн цэгийн абсцисса ба ординаттай тэнцэх абсцисса ба ординататай, өгөгдсөн цэгийн апликатын хэмжээтэй тэнцүү, харин тэмдгээр эсрэг талын аппликейшнтэй байна. Тиймээс бид хавтгайтай харьцуулахад өгөгдөлд тэгш хэмтэй цэгүүдийн дараах координатуудыг олж авна Окси :

А"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) Тэнхлэгийн нөгөө талд байгаа цэгийг "зөөх" Oxzижил зайд. Координатын орон зайг харуулсан зургаас бид тэнхлэгтэй харьцуулахад өгөгдсөн цэгтэй тэгш хэмтэй цэг байгааг харж байна. Oxz, өгөгдсөн цэгийн абсцисса ба аппликаттай тэнцэх абсцисса ба хэрэглүүртэй, өгөгдсөн цэгийн ординаттай тэнцүү хэмжээтэй, харин тэмдгээр эсрэг талтай ординаттай байна. Тиймээс бид хавтгайтай харьцуулахад өгөгдөлд тэгш хэмтэй цэгүүдийн дараах координатуудыг олж авна Oxz :

А"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) Тэнхлэгийн нөгөө талд байгаа цэгийг "зөөх" Ойзижил зайд. Координатын орон зайг харуулсан зургаас бид тэнхлэгтэй харьцуулахад өгөгдсөн цэгтэй тэгш хэмтэй цэг байгааг харж байна. Ойз, өгөгдсөн цэгийн ординат ба апликаттай тэнцүү, абсцисса нь тухайн цэгийн абсцисстай тэнцүү, гэхдээ тэмдгээр нь эсрэг байна. Тиймээс бид хавтгайтай харьцуулахад өгөгдөлд тэгш хэмтэй цэгүүдийн дараах координатуудыг олж авна Ойз :

А"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

-тай зүйрлэвэл тэгш хэмтэй цэгүүдхавтгай ба орон зайн цэгүүд дээр хавтгайтай харьцуулахад өгөгдлүүдтэй тэгш хэмтэй байх тохиолдолд орон зай дахь декартын координатын системийн зарим тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмийн тохиолдолд тэгш хэмийг өгсөн тэнхлэг дээрх координатыг бид тэмдэглэж байна. тэмдгээ хадгалах ба нөгөө хоёр тэнхлэг дээрх координатууд нь үнэмлэхүй утгаараа тухайн цэгийн координаттай ижил утгатай боловч тэмдгээр эсрэгээрээ байх болно.

4) Абсцисса тэмдэг нь хэвээр байх боловч ординат ба аппликат тэмдэг нь өөрчлөгдөнө. Тиймээс бид абсцисса тэнхлэгтэй харьцуулахад өгөгдөлд тэгш хэмтэй цэгүүдийн дараах координатуудыг олж авна.

А"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) Ординат тэмдэг нь хэвээр байх боловч абсцисса болон аппликейт нь тэмдгийг өөрчилнө. Тиймээс бид ордны тэнхлэгтэй харьцуулахад өгөгдөлд тэгш хэмтэй цэгүүдийн дараах координатуудыг олж авна.

А"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) Өргөдөл гаргагч нь тэмдгээ хадгалах боловч абсцисса болон ордны тэмдэг нь тэмдгийг өөрчилнө. Тиймээс бид хэрэглээний тэнхлэгтэй харьцуулахад өгөгдөлд тэгш хэмтэй цэгүүдийн дараах координатуудыг олж авна.

А"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) Хавтгай дээрх цэгүүдийн хувьд тэгш хэмтэй адилтгаж, координатын гарал үүслийн тэгш хэмийн хувьд өгөгдсөн цэгтэй тэгш хэмтэй цэгийн бүх координатууд нь тухайн цэгийн координатуудтай үнэмлэхүй утгаараа тэнцүү байх болно. Харин тэдгээрийн эсрэг талд тэмдэгт байна. Тиймээс бид гарал үүсэлтэй холбоотой өгөгдөлд тэгш хэмтэй цэгүүдийн дараах координатуудыг олж авна.

Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын систем нь хоёр харилцан перпендикуляр координатын X’X ба Y'Y тэнхлэгээр үүсгэгддэг. Координатын тэнхлэгүүд нь гарал үүсэл гэж нэрлэгддэг О цэг дээр огтлолцдог бөгөөд тэнхлэг бүр дээр эерэг чиглэл сонгогддог (баруун гар талын координатын системд) X'X тэнхлэгийг эргүүлэх үед тэнхлэгүүдийн эерэг чиглэлийг сонгоно. цагийн зүүний эсрэг 90°, түүний эерэг чиглэл нь Y'Y тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй давхцдаг. X'X ба Y'Y координатын тэнхлэгүүдээс үүссэн дөрвөн өнцгийг (I, II, III, IV) координатын өнцөг гэж нэрлэдэг (1-р зургийг үз).

Хавтгай дээрх А цэгийн байрлалыг х ба у хоёр координатаар тодорхойлно. Х координат нь OB сегментийн урттай, у координат нь сонгосон хэмжилтийн нэгж дэх OC сегментийн урттай тэнцүү байна. OB ба OC сегментүүд нь А цэгээс Y'Y ба X'X тэнхлэгт параллель татсан шугамаар тодорхойлогддог. х координатыг А цэгийн абсцисса, у координатыг А цэгийн ординат гэнэ.Үүнийг дараах байдлаар бичнэ: A(x, y).

Хэрэв А цэг байгаа бол координатын өнцөг I, тэгвэл А цэг нь эерэг абсцисса ба ординаттай байна. Хэрэв А цэг нь II координатын өнцөгт оршдог бол А цэг нь сөрөг абсцисса ба эерэг ординаттай байна. Хэрэв А цэг нь координатын III өнцөгт оршдог бол А цэг нь сөрөг абсцисса ба ординататай байна. Хэрэв А цэг нь координатын IV өнцөгт оршдог бол А цэг нь эерэг абсцисса ба сөрөг ординаттай байна.

Орон зай дахь тэгш өнцөгт координатын систем OX, OY, OZ харилцан перпендикуляр гурван координатын тэнхлэгээр үүсгэгддэг. Координатын тэнхлэгүүд нь гарал үүсэл гэж нэрлэгддэг О цэг дээр огтлолцдог бөгөөд тэнхлэг тус бүр дээр эерэг чиглэлийг сонгож, сумаар зааж, тэнхлэг дээрх сегментүүдийн хэмжилтийн нэгжийг сонгоно. Хэмжилтийн нэгжүүд бүх тэнхлэгт ижил байна. OX - abscissa тэнхлэг, OY - ординатын тэнхлэг, OZ - хэрэглэх тэнхлэг. Тэнхлэгүүдийн эерэг чиглэлийг сонгосон бөгөөд ингэснээр OX тэнхлэгийг цагийн зүүний эсрэг 90 ° эргүүлэхэд түүний эерэг чиглэл нь OZ тэнхлэгийн эерэг чиглэлээс ажиглагдвал OY тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй давхцдаг. Ийм координатын системийг баруун гар гэж нэрлэдэг. Хэрэв эрхий хуруу баруун гар X чиглэлийг X чиглэл, индекс нэгийг Y чиглэл, дунд хэсгийг Z чиглэл болгон авбал баруун гар координатын систем үүснэ. Зүүн гарын ижил төстэй хуруунууд нь зүүн координатын системийг бүрдүүлдэг. Харгалзах тэнхлэгүүд давхцахын тулд баруун ба зүүн координатын системийг нэгтгэх боломжгүй (2-р зургийг үз).

А цэгийн орон зайн байрлалыг x, y, z гэсэн гурван координатаар тодорхойлно. х координат нь OB сегментийн урттай тэнцүү, у координат нь OC сегментийн урт, z координат нь сонгосон хэмжилтийн нэгж дэх OD сегментийн урт юм. OB, OC ба OD хэрчмүүд нь А цэгээс YOZ, XOZ, XOY хавтгайтай параллель татсан хавтгайгаар тодорхойлогддог. х координатыг А цэгийн абсцисса, у координатыг А цэгийн ординат, z координатыг А цэгийн аппликейт гэнэ.Үүнийг дараах байдлаар бичнэ: A(a, b, c).

Орти

Тэгш өнцөгт координатын системийг (ямар ч хэмжээстэй) координатын тэнхлэгүүдтэй координатын чиглэлтэй нэгж векторуудын багцаар дүрсэлсэн байдаг. Нэгж векторын тоо нь координатын системийн хэмжээстэй тэнцүү бөгөөд тэдгээр нь бүгд бие биедээ перпендикуляр байна.

Гурван хэмжээст тохиолдолд ийм нэгж векторуудыг ихэвчлэн тэмдэглэдэг би j кэсвэл д x д y д z. Түүнээс гадна, тохиолдолд зөв системкоординатууд хүчинтэй байна дараах томъёонуудвекторуудын хөндлөн үржвэрээр:

• [би j]=к ;
• [j к]=би ;
• [к би]=j .

Өгүүллэг

Тэгш өнцөгт координатын системийг анх Рене Декарт 1637 онд "Аргын тухай яриа" бүтээлдээ нэвтрүүлсэн. Тиймээс тэгш өнцөгт координатын системийг бас нэрлэдэг - Декартын координатын систем. Геометрийн объектуудыг дүрслэх координатын арга нь суурийг тавьсан аналитик геометр. Пьер Ферма мөн координатын аргыг хөгжүүлэхэд хувь нэмрээ оруулсан боловч түүний ажил нас барсны дараа анх хэвлэгджээ. Декарт, Фермат нар координатын аргыг зөвхөн хавтгайд ашигласан.

Координатын арга гурван хэмжээст орон зайАнх 18-р зуунд Леонхард Эйлер ашигласан.

бас үзнэ үү

Холбоосууд

Викимедиа сан. 2010 он.

• Декартын координатын систем
• Декарт зэрэг

Бусад толь бичгүүдэд "Картезийн координат" гэж юу болохыг харна уу.

КАРТЕЗИНИЙН КОРДИНАТ- (Картезийн координатын систем) хавтгай эсвэл огторгуй дахь координатын систем, ихэвчлэн харилцан перпендикуляр тэнхлэгүүдтэй, тэнхлэгүүдийн дагуу тэгш өнцөгт декартын координатууд; Р.Декартын нэрээр нэрлэгдсэн... Том нэвтэрхий толь бичиг

Декарт координат- Хоёр перпендикуляр тэнхлэгээс бүрдэх координатын систем. Ийм систем дэх цэгийн байрлалыг тэнхлэг бүрийн дагуу координатын төвөөс хол зайг тодорхойлдог хоёр тоог ашиглан үүсгэнэ. Мэдээллийн сэдэв ...... Техникийн орчуулагчийн гарын авлага

Декарт координат- (Картезийн координатын систем), ихэвчлэн харилцан перпендикуляр тэнхлэгүүдтэй, тэгш өнцөгт декартын координатууд бүхий хавтгай дээрх координатын систем; Р.Декартын нэрээр нэрлэгдсэн... нэвтэрхий толь бичиг

Декарт координат- T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Tiesinė plokštumos arba erdvės koordinačių системийн координацын статусыг заана. Joje ašių masteliai paprastai buna lygūs. attikmenys: англи хэл. Декарт координат vok. kartesische Koordinaten, f… Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

Декарт координат- T sritis fizika atitikmenys: англи хэл. Декарт координат; сүлжээний координат vok. kartesische Koordinaten, f rus. Декарт координат, f pranc. coordonnées cartésiennes, f … Физикийн нэр томъёо

КАРТЕЗИНИЙН КОРДИНАТ- хавтгай дээрх цэгүүдийн байрлалыг хоёр тогтмол перпендикуляр шулуун тэнхлэг хүртэлх зайгаар тодорхойлох арга. Энэ ойлголтыг хоёр мянга гаруй жилийн өмнө Архимед, Пергийн Апологид, тэр байтугай эртний египетчүүдийн дунд ч аль хэдийн үзсэн байдаг. Энэ нь анх удаа...... Математик нэвтэрхий толь бичиг

КАРТЕЗИНИЙН КОРДИНАТ- Декартын координатын систем [францчуудын нэрээр нэрлэгдсэн. философич, математикч Р.Декарт (Р.Декарт; 1596 1650)], хавтгай эсвэл огторгуй дахь координатын систем, ихэвчлэн харилцан перпендикуляр тэнхлэгүүдтэй, тэнхлэгүүдийн дагуу тэгш өнцөгт D ... Том нэвтэрхий толь бичиг Политехникийн толь бичиг

КАРТЕЗИНИЙН КОРДИНАТ- (Картезийн координатын систем), хавтгай эсвэл огторгуй дахь координатын систем, ихэвчлэн харилцан перпендикуляр тэнхлэгүүдтэй, тэгш өнцөгт тэнхлэгүүдийн дагуу тэнцүү масштабтай, Р.Декартын нэрээр нэрлэгдсэн. Байгалийн шинжлэх ухаан. нэвтэрхий толь бичиг

КАРТЕЗИНИЙН КОРДИНАТ- Зөв өнцгөөр огтлолцсон хоёр тэнхлэгтэй харьцуулахад ясны аль ч цэгийг байрлуулах систем. Рене Декартийн боловсруулсан энэхүү систем нь үндэс суурь болсон стандарт аргууд график дүрслэлөгөгдөл. Хэвтээ шугам… … Толь бичигсэтгэл судлалд

Координатууд- Координатууд. Онгоцонд (зүүн) ба орон зайд (баруун). КООРДИНАТ (Латин хэлний хамт, ordinatus эрэмбэлэгдсэн) гэсэн үг бөгөөд шулуун шугам, хавтгай, гадаргуу, орон зай дахь цэгийн байрлалыг тодорхойлох тоо. Координатууд нь зай юм ... Зурагт нэвтэрхий толь бичиг