Тооцоологч нь дифференциал тооцооллын аргыг ашиглан функцуудыг ашигладаг. Онлайнаар функцийг судлах бүрэн жишээ

Заавар

Функцийн домайныг ол. Жишээлбэл, sin(x) функц нь -∞-ээс +∞ хүртэлх бүхэл интервалд, 1/x функц нь x = 0 цэгээс бусад тохиолдолд -∞-аас +∞ хүртэл тодорхойлогддог.

Тасралтгүй байдал болон тасалдсан цэгүүдийг тодорхойлох. Ер нь функц нь тодорхойлогдсон бүс нутагтаа тасралтгүй байдаг. Тасралтгүй байдлыг илрүүлэхийн тулд аргумент нь тодорхойлолтын хүрээнд тусгаарлагдсан цэгүүдэд ойртох үед тооцоолох шаардлагатай. Жишээ нь: 1/x функц нь x→0+ үед хязгааргүй, x→0- үед хасах хязгааргүй рүү тэмүүлдэг. Энэ нь x = 0 цэг дээр хоёр дахь төрлийн тасалдалтай байна гэсэн үг юм.
Хэрэв тасалдлын цэг дээрх хязгаар нь төгсгөлтэй боловч тэнцүү биш бол энэ нь эхний төрлийн тасалдал юм. Хэрэв тэдгээр нь тэнцүү бол функцийг тасралтгүй гэж үзнэ тусгаарлагдсан цэгтодорхойлогдоогүй байна.

Хэрэв байгаа бол босоо асимптотуудыг ол. Босоо асимптот нь бараг үргэлж хоёр дахь төрлийн тасалдалтын цэг дээр байрладаг тул өмнөх алхамын тооцоолол танд туслах болно. Гэсэн хэдий ч заримдаа энэ нь тодорхой цэгүүдийг хасдаг бие даасан цэгүүд биш, харин цэгүүдийн бүхэл бүтэн интервалууд, дараа нь босоо асимптотуудыг эдгээр интервалуудын ирмэг дээр байрлуулж болно.

Функц байгаа эсэхийг шалгана уу онцгой шинж чанарууд: тэгш, сондгой, үе үе.
Ф(x) = f(-x) домэйны аль ч х-ийн хувьд функц тэгш байх болно. Жишээлбэл, cos(x) ба x^2 - бүр функцууд.

Үе үе гэдэг нь дурын x f(x) = f(x + T)-ийн хувьд үе гэж нэрлэгддэг тодорхой T тоо байгааг хэлэх шинж чанар юм. Жишээлбэл, бүх гол зүйл тригонометрийн функцууд(синус, косинус, тангенс) - үе үе.

Цэгүүдийг ол. Үүнийг хийхийн тулд деривативыг тооцоол өгөгдсөн функцтэг болж байгаа х-ийн утгыг ол. Жишээлбэл, f(x) = x^3 + 9x^2 -15 функц нь g(x) = 3x^2 + 18x деривативтай бөгөөд энэ нь x = 0 ба x = -6 үед алга болно.

Аль экстремум цэгүүд нь максимум, аль нь минимум болохыг тодорхойлохын тулд олдсон тэг дээр деривативын тэмдгийн өөрчлөлтийг ажигла. g(x) x = -6 цэг дээр нэмэх тэмдэг, x = 0 цэг дээр хасахаас нэмэх тэмдэг рүү буцна. Иймээс f(x) функц нь эхний цэг дээр минимум, хоёр дахь цэг дээр минимумтай байна.

Тиймээс та монотон байдлын мужуудыг мөн оллоо: f(x) -∞;-6 интервал дээр монотон нэмэгдэж, монотон -6;0-ээр буурч, 0;+∞ дахин нэмэгддэг.

Хоёр дахь деривативыг ол. Өгөгдсөн функцийн график хаана гүдгэр, хаана нь хотгор байхыг түүний үндэс харуулна. Жишээлбэл, f(x) функцийн хоёр дахь дериватив нь h(x) = 6x + 18 байх болно. Энэ нь x = -3 үед тэг болж, тэмдгийг хасахаас нэмэх рүү шилжүүлнэ. Иймээс энэ цэгээс өмнөх f(x) график нь гүдгэр, дараа нь хотгор байх ба энэ цэг нь өөрөө гулзайлтын цэг болно.

Функц нь босоо тэнхлэгээс гадна өөр асимптотуудтай байж болох ч түүний тодорхойлолтын домайн нь . Тэдгээрийг олохын тулд x→∞ эсвэл x→-∞ үед f(x)-ийн хязгаарыг тооцоол. Хэрэв энэ нь хязгаарлагдмал бол та олсон гэсэн үг хэвтээ асимптот.

Ташуу асимптот- kx + b хэлбэрийн шулуун шугам. k-г олохын тулд f(x)/x-ийн хязгаарыг x→∞ гэж тооцоол. Ижил x→∞-ийн b - хязгаарыг (f(x) – kx) олох.

Тооцоолсон өгөгдлийг ашиглан функцийн графикийг зур. Хэрэв байгаа бол асимптотуудыг тэмдэглэ. Экстремум цэгүүд болон тэдгээрийн функцүүдийн утгыг тэмдэглэ. Графикийг илүү нарийвчлалтай болгохын тулд функцийн утгыг хэд хэдэн завсрын цэг дээр тооцоол. Судалгаа дууссан.

Нэг хамгийн чухал ажлууд дифференциал тооцоохөгжил юм нийтлэг жишээнүүдфункциональ зан үйлийн судалгаа.

Хэрэв y=f(x) функц нь интервал дээр тасралтгүй, түүний дериватив нь (a,b) интервал дээр эерэг буюу 0-тэй тэнцүү бол y=f(x) нь (f"(x)0)-аар нэмэгдэнэ. Хэрэв y=f (x) функц нь сегмент дээр тасралтгүй, түүний уламжлал (a,b) дээр сөрөг буюу 0-тэй тэнцүү бол y=f(x) нь (f"(x)0-ээр буурна. )

Функц нь буурах эсвэл өсөхгүй байх интервалуудыг функцийн монотон байдлын интервал гэнэ. Функцийн монотон байдлын шинж чанар нь зөвхөн анхны деривативын тэмдэг өөрчлөгддөг түүний тодорхойлолтын хүрээний цэгүүдэд л өөрчлөгдөж болно. Функцийн эхний дериватив алга болох эсвэл тасалдсан цэгүүдийг критик гэж нэрлэдэг.

Теорем 1 (1-р хангалттай нөхцөлэкстремум байгаа эсэх).

y=f(x) функцийг x 0 цэг дээр тодорхойлж, функц нь интервал дээр тасралтгүй, (x 0 -δ,x 0)u( интервал дээр дифференциалагдах δ>0 хөрш байг. x 0 , x 0 +δ) ба түүний дериватив нь эдгээр интервал тус бүр дээр тогтмол тэмдгийг хадгална. Хэрэв x 0 -δ,x 0) ба (x 0 , x 0 +δ) дээр деривативын тэмдгүүд өөр байвал x 0 нь экстремум цэг, хэрэв давхцаж байвал x 0 нь экстремум цэг биш юм. . Түүнчлэн хэрэв x0 цэгийг дайран өнгөрөхөд дериватив тэмдэг нэмэхээс хасах руу шилждэг (х 0-ийн зүүн талд f"(x)>0 хангагдсан бол x 0 нь хамгийн их цэг, хэрэв дериватив тэмдэг нь -ээс өөрчлөгдвөл x 0 байна. хасах нэмэх (х 0-ийн баруун талд f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг функцийн экстремум цэгүүд гэж нэрлэдэг бөгөөд функцийн хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүд нь түүний туйлын утга юм.

Теорем 2 (локал экстремумын зайлшгүй шинж тэмдэг).

Хэрвээ y=f(x) функц нь одоогийн x=x 0 үед экстремумтай бол f’(x 0)=0 эсвэл f’(x 0) аль нь ч байхгүй.
Дифференциалагдах функцийн экстремум цэгүүдэд түүний графикт шүргэгч нь Ox тэнхлэгтэй параллель байна.

Экстремумын функцийг судлах алгоритм:

1) Функцийн деривативыг ол.
2) Чухал цэгүүдийг олох, өөрөөр хэлбэл. функц тасралтгүй байх ба дериватив нь тэг буюу байхгүй байх цэгүүд.
3) Цэг бүрийн хөрш зэргэлдээ байдлыг авч үзээд энэ цэгийн зүүн ба баруун талд деривативын тэмдгийг шалга.
4) Үүний тулд туйлын цэгүүдийн координатыг тодорхойлж, чухал цэгүүдийн утгыг энэ функцэд орлуулна; Экстремумын хангалттай нөхцөлийг ашиглан зохих дүгнэлтийг гарга.

Жишээ 18. Экстремумын хувьд y=x 3 -9x 2 +24x функцийг шалга.

Шийдэл.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Деривативыг тэгтэй тэнцүүлэхдээ x 1 =2, x 2 =4 болно. Энэ тохиолдолд дериватив нь хаа сайгүй тодорхойлогддог; Энэ нь олдсон хоёр цэгээс өөр чухал цэг байхгүй гэсэн үг юм.
3) y"=3(x-2)(x-4) деривативын тэмдэг 1-р зурагт үзүүлсэн интервалаас хамаарч өөрчлөгдөнө. x=2 цэгээр дамжин өнгөрөхөд дериватив тэмдэг нэмэхээс хасах руу шилжинэ. мөн x=4 цэгээр дамжин өнгөрөхөд - хасахаас нэмэх хүртэл.
4) x=2 цэгт функц хамгийн ихдээ y max =20, x=4 цэгт хамгийн бага y min =16 байна.

Теорем 3. (Экстремум байх 2-р хангалттай нөхцөл).

f"(x 0) ба x 0 цэг дээр f""(x 0) байя. Хэрэв f""(x 0)>0 бол x 0 хамгийн бага цэг, хэрэв f""(x) 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Хэсэг дээр y=f(x) функц нь (a;b) интервалд байрлах функцийн эгзэгтэй цэгүүдэд хамгийн бага (y хамгийн бага) эсвэл хамгийн их (y хамгийн их) утгад хүрч болно. сегментийн төгсгөлүүд.

Үргэлжилсэн y=f(x) функцийн сегмент дээрх хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох алгоритм:

1) f"(x)-г ол.
2) f"(x)=0 эсвэл f"(x) байхгүй цэгүүдийг олоод тэдгээрээс хэрчим дотор байрлахыг сонгоно.
3) y=f(x) функцийн утгыг 2-р алхамд олж авсан цэгүүд), түүнчлэн сегментийн төгсгөлд тооцоолж, тэдгээрээс хамгийн том ба хамгийн жижигийг сонгоно уу: тэдгээр нь хамгийн том (y) байна. интервал дээрх функцийн хамгийн том) ба хамгийн бага (y хамгийн бага) утгууд.

Жишээ 19. y=x 3 -3x 2 -45+225 тасралтгүй функцийн хэрчим дээрх хамгийн том утгыг ол.

1) Бид сегмент дээр y"=3x 2 -6x-45 байна
2) Y" дериватив нь бүх х-д байдаг. y"=0 байх цэгүүдийг олъё; бид авах:
3х 2 -6х-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63 цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоол.
Хэсэг нь зөвхөн x=5 цэгийг агуулна. Функцийн олдсон утгуудын хамгийн том нь 225, хамгийн бага нь 50 тоо юм. Тэгэхээр y max = 225, y min = 50 байна.

Гүдгэр байдлын функцийн судалгаа

Зураг дээр хоёр функцийн графикийг харуулав. Тэдний эхнийх нь дээшээ гүдгэр, хоёр дахь нь доошоо гүдгэр байна.

y=f(x) функц нь сегмент дээр тасралтгүй бөгөөд (a;b) интервалд дифференциалагдах бөгөөд axb-ийн хувьд түүний график нь түүний графикаас өндөр (доод биш) байвал энэ сегмент дээр дээш (доошоо) гүдгэр гэж нэрлэгддэг. дурын цэгт татсан шүргэгч M 0 (x 0 ;f(x 0)), энд axb.

Теорем 4. y=f(x) функц нь хэрчмийн аль ч дотоод х цэг дээр хоёр дахь деривативтэй байх ба энэ хэрчмийн төгсгөлд тасралтгүй байна. Дараа нь (a;b) интервал дээр f""(x)0 тэгш бус байдал биелдэг бол функц нь интервал дээр доошоо гүдгэр байна; хэрэв f""(x)0 тэгш бус байдал (a;b) интервал дээр биелдэг бол функц нь дээр дээшээ гүдгэр байна.

Теорем 5. Хэрэв y=f(x) функц (a;b) интервал дээр хоёр дахь деривативтай бөгөөд x 0 цэгээр дамжин өнгөрөхөд тэмдэг өөрчлөгдвөл M(x 0 ;f(x 0)) гулзайлтын цэг.

Гулзайлтын цэгийг олох дүрэм:

1) f""(x) байхгүй эсвэл алга болох цэгүүдийг ол.
2) Эхний алхамд олдсон цэг бүрийн зүүн ба баруун талд f""(x) тэмдгийг шалгана уу.
3) 4-р теорем дээр үндэслэн дүгнэлт гарга.

Жишээ 20. y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 функцийн графикийн экстремум ба гулзайлтын цэгүүдийг ол.

Бид f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2 байна. x 1 =0, x 2 =1 байхад f"(x)=0 гэдэг нь ойлгомжтой. x=0 цэгээр дамжин өнгөрөхөд дериватив тэмдэг нь хасахаас нэмэх рүү өөрчлөгддөг бол x=1 цэгээр дамжин өнгөрөхөд тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Энэ нь x=0 нь хамгийн бага цэг (y min =12), x=1 цэгт экстремум байхгүй гэсэн үг юм. Дараа нь бид олдог . Хоёр дахь дериватив нь x 1 =1, x 2 =1/3 цэгүүдэд алга болно. Хоёрдахь деривативын шинж тэмдгүүд дараах байдлаар өөрчлөгдөнө: (-∞;) туяа дээр бид f""(x)>0, (;1) интервал дээр f""(x) байна.<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Иймд х= нь функцийн графикийн гулзайлтын цэг (гүдгэрээс доош гүдгэр рүү шилжих шилжилт), x=1 нь мөн гулзайлтын цэг (гүдгэрээс дээш гүдгэр рүү шилжих шилжилт). Хэрэв x= бол y=; хэрэв, тэгвэл x=1, y=13.

Графикийн асимптотыг олох алгоритм

I. Хэрэв y=f(x) x → a гэж байвал x=a нь босоо асимптот болно.
II. Хэрэв y=f(x) бол x → ∞ эсвэл x → -∞ бол y=A нь хэвтээ асимптот болно.
III. Ташуу асимптотыг олохын тулд бид дараах алгоритмыг ашиглана.
1) Тооцоолох. Хэрэв хязгаар байгаа бөгөөд b-тэй тэнцүү бол y=b нь хэвтээ асимптот болно; бол хоёр дахь алхам руу очно уу.
2) Тооцоолох. Хэрэв энэ хязгаар байхгүй бол асимптот байхгүй болно; хэрэв байгаа бөгөөд k-тэй тэнцүү бол гурав дахь алхам руу орно.
3) Тооцоолох. Хэрэв энэ хязгаар байхгүй бол асимптот байхгүй болно; хэрэв байгаа бөгөөд b-тэй тэнцүү бол дөрөв дэх алхам руу орно.
4) y=kx+b ташуу асимптотын тэгшитгэлийг бич.

Жишээ 21: Функцийн асимптотыг ол

1)
2)
3)
4) Ташуу асимптотын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Функцийг судлах, түүний графикийг байгуулах схем

I. Функцийн тодорхойлолтын мужийг ол.
II. Функцийн графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг ол.
III. Асимптотуудыг ол.
IV. Боломжит экстремум цэгүүдийг олоорой.
V. Чухал цэгүүдийг ол.
VI. Туслах дүрсийг ашиглан эхний болон хоёр дахь деривативуудын тэмдгийг судал. Функцийн өсөлт ба бууралтын талбайг тодорхойлж, графикийн гүдгэрийн чиглэл, экстремум, гулзайлтын цэгийг ол.
VII. 1-6-р зүйлд хийсэн судалгааг харгалзан график байгуул.

Жишээ 22: Дээрх диаграмын дагуу функцийн графикийг байгуул

Шийдэл.
I. Функцийн муж нь x=1-ээс бусад бүх бодит тоонуудын олонлог юм.
II. x 2 +1=0 тэгшитгэл нь бодит язгуургүй тул функцийн график нь Ox тэнхлэгтэй огтлолцох цэггүй, харин Oy тэнхлэгийг (0;-1) цэгээр огтолж байна.
III. Асимптотуудын оршин тогтнох тухай асуултыг тодруулцгаая. Х=1 тасалдалтай цэгийн ойролцоох функцийн үйлдлийг судалъя. y → ∞ нь x → -∞, y → +∞ нь x → 1+ байх тул x=1 шулуун нь функцийн графикийн босоо асимптот болно.
Хэрэв x → +∞(x → -∞) бол y → +∞(y → -∞); тиймээс графикт хэвтээ асимптот байхгүй байна. Цаашилбал, хязгаар байгаа эсэхээс

x 2 -2x-1=0 тэгшитгэлийг шийдэж бид хоёр боломжит экстремум цэгийг олж авна.
x 1 =1-√2 ба x 2 =1+√2

V. Чухал цэгүүдийг олохын тулд бид хоёр дахь деривативыг тооцоолно.

f""(x) алга болохгүй тул эгзэгтэй цэг байхгүй.
VI. Эхний болон хоёр дахь деривативуудын тэмдгийг авч үзье. Харгалзах боломжит экстремум цэгүүд: x 1 =1-√2 ба x 2 =1+√2, функцийн оршин байх мужийг (-∞;1-√2),(1-√2;1) интервалд хуваа. +√2) ба (1+√2;+∞).

Эдгээр интервал бүрт дериватив нь тэмдэгээ хадгалдаг: эхнийх нь нэмэх, хоёр дахь нь хасах, гурав дахь нь нэмэх. Эхний деривативын тэмдгүүдийн дарааллыг дараах байдлаар бичнэ: +,-,+.
Функц (-∞;1-√2) үед нэмэгдэж, (1-√2;1+√2) үед буурч, (1+√2;+∞) үед дахин нэмэгддэг болохыг бид олж мэдэв. Экстремум цэгүүд: хамгийн ихдээ x=1-√2, f(1-√2)=2-2√2 хамгийн бага нь x=1+√2, f(1+√2)=2+2√2. (-∞;1) үед график дээшээ гүдгэр, (1;+∞) үед доош гүдгэр байна.
VII Олж авсан утгуудын хүснэгтийг хийцгээе

VIII Хүлээн авсан өгөгдлүүд дээр үндэслэн бид функцийн графикийн тоймыг зурна

Функцуудыг судлах, тэдгээрийн графикийг байгуулахдаа жишиг цэгүүд нь тасалдал, экстремум, гулзайлтын цэгүүд, координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд юм. Дифференциал тооцооллыг ашиглан функцүүдийн өөрчлөлтийн онцлог шинж чанаруудыг тогтоох боломжтой: өсөлт ба бууралт, максимум ба минимум, графикийн гүдгэр ба хотгорын чиглэл, асимптот байгаа эсэх.

Асимптот ба экстремум цэгүүдийг олсны дараа функцийн графикийн ноорог зурах боломжтой (болон байх ёстой) бөгөөд судалгааны явц ахих тусам функцийн судалгааны хураангуй хүснэгтийг бөглөх нь тохиромжтой.

Дараах функцийг судлах схемийг ихэвчлэн ашигладаг.

1.Тодорхойлолтын домэйныг ол тасралтгүй байдлын интервалуудТэгээд функцийг таслах цэгүүд .

2.Функцийг тэгш эсвэл сондгой байдлыг шалгана уу (графикийн тэнхлэгийн эсвэл төвийн тэгш хэм.

3.Хай асимптотууд(босоо, хэвтээ эсвэл налуу).

4.Олоод судлаарай нэмэгдэх ба буурах интервалуудфункцууд, түүний цэгүүд экстремум.

5.Интервал олох муруйн гүдгэр ба хотгор, түүний гулзайлтын цэгүүд.

6.Хэрэв тэдгээр нь байгаа бол координатын тэнхлэгүүдтэй муруйн огтлолцох цэгүүдийг ол.

7.Судалгааны хураангуй хүснэгтийг эмхэтгэх.

8.Дээр дурдсан цэгүүдийн дагуу гүйцэтгэсэн функцийн судалгааг харгалзан графикийг байгуулав.

Жишээ.Функцийг судлах

мөн түүний графикийг байгуулна.

7. Функцийг судлах хураангуй хүснэгтийг эмхэтгэж, бүх шинж чанарын цэгүүд болон тэдгээрийн хоорондох интервалуудыг оруулна. Функцийн паритетийг харгалзан бид дараах хүснэгтийг авна.

Функцийг бүрэн судалж, түүний графикийг зурахын тулд дараахь схемийг ашиглахыг зөвлөж байна.

1) функцийн тодорхойлолтын мужийг олох;

2) функцийн тасалдал ба босоо асимптотуудыг (хэрэв байгаа бол) олох;

3) хязгааргүй үед функцийн зан төлөвийг судлах, хэвтээ ба ташуу асимптотуудыг олох;

4) функцийг паритет (сонин) ба үечилсэн байдлын (тригонометрийн функцүүдийн хувьд) шалгах;

5) функцийн монотон байдлын экстремум ба интервалыг олох;

6) гүдгэрийн интервал ба гулзайлтын цэгийг тодорхойлох;

7) координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд, боломжтой бол графикийг тодруулах нэмэлт цэгүүдийг олох.

Функцийг судлах нь түүний графикийг барихтай зэрэгцэн явагддаг.

Жишээ 9Функцийг судалж, график байгуул.

1. Тодорхойлолтын хамрах хүрээ: ;

2. Функц нь цэгүүдэд тасалддаг
,
;

Бид функцийг босоо асимптот байгаа эсэхийг шалгадаг.

;
,
─ босоо асимптот.

;
,
─ босоо асимптот.

3. Бид ташуу ба хэвтээ асимптот байгаа эсэхийг функцийг шалгана.

Шулуун
─ ташуу асимптот, хэрэв
,
.

,
.

Шулуун
─ хэвтээ асимптот.

4. Функц нь тэгш, учир нь
.

Функцийн паритет нь ординатын тэнхлэгтэй харьцуулахад графикийн тэгш хэмийг илэрхийлдэг.

5. Функцийн монотон байдлын интервал ба экстремумыг ол.
;
Чухал цэгүүдийг олъё, өөрөөр хэлбэл. Дериватив нь 0 буюу байхгүй цэгүүд:
;

. Бидэнд гурван оноо бий . Эдгээр цэгүүд бодит тэнхлэгийг бүхэлд нь дөрвөн интервалд хуваадаг. Шинж тэмдгүүдийг тодорхойлъё

тус бүр дээр.
(-∞; -1) ба (-1; 0) интервалд функц нэмэгдэж, (0; 1) ба (1; +∞) ─ интервалд буурна. Нэг цэгээр дамжин өнгөрөх үед
.

дериватив тэмдэг нэмэхээс хасах руу шилждэг тул энэ үед функц хамгийн их утгатай байна

6. Гүдгэр ба гулзайлтын цэгийн интервалыг ол. Аль цэгүүдийг олъё

0 эсвэл байхгүй байна.
,
,

жинхэнэ үндэс байхгүй.
Оноо
Тэгээд бодит тэнхлэгийг гурван интервалд хуваа. Тэмдгийг тодорхойлъё

интервал бүрт.
Тиймээс интервалуудын муруй
Тэгээд
Оноо
гүдгэр доошоо, интервал дээр (-1;1) гүдгэр дээш; функц нь цэг дээр байгаа тул нугалах цэг байхгүй

тодорхойлогдоогүй.

7. Тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг ол.
Тэнхлэгтэй
функцийн график нь (0; -1) цэг дээр, тэнхлэгтэй огтлолцоно

график огтлолцохгүй, учир нь Энэ функцийн тоологч нь жинхэнэ үндэсгүй.

Өгөгдсөн функцийн графикийг 1-р зурагт үзүүлэв.

Зураг 1 ─ Функцийн график

Дериватив ойлголтыг эдийн засагт хэрэглэх. Уян хатан байдлын функц

Эдийн засгийн үйл явцыг судлах, бусад хэрэглээний асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд функцийн уян хатан байдлын тухай ойлголтыг ихэвчлэн ашигладаг.Тодорхойлолт.
Уян хатан байдлын функц функцийн харьцангуй өсөлтийн харьцааны хязгаар гэнэ хувьсагчийн харьцангуй өсөлтөд
цагт

Функцийн уян хатан чанар нь функц хэдэн хувиар өөрчлөгдөхийг харуулдаг
бие даасан хувьсагч өөрчлөгдөх үед 1%-иар.

Эрэлт, хэрэглээний шинжилгээнд уян хатан байдлын функцийг ашигладаг. Хэрэв эрэлтийн мэдрэмж (үнэмлэхүй утгаар)
, тэгвэл эрэлтийг уян хатан гэж үзнэ
─ төвийг сахисан бол
─ үнэ (эсвэл орлого) харьцангуй уян хатан бус.

Жишээ 10Функцийн уян хатан чанарыг тооцоол
болон уян хатан байдлын индексийн утгыг ол = 3.

Шийдэл: (VII) томъёоны дагуу функцийн уян хатан чанар нь:

Тэгвэл x=3 гэж үзье
.Энэ нь бие даасан хувьсагч 1%-иар өсвөл хамааралтай хувьсагчийн утга 1.42%-иар өснө гэсэн үг.

Жишээ 11Эрэлт үйлчилнэ үнийн талаар шиг харагдаж байна
, Хаана ─ тогтмол коэффициент. Эрэлтийн функцийн уян хатан байдлын үзүүлэлтийн утгыг х = 3 ден үнээр ол. нэгж

Шийдэл: (VII) томъёог ашиглан эрэлтийн функцийн уян хатан чанарыг тооцоол.

Итгэж байна
мөнгөний нэгж, бид авдаг
. Энэ нь үнээр гэсэн үг юм
мөнгөний нэгж Үнийн 1% өсөлт нь эрэлтийг 6% бууруулахад хүргэнэ, өөрөөр хэлбэл. эрэлт уян хатан байна.