Графикийн босоо ба хэвтээ асимптотууд. Функцийн графикийн асимптотууд

Үүнийг яг ингэж томъёолсон ердийн даалгавар, мөн энэ нь графикийн БҮХ асимптотуудыг (босоо, налуу/хэвтээ) олохыг хамарна. Хэдийгээр асуулт тавихдаа илүү нарийвчлалтай байхын тулд бид асимптот байгаа эсэхийг судлах талаар ярьж байна (эцсийн эцэст огт байхгүй байж магадгүй).

Энгийн зүйлээс эхэлцгээе:

Жишээ 1

Шийдлийг хоёр цэгт хялбархан хувааж болно:

1) Эхлээд бид босоо асимптот байгаа эсэхийг шалгана. -д хуваагч тэг болж, энэ үед функц хязгааргүй тасалдалтай болох нь шууд тодорхой болно, мөн шулуун шугам. тэгшитгэлээр өгөгдсөн, нь функцийн графикийн босоо асимптот юм. Гэхдээ ийм дүгнэлт гаргахын өмнө нэг талын хязгаарлалтыг олох шаардлагатай.

Функцийн тасралтгүй байдлын тухай өгүүлэлд мөн адил онцолсон тооцооллын техникийг би танд сануулж байна. Хагарлын цэгүүд. Хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэлд бид . Тоолуурт сонирхолтой зүйл алга:
.

Гэхдээ хуваагч дээр энэ нь гарч ирдэг хязгааргүй жижиг сөрөг тоо :
, энэ нь хязгаарын хувь заяаг тодорхойлдог.

Зүүн гар талын хязгаар нь хязгааргүй бөгөөд зарчмын хувьд босоо асимптот байгаа эсэх талаар дүгнэлт гаргах боломжтой болсон. Гэхдээ нэг талт хязгаарлалтууд нь зөвхөн үүнд шаардлагатай биш бөгөөд тэдгээр нь функцийн график хэрхэн байрлаж байгааг ОЙЛГОХ, ЗӨВ бүтээхэд туслана. Тиймээс бид баруун гар талын хязгаарыг тооцоолох ёстой.

Дүгнэлт: нэг талт хязгаар нь хязгааргүй бөгөөд энэ нь шулуун шугам нь функцийн графикийн босоо асимптот гэсэн үг юм.

Эхний хязгаар хязгаарлагдмал, энэ нь "яриагаа үргэлжлүүлэх" шаардлагатай бөгөөд хоёр дахь хязгаарыг олох шаардлагатай гэсэн үг юм.

Хоёр дахь хязгаар нь бас хязгаарлагдмал.

Тиймээс бидний асимптот нь:

Дүгнэлт: тэгшитгэлээр тодорхойлсон шулуун шугам нь функцийн графикийн хэвтээ асимптот болно.

Хэвтээ асимптотыг олохын тулд та хялбаршуулсан томъёог ашиглаж болно.

Хэрэв хязгаарлагдмал хязгаар байгаа бол шулуун шугам нь функцийн графикийн хэвтээ асимптот болно.

Функцийн тоологч ба хуваагч нь ижил өсөлтийн дарааллаар байгааг анзаарахад хялбар байдаг бөгөөд энэ нь хайж буй хязгаар нь төгсгөлтэй байна гэсэн үг юм.

Хариулт:

Нөхцөлийн дагуу зураг зурах шаардлагагүй, гэхдээ хэрэв бид функцийг судалж байгаа бол тэр даруй ноорог дээр ноорог зурна.

Гурван олсон хязгаар дээр үндэслэн функцийн график хэрхэн байрлаж болохыг олж мэдэхийг хичээ. Ер нь хэцүү юу? 5-6-7-8 цэгүүдийг олоод зурган дээр тэмдэглэ. Гэхдээ энэ функцын графикийг энгийн функцийн графикийн хувиргалтуудыг ашиглан бүтээсэн бөгөөд дээрх өгүүллийн 21-р жишээг анхааралтай судалж үзсэн уншигчид энэ нь ямар төрлийн муруй болохыг хялбархан тааж чадна.

Жишээ 2

Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Энэ бол жишээ юм бие даасан шийдвэр. Процесс нь босоо асимптот ба ташуу асимптот гэсэн хоёр цэгт хуваагддаг гэдгийг танд сануулъя. Түүврийн шийдэлд хэвтээ асимптотыг хялбаршуулсан схемийг ашиглан олно.

Практикт бутархай-рационал функцүүд ихэвчлэн тулгардаг бөгөөд гиперболын талаар сургасны дараа бид даалгаврыг хүндрүүлнэ.

Жишээ 3

Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Шийдэл: Нэг, хоёр, дууссан:

1) Босоо асимптотуудхязгааргүй тасалдалтай цэгүүд байгаа тул хуваагч тэг болж байгаа эсэхийг шалгах хэрэгтэй. Квадрат тэгшитгэлийг шийдье:

Дискриминант эерэг тул тэгшитгэл нь хоёр бодит язгууртай бөгөөд ажил нь мэдэгдэхүйц нэмэгдсэн =)

Цаашид нэг талын хязгаарыг олохын тулд квадрат гурвалжинХүчинжүүлэхэд тохиромжтой:
(авсаархан тэмдэглэгээний хувьд "хасах" хэсгийг эхний хаалтанд оруулсан болно). Аюулгүй байхын тулд хаалтуудыг оюун ухаанаар эсвэл ноорог дээр нээх замаар шалгацгаая.

Функцийг хэлбэрээр дахин бичье

Нэг талт хязгаарыг олъё:

Тэгээд цэг дээр:

Тиймээс шулуун шугамууд нь тухайн функцийн графикийн босоо асимптотууд юм.

2) Хэрэв та функцийг харвал , тэгвэл хязгаар нь хязгаарлагдмал байх нь тодорхой бөгөөд бид хэвтээ асимптоттой болно. Түүний оршихуйг товчхон харуулъя:

Тиймээс шулуун шугам (абсцисса тэнхлэг) нь энэ функцийн графикийн хэвтээ асимптот юм.

Хариулт:

Олдсон хязгаар ба асимптотууд нь функцийн графикийн талаар маш их мэдээлэл өгдөг. Дараахь баримтуудыг харгалзан зургийг оюун ухаанаараа төсөөлөхийг хичээ.

Графикийн хувилбарыг ноорог дээрээ зур.

Мэдээжийн хэрэг, олсон хязгаарууд нь графикийн харагдах байдлыг тодорхой тодорхойлдоггүй бөгөөд та алдаа гаргаж магадгүй ч дасгал нь өөрөө дасгал хийх явцад үнэлж баршгүй тусламж үзүүлэх болно. бүрэн судалгаафункцууд Зөв зураг нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Жишээ 4

Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Жишээ 5

Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Эдгээр нь бие даасан шийдэлд зориулагдсан ажлууд юм. Хоёр график дахин хэвтээ асимптотуудтай бөгөөд тэдгээрийг шууд илрүүлдэг дараах шинж тэмдгүүд: 4-р жишээнд хуваагчийн өсөлтийн дараалал нь хуваарийн өсөлтийн дарааллаас их, 5-р жишээнд хуваагч болон хуваагч нь ижил өсөлтийн дарааллаар байна. Түүврийн шийдэлд эхний функцийг ташуу асимптотуудыг бүрэн хэмжээгээр, хоёрдугаарт - хязгаараар шалгана.

Миний субьектив сэтгэгдэлээр хэвтээ асимптотууд нь "үнэхээр хазайсан"-аас илт илүү түгээмэл байдаг. Удаан хүлээгдэж буй ерөнхий тохиолдол:

Жишээ 6

Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Шийдэл: жанрын сонгодог:

1) Хуваагч эерэг тул функц нь бүх тооны шугамын дагуу тасралтгүй байх ба босоо асимптот байхгүй. ...Энэ сайн уу? Зөв үг биш - маш сайн! 1-р цэг хаалттай байна.

2) Ташуу асимптот байгаа эсэхийг шалгая:

Эхний хязгаар хязгаарлагдмал, тэгээд цаашаа явцгаая. "Хязгааргүй хасах хязгааргүй" тодорхойгүй байдлыг арилгах хоёр дахь хязгаарыг тооцоолохдоо бид илэрхийллийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулна.

Хоёр дахь хязгаар нь бас хязгаарлагдмалТиймээс тухайн функцийн график нь ташуу асимптоттой байна:

Дүгнэлт:

Ийнхүү функцийн график үед хязгааргүй ойрхоншулуун шугам руу ойртоно:

Энэ нь ташуу асимптотыг гарал үүслээр нь огтолж байгааг анхаарна уу, ийм огтлолцлын цэгүүд нь нэлээд зөвшөөрөгдөхүйц байдаг - хязгааргүйд "бүх зүйл хэвийн" байх нь чухал (үнэндээ энд бид асимптотуудын тухай ярьж байна).

Жишээ 7

Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Шийдэл: Сэтгэгдэл бичих онцгой зүйл байхгүй тул би үүнийг албан ёсны болгох болно ойролцоо дээжэцсийн шийдэл:

1) Босоо асимптотууд. Гол санааг нь судалцгаая.

Шулуун шугам нь графын босоо асимптот юм.

2) Ташуу асимптотууд:

Шулуун шугам нь графын налуу асимптот юм.

Хариулт:

Олдсон нэг талын хязгаар ба асимптотууд нь энэ функцийн график ямар харагдахыг маш итгэлтэйгээр таамаглах боломжийг олгодог. Хичээлийн төгсгөлд зөв зурах.

Жишээ 8

Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Энэ нь бие даасан шийдлийн жишээ юм, зарим хязгаарыг тооцоолоход хялбар байхын тулд та хуваагчийг нэр томъёогоор хувааж болно. Дахин хэлэхэд, үр дүндээ дүн шинжилгээ хийхдээ энэ функцийн графикийг зурж үзээрэй.

Мэдээжийн хэрэг, "жинхэнэ" ташуу асимптотуудын эзэд нь эдгээрийн графикууд юм. бутархай рационал функцууд, үүнд хуваагчийн хамгийн дээд зэрэг нь хуваагчийн хамгийн дээд зэргээс нэг их байна. Хэрэв энэ нь илүү байвал ташуу асимптот байхгүй болно (жишээлбэл, ).

Гэхдээ амьдралд бусад гайхамшгууд тохиолддог:

Жишээ 9

Шийдэл: функц нь бүхэл тооны мөрөнд тасралтгүй байх бөгөөд энэ нь босоо асимптот байхгүй гэсэн үг юм. Гэхдээ хандлагатай хүмүүс байж болно. Бид шалгаж байна:

Би их сургуульд байхдаа үүнтэй төстэй функцтэй тулгарснаа санаж, ташуу асимптоттой гэдэгт итгэж чадахгүй байв. Би хоёр дахь хязгаарыг тооцоолох хүртэл:

Хатуухан хэлэхэд энд хоёр тодорхойгүй зүйл байна: мөн , гэхдээ ямар нэг байдлаар та хязгаарлалтын тухай өгүүллийн 5-6-р жишээнд авч үзсэн шийдлийн аргыг ашиглах хэрэгтэй. нарийн төвөгтэй байдал нэмэгдсэн. Дараах томъёог ашиглахын тулд бид коньюгат илэрхийллээр үржүүлж, хуваана.

Хариулт:

Магадгүй хамгийн алдартай ташуу асимптот.

Өнөөг хүртэл хязгааргүй байдлыг "нэг сойзоор таслав" боловч функцийн график нь дээр болон дээр хоёр өөр ташуу асимптоттой байдаг:

Жишээ 10

Асимптот байгаа эсэхийг функцийн графикийг шалгана уу

Шийдэл: радикал илэрхийлэл нь эерэг бөгөөд энэ нь тодорхойлолтын хүрээ нь ямар ч бодит тоо бөгөөд босоо саваа байж болохгүй гэсэн үг юм.

Ташуу асимптотууд байгаа эсэхийг шалгацгаая.

Хэрэв "x" нь "хасах хязгааргүй" хандлагатай байвал:
(доор "X" оруулах үед квадрат язгуурхуваагчийн сөрөг талыг алдахгүйн тулд хасах тэмдэг нэмэх шаардлагатай)

Энэ нь ер бусын харагдаж байна, гэхдээ энд тодорхойгүй байдал нь "хязгааргүйг хасах" юм. Тоолуур ба хуваагчийг нэгтгэсэн илэрхийллээр үржүүлнэ.

Тиймээс шулуун шугам нь графын налуу асимптот болно.

"Нэмэх хязгааргүй" бол бүх зүйл илүү ач холбогдолгүй болно:

Мөн шулуун шугам нь дээр байна.

Хариулт:

Хэрэв ;
, Хэрэв .

Би эсэргүүцэж чадахгүй график дүрс:


Энэ бол гиперболын салбаруудын нэг юм.

Асимптотуудын боломжит оршихуй нь эхлээд функцийн мужаар хязгаарлагдах нь ердийн зүйл биш юм.

Жишээ 11

Асимптот байгаа эсэхийг функцийн графикийг шалгана уу

Шийдэл: ойлгомжтой , тиймээс бид функцийн график байгаа баруун хагас хавтгайг л авч үзнэ.

1) Функц нь интервал дээр тасралтгүй байх бөгөөд хэрэв босоо асимптот байгаа бол энэ нь зөвхөн ордны тэнхлэг байж болно гэсэн үг юм. Тухайн цэгийн ойролцоох функцийн зан төлөвийг судалъя зөв:

Энд тодорхойгүй зүйл байхгүй гэдгийг анхаарна уу (ийм тохиолдлуудыг "Хязгаарыг шийдвэрлэх аргууд" өгүүллийн эхэнд онцолсон болно).

Тиймээс шулуун шугам (ординатын тэнхлэг) нь функцийн графикийн босоо асимптот болно.

2) Ташуу асимптотын судалгааг ашиглан хийж болно бүрэн схем, гэхдээ L'Hopital Rules нийтлэлээс бид үүнийг олж мэдсэн шугаман функцилүү өндөр захиалгаөсөлт логарифмээс илүү, тиймээс: (Ижил хичээлийн 1-р жишээг үзнэ үү).

Дүгнэлт: x тэнхлэг нь функцийн графикийн хэвтээ асимптот юм.

Хариулт:

Хэрэв ;
, Хэрэв .

Тодорхой болгохын тулд зурах:

Ижил төстэй функц нь огт асимптотгүй байдаг нь сонирхолтой юм (хүссэн хүмүүс үүнийг шалгаж болно).

Хоёр эцсийн жишээнүүдбие даан суралцахад:

Жишээ 12

Асимптот байгаа эсэхийг функцийн графикийг шалгана уу

Босоо асимптотуудыг шалгахын тулд эхлээд функцийн тодорхойлолтын мужийг олж, дараа нь "сэжигтэй" цэгүүдэд нэг талт хязгаарын хосыг тооцоолох хэрэгтэй. Функц нь "нэмэх" ба "хасах" хязгааргүйд тодорхойлогддог тул ташуу асимптотуудыг мөн хасдаггүй.

Жишээ 13

Асимптот байгаа эсэхийг функцийн графикийг шалгана уу

Гэхдээ энд зөвхөн ташуу асимптотууд байж болох бөгөөд чиглэлийг тусад нь авч үзэх хэрэгтэй.

Та зөв асимптотыг олсон гэж найдаж байна =)

Танд амжилт хүсье!

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2:Шийдэл :
. Нэг талын хязгаарлалтыг олцгооё:

Шулуун үед функцийн графикийн босоо асимптот юм .
2) Ташуу асимптотууд.

Шулуун .
Хариулт:

ЗурахЖишээ 3:

Жишээ 4:Шийдэл :
1) Босоо асимптотууд. Функц нь нэг цэгт хязгааргүй завсарлага авдаг . Нэг талын хязгаарыг тооцоолъё:

Тайлбар: тэгш тоотой хязгааргүй цөөн сөрөг тоо нь хязгааргүй бага эерэг тоотой тэнцүү байна. .

Шулуун нь функцийн графикийн босоо асимптот юм.
2) Ташуу асимптотууд.


Шулуун (абсцисса тэнхлэг) нь at функцийн графикийн хэвтээ асимптот юм .
Хариулт:

Гипербол гэж нэрлэдэг байршилцэгүүд, фокус гэж нэрлэгддэг өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны зөрүү нь тогтмол утга юм (энэ тогтмол нь эерэг байх ёстой бөгөөд голомтын хоорондох зайнаас бага байх ёстой).

Энэ тогтмолыг 2а, фокусын хоорондох зайг § 3-ын адилаар тэмдэглээд координатын тэнхлэгүүдийг сонгоцгооё. дурын цэггипербол.

Гиперболын тодорхойлолтоор

Тэгш байдлын баруун талд та нэмэх тэмдэг, хэрэв хасах тэмдэг сонгох хэрэгтэй

Сүүлийн тэгш байдлыг дараах байдлаар бичиж болно.

Энэ нь сонгосон координатын систем дэх гиперболын тэгшитгэл юм.

Энэ тэгшитгэлийн (§ 3-ын адил) радикалуудаас өөрсдийгөө чөлөөлсөнөөр бид тэгшитгэлийг хамгийн энгийн хэлбэр болгон бууруулж чадна.

Эхний радикалыг шилжүүлж байна баруун талтэгш байдал ба хоёр талыг квадрат болгосноор тодорхой өөрчлөлтүүдийн дараа бид дараахь зүйлийг олж авна.

Дахин нэг удаа тэгш байдлын хоёр талыг квадрат болгож, бууруулалтыг хийнэ ижил төстэй гишүүдболон хуваах чөлөөт гишүүн, бид авах:

-ээс хойш утга нь эерэг байна. -ээр дамжуулан тэмдэглэх, өөрөөр хэлбэл, таамаглах

бид авдаг каноник тэгшитгэлгипербол.

Гиперболын хэлбэрийг судалж үзье.

1) Гиперболын тэгш хэм. Тэгшитгэл (3) нь зөвхөн одоогийн координатын квадратуудыг агуулдаг тул координатын тэнхлэгүүд нь гиперболын тэгш хэмийн тэнхлэгүүд юм (зууван хэлбэрийн ижил төстэй мэдэгдлийг үзнэ үү). Голомтууд байрлах гиперболын тэгш хэмийн тэнхлэгийг фокусын тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Тэгш хэмийн тэнхлэгүүдийн огтлолцох цэг - тэгш хэмийн төвийг гиперболын төв гэж нэрлэдэг. (3) тэгшитгэлээр өгөгдсөн гиперболын хувьд фокусын тэнхлэг нь Ox тэнхлэгтэй давхцаж, төв нь эх юм.

2) Тэгш хэмийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд. Гиперболын тэгш хэмийн тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг олъё - гиперболын оройнууд. Тэгшитгэлд бид гиперболын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийн абсциссуудыг олно.

Үүний үр дүнд цэгүүд нь гиперболын оройнууд юм (Зураг 51); тэдгээрийн хоорондох зай 2a байна. Ой тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг олохын тулд бид тэгшитгэлд оруулан эдгээр цэгүүдийн ординатыг тодорхойлохын тулд тэгшитгэлийг олж авна

өөрөөр хэлбэл, y-ийн хувьд бид төсөөллийн утгыг олж авсан; Энэ нь Ой тэнхлэг нь гиперболуудыг огтолдоггүй гэсэн үг юм.

Үүний дагуу гиперболыг огтолж буй тэгш хэмийн тэнхлэгийг нэрлэдэг бодит тэнхлэгтэгш хэм (фокусын тэнхлэг), гиперболтой огтлолцдоггүй тэгш хэмийн тэнхлэгийг симметрийн төсөөллийн тэнхлэг гэж нэрлэдэг. (3) тэгшитгэлээр өгөгдсөн гиперболын хувьд тэгш хэмийн бодит тэнхлэг нь тэнхлэг, симметрийн төсөөллийн тэнхлэг нь гиперболын оройг холбосон хэрчим, түүнчлэн түүний урт 2а-г бодит тэнхлэг гэж нэрлэдэг. гипербола. Хэрэв гиперболын тэгш хэмийн төсөөллийн тэнхлэг дээр OB ба урт b хэрчмүүдийг түүний төвийн О-ийн хоёр талд зурвал хэрчм ба түүний уртыг гиперболын төсөөллийн тэнхлэг гэнэ. a ба b хэмжигдэхүүнүүдийг гиперболын бодит ба төсөөллийн хагас тэнхлэг гэж нэрлэдэг.

3) Гиперболын хэлбэр. Гиперболын хэлбэрийг судлахдаа үүнийг анхаарч үзэх нь хангалттай юм эерэг утгуудх ба у, учир нь муруй нь координатын тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байрладаг.

Тэгшитгэл (3)-аас 1 гэж гарах тул энэ нь a-аас Хэзээ хүртэл өөрчлөгдөж болно a-аас Y хүртэл өсөхөд 0-ээс Y хүртэл нэмэгдэнэ. Муруй нь Зураг дээр үзүүлсэн хэлбэртэй байна. 51. Шулуун шугамаар хязгаарлагдсан туузны гадна байрлах ба хоёр тусдаа салаа хэсгээс бүрдэнэ. Эдгээр салбаруудын аль нэгний М цэгийн хувьд (баруун мөчир), өөр мөчрийн аль ч М цэгийн хувьд (зүүн мөчир).

4) Гиперболын асимптотууд. Гиперболын төрлийг илүү тодорхой төсөөлөхийн тулд үүнтэй нягт холбоотой хоёр шулуун шугамыг авч үзье - асимптот гэж нэрлэгддэг.

Х ба у-г эерэг гэж үзвэл гиперболын тэгшитгэл (3)-ыг у ординаттай харьцуулан шийднэ.

Тэгшитгэлийг шулуун шугамын тэгшитгэлтэй харьцуулж, энэ шулуун ба гипербол дээр тус тус байрладаг, ижил абсциссатай харгалзах хоёр цэгийг дуудъя (Зураг 51). Харгалзах цэгүүдийн ординатуудын Y - y ялгаа нь тэдгээрийн хоорондох зайг илэрхийлдэг нь тодорхой байна.

Хязгааргүй өсөхөд MN, алах зай тэг болох хандлагатай байгааг харуулъя. Үнэндээ,

Хялбаршуулсаны дараа бид дараахь зүйлийг авна.

Сүүлийн томъёоноос харахад абсцисс хязгааргүй ихсэх тусам MN зай багасч, тэг рүү чиглэх хандлагатай байна. Үүнээс үзэхэд эхний квадрат дахь гиперболын дагуу хөдөлж буй M цэг хязгааргүйд шилжихэд шулуун шугам хүртэлх зай нь буурч, тэг рүү чиглэнэ. М цэг гурав дахь квадрат дахь гиперболын дагуу хөдөлж байх үед ижил нөхцөл байдал үүснэ (О эхтэй харьцуулахад тэгш хэмийн улмаас).

Эцэст нь, гиперболын Oy тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмийн улмаас бид шулуун шугамтай тэгш хэмтэй байрлалтай хоёр дахь шулуун шугамыг олж авах бөгөөд энэ нь гиперболын дагуу хөдөлж, хязгааргүйд шилжих үед M цэг мөн хязгааргүй ойртох болно. хоёр ба дөрөв дэх квадрат).

Эдгээр хоёр шулуун шугамыг гиперболын асимптот гэж нэрлэдэг бөгөөд бидний үзсэнчлэн тэдгээр нь тэгшитгэлтэй байна.

Гиперболын асимптотууд нь тэгш өнцөгтийн диагональуудын дагуу байрлах нь тодорхой бөгөөд нэг тал нь Ox тэнхлэгтэй параллель бөгөөд 2a-тай тэнцүү, нөгөө тал нь Oy тэнхлэгтэй параллель бөгөөд тэнцүү бөгөөд төв нь тэнхлэгт байрладаг. координатын гарал үүсэл (51-р зургийг үз).

Гиперболыг түүний тэгшитгэлийг ашиглан зурахдаа эхлээд түүний асимптотуудыг байгуулахыг зөвлөж байна.

Адил талт гипербол. Гиперболын хувьд үүнийг тэгш талт гэж нэрлэдэг; Түүний тэгшитгэлийг (3) -аас авсан бөгөөд дараах хэлбэртэй байна.

Мэдээжийн хэрэг, тэгш талт гиперболын асимптотуудын өнцгийн коэффициентүүд нь ижил талт гиперболын асимптотууд нь бие биендээ перпендикуляр бөгөөд тэгш хэмийн тэнхлэгүүдийн хоорондох өнцгийг хоёр хуваадаг.

Нэг, нэг, хоёр, гурав,... эсвэл хязгааргүй олон биш. Бид жишээ авах гэж хол явахгүй, санацгаая үндсэн функцууд. Парабол, куб парабол, синусын долгионд асимптот огт байдаггүй. экспоненциал график, логарифм функцөвөрмөц асимптоттой. Арктангенс ба арккотангенс нь хоёртой, тангенс ба котангенс нь хязгааргүй олонтой. График нь хэвтээ ба босоо асимптоттой байх нь ердийн зүйл биш юм. Гипербол, чамайг үргэлж хайрлах болно.

Функцийн графикийн асимптотуудыг олно гэдэг нь юу гэсэн үг вэ?

Энэ нь тэдгээрийн тэгшитгэлийг олох, хэрэв асуудал шаардлагатай бол шулуун шугам зурах гэсэн үг юм. Үйл явц нь функцийн хязгаарыг олох явдал юм.

Графикийн босоо асимптот нь дүрмээр бол функцийн хязгааргүй тасалдлын цэг дээр байрладаг. Энэ нь энгийн: хэрэв тухайн цэг дээр функц хязгааргүй тасалдалтай байвал тэгшитгэлээр тодорхойлсон шулуун шугам нь графикийн босоо асимптот болно.

Анхаарна уу: Энэ оруулга нь хоёрыг бүрэн илэрхийлэхэд ашиглагдаж байгааг анхаарна уу өөр өөр ойлголтууд. Цэг нь далдлагдсан эсвэл шулууны тэгшитгэл байх нь контекстээс хамаарна.

Тиймээс нэг цэгт босоо асимптот байгаа эсэхийг тогтоохын тулд ядаж нэг талт хязгаарын нэг нь хязгааргүй гэдгийг харуулахад хангалттай. Ихэнхдээ энэ нь функцийн хуваагч байх цэг юм тэгтэй тэнцүү. Үндсэндээ бид босоо асимптотуудыг аль хэдийн олсон сүүлийн үеийн жишээнүүдФункцийн тасралтгүй байдлын тухай хичээл. Гэхдээ зарим тохиолдолд зөвхөн нэг талын хязгаар байдаг бөгөөд хэрэв энэ нь хязгааргүй бол дахин босоо асимптотыг хайрлаж, илүүд үздэг. Хамгийн энгийн дүрслэл: ординатын тэнхлэг.

Дээр дурдсанаас энэ нь бас гарч ирдэг илэрхий баримт: хэрэв функц тасралтгүй асаалттай байвал босоо асимптот байхгүй болно. Яагаад ч юм парабола санаанд орж ирэв. Үнэхээр энд шулуун шугамыг хаана “наалдуулж” чадах вэ? ...тиймээ... би ойлголоо... Фрейдийн авга дагалдагчид гистерик болсон =)

Сөрөг мэдэгдэл дэх ерөнхий тохиолдолбуруу: иймээс функц нь бүх тооны мөрөнд тодорхойлогдоогүй, харин асимптотоос бүрэн хасагдсан.

Функцийн графикийн налуу асимптотууд

Ташуу (зэрэг онцгой тохиолдол- хэвтээ) функцын аргумент нь "нэмэх хязгааргүй" эсвэл "хасах хязгааргүй" хандлагатай байвал асимптотуудыг зурж болно. Иймд функцийн график нь 2-оос илүү налуу асимптоттой байж болохгүй. Жишээлбэл, экспоненциал функцийн график нь нэг хэвтээ асимптоттой, at арктангенсын график нь хоёр ийм асимптоттой, өөр өөр байдаг.

Хэрхэн оруулах вэ математикийн томьёосайт руу?

Хэрэв та хэзээ нэгэн цагт вэб хуудсанд нэг юмуу хоёр математикийн томьёо нэмэх шаардлагатай бол үүнийг хийх хамгийн хялбар арга бол нийтлэлд дурдсанчлан: математикийн томъёог Wolfram Alpha-ийн автоматаар үүсгэсэн зураг хэлбэрээр сайтад хялбархан оруулдаг. . Энгийн байдлаас гадна энэ бүх нийтийн аргавэб сайтын харагдах байдлыг сайжруулахад туслах болно хайлтын системүүд. Энэ нь удаан хугацаанд ажиллаж байгаа (мөн үүрд ажиллах болно гэж бодож байна), гэхдээ аль хэдийн ёс суртахууны хувьд хоцрогдсон.

Хэрэв та өөрийн сайт дээр математикийн томъёог байнга ашигладаг бол MathJax - тусгай JavaScript номын санг ашиглахыг зөвлөж байна. математик тэмдэглэгээ MathML, LaTeX эсвэл ASCIIMathML тэмдэглэгээг ашиглан вэб хөтөч дээр.

MathJax-г ашиглаж эхлэх хоёр арга бий: (1) энгийн код ашиглан та MathJax скриптийг өөрийн сайт руу хурдан холбох боломжтой. зөв мөчалсын серверээс автоматаар ачаалах (серверүүдийн жагсаалт); (2) MathJax скриптийг алсын серверээс сервертээ татаж аваад сайтынхаа бүх хуудсанд холбоно уу. Хоёрдахь арга нь илүү төвөгтэй бөгөөд цаг хугацаа их шаарддаг - таны сайтын хуудсуудыг ачааллыг хурдасгах бөгөөд хэрэв эх MathJax сервер ямар нэг шалтгаанаар түр ажиллахгүй бол энэ нь таны сайтад ямар ч байдлаар нөлөөлөхгүй. Эдгээр давуу талуудыг үл харгалзан би илүү хялбар, хурдан бөгөөд техникийн ур чадвар шаарддаггүй тул эхний аргыг сонгосон. Миний жишээг дагаж, ердөө 5 минутын дотор та MathJax-ийн бүх боломжуудыг сайт дээрээ ашиглах боломжтой болно.

Та MathJax номын сангийн скриптийг алсын серверээс MathJax-ийн үндсэн вэбсайтаас эсвэл баримт бичгийн хуудаснаас авсан хоёр кодын сонголтыг ашиглан холбож болно.

Эдгээр кодын сонголтуудын аль нэгийг таны вэб хуудасны код руу хуулж, шошгоны хооронд болон шошгоны дараа шууд буулгах шаардлагатай. Эхний хувилбарын дагуу MathJax илүү хурдан ачаалж, хуудсыг бага удаашруулдаг. Гэхдээ хоёр дахь сонголт нь MathJax-ийн хамгийн сүүлийн хувилбаруудыг автоматаар хянаж, ачаалдаг. Хэрэв та эхний кодыг оруулбал үүнийг үе үе шинэчлэх шаардлагатай болно. Хэрэв та хоёр дахь кодыг оруулбал хуудаснууд илүү удаан ачаалах боловч MathJax-ийн шинэчлэлтийг байнга хянах шаардлагагүй болно.

MathJax-г холбох хамгийн хялбар арга бол Blogger эсвэл WordPress дээр: сайтын хяналтын самбарт гуравдагч этгээдийн JavaScript код оруулах зориулалттай виджет нэмж, дээр дурдсан татаж авах кодын эхний эсвэл хоёр дахь хувилбарыг хуулж, виджетийг ойртуулна уу. Загварын эхэнд (дашрамд хэлэхэд, энэ нь огт шаардлагагүй, учир нь MathJax скрипт асинхроноор ачаалагдсан байдаг). Ингээд л болоо. Одоо MathML, LaTeX, ASCIIMathML-ийн тэмдэглэгээний синтаксийг сурснаар та сайтынхаа вэб хуудсанд математикийн томьёо оруулахад бэлэн боллоо.

Аливаа фракталыг дагуу байгуулна тодорхой дүрэм, энэ нь хязгааргүй олон удаа дараалан хэрэглэгддэг. Ийм цаг бүрийг давталт гэж нэрлэдэг.

Менгер хөвөн бүтээх давталтын алгоритм нь маш энгийн: 1-р талтай анхны шоо нь нүүрнээсээ параллель хавтгайгаар 27-т хуваагдана. тэнцүү шоо. Үүнээс нэг төв шоо, түүнтэй зэргэлдээх 6 кубыг нүүрний дагуу гаргаж авдаг. Үр дүн нь үлдсэн 20 жижиг шооноос бүрдсэн багц юм. Эдгээр шоо тус бүртэй ижил зүйлийг хийснээр бид 400 жижиг шооноос бүрдэх багцыг авна. Энэ үйл явцыг эцэс төгсгөлгүй үргэлжлүүлснээр бид Menger хөвөн авдаг.

Ихэнх тохиолдолд эхлээд муруйн асимптотуудыг байгуулбал функцийн графикийг бүтээх нь илүү хялбар байдаг.

Тодорхойлолт 1. Хувьсагч нь хязгааргүй нэмэх эсвэл хасах хязгаартай байх үед функцийн график дур мэдэн ойртож буй шулуун шугамуудыг асимптот гэнэ.

Тодорхойлолт 2. Шулуун шугамыг функцийн графикийн асимптот гэнэ. хувьсах цэг МЭнэ шугам хүртэлх функцийн график цэг тодорхойгүй хугацаагаар холдох тусам тэг рүү чиглэдэг Мфункцийн графикийн аль нэг салааны дагуух эх үүсвэрээс.

Босоо, хэвтээ, ташуу гэсэн гурван төрлийн асимптот байдаг.

Тодорхойлолт. Шулуун x = абайна функцийн графикийн босоо асимптот, хэрэв цэг x = ань энэ функцийн хоёр дахь төрлийн тасалдалтын цэг юм.

Тодорхойлолтоос харахад шулуун шугам x = ань функцийн графикийн босоо асимптот юм е(x) дор хаяж нэг нөхцөл хангагдсан бол:

Энэ тохиолдолд функц е(x) ямар ч үед тус тус тодорхойлогдоогүй байж болно x ≥ аТэгээд x ≤ а .

Сэтгэгдэл:

Жишээ 1. Функцийн график y=ln xбосоо асимптоттой x= 0 (өөрөөр хэлбэл тэнхлэгтэй давхцаж байна Өө) тодорхойлолтын домайн хил дээр, учир нь функцийн хязгаар нь баруун талаас тэг рүү чиглэж байгаа х нь хязгааргүйтэй тэнцүү байна:

(дээрх зураг).

Жишээ 2. Функцийн графикийн асимптотуудыг ол.

Жишээ 3. Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Хэрэв (аргумент нэмэх эсвэл хасах хязгааргүй байх хандлагатай функцийн хязгаар нь тодорхой утгатай тэнцүү бол) б), Тэр y = б – хэвтээ асимптотмуруй y = е(x) (X нэмэх хязгааргүй байх хандлагатай үед баруун талд, X хасах хязгааргүй байх хандлагатай үед зүүн талд, хэрэв X нэмэх эсвэл хасах хязгааргүй байх хандлагатай бол хоёр талт).

Жишээ 5. Функцийн график

цагт а> 1 нь хэвтээ ассимпототыг орхисон y= 0 (өөрөөр хэлбэл тэнхлэгтэй давхцаж байна Үхэр), "x" гэсэн функцийн хязгаар нь хасах хязгааргүй байх хандлагатай тул тэг болно:

"x" гэсэн функцийн хязгаар нь хязгааргүй нэмэх хандлагатай байдаг тул муруй нь зөв хэвтээ асимптотгүй:

Босоо ба хэвтээ асимптотуудБидний дээр дурдсан тэнхлэгүүд нь координатын тэнхлэгүүдтэй параллель байдаг тул тэдгээрийг барихад л хангалттай тодорхой тоо- абсцисса буюу ординатын тэнхлэг дээрх асимптот дамжин өнгөрөх цэг. Ташуу асимптотын хувьд илүү их зүйл хэрэгтэй - налуу к, энэ нь шугамын налуу өнцөг, чөлөөт нэр томъёог харуулж байна б, энэ нь шугам нь эх үүсвэрээс хэр их эсвэл доор байгааг харуулдаг. Аналитик геометр, түүнээс шулуун шугамын тэгшитгэлийг мартаагүй хүмүүс ташуу асимптотын хувьд өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэл олдгийг анзаарах болно. Ташуу асимптот байгаа эсэхийг дараах теоремоор тодорхойлж, үүний үндсэн дээр сая дурдсан коэффициентүүдийг олно.

Теорем. Муруй болгохын тулд y = е(x) асимптоттой байсан y = kx + б, тэдгээрийг оршин тогтноход шаардлагатай бөгөөд хангалттай хязгаарлагдмал хязгаарууд кТэгээд бхувьсагч хандлагаар авч үзэж буй функцийн xнэмэх хязгаар ба хасах хязгаар:

(1)

(2)

Ийм байдлаар олдсон тоонууд кТэгээд бба ташуу асимптот коэффициентууд.

Эхний тохиолдолд (х нь хязгааргүй нэмэх хандлагатай байдаг тул) баруун налуу асимптот, хоёр дахь тохиолдолд (х хасах хязгааргүй байх хандлагатай байдаг тул) зүүн ташуу асимптотыг олж авна. Баруун ташуу асимптотыг Зураг дээр үзүүлэв. доор.

Ташуу асимптотын тэгшитгэлийг олохдоо X-ийн нэмэх хязгааргүй ба хасах хязгааргүйд хандах хандлагыг харгалзан үзэх шаардлагатай. Зарим функцүүдийн хувьд, жишээлбэл, бутархай оновчтой функцүүдийн хувьд эдгээр хязгаарууд давхцдаг боловч олон функцүүдийн хувьд эдгээр хязгаарууд өөр бөгөөд тэдгээрийн зөвхөн нэг нь байж болно.

Хэрвээ хязгаарууд давхцаж, x нь хязгааргүй, хасах хязгааргүй байх хандлагатай байвал шулуун шугам y = kx + бнь муруйн хоёр талт асимптот юм.

Хэрэв асимптотыг тодорхойлох хязгаарын нэгээс доошгүй бол y = kx + б, байхгүй бол функцийн графикт ташуу асимптот байхгүй (гэхдээ босоо байрлалтай байж болно).

Хэвтээ асимптот байгааг харахад хялбар байдаг y = бташуу онцгой тохиолдол юм y = kx + бцагт к = 0 .

Тиймээс хэрэв аль нэг чиглэлд муруй нь хэвтээ асимптоттой бол энэ чиглэлд налуу байхгүй ба эсрэгээр.

Жишээ 6. Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Шийдэл. Функц нь бүхэл тоон мөрөнд тодорхойлогддог x= 0, өөрөөр хэлбэл.

Тиймээс, эвдрэх цэг дээр x= 0 муруй нь босоо асимптоттой байж болно. Үнэн хэрэгтээ, x нь зүүнээс тэг рүү чиглэж байгаа функцийн хязгаар нь нэмэх хязгаартай тэнцүү байна:

Тиймээс, x= 0 – энэ функцийн графикийн босоо асимптот.

Энэ функцийн график нь хэвтээ асимптотгүй, учир нь функцийн хязгаарыг нэмэх нь хязгааргүйд нэмэх хандлагатай байна:

Ташуу асимптот байгаа эсэхийг олж мэдье.

Хязгаарлагдмал хязгаартай к= 2 ба б= 0. Шулуун y = 2xнь энэ функцийн графикийн хоёр талын налуу асимптот юм (жишээний доторх зураг).

Жишээ 7. Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Шийдэл. Функц нь нэг таслах цэгтэй x= −1. Нэг талын хязгаарыг тооцоолж, тасалдалын төрлийг тодорхойлъё.

Дүгнэлт: x= −1 нь хоёр дахь төрлийн тасалдлын цэг тул шулуун шугам x= −1 нь энэ функцийн графикийн босоо асимптот юм.

Бид ташуу асимптотуудыг хайж байна. Учир нь энэ функц- бутархай-рациональ, хүссэн болон хүссэн хязгаар нь давхцдаг. Тиймээс бид тэгшитгэлд шулуун шугам - ташуу асимптотыг орлуулах коэффициентийг олно.

Олдсон коэффициентүүдийг шулуун шугамын тэгшитгэлд орлуулах налуу, бид ташуу асимптотын тэгшитгэлийг олж авна.

y = −3x + 5 .

Зураг дээр функцийн графикийг burgundy өнгөөр, асимптотуудыг хараар зааж өгсөн болно.

Жишээ 8. Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Шийдэл. Энэ функц тасралтгүй байдаг тул түүний график нь босоо асимптотгүй. Бид ташуу асимптотуудыг хайж байна:

.

Тиймээс энэ функцийн график нь асимптоттой байна y= 0 үед ба асиптот байхгүй байна.

Жишээ 9. Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Шийдэл. Эхлээд бид босоо асимптотуудыг хайдаг. Үүнийг хийхийн тулд функцийн тодорхойлолтын мужийг олно. Функц нь тэгш бус байх үед тодорхойлогдоно. Хувьсагчийн тэмдэг xтэмдэгтэй таарч байна. Тиймээс эквивалент тэгш бус байдлыг авч үзье. Үүнээс бид функцийн тодорхойлолтын мужийг олж авна. . Босоо асимптот нь зөвхөн функцийн тодорхойлолтын домэйны хил дээр байж болно. Гэхдээ x= 0 нь босоо асимптот байж болохгүй, учир нь функц нь дээр тодорхойлогддог x = 0 .

Баруун гар талын хязгаарыг (зүүн гар талын хязгаарлалт байхгүй) авч үзье.

.

Цэг x= 2 нь хоёр дахь төрлийн тасархай цэг тул шулуун шугам x= 2 - энэ функцийн графикийн босоо асимптот.

Бид ташуу асимптотуудыг хайж байна:

Тэгэхээр, y = x+ 1 - энэ функцийн графикийн ташуу асимптот. Бид ташуу асимптотыг хайж байна:

Тэгэхээр, y = −x− 1 - үед ташуу асимптот.

Жишээ 10. Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Шийдэл. Функц нь тодорхойлолтын мужтай байдаг . Энэ функцийн графикийн босоо асимптот нь зөвхөн тодорхойлолтын мужын хил дээр байж болох тул функцийн нэг талт хязгаарыг -ээс олно.