Товчхондоо: хэрэв дэд орон зайн нийлбэрийн аль нэг векторын задрал нь өвөрмөц байвал дэд орон зайн нийлбэрийг шууд нийлбэр гэж нэрлэдэг.

Дэд орон зайн шууд нийлбэр нь дэд орон зайн шинэ үйлдэл биш юм. Энэ бол өмнө нь оруулсан дэд орон зайн нийлбэрийн зарим шинж чанар юм.

Хэрэв дэд орон зайн нийлбэр шууд байвал эдгээр дэд орон зайн огтлолцол нь нэг - тэг вектороос бүрдэнэ.

Дэд орон зайн шууд нийлбэрийн шалгуур

Хязгаарлагдмал хэмжээст дэд орон зайн хувьд шугаман орон зай дараах мэдэгдлүүд тэнцүү байна:

1) Дэд орон зайн нийлбэр нь шууд байна

2) Дэд орон зайн суурийн багц нь шугаман бие даасан байна

3) Дэд орон зайн суурийн багц нь дэд орон зайн нийлбэрийн суурийг бүрдүүлдэг https://pandia.ru/text/78/133/images/image080_0.gif" width="140" height="46">

5) Дэд орон зай дахь тэлэлт нь өвөрмөц байх нийлбэрээс вектор байна.

6) Дурын системшугаман дэд орон зай бүрээс нэгийг авсан тэгээс өөр векторууд, шугаман хамааралгүй

7) Шугаман дэд орон зайн огтлолцол нь зөвхөн тэг вектор юм: https://pandia.ru/text/78/133/images/image085_0.gif" width="19" height="20 src="> нэмэлт гэж нэрлэдэг. дэд орон зайг L, хэрэв , L нь нэмэлт дэд орон зай юм.

Дүрсээр хэлбэл, нэмэлт дэд орон зай нь орон зайг бүрэн дүүргэхийн тулд дэд орон зайг "нөхөж" байдаг.

Нэмэлт дэд орон зай байгаа тухай теорем

Шугаман орон зайн аль нэг дэд орон зайн хувьд https://pandia.ru/text/78/133/images/image088_0.gif" width="18 height=24" height="24"> нь V-ийн зарим вектор юм. H олонлог , хэлбэрийн бүх векторуудаас бүрдэх , хаана https://pandia.ru/text/78/133/images/image088_0.gif" width="18" height="24 src=">).

Хөтөч дэд орон зай

Шугаман олонлогийн тодорхойлолт дахь L дэд орон зайг шугаман олон талт H-ийн чиглүүлэх дэд орон зай гэж нэрлэдэг.

Хүчин зүйлийн орон зай

V нь P талбар дээрх шугаман орон зай, L түүний дэд орон зай гэж үзье. Шугаман орон зай V-ийн L дэд орон зайн (V/L гэж тэмдэглэсэн) хуваах орон зай нь H эквивалент ангиас бүрдэх олонлог юм. Эдгээр ангиуд нь L дэд орон зайнаас олж авсан бүх шугаман олон талтуудтай тохирч байна: .

Дүрэм нь тодорхойлдог гадаад хууль V/L дээрх найрлага (V/L-ээс H элементийг тоогоор (эсвэл үндсэн P талбарын элемент) үржүүлэх α, дүрэм - дотоод хуульнайрлага (хоёр элементийн нэмэлт - H1 ба H2 - V / L-ээс).

2.4. Нэг төрлийн SLAE-ийн уусмалын дэд орон зай

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системээр тодорхойлогддог дэд орон зай

Энэ бол шийдвэрийн багц юм нэгэн төрлийн систем шугаман тэгшитгэл, энд А нь системийн шугаман тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн матриц юм.

Лекц No5. 3-р хэсэг. Евклидийн (нэгдмэл) шугаман орон зайн дэд орон зай

3.1. Дэд орон зайд ортогональ нэмэлт

Вектор дэд орон зайд ортогональ

L - гэж үзье шугаман дэд орон зайЕвклидийн (нэгдмэл) орон зай. Хэрэв энэ дэд орон зайн вектор бүрт ортогональ байвал х векторыг L дэд орон зайд ортогональ гэнэ. Тэмдэглэл: .

Дэд орон зайд ортогональ нэмэлт

L-ийг Евклидийн орон зайн шугаман дэд орон зай гэж үзье. Нийтлэг байдал хүн бүрвекторууд https://pandia.ru/text/78/133/images/image098_0.gif" өргөн "20" өндөр "20 src=">.

Дэд орон зай болох ортогональ нэмэлтийн тухай теорем

Дэд орон зайн ортогональ нэмэлт нь ижил орон зайн шугаман дэд орон зай юм.

3.2. Зөв бичгийн проекц, зөв ​​бичгийн бүрэлдэхүүн

Дэд орон зайд векторын ортогональ проекц

L-г евклидийн (нэгдмэл) орон зайн шугаман дэд орон зай https://pandia.ru/text/78/133/images/image099_0.gif" width="69" height="27 src="> хэлбэрээр бичье. нь нийлбэр: , хаана https://pandia.ru/text/78/133/images/image102_0.gif" width="41" height="19">. Вектор gвекторын ортогональ проекц гэж нэрлэдэг едэд орон зайд L, вектор hортогональ бүрэлдэхүүн хэсэг гэж нэрлэдэг.

Ортогональ вектор бүрэлдэхүүн хэсэг

Евклидийн (нэгдмэл) орон зайн L дэд орон зайтай харьцуулахад f векторын ортогональ бүрэлдэхүүн https://pandia.ru/text/78/133/images/image100_0.gif" width="65" height="21 src=" ">, энд .gif" width="43" height="27 src=">-г вектор гэнэ. hөргөтгөл, хаана https://pandia.ru/text/78/133/images/image102_0.gif" width="41" height="19">.

Дэд орон зайд ташуу

Вектор езадралд https://pandia.ru/text/78/133/images/image101_0.gif" width="40" height="21">.gif" width="43" height="27 src=">.

Дэд орон зай ба түүний ортогональ нөхөх нийлбэрийн тухай теорем

Хэрэв орон зайн шугаман дэд орон зай бол энэ шугаман дэд орон зай ба түүний ортогональ нэмэлтийн шууд нийлбэр нь бүхэл орон зайг бүрдүүлнэ: https://pandia.ru/text/78/133/images/image087_0.gif" width="15" өндөр = "18" > нь орон зайн шугаман дэд орон зай бөгөөд ямар ч векторын хувьд байдаг бөгөөд үүнээс гадна өвөрмөц дүрслэл байдаг. енийлбэрээр: https://pandia.ru/text/78/133/images/image105_0.gif" width="90" height="21">.

3.3. Вектороос дэд орон зай хүртэлх зай

Вектороос дэд орон зай хүртэлх зай

Вектороос дэд орон зай хүртэлх зай нь энэ вектороос дэд орон зайд унасан перпендикулярын урт (өөрөөр хэлбэл энэ дэд орон зайтай харьцуулахад векторын ортогональ бүрэлдэхүүн хэсгийн урт) юм.

Лекц No6. Бүлэг 4. Хоёр шугаман ба квадрат хэлбэр.

4.1. Шугаман хэлбэр

4.2. Хоёр шугаман хэлбэр

4.1. Шугаман хэлбэр

Шугаман функц (шугаман хэлбэр)

Талбай дээрх шугаман орон зай байг. Чиг үүрэг е, векторыг орон зайнаас тоо руу буулгах (талбайн элемент https://pandia.ru/text/78/133/images/image107_0.gif" width="36" height="21"> гэж нэрлэдэг. шугаман , Хэрэв:

1) бүх векторын хувьд https://pandia.ru/text/78/133/images/image110_0.gif" width="121 height=21" height="21"> дурын тооны хувьд а(талбайн элемент) болон дурын вектор

Дурын бичлэг хийх шугаман хэлбэрзарим (дурын) үндэслэлээр д иймэрхүү харагдаж байна:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image114_0.gif" width="111" height="20">.gif" width="74" height="24">, - тоо (элементүүд) талбарууд P) үндэслэлээс хамаарна д мөн мэдээж е хэлбэрээс.

Өөр суурийг сонгохдоо үүнийг анхаарна уу д а 1", а 2", …, а n".

Шугаман матриц

Шугаман хэлбэрийн матриц А еүндсэн дээр Энэ нь тоонуудаас бүрдэх эгнээний матриц юм - энэ суурийн векторууд дээр шугаман хэлбэрийн үйл ажиллагааны үр дүн:

A = ( а 1, а 2, …, а n) =.

Векторын координатыг X = гэж үзье xүндсэн дээр д, A – шугаман хэлбэрийн матриц еижил үндсэн дээр. Дараа нь үнэ цэнэ е(x) нь А матриц ба X баганын үржвэртэй тэнцүү байна:

е(x) = A·X.

Нэг баазаас нөгөөд шилжих үед шугаман хэлбэрийн матриц өөрчлөгдөх тухай теорем

Үндсэнээс суурь руу шилжих үед https://pandia.ru/text/78/133/images/image120_0.gif" width="36" height="27 src=">) шугаман хэлбэрийн матриц дараах байдлаар өөрчлөгдөнө.

https://pandia.ru/text/78/133/images/image087_0.gif" width="15" height="18"> - талбайн дээрх шугаман зай (тоон) Функц аХоёр вектор аргумент https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27 src=">аргумент бүрт шугаман байвал хоёр шугаман хэлбэр гэж нэрлэдэг:

2)

4)

- L огторгуйн дурын векторууд, - дурын тоо(талбайн элемент P).

Аливаа хоёр шугаман хэлбэрийг бүртгэх https://pandia.ru/text/78/133/images/image130_0.gif" width="514" height="27 src=">,

Хаана ( x 1, x 2, …, x n) ба ( y 1, y 2, …, y n) – суурь дахь координатууд д x ба y векторууд, а 11, а 12, …, а 1n, …, а nn – n2 тооны багц (P талбарын элементүүд).

Тоонууд гэдгийг анхаарна уу а 11, а 12, …, а 1n, …, а nn үндэслэлээс хамаарна д мөн мэдээжийн хэрэг, хэлбэрээс нь а. Өөр үндэслэлийг сонгохдоо д "Харгалзах тоонуудын багц нь ерөнхийдөө ялгаатай байх болно: а 11", а 12", …, а nn".

Хоёр шугаман матриц

Хоёр шугаман хэлбэр ба зарим (дурын) үндэслэлийг өгье д .

Энэ үндсэн дээр хоёр шугаман хэлбэрийн үйлдлийг бичье.

https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27 src=">үндсэнд д Дараахь матрицыг нэрлэнэ.

https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27">(захиалсан) хос суурь вектор руу ( д би, д j). Тиймээс:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image133_0.gif" width="100" height="29 src="> нь өгөгдсөн (тогтмол) орон зайн суурь дахь өвөрмөц хоёр шугаман хэлбэрийн матриц юм.

Нэг баазаас нөгөөд шилжих үед хоёр шугаман хэлбэрийн матриц өөрчлөгдөх тухай теорем

Суурь дээрээс шилжих үед суурь руу (шилжилтийн матриц https://pandia.ru/text/78/133/images/image134_0.gif" width="140" height="27 src=">

Хоёр шугаман хэлбэрийн зэрэглэл

Хоёр шугаман хэлбэрийн зэрэг нь түүний матрицын зэрэглэлийг дурын үндсэн дээр илэрхийлдэг.

(биш) Билинар хэлбэрийг доройтуулах

Хэрэв хоёр шугаман хэлбэрийг доройтсон гэж нэрлэдэг , мөн доройтдоггүй бол https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27">-г тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг . Хэрвээ https://pandia.ru/text/78/133/images/image140_0.gif" width="192" height="27 src=">"-ийн хувьд хоёр шугаман хэлбэрийг skew-symmetric (эсвэл skew-symmetric) гэж нэрлэдэг.

Сэтгэгдэл:

Халуу тэгш хэмтэй хоёр шугаман хэлбэрийн матриц (ямар ч үндэслэлээр) хазайлт тэгш хэмтэй байна: , бүгдэд нь би, j. Ялангуяа хүн бүрт битэгш байдал DIV_ADBLOCK81">

4.3. Квадрат хэлбэр

Дурын шугаман орон зайд хоёр шугаман ба квадрат хэлбэрүүд

4.3. Квадрат хэлбэр

Квадрат хэлбэр

Тэгш хэмтэй хоёр шугаман хэлбэрийг өгье https://pandia.ru/text/78/133/images/image138_0.gif" width="114" height="27">. Энэ хоёр шугаман хэлбэрийн үйлдлийг зөвхөн дээр авч үзье. хос давхцаж буй векторууд, өөрөөр хэлбэл e. а(x, x). Бид вектор бүрийг хуваарилах функцийг олж авдаг xшугаман орон зайн дугаар (үндсэн P талбарын элемент) е(x) = а(x, x). Чиг үүрэг е(x) = өгөгдсөн тэгш хэмд харгалзах квадрат хэлбэр гэнэ хоёр шугаман хэлбэр https://pandia.ru/text/78/133/images/image143_0.gif" width="49" height="27 src="> харгалзах тэгш хэмт хоёр шугаман хэлбэр гэж нэрлэгддэг.

Туйлт хоёр шугаман хэлбэрийн теорем

Аливаад зориулсан туйлын хоёр шугаман хэлбэр квадрат хэлбэрхоёрдмол утгагүй тодорхойлсон.

Квадрат матриц

Квадрат хэлбэрийн матриц нь түүний туйлын хоёр шугаман хэлбэрийн матриц юм.

Квадрат хэлбэрийн зэрэглэл

Квадрат хэлбэрийн зэрэглэл нь түүний матрицын дурын үндсэн дээр эрэмблэгдсэн зэрэг юм.

(биш) доройтсон квадрат хэлбэр

Хэрэв https://pandia.ru/text/78/133/images/image145_0.gif" width="120" height="27 src="> байвал квадрат хэлбэрийг доройтсон гэж нэрлэдэг.

Квадрат хэлбэрийн матрицын шинж чанарууд

1) Квадрат хэлбэрийн матриц нь тэгш хэмтэй байна

2) Аливаа квадрат тэгш хэмтэй матриц нь өгөгдсөн үндэслэл дэх цорын ганц квадрат хэлбэрийн матриц юм.

3) Суурь дээрээс шилжих үед суурь руу (шилжилтийн матриц https://pandia.ru/text/78/133/images/image134_0.gif" width="140 height=27" height="27">

4) Дурын тогтмол суурь байцгаая. Квадрат хэлбэрийг үзье е(x) = https://pandia.ru/text/78/133/images/image146_0.gif" width="64" height="29 src=">, мөн дурын вектор xижил суурьтай координаттай ( x 1, x 2, …, x n). Дараа нь вектор дээрх квадрат хэлбэрийн үйл ажиллагааны үр дүн xгэж бичиж болно

е(x) = ,

эсвэл илүү авсаархан хэлбэрээр:

е(x) =

хаана X = - вектор координатын багана xүндсэн дээр д

4.4. Квадрат хэлбэрийн каноник хэлбэр

Квадрат хэлбэрийн каноник хэлбэр

Квадрат хэлбэрийн каноник хэлбэр нь зөвхөн хувьсагчийн квадратуудыг агуулсан тэмдэглэгээ юм.

https://pandia.ru/text/78/133/images/image150_0.gif" width="43" height="24"> (зарим нь тэг байж болно) квадрат хэлбэрийн каноник коэффициент гэж нэрлэгддэг.

Мэдээжийн хэрэг, тэгээс бусад коэффициентүүдийн тоо каноник хэлбэрквадрат хэлбэр нь түүний зэрэгтэй давхцдаг.

Квадрат хэлбэрийн каноник үндэс

е(x) = а(x, x),

Хэрэв энэ маягтыг энэ үндэслэлээр бичих нь каноник, өөрөөр хэлбэл зөвхөн хувьсагчийн квадратуудыг агуулсан байвал:

матриц хэл" иймэрхүү сонсогдож байна:

Суурь нь квадрат хэлбэрийн каноник суурь гэж нэрлэгддэг е(x) = а(x, x),

Хэрэв энэ суурь дахь энэ хэлбэрийн Ae матриц диагональ хэлбэртэй байвал:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image153_0.gif" өргөн "589" өндөр "25 src=">

2. Энэ хувьсагчийг квадрат болгох үед коэффициентийг (≠ 0) гарга.

DIV_ADBLOCK83">

Сэтгэгдэл.

Хэрэв та бичсэн нийлбэрийг квадрат болгож, хаалтны гаднах коэффициентээр үржүүлбэл үр дүн нь хувьсагчийг агуулсан бүх гишүүн байх болно. x 1, квадрат хэлбэрийн тэмдэглэгээнд орсон. Үүний зэрэгцээ квадрат хэлбэрийн анхны бичлэгт ороогүй нэр томьёо (мөн нэлээд олон) гарч ирнэ. Гэхдээ бүх "шинэ" нэр томъёонд хувьсагч байдаггүй x 1.

Тиймээс квадрат хэлбэрийг бичих нь дараах хэлбэртэй байна.

хаалт". Хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийсний дараа бид "эхний хаалт"-ыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ. x 1", хоёр дахь нь - дамжуулан x 2" гэх мэт нэр томьёо нь зөвхөн хувьсагчийн квадратуудыг агуулсан квадрат хэлбэрийн дараах тэмдэглэгээг авна.

https://pandia.ru/text/78/133/images/image158_0.gif" өргөн "84" өндөр "51 src=">

Энэхүү орлуулалтын үр дүнд нэр томъёо aijxixj, хувьсагчийн бүтээгдэхүүнийг агуулсан xiТэгээд xj, хувьсагчийн квадратуудыг агуулсан хоёр гишүүнчлэл болгон хувиргасан xi"Бас xj":

DIV_ADBLOCK84">

Ортонормаль каноник суурь оршин тогтнох тухай теорем (үндсэн тэнхлэгүүдийг багасгах).

Евклидийн орон зайд ямар ч квадрат хэлбэрийн хувьд энэ нь каноник хэлбэртэй байдаг ортонормаль суурьтай байдаг.

Якоби томъёо

Хэрэв квадрат хэлбэрийн матрицад байвал е(x) эхний зэрэглэл https://pandia.ru/text/78/133/images/image161_0.gif" width="88" height="27 src=">, дараа нь суурь бий. д, үүнд квадрат хэлбэрийн матриц нь диагональ хэлбэртэй байна

Үүнээс гадна каноник коэффициентууд λ биквадрат хэлбэр нь өнцгийн насанд хүрээгүй Δ-тай холбоотой байдаг бидараах харилцаа: ,

гэж нэрлэдэг Якоби томъёо.

Хоёр шугаман ба квадрат хэлбэрүүд

бодит (бодит) шугаман орон зайд.

4.5. Квадрат инерцийн индексүүд

Квадрат инерцийн индексүүд

Квадрат хэлбэрийг үзье е(x) = https://pandia.ru/text/78/133/images/image164_0.gif" width="50" height="46 src=">. Эерэг коэффициентийн тоо тоотой тэнцүү байнаЭнэ дарааллын тэмдгийн өөрчлөлт.

4.6. Тэмдгийн тодорхой ба ээлжлэн квадрат хэлбэрүүд

Тодорхой квадрат хэлбэр

Квадрат хэлбэр нь тэгээс бусад бүх векторууд дээр зөвхөн эерэг (сөрөг) утгуудыг авдаг бол эерэг (сөрөг) тодорхой гэж нэрлэдэг: ( е(x) = https://pandia.ru/text/78/133/images/image170.gif" width="48" height="19 src=">. Ийм хэлбэрийг тэмдэг-тодорхой гэж нэрлэдэг.

Квадрат хэлбэр

https://pandia.ru/text/78/133/images/image172.gif" width="15" height="18"> векторууд байгаа квадрат хэлбэр. е(x) = > 0 ба е(y) = < 0 называется знакопеременной.

Квадрат хэлбэрийн тэмдгийн шалгуур

Квадрат хэлбэр нь эерэг (сөрөг) инерцийн индекс нь орон зайн хэмжээстэй давхцаж байвал эерэг (сөрөг) тодорхой байна.

Өөрөөр хэлбэл, n хэмжээст орон зайд эерэг (сөрөг) тодорхой квадрат хэлбэрийн аль ч каноник хэлбэрээр.

https://pandia.ru/text/78/133/images/image143_0.gif" width="49" height="27">.gif" width="151 height=99" height="99">

Квадрат хэлбэр нь бүх өнцгийн жижиг хэсгүүд эерэг байвал эерэг тодорхой байна.

Квадрат хэлбэр нь зөвхөн шинж тэмдэгтэй тохиолдолд сөрөг тодорхойлогддог булангийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдөөр, богино кодууд">

Pr a b = |b|cos(a,b) эсвэл

Энд a b нь векторуудын скаляр үржвэр, |a| - векторын модуль a.

Заавар. Пp a b векторын проекцийг олох онлайн горим a ба b векторуудын координатыг зааж өгөх шаардлагатай. Энэ тохиолдолд векторыг хавтгайд (хоёр координат) болон орон зайд (гурван координат) зааж өгч болно. Үүссэн шийдлийг Word файлд хадгална. Хэрэв векторуудыг цэгүүдийн координатаар зааж өгсөн бол та энэ тооцоолуурыг ашиглах хэрэгтэй.

Вектор проекцын ангилал

Тодорхойлолтоор проекцын төрлүүд вектор проекц

Координатын системийн дагуу проекцын төрлүүд

Вектор проекцын шинж чанарууд

1. Векторын геометрийн проекц нь вектор (чиглэлтэй) юм.
2. Векторын алгебрийн проекц нь тоо юм.

Вектор проекцын теоремууд

Pr a b = |b|cos(a,b)

Вектор проекцын төрлүүд

1. OX тэнхлэг дээрх проекц.
2. OY тэнхлэг дээрх проекц.
3. вектор дээрх проекц.

OX тэнхлэг дээрх проекц	OY тэнхлэг дээрх төсөөлөл	Вектор руу проекц
Хэрэв A'B' векторын чиглэл нь OX тэнхлэгийн чиглэлтэй давхцаж байвал A'B' векторын проекц эерэг тэмдэгтэй байна.	Хэрэв A'B' векторын чиглэл нь OY тэнхлэгийн чиглэлтэй давхцаж байвал A'B' векторын проекц эерэг тэмдэгтэй байна.	Хэрэв A'B' векторын чиглэл нь NM векторын чиглэлтэй давхцаж байвал A'B' векторын проекц эерэг тэмдэгтэй байна.
Хэрэв векторын чиглэл нь OX тэнхлэгийн чиглэлийн эсрэг байвал A’B’ векторын проекц нь дараах байдалтай байна. сөрөг тэмдэг.	Хэрэв A'B' векторын чиглэл нь OY тэнхлэгийн чиглэлийн эсрэг байвал A'B' векторын проекц сөрөг тэмдэгтэй байна.	Хэрэв A'B' векторын чиглэл нь NM векторын чиглэлийн эсрэг байвал A'B' векторын проекц сөрөг тэмдэгтэй байна.
Хэрэв AB вектор OX тэнхлэгтэй параллель байвал A’B’ векторын проекц нь AB векторын абсолют утгатай тэнцүү байна.	Хэрэв AB вектор OY тэнхлэгтэй параллель байвал A’B’ векторын проекц нь AB векторын абсолют утгатай тэнцүү байна.	Хэрэв AB вектор нь NM вектортой параллель байвал A’B’ векторын проекц нь AB векторын абсолют утгатай тэнцүү байна.
Хэрэв AB вектор OX тэнхлэгт перпендикуляр байвал A’B’ проекц тэгтэй тэнцүү (цэг вектор).	Хэрэв AB вектор нь OY тэнхлэгт перпендикуляр байвал A’B’ проекц тэгтэй тэнцүү байна (цэг вектор).	Хэрэв AB вектор нь NM векторт перпендикуляр байвал A’B’ проекц тэгтэй тэнцүү байна (цэг вектор).

1. Асуулт: Векторын проекц сөрөг тэмдэгтэй байж болох уу? Хариулт: Тийм ээ, вектор проекц байж болно сөрөг утга. Энэ тохиолдолд вектор нь байна эсрэг чиглэл(OX тэнхлэг ба AB вектор хэрхэн чиглэгдсэнийг харна уу)
2. Асуулт: Векторын проекц нь векторын абсолют утгатай давхцаж чадах уу? Хариулт: Тиймээ, чадна. Энэ тохиолдолд векторууд параллель (эсвэл нэг шулуун дээр байрладаг).
3. Асуулт: Векторын проекц нь тэгтэй тэнцүү байж чадах уу (цэг вектор). Хариулт: Тиймээ, чадна. Энэ тохиолдолд вектор нь харгалзах тэнхлэгт (вектор) перпендикуляр байна.

Жишээ 1. Вектор (Зураг 1) нь OX тэнхлэгтэй 60 ° өнцгийг үүсгэдэг (үүнийг вектор а-аар тодорхойлно). Хэрэв OE нь масштабын нэгж бол |b|=4 гэсэн үг .

Үнэн хэрэгтээ, векторын урт ( геометрийн проекц b) 2-той тэнцүү бөгөөд чиглэл нь OX тэнхлэгийн чиглэлтэй давхцдаг.

Жишээ 2. Вектор (Зураг 2) нь OX тэнхлэгтэй (а вектортой) (a,b) = 120 o өнцөг үүсгэдэг. Урт |b| b вектор 4-тэй тэнцүү тул pr a b=4·cos120 o = -2.

Үнэн хэрэгтээ векторын урт нь 2, чиглэл нь тэнхлэгийн чиглэлийн эсрэг байна.