Вектор орон зай нь вектор орон зайн жишээ юм. Вектор шугаман орон зай

1) X+цагт=цагт+X(нэмэлтийн солигдох чадвар);

2)(X+цагт) +z=x+ (y+z) (нэмэлтийн холбоо);

3) тэг вектор байна 0 (эсвэл тэг вектор) нөхцөлийг хангаж байна x+ 0 =х:дурын векторын хувьд x;

4) дурын векторын хувьд Xэсрэг вектор байна цагттиймэрхүү X+цагт = 0 ,

5) 1 x=X,

6) а(bx) = (ab)X(үржүүлэхийн холбоо);

7) (а+б)X=аа+bx (хуваарилах өмчтоон хүчин зүйлтэй харьцуулахад);

8) а(X+цагт) =аа+ай(вектор үржүүлэгчтэй харьцуулахад хуваарилах шинж чанар).

Вектор (эсвэл шугаман) орон зай нь олонлог юм R,Аливаа шинж чанартай элементүүдээс бүрдэх (вектор гэж нэрлэдэг) бөгөөд үүнд элемент нэмэх, элементүүдийг нөхцөлийг хангасан бодит тоогоор үржүүлэх үйлдлүүд тодорхойлогддог. А(нөхцөл 1-3-д нэмэлт үйлдлийг тодорхойлсон болно Вектор орон зай, үүнийг шилжих бүлэг болгон хувиргадаг). Илэрхийлэл

a 1 e 1+a 2 e 2+ … +a n e n (1)

Векторуудын шугаман хослол гэж нэрлэдэг e 1 , e 2 ,..., e nмагадлал бүхий a 1, a 2,..., a n .Шугаман хослолыг (1) коэффициентүүдийн дор хаяж нэгийг нь утгагүй гэж нэрлэдэг a 1 , a 2 ,..., a nтэгээс ялгаатай. Векторууд e 1 , e 2 ,..., e nХэрэв тэг вектор болох жижиг бус хослол (1) байвал шугаман хамааралтай гэж нэрлэдэг. Үгүй бол (энэ нь зөвхөн векторуудын өчүүхэн хослол юм e 1 , e 2 ,..., e nтэг вектортой тэнцүү) векторууд e 1, e 2 ,..., e nшугаман бие даасан гэж нэрлэдэг.

Гурван хэмжээст орон зайн векторууд (чөлөөт) дараах нөхцөлийг хангана (Б нөхцөл): гурван шугаман байна. бие даасан вектор; дурын дөрвөн вектор шугаман хамааралтай (нэг хавтгайд оршдоггүй гурван тэгээс бусад векторууд шугаман хамааралгүй).

Вектор орон зай n-хэмжээт гэж нэрлэдэг (эсвэл "хэмжээтэй n"), хэрэв байгаа бол nшугаман бие даасан элементүүд e 1 , e 2 ,..., e n ,болон аливаа n+ 1 элементүүд нь шугаман хамааралтай (ерөнхий нөхцөл B). Вектор орон зайямар ч байгалийн хувьд хязгааргүй хэмжээст гэж нэрлэдэг nбайдаг nшугаман бие даасан векторууд. Ямар ч nшугаман бие даасан n хэмжээст векторууд Вектор орон зайэнэ орон зайн үндэс суурийг бүрдүүлнэ. Хэрэв e 1 , e 2 ,..., e n- суурь Вектор орон зай, дараа нь дурын вектор XЭнэ орон зайг үндсэн векторуудын шугаман хослол хэлбэрээр өвөрмөц байдлаар илэрхийлж болно:

x=a 1 e 1+a 2 e 2+... +a n e n.

Үүний зэрэгцээ тоонууд a 1 , a 2, ..., a nвектор координат гэж нэрлэдэг Xэнэ үндсэн дээр.

Жишээ Вектор орон зай Гурван хэмжээст орон зайн бүх векторуудын багц нь тодорхой үүсдэг Вектор орон зайИлүү нарийн төвөгтэй жишээ n-хэмжээт гэж нэрлэгддэг байж болно арифметик орон зай. Энэ орон зайн векторууд нь дараалсан системүүд юм n бодит тоо: l 1, l 2,..., l n.Хоёр векторын нийлбэр ба тооны үржвэрийг дараахь харьцаагаар тодорхойлно.

(l 1 , l 2 , …, l n) + (м 1, м 2, …, м n) = (л 1+м 1, л 2+м 2 , …, l n+м н);

а(l 1 , l 2 , …, l n) = (al 1, al 2, …, al n).

Энэ орон зайн суурь нь жишээлбэл, дараагийн систем-аас nвекторууд e 1 = (1, 0,..., 0), д 2 = (0, 1,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 1).

Олон Рбүх олон гишүүнт a 0+a 1 u+ … +а н у н(ямар ч градус n) бодит коэффициент бүхий нэг хувьсагчаас a 0 , a 1 ,..., a nэнгийн хамт алгебрийн дүрэмолон гишүүнт нэмэх, олон гишүүнтийг бодит тоогоор үржүүлэх хэлбэр Вектор орон зайОлон гишүүнт 1, у, у 2 ,..., у н(ямар ч хувьд n) шугаман бие даасан байна R,Тийм ч учраас R-хязгааргүй хэмжээст Вектор орон зай

-аас ихгүй зэрэгтэй олон гишүүнт nхэлбэр Вектор орон зайхэмжээсүүд n+ 1 ; түүний үндэс нь олон гишүүнт байж болно 1, у, у 2 ,..., у н .

Дэд орон зай Вектор орон зай IN . х. R"дэд орон зай гэж нэрлэдэг R,Хэрэв R" Í R(өөрөөр хэлбэл орон зайн вектор бүр R"бас сансрын вектор байдаг Р) ба вектор тус бүрийн хувьд v О r"ба хоёр вектор бүрийн хувьд v 1Тэгээд v 2(v 1 , v 2 О R") вектор lv(ямар ч хувьд л) ба вектор v 1+v 2векторуудыг авч үзсэн эсэхээс үл хамааран ижил байна v, v 1, v 2орон зайн элемент болгон R"эсвэл Р.Шугаман бүрхүүлийн векторууд x 1 , x 2 ,... x pЭдгээр векторуудын бүх боломжит шугаман хослолуудын багц, өөрөөр хэлбэл хэлбэрийн векторууд гэж нэрлэдэг a 1 x 1+2 x 2+ … +a p x p. Гурван хэмжээст орон зайд нэг шугаман бүрхүүл нь тийм биш юм тэг вектор x 1нь вектороор тодорхойлогдсон шулуун дээр байрлах бүх векторуудын олонлог байх нь ойлгомжтой x 1.Нэг шулуун дээр ороогүй хоёр векторын шугаман зай x 1Тэгээд x 2векторуудаар тодорхойлогдсон хавтгайд байрлах бүх векторуудын цуглуулга байх болно x 1Тэгээд x 2. IN ерөнхий тохиолдолдур зоргоороо Вектор орон зай Р шугаман бүрхүүлвекторууд x 1 , x 2 ,..., x pэнэ орон зай нь орон зайн дэд орон зай юм Рхэмжээсүүд r. n-хэмжээст Вектор орон зайбүх хэмжээст жижиг орон зайнууд байдаг r.Аливаа хязгаарлагдмал хэмжээст (өгөгдсөн хэмжээст к) дэд орон зай R" Вектор орон зай Рямар ч шугаман зай байдаг корших шугаман бие даасан векторууд R".Бүх зэрэглэлийн олон гишүүнтүүдээс бүрдэх орон зай £ n(олон гишүүнтийн шугаман хүрээ 1, у, у 2 ,..., у н), байдаг ( n+ 1 )- орон зайн хэмжээст дэд орон зай Рбүх олон гишүүнт.

Евклидийн орон зай.Хөгжлийн төлөө геометрийн аргуудонолын хувьд Вектор орон зайвекторын урт, вектор хоорондын өнцөг гэх мэт ойлголтуудыг нэгтгэх арга замыг зааж өгөх хэрэгтэй. Нэг боломжит арга замуудЭнэ нь дурын хоёр векторын хувьд юм XТэгээд цагт-аас Ртэмдэглэгдсэн тоо ( x, y) ба векторуудын скаляр үржвэр гэж нэрлэдэг XТэгээд у.Энэ тохиолдолд дараах аксиомуудыг хангасан байх шаардлагатай цэгийн бүтээгдэхүүн:

1) (x, y) = (у, х) (шилж авах чадвар);

2) (x 1+x2,y) = (x 1 , y) + (x2,y) (хуваарилах өмч);

3) (сүх, у) =а(x, y),

4) (x, x) ³ 0 хэний ч төлөө X, ба ( x, x) = 0 зөвхөн X= 0 .

Гурван хэмжээст орон зай дахь ердийн скаляр үржвэр нь эдгээр аксиомыг хангадаг. Вектор орон зай, жагсаасан аксиомуудыг хангасан скаляр үржвэрийг тодорхойлсон бол Евклидийн орон зай гэж нэрлэдэг; Энэ нь хязгаарлагдмал хэмжээст (n хэмжээст) эсвэл хязгааргүй хэмжээст байж болно. Хязгааргүй хэмжээст Евклидийн орон зайг ихэвчлэн нэрлэдэг Хилбертийн орон зай. Урт | x| вектор xба векторуудын хоорондох өнцөг XТэгээд цагтЕвклидийн орон зайг скаляр үржвэрээр томъёогоор тодорхойлно

Евклидийн орон зайн жишээ бол вектор тооцоонд тодорхойлогдсон скаляр үржвэртэй энгийн гурван хэмжээст орон зай юм. Евклидийн n хэмжээст (арифметик) орон зай Э н-д тодорхойлох замаар бид олж авдаг n- хэмжээст арифметик Вектор орон зайвекторуудын цэгэн үржвэр x = (l 1 , …, l n)болон y= (м 1 , …, м n) харьцаа

(x, y) =л 1 м 1+л 2 м 2+… +л н м н. (2)

Энэ тохиолдолд 1)-4) шаардлагыг хангасан нь ойлгомжтой.

Евклидийн орон зайд ортогональ (перпендикуляр) векторын тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн. Энэ нь векторууд юм XТэгээд цагтХэрэв тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү бол тэдгээрийг ортогональ гэж нэрлэдэг: ( x, y) = 0. Төлөвлөсөн орон зайд Э нвекторын ортогональ байдлын нөхцөл x= (l 1 , …, l n) Мөн y= (м 1 , …, м n), (2) хамаарлаас дараах хэлбэртэй байна.

л 1 м 1+л 2 м 2+… +л н м н= 0. (3)

V. p-ийн хэрэглээ. Үзэл баримтлал Вектор орон зай(мөн янз бүрийн ерөнхий ойлголтууд) нь математик болон байгалийн шинжлэх ухаанд өргөн хэрэглэгддэг. Жишээлбэл, R-шугаман нэгэн төрлийн бүх шийдлийн багц дифференциал тэгшитгэл у н+a 1(x)y (n+ 1 ) + … +a n(x)y= 0 . Хоёр шийдийн нийлбэр ба уусмалын үржвэрийн үржвэр нь энэ тэгшитгэлийн шийдэл болох нь ойлгомжтой. Тиймээс, Рнөхцөлийг хангасан A. Энэ нь батлагдсан байна Рерөнхий В нөхцөл хангагдсан. Рбайна Вектор орон зайАливаа үндэслэлийг авч үзсэн Вектор орон зайдуудсан үндсэн системшийдлүүд, тэдгээрийн мэдлэг нь авч үзэж буй тэгшитгэлийн бүх шийдлийг олох боломжийг олгодог. Евклидийн орон зайн тухай ойлголт нь нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн системийн онолыг бүрэн геометржүүлэх боломжийг бидэнд олгодог.

Евклидийн орон зайд авч үзье Э нвекторууд a i = (a i1 , a i2 , …, a in), би=1, 2,..., nба вектор шийдэл у= (u 1 , u 2 ,..., u n). Векторуудын скаляр үржвэрт (2) томъёог ашиглана Эн,(4) системд дараах хэлбэрийг өгье.

(а би, у) =0, би=1, 2, …, м. (5)

(5) болон томьёо (3)-аас вектор шийдэл гарч ирнэ убүх векторуудад ортогональ a i.Өөрөөр хэлбэл, энэ вектор нь векторуудын шугаман их биетэй ортогональ байна би,Энэ бол шийдэл юм унь векторуудын шугаман их биений ортогональ нөхөөсийн дурын вектор юм a i. Чухал үүрэгхязгааргүй хэмжээст мөн математик, физикт тоглодог шугаман орон зай. Ийм орон зайн жишээ бол орон зай юм ХАМТ тасралтгүй функцуудбодит тоогоор нэмэх, үржүүлэх ердийн үйлдэл бүхий сегмент дээр. Дээр дурдсан бүх олон гишүүнтүүдийн орон зай нь орон зайн дэд орон зай юм ХАМТ.

Лит.:Александров П.С., лекцүүд аналитик геометр, М., 1968; Гельфанд I, M., Шугаман алгебрийн лекцүүд, M. - L., 1948.

Э.Г. Позняк.

" гэдэг үгийн талаархи нийтлэл Вектор орон зай"Большой руу Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг 20505 удаа уншсан

Лекц 6. Вектор орон зай.

Үндсэн асуултууд.

1. Вектор шугаман орон зай.

2. Орон зайн суурь ба хэмжээ.

3. Орон зайн чиг баримжаа.

4. Векторыг баазаар задлах.

5. Вектор координат.

1. Вектор шугаман орон зай.

Тэдгээрийг тодорхойлсон аливаа шинж чанартай элементүүдээс бүрдсэн олонлог шугаман үйлдлүүд: Хоёр элемент нэмэх, нэг элементийг тоогоор үржүүлэх үйлдлийг гэнэ зай, тэдгээрийн элементүүд нь векторуудэнэ орон зай ба ижил аргаар томилогдсон вектор хэмжигдэхүүнүүдгеометрийн хувьд: . ВекторуудИйм хийсвэр орон зай нь дүрмээр бол энгийн геометрийн векторуудтай ямар ч нийтлэг зүйлгүй байдаг. Хийсвэр орон зайн элементүүд нь функцууд, тоонуудын систем, матрицууд гэх мэт, тодорхой тохиолдолд энгийн векторууд байж болно. Тиймээс ийм орон зайг ихэвчлэн дууддаг вектор орон зай .

Вектор орон зай нь, Жишээ нь, коллинеар векторуудын багцыг тэмдэглэв В1 , тогтоосон компланар векторууд В2 , энгийн (бодит орон зай) векторуудын багц В3 .

Энэ онцгой тохиолдолд бид өгч болно дараах тодорхойлолтвектор орон зай.

Тодорхойлолт 1.Векторуудын олонлогийг нэрлэдэг вектор орон зай, хэрэв олонлогийн дурын векторуудын шугаман хослол нь мөн энэ олонлогийн вектор бол. Векторуудыг өөрсдөө гэж нэрлэдэг элементүүдвектор орон зай.

Онолын хувьд ч, хэрэглээний хувьд ч илүү чухал нь вектор орон зайн ерөнхий (хийсвэр) ойлголт юм.

Тодорхойлолт 2.Олон Раль ч хоёр элемент болон аль ч элементийн нийлбэр нь тодорхойлогддог элементүүдийг https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> гэж нэрлэдэг. вектор(эсвэл шугаман) орон зайвектор нэмэх, векторыг тоогоор үржүүлэх үйлдлүүд дараах нөхцлүүдийг хангаж байвал түүний элементүүд нь векторууд болно. аксиомууд) :

1) нэмэх нь солигддог, өөрөөр хэлбэл.gif" width="184" height="25">;

3) ямар ч https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= гэсэн ийм элемент (тэг вектор) байдаг. " 99" өндөр "27">;

5) дурын вектор ба дурын λ тооны хувьд тэгш байдал биелнэ;

6) дурын вектор болон дурын тооны хувьд λ Тэгээд µ тэгш байдал үнэн: https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> болон дурын тоо λ Тэгээд µ шударга ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.

Вектор орон зайг тодорхойлох хамгийн энгийн аксиомууд дараах байдалтай байна. үр дагавар :

1. Вектор орон зайд зөвхөн нэг тэг байдаг - элемент - тэг вектор.

2. Вектор орон зайд вектор бүр нэг эсрэг вектортой байна.

3. Элемент бүрийн хувьд тэгш байдал хангагдана.

4. Аливаа бодит тооны хувьд λ болон тэг вектор https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" өргөн "145" өндөр "28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> нь тэгш байдлыг хангасан вектор юм https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" өргөн "73" өндөр "24">.

Тиймээс, үнэхээр, бүгдээрээ олон геометрийн векторууднь шугаман (вектор) орон зай, учир нь энэ олонлогийн элементүүдийн хувьд томъёолсон аксиомуудыг хангасан тоогоор нэмэх, үржүүлэх үйлдлүүд тодорхойлогддог.

2. Орон зайн суурь ба хэмжээ.

Вектор орон зайн үндсэн ойлголтууд нь суурь ба хэмжээсийн тухай ойлголтууд юм.

Тодорхойлолт.Шугаман бие даасан векторуудын багц тодорхой дарааллаар, түүгээр дамжуулан огторгуйн дурын векторыг шугаман байдлаар илэрхийлж болно гэж нэрлэдэг суурьэнэ орон зай. Векторууд. Орон зайн суурийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг нэрлэдэг үндсэн .

Дурын шугам дээр байрлах векторуудын багцын үндэс нь энэ шугамын нэг коллинеар вектор гэж үзэж болно.

Онгоцонд үндэслэсэнтодорхой дарааллаар авсан энэ хавтгай дээрх хоёр конлинеар бус векторыг нэрлэе https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">.

Хэрэв суурь векторууд хос перпендикуляр (ортогональ) байвал суурь гэж нэрлэнэ ортогональ, хэрэв эдгээр векторууд урттай бол, нэгтэй тэнцүү, дараа нь суурь гэж нэрлэдэг ортонормаль .

Хамгийн том тооорон зайн шугаман бие даасан векторууд гэж нэрлэдэг хэмжээсэнэ орон зай, өөрөөр хэлбэл орон зайн хэмжээс нь энэ орон зайн суурь векторуудын тоотой давхцаж байна.

Тиймээс эдгээр тодорхойлолтуудын дагуу:

1. Нэг хэмжээст орон зай В1 шулуун шугам бөгөөд суурь нь -аас бүрдэнэ нэг шугаманвектор https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" өргөн "39" өндөр "23 src=">.

3. Ердийн орон зай нь гурван хэмжээст орон зай В3 , түүний суурь нь бүрддэг гурван хосгүйвекторууд

Эндээс бид бодит орон зай дахь шулуун, хавтгай дээрх суурь векторуудын тоо нь геометрт шулуун шугам, хавтгай, орон зайн хэмжээсүүдийн тоо (хэмжээ) гэж нэрлэгддэг зүйлтэй давхцаж байгааг харж байна. Тиймээс илүү ерөнхий тодорхойлолтыг оруулах нь зүйн хэрэг.

Тодорхойлолт.Вектор орон зай Рдуудсан n– хэмжээст хэмжээнээс илүүгүй бол nшугаман бие даасан векторууд ба тэмдэглэнэ Р n. Тоо nдуудсан хэмжээсзай.

Хэмжээний дагуу орон зайг хуваана хязгаарлагдмал хэмжээстТэгээд хязгааргүй хэмжээст. Тодорхойлолтоор тэг орон зайн хэмжээсийг тэгтэй тэнцүү гэж үзнэ.

Тайлбар 1.Орон зай бүрт та хүссэнээрээ олон суурийг зааж өгч болно, гэхдээ бүх суурь зай өгсөнижил тооны векторуудаас бүрдэнэ.

Тайлбар 2. IN n– Хэмжээст вектор орон зайд суурь нь ямар ч эрэмбэлэгдсэн цуглуулга юм nшугаман бие даасан векторууд.

3. Орон зайн чиг баримжаа.

Үүний төлөө орон зайг чиглүүлэхийн тулд ямар нэгэн үндэслэл тогтоож, эерэгээр зарлах шаардлагатай .

Орон зайн бүх суурийн олонлог нь хоёр ангилалд, өөрөөр хэлбэл хоёр салангид дэд бүлэгт хуваагддаг болохыг харуулж болно.

a) нэг дэд бүлэгт (ангид) хамаарах бүх суурь нь байна адилханчиг баримжаа (ижил нэртэй суурь);

б) хамаарах дурын хоёр суурь янз бүрийндэд олонлогууд (ангиуд), байна эсрэгээрээчиг баримжаа, ( өөр өөр нэрссуурь).

Орон зайн суурийн хоёр ангиллын аль нэгийг нь эерэг, нөгөөг нь сөрөг гэж зарлавал энэ орон зай гэж хэлнэ. чиглэсэн .

Ихэнхдээ орон зайг чиглүүлэхдээ зарим суурийг дууддаг зөв, болон бусад - зүүн .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> гэж нэрлэдэг. зөв, хэрэв гурав дахь векторын төгсгөлөөс ажиглавал эхний векторын хамгийн богино эргэлт https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > хийж байна цагийн зүүний эсрэг(Зураг 1.8, а).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" өргөн "15" өндөр "23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Цагаан будаа. 1.8. Баруун суурь (a) ба зүүн суурь (б)

Ихэвчлэн орон зайн зөв суурь нь эерэг суурь гэж тунхаглагдсан байдаг

Орон зайн баруун (зүүн) суурийг мөн "баруун" ("зүүн") шураг эсвэл гимлетийн дүрмийг ашиглан тодорхойлж болно.

Үүнтэй ижил төстэй байдлаар баруун, зүүн гэсэн ойлголтыг нэвтрүүлсэн гуравЗахиалга өгөх ёстой хосгүй векторууд (Зураг 1.8).

Тиймээс, ерөнхий тохиолдолд, ижил биш векторуудын хоёр дараалсан гурвалсан орон зайд ижил чиглэлтэй (ижил нэртэй) байна. В3 хэрэв тэдгээр нь хоёулаа баруун эсвэл хоёулаа зүүн, мөн - эсрэг чиглэл (эсрэгээр) хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь баруун, нөгөө нь зүүн байвал.

Орон зайн хувьд ч мөн адил хийгддэг В2 (онгоц).

4. Векторыг баазаар задлах.

Үндэслэлийг хялбар болгох үүднээс гурван хэмжээст вектор орон зайн жишээн дээр энэ асуултыг авч үзье Р3 .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> энэ зайны дурын вектор байг.

ВЕКТОР ЗАЙ (шугаман орон зай), нэг үндсэн ойлголтуудалгебр, (чөлөөт) векторуудын цуглуулгын тухай ойлголтыг нэгтгэн дүгнэх. Вектор орон зайд векторын оронд тоогоор нэмж, үржүүлж болох аливаа объектыг авч үзнэ; энэ нь гол зүйлийг шаарддаг алгебрийн шинж чанаруудЭдгээр үйлдлүүд нь анхан шатны геометрийн векторуудтай адил байсан. IN нарийн тодорхойлолттоонууд нь дурын K талбарын элементүүдээр солигддог. K талбар дээрх вектор орон зай нь V-ийн элементүүдийг нэмэх, V-ийн элементүүдийг K талбарын элементүүдээр үржүүлэх үйлдэл бүхий V олонлог бөгөөд дараах шинж чанартай байдаг.

x + y = y + x нь V-ээс ямар ч x, y, өөрөөр хэлбэл нэмэхийн хувьд V нь Абелийн бүлэг;

λ(x + y) = λ χ + λу аль ч λ нь K ба x, y нь V;

(λ + μ)x = λx + μx аль ч λ, μ-ээс K, x-ээс V;

(λ μ)х = λ(μх) дурын λ-ийн хувьд K-ээс μ, V-ээс x;

V-ээс ямар ч х-ийн хувьд 1x = x, энд 1 нь К талбайн нэгжийг хэлнэ.

Вектор орон зайн жишээнд: вектор нэмэх, тоогоор үржүүлэх ердийн үйлдлүүдтэй шулуун, хавтгай, огторгуйн энгийн геометрийн бүх векторуудын L 1, L 2 ба L 3 олонлогууд; K n вектор орон зайтай координат, тэдгээрийн элементүүд нь K талбарын элементүүдтэй n урттай бүх боломжит мөрүүд (векторууд) бөгөөд үйлдлүүд нь томъёогоор өгөгдсөн.

Тогтмол M олонлог дээр тодорхойлогдсон бүх функцүүдийн F(M, K) олонлог, функц дээрх ердийн үйлдлүүдтэй K талбарт утгыг авна:

Хэрэв λ 1 e 1 + ... +λ n e n = 0 Є V тэгшитгэлээс бүх λ 1, λ 2,..., λ байвал e 1 ..., e n векторын орон зайн элементүүдийг шугаман бие даасан гэж нэрлэдэг. n = 0 Є K. Үгүй бол e 1, e 2, ···> e n элементүүдийг шугаман хамааралтай гэж нэрлэдэг. Хэрэв векторын V орон зайд ямар ч n + 1 элемент e 1 ,..., e n+1 шугаман хамааралтай ба шугаман бие даасан n элемент байвал V-г n хэмжээст вектор орон зай, n-ийг хэмжээст чанар гэнэ. вектор орон зай V. Хэрэв V вектор орон зайд аль нэг натурал n тооны хувьд n шугаман бие даасан вектор байвал V-г хязгааргүй хэмжээст вектор орон зай гэнэ. Жишээлбэл, вектор орон зай L 1, L 2, L 3 ба K n нь тус тус 1-, 2-, 3- ба n хэмжээст; хэрэв М - хязгааргүй олонлог, тэгвэл вектор орон зай F(M, K) хязгааргүй хэмжээст байна.

K талбар дээрх V ба U векторын орон зайг φ : V -> U нь нэг нэгээр нь буулгасан тохиолдолд изоморф гэнэ. V-ээс дурын x, y ба φ (λx) = λ φ(x) нь K-ийн дурын λ ба V-ийн x-ийн хувьд. Изоморф вектор орон зай нь алгебрийн хувьд ялгагдахгүй. Хязгаарлагдмал хэмжээст вектор орон зайн ангиллыг изоморфизм хүртэлх хэмжээсээр нь өгнө: K талбар дээрх дурын n хэмжээст вектор орон зай нь К n координатын вектор орон зайд изоморф байна. Мөн Хилбертийн орон зай, Шугаман алгебрыг үзнэ үү.

Зарим энгийн талбарын n элементээс бүрдэх дарааллыг авч үзье GF(q) (a^, a......a p).Энэ дарааллыг гэж нэрлэдэг l-po

үр дагаварталбай дээгүүр GF)