Квадрат хэлбэр n хувьсагчийн f(x 1, x 2,...,x n) нь гишүүн бүр нь аль нэг хувьсагчийн квадрат эсвэл тодорхой коэффициентээр авсан хоёр өөр хувьсагчийн үржвэр болох нийлбэр юм: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).

Эдгээр коэффициентуудаас бүрдэх А матрицыг квадрат хэлбэрийн матриц гэнэ. Үргэлж л байдаг тэгш хэмтэйматриц (өөрөөр хэлбэл үндсэн диагональтай харьцуулахад тэгш хэмтэй матриц, a ij =a ji).

IN матрицын тэмдэглэгээквадрат хэлбэр нь f(X) = X T AX, энд

Үнэхээр

Жишээлбэл, оруулаад бичье матриц хэлбэрквадрат хэлбэр.

Үүнийг хийхийн тулд бид квадрат хэлбэрийн матрицыг олдог. Түүний диагональ элементүүд нь квадрат хувьсагчийн коэффициентүүдтэй тэнцүү, үлдсэн элементүүд нь квадрат хэлбэрийн харгалзах коэффициентүүдийн хагастай тэнцүү байна. Тийм ч учраас

Х хувьсагчийн матриц-баганыг Y матриц баганын доройтдоггүй шугаман хувиргалтаар олж авъя, өөрөөр хэлбэл. X = CY, энд C нь n-р эрэмбийн ганц биш матриц юм. Дараа нь f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y квадрат хэлбэр.

Ийнхүү доройтдоггүй шугаман C хувиргалттай квадрат хэлбэрийн матриц нь дараах хэлбэртэй байна: A * =C T AC.

Жишээлбэл, f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 квадрат хэлбэрээс авсан f(y 1, y 2) квадрат хэлбэрийг шугаман хувиргалтаар олъё.

Квадрат хэлбэрийг нэрлэдэг каноник(Байсан каноник үзэл), хэрэв i≠j-ийн хувьд түүний бүх коэффициентsa ij = 0 бол f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Түүний матриц нь диагональ юм.

Теорем(энд нотлох баримт өгөөгүй). Ямар ч квадрат хэлбэрийг доройтдоггүй шугаман хувиргалтыг ашиглан каноник хэлбэрт оруулж болно.

Жишээ нь, хүргэж үзье каноник хэлбэрквадрат хэлбэр f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Үүнийг хийхийн тулд бид эхлээд сонгоно төгс дөрвөлжин x 1 хувьсагчтай:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Одоо бид x 2 хувьсагчтай бүтэн квадратыг сонгоно.

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Дараа нь доройтдоггүй шугаман хувиргалт y 1 = x 1 + x 2 ,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 ба y 3 = x 3 нь энэ квадрат хэлбэрийг f(y 1 ,y 2 ,y 3) = 2y 1 каноник хэлбэрт хүргэдэг. 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Квадрат хэлбэрийн каноник хэлбэр нь хоёрдмол утгатай болохыг анхаарна уу (ижил квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэр болгон бууруулж болно. янз бүрийн арга замууд 1). Гэсэн хэдий ч хүлээн авсан янз бүрийн арга замуудканоник хэлбэрүүд нь хэд хэдэн ерөнхий шинж чанартай байдаг. Ялангуяа квадрат хэлбэрийн эерэг (сөрөг) коэффициент бүхий нэр томъёоны тоо нь хэлбэрийг энэ хэлбэрт оруулах аргаас хамаардаггүй (жишээлбэл, авч үзсэн жишээнд үргэлж хоёр сөрөг, нэг эерэг коэффициент байх болно). Энэ өмчийг нэрлэдэг квадрат хэлбэрийн инерцийн хууль.

Ижил квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэрт өөр аргаар авчрах замаар үүнийг баталгаажуулцгаая. Х 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + хувьсагчаар хувиргалтыг эхлүүлье. 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2) /3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2) /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2 , энд y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3 ,y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 ба y 3 = x 1. Энд y 3-ийн хувьд эерэг коэффициент 2, y 1 ба y 2-ийн хувьд хоёр сөрөг коэффициент (-3) байна (мөн өөр аргыг ашиглан бид y 1-ийн хувьд эерэг 2 коэффициент, хоёр сөрөг коэффициентийг авсан - (-5) y 2 ба (-1/20) y 3 хувьд).

Түүнчлэн квадрат хэлбэрийн матрицын зэрэглэл гэж нэрлэгддэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй квадрат хэлбэрийн зэрэглэл, тоотой тэнцүү байнатэг бус коэффициент каноник хэлбэрба шугаман хувиргалтуудын үед өөрчлөгддөггүй.

f(X) квадрат хэлбэрийг нэрлэнэ эерэгээр(сөрөг)тодорхой, хэрэв хувьсагчийн бүх утгуудын хувьд нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш бол энэ нь эерэг байна, өөрөөр хэлбэл f(X) > 0 (сөрөг, өөрөөр хэлбэл f(X))< 0).

Жишээлбэл, f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 квадрат хэлбэр нь эерэг тодорхой, учир нь квадратуудын нийлбэр бөгөөд квадрат хэлбэр f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 сөрөг тодорхойлогддог, учир нь 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 хэлбэрээр төлөөлж болно.

Ихэнх практик нөхцөлд квадрат хэлбэрийн тодорхой тэмдгийг тогтоох нь арай илүү хэцүү байдаг тул үүний тулд бид дараах теоремуудын аль нэгийг ашигладаг (бид тэдгээрийг нотлох баримтгүйгээр томъёолох болно).

Теорем. Квадрат хэлбэр нь зөвхөн бүх тохиолдолд эерэг (сөрөг) тодорхой байна хувийн үнэ цэнэтүүний матрицууд эерэг (сөрөг) байна.

Теорем (Сильвестерийн шалгуур). Энэ хэлбэрийн матрицын бүх тэргүүлэх жижиг хэсгүүд эерэг байвал квадрат хэлбэр нь эерэг тодорхой байна.

Үндсэн (булангийн) бага A () матрицын эхний k мөр, баганаас бүрдэх An-р эрэмбийн k-р эрэмбийн матрицуудыг матрицын тодорхойлогч гэж нэрлэдэг.

Сөрөг тодорхой квадрат хэлбэрийн хувьд үндсэн насанд хүрээгүй тэмдэгтүүд ээлжлэн солигдох ба эхний эрэмбийн бага нь сөрөг байх ёстойг анхаарна уу.

Жишээ нь, f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 квадрат хэлбэрийг тэмдгийн тодорхой байдлын үүднээс авч үзье.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Тиймээс квадрат хэлбэр нь эерэг тодорхойлогддог.

Арга 2. А матрицын нэгдүгээр эрэмбийн минор минор  1 =a 11 = 2 > 0. Хоёрдугаар эрэмбийн үндсэн минор  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Иймд Сильвестерийн шалгуурын дагуу квадрат хэлбэр нь эерэг тодорхой.

Бид тэмдгийн тодорхой байдлын өөр квадрат хэлбэрийг шалгадаг, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Арга 1. А = квадрат хэлбэрийн матрицыг байгуулъя. Онцлогийн тэгшитгэлшиг харагдах болно = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . Тиймээс квадрат хэлбэр нь сөрөг тодорхойлогддог.

Арга 2. А матрицын нэгдүгээр эрэмбийн үндсэн минор  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Тиймээс, Сильвестерийн шалгуурын дагуу квадрат хэлбэр нь сөрөг тодорхой (хасахаас эхлэн гол насанд хүрээгүй хүмүүсийн тэмдэг ээлжлэн солигдоно).

Мөн өөр нэг жишээ болгон бид тэмдгээр тодорхойлогдсон f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 квадрат хэлбэрийг судалж байна.

Арга 1. А = квадрат хэлбэрийн матрицыг байгуулъя. Онцлогийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Эдгээр тоонуудын нэг нь сөрөг, нөгөө нь эерэг байна. Хувийн утгын шинж тэмдгүүд нь өөр өөр байдаг. Иймээс квадрат хэлбэр нь сөрөг ч, эерэг ч тодорхой байж болохгүй, i.e. Энэ квадрат хэлбэр нь тодорхой тэмдэгт биш (энэ нь ямар ч тэмдгийн утгыг авч болно).

Арга 2. А матрицын нэгдүгээр эрэмбийн минор минор  1 =a 11 = 2 > 0. Хоёрдугаар эрэмбийн үндсэн минор 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэрт оруулах авч үзсэн арга нь хувьсагчдын квадраттай тэгээс өөр коэффициенттэй тулгарах үед хэрэглэхэд тохиромжтой. Хэрэв тэдгээр нь байхгүй бол хөрвүүлэлт хийх боломжтой хэвээр байгаа ч та өөр техник ашиглах хэрэгтэй болно. Жишээлбэл, f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 = гэж үзье.

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1) + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2) ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, энд y 1 = x 1 + x 2, аy 2 = x 1 – x 2.

Хэд хэдэн хувьсагчийн 2-р зэрэгтэй нэгэн төрлийн олон гишүүнтийг квадрат хэлбэр гэнэ.

Хувьсагчийн квадрат хэлбэр нь хоёр төрлийн нэр томъёоноос бүрдэнэ: хувьсагчийн квадратууд ба тэдгээрийн тодорхой коэффициент бүхий хос үржвэрүүд. Квадрат хэлбэрийг ихэвчлэн дараах квадрат диаграм хэлбэрээр бичдэг.

Хосууд ижил төстэй гишүүдижил коэффициентүүдээр бичигдсэн байдаг тул тус бүр нь хувьсагчдын харгалзах үржвэртэй коэффициентийн хагасыг бүрдүүлнэ. Тиймээс квадрат хэлбэр бүр нь тэгш хэмтэй коэффициентийн матрицтай байгалийн жамаар холбоотой байдаг.

Дараах матрицын тэмдэглэгээгээр квадрат хэлбэрийг дүрслэх нь тохиромжтой. X-ээр дамжих хувьсагчдын баганыг - мөр, өөрөөр хэлбэл X-ээр шилжүүлсэн матрицыг X-ээр тэмдэглэе.

Квадрат хэлбэрүүд нь математикийн олон салбар, түүний хэрэглээнд байдаг.

Тооны онол ба талстографийг авч үзнэ квадрат хэлбэрүүдхувьсагч нь зөвхөн бүхэл тоон утгыг авдаг гэсэн таамаглалаар. IN аналитик геометрквадрат хэлбэр нь эрэмбийн муруй (эсвэл гадаргуугийн) тэгшитгэлийн нэг хэсэг юм. Механик, физикийн хувьд квадрат хэлбэр нь илэрхийлэгддэг кинетик энергисистемүүдийг ерөнхийлсөн хурдны бүрэлдэхүүн хэсгүүдээр дамжуулан ашигладаг. Гэхдээ үүнээс гадна квадрат хэлбэрийг судлах нь олон хувьсагчийн функцийг судлахдаа дүн шинжилгээ хийхэд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд үүнийг шийдвэрлэхийн тулд хэрхэн яаж байгааг олж мэдэх нь чухал юм. энэ функцөгөгдсөн цэгийн ойролцоо ойртож буй цэгээс хазайсан шугаман функц. Энэ төрлийн асуудлын жишээ бол функцийг түүний хамгийн их ба хамгийн бага хэмжээгээр судлах явдал юм.

Жишээлбэл, дарааллаар нь тасралтгүй хэсэгчилсэн дериватив бүхий хоёр хувьсагчийн функцийн хамгийн их ба минимумыг судлах асуудлыг авч үзье. Шаардлагатай нөхцөлНэг цэг нь функцийн хамгийн их буюу хамгийн бага утгыг өгөхийн тулд тухайн цэг дээрх эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд тэгтэй тэнцүү байна гэж үзье. x ба y хувьсагчдад жижиг өсөлт, k-г өгье, Тэйлорын томъёоны дагуу энэ өсөлт нь хоёр дахь деривативын утгууд байх квадрат хэлбэртэй тэнцүү байна. цэг дээр тооцоолсон Хэрэв энэ квадрат хэлбэр ба k-ийн бүх утгуудад эерэг байвал функц нь сөрөг байвал хамгийн их утгатай байна. Эцэст нь, хэрэв маягт нь эерэг ба аль алиныг нь авдаг бол сөрөг утгууд, тэгвэл хамгийн их эсвэл доод аль нь ч байхгүй болно. -ийн чиг үүрэг илүүхувьсагч.

Квадрат хэлбэрийг судлах нь голчлон хувьсагчийн шугаман хувиргалтын нэг буюу өөр багцтай харьцуулахад хэлбэрийн эквивалент байдлын асуудлыг судлахаас бүрддэг. Өгөгдсөн олонлогийн аль нэг хувиргалтаар аль нэгийг нь нөгөө рүү хөрвүүлж чадвал хоёр квадрат хэлбэрийг тэнцүү гэж нэрлэдэг. Тэнцвэртэй байдлын асуудалтай нягт холбоотой нь хэлбэрийг багасгах асуудал, i.e. үүнийг хамгийн энгийн хэлбэр болгон хувиргах.

IN янз бүрийн асуудалквадрат хэлбэрүүдтэй холбоотой хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх хувиргалтын янз бүрийн багцыг мөн авч үздэг.

Шинжилгээний асуултуудад хувьсагчийн тусгай бус хувиргалтыг ашигладаг; аналитик геометрийн зорилгоор хамгийн их сонирхдог ортогональ хувиргалт, өөрөөр хэлбэл нэг хувьсагчийн системээс шилжих шилжилттэй тохирч байгаа хүмүүс Декарт координатнөгөө рүү. Эцэст нь тоон онол, талст зүйд бүхэл тооны коэффициент бүхий шугаман хувиргалтыг авч үздэг бөгөөд тодорхойлогч нь нэгдмэл байдалтай тэнцүү байна.

Бид эдгээр хоёр асуудлыг авч үзэх болно: квадрат хэлбэрийг ямар ч дан бус хувиргалтаар энгийн хэлбэрт оруулах тухай асуулт ба ортогональ хувиргалттай ижил асуулт. Юуны өмнө хувьсагчдыг шугаман хувиргах үед квадрат хэлбэрийн матриц хэрхэн хувирдгийг олж мэдье.

A нь хэлбэрийн коэффициентүүдийн тэгш хэмтэй матриц, X нь хувьсагчдын багана юм.

Хувьсагчийн шугаман хувиргалтыг хийж, товчилсон хэлбэрээр бичье. Энд C нь энэ хувиргалтын коэффициентийн матрицыг, X нь шинэ хувьсагчдын багана юм. Дараа нь, тиймээс хувирсан квадрат хэлбэрийн матриц нь тийм байна

Матриц автоматаар тэгш хэмтэй болж хувирдаг бөгөөд үүнийг шалгахад хялбар байдаг. Ийнхүү квадрат хэлбэрийг хамгийн энгийн хэлбэрт оруулах бодлого нь тэгш хэмтэй матрицыг баруун, зүүн талд харилцан шилжүүлсэн матрицаар үржүүлж хамгийн энгийн хэлбэрт оруулах бодлоготой дүйцэхүйц байна.

Функцийг оруулах дүрэм:

Хоёр удаа тасралтгүй дифференциал болох f(x) функц нь зөвхөн, хэрэв гүдгэр (хүнх) байна Гессийн матриц x-ийн хувьд f(x) функц нь бүх x-ийн хувьд эерэг (сөрөг) хагас тодорхой (хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн орон нутгийн туйлын цэгүүдийг үзнэ үү).

Функцийн чухал цэгүүд:

• хэрэв Гессиан эерэг тодорхой бол x 0 нь цэг болно орон нутгийн доод хэмжээ f(x) функцууд,
• хэрвээ Хэссиан сөрөг тодорхой бол x 0 нь f(x) функцийн орон нутгийн хамгийн их цэг болно.
• хэрвээ Хэссиан тэмдэгт тодорхой биш (эерэг ба сөрөг утгыг хоёуланг нь авдаг) ба доройтдоггүй (det G(f) ≠ 0) бол x 0 нь f(x) функцийн эмээлийн цэг болно.

Матрицын тодорхой байдлын шалгуур (Сильвестерийн теорем)

• матрицын бүх диагональ элементүүд эерэг байх ёстой;
• Бүх тэргүүлэх гол шалгуур үзүүлэлтүүд эерэг байх ёстой.

Эерэг хагас тодорхой байдал:

• бүх диагональ элементүүд нь сөрөг биш;
• бүх гол тодорхойлогч нь сөрөг биш юм.

Элементүүд нь хэсэгчилсэн дериватив болох n дарааллын квадрат тэгш хэмтэй матриц зорилгын функцхоёр дахь захиалга Гессийн матриц гэж нэрлэдэгбөгөөд дараахыг тодорхойлсон:

Тэгш хэмт матриц эерэг тодорхой байхын тулд түүний бүх диагональ минорууд эерэг байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.


A = (a ij) матрицын хувьд эерэг байна.

Сөрөг итгэлтэй байдал.
Тэгш хэмт матрицыг сөрөг тодорхой болгохын тулд дараахь тэгш бус байдал үүсэх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.
(-1) k D k > 0, к=1,.., n.
Өөрөөр хэлбэл квадрат хэлбэр байхын тулд сөрөг тодорхой, хасах тэмдгээс эхлэн квадрат хэлбэрийн матрицын өнцгийн миноруудын тэмдгүүд ээлжлэн солигдох нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм. Жишээлбэл, хоёр хувьсагчийн хувьд D 1< 0, D 2 > 0.

Хэрэв Хэссиан хагас тодорхой бол энэ нь бас нугалах цэг байж болно. Хэрэгтэй нэмэлт судалгаа, үүнийг дараах сонголтуудын аль нэгийн дагуу хийж болно.

1. Захиалга буурч байна. Хувьсагчийн өөрчлөлт хийгдсэн. Жишээлбэл, хоёр хувьсагчийн функцийн хувьд энэ нь y=x, үр дүнд нь бид нэг хувьсагчийн функцийг авдаг. Дараа нь бид y=x ба y=-x шугамууд дээрх функцийн үйлдлийг шалгана. Хэрэв эхний тохиолдолд судалж буй цэгийн функц нь хамгийн бага, нөгөө тохиолдолд хамгийн их (эсвэл эсрэгээр) байвал судалж буй цэг нь эмээлийн цэг болно.
2. Hessian-ийн хувийн утгыг олох. Хэрэв бүх утгууд эерэг байвал судалж буй цэгийн функц хамгийн бага, бүх утга сөрөг байвал дээд тал нь байна.
3. ε цэгийн ойролцоо f(x) функцийг судлах. x хувьсагчдыг x 0 +ε-ээр солино. Дараа нь нэг хувьсагчийн ε функц f(x 0 +ε) гэдгийг батлах шаардлагатай, эсвэл Тэгээс дээш(дараа нь x 0 нь хамгийн бага цэг юм), эсвэл тэгээс бага(дараа нь x 0 нь хамгийн их цэг юм).

Анхаарна уу. Олох урвуу Hessianурвуу матрицыг олоход хангалттай.

Жишээ №1. Аль нь дараах функцуудгүдгэр эсвэл хотгор байна: f(x) = 8x 1 2 +4x 1 x 2 +5x 2 2.
Шийдэл. 1. Хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё.


2. Тэгшитгэлийн системийг шийдье.
-4х 1 +4х 2 +2 = 0
4х 1 -6х 2 +6 = 0
Бид авах:
a) Эхний тэгшитгэлээс бид x 1-ийг илэрхийлж, хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна.
x 2 = x 2 + 1/2
-2х 2 +8 = 0
Энд x 2 = 4
Бид эдгээр x 2 утгыг x 1 гэсэн илэрхийлэлд орлуулна. Бид авна: x 1 = 9/2
Чухал цэгүүдийн тоо 1 байна.
М 1 (9/2 ;4)
3. Хоёр дахь эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё.



4. Эдгээр хоёр дахь эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудын утгыг тооцоолъё чухал цэгүүд M(x 0 ;y 0).
Бид M 1 (9/2 ;4) цэгийн утгыг тооцоолно.



Бид Hessian матрицыг бүтээдэг:

D 1 = a 11< 0, D 2 = 8 > 0
Диагональ насанд хүрээгүй хүүхдүүд байдаг тул янз бүрийн шинж тэмдэг, тэгвэл функцийн гүдгэр эсвэл хонхор байдлын талаар юу ч хэлж чадахгүй.

Квадрат хэлбэрийн тухай ойлголт. Квадрат хэлбэрийн матриц. Квадрат хэлбэрийн каноник хэлбэр. Лагранжийн арга. Ердийн үзэмжквадрат хэлбэр. Квадрат хэлбэрийн зэрэглэл, индекс, гарын үсэг. Эерэг тодорхой квадрат хэлбэр. Квадрикс.

Квадрат хэлбэрийн тухай ойлголт:векторын координат дахь хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн олон гишүүнтээр тодорхойлогдсон вектор орон зайн функц.

-аас квадрат хэлбэр nүл мэдэгдэх нийлбэр гэж нэрлэдэг бөгөөд гишүүн бүр нь эдгээр үл мэдэгдэхийн аль нэгнийх нь квадрат эсвэл хоёр өөр үл мэдэгдэх үржвэр юм.

Квадрат матриц:Матрицыг квадрат хэлбэрийн матриц гэж нэрлэдэг энэ үндсэн дээр. Хэрэв талбайн шинж чанар нь 2-той тэнцүү биш бол квадрат хэлбэрийн матрицыг тэгш хэмтэй гэж үзэж болно, өөрөөр хэлбэл.

Квадрат хэлбэрийн матрицыг бичнэ үү:

Тиймээс,

Вектор матрицын хувьд квадрат хэлбэр нь:

А, хаана

Квадрат хэлбэрийн каноник хэлбэр:Хэрэв бүх бол квадрат хэлбэрийг каноник гэж нэрлэдэг өөрөөр хэлбэл

Аливаа квадрат хэлбэрийг шугаман хувиргалтыг ашиглан каноник хэлбэрт оруулж болно. Практикт дараах аргуудыг ихэвчлэн ашигладаг.

Лагранжийн арга : бүрэн квадратуудын дараалсан сонголт. Жишээлбэл, хэрэв

Дараа нь ижил төстэй процедурыг квадрат хэлбэрээр гүйцэтгэдэг гэх мэт Хэрэв квадрат хэлбэрээр бүх зүйл харин дараа нь урьдчилсан хувиргалт хийсний дараа асуудал авч үзсэн журамд шилжинэ. Тиймээс, жишээ нь, хэрэв бид таамаглаж байна

Квадрат хэлбэрийн хэвийн хэлбэр:Энгийн квадрат хэлбэр нь бүх коэффициентүүд нь +1 эсвэл -1-тэй тэнцүү байх каноник квадрат хэлбэр юм.

Квадрат хэлбэрийн зэрэглэл, индекс, гарын үсэг:Квадрат хэлбэрийн зэрэглэл Аматрицын зэрэглэл гэж нэрлэдэг А. Мэдэгдэхгүй хувиргах үед квадрат хэлбэрийн зэрэглэл өөрчлөгддөггүй.

Сөрөг коэффициентүүдийн тоог сөрөг хэлбэрийн индекс гэж нэрлэдэг.

Каноник хэлбэрийн эерэг нэр томъёоны тоог квадрат хэлбэрийн инерцийн эерэг индекс, сөрөг гишүүний тоог сөрөг индекс гэж нэрлэдэг. Эерэг ба сөрөг индексүүдийн ялгааг квадрат хэлбэрийн гарын үсэг гэж нэрлэдэг

Эерэг тодорхой квадрат хэлбэр:Жинхэнэ квадрат хэлбэр Хэрэв нэгэн зэрэг тэг биш хувьсагчдын бодит утгууд байвал эерэг тодорхой (сөрөг тодорхой) гэж нэрлэдэг.

. (36)

Энэ тохиолдолд матрицыг эерэг тодорхой (сөрөг тодорхой) гэж нэрлэдэг.

Эерэг тодорхой (сөрөг тодорхой) хэлбэрийн анги нь сөрөг бус (эсрэг эерэг бус) хэлбэрийн ангийн нэг хэсэг юм.

Квадрикууд:Квадрик - n- хэмжээст гипер гадаргуу дотор nХоёрдахь зэрэглэлийн олон гишүүнтийн тэгийн олонлогоор тодорхойлогддог +1 хэмжээст орон зай. Хэрэв та координатыг оруулбал ( x 1 , x 2 , x n+1 ) (евклид эсвэл аффины орон зайд), ерөнхий тэгшитгэлквадратууд хэлбэртэй байна

Энэ тэгшитгэлийг матрицын тэмдэглэгээнд илүү нягт нямбай дахин бичиж болно.

Энд x = ( x 1 , x 2 , x n+1 ) - эгнээ вектор, x T нь шилжүүлсэн вектор, Q- хэмжээ матриц ( n+1)×( n+1) (энэ нь ядаж нэг элемент нь тэг биш гэж үздэг), Пнь эгнээний вектор ба Р- тогтмол. Бодитоос илүү квадрикийг ихэвчлэн авч үздэг нийлмэл тоо. Тодорхойлолтыг проекцын орон зайд квадрик болгон өргөжүүлж болно, доороос үзнэ үү.

Ерөнхийдөө системийн тэгүүдийн багц олон гишүүнт тэгшитгэлалгебрийн төрөл зүйл гэж нэрлэдэг. Тиймээс квадрат нь 2-р зэрэглэлийн (аффин эсвэл проекктив) алгебрийн төрөл ба 1-р код хэмжигдэхүүн юм.

Хавтгай ба орон зайн өөрчлөлтүүд.

Хавтгай хувиргалтын тодорхойлолт. Хөдөлгөөн илрүүлэх. хөдөлгөөний шинж чанар. Хоёр төрлийн хөдөлгөөн: эхний төрлийн хөдөлгөөн ба хоёр дахь төрлийн хөдөлгөөн. Хөдөлгөөний жишээ. Аналитик илэрхийлэлхөдөлгөөнүүд. Онгоцны хөдөлгөөний ангилал (байгаа байдлаас хамааран тогтмол цэгүүдболон хувиршгүй шугамууд). Онгоцны хөдөлгөөний бүлэг.

Хавтгай хувиргалтын тодорхойлолт: Тодорхойлолт.Цэгүүдийн хоорондох зайг хадгалсан хавтгай хувирлыг гэнэ хөдөлгөөн(эсвэл хөдөлгөөн) онгоцны. Хавтгай хувиргалтыг гэж нэрлэдэг аффин, хэрэв энэ нь нэг шулуун дээр байрлах дурын гурван цэгийг нэг шулуун дээр байрлах гурван цэг болгон хувиргаж, нэгэн зэрэг гурван цэгийн энгийн хамаарлыг хадгална.

Хөдөлгөөний тодорхойлолт:Эдгээр нь цэгүүдийн хоорондох зайг хадгалдаг хэлбэрийн өөрчлөлтүүд юм. Хэрэв хоёр дүрс хөдөлгөөнөөр бие биетэйгээ яг таарч байвал эдгээр тоо ижил, тэнцүү байна.

Хөдөлгөөний шинж чанарууд:Хавтгайн чиг баримжаа хадгалах хөдөлгөөн бүр нь зэрэгцээ хөрвүүлэлт эсвэл эргэлт юм. Хөдлөх үед шулуун дээр байрлах цэгүүд шулуун дээр байрлах цэгүүд болж хувирах ба тэдгээрийн дараалал хадгалагдана. харьцангуй байрлал. Хөдлөх үед хагас шугамын хоорондох өнцөг хадгалагдана.

Хоёр төрлийн хөдөлгөөн: эхний төрлийн хөдөлгөөн ба хоёр дахь төрлийн хөдөлгөөн.Эхний төрлийн хөдөлгөөнүүд нь тодорхой дүрсийн суурийн чиглэлийг хадгалдаг хөдөлгөөнүүд юм. Тэдгээрийг тасралтгүй хөдөлгөөнөөр хэрэгжүүлэх боломжтой.

Хоёрдахь төрлийн хөдөлгөөнүүд нь суурийн чиглэлийг эсрэгээр нь өөрчилдөг хөдөлгөөнүүд юм. Тэдгээрийг тасралтгүй хөдөлгөөнөөр хэрэгжүүлэх боломжгүй юм.

Эхний төрлийн хөдөлгөөний жишээ нь шулуун шугамын эргэн тойронд орчуулах, эргүүлэх, хоёр дахь төрлийн хөдөлгөөн нь төв ба толин тусгал тэгш хэм юм.

Эхний төрлийн хэд хэдэн хөдөлгөөний найрлага нь эхний төрлийн хөдөлгөөн юм.

Хоёр дахь төрлийн тэгш тооны хөдөлгөөний найрлага нь 1-р төрлийн хөдөлгөөн, 2-р төрлийн сондгой тооны хөдөлгөөний найрлага нь 2-р төрлийн хөдөлгөөн юм.

Хөдөлгөөний жишээ:Зэрэгцээ шилжүүлэг . Өгөгдсөн векторыг a гэж үзье. a вектор руу параллель шилжүүлэх нь хавтгайг өөр дээрээ буулгах бөгөөд M цэг бүрийг M 1 вектор болох M 1 цэгт буулгах явдал юм. вектортой тэнцүү байнаА.

Зэрэгцээ орчуулга нь зайг хадгалж, онгоцыг өөр дээрээ буулгаж байгаа учраас хөдөлгөөн юм. Энэ хөдөлгөөнийг бүхэл бүтэн онгоцны чиглэл рүү шилжүүлэх байдлаар дүрсэлж болно өгөгдсөн векторгэхдээ уртаараа.

Эргүүлэх.Хавтгай дээрх О цэгийг тэмдэглэе. эргэх төв) ба α өнцгийг тохируулна ( эргэлтийн өнцөг). Хавтгайг О цэгийн эргэн тойронд α өнцгөөр эргүүлэх нь хавтгайг өөр дээрээ буулгах бөгөөд M цэг бүрийг M 1 цэгт буулгаж, OM = OM 1 ба MOM 1 өнцөг нь α-тай тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд О цэг нь байрандаа үлддэг, өөрөөр хэлбэл, энэ нь өөр дээрээ дүрслэгдсэн бөгөөд бусад бүх цэгүүд нь О цэгийн эргэн тойронд ижил чиглэлд - цагийн зүүний дагуу эсвэл цагийн зүүний эсрэг эргэлддэг (зураг нь цагийн зүүний эсрэг эргэлтийг харуулж байна).

Эргүүлэх нь хөдөлгөөн юм, учир нь энэ нь онгоцыг өөр дээрээ буулгаж, зайг хадгалдаг.

Хөдөлгөөний аналитик илэрхийлэл:Урьдчилсан зургийн координат ба цэгийн зургийн хоорондох аналитик холболт нь (1) хэлбэртэй байна.

Онгоцны хөдөлгөөний ангилал (тогтмол цэг ба өөрчлөгдөөгүй шугам байгаа эсэхээс хамаарч): Тодорхойлолт:

Хавтгай дээрх цэг нь өгөгдсөн хувиргалтаар өөрөө болж хувирвал өөрчлөгддөггүй (тогтмол) байна.

Жишээ нь: Хэзээ төвийн тэгш хэмтэгш хэмийн төвийн цэг нь өөрчлөгддөггүй. Эргэх үед эргэлтийн төвийн цэг нь өөрчлөгддөггүй. At тэнхлэгийн тэгш хэмшулуун шугам нь өөрчлөгддөггүй - тэгш хэмийн тэнхлэг нь өөрчлөгддөггүй цэгүүдийн шулуун шугам юм.

Теорем: Хөдөлгөөнд нэг хувьсах цэг байхгүй бол ядаж нэг хувьсах чиглэлтэй байна.

Жишээ нь: Зэрэгцээ дамжуулалт. Үнэн хэрэгтээ, энэ чиглэлтэй параллель шулуун шугамууд нь хувьсах цэгүүдээс тогтдоггүй ч бүхэлдээ дүрсийн хувьд өөрчлөгддөггүй.

Теорем: Хэрэв зарим туяа хөдөлж байвал туяа өөрөө хөрвүүлбэл энэ хөдөлгөөн аль аль нь байна таних тэмдгийн хувирал, эсвэл өгөгдсөн цацрагийг агуулсан шулуун шугамын тэгш хэм.

Иймд өөрчлөгддөггүй цэг эсвэл дүрс байгаа эсэх дээр үндэслэн хөдөлгөөнийг ангилах боломжтой.

Хавтгай хөдөлгөөний бүлэг:Геометрийн хувьд чухал үүрэгөөрийгөө нэгтгэсэн дүрүүдийн бүлгүүд тоглодог. Хэрэв хавтгай дээр (эсвэл орон зайд) тодорхой дүрс байвал тухайн зураг өөрөө болж хувирах онгоцны (эсвэл орон зай) бүх хөдөлгөөний багцыг авч үзэж болно.

Энэ багц нь бүлэг юм. Жишээ нь, төлөө тэгш талт гурвалжингурвалжинг өөртөө шилжүүлэх хавтгай хөдөлгөөний бүлэг нь 6 элементээс бүрдэнэ: нэг цэгийн эргэн тойронд өнцгөөр эргэх, гурван шулуун шугамын тэгш хэмийг тойрон эргэх.

Тэдгээрийг Зураг дээр үзүүлэв. 1 улаан шугамтай. Өөрийгөө хослуулах бүлгийн элементүүд тогтмол гурвалжинөөрөөр тодорхойлж болно. Үүнийг тайлбарлахын тулд ердийн гурвалжны оройг 1, 2, 3 тоогоор дугаарлая. Гурвалжны аливаа өөрөө тэгшлэх нь 1, 2, 3-р цэгүүдийг ижил цэгүүд рүү аваачдаг, гэхдээ өөр дарааллаар авдаг, өөрөөр хэлбэл. нөхцөлтэйгээр эдгээр хаалтны аль нэг хэлбэрээр бичиж болно.

гэх мэт.

Энд 1, 2, 3 тоонууд нь авч үзэж буй хөдөлгөөний үр дүнд 1, 2, 3-р оройнууд орох оройнуудын тоог заана.

Проекктив орон зай ба тэдгээрийн загварууд.

Проекктив орон зайн тухай ойлголт ба проекцийн орон зайн загвар. Проекктив геометрийн үндсэн баримтууд. О цэг дээр төвлөрсөн олон тооны шугамууд нь проекцийн хавтгайн загвар юм. Проекктив цэгүүд. Өргөтгөсөн онгоц нь проекцийн хавтгайн загвар юм. Өргөтгөсөн гурван хэмжээст аффин буюу Евклидийн орон зай нь проекцийн орон зайн загвар юм. Зэрэгцээ дизайн дахь хавтгай ба орон зайн дүрсүүдийн зураг.

Проекктив орон зайн тухай ойлголт ба проекцийн орон зайн загвар:

Талбар дээрх проекцийн орон зай нь тухайн талбар дээрх зарим шугаман орон зайн шугамуудаас (нэг хэмжээст дэд орон зай) тогтсон орон зай юм. Шууд зай гэж нэрлэдэг цэгүүдпроекцийн орон зай. Энэ тодорхойлолтыг дурын байгууллагад нэгтгэж болно

Хэрэв энэ нь хэмжээстэй бол проекцийн орон зайн хэмжээсийг тоо гэж нэрлэдэг бөгөөд проекцийн орон зайг өөрөө тэмдэглэж, түүнтэй холбоотой гэж нэрлэдэг (үүнийг харуулахын тулд тэмдэглэгээг авсан).

-аас шилжүүлэх вектор орон зайхэмжээсийг харгалзах проекцын орон зай гэж нэрлэдэг төсөөлөлорон зай.

Оноо ашиглан дүрсэлж болно нэгэн төрлийн координатууд.

Проекктив геометрийн үндсэн баримтууд:Проекктив геометр нь проекц хавтгай ба орон зайг судалдаг геометрийн салбар юм. гол онцлогПроекктив геометр нь хоёрдмол байдлын зарчим дээр суурилдаг бөгөөд энэ нь олон загварт гоёмсог тэгш хэмийг нэмдэг. Проекктив геометрийг хоёуланг нь хоёуланг нь судалж болно геометрийн цэгПроекцийн хавтгайг талбар дээрх бүтэц гэж үзэхэд аналитик (нэг төрлийн координатыг ашиглан) болон салгебрийн аль алиныг нь авч үздэг. Ихэнхдээ, түүхийн хувьд бодит проекцийн хавтгайг "хязгааргүй шугам" нэмсэн Евклидийн хавтгай гэж үздэг.

Харин Евклидийн геометрийн харьцдаг дүрсүүдийн шинж чанарууд байдаг хэмжүүр(өнцөг, сегмент, талбайн тодорхой утгууд), тоонуудын эквивалент нь тэдгээртэй тэнцүү байна. нийцэл(жишээ нь хэмжүүрийн шинж чанарыг хадгалахын зэрэгцээ тоонуудыг хөдөлгөөнөөр дамжуулан бие бие рүүгээ хөрвүүлэх боломжтой үед) илүү "гүнзгий" шинж чанарууд байдаг. геометрийн хэлбэрүүд-аас дээш хувирах явцад хадгалагддаг ерөнхий төрөлхөдөлгөөнөөс илүү. Проекктив геометр нь ангиллын дагуу өөрчлөгддөггүй дүрсүүдийн шинж чанарыг судлахтай холбоотой юм проекцийн хувиргалтууд , түүнчлэн эдгээр өөрчлөлтүүд өөрсдөө.

Проекктив геометр нь Евклидийг нөхөж, үзэсгэлэнтэй ба энгийн шийдлүүдзэрэгцээ шугамууд байгаа тул төвөгтэй олон асуудлын хувьд. Конус огтлолын проекцийн онол нь ялангуяа энгийн бөгөөд гоёмсог юм.

Проекктив геометрийн гурван үндсэн хандлага байдаг: бие даасан аксиоматжуулалт, Евклидийн геометрийг нөхөх, талбар дээрх бүтэц.

Аксиоматжуулалт

Проекцийн орон зайг өөр аксиомын багц ашиглан тодорхойлж болно.

Coxeter дараахь зүйлийг өгдөг.

1. Шулуун шугам байдаг ба түүн дээр биш цэг байдаг.

2. Шугам бүр дор хаяж гурван цэгтэй байна.

3. Хоёр цэгээр яг нэг шулуун шугам зурж болно.

4. Хэрэв А, Б, C, Мөн Д- янз бүрийн цэгүүд болон ABТэгээд CDогтлолцох, тэгвэл А.С.Тэгээд Б.Догтлолцох.

5. Хэрэв ABCЭнэ нь онгоц бол тэр хавтгайд байхгүй ядаж нэг цэг байна ABC.

6. Хоёр өөр өөр онгоцууддор хаяж хоёр цэгээр огтлолцоно.

7. Бүтэн дөрвөлжингийн диагональ гурван цэг нь шугаман биш юм.

8. Гурван цэг нэг шулуун дээр байвал X X

Проекцийн хавтгай (гурав дахь хэмжээсгүй) нь арай өөр аксиомоор тодорхойлогддог.

1. Хоёр цэгээр дамжуулан та яг нэг шулуун шугам зурж болно.

2. Дурын хоёр шулуун огтлолцоно.

3. Дөрвөн цэг байдгаас гурав нь хоорондоо уялдаатай биш.

4. Гурван диагональ цэг бүрэн дөрвөн өнцөгтуялдаа холбоогүй.

5. Гурван цэг нэг шулуун дээр байвал Xφ-ийн проекцын хувьд инвариант байна, тэгвэл бүх цэгүүд дээр байна Xφ-ийн хувьд өөрчлөгддөггүй.

6. Дезаргесын теорем: Хэрэв хоёр гурвалжин нь цэгээр дамжих хэтийн төлөв бол шулуунаар дамжсан хэтийн төлөв болно.

Гурав дахь хэмжигдэхүүн байгаа тохиолдолд Дезаргесын теоремыг нэвтрүүлэхгүйгээр баталж болно хамгийн тохиромжтой цэгүүдба шулуун.

Өргөтгөсөн хавтгай - проекцийн хавтгай загвар: A3 аффин орон зайд бид төв нь О цэгт байрладаг S(O) шулуун ба багцын төвөөр дамждаггүй Π хавтгайг авна: O 6∈ Π. Аффин орон зай дахь шугамын багц нь проекцийн хавтгайн загвар юм. Хавтгайн Π цэгүүдийн багцыг S холбогчийн шулуун шугамын зураглалыг тодорхойлъё (Ноов, хэрэв танд энэ асуулт байгаа бол намайг уучлаарай)

Өргөтгөсөн гурван хэмжээст аффин буюу Евклидийн орон зай—проекктив орон зайн загвар:

Зураглалыг сурьектив болгохын тулд бид аффин хавтгайг Π проекцын хавтгайд албан ёсоор сунгах үйл явцыг давтаж, Π хавтгайг буруу цэгүүдийн багцаар (M∞) нөхөж: ((M∞)) = P0(O). Газрын зураг дээр S(O) хавтгайнуудын хавтгай тус бүрийн урвуу дүрс нь d хавтгай дээрх шулуун байгаа тул сунгасан хавтгайн бүх буруу цэгүүдийн багц нь тодорхой байна: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞) нь өргөтгөсөн хавтгайн буруу d∞ шулууныг илэрхийлдэг бөгөөд энэ нь Π0 ганц хавтгайн урвуу дүрс юм: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Эндээс хойш бид P0(O) = Π0 сүүлчийн тэгшитгэлийг цэгийн олонлогийн тэгш байдлын утгаар ойлгох болно, гэхдээ өөр бүтэцтэй. Нэмэх аффин хавтгайБуруу шугамаар бид зураглал (I.21) нь өргөтгөсөн хавтгайн бүх цэгүүдийн олонлог дээр хоёр талт болсон байна.

Зэрэгцээ дизайн хийх үед хавтгай ба орон зайн дүрсүүдийн зураг:

Стереометрийн хувьд орон зайн дүрсийг судалдаг боловч зураг дээр тэдгээрийг дүрсэлсэн байдаг хавтгай дүрсүүд. Онгоцонд орон зайн дүрсийг хэрхэн дүрслэх ёстой вэ? Ихэвчлэн геометрийн хувьд параллель загварыг үүнд ашигладаг. p ямар нэг онгоц байг, л- түүнийг огтолж буй шулуун шугам (Зураг 1). дамжуулан дурын цэг А, шугаманд хамаарахгүй л, шугамтай зэрэгцээ шугам зур л. Энэ шулууны p хавтгайтай огтлолцох цэгийг цэгийн зэрэгцээ проекц гэнэ Ашулуун шугамын чиглэлд p хавтгайд л. Үүнийг тэмдэглэе А". Хэрэв цэг Амөрөнд хамаарна л, дараа нь зэрэгцээ проекцоор Ашугамын огтлолцлын цэгийг p хавтгай дээр байна гэж үзнэ лонгоцтой p.

Тиймээс цэг бүр Аорон зай түүний проекцийг харьцуулсан болно А" онгоц руу х. Энэ захидал харилцааг гэж нэрлэдэг зэрэгцээ загваршулуун шугамын чиглэлд p хавтгайд л.

Проекктив хувиргалтын бүлэг. Асуудлыг шийдвэрлэх програм.

Хавтгайг проекц хувиргах тухай ойлголт. Хавтгайн проекцийн хувиргалтын жишээ. Проекктив хувиргалтын шинж чанарууд. Гомологи, гомологийн шинж чанар. Проекктив хувиргалтын бүлэг.

Хавтгайг проекц хувиргах тухай ойлголт:Проекктив өөрчлөлтийн тухай ойлголт нь төв проекцын тухай ойлголтыг ерөнхийд нь илэрхийлдэг. Хэрэв тэгвэл төв төсөөлөлα хавтгайг зарим α 1 хавтгайд, дараа нь α 1-ийн α 2, α 2 дээр α 3, ..., эцэст нь α 1-ийн проекц. nдахин α 1 дээр, дараа нь эдгээр бүх төсөөллийн найрлага нь α хавтгайн проекц хувиргалт юм; Ийм гинжин хэлхээнд параллель төсөөллийг ч оруулж болно.

Проекктив хавтгай хувиргалтын жишээ:Дууссан хавтгайн проекцийн хувиргалт нь цэгүүдийн харилцан уялдаа холбоог хадгалсан, өөрөөр хэлбэл аливаа шулууны дүрс нь шулуун шугам болох нэг нэгээр нь дүрслэх явдал юм. Проекцийн өөрчлөлт бүр нь төв ба гинжин хэлхээний нэгдэл юм зэрэгцээ төсөөлөл. Аффины хувирал- Энэ онцгой тохиолдолхязгааргүй алслагдсан шулуун шугам өөрөө болж хувирдаг проекктив.

Проекктив хувиргалтын шинж чанарууд:

Проекктив хувирлын үед шулуун дээр хэвтээгүй гурван цэг нь шулуун дээр хэвтээгүй гурван цэг болж хувирдаг.

Проекцийн өөрчлөлтийн үед хүрээ нь хүрээ болдог.

Проекктив хувирлын үед шугам нь шулуун шугам руу, харандаа нь харандаа руу ордог.

Гомологи, гомологийн шинж чанарууд:

Инвариант цэгүүдийн шугамтай, тиймээс инвариант шугамын харандаатай хавтгайн проекц хувирлыг гомологи гэж нэрлэдэг.

1. Давхцаагүй харгалзах гомологийн цэгүүдийг дайран өнгөрч буй шугамыг инвариант шулуун гэнэ;

2. Давхцаагүй харгалзах гомологийн цэгүүдийг дайран өнгөрч буй шугамууд нь нэг харандаанд хамаарах ба түүний төв нь өөрчлөгдөөгүй цэг юм.

3. Цэг, түүний дүрс, ижил төстэй төв нь нэг шулуун дээр байрладаг.

Проекцийн өөрчлөлтүүдийн бүлэг: P 2 проекцын хавтгайн проекцын зураглалыг, өөрөөр хэлбэл энэ хавтгайн проекц хувирлыг (P 2 ' = P 2) авч үзье.

Өмнөхтэй адил, P 2 проекцийн хавтгайн f 1 ба f 2 проекцын хувиргалтын найрлага нь f 1 ба f 2 хувиргалтыг дараалан гүйцэтгэсний үр дүн юм: f = f 2 ° f 1.

Теорем 1: P 2 проекцийн хавтгайн бүх проекц хувиргалтын H олонлог нь проекц хувиргалтын бүрэлдэхүүнд хамаарах бүлэг юм.

Квадрат хэлбэрүүд

Квадрат хэлбэр n хувьсагчийн f(x 1, x 2,...,x n) нь гишүүн бүр нь аль нэг хувьсагчийн квадрат эсвэл тодорхой коэффициентээр авсан хоёр өөр хувьсагчийн үржвэр болох нийлбэр юм: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Эдгээр коэффициентуудаас бүрдэх А матрицыг квадрат хэлбэрийн матриц гэнэ. Үргэлж л байдаг тэгш хэмтэйматриц (өөрөөр хэлбэл үндсэн диагональтай харьцуулахад тэгш хэмтэй матриц, a ij = a ji).

Матрицын тэмдэглэгээнд квадрат хэлбэр нь f(X) = X T AX, энд байна

Үнэхээр

Жишээлбэл, квадрат хэлбэрийг матриц хэлбэрээр бичье.

Үүнийг хийхийн тулд бид квадрат хэлбэрийн матрицыг олдог. Түүний диагональ элементүүд нь квадрат хувьсагчийн коэффициентүүдтэй тэнцүү, үлдсэн элементүүд нь квадрат хэлбэрийн харгалзах коэффициентүүдийн хагастай тэнцүү байна. Тийм ч учраас

Х хувьсагчийн матриц-баганыг Y матриц баганын доройтдоггүй шугаман хувиргалтаар олж авъя, өөрөөр хэлбэл. X = CY, энд C нь n-р эрэмбийн ганц биш матриц юм. Дараа нь квадрат хэлбэр
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Ийнхүү доройтдоггүй шугаман C хувиргалтаар квадрат хэлбэрийн матриц нь дараах хэлбэртэй байна: A * = C T AC.

Жишээлбэл, f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 квадрат хэлбэрээс авсан f(y 1, y 2) квадрат хэлбэрийг шугаман хувиргалтаар олъё.

Квадрат хэлбэрийг нэрлэдэг каноник(Байсан каноник үзэл), хэрэв i ≠ j-ийн хувьд түүний бүх коэффициент a ij = 0 бол i.e.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Түүний матриц нь диагональ юм.

Теорем(энд нотлох баримт өгөөгүй). Ямар ч квадрат хэлбэрийг доройтдоггүй шугаман хувиргалтыг ашиглан каноник хэлбэрт оруулж болно.

Жишээлбэл, квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэр болгон бууруулъя
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Үүнийг хийхийн тулд эхлээд x 1 хувьсагчтай бүтэн квадратыг сонгоно уу.

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Одоо бид x 2 хувьсагчтай бүтэн квадратыг сонгоно.

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Дараа нь доройтдоггүй шугаман хувиргалт y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10) x 3 and y 3 = x 3 нь энэ квадрат хэлбэрийг f(y 1, y 2) каноник хэлбэрт авчирдаг. , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Квадрат хэлбэрийн каноник хэлбэр нь хоёрдмол утгатай тодорхойлогддог гэдгийг анхаарна уу (ижил квадрат хэлбэрийг өөр өөр аргаар каноник хэлбэрт оруулж болно). Гэсэн хэдий ч янз бүрийн аргаар олж авсан каноник хэлбэрүүд нь хэд хэдэн байдаг ерөнхий шинж чанарууд. Ялангуяа квадрат хэлбэрийн эерэг (сөрөг) коэффициент бүхий нэр томъёоны тоо нь хэлбэрийг энэ хэлбэрт оруулах аргаас хамаардаггүй (жишээлбэл, авч үзсэн жишээнд үргэлж хоёр сөрөг, нэг эерэг коэффициент байх болно). Энэ өмчийг нэрлэдэг квадрат хэлбэрийн инерцийн хууль.

Ижил квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэрт өөр аргаар авчрах замаар үүнийг баталгаажуулцгаая. Өөрчлөлтийг x 2 хувьсагчаар эхлүүлье:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 -
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, энд y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 ба y 3 = x 1. Энд y 3 үед 2 эерэг коэффициент, y 1 ба y 2 үед хоёр сөрөг коэффициент (-3) байна (мөн өөр аргыг ашиглан бид y 1 үед эерэг 2 коэффициент, хоёр сөрөг коэффициентийг авсан - (-5) үед. y 2 ба (-1 /20) y 3).

Түүнчлэн квадрат хэлбэрийн матрицын зэрэглэл гэж нэрлэгддэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй квадрат хэлбэрийн зэрэглэл, нь каноник хэлбэрийн тэгээс өөр коэффициентүүдийн тоотой тэнцүү бөгөөд шугаман хувиргалтуудын үед өөрчлөгддөггүй.

f(X) квадрат хэлбэрийг нэрлэнэ эерэгээр (сөрөг) тодорхой, хэрэв хувьсагчийн бүх утгуудын хувьд нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш бол энэ нь эерэг, өөрөөр хэлбэл. f(X) > 0 (сөрөг, өөрөөр хэлбэл.
f(X)< 0).

Жишээлбэл, f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 квадрат хэлбэр нь эерэг тодорхой, учир нь квадратуудын нийлбэр бөгөөд квадрат хэлбэр f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 сөрөг тодорхойлогддог, учир нь үүнийг f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Ихэнх практик нөхцөлд квадрат хэлбэрийн тодорхой тэмдгийг тогтоох нь арай илүү хэцүү байдаг тул үүний тулд бид дараах теоремуудын аль нэгийг ашигладаг (бид тэдгээрийг нотлох баримтгүйгээр томъёолох болно).

Теорем. Квадрат хэлбэр нь түүний матрицын бүх хувийн утга эерэг (сөрөг) байвал эерэг (сөрөг) тодорхой байна.

Теорем (Сильвестерийн шалгуур). Энэ хэлбэрийн матрицын бүх тэргүүлэх жижиг хэсгүүд эерэг байвал квадрат хэлбэр нь эерэг тодорхой байна.

Үндсэн (булангийн) бага n-р эрэмбийн k-р эрэмбийн А матрицыг матрицын тодорхойлогч гэж нэрлэдэг бөгөөд А матрицын эхний k мөр, баганаас бүрдсэн ().

Сөрөг тодорхой квадрат хэлбэрийн хувьд үндсэн насанд хүрээгүй тэмдэгтүүд ээлжлэн солигдох ба эхний эрэмбийн бага нь сөрөг байх ёстойг анхаарна уу.

Жишээ нь, f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 квадрат хэлбэрийг тэмдгийн тодорхой байдлын үүднээс авч үзье.

= (2 - л)*
*(3 - л) – 4 = (6 - 2л - 3л + л 2) – 4 = л 2 - 5л + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Тиймээс квадрат хэлбэр нь эерэг тодорхойлогддог.

Арга 2. А матрицын нэгдүгээр эрэмбийн үндсэн минор D 1 = a 11 = 2 > 0. Хоёрдугаар эрэмбийн минор D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Иймд Сильвестерийн шалгуурын дагуу квадрат хэлбэр нь эерэг тодорхой.

Бид тэмдгийн тодорхой байдлын өөр квадрат хэлбэрийг шалгадаг, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Арга 1. А = квадрат хэлбэрийн матрицыг байгуулъя. Онцлогийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна = (-2 - л)*
*(-3 - л) – 4 = (6 + 2л + 3л + л 2) – 4 = л 2 + 5л + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Тиймээс квадрат хэлбэр нь сөрөг тодорхойлогддог.