1. Тооны талбар дээрх хоёр вектор орон зай ба хэмжилтийг тус тус өгье, ба шугаман оператор, дотор харуулж байна. Энэ хэсэгт бид өгөгдсөн шугаман операторт харгалзах матриц нь суурь нь орж, өөрчлөгдөхөд хэрхэн өөрчлөгдөхийг олж мэдэх болно.
Дурын суурь болон . Эдгээр баазуудад оператор матрицтай тохирно. Вектор тэгш байдал
матрицын тэгшитгэлтэй тохирч байна
Энд ба нь векторуудын координатын багана ба суурийн ба .
Одоо in болон бусад суурь болон . Шинэ баазуудад , -ийн оронд бид: , , . Үүний зэрэгцээ
Орон зай дахь координатыг хувиргах ба хуучин сууриудаас шинэ суурь руу шилжих үед тус тусад нь эрэмбийн квадрат матрицуудыг ба дангаар нь тэмдэглэе (§ 4-ийг үзнэ үү):
Дараа нь (27) ба (29) -аас бид дараахь зүйлийг олж авна.
(28) ба (30) -аас бид дараахь зүйлийг олно.
Тодорхойлолт 8. Хоёр тэгш өнцөгт матриц ба ижил хэмжээтэйгэсэн хоёр ганц бус квадрат матриц байгаа бол тэнцүү гэж хэлнэ
(31)-ээс харахад өөр өөр баазын сонголттой ижил шугаман операторт харгалзах хоёр матриц үргэлж бие биетэйгээ эквивалент байна. Эсрэгээр, хэрэв матриц нь болон доторх зарим суурийн оператортой тохирч байвал матриц нь матрицтай тэнцүү бол ба доторх зарим суурийн хувьд ижил шугаман оператортой тохирч байгааг харахад хялбар байдаг.
Тиймээс шугаман оператор бүр талбарын элементүүдтэй өөр хоорондоо эквивалент матрицын ангилалд нийцдэг.
2. Дараах теорем нь хоёр матрицын эквивалентийн шалгуурыг тогтоов.
Теорем 2. Ижил хэмжээтэй тэгш өнцөгт хоёр матриц тэнцүү байхын тулд эдгээр матрицууд ижил зэрэгтэй байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.
Баталгаа. Нөхцөл байдал зайлшгүй шаардлагатай. Тэгш өнцөгт матрицыг ямар ч ганц тоогоор үржүүлэхэд квадрат матриц(зүүн эсвэл баруун) анхны тэгш өнцөгт матрицын зэрэглэл өөрчлөгдөх боломжгүй (I бүлэг, 27-р хуудсыг үз). Иймд (32)-аас дараах зүйл гарч ирнэ
Нөхцөл байдал хангалттай. зөвшөөрөх - тэгш өнцөгт матрицхэмжээ. Энэ нь суурьтай орон зайг суурьтай орон зайд буулгах шугаман операторыг тодорхойлдог. Шугаман байдлаар тоогоор тэмдэглэе бие даасан векторуудвекторуудын дунд 
. Ерөнхий байдлыг алдагдуулахгүйгээр векторууд нь шугаман хамааралгүй гэж үзэж болно 
, үлдсэн хэсэг нь шугаман байдлаар түүгээр илэрхийлэгдэнэ:
. (33)
Шинэ суурийг дараах байдлаар тодорхойлъё.
(34)
Дараа нь (33)
. (35)
Векторууд нь шугаман бие даасан байна. -д үндэслэхийн тулд тэдгээрийг зарим вектороор нэмж оруулъя.
Дараа нь шинэ суурь дахь ижил операторт харгалзах матриц; , (35) ба (36)-ын дагуу маягттай байна
. (37)
Матрицад нэг нь үндсэн диагональ дагуу дээрээс доошоо явдаг; матрицын бусад бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү байна. Матрицууд нь ижил оператортой тохирч байгаа тул бие биетэйгээ тэнцүү байна. Батлагдсаны дагуу эквивалент матрицууд ижил зэрэгтэй байна. Тиймээс анхны матрицын зэрэглэл нь -тэй тэнцүү байна.
Дурын тэгш өнцөгт зэрэглэлийн матриц нь "каноник" матрицтай тэнцүү болохыг бид харуулсан. Гэхдээ матриц нь хэмжээс, тоог зааж өгөх замаар бүрэн тодорхойлогддог. Иймд өгөгдсөн хэмжээ, өгөгдсөн зэрэглэлийн бүх тэгш өнцөгт матрицууд нь ижил матрицтай тэнцэх тул бие биетэйгээ тэнцүү байна. Теорем нь батлагдсан.
3. төлөөлөх шугаман операторыг өгье - хэмжээст орон зайхэмжээст. Хэлбэрийн векторуудын багц , энд , хэлбэрүүд вектор орон зай. Бид энэ орон зайг ; Энэ нь сансар огторгуйн нэг хэсгийг бүрдүүлдэг эсвэл тэдний хэлснээр сансар огторгуйн дэд орон зай юм.
Дэд орон зайн хамт бид тэгшитгэлийг хангасан бүх векторуудын багцыг авч үздэг
Эдгээр векторууд нь мөн дэд орон зайг үүсгэдэг; Бид энэ дэд орон зайг гэж тэмдэглэнэ.
Тодорхойлолт 9. Хэрэв шугаман оператор нь -ийг зураглавал зайны хэмжээсийн тоог операторын зэрэглэл, (38) нөхцөлийг хангасан бүх векторуудаас бүрдэх зайны хэмжээсийн тоог операторын согог гэнэ. .
Өгөгдсөн операторыг янз бүрийн сууринд тодорхойлдог бүх эквивалент тэгш өнцөгт матрицуудын дунд байдаг каноник матриц[(37)-г үзнэ үү]. -ээр болон харгалзах сууриудыг ба -аар тэмдэглэе. Дараа нь
, 
.
Тодорхойлолтоос үзэхэд векторууд нь -д суурь болж, векторууд нь -ийн суурийг харьцуулдаг. Үүнээс үзэхэд операторын зэрэглэл ба
Хэрэв операторт тохирох дурын матриц бол энэ нь эквивалент тул ижил зэрэглэлтэй байна. Тиймээс операторын зэрэглэл нь тэгш өнцөгт матрицын зэрэгтэй давхцдаг
,
зарим үндсэн дээр операторыг тодорхойлох 
Тэгээд 
.
Матрицын баганууд нь векторуудын координатуудыг агуулна . Үүнээс үзэхэд операторын зэрэглэл, өөрөөр хэлбэл хэмжээсийн тоо нь тэнцүү байна хамгийн их тоохоорондын шугаман бие даасан векторууд . Тиймээс матрицын зэрэглэл нь матрицын шугаман бие даасан баганын тоотой давхцдаг. Шилжүүлэх явцад матрицын мөрүүдийг багана болгож, зэрэглэл нь өөрчлөгддөггүй тул матрицын шугаман бие даасан мөрүүдийн тоо нь матрицын зэрэгтэй тэнцүү байна.
4. Хоёр шугаман оператор ба тэдгээрийн үржвэрийг өгье.
Операторыг , операторыг . Дараа нь оператор газрын зураг:
Тодорхой сонголтын суурь ба , операторуудад харгалзах , , , матрицуудыг танилцуулъя. Дараа нь операторын тэгш байдал нь матрицын тэгшитгэлтэй тохирно., өөрөөр хэлбэл, -д.
Баримт бичиг: өөрөөр хэлбэл. Дараах үйлдлүүдийг гүйцэтгэх үед матрицын зэрэглэл хадгалагдана.
1. Шугамын дарааллыг өөрчлөх.
2. Матрицыг тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх.
3. Шилжүүлэн суулгах.
4. Тэгийн мөрийг арилгах.
5. Дурын тоогоор үржүүлсэн мөрөнд өөр мөр нэмэх.
Эхний өөрчлөлт нь насанд хүрээгүй зарим хүүхдийг өөрчлөхгүй, харин заримынх нь тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчлөх болно. Хоёрдахь хувиргалт нь мөн зарим насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хэвээр үлдээж, заримыг нь тэгээс өөр тоогоор үржүүлнэ. Гурав дахь өөрчлөлт нь насанд хүрээгүй бүх хүүхдийг хадгалах болно. Тиймээс эдгээр хувиргалтыг ашиглахдаа матрицын зэрэглэл хадгалагдах болно (хоёр дахь тодорхойлолт). Тэг мөрийг хасах нь матрицын зэрэглэлийг өөрчлөх боломжгүй, учир нь ийм мөр нь тэгээс өөр минорыг оруулах боломжгүй. Тав дахь өөрчлөлтийг авч үзье.
Бага Δp суурь нь эхний p мөрөнд байрладаг гэж бид таамаглах болно. Эдгээр мөрүүдийн нэг болох a мөрөнд дурын b тэмдэгт мөрийг λ тоогоор үржүүлье. Тэдгээр. a мөрөнд үндсэн минорыг агуулсан мөрүүдийн шугаман хослол нэмэгдэнэ. Энэ тохиолдолд үндсэн бага Δp өөрчлөгдөхгүй хэвээр байх болно (мөн 0-ээс ялгаатай). Эхний p мөрөнд байрлуулсан бусад насанд хүрээгүй хүүхдүүд өөрчлөгдөөгүй хэвээр байгаа бөгөөд бусад бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүдэд мөн адил байна. Тэр. В энэ тохиолдолдзэрэглэл (хоёр дахь тодорхойлолтоор) хадгалагдана. Одоо эхний p мөрүүдийн бүх мөр байхгүй (магадгүй түүнд байхгүй ч байж магадгүй) бага насны хатагтайг авч үзье.
ai мөрөнд дурын b тэмдэгтийг нэмж, λ тоогоор үржүүлснээр бид шинэ жижиг Ms‘, мөн Ms‘=Ms+λ Ms-ийг олж авна.
Хэрэв s>p бол Ms=Ms=0, учир нь Анхны матрицын p-ээс их эрэмбийн бүх минорууд 0-тэй тэнцүү байна.Харин дараа нь Ms‘=0 байх ба матрицын хувиргалтын зэрэглэл нэмэгдэхгүй. Гэхдээ үндсэн насанд хүрээгүй хүүхэд ямар ч өөрчлөлт ороогүй тул энэ нь бас буурч чадаагүй юм. Тиймээс матрицын зэрэглэл өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.
Та мөн өөрийн сонирхож буй мэдээллээ шинжлэх ухааны хайлтын систем Otvety.Online-аас олж болно. Хайлтын маягтыг ашиглана уу:
Шугаман оператор матрицын хамгийн энгийн хэлбэр.
Матрицууд АТэгээд Бдан бус матрицууд байвал эквивалент гэж нэрлэдэг QТэгээд Т, Юу А=QBT.
Теорем 6.1. Хэрэв матрицууд тэнцүү бол тэдгээрийн зэрэглэлүүд тэнцүү байна.
Баталгаа. Бүтээгдэхүүний зэрэглэл нь хүчин зүйлийн зэрэглэлээс хэтрэхгүй тул . Түүнээс хойш. Хоёр тэгш бус байдлыг нэгтгэснээр бид шаардлагатай мэдэгдлийг олж авна.
Теорем 6.2. Матрицын мөр, багана бүхий элементийн хувиргалтууд Аблок хэлбэрээр багасгаж болно, энд эрэмбийн нэгж матриц байна к, 0 нь харгалзах хэмжээтэй тэг матриц юм.
Баталгаа.Матрицыг багасгах алгоритмыг танилцуулъя Аруу заасан төрөл. Баганын дугаарыг заана дөрвөлжин хаалт, мөрийн дугаарыг хаалтанд бичнэ.
1. Тавьцгаая r=1.
2. Хэрэв дараа нь бид 4-р алхам руу, үгүй бол 3-р алхам руу орно.
3. Мөрнүүдээр хувиргалтыг хийцгээе 
, Хаана би=r+1,…,м, ба баганатай 
, Хаана j=r+1,…,n, Мөн . Нэмэгдүүлье r 1 рүү буцаад 2-р алхам руу буцна уу.
4. Хэрэв, at би=r+1,…,м, j=r+1,…,n, тэгвэл дуусна. Үгүй бол бид олох болно би,j>r, Юу . Мөр, багануудыг дахин цэгцлээд 2-р алхам руу буцъя.
Мэдээжийн хэрэг, алгоритм нь эквивалент матрицуудын дарааллыг бий болгох бөгөөд сүүлчийнх нь шаардлагатай хэлбэртэй байна.
Теорем 6.3. Матрицууд АТэгээд Бижил хэмжээтэй нь зөвхөн зэрэглэл нь тэнцүү бол тэнцүү байна.
Баталгаа.Хэрэв матрицууд тэнцүү бол тэдгээрийн зэрэглэлүүд тэнцүү байна (Теорем 6.1). Матрицуудын зэрэглэлүүд тэнцүү байг. Дараа нь тийм ганц биш матрицууд байдаг 
, Хаана r=rgA=rgB(Теорем 6.2). Тиймээс, 
, болон матрицууд АТэгээд Б- тэнцүү байна.
Энэ догол мөрний үр дүн нь танд олох боломжийг олгоно хамгийн энгийн хэлбэршугаман операторын матрицууд ба шугаман операторын матриц нь хамгийн энгийн хэлбэртэй байх зайн суурь.
Эквивалент матрицууд
Дээр дурдсанчлан s эрэмбийн матрицын минор нь сонгосон s мөр, баганын огтлолцол дээр байрлах анхны матрицын элементүүдээс үүссэн матрицын тодорхойлогч юм.
Тодорхойлолт. mn эрэмбийн матрицад r эрэмбийн минорыг биш бол үндсэн гэж нэрлэдэг тэгтэй тэнцүү, мөн r+1 ба түүнээс дээш эрэмбийн бүх насанд хүрээгүй хүмүүс тэгтэй тэнцүү эсвэл огт байхгүй, i.e. r нь m эсвэл n-ийн жижиг хэмжээтэй таарч байна.
Минорын суурь суурь тавигддаг матрицын багана, мөрүүдийг мөн суурь гэж нэрлэдэг.
Матриц нь ижил дараалалтай хэд хэдэн өөр үндсэн суурьтай байж болно.
Тодорхойлолт. Матрицын суурь минорын дарааллыг матрицын зэрэг гэж нэрлэдэг ба Rg A гэж тэмдэглэнэ.
Маш чухал өмчэнгийн матрицын хувиргалт нь матрицын зэрэглэлийг өөрчлөхгүй байх явдал юм.
Тодорхойлолт. Элемент хувирлын үр дүнд олж авсан матрицуудыг эквивалент гэж нэрлэдэг.
Тэнцүү матрицууд ба эквивалент матрицууд нь огт өөр ойлголт гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.
Теорем. Хамгийн том тооматриц дахь шугаман бие даасан баганууд нь шугаман бие даасан мөрүүдийн тоотой тэнцүү байна.
Учир нь энгийн хувиргалт нь матрицын зэрэглэлийг өөрчлөхгүй бол матрицын зэрэглэлийг олох үйл явцыг ихээхэн хялбаршуулж болно.
Жишээ. Матрицын зэрэглэлийг тодорхойл.
2. Жишээ: Матрицын зэрэглэлийг тодорхойлно.
Хэрэв анхдагч хувиргалтыг ашиглан анхныхтай тэнцэх матрицыг олох боломжгүй, гэхдээ арай бага хэмжээтэй бол матрицын зэрэглэлийг олох нь хамгийн дээд эрэмбийн насанд хүрээгүй хүмүүсийг тооцоолох замаар эхлэх ёстой. Дээрх жишээнд эдгээр нь 3-р эрэмбийн насанд хүрээгүй хүмүүс юм. Хэрэв тэдгээрийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш бол матрицын зэрэглэл нь энэ бага зэргийн эрэмбтэй тэнцүү байна.
Минорын суурь дээрх теорем.
Теорем. Дурын А матрицын багана (мөр) бүр нь үндсэн минор байрлах багана (мөр)-ийн шугаман хослол юм.
Тиймээс зэрэглэл дурын матрицА нь матриц дахь шугаман бие даасан мөрүүдийн (баганын) хамгийн их тоотой тэнцүү байна.
Хэрэв А нь квадрат матриц бөгөөд det A = 0 бол баганын ядаж нэг нь үлдсэн баганын шугаман хослол болно. Мөрний хувьд ч мөн адил. Тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх үед шугаман хамаарлын шинж чанараас энэ мэдэгдэл гарч ирдэг.
Шугаман тэгшитгэлийн дурын системийг шийдвэрлэх
Дээр дурдсанчлан, матрицын аргаба Крамерын арга нь зөвхөн тэдгээр системд хамаарна шугаман тэгшитгэл, үүнд үл мэдэгдэх тоо нь тэгшитгэлийн тоотой тэнцүү байна. Дараа нь шугаман тэгшитгэлийн дурын системийг авч үзье.
Тодорхойлолт. n үл мэдэгдэх m тэгшитгэлийн систем ерөнхий үзэлдараах байдлаар бичигдсэн байна.
aij нь коэффициент, bi нь тогтмол. Системийн шийдлүүд нь n тоо бөгөөд тэдгээр нь системд орлуулснаар тэгшитгэл бүрийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг.
Тодорхойлолт. Хэрэв систем дор хаяж нэг шийдэлтэй бол түүнийг хамтарсан гэж нэрлэдэг. Хэрэв системд нэг шийдэл байхгүй бол түүнийг үл нийцэх гэж нэрлэдэг.
Тодорхойлолт. Хэрэв систем нь зөвхөн нэг шийдэлтэй бол тодорхойгүй, хэд хэдэн шийдэлтэй бол тодорхойгүй гэж нэрлэдэг.
Тодорхойлолт. Шугаман тэгшитгэлийн системийн хувьд матриц
A = нь системийн матриц ба матриц гэж нэрлэгддэг
A*= нь системийн өргөтгөсөн матриц гэж нэрлэгддэг
Тодорхойлолт. Хэрэв b1, b2, …,bm = 0 бол системийг нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг. нэгэн төрлийн системүргэлж хамтарсан, учир нь үргэлж тэг шийдэлтэй байдаг.
Анхан шатны системийн өөрчлөлтүүд
TO анхан шатны өөрчлөлтүүдҮүнд:
1) Нэг тэгшитгэлийн хоёр талд нөгөөгийн харгалзах хэсгүүдийг нэмж, тэгтэй тэнцүү биш ижил тоогоор үржүүлнэ.
2) Тэгшитгэлийг дахин зохион байгуулах.
3) Бүх x-ийн таних тэмдэг болох тэгшитгэлийг системээс хасах.
Кронекер-Капели теорем (системийн тууштай байдлын нөхцөл).
(Леопольд Кронекер (1823-1891) Германы математикч)
Теорем: Системийн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байвал систем тогтвортой байна (дор хаяж нэг шийдэлтэй).
Мэдээжийн хэрэг, системийг (1) хэлбэрээр бичиж болно.
Шинэ суурь руу шилжих.
(1) ба (2) нь ижил m хэмжээст шугаман X орон зайн хоёр суурь байг.
(1) нь суурь учир хоёр дахь суурийн векторуудыг үүнээс өргөтгөж болно.
Коэффициентуудаас бид матриц үүсгэдэг.
(4) – суурь (1)-ээс суурь (2) руу шилжих үед хувиргах матрицын координат.
Үүнийг вектор болго, тэгвэл (5) ба (6).
Харилцаа (7) нь үүнийг илэрхийлдэг
Р матриц нь доройтдоггүй, учир нь өөрөөр хэлбэл энэ нь байх болно шугаман хамааралбаганын хооронд, дараа нь векторуудын хооронд.
Мөн эсрэгээр нь үнэн юм: аливаа ганц бус матриц нь (8) томъёогоор тодорхойлогдсон координатын хувиргах матриц юм. Учир нь P нь ганц биш матриц, тэгвэл түүний урвуу байдаг. (8)-ын хоёр талыг үржүүлбэл: (9) болно.
X шугаман орон зайд сонгосон 3 суурь байг: (10), (11), (12).
Хаанаас, өөрөөр хэлбэл. (13).
Тэр. координатын дараалсан хувиргалтаар үүссэн хувиргалтын матриц нь бүрэлдэхүүн хэсгийн хувиргалтуудын матрицын үржвэртэй тэнцүү байна.
Шугаман оператор байж, X-д (I) ба (II), Y – (III) ба (IV) дээр хос сууриудыг сонгоё.
I – III суурийн хос A оператор нь тэгшитгэлд тохирч байна: (14). II – IV суурийн хос дахь ижил оператор нь тэгшитгэлд тохирч байна: (15). Тэр. Өгөгдсөн А операторын хувьд бид хоёр матрицтай ба. Бид тэдний хооронд хараат байдлыг бий болгомоор байна.
I-ээс III руу шилжих үед координатын хувиргах матрицыг P гэж үзье.
II-ээс IV руу шилжих үед координатын хувиргах матрицыг Q гэж үзье.
Дараа нь (16), (17). (16) ба (17)-ын илэрхийллүүдийг (14)-д орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
Энэ тэгш байдлыг (15)-тай харьцуулж үзвэл бид дараахь зүйлийг олж авна.
Харилцаа (19) нь ижил операторын матрицыг өөр өөр сууринд холбодог. X ба Y орон зай давхцаж байгаа тохиолдолд, III үүрэгсуурь нь I, IV – II тоглодог бол (19) хамаарал нь дараах хэлбэртэй болно.
Ном зүй:
3. Кострикин А.И. Алгебрийн танилцуулга. II хэсэг. Алгебрийн үндэс: их дээд сургуулийн сурах бичиг, -М. : Физик-математикийн уран зохиол, 2000, 368 х.
Лекц No16 (II улирал)
Сэдэв: Шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлматрицын эквивалент.
Ижил хэмжээтэй хоёр матрицыг A ба B гэж нэрлэдэг тэнцүү, хэрэв R ба S хоёр ганц бус матриц байгаа бол (1).
Жишээ:Суурийн өөр өөр сонголтуудын хувьд ижил операторт тохирох хоёр матриц шугаман орон зай x X ба Y нь тэнцүү байна.
Дээрх тодорхойлолтыг ашиглан ижил хэмжээтэй бүх матрицын олонлог дээр тодорхойлсон хамаарал нь эквивалент хамаарал болох нь тодорхой байна.
Теорем 8: Ижил хэмжээтэй хоёр тэгш өнцөгт матриц тэнцүү байхын тулд тэдгээр нь ижил зэрэгтэй байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.
Нотолгоо:
1. А ба В нь утга учиртай хоёр матриц байг. Бүтээгдэхүүний зэрэглэл (С матриц) нь хүчин зүйл бүрийн зэрэглэлээс өндөргүй байна.
С матрицын k-р багана нь А матрицын баганын векторуудын шугаман хослол бөгөөд энэ нь С матрицын бүх баганад хамаарна гэдгийг бид харж байна. хүн бүрт. Тэр. , өөрөөр хэлбэл – шугаман орон зайн дэд орон зай.
Дэд орон зайн хэмжээ нь орон зайн хэмжээнээс бага буюу тэнцүү байх тул С матрицын зэрэглэл нь А матрицын зэрэглэлээс бага буюу тэнцүү байна.
Тэнцвэрт (2) бид i индексийг засч, k-д 1-ээс s хүртэлх бүх боломжит утгыг онооно. Дараа нь бид (3) системтэй төстэй тэгш байдлын системийг олж авна.
Тэнцүү байдлаас (4) тодорхой байна i-р мөрМатриц С нь бүх i-ийн хувьд В матрицын эгнээний шугаман хослол бөгөөд дараа нь С матрицын эгнээгээр дамжсан шугаман их бие нь В матрицын эгнээгээр дамжсан шугаман их бие дотор агуулагдаж, дараа нь түүний хэмжээс. шугаман бүрхүүлнь В матрицын эгнээний векторуудын шугаман их биеийн хэмжээсээс бага буюу тэнцүү байх ба энэ нь С матрицын зэрэглэл нь В матрицын зэрэглэлээс бага буюу тэнцүү байна гэсэн үг.
2. Зүүн ба баруун талд байгаа А матрицын цорын ганц биш квадрат матриц Q-ийн үржвэрийн зэрэглэл нь А матрицын зэрэгтэй тэнцүү байна.(). Тэдгээр. С матрицын зэрэг нь А матрицын зэрэгтэй тэнцүү байна.
Нотолгоо:Тохиолдолд нотлогдсон зүйлийн дагуу (1). Q матриц нь ганц бие биш тул түүний хувьд байдаг: мөн өмнөх мэдэгдэлд нотлогдсоны дагуу.
3. Хэрэв матрицууд тэнцүү бол тэдгээр нь ижил зэрэгтэй байна гэдгийг баталцгаая. Тодорхойлолтоор R ба S байвал A ба B нь тэнцүү байна. Зүүн талд байгаа A-г R-ээр, баруун талд нь S-ээр үржүүлснээр ижил зэрэглэлийн матрицууд гарах тул (2)-д нотлогдсон тул А-ын зэрэглэл нь В-ийн зэрэгтэй тэнцүү байна.
4. А ба В матрицууд ижил зэрэгтэй байг. Тэдгээр нь тэнцүү гэдгийг баталцгаая. Ингээд авч үзье.
X ба Y нь суурь (Х суурь) ба (Ү суурь) сонгосон хоёр шугаман орон зай байг. Мэдэгдэж байгаагаар аливаа хэлбэрийн матриц нь X-ээс Y хүртэлх тодорхой шугаман операторыг тодорхойлдог.
r нь А матрицын зэрэглэлтэй тул яг r векторуудын дунд шугаман хамааралгүй байна. Ерөнхий байдлыг алдагдуулахгүйгээр эхний r векторууд шугаман бие даасан байна гэж үзэж болно. Дараа нь бусад бүх зүйлийг шугаман байдлаар илэрхийлж болох бөгөөд бид дараахь зүйлийг бичиж болно.
X орон зайд шинэ суурийг дараах байдлаар тодорхойлъё: . (7)
Y орон зай дахь шинэ суурь нь дараах байдалтай байна.
Нөхцөлөөр векторууд шугаман бие даасан байдаг. Y: (8) суурь дээр тэдгээрийг зарим вектороор нэмж оруулъя. Тэгэхээр (7) ба (8) нь X ба Y хоёр шинэ суурь юм. Эдгээр сууриудаас А операторын матрицыг олъё:
Тэгэхээр шинэ хос суурийн хувьд А операторын матриц нь J матриц юм. А матриц нь анх r зэрэглэлийн дурын тэгш өнцөгт матриц байсан. Нэг операторын өөр өөр суурь дахь матрицууд эквивалент байдаг тул энэ нь төрөл ба r зэрэглэлийн дурын тэгш өнцөгт матриц нь J-тэй тэнцүү болохыг харуулж байна. Нэгэнт бид эквивалент хамаарлыг авч үзэж байгаа тул энэ нь ямар ч хоёр матриц А ба В төрлийн болон r зэрэг нь J матрицтай тэнцүү байх нь хоорондоо тэнцүү байна.
Ном зүй:
1. Воеводин В.В. Шугаман алгебр. Санкт-Петербург: Лан, 2008, 416 х.
2. Беклемишев Д.В аналитик геометрТэгээд шугаман алгебр. М.: Физматлит, 2006, 304 х.
3. Кострикин А.И. Алгебрийн танилцуулга. II хэсэг. Алгебрийн үндэс: их дээд сургуулийн сурах бичиг, -М. : Физик-математикийн уран зохиол, 2000, 368 х.
Лекц No17 (II улирал)
Сэдэв: Хувийн үнэ цэнэ ба хувийн векторууд. Өөрийн гэсэн дэд орон зай. Жишээ.
