Матрицын каноник хэлбэр. Каноник хэлбэрт оруулах

Тодорхойлолт.Олон гишүүнт матриц эсвэл -матриц нь нэг хувьсагчийн элементүүд нь олон гишүүнт байдаг тэгш өнцөгт матриц юм. тоон коэффициентүүдтэй.

Дууслаа -матрицууд нь элементар хувиргалтыг хийж чаддаг. Үүнд:

Хоёр - матрицууд
Тэгээд
ижил хэмжээтэйэквивалент гэж нэрлэдэг:
, матрицаас авсан бол
руу
хамт явж болно хязгаарлагдмал тоо анхан шатны өөрчлөлтүүд.

Жишээ.Матрицын эквивалентыг батлах

Шийдэл.

.

.

Хоёрдахь мөрийг (-1)-ээр үржүүлээд анзаараарай

.

.

Бүгдээрээ зөндөө -өгөгдсөн хэмжээтэй матрицууд
салангид ангиудад хуваагддаг эквивалент матрицууд. Өөр хоорондоо эквивалент матрицууд нэг анги, тэнцүү биш нь өөр анги үүсгэдэг.

Эквивалент матрицын анги бүр нь каноник буюу хэвийн, -өгөгдсөн хэмжээтэй матриц.

Тодорхойлолт.Каноник эсвэл хэвийн, -хэмжээний матриц
дуудсан -гол диагональ дээр олон гишүүнт бүхий матриц, хаана r- тооноос бага байх тусмаа мТэгээд n (
), тэгтэй тэнцүү биш олон гишүүнтүүдийн тэргүүлэх коэффициент нь 1-тэй тэнцүү байх ба дараагийн олон гишүүнт бүрийг өмнөхтэй нь хуваана. Үндсэн диагональаас гадуурх бүх элементүүд 0 байна.

Тодорхойлолтоос харахад хэрэв олон гишүүнтүүдийн дунд тэг зэрэгтэй олон гишүүнт байгаа бол тэдгээр нь үндсэн диагональын эхэнд байна. Хэрэв тэг байгаа бол тэдгээр нь үндсэн диагоналын төгсгөлд байна.

Матриц
өмнөх жишээ бол каноник юм. Матриц

бас каноник.

Анги бүр -матриц нь өвөрмөц каноникийг агуулдаг -матриц, өөрөөр хэлбэл. тус бүр - матриц нь өвөрмөц каноник матрицтай тэнцэх бөгөөд үүнийг каноник хэлбэр гэж нэрлэдэг. хэвийн хэлбэрэнэ матрицын.

Өгөгдсөн зүйлийн каноник хэлбэрийн үндсэн диагональ дээрх олон гишүүнтүүд -матрицыг өгөгдсөн матрицын инвариант хүчин зүйл гэнэ.

Инвариант хүчин зүйлийг тооцоолох аргуудын нэг нь өгөгдсөнийг багасгах явдал юм -матрицууд каноник хэлбэр.

Тиймээс матрицын хувьд
өмнөх жишээний хувьд өөрчлөгддөггүй хүчин зүйлүүд юм

,
,
,
.

Дээрхээс үзэхэд ижил хувьсах хүчин зүйлүүд байгаа нь эквивалентийн зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл юм. - матрицууд

авчирч байна - матрицууд каноник хэлбэринвариант хүчин зүйлсийг тодорхойлох хүртэл бууруулна

,
;
,

Хаана r- зэрэглэл - матрицууд;
- хамгийн том нийтлэг хуваагчнасанд хүрээгүй хүүхдүүд к-1-тэй тэнцүү тэргүүлэх коэффициентээр авсан --р дараалал.

Жишээ.Өгчихье - матриц

.

Шийдэл.Эхний эрэмбийн хамгийн том нийтлэг хуваагч нь ойлгомжтой Д 1 =1, өөрөөр хэлбэл.
.

Хоёрдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг тодорхойлъё:

Зөвхөн энэ өгөгдөл нь дараахь дүгнэлтийг хийхэд хангалттай. Д 2 =1, тиймээс,
.

Бид тодорхойлдог Д 3

,

Тиймээс,
.

Тиймээс энэхүү матрицын каноник хэлбэр нь дараах байдалтай байна - матриц:

.

Матрицын олон гишүүнт нь хэлбэрийн илэрхийлэл юм

Хаана - хувьсагч;
– тоон элементтэй n дарааллын квадрат матрицууд.

Хэрэв
, Тэр Сзэрэг гэж нэрлэдэг матрицын олон гишүүнт, n– матрицын олон гишүүнтийн дараалал.

Би квадратад дуртай -матрицыг матрицын олон гишүүнт хэлбэрээр илэрхийлж болно. Мэдээжийн хэрэг, эсрэг заалт нь бас үнэн юм, i.e. Ямар ч матрицын олон гишүүнт квадрат хэлбэрээр дүрслэгдэж болно - матрицууд.

Эдгээр мэдэгдлийн үнэн зөв нь матриц дээрх үйлдлүүдийн шинж чанаруудаас тодорхой харагдаж байна. Дараах жишээнүүдийг харцгаая.

Жишээ.Олон гишүүнт матрицыг төлөөл

матрицын олон гишүүнт хэлбэрээр дараах байдлаар

.

Жишээ.Матрицын олон гишүүнт

дараах олон гишүүнт матрицаар төлөөлүүлж болно ( - матрицууд)

.

Матрицын олон гишүүнт ба олон гишүүнт матрицуудын энэхүү харилцан солилцоо нь хүчин зүйл ба бүрэлдэхүүн хэсгийн шинжилгээний аргуудын математик аппаратад чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.

Ижил эрэмбэтэй матрицын олон гишүүнтийг тоон коэффициенттэй энгийн олон гишүүнтүүдийн нэгэн адил нэмэх, хасах, үржүүлэх боломжтой. Гэхдээ ерөнхийдөө матрицын олон гишүүнтүүдийг үржүүлэх нь солигддоггүй гэдгийг санах нь зүйтэй. Матрицын үржүүлэх нь солигддоггүй.

Хоёр матрицын олон гишүүнт коэффициент нь тэнцүү бол тэдгээрийг тэнцүү гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл. хувьсагчийн ижил зэрэглэлийн харгалзах матрицууд .

Хоёр матрицын олон гишүүнтийн нийлбэр (ялгаа).
Тэгээд
нь хувьсагчийн зэрэглэл бүрийн коэффициент нь матрицын олон гишүүнт юм нийлбэртэй тэнцүү байнаижил зэрэгтэй коэффициентүүдийн (ялгаа). олон гишүүнтэд
Тэгээд
.

Матрицын олон гишүүнтийг үржүүлэх
матрицын олон гишүүнт рүү
, танд матрицын олон гишүүнт гишүүн бүр хэрэгтэй
матрицын олон гишүүнт гишүүн бүрээр үржүүлнэ
, үүссэн бүтээгдэхүүнийг нэмж, ижил төстэй нэр томъёог авчирна.

Матрицын олон гишүүнтийн зэрэг - үржвэр

хүчин зүйлсийн чадлын нийлбэрээс бага буюу тэнцүү байна.

Матрицын олон гишүүнт дээрх үйлдлүүдийг харгалзах үйлдлүүдийг ашиглан хийж болно - матрицууд.

Матрицын олон гишүүнтүүдийг нэмэх (хасах) тулд харгалзах тоог нэмэх (хасах) хангалттай. - матрицууд. Үржүүлэхэд мөн адил хамаарна. -матрицын олон гишүүнтүүдийн үржвэрийн матриц үржвэртэй тэнцүү байна - хүчин зүйлийн матрицууд.

Жишээ.

Нөгөө талд
Тэгээд
хэлбэрээр бичиж болно

Матрицын үржвэр нь солигддоггүй тул матрицын олон гишүүнтүүдийн хувьд үлдсэн хэсэгтэй хоёр хуваагдлыг тодорхойлдог - баруун ба зүүн.

n дарааллын хоёр матриц олон гишүүнтийг өгье

Хаана IN 0 нь ганц биш матриц юм.

Хуваах үед
дээр
өвөрмөц зөв коэффициент байдаг
ба баруун үлдэгдэл

зэрэг хаана байна Р 1 бага зэрэг
, эсвэл
(үлдэгдэлгүй хуваах), мөн зүүн хэсэг
болон үлдсэн үлдэгдэл

зэрэг хаана байна
бага зэрэг
, эсвэл
=0 (үлдэгдэлгүй хуваах).

Безоутын ерөнхий теорем.Матрицын олон гишүүнтийг хуваах үед
олон гишүүнт рүү
баруун үлдэгдэл нь ногдол ашгийн зөв дүнтэй тэнцүү байна
цагт
, өөрөөр хэлбэл матриц

ба зүүн үлдэгдэл - ногдол ашгийн зүүн утга
цагт
, өөрөөр хэлбэл матриц

Баталгаа.Томъёо (3.4.1) ба (3.4.2) хоёулангийнх нь хүчин төгөлдөр байдлын нотолгоог шууд орлуулах замаар ижил аргаар гүйцэтгэнэ. Тэдгээрийн нэгийг нотолж үзье.

Тэгэхээр ногдол ашиг
, хуваагч -
, категорийн хувьд бидэнд олон гишүүнт байна

Бүтээгдэхүүнээ тодорхойлъё
:

эсвэл

Q.E.D.

Үр дагавар.
баруунаас (зүүн) олон гишүүнт хуваагдана
дараа нь, зөвхөн хэзээ
0-тэй тэнцүү.

Жишээ.Матрицын олон гишүүнт гэдгийг харуул

матрицын олон гишүүнт хуваагддаг
,

Хаана
, үлдэгдэлгүй үлдсэн.

Шийдэл.Үнэхээр тэгш байдал нь үнэн юм

Хаана

Зүүн үлдэгдэлийн утгыг Безутын теоремоор тооцоолъё

Матриц бол математикийн тусгай объект юм. Тэгш өнцөгт хэлбэрээр эсвэл үзүүлэв дөрвөлжин ширээ, бүрдсэн тодорхой тоомөр ба багана. Математикийн хувьд хэмжээ, агуулгын хувьд янз бүрийн төрлийн матрицууд байдаг. Түүний мөр, баганын тоог захиалга гэж нэрлэдэг. Эдгээр объектуудыг математикт системийн бичлэгийг зохион байгуулахад ашигладаг шугаман тэгшитгэлмөн тэдний үр дүнг хайхад тохиромжтой. Матриц ашиглан тэгшитгэлийг Карл Гаусс, Габриэль Крамер, насанд хүрээгүй хүмүүс ба алгебрийн нэмэлтүүд, түүнчлэн бусад олон арга замаар. Матрицтай ажиллах үндсэн ур чадвар бол үүнийг багасгах явдал юм стандарт харагдах байдал. Гэхдээ эхлээд математикчид ямар төрлийн матрицуудыг ялгаж салгадгийг олж мэдье.

Тэг төрөл

Энэ төрлийн матрицын бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь тэг байна. Үүний зэрэгцээ түүний мөр, баганын тоо огт өөр байна.

Дөрвөлжин төрөл

Энэ төрлийн матрицын багана, мөрийн тоо ижил байна. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь "дөрвөлжин" хэлбэртэй ширээ юм. Түүний баганын (эсвэл мөр) тоог захиалга гэж нэрлэдэг. Онцгой тохиолдлуудад хоёр дахь эрэмбийн матриц (2х2 матриц) байгаа эсэх, дөрөв дэх дараалал(4х4), арав (10х10), арван долоо (17х17) гэх мэт.

Баганын вектор

Энэ бол хамгийн энгийн матрицуудын нэг бөгөөд зөвхөн нэг баганыг агуулдаг бөгөөд үүнд гурван багана багтдаг тоон утгууд. Тэр цувралыг төлөөлдөг чөлөөт гишүүд(хувьсагчаас үл хамаарах тоонууд) шугаман тэгшитгэлийн системд.

Өмнөхтэй төстэй байдлаар харах. Гурван тоон элементээс бүрдэх ба эргээд нэг мөрөнд зохион байгуулагдсан.

Диагональ төрөл

Матрицын диагональ хэлбэрийн тоон утгууд нь зөвхөн үндсэн диагональ (тодруулсан) бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг авдаг. ногоон). Үндсэн диагональ нь баруун талд байрлах элементээс эхэлдэг дээд булан, мөн гурав дахь эгнээний гурав дахь баганад тоогоор төгсдөг. Үлдсэн бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь тэгтэй тэнцүү байна. Диагональ төрөл нь зөвхөн тодорхой дарааллын квадрат матриц юм. Диагональ матрицуудын дотроос скалярыг ялгаж болно. Түүний бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг авдаг ижил утгууд.

Диагональ матрицын дэд төрөл. Тэр бүгд тоон утгууднэгж юм. Нэг төрлийн матрицын хүснэгтийг ашиглан түүний үндсэн хувиргалтыг хийх эсвэл анхныхаас урвуу матрицыг олдог.

Каноник төрөл

Матрицын каноник хэлбэрийг гол хэлбэрүүдийн нэг гэж үздэг; Үүнийг багасгах нь ихэвчлэн ажилд шаардлагатай байдаг. Мөр ба баганын тоо каноник матрицөөр, энэ нь заавал хамаарахгүй дөрвөлжин төрөл. Энэ нь таних матрицтай зарим талаараа төстэй боловч түүний тохиолдолд үндсэн диагональ бүх бүрэлдэхүүн хэсэг нь нэгтэй тэнцүү утгыг авдаггүй. Хоёр буюу дөрвөн үндсэн диагональ нэгж байж болно (энэ нь бүгд матрицын урт, өргөнөөс хамаарна). Эсвэл огт нэгж байхгүй байж болно (тэгвэл үүнийг тэг гэж үзнэ). Каноник хэлбэрийн үлдсэн бүрэлдэхүүн хэсгүүд, диагональ ба нэгжийн элементүүд нь тэгтэй тэнцүү байна.

Гурвалжин төрөл

Матрицын хамгийн чухал төрлүүдийн нэг нь тодорхойлогчийг хайх, энгийн үйлдлүүдийг гүйцэтгэхэд ашиглагддаг. Гурвалжин хэлбэр нь диагональ төрлөөс гаралтай тул матриц нь мөн дөрвөлжин хэлбэртэй байна. Гурвалжин матрицыг дээд гурвалжин ба доод гурвалжинд хуваана.

Дээд гурвалжин матрицад (Зураг 1) зөвхөн үндсэн диагональаас дээш байгаа элементүүд тэгтэй тэнцүү утгыг авна. Диагональ өөрөө болон түүний доор байрлах матрицын хэсэг нь тоон утгыг агуулдаг.

Доод гурвалжин матрицад (Зураг 2) эсрэгээр матрицын доод хэсэгт байрлах элементүүд нь тэгтэй тэнцүү байна.

Харагдах байдал нь матрицын зэрэглэлийг олох, түүнчлэн тэдгээрийн үндсэн үйлдлүүдэд (хамт гурвалжин төрөл). Алхам матриц нь тэгийн шинж чанартай "алхмууд" (зурагт үзүүлсэн шиг) агуулсан тул ийм нэртэй болсон. Алхам хэлбэрийн хувьд тэг диагональ үүсдэг (үндсэн байх албагүй) бөгөөд энэ диагональ доорх бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү утгатай байна. Урьдчилсан нөхцөл нь дараах байдалтай байна: хэрэв in алхам матрицХэрэв тэг шугам байгаа бол түүний доор үлдсэн мөрүүд нь тоон утгыг агуулаагүй болно.

Тиймээс бид харлаа хамгийн чухал төрлүүдТэдэнтэй ажиллахад шаардлагатай матрицууд. Одоо матрицыг шаардлагатай хэлбэрт шилжүүлэх асуудлыг авч үзье.

Гурвалжин хэлбэрт оруулах

Матрицыг хэрхэн гурвалжин хэлбэрт оруулах вэ? Ихэнх тохиолдолд даалгаврын хувьд тодорхойлогчийг олохын тулд матрицыг гурвалжин хэлбэрт шилжүүлэх шаардлагатай байдаг, өөрөөр хэлбэл тодорхойлогч гэж нэрлэдэг. Энэ процедурыг гүйцэтгэхдээ гурвалжин матрицын тодорхойлогч нь түүний үндсэн диагональын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү тул матрицын үндсэн диагональыг "хадгалах" нь маш чухал юм. Тодорхойлогчийг олох өөр аргуудыг мөн эргэн санацгаая. Квадрат хэлбэрийн тодорхойлогчийг тусгай томьёо ашиглан олно. Жишээлбэл, та гурвалжингийн аргыг ашиглаж болно. Бусад матрицуудын хувьд мөр, багана эсвэл тэдгээрийн элементүүдээр задлах аргыг ашигладаг. Та мөн бага ба алгебрийн матрицын нэмэгдлийн аргыг ашиглаж болно.

Зарим даалгаврын жишээг ашиглан матрицыг гурвалжин хэлбэрт оруулах үйл явцыг нарийвчлан шинжлэхийг үзье.

Даалгавар 1

Гурвалжин хэлбэрт оруулах аргыг ашиглан танилцуулсан матрицын тодорхойлогчийг олох шаардлагатай.

Бидэнд өгөгдсөн матриц бол 3-р эрэмбийн квадрат матриц юм. Тиймээс үүнийг хөрвүүлэх гурвалжин хэлбэртэйбид эхний баганын хоёр бүрэлдэхүүн хэсэг, хоёр дахь баганын нэг бүрэлдэхүүн хэсгийг тэг болгох хэрэгтэй.

Гурвалжин хэлбэрт оруулахын тулд бид хувиргалтыг матрицын зүүн доод булангаас эхлүүлнэ - 6-р тооноос. Үүнийг тэг болгохын тулд эхний мөрийг гурваар үржүүлж, сүүлчийн эгнээнээс хасах хэрэгтэй.

Чухал! Дээд эгнээ өөрчлөгдөхгүй, гэхдээ анхны матрицтай ижил хэвээр байна. Анхныхаас дөрөв дахин том мөр бичих шаардлагагүй. Гэхдээ бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тэг болгох шаардлагатай мөрүүдийн утгууд байнга өөрчлөгдөж байдаг.

Үлдсэн бүх зүйл сүүлчийн утга- хоёр дахь баганын гурав дахь эгнээний элемент. Энэ бол тоо (-1). Үүнийг тэг болгохын тулд эхний мөрөөс хоёр дахь хэсгийг хасах хэрэгтэй.

Шалгацгаая:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Энэ нь даалгаврын хариулт -22 гэсэн үг юм.

Даалгавар 2

Гурвалжин хэлбэрт оруулан матрицын тодорхойлогчийг олох шаардлагатай.

Үзүүлсэн матриц нь квадрат төрөлд хамаарах ба дөрөв дэх эрэмбийн матриц юм. Энэ нь эхний баганын гурван бүрэлдэхүүн хэсэг, хоёр дахь баганын хоёр бүрэлдэхүүн хэсэг, гурав дахь баганын нэг бүрэлдэхүүн хэсгийг тэг болгох шаардлагатай гэсэн үг юм.

Үүнийг зүүн доод буланд байрлах элементээс хөрвүүлж эхэлцгээе - 4-р тооноос. Бид буцаах хэрэгтэй. өгсөн дугаартэг хүртэл. Үүнийг хийх хамгийн хялбар арга бол дээд мөрийг дөрөвөөр үржүүлж, дөрөв дэхээс хасах явдал юм. Өөрчлөлтийн эхний шатны үр дүнг бичье.

Тиймээс дөрөв дэх эгнээний бүрэлдэхүүнийг тэг болгож тохируулсан. Гурав дахь мөрийн эхний элемент рүү 3 дугаар руу шилжье. Бид ижил төстэй үйлдлийг гүйцэтгэдэг. Бид эхний мөрийг гурваар үржүүлж, гурав дахь мөрөөс хасаад үр дүнг бичнэ.

Бид энэ квадрат матрицын эхний баганын бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тэг болгож чадсан бөгөөд 1-р тооноос бусад нь хувиргах шаардлагагүй үндсэн диагональ элемент юм. Одоо гарч ирсэн тэгүүдийг хадгалах нь чухал тул бид багана биш, харин мөрөөр хувиргах болно. Танилцуулсан матрицын хоёр дахь багана руу шилжье.

Доод талаас нь дахин эхлүүлье - сүүлчийн эгнээний хоёр дахь баганын элементээр. Энэ тоо (-7). Гэсэн хэдий ч, онд энэ тохиолдолдГурав дахь эгнээний хоёр дахь баганын элемент болох (-1) тоогоор эхлэх нь илүү тохиромжтой. Үүнийг тэг болгохын тулд гурав дахь мөрөөс хоёр дахь хэсгийг хасах хэрэгтэй. Дараа нь бид хоёр дахь мөрийг долоогоор үржүүлж, дөрөв дэх мөрийг хасна. Хоёрдахь баганын дөрөв дэх мөрөнд байрлах элементийн оронд бид тэг авсан. Одоо гурав дахь багана руу шилжье.

Энэ баганад бид зөвхөн нэг тоог тэг рүү эргүүлэх хэрэгтэй - 4. Үүнийг хийхэд хэцүү биш: зүгээр л нэмнэ үү. сүүлчийн мөргурав дахь нь бидэнд хэрэгтэй тэгийг хардаг.

Бүх өөрчлөлтийг хийсний дараа бид санал болгож буй матрицыг гурвалжин хэлбэрт оруулав. Одоо түүний тодорхойлогчийг олохын тулд үндсэн диагональын үр дүнд үүссэн элементүүдийг үржүүлэхэд л хангалттай. Бид авах: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160.Тиймээс шийдэл нь 160 байна.

Тиймээс одоо матрицыг гурвалжин хэлбэрт оруулах тухай асуудал танд төвөг учруулахгүй.

Шат шаталсан хэлбэр болгон бууруулж байна

Матриц дээрх энгийн үйлдлүүдийн хувьд шаталсан хэлбэр нь гурвалжин хэлбэрээс бага "эрэлттэй" байдаг. Энэ нь ихэвчлэн матрицын зэрэглэлийг (өөрөөр хэлбэл, тэг биш мөрүүдийн тоо) олох эсвэл шугаман хамааралтай ба бие даасан мөрүүдийг тодорхойлоход ашиглагддаг. Гэсэн хэдий ч шаталсан матрицын төрөл нь илүү түгээмэл байдаг, учир нь энэ нь зөвхөн дөрвөлжин хэлбэрт төдийгүй бусад бүх хүмүүст тохиромжтой.

Матрицыг алхам алхмаар хэлбэрт оруулахын тулд эхлээд тодорхойлогчийг олох хэрэгтэй. Дээрх аргууд нь үүнд тохиромжтой. Тодорхойлогчийг олох зорилго нь түүнийг алхам матриц руу хөрвүүлэх боломжтой эсэхийг олж мэдэх явдал юм. Тодорхойлогч нь их бол эсвэл тэгээс бага, тэгвэл та даалгавраа аюулгүйгээр эхлүүлж болно. Хэрэв тэр тэгтэй тэнцүү, матрицыг алхам алхмаар хэлбэрт оруулах боломжгүй болно. Энэ тохиолдолд та бичлэг эсвэл матрицын хувиргалтанд алдаа байгаа эсэхийг шалгах хэрэгтэй. Хэрэв ийм алдаа байхгүй бол даалгаврыг шийдэж чадахгүй.

Хэд хэдэн даалгаврын жишээг ашиглан матрицыг хэрхэн алхам алхмаар хэлбэрт оруулахыг харцгаая.

Даалгавар 1.Өгөгдсөн матрицын хүснэгтийн зэрэглэлийг ол.

Бидний өмнө квадрат матрицгурав дахь дараалал (3х3). Зэрэглэлийг олохын тулд шат дараалсан хэлбэрт оруулах шаардлагатай гэдгийг бид мэднэ. Тиймээс эхлээд матрицын тодорхойлогчийг олох хэрэгтэй. Гурвалжингийн аргыг ашиглая: detA = (1 х 5 х 0) + (2 х 1 х 2) + (6 х 3 х 4) - (1 х 1 х 4) - (2 х 3 х 0) - (6 х 5 х 2) = 12.

Тодорхойлогч = 12. Тэр тэгээс их, энэ нь матрицыг алхам алхмаар хэлбэрт оруулж болно гэсэн үг юм. Үүнийг хувиргаж эхэлцгээе.

Гурав дахь мөрийн зүүн баганын элементээр эхэлье - тоо 2. Дээд мөрийг хоёроор үржүүлж, гурав дахь хэсгээс нь хас. Энэ үйлдлийн ачаар бидэнд хэрэгтэй элемент болон 4-р тоо - гурав дахь эгнээний хоёр дахь баганын элемент - тэг болж хувирав.

Буурсны үр дүнд гурвалжин матриц үүссэнийг бид харж байна. Үлдсэн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тэг болгож бууруулах боломжгүй тул бидний тохиолдолд бид хувиргалтыг үргэлжлүүлж чадахгүй.

Энэ нь бид энэ матриц дахь тоон утгыг агуулсан мөрүүдийн тоо (эсвэл түүний зэрэглэл) 3 байна гэж дүгнэж байна гэсэн үг юм. Даалгаврын хариулт: 3.

Даалгавар 2.Энэ матрицын шугаман бие даасан мөрүүдийн тоог тодорхойл.

Бид ямар ч хувиргалтаар тэг рүү хөрвүүлэх боломжгүй мөрүүдийг олох хэрэгтэй. Үнэн хэрэгтээ бид тэг биш мөрүүдийн тоог эсвэл танилцуулсан матрицын зэрэглэлийг олох хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд үүнийг хялбаршуулж үзье.

Бид квадрат төрөлд хамаарахгүй матрицыг харж байна. Энэ нь 3х4 хэмжээтэй. Мөн бууралтыг зүүн доод булангийн элемент - тоо (-1) -ээр эхлүүлье.

Түүний цаашдын өөрчлөлт нь боломжгүй юм. Энэ нь бид шугаман бие даасан шугамын тоо, даалгаврын хариулт 3 байна гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн гэсэн үг юм.

Одоо матрицыг шаталсан хэлбэр болгон багасгах нь таны хувьд боломжгүй ажил биш юм.

Эдгээр даалгаврын жишээнүүдийг ашиглан бид матрицыг гурвалжин болон шаталсан хэлбэр болгон бууруулахыг судалсан. Үүнийг тэг болгохын тулд шаардлагатай утгуудматриц хүснэгтүүд, in зарим тохиолдолдта өөрийн төсөөллийг ашиглаж, тэдгээрийн багана эсвэл мөрийг зөв хөрвүүлэх хэрэгтэй. Математик болон матрицтай ажиллахад амжилт хүсье!

Хэсэг 3. Матрицууд

3.1 Үндсэн ойлголтууд

Матрицагуулсан тоонуудын тэгш өнцөгт хүснэгт юм Тижил урттай утаснууд (эсвэл nижил урттай баганууд). Матрицыг дараах байдлаар бичнэ.

эсвэл товчхондоо
, Хаана
(тэдгээр.
) - мөрийн дугаар,
(тэдгээр.
) – баганын дугаар.

Матриц Аматриц гэж нэрлэдэг хэмжээ
мөн бичих
. Тоонууд , матрицын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг түүний элементүүд.Зүүн дээд булангийн диагональ дээрх элементүүд нь үндсэн диагональ үүсгэдэг.

Жишээ 1.Элемент
нь 1-р мөр, 2-р баганад байрладаг ба элемент 3-р мөр ба 1-р баганад байна.

Жишээ 2.Матриц
хэмжээтэй байна
, 2 мөр, 4 багана агуулсан тул. Матриц
хэмжээтэй байна
, 3 мөр, 2 багана агуулсан тул.

Матрицууд тэнцүү байнаХэрэв тэд тэнцүү бол бие биедээ Бүгдэдгээр матрицуудын харгалзах элементүүд, i.e.
, Хэрэв
, Хаана
,
.

Мөрний тоо нь баганын тоотой тэнцүү байх матрицыг дуудна дөрвөлжин. Квадрат хэмжээтэй матриц
матриц гэж нэрлэдэг n-р дараалал.

Жишээ 3.Матрицууд Тэгээд жишээ 2-ыг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг. Матриц
3-р эрэмбийн квадрат матриц юм. Энэ нь 3 мөр, 3 багана агуулдаг.

Үндсэн диагональ дээрх элементүүдээс бусад бүх элементүүд нь тэгтэй тэнцүү байх квадрат матрицыг нэрлэдэг диагональ. Үндсэн диагональын элемент бүр нэгтэй тэнцүү байх диагональ матриц гэж нэрлэдэг ганц бие.Үсгээр тэмдэглэсэн Э.

Жишээ 4.
– 3-р эрэмбийн нэгж матриц.

Квадрат матриц гэж нэрлэдэг гурвалжин, хэрэв үндсэн диагональ нэг талд байрлах бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү бол. Элементүүд нь бүгд тэг байх матрицыг нэрлэдэг null. Үсгээр тэмдэглэсэн ТУХАЙ.

Матрицын тооцоололд матрицууд ТУХАЙТэгээд Эарифметикт 0 ба 1-ийн үүргийг гүйцэтгэнэ.

,
.

Хэмжээ матриц
, нэг тооноос бүрдэх нь энэ тоогоор тодорхойлогддог, i.e.
5 байна.

Мөр бүрийг ижил тоотой баганаар сольсноор өгөгдсөн матрицыг матриц гэнэ. шилжүүлсэнэнэ рүү. Томилогдсон
. Тэгэхээр, хэрэв
, Тэр
Хэрэв
, Тэр
. Шилжүүлсэн матриц нь дараах шинж чанартай байдаг.
.

3.2 Матриц дээрх үйлдлүүд

Нэмэлт

Матриц нэмэх үйлдлийг зөвхөн ижил хэмжээтэй матрицуудад нэвтрүүлсэн.

Хоёр матрицын нийлбэр
Тэгээд
матриц гэж нэрлэдэг
тиймэрхүү
(
,
).

Жишээ 5. .

Матрицын зөрүүг ижил төстэй байдлаар тодорхойлно.

Тооноор үржүүлэх

Матрицын бүтээгдэхүүн
тоо бүртк матриц гэж нэрлэдэг
тиймэрхүү б ij = ка ij (би=
, j=).

Жишээ 6.
,
,
.

Матриц
дуудсан эсрэг матриц А.

Матрицын ялгаа
дараах байдлаар тодорхойлж болно.
.

Матриц нэмэх, матрицыг тоогоор үржүүлэх үйлдлүүд дараах байдалтай байна шинж чанарууд:

Хаана А, IN, ХАМТ- матрицууд, α Тэгээд β - тоо.

Элементар матрицын хувиргалт

Элементар матрицын хувиргалтнь:

матрицын хоёр зэрэгцээ мөрийг солих;

матрицын эгнээний бүх элементүүдийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх;

матрицын цувааны бүх элементүүдэд зэрэгцээ цувааны харгалзах элементүүдийг нэмж, ижил тоогоор үржүүлнэ.

Хоёр матриц АТэгээд INгэж нэрлэдэг тэнцүү, хэрэв тэдгээрийн аль нэгийг нөгөөгөөсөө элементар хувиргалтыг ашиглан авсан бол. А~IN.

Бичлэг хийсэн Энгийн хувиргалтуудыг ашиглан аливаа матрицыг үндсэн диагональын эхэнд хэд хэдэн нэг эгнээнд байх ба бусад бүх элементүүд нь тэгтэй тэнцүү байх матриц болгон бууруулж болно. Ийм матрицыг нэрлэдэгканоник
.

, Жишээ ньЖишээ 7.
.

Матрицыг каноник хэлбэрт оруул

Шийдэл: Энгийн хувиргалтыг хийснээр бид олж авна
(I ба III багануудыг сольсон) ~
(II мөрөнд I мөрийг нэмж, хоёр дахь мөрөнд үр дүнг бичсэн; үүний дараа I мөрийг III мөрөнд нэмж, үр дүнг гурав дахь мөрөнд бичсэн) ~
(I баганыг (-3) үржүүлж, II баганаар нэмээд үр дүнг II баганад бичнэ; дараа нь I баганыг (-2) үржүүлж, III баганыг нэмээд үр дүнг III баганад бичнэ; үүний дараа I баганыг дахин (-2)-оор үржүүлж, IV баганагаар нэмсэн ба үр дүнг IV баганад бичив) ~
(III баганыг (-2) үржүүлж, II баганыг нэмж, үр дүнг II баганад бичнэ; III баганыг 2-т хувааж, үр дүнг III баганад бичнэ; III баганыг (-1) үржүүлж, нэмсэн. IV баганад үр дүн нь IV баганад бичигдсэн болно) ~
(II мөрийг 3-аар үржүүлж, III мөрөнд нэмж, үр дүнг III мөрөнд бичсэн) ~
(II баганыг (-1)-ээр үржүүлж, III ба IV баганаар дараалан нэмж, үр дүнг III ба IV баганад тус тус бичнэ) ~

.

Бид каноник хэлбэрийн матрицыг олж авсан. Матрицын бүтээгдэхүүн

Хоёр матрицыг үржүүлэх үйлдлийг зөвхөн тухайн тохиолдолд л нэвтрүүлнэ Эхний матрицын баганын тоо нь хоёр дахь матрицын мөрүүдийн тоотой тэнцүү байна. А матрицын бүтээгдэхүүн ij t×p =(а =(б ) Б матриц руу ) p×r ХАМТ jk матриц гэж нэрлэдэг t×r ) тиймэрхүү

=(хамт t×r = ik би 1 ∙ б 1 к + ik би 2 ∙ б 2 к + ∙∙∙+ ik в ∙ б а , in би=
, к=
,

nk биХаана ктэдгээр. элемент ХАМТ-р мөр ба бибүтээгдэхүүний матрицын th багана Аэлементүүдийн бүтээгдэхүүний нийлбэртэй тэнцүү байна кматрицын 3-р эгнээ

харгалзах элементүүдэд АТэгээд INБ матрицын багана. Хэрэв матрицуудТэгээд ижил хэмжээтэй дөрвөлжин, дараа нь бүтээгдэхүүн AB А∙Э = Э∙А= А VA Аүргэлж оршин байдаг. Үүнийг харуулах нь амархан Э, Хаана

Жишээ 4.

=.

- квадрат матриц, АТэгээд INгэж нэрлэдэг нь ижил хэмжээтэй таних матриц юм. (Матрицуудсолигдох боломжтой Хэрэв матрицууд=ижил хэмжээтэй дөрвөлжин, дараа нь бүтээгдэхүүн.

Матрицын үржүүлэх нь байна дараах шинж чанарууд:

А∙(IN∙ХАМТ) = (А∙IN)∙ХАМТ;

А∙(IN + ХАМТ) = Хэрэв матрицууд + АС;

(А + IN)∙ХАМТ = АС + Нар;

α (Хэрэв матрицууд) = (αА)IN,

хэрэв мэдээжийн хэрэг, матрицуудын бичсэн нийлбэр ба үржвэрүүд нь утга учиртай бол.

Дараах шинж чанарууд нь шилжүүлэн суулгах үйлдлийн хувьд үнэн юм.

(А + IN) T = А T+ INТ;

(Хэрэв матрицууд) T = INТ∙ АТ.

Хэрэв олон гишүүнт өгөгдсөн бол матрицын олон гишүүнте(А) хэлбэрийн илэрхийлэл гэж нэрлэдэг, хаана
аливаа байгалийн хувьд n. е(АМатрицын олон гишүүнтийн утга А) өгөгдсөн матрицын хувьд

матриц юм. Шугамын элементийг дуудъятуйлын , хэрэв энэ нь тэг биш бол энэ мөрийн бүх элементүүд байрланатүүний зүүн талд , тэгтэй тэнцүү байна. Матриц гэж нэрлэдэггишгэсэн

Жишээ 5., хэрэв мөр бүрийн хамгийн гадна талын элемент нь өмнөх мөрийн хамгийн гадна талын элементийн баруун талд байвал. АТэгээд INМатрицад

Мөр бүрийн хамгийн гадна талын элементүүдийг тэмдэглэв:

- гишгээгүй

- алхсан Матрицууд нь олон төрлийн асуудлыг шийдвэрлэхэд тохиромжтой хэрэгсэл юмалгебрийн асуудлууд . Заримыг нь мэддэгэнгийн дүрэм Тэдэнтэй ажиллах нь матрицыг аль ч тохиромжтой, шаардлагатай болгон багасгах боломжийг олгодогодоогоор

хэлбэрүүд. Матрицын каноник хэлбэрийг ашиглах нь ихэвчлэн ашигтай байдаг.

• Заавар
• Матрицын каноник хэлбэр нь бүхэл бүтэн диагональ дагуу байх шаардлагагүй гэдгийг санаарай. Тодорхойлолтын мөн чанар нь матрицын цорын ганц тэг биш элементүүд нь каноник хэлбэрээр байдаг. Хэрэв тэдгээр нь байгаа бол тэдгээр нь үндсэн диагональ дээр байрладаг. Түүнээс гадна тэдгээрийн тоо нь тэгээс матриц дахь мөрүүдийн тоо хүртэл өөрчлөгдөж болно. Энгийн хувиргалт нь аливаа матрицыг каноник болгон бууруулах боломжийг олгодог гэдгийг бүү мартаарайоюун ухаан
• . Хамгийн том бэрхшээл бол үйлдлийн гинжин хэлхээний хамгийн энгийн дарааллыг зөн совингоор олох, тооцоололд алдаа гаргахгүй байх явдал юм.
• Матриц дахь мөр, баганатай үйлдлүүдийн үндсэн шинж чанаруудыг олж мэдэх. Анхан шатны өөрчлөлтөд гурван стандарт хувиргалт багтана. Энэ нь матрицын мөрийг ямар ч тэг биш тоогоор үржүүлэх, мөрүүдийн нийлбэр (үүнд нэг нэгийг нь нэмэх, зарим тоогоор үржүүлэх) ба тэдгээрийн дахин зохион байгуулалт юм. Ийм үйлдлүүд нь үүнтэй тэнцэх матрицыг олж авах боломжийг бидэнд олгодог. Үүний дагуу та ижил төстэй байдлыг алдалгүйгээр баганууд дээр ийм үйлдлүүдийг хийж болно.
• Хэд хэдэн энгийн өөрчлөлтийг нэг дор хийхгүй байхыг хичээгээрэй: санамсаргүй алдаа гаргахаас урьдчилан сэргийлэхийн тулд шатнаас шат руу шилжинэ.
• Өмнөх зөвлөмжийг дагаж мөрдөхийн тулд хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн аргыг ашиглана уу. k-р зэрэглэлийн минор, түүнчлэн эргэн тойрны бүх насанд хүрээгүй зэрэг (k+1)-ийг тооцоол. Хэрэв тэдгээр нь 0-тэй тэнцүү бол матрицын зэрэглэл нь k тоо юм. Бага Mij нь i мөр ба j баганыг анхныхаас хасах замаар олж авсан матрицын тодорхойлогч гэдгийг бүү мартаарай.

Т" = с (i), Т" = 1………….(i), Т"" = 0…1……….(i) b(λ)……….(j) 1…0… …….(j) .

Зөв энгийн үйлдлийг хэрэглэсний үр дүнд A(λ) матрицыг баруун талд нь харгалзах T матрицаар үржүүлнэ.

T" матриц нь S" матрицтай давхцаж байгаа бөгөөд i ба j индексүүдийг сүүлийн үед сольсон бол T", T"" матрицууд S", S"" матрицуудтай давхцаж байгааг анхаарна уу. S, S, S"" төрлийн матрицуудыг (эсвэл ижил төрлийн T, T, T"") элементар гэж нэрлэдэг.

А(λ) матрицаас B(λ) руу шилжих боломжтой бол m x n хэмжээтэй хоёр λ матрицыг A(λ) ~ B(λ) эквивалент гэнэ. хязгаарлагдмал тооны энгийн хувиргалтуудын гинж. Эквивалент харьцаа нь гурван үндсэн шинж чанартай байдаг.

1) рефлекс: матриц бүр нь A(λ) ~ B(λ)-тай тэнцүү;

2) тэгш хэм: хэрэв A(λ) ~ B(λ), дараа нь B(λ) ~ A(λ);

3) дамжин өнгөрөх чадвар: хэрэв A(λ) ~ B(λ), болон B(λ) ~ C(λ), A(λ) ~ C(λ).

§2. λ-матрицын каноник хэлбэр

Эквивалент хамаарал нь шилжилт, тэгш хэмтэй, рефлекстэй болохыг дээр харуулсан. Эндээс харахад өгөгдсөн m x n хэмжээтэй бүх λ матрицуудын олонлог нь эквивалент матрицуудын салангид ангиудад хуваагдана, өөрөөр хэлбэл. Нэг ангийн дурын хоёр матриц тэнцүү байхаар ангиуд, мөн өөр өөр ангиуд- бие биетэйгээ тэнцүү биш. λ-матрицын шинж чанарын каноник хэлбэрийн талаар асуулт гарч ирнэ энэ ангиэквивалент λ-матрицууд.

m x n хэмжээсийн каноник диагональ λ-матриц нь үндсэн диагональ нь E1(λ), ​​​​E2(λ), ..., Ep(λ) олон гишүүнтүүдийг агуулсан λ-матриц бөгөөд энд p нь m тоонуудаас бага нь юм. ба n, эдгээр олон гишүүнтүүдийн дунд 0-тэй тэнцүү биш нь хамгийн өндөр коэффициенттэй, нэгтэй тэнцүү, мөн дараагийн олон гишүүнт бүрийг өмнөхтэй нь хуваасан ч үндсэн диагональаас гадуурх элементүүд тэгтэй тэнцүү байна.

Теорем 1. Аливаа λ-матрицыг хязгаарлагдмал тооны элементар хувиргалтаар каноник диагональ хэлбэрт оруулж болно.

Баталгаа. A(λ) тэгш өнцөгт олон гишүүнт матриц байг. A(λ) дээр зүүн ба баруун энгийн үйлдлүүдийг хоёуланг нь ашигласнаар бид каноник диагональ хэлбэрт хүргэдэг.

A(λ) матрицын бүх тэг биш аіј(λ) элементүүдийн дотроос бид λ-тай харьцуулахад хамгийн бага зэрэгтэй элементийг авч, мөр, багануудыг зохих ёсоор нь өөрчлөн a11(λ) элемент болгоно. Үүний дараа aі1(λ) ба а1ј(λ) олон гишүүнтүүдийг а11(λ)-д хуваахдаа бид хуваах хэсгийн болон үлдэгдлийг олох болно:

аі1(λ) = а11(λ) qі1(λ) + rі1 (λ), а1ј(λ) = а11(λ) q1ј(λ) + r1ј(λ)

(i = 2, 3, …, m; j = 2, 3, …, n).

Хэрэв rі1(λ), ​​r1ј(λ) (i = 2, …, m; j = 2, …, n), жишээлбэл r1ј (λ) үлдэгдлүүдийн ядаж нэг нь тэг биш байвал, Өмнө нь q1ј(λ)-аар үржүүлсэн эхний баганын j--аас хасч, a1ј(λ) элементийг a11(λ)-ээс бага зэрэгтэй r1ј(λ) үлдэгдэлээр солино. Дараа нь бид матрицын зүүн дээд буланд байгаа элементийн зэргийг дахин багасгаж, энэ газарт λ-тай харьцуулахад хамгийн бага зэрэгтэй элементийг байрлуулах боломжтой болно.

Хэрэв бүх үлдэгдэл r21(λ), ​​… rm1(λ); r12(λ), …, r1n(λ) нь ижил тэг бөгөөд i-р эгнээнээс эхнийхийг хасч, өмнө нь qі1(λ) (i = 2, …, m)-аар үржүүлж, j-р-р эгнээнд үржүүлнэ. багана - эхний , өмнө нь q1ј(λ) (j = 2, …, n) -ээр үржүүлсэн, бид матрицаа хэлбэрт оруулав.

а11(λ) 0 … 0

0 а22(λ) … а2n(λ)

….…………………… .

0 am2(λ) … amn(λ)

Хэрэв нэгэн зэрэг аіј(λ) (i = 2, …, m; j = 2, …, n) элементүүдийн ядаж нэг нь а11(λ)-д үлдэгдэлгүйгээр хуваагдахгүй бол эхнийх дээр нэмэх замаар Энэ элементийг агуулсан баганыг баганад авбал бид өмнөх тохиолдол руу орох бөгөөд иймээс бид a11(λ) элементийг бага зэрэгтэй олон гишүүнтээр дахин солих боломжтой болно.

Анхны элемент a11(λ) байсан тул тодорхой зэрэгтэймөн энэ зэрэглэлийг бууруулах үйл явц нь тодорхойгүй үргэлжлэх боломжгүй, дараа нь хязгаарлагдмал тооны энгийн үйлдлүүдийн дараа бид хэлбэрийн матрицыг авах ёстой.

(*) 0 b22(λ) … b 2n(λ)

….…………………… ,

0 bm2 (λ) …bmn (λ)

bіј(λ) бүх элементүүд нь а1(λ)-д үлдэгдэлгүй хуваагддаг. Хэрэв эдгээр элементүүдийн дунд bіј(λ) нь ижил тэг байхгүй бол 2, …, m тоотой мөрүүд болон 2, …, n тоотой багануудыг ижил бууруулах үйл явцыг үргэлжлүүлбэл (*) матрицыг хэлбэрт оруулна.

Тиймээс бид дурын тэгш өнцөгт олон гишүүнт матриц A(λ) нь зарим каноник диагональтай тэнцүү болохыг нотолсон.