V 7. razredu smo se učili funkcij y = C, y = kx, y = kx + m, y = x 2 in sčasoma prišel do zaključka, da enačba z dvema spremenljivke oblike y = f(x) (funkcija) ima matematični model, primeren za nastavitev poseben pomen neodvisna spremenljivka x (argument), izračunajte ustrezno

ustrezna vrednost odvisne spremenljivke y. Na primer, če je podana funkcija y = x 2, tj. f(x) = x 2, potem za x = 1 dobimo y = 1 2 = 1; Na kratko se zapiše takole: f(1) = 1. Za x = 2 dobimo f(2) = 2 2 = 4, to je y = 4; za x = - 3 dobimo f(- 3) = (- 3) 2 = 9, tj. y = 9 itd.

Že v 7. razredu sva začela razumeti, da je v enakosti y = f(x) desni del, tj. izraz f(x) ni omejen na štiri zgoraj navedene primere (C, kx, kx + m, x 2).
Na primer, sva se že srečala delne funkcije, tj. navedene funkcije različne formule v različnih intervalih. Tukaj je ena taka funkcija:

y = f(x), kjer je

Se spomnite, kako narisati graf takšne funkcije? Najprej morate sestaviti parabolo y = x 2 in vzeti njen del pri x< 0 (левая ветвь параболы, рис. 1), затем надо построить прямую у = 2х и взять ее часть при х >0 (slika 2). In končno, oba izbrana dela morate združiti v eno risbo, torej graditi na enem koordinatna ravnina(glej sliko 3).

Zdaj je naša naloga naslednja: dopolniti zalogo preučenih funkcij. IN resnično življenje obstajajo procesi, ki jih opisujejo različni matematičnih modelov oblike y = f(x), ne samo tistih, ki smo jih našteli zgoraj. V tem razdelku bomo obravnavali funkcijo y = kx 2, kjer je koeficient k poljubno neničelno število.

Pravzaprav vam je funkcija y = kx 2 v enem primeru malo znana. Poglejte: če je k = 1, potem dobimo y = x 2; To funkcijo ste preučevali v 7. razredu in se verjetno spomnite, da je njen graf parabola (slika 1). Pogovorimo se, kaj se zgodi pri drugih vrednostih koeficienta k.
Razmislite o dveh funkcijah: y = 2x 2 in y = 0,5x 2. Naredimo tabelo vrednosti za prvo funkcijo y = 2x 2:

Sestavimo točke (0; 0), (1; 2), (-1; 2), (2; 8), (-2; 8), (1,5; 4,5), (-1,5; 4,5) na koordinatni ravnini (slika 4); začrtajo določeno črto, jo narišemo

(slika 5).
Naredimo tabelo vrednosti za drugo funkcijo y = 0,5x 2:

Konstruirajmo točke (0; 0), (1; 0,5), (-1; 0,5), (2; 2), (-2; 2), C; 4.5), (-3; 4.5) na koordinatni ravnini (slika 6); začrtajo določeno črto, narišimo jo (slika 7)

.

Točke, prikazane na sl. 4 in 6 se včasih imenujeta kontrolni točki za graf ustrezne funkcije.

Primerjaj slike 1, 5 in 7. Ali ni res, da so si narisane črte podobne? Vsaka od njih se imenuje parabola; v tem primeru se točka (0; 0) imenuje vrh parabole, os y pa je simetrijska os parabole. »Hitrost gibanja navzgor« vej parabole je odvisna od vrednosti koeficienta k ali, kot tudi pravijo,
"stopnja strmine" parabole. To je jasno vidno na sl. 8, kjer se vse tri zgoraj konstruirane parabole nahajajo na isti koordinatni ravnini.

Situacija je popolnoma enaka pri kateri koli drugi funkciji oblike y = kx 2, kjer je k > 0. Njen graf je parabola z vrhom v izhodišču, veje parabole so usmerjene navzgor in čim bolj strma je višji koeficient k. Y-os je simetrijska os parabole. Mimogrede, zaradi jedrnatosti matematiki pogosto rečejo "parabola y = kx 2" namesto dolge fraze "parabola, ki služi kot graf funkcije y = kx 2" in namesto izraza "simetrijska os parabola« uporabljajo izraz »os parabole«.

Ali opazite, da obstaja analogija s funkcijo y = kx? Če je k > 0, potem je graf funkcije y = kx premica, ki poteka skozi izhodišče koordinat (ne pozabite, rekli smo na kratko: premica y = kx), in tudi tukaj je "stopnja strmine" premica je odvisna od vrednosti koeficienta k. To je jasno vidno na
riž. 9, kjer so grafi prikazani v enem koordinatnem sistemu linearne funkcije y = kx za tri vrednosti koeficientov

Vrnimo se k funkciji y = kx 2. Ugotovimo, kako stojijo stvari v primeru negativnega koeficienta ft. Zgradimo na primer graf funkcije

y = - x 2 (tu je k = - 1). Ustvarimo tabelo vrednosti:

Označite točke (0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (- 3; - 9) na koordinatni ravnini (slika 10); začrtajo določeno črto, jo narišimo (slika 11). To je parabola z vrhom v točki (0; 0), os y je simetrijska os, vendar za razliko od primera, ko je k > 0, so tokrat veje parabole usmerjene navzdol. Podobno je tudi pri drugih negativne vrednosti koeficient k.

Torej je graf funkcije parabola z vrhom v izhodišču; os y je os parabole; veje parabole so usmerjene navzgor pri k>0 u navzdol pri k<0.

Upoštevajte tudi, da se parabola y = kx 2 dotika osi x v točki (0; 0), to pomeni, da ena veja parabole gladko prehaja v drugo, kot da pritiska na os x.
Če narišete grafe funkcij y = x2 in y = - x2 v istem koordinatnem sistemu, potem je enostavno opaziti, da sta ti paraboli simetrični drug drugemu glede na os x, kar je jasno vidno na sl. 12. Na enak način sta paraboli y = 2x 2 in y = - 2x 2 medsebojno simetrični glede na os x (ne bodite leni, sestavite jih
dve paraboli v istem koordinatnem sistemu in se prepričajte, da trditev drži).

V splošnem velja, da je graf funkcije y = - f(x) simetričen grafu funkcije y = f(x) glede na absciso.

Lastnosti funkcije y = kx 2 za k > 0

Pri opisovanju lastnosti te funkcije se bomo zanašali nanjo geometrijski model- parabola (slika 13).

1. Ker je za katero koli vrednost x mogoče izračunati ustrezno vrednost y z uporabo formule y = kx 2, je funkcija definirana v kateri koli točki x (za katero koli vrednost argumenta x). Na kratko se zapiše takole: domena definicije funkcije je (-oo, +oo), torej celotna koordinatna premica.

2. y = 0 pri x = 0; y > O pri . To je razvidno tudi iz grafa funkcije (v celoti se nahaja nad osjo x), vendar se lahko utemelji brez pomoči grafa: če

Potem je kx 2 > O kot produkt dveh pozitivna števila k in x 2.

3. y = kx 2 — neprekinjena funkcija. Spomnimo se, da trenutno ta izraz obravnavamo kot sinonim za stavek "graf funkcije je polna črta, ki jo je mogoče narisati, ne da bi dvignili svinčnik s papirja." V višjih razredih bo podana natančnejša matematična interpretacija pojma kontinuitete funkcije, ki se ne opira na geometrijske ilustracije.

4.y/ naim = 0 (doseženo pri x = 0); nai6 ne obstaja.

Naj vas spomnimo, da je (/naim najbolj nižjo vrednost funkcije in Unaib. — največja vrednost funkcije na danem intervalu; če interval ni naveden, potem unaim- oziroma y naib najmanjši in najvišjo vrednost funkcije v domeni definicije.

5. Funkcija y = kx 2 narašča pri x > O in pada pri x< 0.

Spomnimo se, da smo se pri predmetu algebre v 7. razredu dogovorili, da imenujemo funkcijo, katere graf na obravnavanem intervalu gre od leve proti desni kot "navkreber", naraščajoč, in funkcijo, katere graf na obravnavanem intervalu gre od leve proti desno, kot da se "navzdol", - zmanjšuje. Natančneje lahko rečemo tole: za funkcijo y = f (x) pravimo, da narašča na intervalu X, če na tem intervalu višja vrednost ujemanje argumentov
večja vrednost funkcije; za funkcijo y = f (x) pravimo, da pada na intervalu X, če na tem intervalu večja vrednost argumenta ustreza manjši vrednosti funkcije.

V učbeniku Algebra 7 smo postopek naštevanja lastnosti funkcije poimenovali branje grafa. Proces branja grafa bo postopoma postal bogatejši in zanimivejši, ko bomo spoznavali nove lastnosti funkcij. O petih zgoraj navedenih lastnostih smo razpravljali v 7. razredu za funkcije, ki smo jih tam preučevali. Dodajmo eno novo lastnost.

Funkcija y = f(x) se imenuje spodaj omejena, če so vse vrednosti funkcije večje od določenega števila. Geometrijsko to pomeni, da se graf funkcije nahaja nad določeno premico, vzporedno z osjo x.

Zdaj poglejte: graf funkcije y = kx 2 se nahaja nad ravno črto y = - 1 (ali y = - 2, ni pomembno) - prikazano je na sl. 13. Torej je y - kx2 (k > 0) funkcija, omejena od spodaj.

Poleg spodaj omejenih funkcij se upoštevajo tudi zgoraj omejene funkcije. Za funkcijo y - f(x) pravimo, da je omejena od zgoraj, če so vse vrednosti funkcije manjše od določenega števila. Geometrijsko to pomeni, da se graf funkcije nahaja pod neko ravno črto, vzporedno z osjo x.
Ali obstaja taka premica za parabolo y = kx 2, kjer je k > 0? št. To pomeni, da funkcija ni omejena navzgor.

Tako imamo še eno lastnost, dodajmo jo petim zgoraj naštetim.

6. Funkcija y = kx 2 (k > 0) je omejena spodaj in ni omejena zgoraj.

Lastnosti funkcije y = kx 2 pri k< 0

Pri opisovanju lastnosti te funkcije se opiramo na njen geometrijski model - parabolo (slika 14).

1. Domena definicije funkcije je (—oo, +oo).

2. y = 0 pri x = 0; pri< 0 при .

Z.у = kx 2 je zvezna funkcija.
4. y nai = 0 (doseženo pri x = 0), unaim ne obstaja.

5. Funkcija narašča kot x< 0, убывает при х > 0.

6. Funkcija je omejena od zgoraj in ni omejena od spodaj.

Razložimo zadnjo lastnost: obstaja premica, ki je vzporedna z osjo x (npr. y = 1, narisana je na sliki 14), tako da celotna parabola leži pod to premico; to pomeni, da je funkcija zgoraj omejena. Po drugi strani pa je nemogoče narisati ravno črto, vzporedno z osjo x, tako da se celotna parabola nahaja nad to ravno črto; to pomeni, da funkcija spodaj ni omejena.

Vrstni red potez, uporabljen zgoraj pri naštevanju lastnosti funkcije, ni zakon, dokler se je kronološko razvila na ta način.

Več ali manj določen vrstni red Poteze bomo razvijali postopoma in jih poenotili pri predmetu algebra za 9. razred.

Primer 1. Poiščite najmanjšo in največjo vrednost funkcije y = 2x 2 na segmentu: a) ; b) [- 2, - 1]; c) [- 1, 1,5].

rešitev.
a) Zgradimo graf funkcije y = 2x2 in označimo njen del na odseku (slika 15). Ugotavljamo, da 1/ime. = 0 (doseženo pri x = 0) in y max = 8 (doseženo pri x = 2).

b) Zgradimo graf funkcije y = 2x2 in označimo njen del na odseku [- 2, - 1] (slika 16). Upoštevamo, da je 2/max = 2 (doseženo pri x = - 1) in y max = 8 (doseženo pri x = - 2).

c) Zgradimo graf funkcije y = 2x2 in označimo njen del na odseku [- 1, 1.5] (slika 17). Opazimo, da je unanm = 0 (dosežen pri x = 0), y pa je najbolj dosežen v točki x = 1,5; Izračunajmo to vrednost: (1,5) = 2-1,5 2 = 2-2,25 = 4,5. Torej, y max =4,5.

Primer 2. Reši enačbo - x 2 = 2x - 3.

rešitev. V učbeniku "Algebra-7" smo razvili algoritem grafična rešitev enačbe, spomnimo se.

Za grafično rešitev enačbe f(x) = g (x) potrebujete:

1) upoštevajte dve funkciji y = -x 2 in y = 2x -3;
2) sestavite graf funkcije i/ = / (x);
3) zgradite graf funkcije y = g (x);
4) poiščite presečišča zgrajenih grafov; abscis-
Sistemi teh točk so koreni enačbe f(x) = g (x).
Uporabimo ta algoritem za dano enačbo.
1) Razmislite o dveh funkcijah: y = - x2 in y = 2x - 3.
2) Sestavimo parabolo - graf funkcije y = - x 2 (slika 18).

3) Zgradimo graf funkcije y = 2x - 3. To je ravna črta, dovolj je, da na grafu poiščemo kateri koli dve točki. Če je x = 0, potem je y = - 3; če je x = 1,

potem je y = -1. Tako smo našli dve točki (0; -3) in (1; -1). Ravna črta, ki poteka skozi ti dve točki (graf funkcije y = 2x - 3), je upodobljena na istem

risbo (glej sliko 18).

4) Po risbi ugotovimo, da se premica in parabola sekata v dveh točkah A(1; -1) in B(-3; -9). pomeni, podana enačba ima dva korena: 1 in - 3 - to sta abscisi točk A in B.

Odgovor: 1,-3.

Komentiraj. Grafičnim ilustracijam seveda ne morete slepo zaupati. Mogoče se nam samo zdi, da ima točka A koordinate (1; - 1) in naprej
Ali se dejansko razlikujejo, na primer (0,98; - 1,01)?

Zato je vedno koristno, da se preverite. Torej, v obravnavanem primeru se morate prepričati, da točka A(1; -1) pripada paraboli y = - x 2 (to je enostavno - samo nadomestite koordinate točke A v formulo y = - x 2 ; dobimo - 1 = - 1 2 - pravilna numerična enakost) in premico y = 2x - 3 (in to je enostavno - samo koordinate točke A nadomestimo v formulo y = 2x - 3; dobimo - 1 = 2-3 - pravilna številčna enakost). Enako je treba storiti za
točke 8. To preverjanje pokaže, da so v obravnavani enačbi grafična opazovanja privedla do pravilnega rezultata.

Primer 3. Reši sistem enačb

rešitev. Pretvorimo prvo enačbo sistema v obliko y = - x 2. Graf te funkcije je parabola, prikazana na sl. 18.
Pretvorimo drugo enačbo sistema v obliko y = 2x - 3. Graf te funkcije je ravna črta, prikazana na sl. 18.

Parabola in premica se sekata v točkah A (1; -1) in B (- 3; - 9). Kot rešitve služijo koordinate teh točk danem sistemu enačbe.

Odgovor: (1; -1), (-3; -9).

Primer 4. Dana funkcija y - f (x), kjer

Zahtevano:

a) izračunajte f(-4), f(-2), f(0), f(1,5), f(2), f(3);

b) zgraditi graf funkcije;

c) z grafom naštej lastnosti funkcije.

rešitev,

a) Vrednost x = - 4 izpolnjuje pogoj - zato mora biti f(-4) izračunana z uporabo prve vrstice definicije funkcije. Imamo f(x) = - 0,5x2, kar pomeni
f(-4) = -0,5 . (-4) 2 = -8.
Podobno najdemo:

f(-2) = -0,5 . (-2) 2 =-2;
f(0) = -0,5 . 0 2 = 0.

Vrednost izpolnjuje pogoj, zato jo je treba izračunati z uporabo druge vrstice specifikacije funkcije. Imamo f(x) = x + 1, kar pomeni

Vrednost x = 1,5 izpolnjuje pogoj 1< х < 2, т. е. f(1,5) надо вычислять по третьей строке задания функции. Имеем f (х) = 2х 2 , значит,
f(1,5) = 2-1,5 2 = 4,5.
Podobno dobimo
f(2)= 2 . 2 2 =8.
Vrednost x = 3 ne izpolnjuje nobenega od treh pogojev za določitev funkcije, zato je f(3) v v tem primeru ni mogoče izračunati, točka x = 3 ne spada v domeno definicije funkcije. Naloga izračuna f(3) ni pravilna.

b) Graf bomo zgradili po delih. Najprej sestavimo parabolo y = -0,5x 2 in izberimo njen del na segmentu [-4, 0] (slika 19). Nato sestavimo premico y = x + 1 u. Izberimo njen del na polintervalu (0, 1] (slika 20). Nato bomo sestavili parabolo y = 2x2 in izbrali njen del na polintervalu.

(1, 2] (slika 21).

Nazadnje bomo upodobili vse tri »kose« v enem koordinatnem sistemu; dobimo graf funkcije y = f(x) (slika 22).

c) Naštejmo lastnosti funkcije ali, kot smo se dogovorili, preberimo graf.

1. Domena definicije funkcije je odsek [—4, 2].

2. y = 0 pri x = 0; y > 0 pri 0<х<2;у<0 при - 4 < х < 0.

3. Funkcija je podvržena diskontinuiteti pri x = 0.

4. Funkcija narašča na segmentu [-4, 2].

5. Funkcija je omejena tako od spodaj kot od zgoraj.

6. y max = -8 (doseženo pri x = -4); y večina6 . = 8 (doseženo pri x = 2).

Primer 5. Podana je funkcija y = f(x), kjer je f(x) = 3x 2. Najti:

f(1), f(- 2), f(а), f(2а), f(а + 1), f(-х), f(Зх), f(x - 1),
f(x + a), f(x) + 5, f(x) + b, f(x + a) + b, f(x 2), f(2x 3).

rešitev. Ker je f (x) = 3x 2, dosledno dobimo:

f(1) =3 .1 2 = 3;
f(a) = za 2;
f(a+1) = 3(a + 1) 2 ;
f(3x) = 3.(3x) 2 = 27x 2;
f(x + a) = 3(x + a) 2;

f(x 2) +b = 3x 2 +b
f(x 2) = 3 . (x 2) 2

F(- 2) = Z . (-2) 2 = 12
f(2a) =Z . (2a) 2 =12a 2

F(x) =Z . (-x) 2 =3x 2

F(-x)+ 5 =3x 2 +5
f(x + a) + b = 3 (x + a) 2 + b;
f(2x 3) = 3 . (2x3)2

Še naprej preučujemo temo " reševanje enačb" Z linearnimi enačbami smo se že seznanili in prehajamo na seznanjanje kvadratne enačbe.

Najprej si bomo ogledali, kaj je kvadratna enačba, kako je zapisana v splošni obliki in podali povezane definicije. Nato bomo s primeri podrobno preučili, kako se rešujejo nepopolne kvadratne enačbe. Nato bomo prešli na reševanje popolnih enačb, pridobili korensko formulo, se seznanili z diskriminanto kvadratne enačbe in obravnavali rešitve tipičnih primerov. Za konec poglejmo še povezave med koreni in koeficienti.

Navigacija po strani.

Kaj je kvadratna enačba? Njihove vrste

Najprej morate jasno razumeti, kaj je kvadratna enačba. Zato je logično, da pogovor o kvadratnih enačbah začnemo z definicijo kvadratne enačbe, pa tudi s sorodnimi definicijami. Po tem lahko razmislite o glavnih vrstah kvadratnih enačb: zmanjšanih in nereduciranih, pa tudi popolnih in nepopolnih enačb.

Definicija in primeri kvadratnih enačb

Opredelitev.

Kvadratna enačba je enačba oblike a x 2 +b x+c=0, kjer je x spremenljivka, a, b in c so nekatera števila, a ni nič.

Takoj povejmo, da se kvadratne enačbe pogosto imenujejo enačbe druge stopnje. To je posledica dejstva, da je kvadratna enačba algebrska enačba druge stopnje.

Navedena definicija nam omogoča podati primere kvadratnih enačb. Torej 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 itd. To so kvadratne enačbe.

Opredelitev.

Številke a, b in c se imenujejo koeficienti kvadratne enačbe a·x 2 +b·x+c=0 in koeficient a se imenuje prvi ali najvišji ali koeficient pri x 2, b je drugi koeficient ali koeficient pri x in c je prosti člen .

Na primer, vzemimo kvadratno enačbo v obliki 5 x 2 −2 x −3=0, pri čemer je vodilni koeficient 5, drugi koeficient je enak −2, prosti člen pa je enak −3. Upoštevajte, da ko sta koeficienta b in/ali c negativna, kot v pravkar navedenem primeru, je kratka oblika kvadratne enačbe 5 x 2 −2 x−3=0 namesto 5 x 2 +(−2) ·x+(−3)=0 .

Omeniti velja, da ko sta koeficienta a in/ali b enaka 1 ali −1, potem običajno nista eksplicitno prisotna v kvadratni enačbi, kar je posledica posebnosti zapisovanja le-teh. Na primer, v kvadratni enačbi y 2 −y+3=0 je vodilni koeficient ena, koeficient pri y pa je enak −1.

Reducirane in nereducirane kvadratne enačbe

Glede na vrednost vodilnega koeficienta ločimo reducirane in nereducirane kvadratne enačbe. Navedimo ustrezne definicije.

Opredelitev.

Imenuje se kvadratna enačba, v kateri je vodilni koeficient 1 dana kvadratna enačba. V nasprotnem primeru je kvadratna enačba nedotaknjen.

Po tej definiciji so kvadratne enačbe x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 itd. – glede na to, da je v vsakem od njih prvi koeficient enak ena. A 5 x 2 −x−1=0 itd. - nereducirane kvadratne enačbe, katerih vodilni koeficienti so različni od 1.

Iz katere koli nereducirane kvadratne enačbe, tako da obe strani delite z vodilnim koeficientom, lahko preidete na reducirano enačbo. To dejanje je ekvivalentna transformacija, kar pomeni, da ima tako dobljena reducirana kvadratna enačba enake korene kot izvirna nereducirana kvadratna enačba ali pa nima nobenih korenin.

Oglejmo si primer, kako poteka prehod iz nereducirane kvadratne enačbe v reducirano.

Primer.

Iz enačbe 3 x 2 +12 x−7=0 pojdite na ustrezno zmanjšano kvadratno enačbo.

rešitev.

Samo deliti moramo obe strani prvotne enačbe z vodilnim koeficientom 3, ni nič, da lahko izvedemo to dejanje. Imamo (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, kar je enako, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 in potem (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, od koder je . Tako smo dobili pomanjšano kvadratno enačbo, ki je enaka prvotni.

odgovor:

Popolne in nepopolne kvadratne enačbe

Definicija kvadratne enačbe vsebuje pogoj a≠0. Ta pogoj je nujen, da je enačba a x 2 + b x + c = 0 kvadratna, saj ko je a = 0, dejansko postane linearna enačba oblike b x + c = 0.

Kar se tiče koeficientov b in c, sta lahko enaka nič, tako posamično kot skupaj. V teh primerih se kvadratna enačba imenuje nepopolna.

Opredelitev.

Kvadratna enačba a x 2 +b x+c=0 se imenuje nepopolna, če je vsaj eden od koeficientov b, c enak nič.

Po svoje

Opredelitev.

Popolna kvadratna enačba je enačba, v kateri so vsi koeficienti različni od nič.

Takšna imena niso bila dana po naključju. To bo razvidno iz naslednjih razprav.

Če je koeficient b enak nič, ima kvadratna enačba obliko a·x 2 +0·x+c=0 in je enakovredna enačbi a·x 2 +c=0. Če je c=0, kar pomeni, da ima kvadratna enačba obliko a·x 2 +b·x+0=0, jo lahko prepišemo kot a·x 2 +b·x=0. In z b=0 in c=0 dobimo kvadratno enačbo a·x 2 =0. Dobljene enačbe se od popolne kvadratne enačbe razlikujejo po tem, da njihove leve strani ne vsebujejo niti člena s spremenljivko x, niti prostega člena ali obojega. Od tod tudi njihovo ime - nepopolne kvadratne enačbe.

Tako sta enačbi x 2 +x+1=0 in −2 x 2 −5 x+0,2=0 primera popolnih kvadratnih enačb in x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 so nepopolne kvadratne enačbe.

Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb

Iz podatkov v prejšnjem odstavku izhaja, da obstaja tri vrste nepopolnih kvadratnih enačb:

• a·x 2 =0, temu ustrezata koeficienta b=0 in c=0;
• a x 2 +c=0, ko je b=0;
• in a·x 2 +b·x=0, ko je c=0.

Poglejmo po vrstnem redu, kako se rešujejo nepopolne kvadratne enačbe vsake od teh vrst.

a x 2 =0

Začnimo z reševanjem nepopolnih kvadratnih enačb, v katerih sta koeficienta b in c enaka nič, torej z enačbami oblike a x 2 =0. Enačba a·x 2 =0 je enakovredna enačbi x 2 =0, ki jo dobimo iz izvirnika tako, da oba dela delimo z ničelnim številom a. Očitno je koren enačbe x 2 =0 nič, saj je 0 2 =0. Ta enačba nima drugih korenov, kar je razloženo z dejstvom, da za vsako neničelno število p velja neenakost p 2 >0, kar pomeni, da za p≠0 enakost p 2 =0 nikoli ni dosežena.

Torej ima nepopolna kvadratna enačba a·x 2 =0 en sam koren x=0.

Kot primer podajamo rešitev nepopolne kvadratne enačbe −4 x 2 =0. Enakovredna je enačbi x 2 =0, njen edini koren je x=0, zato ima izvirna enačba en sam koren nič.

Kratko rešitev v tem primeru lahko zapišemo takole:
−4 x 2 =0,
x 2 =0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Zdaj pa poglejmo, kako se rešujejo nepopolne kvadratne enačbe, v katerih je koeficient b enak nič in c≠0, torej enačbe oblike a x 2 +c=0. Vemo, da premik člena z ene strani enačbe na drugo z nasprotnim predznakom, kot tudi deljenje obeh strani enačbe s številom, ki ni nič, da dobimo enakovredno enačbo. Zato lahko izvedemo naslednje ekvivalentne transformacije nepopolne kvadratne enačbe a x 2 +c=0:

• premakni c na desno stran, kar da enačbo a x 2 =−c,
• in delimo obe strani z a, dobimo .

Nastala enačba nam omogoča, da sklepamo o njenih koreninah. Odvisno od vrednosti a in c je lahko vrednost izraza negativna (na primer, če a=1 in c=2, potem ) ali pozitivna (na primer, če a=−2 in c=6, potem ), ni nič, saj po pogoju c≠0. Oglejmo si primere ločeno.

Če , potem enačba nima korenin. Ta trditev izhaja iz dejstva, da je kvadrat poljubnega števila nenegativno število. Iz tega sledi, da ko , potem za nobeno število p enakost ne more veljati.

Če je , potem je situacija s koreninami enačbe drugačna. V tem primeru, če se spomnimo približno , potem postane koren enačbe takoj očiten; to je število, saj . Zlahka je uganiti, da je število dejansko tudi koren enačbe, . Ta enačba nima drugih korenin, kar je mogoče pokazati na primer s protislovjem. Naredimo to.

Označimo korenine pravkar napovedane enačbe kot x 1 in −x 1 . Recimo, da ima enačba še en koren x 2, ki se razlikuje od navedenih korenov x 1 in −x 1. Znano je, da zamenjava njegovih korenin v enačbi namesto x spremeni enačbo v pravilno numerično enakost. Za x 1 in −x 1 velja , za x 2 pa . Lastnosti številskih enačb nam omogočajo, da izvedemo odštevanje pravilnih številskih enačb po členih, tako da z odštevanjem ustreznih delov enačb dobimo x 1 2 −x 2 2 =0. Lastnosti operacij s števili nam omogočajo, da nastalo enakost prepišemo kot (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Vemo, da je produkt dveh števil enak nič, če in samo če je vsaj eno od njiju enako nič. Zato iz dobljene enakosti sledi, da je x 1 −x 2 =0 in/ali x 1 +x 2 =0, kar je enako, x 2 =x 1 in/ali x 2 =−x 1. Tako smo prišli do protislovja, saj smo na začetku rekli, da je koren enačbe x 2 drugačen od x 1 in −x 1. To dokazuje, da enačba nima korenin razen in .

Povzemimo informacije v tem odstavku. Nepopolna kvadratna enačba a x 2 +c=0 je enakovredna enačbi, ki

• nima korenin, če,
• ima dva korena in , če .

Oglejmo si primere reševanja nepopolnih kvadratnih enačb oblike a·x 2 +c=0.

Začnimo s kvadratno enačbo 9 x 2 +7=0. Ko premaknemo prosti člen na desno stran enačbe, bo imel obliko 9 x 2 =−7. Če obe strani dobljene enačbe delimo z 9, dobimo . Ker ima desna stran negativno število, ta enačba nima korenin, torej izvirna nepopolna kvadratna enačba 9 x 2 +7 = 0 nima korenin.

Rešimo še eno nepopolno kvadratno enačbo −x 2 +9=0. Devet premaknemo na desno stran: −x 2 =−9. Zdaj obe strani delimo z −1, dobimo x 2 =9. Na desni strani je pozitivno število, iz katerega sklepamo oz. Nato zapišemo končni odgovor: nepopolna kvadratna enačba −x 2 +9=0 ima dva korena x=3 ali x=−3.

a x 2 +b x=0

Ukvarjamo se še z rešitvijo zadnje vrste nepopolnih kvadratnih enačb za c=0. Nepopolne kvadratne enačbe oblike a x 2 + b x = 0 vam omogočajo reševanje metoda faktorizacije. Očitno lahko, ki se nahaja na levi strani enačbe, za kar je dovolj, da skupni faktor x vzamemo iz oklepaja. To nam omogoča prehod iz prvotne nepopolne kvadratne enačbe v ekvivalentno enačbo oblike x·(a·x+b)=0. In ta enačba je enakovredna nizu dveh enačb x=0 in a·x+b=0, od katerih je slednja linearna in ima koren x=−b/a.

Torej ima nepopolna kvadratna enačba a·x 2 +b·x=0 dva korena x=0 in x=−b/a.

Za utrditev gradiva bomo analizirali rešitev določenega primera.

Primer.

Reši enačbo.

rešitev.

Če x vzamemo iz oklepajev, dobimo enačbo. Enakovredno je dvema enačbama x=0 in . Rešimo dobljeno linearno enačbo: , in tako, da mešano število delimo z navadnim ulomkom, najdemo . Zato sta korena prvotne enačbe x=0 in .

Po pridobitvi potrebne prakse lahko rešitve takih enačb na kratko zapišemo:

odgovor:

x=0 , .

Diskriminanta, formula za korenine kvadratne enačbe

Za reševanje kvadratnih enačb obstaja korenska formula. Zapišimo formula za korenine kvadratne enačbe: , Kje D=b 2 −4 a c- tako imenovani diskriminanta kvadratne enačbe. Vnos v bistvu pomeni, da.

Koristno je vedeti, kako je bila izpeljana korenska formula in kako se uporablja pri iskanju korenov kvadratnih enačb. Ugotovimo to.

Izpeljava formule za korene kvadratne enačbe

Rešiti moramo kvadratno enačbo a·x 2 +b·x+c=0. Izvedimo nekaj enakovrednih transformacij:

• Obe strani te enačbe lahko delimo z ničelnim številom a, kar ima za posledico naslednjo kvadratno enačbo.
• zdaj izberite celoten kvadrat na levi strani: . Po tem bo enačba dobila obliko.
• Na tej stopnji je možno prenesti zadnja dva člena na desno stran z nasprotnim predznakom, imamo .
• In transformirajmo tudi izraz na desni strani: .

Kot rezultat pridemo do enačbe, ki je enakovredna izvirni kvadratni enačbi a·x 2 +b·x+c=0.

Enačbe podobne oblike smo že reševali v prejšnjih odstavkih, ko smo pregledovali. To nam omogoča, da potegnemo naslednje zaključke glede korenin enačbe:

• če , potem enačba nima pravih rešitev;
• če , potem ima enačba obliko , torej , iz katere je viden njen edini koren;
• če , potem ali , kar je enako ali , kar pomeni, da ima enačba dva korena.

Tako je prisotnost ali odsotnost korenin enačbe in s tem izvirne kvadratne enačbe odvisna od predznaka izraza na desni strani. Predznak tega izraza pa določa predznak števca, saj je imenovalec 4·a 2 vedno pozitiven, to je predznak izraza b 2 −4·a·c. Ta izraz b 2 −4 a c je bil imenovan diskriminanta kvadratne enačbe in označen s črko D. Od tu je jasno bistvo diskriminante - na podlagi njene vrednosti in predznaka sklepajo, ali ima kvadratna enačba prave korenine, in če jih ima, kakšno je njihovo število - ena ali dve.

Vrnimo se k enačbi in jo prepišemo z uporabo diskriminantnega zapisa: . In sklepamo:

• če D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• če je D=0, ima ta enačba en sam koren;
• končno, če je D>0, ima enačba dva korena ali, kar lahko prepišemo v obliki ali in po razširitvi in ​​spravitvi ulomkov na skupni imenovalec dobimo.

Tako smo izpeljali formule za korenine kvadratne enačbe, izgledajo kot , kjer je diskriminanta D izračunana po formuli D=b 2 −4·a·c.

Z njihovo pomočjo lahko s pozitivnim diskriminantom izračunate oba realna korena kvadratne enačbe. Ko je diskriminanta enaka nič, dajeta obe formuli enako vrednost korena, ki ustreza edinstveni rešitvi kvadratne enačbe. In pri negativnem diskriminantu se pri poskusu uporabe formule za korenine kvadratne enačbe soočimo z ekstrakcijo kvadratnega korena negativnega števila, kar nas popelje izven okvira šolskega kurikuluma. Z negativno diskriminanto kvadratna enačba nima pravih korenin, ima pa par kompleksen konjugat korenine, ki jih lahko najdemo z istimi korenskimi formulami, ki smo jih dobili.

Algoritem za reševanje kvadratnih enačb z uporabo korenskih formul

V praksi lahko pri reševanju kvadratnih enačb takoj uporabite korensko formulo za izračun njihovih vrednosti. Toda to je bolj povezano z iskanjem kompleksnih korenin.

Vendar pa v šolskem tečaju algebre običajno ne govorimo o kompleksnih, ampak o resničnih koreninah kvadratne enačbe. V tem primeru je priporočljivo, preden uporabite formule za korenine kvadratne enačbe, da najprej poiščete diskriminanco, se prepričate, da je nenegativna (sicer lahko sklepamo, da enačba nima pravih korenin), in šele nato izračunajte vrednosti korenin.

Zgornje sklepanje nam omogoča pisanje algoritem za reševanje kvadratne enačbe. Če želite rešiti kvadratno enačbo a x 2 +b x+c=0, morate:

• s pomočjo diskriminantne formule D=b 2 −4·a·c izračunaj njeno vrednost;
• sklepati, da kvadratna enačba nima realnih korenin, če je diskriminanta negativna;
• izračunajte edini koren enačbe po formuli, če je D=0;
• poiščite dva realna korena kvadratne enačbe z uporabo korenske formule, če je diskriminanta pozitivna.

Tukaj samo opazimo, da če je diskriminanta enaka nič, lahko uporabite tudi formulo, ki bo dala enako vrednost kot .

Lahko preidete na primere uporabe algoritma za reševanje kvadratnih enačb.

Primeri reševanja kvadratnih enačb

Razmislimo o rešitvah treh kvadratnih enačb s pozitivno, negativno in ničelno diskriminanto. Ko bomo obravnavali njihovo rešitev, bo po analogiji mogoče rešiti katero koli drugo kvadratno enačbo. Začnimo.

Primer.

Poiščite korenine enačbe x 2 +2·x−6=0.

rešitev.

V tem primeru imamo naslednje koeficiente kvadratne enačbe: a=1, b=2 in c=−6. V skladu z algoritmom morate najprej izračunati diskriminanto; vstavimo navedene a, b in c v diskriminantno formulo, ki jo imamo D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Ker je 28>0, kar pomeni, da je diskriminant večji od nič, ima kvadratna enačba dva realna korena. Poiščimo jih s korensko formulo, dobimo , tukaj lahko dobljene izraze poenostavite tako, da premikanje množitelja preko znaka korena sledi zmanjšanje frakcije:

odgovor:

Pojdimo k naslednjemu značilnemu primeru.

Primer.

Rešite kvadratno enačbo −4 x 2 +28 x−49=0 .

rešitev.

Začnemo z iskanjem diskriminatorja: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Zato ima ta kvadratna enačba en sam koren, ki ga najdemo kot , to je

odgovor:

x=3,5.

Ostaja še razmisliti o reševanju kvadratnih enačb z negativno diskriminanto.

Primer.

Rešite enačbo 5·y 2 +6·y+2=0.

rešitev.

Tukaj so koeficienti kvadratne enačbe: a=5, b=6 in c=2. Te vrednosti nadomestimo v diskriminantno formulo, ki jo imamo D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminanta je negativna, zato ta kvadratna enačba nima pravih korenin.

Če morate navesti kompleksne korenine, potem uporabimo dobro znano formulo za korenine kvadratne enačbe in izvedemo operacije s kompleksnimi števili:

odgovor:

pravih korenin ni, kompleksne korenine so: .

Še enkrat opozorimo, da če je diskriminant kvadratne enačbe negativen, potem v šoli običajno takoj zapišejo odgovor, v katerem navedejo, da ni pravih korenin, kompleksnih korenin pa ni.

Korenska formula za sode druge koeficiente

Formula za korenine kvadratne enačbe, kjer D=b 2 −4·a·c vam omogoča, da dobite formulo bolj kompaktne oblike, ki vam omogoča reševanje kvadratnih enačb s sodim koeficientom za x (ali preprosto z koeficient v obliki 2·n, na primer, ali 14· ln5=2·7·ln5 ). Spravimo jo ven.

Recimo, da moramo rešiti kvadratno enačbo oblike a x 2 +2 n x+c=0. Poiščimo njegove korenine s formulo, ki jo poznamo. Da bi to naredili, izračunamo diskriminanco D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), nato pa uporabimo korensko formulo:

Označimo izraz n 2 −a c kot D 1 (včasih je označen z D "). Potem bo formula za korenine obravnavane kvadratne enačbe z drugim koeficientom 2 n imela obliko , kjer je D 1 =n 2 −a·c.

Lahko vidimo, da je D=4·D 1 ali D 1 =D/4. Z drugimi besedami, D 1 je četrti del diskriminante. Jasno je, da je predznak D 1 enak predznaku D . To pomeni, da je znak D 1 tudi indikator prisotnosti ali odsotnosti korenin kvadratne enačbe.

Če želite torej rešiti kvadratno enačbo z drugim koeficientom 2·n, potrebujete

• Izračunajte D 1 =n 2 −a·c ;
• Če D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Če je D 1 =0, izračunajte edini koren enačbe z uporabo formule;
• Če je D 1 >0, poiščite dva prava korena s pomočjo formule.

Razmislimo o rešitvi primera z uporabo korenske formule, pridobljene v tem odstavku.

Primer.

Rešite kvadratno enačbo 5 x 2 −6 x −32=0 .

rešitev.

Drugi koeficient te enačbe lahko predstavimo kot 2·(−3) . To pomeni, da lahko prepišete prvotno kvadratno enačbo v obliki 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, tukaj a=5, n=−3 in c=−32, in izračunate četrti del diskriminator: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Ker je njena vrednost pozitivna, ima enačba dva realna korena. Poiščimo jih z ustrezno korensko formulo:

Upoštevajte, da je bilo mogoče uporabiti običajno formulo za korenine kvadratne enačbe, vendar bi bilo v tem primeru treba opraviti več računskega dela.

odgovor:

Poenostavitev oblike kvadratnih enačb

Včasih, preden začnete izračunavati korenine kvadratne enačbe s pomočjo formul, ne škodi, če se vprašate: "Ali je mogoče poenostaviti obliko te enačbe?" Strinjam se, da bo v računskem smislu lažje rešiti kvadratno enačbo 11 x 2 −4 x−6=0 kot 1100 x 2 −400 x−600=0.

Običajno se poenostavitev oblike kvadratne enačbe doseže z množenjem ali deljenjem obeh strani z določenim številom. Na primer, v prejšnjem odstavku je bilo mogoče enačbo 1100 x 2 −400 x −600=0 poenostaviti tako, da obe strani delimo s 100.

Podobno transformacijo izvedemo s kvadratnimi enačbami, katerih koeficienti niso . V tem primeru se obe strani enačbe običajno delita z absolutnimi vrednostmi njenih koeficientov. Za primer vzemimo kvadratno enačbo 12 x 2 −42 x+48=0. absolutne vrednosti njegovih koeficientov: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Če obe strani prvotne kvadratne enačbe delimo s 6, dobimo ekvivalentno kvadratno enačbo 2 x 2 −7 x+8=0.

Množenje obeh strani kvadratne enačbe se običajno izvede, da se znebimo delnih koeficientov. V tem primeru se množenje izvede z imenovalci njegovih koeficientov. Na primer, če obe strani kvadratne enačbe pomnožimo z LCM(6, 3, 1)=6, bo imela enostavnejšo obliko x 2 +4·x−18=0.

Za zaključek te točke ugotavljamo, da se skoraj vedno znebijo minusa pri najvišjem koeficientu kvadratne enačbe s spremembo predznakov vseh členov, kar ustreza množenju (ali deljenju) obeh strani z −1. Na primer, običajno gremo od kvadratne enačbe −2 x 2 −3 x+7=0 k rešitvi 2 x 2 +3 x−7=0 .

Povezava med koreni in koeficienti kvadratne enačbe

Formula za korene kvadratne enačbe izraža korene enačbe skozi njene koeficiente. Na podlagi korenske formule lahko dobite druge povezave med koreni in koeficienti.

Najbolj znane in uporabne formule iz Vietovega izreka so oblike in . Zlasti za dano kvadratno enačbo je vsota korenin enaka drugemu koeficientu z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa je enak prostemu členu. Na primer, če pogledamo obliko kvadratne enačbe 3 x 2 −7 x + 22 = 0, lahko takoj rečemo, da je vsota njenih korenin enaka 7/3, produkt korenin pa 22 /3.

Z že zapisanimi formulami lahko dobimo še vrsto drugih povezav med koreni in koeficienti kvadratne enačbe. Na primer, vsoto kvadratov korenin kvadratne enačbe lahko izrazite prek njenih koeficientov: .

Bibliografija.

• Algebra: učbenik za 8. razred. Splošna izobrazba institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M .: Izobraževanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovič A. G. Algebra. 8. razred. V 2 urah 1. del Učbenik za študente splošnoizobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.

Upam, da se boste po preučevanju tega članka naučili najti korenine popolne kvadratne enačbe.

Z uporabo diskriminante se rešujejo samo popolne kvadratne enačbe, uporabljajo pa se tudi druge metode, ki jih boste našli v članku Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb.

Katere kvadratne enačbe imenujemo popolne? to enačbe oblike ax 2 + b x + c = 0, kjer koeficienti a, b in c niso enaki nič. Torej, da rešimo popolno kvadratno enačbo, moramo izračunati diskriminanco D.

D = b 2 – 4ac.

Glede na vrednost diskriminante bomo zapisali odgovor.

Če je diskriminanta negativno število (D< 0),то корней нет.

Če je diskriminanta nič, potem je x = (-b)/2a. Ko je diskriminant pozitivno število (D > 0),

potem je x 1 = (-b - √D)/2a in x 2 = (-b + √D)/2a.

Na primer. Reši enačbo x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Odgovor: 2.

Reši enačbo 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Odgovor: brez korenin.

Reši enačbo 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Odgovor: – 3,5; 1.

Predstavljajmo si torej rešitev popolnih kvadratnih enačb z uporabo diagrama na sliki 1.

Z uporabo teh formul lahko rešite katero koli popolno kvadratno enačbo. Paziti morate le na enačba je bila zapisana kot polinom standardne oblike

A x 2 + bx + c, sicer lahko naredite napako. Če na primer pišete enačbo x + 3 + 2x 2 = 0, se lahko zmotno odločite, da

a = 1, b = 3 in c = 2. Potem

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 in potem ima enačba dva korena. In to ni res. (Glejte rešitev za primer 2 zgoraj).

Če torej enačba ni zapisana kot polinom standardne oblike, je treba najprej celotno kvadratno enačbo zapisati kot polinom standardne oblike (na prvem mestu mora biti monom z največjim eksponentom, tj. A x 2 , nato z manj – bx in nato brezplačen član z.

Pri reševanju pomanjšane kvadratne enačbe in kvadratne enačbe s sodim koeficientom v drugem členu lahko uporabite druge formule. Spoznajmo te formule. Če je v popolni kvadratni enačbi koeficient pri drugem členu sod (b = 2k), potem lahko enačbo rešite z uporabo formul, podanih v diagramu na sliki 2.

Popolna kvadratna enačba se imenuje zmanjšana, če je koeficient pri x 2 je enako ena in enačba ima obliko x 2 + px + q = 0. Takšno enačbo lahko damo rešiti ali pa jo dobimo tako, da vse koeficiente enačbe delimo s koeficientom A, ki stoji pri x 2 .

Slika 3 prikazuje diagram za reševanje pomanjšanega kvadrata
enačbe. Oglejmo si primer uporabe formul, obravnavanih v tem članku.

Primer. Reši enačbo

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Rešimo to enačbo z uporabo formul, prikazanih v diagramu na sliki 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Odgovor: –1 – √3; –1 + √3

Opazite lahko, da je koeficient x v tej enačbi sodo število, to je b = 6 ali b = 2k, od koder je k = 3. Nato poskusimo rešiti enačbo z uporabo formul, prikazanih v diagramu na sliki D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Odgovor: –1 – √3; –1 + √3. Če opazimo, da so vsi koeficienti v tej kvadratni enačbi deljivi s 3, in z deljenjem dobimo pomanjšano kvadratno enačbo x 2 + 2x – 2 = 0. Rešite to enačbo z uporabo formul za pomanjšano kvadratno enačbo
enačbe slika 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Odgovor: –1 – √3; –1 + √3.

Kot lahko vidite, smo pri reševanju te enačbe z različnimi formulami prejeli enak odgovor. Če torej temeljito obvladate formule, prikazane v diagramu na sliki 1, boste vedno sposobni rešiti katero koli popolno kvadratno enačbo.

blog.site, pri celotnem ali delnem kopiranju gradiva je obvezna povezava do izvirnega vira.

Kvadratne enačbe. Diskriminator. Rešitev, primeri.

Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Vrste kvadratnih enačb

Kaj je kvadratna enačba? Kako izgleda? V terminu kvadratna enačba ključna beseda je "kvadrat". To pomeni, da v enačbi Nujno mora biti x na kvadrat. Poleg tega enačba lahko (ali pa tudi ne!) vsebuje samo X (na prvo potenco) in samo število (brezplačni član). In ne sme biti X-ov na stopnji dve.

V matematičnem smislu je kvadratna enačba enačba oblike:

Tukaj a, b in c- nekaj številk. b in c- absolutno vse, ampak A– karkoli drugega kot nič. Na primer:

Tukaj A =1; b = 3; c = -4

Tukaj A =2; b = -0,5; c = 2,2

Tukaj A =-3; b = 6; c = -18

No, razumeš ...

V teh kvadratnih enačbah na levi je polni setčlani. X na kvadrat s koeficientom A, x na prvo potenco s koeficientom b in brezplačni član s.

Take kvadratne enačbe imenujemo poln.

In če b= 0, kaj dobimo? Imamo X bo izgubljen na prvo potenco. To se zgodi, ko se pomnoži z nič.) Izkaže se, na primer:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

In tako naprej. In če oba koeficienta b in c so enake nič, potem je še preprosteje:

2x 2 =0,

-0,3x 2 =0

Take enačbe, kjer nekaj manjka, imenujemo nepopolne kvadratne enačbe. Kar je povsem logično.) Upoštevajte, da je x na kvadrat prisoten v vseh enačbah.

Mimogrede, zakaj A ne more biti enako nič? In namesto tega zamenjate A nič.) Naš X na kvadrat bo izginil! Enačba bo postala linearna. In rešitev je popolnoma drugačna ...

To so vse glavne vrste kvadratnih enačb. Popolna in nepopolna.

Reševanje kvadratnih enačb.

Reševanje popolnih kvadratnih enačb.

Kvadratne enačbe je enostavno rešiti. Po formulah in jasnih, preprostih pravilih. Na prvi stopnji je potrebno dano enačbo spraviti v standardno obliko, tj. na obrazec:

Če vam je enačba že dana v tej obliki, vam ni treba narediti prve stopnje.) Glavna stvar je, da pravilno določite vse koeficiente, A, b in c.

Formula za iskanje korenin kvadratne enačbe izgleda takole:

Izraz pod znakom korena se imenuje diskriminator. A več o njem spodaj. Kot lahko vidite, za iskanje X uporabljamo samo a, b in c. Tisti. koeficientov iz kvadratne enačbe. Samo previdno zamenjajte vrednosti a, b in c Računamo po tej formuli. Zamenjajmo s svojimi znaki! Na primer v enačbi:

A =1; b = 3; c= -4. Tukaj zapišemo:

Primer je skoraj rešen:

To je odgovor.

Vse je zelo preprosto. In kaj, mislite, da je nemogoče narediti napako? No ja, kako...

Najpogostejše napake so zamenjava z vrednostmi predznaka a, b in c. Oziroma ne z njihovimi znaki (kje se zmešati?), ampak z zamenjavo negativnih vrednosti v formulo za izračun korenin. Pri tem pomaga podroben zapis formule z določenimi številkami. Če pride do težav z izračuni, naredi to!

Recimo, da moramo rešiti naslednji primer:

Tukaj a = -6; b = -5; c = -1

Recimo, da veste, da le redko dobite odgovore prvič.

No, ne bodi len. Za pisanje dodatne vrstice in število napak bo potrebnih približno 30 sekund se bo močno zmanjšalo. Zato pišemo podrobno, z vsemi oklepaji in znaki:

Zdi se, da je neverjetno težko zapisati tako skrbno. Ampak tako se le zdi. Poskusi. No, ali izberite. Kaj je bolje, hitro ali pravilno? Poleg tega te bom osrečil. Čez nekaj časa ne bo več treba vsega tako natančno zapisovati. Samo od sebe se bo izkazalo prav. Še posebej, če uporabljate praktične tehnike, ki so opisane spodaj. Ta zlobni primer s kupom minusov je mogoče enostavno in brez napak rešiti!

Toda pogosto kvadratne enačbe izgledajo nekoliko drugače. Na primer takole:

Ste ga prepoznali?) Da! to nepopolne kvadratne enačbe.

Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb.

Lahko jih rešimo tudi s splošno formulo. Samo pravilno morate razumeti, čemu so tukaj enaki. a, b in c.

Ste ugotovili? V prvem primeru a = 1; b = -4; A c? Sploh ne obstaja! No ja, tako je. V matematiki to pomeni c = 0 ! To je vse. Namesto tega v formulo nadomestite ničlo c, in uspelo nam bo. Enako z drugim primerom. Samo tukaj nimamo ničle z, A b !

Toda nepopolne kvadratne enačbe je mogoče rešiti veliko preprosteje. Brez kakršnih koli formul. Oglejmo si prvo nepopolno enačbo. Kaj lahko narediš na levi strani? X lahko vzamete iz oklepaja! Vzemimo ga ven.

In kaj iz tega? In dejstvo, da je produkt enak nič, če in samo če je kateri koli od faktorjev enak nič! ne verjameš? V redu, potem si izmislite dve neničelni števili, ki bosta pomnoženi dali nič!
Ne deluje? to je to...
Zato lahko z gotovostjo zapišemo: x 1 = 0, x 2 = 4.

Vse. To bodo korenine naše enačbe. Oba sta primerna. Ko nadomestimo katero koli od njih v prvotno enačbo, dobimo pravilno identiteto 0 = 0. Kot lahko vidite, je rešitev veliko preprostejša kot uporaba splošne formule. Naj mimogrede pripomnim, kateri X bo prvi in ​​kateri drugi - čisto vseeno. Primerno je pisati po vrstnem redu, x 1- kaj je manjše in x 2- tisto, kar je večje.

Tudi drugo enačbo lahko preprosto rešimo. Premakni 9 na desno stran. Dobimo:

Vse kar ostane je, da izvlečemo koren iz 9, in to je to. Izkazalo se bo:

Tudi dve korenini . x 1 = -3, x 2 = 3.

Tako se rešijo vse nepopolne kvadratne enačbe. Bodisi tako, da postavite X izven oklepaja ali preprosto premaknete številko v desno in nato izvlečete koren.
Te tehnike je zelo težko zamenjati. Preprosto zato, ker boš v prvem primeru moral izluščiti koren X, kar je nekako nerazumljivo, v drugem primeru pa ni kaj vzeti iz oklepaja ...

Diskriminator. Diskriminantna formula.

Čarobna beseda diskriminator ! Redko kateri srednješolec te besede še ni slišal! Besedna zveza "rešujemo z diskriminantom" vzbuja zaupanje in pomiritev. Ker od diskriminanta ni treba pričakovati trikov! Uporaba je enostavna in brez težav.) Opozarjam vas na najbolj splošno formulo za reševanje kaj kvadratne enačbe:

Izraz pod korenom se imenuje diskriminant. Običajno je diskriminant označen s črko D. Diskriminantna formula:

D = b 2 - 4ac

In kaj je tako izjemnega pri tem izrazu? Zakaj si je zaslužil posebno ime? Kaj pomen diskriminatorja? Konec koncev -b, oz 2a v tej formuli nič posebej ne imenujejo ... Črke in črke.

Tukaj je stvar. Pri reševanju kvadratne enačbe s to formulo je to mogoče le trije primeri.

1. Diskriminanta je pozitivna. To pomeni, da je iz njega mogoče izvleči korenino. Ali je koren izvlečen dobro ali slabo, je drugo vprašanje. Pomembno je, kaj se načeloma izloči. Potem ima vaša kvadratna enačba dva korena. Dve različni rešitvi.

2. Diskriminanta je nič. Potem boste imeli eno rešitev. Ker dodajanje ali odštevanje ničle v števcu ne spremeni ničesar. Strogo gledano, to ni ena korenina, ampak dva enaka. Toda v poenostavljeni različici je običajno govoriti o tem ena rešitev.

3. Diskriminanta je negativna. Kvadratni koren negativnega števila ni mogoče vzeti. No, v redu. To pomeni, da ni rešitev.

Iskreno povedano, pri preprostem reševanju kvadratnih enačb koncept diskriminante pravzaprav ni potreben. Vrednosti koeficientov nadomestimo v formulo in preštejemo. Tam se vse zgodi samo od sebe, dve korenini, ena in nobena. Pri reševanju zahtevnejših nalog pa brez znanja pomen in formula diskriminanta ne dovolj. Še posebej v enačbah s parametri. Takšne enačbe so akrobatika za državni izpit in enotni državni izpit!)

Torej, kako rešiti kvadratne enačbe prek diskriminatorja, ki ste se ga spomnili. Ali pa ste se naučili, kar tudi ni slabo.) Znate pravilno določiti a, b in c. Veš kako? pozorno jih nadomestite v korensko formulo in pozorno preštejte rezultat. Razumete, da je tu ključna beseda pozorno?

Sedaj pa upoštevajte praktične tehnike, ki dramatično zmanjšajo število napak. Tisti isti, ki so zaradi nepazljivosti... Za katere postane kasneje boleče in žaljivo...

Prvi termin . Ne bodite leni, preden rešite kvadratno enačbo in jo pripeljete v standardno obliko. Kaj to pomeni?
Recimo, da po vseh transformacijah dobite naslednjo enačbo:

Ne hitite s pisanjem korenske formule! Skoraj zagotovo se vam bodo pomešale možnosti a, b in c. Pravilno sestavite primer. Najprej X na kvadrat, nato brez kvadrata, nato prosti člen. Všečkaj to:

In še enkrat, ne hitite! Minus pred X na kvadrat vas lahko pošteno razburi. Lahko se pozabi... Znebi se minusa. kako Da, kot je bilo učeno v prejšnji temi! Celotno enačbo moramo pomnožiti z -1. Dobimo:

Sedaj pa lahko varno zapišete formulo za korenine, izračunate diskriminanco in dokončate reševanje primera. Odločite se sami. Zdaj bi morali imeti korenine 2 in -1.

Drugi sprejem. Preverite korenine! Po Vietovem izreku. Ne boj se, vse ti bom razložil! Preverjanje zadnja stvar enačba. Tisti. tisti, ki smo ga uporabili za zapis korenske formule. Če (kot v tem primeru) koeficient a = 1, je preverjanje korenin preprosto. Dovolj jih je pomnožiti. Rezultat bi moral biti brezplačen član, tj. v našem primeru -2. Upoštevajte, ne 2, ampak -2! Brezplačni član s svojim znakom . Če ne gre, pomeni, da so že nekje zafrknili. Poiščite napako.

Če deluje, morate dodati korenine. Zadnji in zadnji pregled. Koeficient naj bo b z nasprotje znano. V našem primeru -1+2 = +1. Koeficient b, ki je pred X, je enako -1. Torej, vse je pravilno!
Škoda, da je to tako preprosto samo za primere, kjer je x na kvadrat čist, s koeficientom a = 1. Ampak vsaj preverite takšne enačbe! Napak bo vse manj.

Sprejem tretji . Če ima vaša enačba delne koeficiente, se jih znebite! Enačbo pomnožite s skupnim imenovalcem, kot je opisano v lekciji "Kako rešiti enačbe? Identitetne transformacije." Pri delu z ulomki se iz nekega razloga vedno prikradejo napake ...

Mimogrede, obljubil sem, da bom zlobni primer poenostavil s kupom minusov. prosim! Tukaj je.

Da se ne bi zmešali z minusi, enačbo pomnožimo z -1. Dobimo:

To je vse! Reševanje je užitek!

Torej, povzamemo temo.

Praktični nasveti:

1. Kvadratno enačbo pred reševanjem spravimo v standardno obliko in jo sestavimo Prav.

2. Če je pred X na kvadrat negativen koeficient, ga izločimo tako, da celotno enačbo pomnožimo z -1.

3. Če so koeficienti ulomki, ulomke izločimo tako, da celotno enačbo pomnožimo z ustreznim faktorjem.

4. Če je x na kvadrat čist, je njegov koeficient enak ena, je rešitev enostavno preveriti z uporabo Vietovega izreka. Naredi!

Zdaj se lahko odločimo.)

Reši enačbe:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Odgovori (v neredu):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - poljubno število

x 1 = -3
x 2 = 3

brez rešitev

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Se vse ujema? Super! Kvadratne enačbe niso vaš glavobol. Prvi trije so delovali, ostali pa ne? Potem problem ni v kvadratnih enačbah. Težava je v identičnih transformacijah enačb. Poglejte povezavo, je v pomoč.

Ne gre ravno? Ali pa sploh ne gre? Potem vam bo v pomoč razdelek 555. Vsi ti primeri so tam razčlenjeni. Prikazano glavni napake v rešitvi. Seveda govorimo tudi o uporabi identičnih transformacij pri reševanju različnih enačb. Zelo pomaga!

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Prva stopnja

Kvadratne enačbe. Obsežen vodnik (2019)

V izrazu "kvadratna enačba" je ključna beseda "kvadratna". To pomeni, da mora enačba nujno vsebovati spremenljivko (ta isti x) na kvadrat in ne sme biti xov na tretjo (ali večjo) potenco.

Rešitev številnih enačb se zmanjša na reševanje kvadratnih enačb.

Naučimo se ugotoviti, da je to kvadratna enačba in ne kakšna druga enačba.

Primer 1.

Znebimo se imenovalca in vsak člen enačbe pomnožimo s

Premaknimo vse na levo stran in člene razporedimo po padajočem vrstnem redu potenc X

Zdaj lahko z gotovostjo trdimo, da je ta enačba kvadratna!

Primer 2.

Pomnožite levo in desno stran z:

Ta enačba, čeprav je bila prvotno v njej, ni kvadratna!

Primer 3.

Pomnožimo vse z:

Strašljivo? Četrta in druga stopnja ... Vendar, če naredimo zamenjavo, bomo videli, da imamo preprosto kvadratno enačbo:

Primer 4.

Zdi se, da je tam, vendar poglejmo podrobneje. Premaknimo vse na levo stran:

Glej, zmanjšano je - in zdaj je preprosta linearna enačba!

Zdaj poskusite sami ugotoviti, katere od naslednjih enačb so kvadratne in katere ne:

Primeri:

odgovori:

1. kvadrat;
2. kvadrat;
3. ni kvadraten;
4. ni kvadraten;
5. ni kvadraten;
6. kvadrat;
7. ni kvadraten;
8. kvadrat.

Matematiki konvencionalno delijo vse kvadratne enačbe na naslednje vrste:

• Popolne kvadratne enačbe- enačbe, v katerih koeficienti in, kot tudi prosti člen c, niso enaki nič (kot v primeru). Poleg tega med popolnimi kvadratnimi enačbami obstajajo dano- to so enačbe, v katerih je koeficient (enačba iz prvega primera ni samo popolna, ampak tudi zmanjšana!)

• Nepopolne kvadratne enačbe- enačbe, v katerih sta koeficient in/ali prosti člen c enaka nič:

  Nepopolni so, ker jim manjka nekaj elementov. Toda enačba mora vedno vsebovati x na kvadrat!!! V nasprotnem primeru ne bo več kvadratna enačba, ampak neka druga enačba.

Zakaj so se domislili takšne delitve? Zdi se, da obstaja X na kvadrat, in v redu. To delitev določajo metode reševanja. Oglejmo si vsakega od njih podrobneje.

Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb

Najprej se osredotočimo na reševanje nepopolnih kvadratnih enačb – veliko enostavnejše so!

Obstajajo vrste nepopolnih kvadratnih enačb:

1. , je v tej enačbi koeficient enak.
2. , v tej enačbi je prosti člen enak.
3. , sta v tej enačbi koeficient in prosti člen enaka.

1. i. Ker vemo, kako izvleči kvadratni koren, uporabimo to enačbo za izražanje

Izraz je lahko negativen ali pozitiven. Kvadrat števila ne more biti negativen, ker bo pri množenju dveh negativnih ali dveh pozitivnih števil rezultat vedno pozitivno število, torej: če, potem enačba nima rešitev.

In če, potem dobimo dve korenini. Teh formul si ni treba zapomniti. Glavna stvar je, da morate vedeti in se vedno spomniti, da ne more biti manj.

Poskusimo rešiti nekaj primerov.

Primer 5:

Reši enačbo

Zdaj ostane le še, da izvlečemo koren z leve in desne strani. Navsezadnje se spomnite, kako izločiti korenine?

odgovor:

Nikoli ne pozabite na korenine z negativnim predznakom!!!

Primer 6:

Reši enačbo

odgovor:

Primer 7:

Reši enačbo

Oh! Kvadrat števila ne more biti negativen, kar pomeni, da enačba

brez korenin!

Za takšne enačbe, ki nimajo korenin, so si matematiki izmislili posebno ikono - (prazen niz). In odgovor se lahko zapiše takole:

odgovor:

Tako ima ta kvadratna enačba dva korena. Tu ni nobenih omejitev, saj nismo izvlekli korena.
Primer 8:

Reši enačbo

Vzemimo skupni faktor iz oklepajev:

torej

Ta enačba ima dva korena.

odgovor:

Najenostavnejša vrsta nepopolnih kvadratnih enačb (čeprav so vse preproste, kajne?). Očitno ima ta enačba vedno samo en koren:

Tu se bomo odpovedali primerom.

Reševanje popolnih kvadratnih enačb

Spomnimo vas, da je popolna kvadratna enačba enačba v obliki enačbe, kjer je

Reševanje popolnih kvadratnih enačb je nekoliko težje (samo malo) od teh.

Ne pozabite, Vsako kvadratno enačbo je mogoče rešiti z diskriminanto! Tudi nepopolna.

Druge metode vam bodo pomagale hitreje, če pa imate težave s kvadratnimi enačbami, najprej rešite rešitev z diskriminanto.

1. Reševanje kvadratnih enačb z uporabo diskriminante.

Reševanje kvadratnih enačb s to metodo je zelo preprosto, glavna stvar je zapomniti si zaporedje dejanj in nekaj formul.

Če ima enačba koren. Posebno pozornost morate posvetiti koraku. Diskriminanta () nam pove število korenov enačbe.

• Če, potem bo formula v koraku zmanjšana na. Tako bo enačba imela samo koren.
• Če, potem v koraku ne bomo mogli izluščiti korena diskriminante. To pomeni, da enačba nima korenin.

Vrnimo se k našim enačbam in si oglejmo nekaj primerov.

Primer 9:

Reši enačbo

Korak 1 preskočimo.

2. korak

Poiščemo diskriminanco:

To pomeni, da ima enačba dva korena.

3. korak

odgovor:

Primer 10:

Reši enačbo

Enačba je predstavljena v standardni obliki, torej Korak 1 preskočimo.

2. korak

Poiščemo diskriminanco:

To pomeni, da ima enačba en koren.

odgovor:

Primer 11:

Reši enačbo

Enačba je predstavljena v standardni obliki, torej Korak 1 preskočimo.

2. korak

Poiščemo diskriminanco:

To pomeni, da ne bomo mogli izluščiti korena diskriminante. Ni korenin enačbe.

Zdaj vemo, kako takšne odgovore pravilno zapisati.

odgovor: brez korenin

2. Reševanje kvadratnih enačb z uporabo Vietovega izreka.

Če se spomnite, obstaja vrsta enačbe, ki se imenuje reducirana (ko je koeficient a enak):

Takšne enačbe je zelo enostavno rešiti z uporabo Vietovega izreka:

Vsota korenin dano kvadratna enačba enaka, produkt korenin pa enak.

Primer 12:

Reši enačbo

To enačbo je mogoče rešiti z uporabo Vietovega izreka, ker .

Vsota korenov enačbe je enaka, tj. dobimo prvo enačbo:

In produkt je enak:

Sestavimo in rešimo sistem:

• in. Znesek je enak;
• in. Znesek je enak;
• in. Znesek je enak.

in so rešitev sistema:

odgovor: ; .

Primer 13:

Reši enačbo

odgovor:

Primer 14:

Reši enačbo

Podana je enačba, ki pomeni:

odgovor:

KVADRATNE ENAČBE. POVPREČNA STOPNJA

Kaj je kvadratna enačba?

Z drugimi besedami, kvadratna enačba je enačba oblike, kjer je - neznanka, - nekaj števil in.

Število imenujemo najvišje oz prvi koeficient kvadratna enačba, - drugi koeficient, A - brezplačen član.

Zakaj? Ker če enačba takoj postane linearna, ker bo izginilo.

V tem primeru in je lahko enako nič. V tem stolu se enačba imenuje nepopolna. Če so vsi členi na svojem mestu, je enačba popolna.

Rešitve različnih vrst kvadratnih enačb

Metode za reševanje nepopolnih kvadratnih enačb:

Najprej si poglejmo metode za reševanje nepopolnih kvadratnih enačb - so preprostejše.

Ločimo naslednje vrste enačb:

I., v tej enačbi sta koeficient in prosti člen enaka.

II. , je v tej enačbi koeficient enak.

III. , v tej enačbi je prosti člen enak.

Zdaj pa si poglejmo rešitev za vsako od teh podvrst.

Očitno ima ta enačba vedno samo en koren:

Število na kvadrat ne more biti negativno, ker ko pomnožite dve negativni ali dve pozitivni števili, bo rezultat vedno pozitivno število. Zato:

če, potem enačba nima rešitev;

če imamo dve korenini

Teh formul si ni treba zapomniti. Glavna stvar, ki si jo morate zapomniti, je, da manj ne more biti.

Primeri:

rešitve:

odgovor:

Nikoli ne pozabite na korenine z negativnim predznakom!

Kvadrat števila ne more biti negativen, kar pomeni, da enačba

brez korenin.

Da na kratko zapišemo, da problem nima rešitve, uporabimo ikono za prazen niz.

odgovor:

Torej ima ta enačba dva korena: in.

odgovor:

Vzemimo skupni faktor iz oklepajev:

Produkt je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič. To pomeni, da ima enačba rešitev, ko:

Torej ima ta kvadratna enačba dva korena: in.

primer:

Reši enačbo.

rešitev:

Razložimo levo stran enačbe in poiščemo korenine:

odgovor:

Metode za reševanje popolnih kvadratnih enačb:

1. Diskriminator

Reševanje kvadratnih enačb na ta način je enostavno, glavna stvar je, da se spomnite zaporedja dejanj in nekaj formul. Ne pozabite, da je vsako kvadratno enačbo mogoče rešiti z diskriminanto! Tudi nepopolna.

Ste v formuli za korene opazili koren iz diskriminante? Toda diskriminant je lahko negativen. Kaj storiti? Posebno pozornost moramo posvetiti 2. koraku. Diskriminanta nam pove število korenov enačbe.

• Če ima enačba korenine:
• Če ima enačba enake korenine in dejansko en koren:

  Takšne korenine imenujemo dvojne korenine.

• Če, potem koren diskriminante ni ekstrahiran. To pomeni, da enačba nima korenin.

Zakaj je možno različno število korenin? Obrnemo se na geometrijski pomen kvadratne enačbe. Graf funkcije je parabola:

V posebnem primeru, ki je kvadratna enačba, . To pomeni, da so korenine kvadratne enačbe točke presečišča z abscisno osjo (osjo). Parabola morda sploh ne seka osi ali pa jo seka v eni (če vrh parabole leži na osi) ali dveh točkah.

Poleg tega je koeficient odgovoren za smer vej parabole. Če so veje parabole usmerjene navzgor, če pa navzdol.

Primeri:

rešitve:

odgovor:

Odgovor: .

odgovor:

To pomeni, da ni rešitev.

Odgovor: .

2. Vietov izrek

Zelo enostavno je uporabiti Vietov izrek: samo izbrati morate par števil, katerih produkt je enak prostemu členu enačbe, vsota pa je enaka drugemu koeficientu, vzetem z nasprotnim predznakom.

Pomembno si je zapomniti, da je Vietin izrek mogoče uporabiti samo v zmanjšane kvadratne enačbe ().

Oglejmo si nekaj primerov:

Primer #1:

Reši enačbo.

rešitev:

To enačbo je mogoče rešiti z uporabo Vietovega izreka, ker . Drugi koeficienti: ; .

Vsota korenin enačbe je:

In produkt je enak:

Izberimo pare števil, katerih produkt je enak, in preverimo, ali je njuna vsota enaka:

• in. Znesek je enak;
• in. Znesek je enak;
• in. Znesek je enak.

in so rešitev sistema:

Tako sta in sta korena naše enačbe.

Odgovor: ; .

Primer #2:

rešitev:

Izberimo pare števil, ki dajejo zmnožek, nato pa preverimo, ali je njuna vsota enaka:

in: dajo skupaj.

in: dajo skupaj. Za pridobitev je dovolj, da preprosto spremenite znake domnevnih korenin: in navsezadnje izdelek.

odgovor:

Primer #3:

rešitev:

Prosti člen enačbe je negativen, zato je produkt korenin negativno število. To je mogoče le, če je eden od korenov negativen, drugi pa pozitiven. Zato je vsota korenin enaka razlike njihovih modulov.

Izberimo pare števil, ki dajejo produkt in katerih razlika je enaka:

in: njihova razlika je enaka - ne ustreza;

in: - ni primeren;

in: - ni primeren;

in: - primeren. Vse kar ostane je, da se spomnimo, da je eden od korenov negativen. Ker mora biti njuna vsota enaka, mora biti koren z manjšim modulom negativen: . Preverjamo:

odgovor:

Primer #4:

Reši enačbo.

rešitev:

Podana je enačba, ki pomeni:

Prosti člen je negativen, zato je produkt korenin negativen. In to je mogoče le, če je en koren enačbe negativen, drugi pa pozitiven.

Izberimo pare števil, katerih produkt je enak, in nato določimo, kateri koreni naj imajo negativni predznak:

Očitno so samo korenine in primerne za prvi pogoj:

odgovor:

Primer #5:

Reši enačbo.

rešitev:

Podana je enačba, ki pomeni:

Vsota korenov je negativna, kar pomeni, da je vsaj eden od korenov negativen. Ker pa je njihov produkt pozitiven, pomeni, da imata oba korena znak minus.

Izberimo pare števil, katerih produkt je enak:

Očitno so korenine številke in.

odgovor:

Strinjam se, da je zelo priročno priti do korenin ustno, namesto da bi šteli to grdo diskriminacijo. Poskusite uporabiti Vietov izrek čim pogosteje.

Toda Vietov izrek je potreben, da bi olajšali in pospešili iskanje korenin. Da bi vam njegova uporaba koristila, morate dejanja avtomatizirati. In za to rešite še pet primerov. Vendar ne goljufajte: ne morete uporabiti diskriminatorja! Samo Vietov izrek:

Rešitve nalog za samostojno delo:

Naloga 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Po Vietovem izreku:

Kot običajno, izbor začnemo s komadom:

Ni primeren, ker količina;

: znesek je ravno to, kar potrebujete.

Odgovor: ; .

Naloga 2.

In spet naš najljubši Vieta izrek: vsota mora biti enaka in produkt mora biti enak.

Ker pa mora biti ne, ampak, spremenimo znake korenov: in (skupaj).

Odgovor: ; .

Naloga 3.

Hmm ... Kje je to?

Vse izraze morate premakniti v en del:

Vsota korenin je enaka produktu.

V redu, nehaj! Enačba ni podana. Toda Vietov izrek je uporaben samo v danih enačbah. Torej, najprej morate dati enačbo. Če ne morete voditi, opustite to idejo in rešite na drug način (na primer z diskriminatorjem). Naj vas spomnim, da podati kvadratno enačbo pomeni, da je glavni koeficient enak:

Super. Potem je vsota korenin enaka in produktu.

Tu je izbira tako enostavna kot luščenje hrušk: navsezadnje je to praštevilo (oprostite za tavtologijo).

Odgovor: ; .

Naloga 4.

Brezplačni član je negativen. Kaj je na tem posebnega? In dejstvo je, da bodo korenine imele različne znake. In zdaj, med izbiro, ne preverjamo vsote korenin, temveč razliko v njihovih modulih: ta razlika je enaka, ampak produkt.

Torej, korenine so enake in, vendar je ena od njih minus. Vietov izrek nam pove, da je vsota korenin enaka drugemu koeficientu z nasprotnim predznakom, tj. To pomeni, da bo imel manjši koren minus: in, saj.

Odgovor: ; .

Naloga 5.

Kaj morate storiti najprej? Tako je, navedite enačbo:

Še enkrat: izberemo faktorje števila, njihova razlika pa mora biti enaka:

Korenini sta enaki in, vendar je ena od njiju minus. kateri? Njuna vsota mora biti enaka, kar pomeni, da bo minus imel večji koren.

Odgovor: ; .

Naj povzamem:

1. Vietov izrek se uporablja samo v podanih kvadratnih enačbah.
2. Z uporabo Vietaovega izreka lahko poiščete korenine z izbiro, ustno.
3. Če enačba ni podana ali ni najdenega ustreznega para faktorjev prostega člena, potem ni celih korenin in jo morate rešiti na drug način (na primer z diskriminanto).

3. Metoda izbire celotnega kvadrata

Če so vsi členi, ki vsebujejo neznanko, predstavljeni v obliki členov iz skrajšanih formul množenja - kvadrat vsote ali razlike - potem lahko po zamenjavi spremenljivk enačbo predstavimo v obliki nepopolne kvadratne enačbe tipa.

Na primer:

Primer 1:

Reši enačbo: .

rešitev:

odgovor:

Primer 2:

Reši enačbo: .

rešitev:

odgovor:

Na splošno bo preoblikovanje videti takole:

To pomeni:.

Vas ne spominja na nič? To je diskriminatorna stvar! Točno tako smo dobili diskriminantno formulo.

KVADRATNE ENAČBE. NA KRATKO O GLAVNEM

Kvadratna enačba- to je enačba oblike, kjer - neznanka, - koeficienti kvadratne enačbe, - prosti člen.

Popolna kvadratna enačba- enačba, v kateri koeficienti niso enaki nič.

Zmanjšana kvadratna enačba- enačba, v kateri je koeficient, to je: .

Nepopolna kvadratna enačba- enačba, v kateri sta koeficient in/ali prosti člen c enaka nič:

• če je koeficient, enačba izgleda takole: ,
• če obstaja prosti člen, ima enačba obliko: ,
• če in je enačba videti takole: .

1. Algoritem za reševanje nepopolnih kvadratnih enačb

1.1. Nepopolna kvadratna enačba oblike, kjer je:

1) Izrazimo neznanko: ,

2) Preverite znak izraza:

• če, potem enačba nima rešitev,
• če, potem ima enačba dva korena.

1.2. Nepopolna kvadratna enačba oblike, kjer je:

1) Vzemimo skupni faktor iz oklepaja: ,

2) Produkt je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič. Zato ima enačba dva korena:

1.3. Nepopolna kvadratna enačba oblike, kjer je:

Ta enačba ima vedno samo en koren: .

2. Algoritem za reševanje popolnih kvadratnih enačb oblike kjer

2.1. Rešitev z uporabo diskriminante

1) Pripravimo enačbo v standardno obliko: ,

2) Izračunajmo diskriminanco po formuli: , ki pove število korenov enačbe:

3) Poiščite korenine enačbe:

• če ima enačba korenine, ki jih najdemo po formuli:
• če ima enačba koren, ki ga najdemo po formuli:
• če, potem enačba nima korenin.

2.2. Rešitev z uporabo Vietovega izreka

Vsota korenov reducirane kvadratne enačbe (enačbe oblike kjer) je enaka, produkt korenin pa enak, tj. , A.

2.3. Rešitev z metodo izbire celotnega kvadrata