V tem videoposnetku bomo analizirali cel niz linearnih enačb, ki jih rešujemo z istim algoritmom - zato jih imenujemo najpreprostejše.
Najprej opredelimo: kaj je linearna enačba in katera se imenuje najenostavnejša?
Linearna enačba- tista, v kateri je samo ena spremenljivka in izključno na prvo stopnjo.
Najenostavnejša enačba pomeni konstrukcijo:
Vse druge linearne enačbe so reducirane na najpreprostejše z uporabo algoritma:
- Razširite oklepaje, če obstajajo;
- Premakni izraze, ki vsebujejo spremenljivko, na eno stran znaka enačaja, izraze brez spremenljivke pa na drugo;
- Levo in desno od enačaja navedite podobne izraze;
- Dobljeno enačbo delite s koeficientom spremenljivke $x$.
Seveda ta algoritem ne pomaga vedno. Dejstvo je, da se včasih po vseh teh mahinacijah izkaže, da je koeficient spremenljivke $x$ enako nič. V tem primeru sta možni dve možnosti:
- Enačba sploh nima rešitev. Na primer, ko se izkaže nekaj takega kot $0\cdot x=8$, tj. na levi je nič, na desni pa število, ki ni nič. V spodnjem videu si bomo ogledali več razlogov, zakaj je to mogoče.
- Rešitev so vse številke. Edini primer, ko je to mogoče, je, ko je enačba reducirana na konstrukcijo $0\cdot x=0$. Povsem logično je, da ne glede na to, kateri $x$ zamenjamo, se bo še vedno izkazalo, da je "nič enaka nič", tj. pravilna številčna enakost.
Zdaj pa poglejmo, kako vse to deluje na primerih iz resničnega življenja.
Primeri reševanja enačb
Danes imamo opravka z linearnimi enačbami, in to le z najpreprostejšimi. V splošnem linearna enačba pomeni vsako enakost, ki vsebuje natanko eno spremenljivko in gre samo na prvo stopnjo.
Takšne konstrukcije so rešene na približno enak način:
- Najprej morate odpreti oklepaje, če obstajajo (kot v našem zadnji primer);
- Nato združite podobno
- Na koncu izolirajte spremenljivko, tj. premaknite vse, kar je povezano s spremenljivko – izraze, v katerih je vsebovana – na eno stran in premaknite vse, kar ostane brez nje, na drugo stran.
Potem morate praviloma na vsaki strani nastale enakosti prinesti podobne, nato pa ostane le še delitev s koeficientom "x" in dobili bomo končni odgovor.
V teoriji je to videti lepo in preprosto, v praksi pa lahko celo izkušeni srednješolci naredijo žaljive napake v precej preprostih linearnih enačbah. Običajno pride do napak pri odpiranju oklepajev ali pri izračunu "plusov" in "minusov".
Poleg tega se zgodi, da linearna enačba sploh nima rešitev ali pa je rešitev celotna številska premica, tj. poljubno število. Te podrobnosti si bomo ogledali v današnji lekciji. Začeli pa bomo, kot ste že razumeli, z zelo preproste naloge.
Shema za reševanje preprostih linearnih enačb
Najprej naj še enkrat napišem celotno shemo za reševanje najenostavnejših linearnih enačb:
- Razširite oklepaje, če obstajajo.
- Izoliramo spremenljivke, tj. Vse, kar vsebuje "X" premaknemo na eno stran, vse brez "X" pa na drugo.
- Predstavljamo podobne izraze.
- Vse delimo s koeficientom "x".
Seveda ta shema ne deluje vedno, v njej so določene tankosti in triki, zdaj pa jih bomo spoznali.
Reševanje realnih primerov enostavnih linearnih enačb
Naloga št. 1
Prvi korak zahteva, da odpremo oklepaje. Vendar jih v tem primeru ni, zato ta korak preskočimo. V drugem koraku moramo izolirati spremenljivke. Opomba: govorimo o le o posameznih terminih. Zapišimo:
Na levi in desni strani predstavljamo podobne izraze, vendar je to tukaj že narejeno. Zato pojdimo naprej četrti korak: deljeno s koeficientom:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Tako smo dobili odgovor.
Naloga št. 2
V tem problemu vidimo oklepaje, zato jih razširimo:
Tako na levi kot na desni vidimo približno enako zasnovo, vendar ravnajmo po algoritmu, tj. ločevanje spremenljivk:
Tukaj je nekaj podobnih:
Pri katerih koreninah to deluje? Odgovor: za katero koli. Zato lahko zapišemo, da je $x$ poljubno število.
Naloga št. 3
Tretja linearna enačba je bolj zanimiva:
\[\levo(6-x \desno)+\levo(12+x \desno)-\levo(3-2x \desno)=15\]
Obstaja več oklepajev, vendar se ne pomnožijo z ničemer, le pred njimi je razna znamenja. Razčlenimo jih:
Izvedemo drugi korak, ki nam je že znan:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Izračunajmo:
Izvedemo zadnji korak - vse delimo s koeficientom "x":
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Stvari, ki si jih morate zapomniti pri reševanju linearnih enačb
Če zanemarimo preveč preproste naloge, bi rad povedal naslednje:
- Kot sem rekel zgoraj, vsaka linearna enačba nima rešitve - včasih preprosto ni korenin;
- Tudi če so korenine, je lahko med njimi nič - s tem ni nič narobe.
Ničla je enaka kot druge; ne smete je kakor koli diskriminirati ali domnevati, da ste naredili nekaj narobe.
Druga značilnost je povezana z odpiranjem oklepajev. Upoštevajte: ko je pred njimi "minus", ga odstranimo, v oklepajih pa spremenimo znake v nasprotje. In potem ga lahko odpremo s standardnimi algoritmi: dobili bomo tisto, kar smo videli v zgornjih izračunih.
Razumevanje tega preprosto dejstvo vam bo omogočilo, da se izognete neumnim in žaljivim napakam v srednji šoli, ko so takšna dejanja samoumevna.
Reševanje kompleksnih linearnih enačb
Pojdimo na več kompleksne enačbe. Zdaj bodo konstrukcije postale bolj zapletene in pri izvajanju različnih transformacij se bo pojavila kvadratna funkcija. Vendar se tega ne smemo bati, kajti če po avtorjevem načrtu rešujemo linearno enačbo, potem se bodo med postopkom transformacije vsi monomi, ki vsebujejo kvadratno funkcijo, zagotovo preklicali.
Primer št. 1
Očitno je prvi korak odpiranje oklepajev. Naredimo to zelo previdno:
Zdaj pa si poglejmo zasebnost:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Tukaj je nekaj podobnih:
Očitno je, da podana enačba Rešitev ni, zato bomo v odgovor zapisali tole:
\[\varnič\]
ali pa ni korenin.
Primer št. 2
Izvajamo enaka dejanja. Prvi korak:
Premaknimo vse s spremenljivko v levo in brez nje - v desno:
Tukaj je nekaj podobnih:
Očitno je, da ta linearna enačba nima rešitve, zato jo bomo zapisali takole:
\[\varnič\],
ali pa ni korenin.
Nianse rešitve
Obe enačbi sta popolnoma rešeni. Na primeru teh dveh izrazov smo se še enkrat prepričali, da tudi v najpreprostejših linearnih enačbah morda ni vse tako preprosto: lahko je ena ali nobena ali neskončno veliko korenin. V našem primeru smo obravnavali dve enačbi, ki pa preprosto nimata korenin.
Vendar bi vas rad opozoril na drugo dejstvo: kako delati z oklepaji in kako jih odpreti, če je pred njimi znak minus. Razmislite o tem izrazu:
Preden odprete, morate vse pomnožiti z "X". Prosimo, upoštevajte: pomnoži vsak posamezen termin. V notranjosti sta dva izraza - oziroma dva izraza in pomnožena.
In šele ko so te na videz elementarne, a zelo pomembne in nevarne preobrazbe končane, lahko odprete oklepaj z vidika dejstva, da je za njim znak minus. Da, da: šele zdaj, ko so transformacije končane, se spomnimo, da je pred oklepajem znak minus, kar pomeni, da vse spodaj preprosto spremeni predznak. Hkrati izginejo sami oklepaji in, kar je najpomembneje, izgine tudi sprednji "minus".
Enako naredimo z drugo enačbo:
Ni naključje, da sem pozoren na ta majhna, na videz nepomembna dejstva. Ker je reševanje enačb vedno zaporedje elementarnih transformacij, kjer je nezmožnost jasne in kompetentne izvedbe preprosti koraki pripelje do tega, da srednješolci pridejo k meni in se spet naučijo reševati tako preproste enačbe.
Seveda bo prišel dan, ko boste te veščine izpilili do avtomatizma. Ne bo vam treba več vsakič izvajati toliko transformacij; vse boste zapisali v eno vrstico. Medtem ko se šele učite, morate vsako dejanje napisati posebej.
Reševanje tudi bolj zapletenih linearnih enačb
To, kar bomo zdaj rešili, težko imenujemo najpreprostejša naloga, vendar pomen ostaja enak.
Naloga št. 1
\[\levo(7x+1 \desno)\levo(3x-1 \desno)-21((x)^(2))=3\]
Pomnožimo vse elemente v prvem delu:
Poskrbimo za zasebnost:
Tukaj je nekaj podobnih:
Dokončajmo zadnji korak:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Tukaj je naš končni odgovor. In kljub dejstvu, da smo imeli v procesu reševanja koeficiente s kvadratno funkcijo, so se med seboj izničili, zaradi česar je enačba linearna in ne kvadratna.
Naloga št. 2
\[\levo(1-4x \desno)\levo(1-3x \desno)=6x\levo(2x-1 \desno)\]
Pazljivo izvedimo prvi korak: vsak element iz prvega oklepaja pomnožimo z vsakim elementom iz drugega. Po preobrazbah naj bi bili skupno štirje novi izrazi:
Zdaj pazljivo izvedimo množenje v vsakem členu:
Pojme z "X" premaknimo na levo, tiste brez - na desno:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Tukaj so podobni izrazi:
Ponovno smo prejeli končni odgovor.
Nianse rešitve
Najpomembnejša opomba o teh dveh enačbah je, da takoj, ko začnemo množiti oklepaje, ki vsebujejo več kot en člen, to stori z naslednje pravilo: vzamemo prvi člen iz prvega in pomnožimo z vsakim elementom iz drugega; nato vzamemo drugi element iz prvega in podobno pomnožimo z vsakim elementom iz drugega. Posledično bomo imeli štiri mandate.
O algebraični vsoti
S tem zadnjim primerom bi rad študente opozoril, kaj algebraična vsota. V klasični matematiki mislimo z $1-7$ preprost dizajn: od ena odštej sedem. V algebri s tem mislimo naslednje: številu »ena« dodamo drugo število, in sicer »minus sedem«. Tako se algebraična vsota razlikuje od navadne aritmetične vsote.
Takoj, ko pri izvajanju vseh transformacij, vsakega seštevanja in množenja začnete videti konstrukcije, podobne zgoraj opisanim, preprosto ne boste imeli nobenih težav v algebri pri delu s polinomi in enačbami.
Za konec si oglejmo še nekaj primerov, ki bodo še bolj zapleteni od tistih, ki smo si jih pravkar ogledali, in za njihovo rešitev bomo morali nekoliko razširiti naš standardni algoritem.
Reševanje enačb z ulomki
Za rešitev takšnih nalog bomo morali našemu algoritmu dodati še en korak. Najprej pa naj vas spomnim na naš algoritem:
- Odprite oklepaje.
- Ločene spremenljivke.
- Prinesite podobne.
- Deli z razmerjem.
Žal, ta čudoviti algoritem se ob vsej svoji učinkovitosti izkaže za ne povsem primernega, ko imamo pred seboj ulomke. In v tem, kar bomo videli spodaj, imamo ulomek tako na levi kot na desni v obeh enačbah.
Kako delati v tem primeru? Da, zelo preprosto je! Če želite to narediti, morate v algoritem dodati še en korak, ki ga je mogoče storiti pred in po prvem dejanju, in sicer znebiti se ulomkov. Torej bo algoritem naslednji:
- Znebite se ulomkov.
- Odprite oklepaje.
- Ločene spremenljivke.
- Prinesite podobne.
- Deli z razmerjem.
Kaj pomeni "znebiti se ulomkov"? In zakaj je to mogoče storiti po in pred prvim standardnim korakom? Pravzaprav so v našem primeru vsi ulomki številčni v svojem imenovalcu, tj. Povsod je imenovalec le številka. Če torej obe strani enačbe pomnožimo s tem številom, se bomo znebili ulomkov.
Primer št. 1
\[\frac(\levo(2x+1 \desno)\levo(2x-3 \desno))(4)=((x)^(2))-1\]
Znebimo se ulomkov v tej enačbi:
\[\frac(\levo(2x+1 \desno)\levo(2x-3 \desno)\cdot 4)(4)=\levo(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 4\]
Prosimo, upoštevajte: vse se enkrat pomnoži s "štiri", tj. samo zato, ker imate dva oklepaja, še ne pomeni, da morate vsakega pomnožiti s "štiri". Zapišimo:
\[\levo(2x+1 \desno)\levo(2x-3 \desno)=\levo(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 4\]
Zdaj pa razširimo:
Izločimo spremenljivko:
Izvedba zasedbe podobni pogoji:
\[-4x=-1\levo| :\levo(-4 \desno) \desno.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Imamo končna odločitev, pojdimo k drugi enačbi.
Primer št. 2
\[\frac(\left(1-x \desno)\left(1+5x \desno))(5)+((x)^(2))=1\]
Tukaj izvajamo vsa ista dejanja:
\[\frac(\left(1-x \desno)\left(1+5x \desno)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Problem je rešen.
To je pravzaprav vse, kar sem vam danes želel povedati.
Ključne točke
Ključne ugotovitve so:
- Poznati algoritem za reševanje linearnih enačb.
- Možnost odpiranja oklepajev.
- Ne skrbi, če vidiš kvadratne funkcije, najverjetneje se bodo v procesu nadaljnjih transformacij zmanjšale.
- V linearnih enačbah obstajajo tri vrste korenin, tudi najpreprostejših: en sam koren, celotna številska premica je koren in nobenih korenin.
Upam, da vam bo ta lekcija pomagala obvladati preprosto, a zelo pomembno temo za nadaljnje razumevanje celotne matematike. Če nekaj ni jasno, pojdite na spletno mesto in rešite tam predstavljene primere. Spremljajte nas, čaka vas še veliko zanimivega!
Sistem linearnih enačb je unija n linearnih enačb, od katerih vsaka vsebuje k spremenljivk. Napisano je takole:
Mnogi, ko se prvič srečajo z višjo algebro, zmotno verjamejo, da mora število enačb nujno sovpadati s številom spremenljivk. V šolski algebri se to običajno zgodi, vendar za višjo algebro to na splošno ne drži.
Rešitev sistema enačb je zaporedje števil (k 1, k 2, ..., k n), ki je rešitev vsake enačbe sistema, tj. pri zamenjavi v to enačbo namesto spremenljivk x 1, x 2, ... daje x n pravilno numerično enakost.
V skladu s tem reševanje sistema enačb pomeni iskanje množice vseh njegovih rešitev ali dokazovanje, da je ta množica prazna. Ker število enačb in število neznank morda ne sovpadata, so možni trije primeri:
- Sistem je nekonzistenten, tj. množica vseh rešitev je prazna. Precej redek primer, ki ga je zlahka zaznati ne glede na to, katera metoda je uporabljena za rešitev sistema.
- Sistem je dosleden in določen, t.j. ima točno eno rešitev. Klasična različica, znana že iz šolskih dni.
- Sistem je konsistenten in nedefiniran, tj. ima neskončno veliko rešitev. To je najtežja možnost. Ni dovolj navesti, da "sistem ima neskončen niz rešitve” - treba je opisati, kako je ta niz strukturiran.
Spremenljivko x i imenujemo dovoljeno, če je vključena samo v eno enačbo sistema in s koeficientom 1. Z drugimi besedami, v drugih enačbah mora biti koeficient spremenljivke x i enak nič.
Če v vsaki enačbi izberemo eno dovoljeno spremenljivko, dobimo množico dovoljenih spremenljivk za celoten sistem enačb. Sam sistem, zapisan v tej obliki, se bo imenoval tudi razrešen. Na splošno se lahko en in isti izvirni sistem zreducira na različne dovoljene, vendar nas to za zdaj ne skrbi. Tu so primeri dovoljenih sistemov:
Oba sistema sta razrešena glede na spremenljivke x 1 , x 3 in x 4 . Vendar pa je z enakim uspehom mogoče trditi, da je drugi sistem razrešen glede na x 1, x 3 in x 5. Dovolj je, da zadnjo enačbo prepišemo v obliki x 5 = x 4.
Zdaj pa poglejmo več splošni primer. Skupaj imamo k spremenljivk, od katerih je dovoljenih r. Potem sta možna dva primera:
- Število dovoljenih spremenljivk r je enako skupnemu številu spremenljivk k: r = k. Dobimo sistem k enačb, v katerem je r = k dovoljenih spremenljivk. Tak sistem je skupen in določen, saj x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
- Število dovoljenih spremenljivk r je manjše skupno število spremenljivke k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.
Torej so v zgornjih sistemih spremenljivke x 2, x 5, x 6 (za prvi sistem) in x 2, x 5 (za drugega) proste. Primer, ko obstajajo proste spremenljivke, je bolje formulirati kot izrek:
Prosimo, upoštevajte: to je zelo pomembna točka! Odvisno od tega, kako napišete nastali sistem, je lahko ista spremenljivka dovoljena ali prosta. Večina mentorjev višja matematika Priporočljivo je, da spremenljivke izpisujete v leksikografskem vrstnem redu, tj. naraščajoči indeks. Vendar niste dolžni upoštevati tega nasveta.
Izrek. Če so v sistemu n enačb dovoljene spremenljivke x 1, x 2, ..., x r in proste x r + 1, x r + 2, ..., x k, potem:
- Če nastavimo vrednosti prostih spremenljivk (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), nato pa poiščemo vrednosti x 1, x 2, ..., x r, dobimo eno od odločitev.
- Če v dveh rešitvah vrednosti prostih spremenljivk sovpadajo, potem sovpadajo tudi vrednosti dovoljenih spremenljivk, tj. rešitve so enake.
Kakšen je pomen tega izreka? Za pridobitev vseh rešitev razrešenega sistema enačb je dovolj, da izoliramo proste spremenljivke. Nato dodeljevanje prostim spremenljivkam različne pomene, bomo prejeli že pripravljene rešitve. To je vse – na ta način lahko dobite vse rešitve sistema. Drugih rešitev ni.
Sklep: razrešen sistem enačb je vedno konsistenten. Če je število enačb v rešenem sistemu enako številu spremenljivk, bo sistem določen, če je manj, bo nedoločen.
In vse bi bilo v redu, vendar se postavlja vprašanje: kako dobiti razrešeno iz prvotnega sistema enačb? Za to obstaja
Linearna enačba je algebraična enačba, polna diploma katerih polinomi so enaki ena. Reševanje linearnih enačb - del šolski kurikulum, in ne najtežje. Vendar imajo nekateri še vedno težave pri dokončanju te teme. Upamo, da bodo po branju tega gradiva vse težave za vas ostale v preteklosti. Torej, ugotovimo. kako rešiti linearne enačbe.
Splošni obrazec
Linearna enačba je predstavljena kot:
- ax + b = 0, kjer sta a in b poljubni števili.
Čeprav sta a in b lahko poljubna števila, njuni vrednosti vplivata na število rešitev enačbe. Obstaja več posebnih primerov rešitve:
- Če je a=b=0, ima enačba neskončno število rešitev;
- Če je a=0, b≠0, enačba nima rešitve;
- Če je a≠0, b=0, ima enačba rešitev: x = 0.
V primeru, da imata obe števili vrednosti različne od nič, je treba enačbo rešiti, da izpeljemo končni izraz za spremenljivko.
Kako se odločiti?
Reševanje linearne enačbe pomeni ugotoviti, čemu je spremenljivka enaka. Kako to narediti? Da, zelo preprosto - z uporabo preprostih algebraičnih operacij in upoštevanjem pravil prenosa. Če se enačba pojavi pred vami v splošni obliki, imate vse, kar morate storiti:
- Premakni b na desna stran enačbe, pri čemer ne smemo pozabiti spremeniti predznaka (pravilo prevajanja!), tako naj bi iz izraza oblike ax + b = 0 dobili izraz oblike: ax = -b.
- Uporabite pravilo: če želite najti enega od faktorjev (x - v našem primeru), morate produkt (-b v našem primeru) razdeliti z drugim faktorjem (a - v našem primeru). Tako bi morali dobiti izraz v obliki: x = -b/a.
To je to – rešitev je najdena!
Zdaj pa poglejmo konkreten primer:
- 2x + 4 = 0 - premakni b enako v tem primeru 4, na desno
- 2x = -4 - delite b z a (ne pozabite na znak minus)
- x = -4/2 = -2
To je vse! Naša rešitev: x = -2.
Kot lahko vidite, je rešitev linearne enačbe z eno spremenljivko zelo enostavno najti, vendar je vse tako preprosto, če imamo srečo, da naletimo na enačbo v splošni obliki. V večini primerov, preden rešite enačbo v dveh zgoraj opisanih korakih, morate še vedno spraviti obstoječi izraz v splošno obliko. Vendar tudi to ni izjemno težka naloga. Oglejmo si nekaj posebnih primerov na primerih.
Reševanje posebnih primerov
Najprej si poglejmo primere, ki smo jih opisali na začetku članka, in razložimo, kaj pomeni imeti neskončno število rešitev in nobene rešitve.
- Če je a=b=0, bo enačba videti takole: 0x + 0 = 0. S prvim korakom dobimo: 0x = 0. Kaj pomeni ta neumnost, boste vzkliknili! Konec koncev, ne glede na to, katero število pomnožite z nič, vedno dobite nič! Prav! Zato pravijo, da ima enačba neskončno število rešitev – ne glede na to, katero število vzamete, bo enakost resnična, 0x = 0 ali 0 = 0.
- Če je a=0, b≠0, bo enačba videti takole: 0x + 3 = 0. Izvedite prvi korak, dobili bomo 0x = -3. Spet neumnosti! Očitno je, da te enakosti nikoli ne bo! Zato pravijo, da enačba nima rešitev.
- Če je a≠0, b=0, bo enačba videti takole: 3x + 0 = 0. Če izvedemo prvi korak, dobimo: 3x = 0. Kakšna je rešitev? Enostavno je, x = 0.
Izgubljen v prevodu
Opisani posebni primeri pa niso vse, s čimer nas linearne enačbe lahko presenetijo. Včasih je enačbo na prvi pogled težko prepoznati. Poglejmo primer:
- 12x - 14 = 2x + 6
Ali je to linearna enačba? Kaj pa ničla na desni strani? Ne bomo hiteli s sklepi, ukrepali bomo - prenesli bomo vse komponente naše enačbe leva stran. Dobimo:
- 12x - 2x - 14 - 6 = 0
Zdaj odštejemo podobno od podobnega, dobimo:
- 10x - 20 = 0
Naučeno? Najbolj linearna enačba doslej! Rešitev tega je: x = 20/10 = 2.
Kaj če imamo ta primer:
- 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)
Da, tudi to je linearna enačba, le da je treba izvesti več transformacij. Najprej odprimo oklepaje:
- (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
- 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
- 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - zdaj izvedemo prenos:
- 25x - 4 = 0 - še vedno je treba najti rešitev z že znano shemo:
- 25x = 4,
- x = 4/25 = 0,16
Kot lahko vidite, je vse mogoče rešiti, glavna stvar je, da ne skrbite, ampak ukrepate. Ne pozabite, če vaša enačba vsebuje samo spremenljivke prve stopnje in števila, imate linearno enačbo, ki jo je, ne glede na to, kako izgleda na začetku, mogoče reducirati na splošno obliko in rešiti. Upamo, da se vam bo vse izšlo! Vso srečo!
Linearne enačbe. Rešitev, primeri.
Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")
Linearne enačbe.
Linearne enačbe niso najbolj kompleksna tema šolska matematika. Obstaja pa nekaj trikov, ki lahko zmedejo celo izurjenega študenta. Naj ugotovimo?)
Običajno je linearna enačba opredeljena kot enačba oblike:
sekira + b = 0 Kje a in b– poljubne številke.
2x + 7 = 0. Tukaj a=2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 Tukaj a=0,1, b=-2,3
12x + 1/2 = 0 Tukaj a=12, b=1/2
Nič zapletenega, kajne? Še posebej, če ne opazite besed: "kjer sta a in b poljubni števili"... In če opazite in neprevidno razmišljate o tem?) Konec koncev, če a=0, b=0(so možne katere koli številke?), potem dobimo smešen izraz:
A to še ni vse! Če recimo, a=0, A b=5, To se izkaže za nekaj popolnoma absurdnega:
Kar je moteče in spodkopava zaupanje v matematiko, ja ...) Še posebej med izpiti. Toda med temi čudnimi izrazi morate najti tudi X! Ki sploh ne obstaja. In, presenetljivo, ta X je zelo enostavno najti. Naučili se bomo tega delati. V tej lekciji.
Kako prepoznati linearno enačbo po videzu? Odvisno kaj videz.) Trik je v tem, da se linearne enačbe ne imenujejo le enačbe oblike sekira + b = 0 , temveč tudi vse enačbe, ki jih je mogoče reducirati na to obliko s transformacijami in poenostavitvami. In kdo ve, ali se spusti ali ne?)
V nekaterih primerih je mogoče jasno prepoznati linearno enačbo. Recimo, če imamo enačbo, v kateri so samo neznanke prve stopnje in števila. In v enačbi ni ulomki deljeni s neznano , je pomembno! In deljenje po številka, ali številski ulomek - to je dobrodošlo! Na primer:
To je linearna enačba. Tukaj so ulomki, vendar ni x-ov v kvadratu, kocki itd., niti x-ov v imenovalcih, tj. št deljenje z x. In tukaj je enačba
ni mogoče imenovati linearno. Tukaj so X-ji vsi na prvi stopnji, vendar obstajajo deljenje z izrazom z x. Po poenostavitvah in transformacijah lahko dobite linearno enačbo, kvadratno enačbo ali kar koli želite.
Izkazalo se je, da je nemogoče prepoznati linearno enačbo v nekem zapletenem primeru, dokler je skoraj ne rešiš. To je moteče. Toda v nalogah praviloma ne sprašujejo o obliki enačbe, kajne? Naloge zahtevajo enačbe odločiti se. To me osrečuje.)
Reševanje linearnih enačb. Primeri.
Celotna rešitev linearnih enačb je sestavljena iz identičnih transformacij enačb. Mimogrede, te transformacije (dve od njih!) so osnova rešitev vse matematične enačbe. Z drugimi besedami, rešitev kaj enačba se začne prav s temi transformacijami. V primeru linearnih enačb temelji (rešitev) na teh transformacijah in se konča s popolnim odgovorom. Smiselno je slediti povezavi, kajne?) Poleg tega so tam tudi primeri reševanja linearnih enačb.
Najprej si poglejmo najpreprostejši primer. Brez kakršnih koli pasti. Recimo, da moramo rešiti to enačbo.
x - 3 = 2 - 4x
To je linearna enačba. Vsi X-ji so na prvi potenci, ni deljenja z X-ji. Toda pravzaprav nam ni pomembno, za kakšno enačbo gre. Moramo ga rešiti. Shema tukaj je preprosta. Zberite vse z X-ji na levi strani enačbe, vse brez X-ov (številke) na desni.
Če želite to narediti, morate prenesti - 4x noter leva stran, seveda s spremembo predznaka, in - 3 - na desno. Mimogrede, to je prva identična transformacija enačb. Presenečen? To pomeni, da niste sledili povezavi, a zaman ...) Dobimo:
x + 4x = 2 + 3
Tukaj so podobni, menimo:
Kaj potrebujemo za popolno srečo? Ja, tako da je na levi čisti X! Pet je na poti. Znebiti se petih s pomočjo druga identična transformacija enačb. Obe strani enačbe namreč delimo s 5. Dobimo pripravljen odgovor:
Elementaren primer, seveda. To je za ogrevanje.) Ni čisto jasno, zakaj sem se tukaj spomnil enakih transformacij? V REDU. Prijemimo bika za roge.) Odločimo se za nekaj bolj trdnega.
Tukaj je na primer enačba:
Kje začnemo? Z X-ji - na levo, brez X-jev - na desno? Lahko bi bilo tako. Z majhnimi koraki dolga pot. Lahko pa to storite takoj, na univerzalen in močan način. Če seveda imate v svojem arzenalu enake transformacije enačb.
vprašam te ključno vprašanje: Kaj vam pri tej enačbi najbolj ni všeč?
95 od 100 ljudi bo odgovorilo: ulomki ! Odgovor je pravilen. Zato se jih znebimo. Zato začnemo takoj z druga transformacija identitete. S čim morate pomnožiti ulomek na levi, da se imenovalec popolnoma zmanjša? Tako je, na 3. In na desni? S 4. Toda matematika nam omogoča, da obe strani pomnožimo s enako število. Kako lahko pridemo ven? Pomnožimo obe strani z 12! Tisti. na skupni imenovalec. Potem se bodo zmanjšale tako tri kot štiri. Ne pozabite, da morate vsak del pomnožiti popolnoma. Tako izgleda prvi korak:
Razširitev oklepajev:
Opomba! Števec (x+2) Dala sem v oklepaj! To je zato, ker se pri množenju ulomkov pomnoži celoten števec! Zdaj lahko zmanjšate ulomke:
Razširite preostale oklepaje:
Ne primer, ampak čisti užitek!) Zdaj pa se spomnimo uroka iz mlajši razredi: z X - na levo, brez X - na desno! In uporabite to transformacijo:
Tukaj je nekaj podobnih:
In oba dela delite s 25, tj. znova uporabite drugo transformacijo:
To je vse. odgovor: X=0,16
Prosimo, upoštevajte: da bi prvotno zmedeno enačbo spravili v lepo obliko, smo uporabili dva (samo dva!) transformacije identitete– prevajanje levo-desno s spremembo predznaka in množenje-deljenje enačbe z istim številom. to univerzalna metoda! Na ta način bomo delali z kaj enačbe! Absolutno kdorkoli. Zato ves čas dolgočasno ponavljam o teh enakih transformacijah.)
Kot lahko vidite, je princip reševanja linearnih enačb preprost. Vzamemo enačbo in jo poenostavimo z transformacije identitete preden prejmete odgovor. Tu so glavni problemi v izračunih, ne v principu rešitve.
Toda ... V procesu reševanja najbolj elementarnih linearnih enačb so takšna presenečenja, da vas lahko spravijo v močno omamo ...) Na srečo sta takšni presenečenji lahko samo dve. Recimo jim posebni primeri.
Posebni primeri pri reševanju linearnih enačb.
Prvo presenečenje.
Recimo, da ste ga dobili najbolj elementarna enačba, nekaj kot:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Rahlo zdolgočaseno premaknemo z X v levo, brez X - v desno ... S spremembo predznaka je vse popolno ... Dobimo:
2x-5x+3x=5-2-3
Računamo in ... ups!!! Dobimo:
Ta enakost sama po sebi ni sporna. Zero je res nič. Ampak X manjka! In v odgovoru moramo zapisati, čemu je x enak? Sicer pa rešitev ne šteje, kajne...) Slepa ulica?
umirjeno! V takih dvomljivih primerih vas bodo rešila najbolj splošna pravila. Kako rešiti enačbe? Kaj pomeni rešiti enačbo? To pomeni, poiščite vse vrednosti x, ki jih, ko jih zamenjate v izvirna enačba, nam bo dala pravo enakost.
Imamo pa pravo enakost že se je zgodilo! 0=0, koliko bolj natančno?! Še vedno je treba ugotoviti, pri katerem x se to zgodi. V katere vrednosti X je mogoče nadomestiti original enačba, če so ti x-ji bodo še zreducirani na nulo? Daj no?)
ja!!! X-je je mogoče zamenjati kaj! Katere želite? Vsaj 5, vsaj 0,05, vsaj -220. Še vedno se bodo krčili. Če mi ne verjamete, lahko preverite.) Zamenjajte poljubne vrednosti X v original enačbo in izračunaj. Ves čas bo šlo čista resnica: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 in tako naprej.
Tukaj je vaš odgovor: x - poljubno število.
Odgovor je lahko zapisan z različnimi matematičnimi simboli, bistvo se ne spremeni. To je povsem pravilen in popoln odgovor.
Drugo presenečenje.
Vzemimo isto osnovno linearno enačbo in spremenimo samo eno število v njej. Takole se bomo odločili:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Po enakih enakih transformacijah dobimo nekaj zanimivega:
Všečkaj to. Rešili smo linearno enačbo in dobili čudno enakost. Govorjenje matematični jezik, imamo lažna enakost. In govorjenje v preprostem jeziku, to ni res. Rave. Toda kljub temu je ta neumnost zelo dober razlog za prava odločitev enačbe.)
Spet razmišljamo na podlagi splošnih pravil. Kaj nam bodo dali x-ji, ko jih zamenjamo v izvirno enačbo prav enakost? Da, nobenega! Takih X-jev ni. Ne glede na to, kaj vložite, se bo vse zmanjšalo, ostale bodo samo neumnosti.)
Tukaj je vaš odgovor: ni rešitev.
To je tudi povsem popoln odgovor. V matematiki se takšni odgovori pogosto najdejo.
Všečkaj to. Upam, da vas izginotje X-ov v procesu reševanja katere koli (ne samo linearne) enačbe ne bo prav nič zmedlo. To je že znana zadeva.)
Zdaj, ko smo opravili z vsemi pastmi v linearnih enačbah, jih je smiselno rešiti.
Če vam je všeč ta stran ...
Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)
Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)
Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.
Itd., logično je, da se seznanite z enačbami drugih vrst. Naslednje na vrsti so linearne enačbe, katere ciljni študij se začne pri pouku algebre v 7. razredu.
Jasno je, da moramo najprej pojasniti, kaj je linearna enačba, podati definicijo linearne enačbe, njene koeficiente in prikazati njeno splošno obliko. Nato lahko ugotovite, koliko rešitev ima linearna enačba glede na vrednosti koeficientov in kako so najdeni koreni. Tako boste lahko prešli na reševanje primerov in s tem utrdili naučeno teorijo. V tem članku bomo to storili: podrobno se bomo posvetili vsem teoretičnim in praktičnim točkam, ki se nanašajo na linearne enačbe in njihove rešitve.
Takoj povejmo, da bomo tukaj obravnavali samo linearne enačbe z eno spremenljivko, v ločenem članku pa bomo preučevali načela rešitve linearne enačbe z dvema spremenljivkama.
Navigacija po strani.
Kaj je linearna enačba?
Definicija linearne enačbe je podana z načinom zapisa. Še več, v različne učbenike Matematične in algebrske formulacije definicij linearnih enačb imajo nekaj razlik, ki ne vplivajo na bistvo vprašanja.
Na primer, v učbeniku algebre za 7. razred Yu N. Makarychev et al. je linearna enačba definirana na naslednji način:
Opredelitev.
Enačba oblike a x=b, kjer je x spremenljivka, a in b nekaj števil, se kliče linearna enačba z eno spremenljivko.
Navedimo primere linearnih enačb, ki ustrezajo navedeni definiciji. Na primer, 5 x = 10 je linearna enačba z eno spremenljivko x, tukaj je koeficient a 5, število b pa 10. Drug primer: −2,3·y=0 je prav tako linearna enačba, vendar s spremenljivko y, v kateri je a=−2,3 in b=0. In v linearnih enačbah x=−2 in −x=3,33 a nista eksplicitno prisotna in sta enaka 1 oziroma −1, medtem ko je v prvi enačbi b=−2, v drugi pa b=3,33.
In leto prej so bile v učbeniku matematike N. Ya Vilenkina linearne enačbe z eno neznanko poleg enačb oblike a x = b obravnavane kot enačbe, ki jih je mogoče pripeljati do te oblike s prenosom členov. iz enega dela enačbe v drugega z nasprotno znamenje, kot tudi z zmanjšanjem podobnih pogojev. Po tej definiciji so enačbe oblike 5 x = 2 x + 6 itd. tudi linearno.
Po drugi strani pa je v učbeniku algebre za 7. razred A. G. Mordkovich podana naslednja definicija:
Opredelitev.
Linearna enačba z eno spremenljivko x je enačba oblike a·x+b=0, kjer sta a in b nekaj števil, imenovanih koeficienti linearne enačbe.
Na primer, linearne enačbe tega tipa so 2 x−12=0, tukaj je koeficient a 2, b pa je enak −12 in 0,2 y+4,6=0 s koeficientoma a=0,2 in b =4,6. Toda hkrati obstajajo primeri linearnih enačb, ki nimajo oblike a·x+b=0, ampak a·x=b, na primer 3·x=12.
Da v prihodnje ne bomo imeli odstopanj, naj pod linearno enačbo z eno spremenljivko x in koeficientoma a in b razumemo enačbo oblike a x + b = 0. Ta vrsta linearne enačbe se zdi najbolj upravičena, saj so linearne enačbe algebraične enačbe prve stopnje. In vse druge zgoraj omenjene enačbe, kot tudi enačbe, ki uporabljajo ekvivalentne transformacije reduciramo na obliko a·x+b=0 , bomo poklicali enačbe, ki se reducirajo na linearne enačbe. S tem pristopom je enačba 2 x+6=0 linearna enačba in 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12 itd. - To so enačbe, ki se reducirajo na linearne.
Kako rešiti linearne enačbe?
Zdaj je čas, da ugotovimo, kako se rešujejo linearne enačbe a·x+b=0. Z drugimi besedami, čas je, da ugotovimo, ali ima linearna enačba korenine, in če jih ima, koliko jih je in kako jih najti.
Prisotnost korenin linearne enačbe je odvisna od vrednosti koeficientov a in b. V tem primeru ima linearna enačba a x+b=0
- edini koren za a≠0,
- nima korenin za a=0 in b≠0,
- ima neskončno veliko korenin za a=0 in b=0, v tem primeru je katero koli število koren linearne enačbe.
Naj pojasnimo, kako so bili ti rezultati pridobljeni.
Vemo, da lahko za reševanje enačb preidemo od izvorne enačbe k enakovrednim enačbam, to je k enačbam z istimi koreninami ali, tako kot izvirna, brez korenin. Če želite to narediti, lahko uporabite naslednje enakovredne transformacije:
- prenos člena iz enega dela enačbe v drugega z nasprotnim predznakom,
- kot tudi množenje ali deljenje obeh strani enačbe z istim številom, ki ni nič.
Torej, v linearni enačbi z ena spremenljivka oblike a x+b=0 lahko člen b premaknemo z leve strani na desna stran z nasprotnim predznakom. V tem primeru bo enačba imela obliko a·x=−b.
In potem se pojavi vprašanje delitve obeh strani enačbe s številom a. Vendar obstaja ena stvar: število a je lahko enako nič, v tem primeru je taka delitev nemogoča. Da bi rešili to težavo, bomo najprej predpostavili, da je število a različno od nič, nekoliko kasneje pa bomo posebej obravnavali primer, ko je a enako nič.
Torej, ko a ni enako nič, potem lahko delimo obe strani enačbe a·x=−b z a, nakar se bo preoblikovala v obliko x=(−b):a, ta rezultat je lahko napisano z ulomno poševnico kot.
Tako je za a≠0 linearna enačba a·x+b=0 enakovredna enačbi, iz katere je viden njen koren.
Lahko je pokazati, da je ta koren edinstven, kar pomeni, da linearna enačba nima drugih korenin. To vam omogoča obratno metodo.
Označimo koren kot x 1. Predpostavimo, da obstaja še en koren linearne enačbe, ki ga označimo z x 2 in x 2 ≠x 1, ki zaradi definicije enako število skozi razliko je enakovreden pogoju x 1 −x 2 ≠0. Ker sta x 1 in x 2 korena linearne enačbe a·x+b=0, potem veljata numerični enakosti a·x 1 +b=0 in a·x 2 +b=0. Od teh enačb lahko odštejemo ustrezne dele, kar nam omogočajo lastnosti numeričnih enačb, imamo a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0, iz česar izhaja a·(x 1 −x 2)+( b−b)=0 in nato a·(x 1 −x 2)=0 . Toda ta enakost je nemogoča, saj sta a≠0 in x 1 − x 2 ≠0. Tako smo prišli do protislovja, ki dokazuje edinstvenost korena linearne enačbe a·x+b=0 za a≠0.
Tako smo rešili linearno enačbo a·x+b=0 za a≠0. Prvi rezultat na začetku tega odstavka je utemeljen. Ostala sta še dva, ki izpolnjujeta pogoj a=0.
Ko je a=0, ima linearna enačba a·x+b=0 obliko 0·x+b=0. Iz te enačbe in lastnosti množenja števil z ničlo sledi, da ne glede na to, katero število vzamemo za x, ko ga nadomestimo v enačbo 0 x + b=0, dobimo številsko enakost b=0. Ta enakost velja, ko je b=0, v drugih primerih, ko je b≠0, pa je ta enakost napačna.
Posledično je pri a=0 in b=0 poljubno število koren linearne enačbe a·x+b=0, saj pod temi pogoji zamenjava poljubnega števila za x daje pravilno numerično enakost 0=0. In ko je a=0 in b≠0, linearna enačba a·x+b=0 nima korenin, saj pod temi pogoji zamenjava poljubnega števila namesto x povzroči napačno numerično enakost b=0.
Podane utemeljitve nam omogočajo, da oblikujemo zaporedje dejanj, ki nam omogočajo rešitev katere koli linearne enačbe. Torej, algoritem za reševanje linearne enačbe je:
- Najprej s pisanjem linearne enačbe poiščemo vrednosti koeficientov a in b.
- Če je a=0 in b=0, potem ima ta enačba neskončno veliko korenin, in sicer je vsako število koren te linearne enačbe.
- Če a ni nič, potem
- koeficient b prenesemo na desno stran z nasprotnim predznakom in linearno enačbo pretvorimo v obliko a·x=−b,
- po katerem se obe strani dobljene enačbe deli z ničelnim številom a, kar daje želeni koren izvirne linearne enačbe.
Zapisan algoritem je celovit odgovor na vprašanje, kako rešiti linearne enačbe.
Za zaključek te točke je vredno povedati, da se podoben algoritem uporablja za reševanje enačb oblike a·x=b. Njegova razlika je v tem, da se pri a≠0 obe strani enačbe takoj delita s tem številom; tu je b že v zahtevanem delu enačbe in ga ni treba prenašati.
Za reševanje enačb oblike a x = b se uporablja naslednji algoritem:
- Če je a=0 in b=0, ima enačba neskončno veliko korenin, ki so poljubna števila.
- Če je a=0 in b≠0, potem izvirna enačba nima korenin.
- Če a ni nič, potem sta obe strani enačbe deljeni z ničelnim številom a, iz katerega se najde edini koren enačbe, ki je enak b/a.
Primeri reševanja linearnih enačb
Pojdimo k praksi. Poglejmo, kako se uporablja algoritem za reševanje linearnih enačb. Tukaj so rešitve tipični primeri, ustrezno različne pomene koeficienti linearnih enačb.
Primer.
Rešite linearno enačbo 0·x−0=0.
rešitev.
V tej linearni enačbi sta a=0 in b=−0 , kar je enako kot b=0 . Zato ima ta enačba neskončno veliko korenin; vsako število je koren te enačbe.
odgovor:
x – poljubno število.
Primer.
Ali ima linearna enačba 0 x + 2,7 = 0 rešitve?
rešitev.
V tem primeru je koeficient a enak nič, koeficient b te linearne enačbe pa je enak 2,7, kar je drugačen od nič. Zato linearna enačba nima korenin.
