Diskretna dvodimenzionalna Fourierjeva transformacija c. Diskretna Fourierjeva transformacija (DFT)

To je ena od Fourierjevih transformacij, ki se pogosto uporablja v algoritmih za digitalno obdelavo signalov (njene modifikacije se uporabljajo pri stiskanju zvoka v MP3, stiskanju slike v JPEG itd.), pa tudi na drugih področjih, povezanih z analizo frekvenc v diskretnih (za na primer digitaliziran analogni signal. Diskretna Fourierjeva transformacija zahteva kot vhod diskretna funkcija. Takšne funkcije so pogosto ustvarjene z vzorčenjem (vzorčenje vrednosti iz zveznih funkcij). Diskretne Fourierjeve transformacije pomagajo rešiti delno diferencialne enačbe in izvajajo operacije, kot je zvijanje. Diskretne Fourierjeve transformacije se aktivno uporabljajo tudi v statistiki, pri analizi časovnih vrst. Transformacije so lahko enodimenzionalne, dvodimenzionalne in celo tridimenzionalne.

Neposredna pretvorba:

Povratna pretvorba:

Oznake:

§ n- število vrednosti signala, izmerjenih v obdobju, kot tudi število komponent razgradnje;

§ - izmerjene vrednosti signala (v diskretnih časovnih točkah s številkami, ki so vhodni podatki za neposredno pretvorbo in vikendi za povratek;

§ - n kompleksne amplitude sinusnih signalov, ki sestavljajo izvirni signal; so izhodni podatki za direktno pretvorbo in vhodni podatki za obratno pretvorbo; ker so amplitude kompleksne, je mogoče iz njih izračunati tako amplitudo kot fazo;

§ je običajna (realna) amplituda k-tega sinusnega signala;

§ arg( Xk) - faza k-tega sinusnega signala (argument kompleksnega števila);

§ k- frekvenca k-tega signala, enaka , kjer je T- časovno obdobje, v katerem so bili vneseni podatki.

Iz slednjega je razvidno, da transformacija razgradi signal na sinusne komponente (ki jih imenujemo harmoniki) s frekvencami od N nihajev na periodo do enega nihanja na periodo. Ker je sama frekvenca vzorčenja enaka N vzorcev na periodo, visokofrekvenčnih komponent ni mogoče pravilno prikazati - pojavi se učinek moiré. To vodi do dejstva, da je druga polovica N kompleksnih amplitud pravzaprav zrcalna slika prve in ne nosi dodatnih informacij.

Razmislite o periodičnem signalu x(t) s periodo, enako T. Razširimo jo v Fourierjev niz:

Vzorčimo signal tako, da je N vzorcev na periodo. Predstavimo diskretni signal v obliki vzorcev: x n = x(tn), kjer , potem bodo ti odčitki skozi Fourierjev niz zapisani kot sledi:

Z uporabo relacije: , dobimo:

Kje

Torej smo dobili inverzna diskretna Fourierjeva transformacija.

Zdaj skalarno pomnožimo izraz za x n naprej in dobimo:

Tu uporabljamo: a) izraz za vsoto končnega števila členov (eksponentov) geometrijsko napredovanje, in b) izraz Kroneckerjevega simbola kot meje razmerja Eulerjevih funkcij za kompleksna števila. Sledi, da:

Ta formula opisuje direktna diskretna Fourierjeva transformacija.

V literaturi je običajno, da se množitelj zapiše v inverzni transformaciji, zato so transformacijske formule običajno zapisane v naslednji obliki:

Diskretna Fourierjeva transformacija je linearna transformacija, ki pretvori vektor časovnih vzorcev v vektor spektralnih vzorcev enake dolžine. Tako lahko transformacijo izvedemo kot množenje kvadratna matrika v vektor:

Fourierjeva transformacija

Pri uporabi Fourierovih transformacij je slika predstavljena kot vsota kompleksnih eksponentne funkcije spremenljivke amplitude, frekvence in faze. Fourierjeva transformacija je zelo učinkovita pomembno vlogo na številnih področjih obdelave slik, vključno z izboljšavo, analizo, obnovo in stiskanjem.

1. Osnovne definicije Fourierove transformacije
2. Diskretna Fourierjeva transformacija, vključno s hitro Fourierjevo transformacijo
3. Uporaba Fourierjeve transformacije (nekaj primerov praktične uporabe Fourierjeve transformacije)

Osnovne definicije Fourierove transformacije

če ƒ(m,n) je funkcija dveh diskretnih prostorskih spremenljivk m in n, potem dvodimenzionalna transformacija Fourierjeve funkcije ƒ(m,n) lahko predstavimo z naslednjim izrazom

Spremenljivke so kotne frekvence. Tako predstavlja funkcijo ƒ(m,n) v frekvenčni domeni. je funkcija s kompleksnimi vrednostmi z ustreznimi frekvencami. Frekvence so v območju , . Upoštevajte to F(0,0) je predstavljen kot vsota vseh spremenljivk ƒ(m,n). Zaradi tega razloga F(0,0) se pogosto imenuje konstantna komponenta Fourierjeve transformacije.

Inverzno dvodimenzionalno Fourierjevo transformacijo predstavlja izraz

Tisti. ta izraz predstavlja ƒ(m,n) kot vsota neskončno število kompleksne eksponentne funkcije (sinusne valove) z različnimi frekvencami. Amplituda in faza določata prispevek frekvenc k predstavitvi.

Vizualizacija Fourierove transformacije

Pri ponazoritvi Fourierove transformacije predpostavimo, da je funkcija ƒ(m,n) je enak 1 in je predstavljen kot pravokotnik. Za poenostavitev diagrama funkcija ƒ(m,n) bo predstavljen kot zvezna funkcija dveh diskretnih spremenljivk m in n.

Pravokotna funkcija

Spodnja slika z uporabo mrežne funkcije vizualizira vrednosti amplitude, dobljene s Fourierjevo transformacijo pravokotna funkcija prikazano na prejšnji sliki. Vizualizacija amplitude se imenuje tudi vizualizacija s Fourierjevo transformacijo.

Amplituda slike pravokotne funkcije

Vrh funkcije je v sredini in prikazuje vrednost F(0,0), ki je vsota vseh vrednosti ƒ(m,n). Vse druge komponente predstavljajo porazdelitev energije po navpičnih in vodoravnih frekvencah.

Drug način za vizualizacijo Fourierove transformacije je prikaz vrednosti kot slike.

Logaritemska predstavitev Fourierjeve transformacije pravokotne funkcije

Oglejmo si primere Fourierjevih transformacij funkcij različnih enostavnih oblik.

Primeri Fourierjevih transformacij funkcij različnih enostavnih oblik

Diskretna kosinusna transformacija

Diskretne kosinusne transformacije predstavljajo sliko kot vsoto sinusoidov z različnimi amplitudami in frekvencami. dct2 v aplikaciji Image Orodjarna za obdelavo izvaja dvodimenzionalne diskretne kosinusne transformacije slik. Ena od značilnosti diskretne Fourierove transformacije je, da nekateri lokalna območja slike je mogoče označiti majhna količina koeficienti diskretne Fourierjeve transformacije. Ta lastnost se zelo pogosto uporablja pri razvoju metod stiskanja slike. Na primer, diskretna kosinusna transformacija je osnova mednarodnega standarda, ki se uporablja v algoritmu stiskanja slik JPEG z izgubo. Ime zapisa "JPEG" je sestavljeno iz prvih črk imena delovna skupina, ki je sodeloval pri razvoju tega standarda (Joint Photographic Experts Group).

Dvodimenzionalna diskretna kosinusna matrična transformacija A z dimenzijami se izvaja v skladu z naslednjim izrazom

Vrednote Bpq imenujemo koeficienti diskretne kosinusne transformacije matrike A.

(Upoštevati je treba, da se indeksi matrike v MATLAB-u vedno začnejo pri 1, ne pri 0. Zato bodo elementi matrike, ki so v MATLAB-u predstavljeni kot A(1,1) in B(1,1), ustrezali elementom A 00 in B00 iz zgornje formule.)

Inverzna diskretna kosinusna transformacija je izvedena v skladu z izrazi

Izraz inverzne diskretne kosinusne transformacije je mogoče interpretirati kot matrično predstavitev A z dimenzijami kot vsoto naslednjih funkcij

Te funkcije imenujemo temeljne (osnovne) funkcije diskretne kosinusne transformacije. Koeficienti diskretne kosinusne transformacije Bpq lahko obravnavamo kot uteži za vsako osnovno funkcijo. Na primer, za matriko z velikostjo elementov je 64 osnovne funkcije, ki je prikazan na sliki.

64 osnovnih funkcij, ki jih dobimo za matriko z velikostmi elementov

Horizontalne frekvence naraščajo od leve proti desni, navpične frekvence pa od zgoraj navzdol.

Matrika diskretne kosinusne transformacije

Aplikacija Obdelava slik Toolbox ponuja dva različne poti izvajanje diskretnih kosinusnih transformacij. Prva metoda je implementirana v funkciji dct2. Funkcija dct2 uporablja hitro pretvorbo Fourier za pospešitev izračunov. Druga metoda uporablja matriko diskretne kosinusne transformacije, ki jo vrne funkcija dctmtx. Transformacijska matrika T je oblikovana po naslednjem izrazu

Za matrico A z dimenzijami je matrika z dimenzijami, kjer vsak stolpec vsebuje enodimenzionalno diskretno kosinusno transformacijo A. Dvodimenzionalna diskretna kosinusna transformacija A izračunano kot B=T*A*T’. Inverzna dvodimenzionalna diskretna kosinusna transformacija B izračunano kot T'*B*T.

Diskretne kosinusne transformacije in stiskanje slike

V algoritmu stiskanja slike JPEG je izvirna slika razdeljena na bloke dimenzij ali elementov. Nato se za vsak blok izračuna dvodimenzionalna diskretna kosinusna transformacija. Koeficienti diskretnih kosinusnih transformacij so kvantizirani, kodirani in preneseni. Sprejemnik JPEG dekodira koeficiente diskretne kosinusne transformacije, izračuna inverzno 2D diskretno kosinusno transformacijo v vsakem bloku in jih nato združi v eno sliko.

Oglejmo si primer izračuna dvodimenzionalnih diskretnih kosinusnih transformacij v blokih z velikostmi elementov izvirne slike. Nadalje, pri rekonstrukciji slike bomo upoštevali le 10 koeficientov iz vsakega bloka, ostali bodo nastavljeni na nič. Pri izvedbi opisanih izračunov bo uporabljena tudi transformacijska matrika.

I = imread("cameraman.tif"); I = im2double(I); T = dctmtx(8); B = blkproc(I,,"P1*x*P2",T,T"); maska ​​= ; B2 = blkproc(B,,"P1.*x",maska); I2 = blkproc(B2,,"P1 *x*P2",T",T); imshow(I); slika, imshow(I2)

Slika prikazuje dve sliki - originalno in rekonstruirano. Pri rekonstrukciji slike je bilo uporabljenih samo 15 % koeficientov diskretne kosinusne transformacije. Vendar je treba opozoriti, da je kakovost rekonstruirane slike povsem sprejemljiva. Če si želite ogledati druge lastnosti diskretne kosinusne transformacije, glejte funkcijo dctdemo.

Radonove transformacije

Funkcija radon v orodju za obdelavo slik izračuna matriko slikovnih projekcij vzdolž določenih smeri. Projekcija dvodimenzionalne funkcije f(x,y) je enaka integralu vzdolž navedene premice. Funkcija Radon je izračun projekcij slike na os, ki so določene s koti v stopinjah glede na vodoravno smer v nasprotni smeri urnega kazalca. Slika prikazuje projekcijo določene figure pod določenim kotom

Vzporedna projekcija žarka z rotacijskim kotom theta

Spodnja slika prikazuje vodoravno in navpično projekcijo za preprosto dvodimenzionalno funkcijo.

Vodoravna in navpična projekcija neke preproste funkcije

Projekcije je mogoče izračunati skupaj poljuben kot theta. Funkcija radon, vgrajena v Image Processing Toolbox, izračuna projekcije slike vzdolž določenih smeri. Projekcija dvodimenzionalne funkcije f(x,y) na os x' je linearni integral

Tako so osi x’y’ določene z vrtenjem za kot v nasprotni smeri urinega kazalca.

Spodnja slika prikazuje geometrijo Radonove transformacije.

Radonova transformacijska geometrija

Vizualizacija Radonovih transformacij

Pri izvajanju Radonovih transformacij je potrebno določiti izvirno sliko in vektor kotov theta.

Radon(I,theta);

R je matrika, v kateri je vsak stolpec Radonova transformacija za enega od kotov, ki jih vsebuje vektor theta. Vektor xp vsebuje ustrezne koordinate vzdolž osi x. Osrednji piksel I je določen glede na izraz floor((size(I)+1)/2).

Poglejmo, kako se izračunajo projekcije v Radonovi transformaciji. Oglejmo si projekciji pod kotoma 0° in 45°.

I = ničle (100,100); I(25:75, 25:75) = 1; imshow(I)

Radon(I,); figura; plot(xp,R(:,1)); title("R_(0^o) (x\prime)")

Radonove transformacije pri 0°

slika; plot(xp,R(:,2)); title("R_(45^o) (x\prime)")

Radonove transformacije pri 45°

Radonova transformacija pod velikim številom kotov je pogosto prikazana kot slika. V tem primeru je Radonova transformacija obravnavana za sliko v obliki kvadrata z razponom kotov od 0° do 180° z ločljivostjo 1°.

Theta = 0:180; = radon(I,theta); slikesc(theta,xp,R); title("R_(\theta) (X\prime)"); xlabel("\theta (stopinje)"); ylabel("X\prime"); set(gca,"XTick",0:20:180); barvna karta (vroča); barvna vrstica

Radonove transformacije z uporabo 180 projekcij

Uporaba Radonovih transformacij pri zaznavanju črt

Radonove transformacije so podobne drugim znanim operacijam, ki so znane kot Hochove transformacije. Funkcijo radon lahko uporabite za zaznavanje ravnih črt. Oglejmo si glavne faze tega procesa.

Največji vrh v matrici R ustreza =1° in x´= -80. Iz središča izvirne slike se nariše črta pod kotom na razdalji x’. Na to črto je pravokotno narisana premica, ki ustreza premici na originalna slika. Poleg tega so na sliki še druge črte, ki so predstavljene v matrici R ustrezne vrhove.

Radonova transformacijska geometrija za zaznavanje ravnih črt

Označimo z

dvodimenzionalno polje (dvodimenzionalni signal), ki opisuje diskretno sliko velikosti vrstic in stolpcev. Zunaj navedenih meja ta signal ni definiran. Izvedimo periodično nadaljevanje tega končnega signala z uvedbo dvodimenzionalnega periodičnega signala

. (3.21)

Če signal obstaja samo znotraj pravokotnika s stranicami elementov (slika 3.4.a), potem je signal definiran na celotni ravnini in je na njej pravokoten periodičen (slika 3.4.b).

Vsak periodični signal je mogoče predstaviti kot Fourierjev niz, vendar so za razliko od enodimenzionalnih signalov dvodimenzionalni signali opisani z dvodimenzionalnim Fourierjevim nizom, ki ima obliko:

Osnovne funkcije te dvodimenzionalne predstavitve so dvodimenzionalne kompleksne eksponente (včasih imenovane kompleksne sinusoide)

(3.23)

ki ima, tako kot signal, pravokotno periodičnost z enako periodo. Tu je (,) dvodimenzionalno število bazne funkcije, količine pa imajo pomen prostorskih frekvenc. Včasih celoštevilske količine in se imenujejo prostorske frekvence.

Fourierjevi koeficienti serije (3.22) tvorijo dvodimenzionalno frekvenčni spekter in so določeni s formulo za neposredno Fourierjevo transformacijo:

(3.24)

Izraz (3.22), ki obnovi signal iz njegovega spektra, je inverzna Fourierjeva transformacija. Veljavnost transformacij (3.22) in (3.24), imenovanih dvodimenzionalni DFT, je mogoče preveriti tako, da nadomestimo (3.24) v (3.22) in pripeljemo desna stran nastala enakost z vrednostjo leve, tj. Za .

Upoštevajte, da za natančno predstavitev diskretnega signala z dvodimenzionalno periodo elementov po formulah FFT zadostuje končno število baznih funkcij (3.23) - serija (3.22) je končna. To je razumljivo, saj sam predstavljeni signal vsebuje eno periodo končna številka točke, tj. ima končno število prostostnih stopenj. Jasno je, da se število prostostnih stopinj v spektru ne more razlikovati od števila prostostnih stopinj v samem signalu.

Oglejmo si najpomembnejše lastnosti dvodimenzionalnega diskretnega Fourierjevega spektra. Izračunajmo spektralne koeficiente (3.24) na frekvenčnih točkah :

Ker za vse vrednosti celega števila in zadnji faktor v dobljenem izrazu enako ena, potem imamo enakost:

,

ki označuje pravokotno periodičnost dvodimenzionalnega DFT. Posledično je slika dvodimenzionalnega DFT podobna sliki dvodimenzionalnega periodično neprekinjenega signala, kvalitativno prikazanega na sl. 3.4.b (če so prostorske koordinate na njem zamenjane s frekvenčnimi). Vendar je treba upoštevati, da so spektralni koeficienti, kot izhaja iz (3.24), kompleksna števila, tudi za pravi signal. Potem pa se pojavi vprašanje. Ugotovljeno je, da je skupno število spektralnih komponent . Kompleksno število je enakovredno paru realnih števil – realnemu in imaginarnemu delu v algebraičnem zapisu ali modulu in fazi v eksponentnem zapisu. Zato je opisan celoten spekter realna števila, kar je dvakratna dimenzija samega signala. Na prvi pogled je v tem protislovje. Svojo razjasnitev najde z nadaljnjim preučevanjem lastnosti dvodimenzionalnega DFT.

Transformirajmo zvezo (3.25) takole. Najprej namesto frekvenc zamenjajmo frekvence. Drugič, izvedli bomo kompleksno konjugacijo obeh delov, ki ne bo kršila enakosti. Posledično je enostavno dobiti izraz:

,

ki vzpostavlja nedvoumno povezavo med spektralnimi koeficienti na dveh različnih točkah spektralnega pravokotnika. Nastalo razmerje odpravi protislovje, saj se število neodvisnih spektralnih koeficientov zaradi te spektralne simetrije zmanjša za polovico. Po ugotovljeni lastnosti sta spektralna koeficienta, ki pripadata zgornjemu levemu in spodnjemu desnemu kotu pravokotnika, povezana s spektralno konjugirano odvisnostjo. Podobno so med seboj povezani tudi Fourierjevi koeficienti iz zgornjega desnega in spodnjega levega dela spektralnega pravokotnika.

Na koncu tega odstavka poudarjamo, da ko praktična uporaba dvodimenzionalni DFT - tako direktni kot inverzni, ni potrebe po delovanju s periodičnimi signali in spektri, kot se zdi, da predpostavljata transformaciji (3.22) in (3.24). Relaciji (3.22) in (3.24) sami odpravljata to potrebo. Pravzaprav neposredna Fourierjeva transformacija (3.24) vsebuje na desni strani vrednosti periodično nadaljevanega signala samo znotraj enega "glavnega" pravokotnika. Toda v teh mejah izvirni in periodično nadaljevani signali popolnoma sovpadajo, kar omogoča uporabo izvirnega signala v formuli (3.24). Podobne razlage je mogoče dati glede inverzna pretvorba(3.22), iz česar izhaja, da je treba praktično v procesu izračunov delovati z "glavnim" delom spektra, ki se nanaša na spektralno območje.

Iz podanih pojasnil, ki imajo zgolj računski pomen, ne gre sklepati o izumetničenosti in neuporabnosti obravnavanega. matematičnih modelov periodična polja. Pri obdelavi slik se pojavljajo številni problemi, katerih pravilna interpretacija in rešitev je možna le na podlagi teh matematičnih interpretacij. Eden od teh najpomembnejše naloge je digitalno dvodimenzionalno filtriranje v spektralni domeni, katerega izvedba je povezana z izvedbo tako imenovane ciklične konvolucije.

Fourierjeve transformacije

Priročno je analizirati veliko signalov tako, da jih razgradimo na sinusoide (harmonike). Razlogov za to je več. Na podoben način na primer deluje človeško uho. Zvok razgradi na posamezne tresljaje različnih frekvenc. Poleg tega je mogoče dokazati, da so sinusoide " lastne funkcije» linearni sistemi (ker prehajajo skozi linearni sistemi, brez spreminjanja oblike, ampak lahko spremeni le fazo in amplitudo). Drugi razlog je, da je Kotelnikov izrek formuliran v smislu spektra signala.

Fourierjeva transformacija ) je razgradnja funkcij na sinusoide (v nadaljevanju kosinusne funkcije imenujemo tudi sinusoide, saj se od “pravih” sinusoidov razlikujejo le po fazi). Obstaja več vrst Fourierove transformacije.

1. Neperiodično neprekinjen signal lahko razširimo v Fourierjev integral.

2. Periodični zvezni signal je mogoče razširiti v neskončno Fourierjevo vrsto.

3. Neperiodični diskretni signal je mogoče razširiti v Fourierjev integral.

4. Periodični diskretni signal je mogoče razširiti v končno Fourierjevo vrsto.

Računalnik lahko dela le z omejeno količino podatkov, zato lahko v resnici izračuna le zadnjo vrsto Fourierove transformacije. Oglejmo si ga pobližje.

Realni signal DFT

Naj ima diskretni signal x periodo N točk. V tem primeru ga lahko predstavimo kot končno serijo (tj. linearno kombinacijo) diskretnih sinusoidov:

Ekvivalentni zapis (vsak kosinus razgradimo na sinus in kosinus, vendar zdaj brez faze):

riž. 6. Fourierjeve osnovne funkcije za 8-točkovni diskretni signal. Na levi strani so kosinusi, na desni pa sinusi. Frekvence naraščajo od zgoraj navzdol.

Osnovne sinusoide imajo več frekvenc. Prvi člen vrste (k =0) je konstanta, imenovana konstantna komponenta(DC offset) signal. Že prva sinusoida (k = 1) ima takšno frekvenco, da njena perioda sovpada s periodo samega prvotnega signala. Najvišja frekvenčna komponenta (k =N /2) ima takšno frekvenco, da je njena perioda enaka dvema štetjema. KoeficientiA k in

B k imenujemo spekter signala (spekter). Prikazujejo amplitude si-

nusoidi, ki sestavljajo signal. Frekvenčni korak med dvema sosednjima sinusoidoma iz Fourierjeve ekspanzije se imenuje frekvenčna ločljivost spekter

Na sl. Slika 6 prikazuje sinusoide, ki se uporabljajo za razgradnjo diskretnega signala iz 8 točk. Vsaka od sinusoidov je sestavljena iz 8 točk, to je redni diskretni signal. Zaradi jasnosti so na sliki prikazane zvezne sinusoide.

pretvori izvirni signal z izračunom vsote Fourierjevega niza v vsaki točki. Imenuje se razgradnja signala na sinusoide (tj. pridobivanje koeficientov). direktna Fourierjeva transformacija. Obratni proces - sinteza signala z uporabo sinusoidov - se imenuje inverzna Fourierjeva transformacija(inverzna Fourierjeva transformacija).

Algoritem za inverzno Fourierjevo transformacijo je očiten (vsebovan je v formuli Fourierjeve serije; za izvedbo sinteze morate samo nadomestiti koeficiente vanjo). Oglejmo si algoritem neposredne Fourierove transformacije, tj. iskanje koeficientov A k in B k .

tonska osnova v prostoru periodičnih diskretnih signalov s periodo N. To pomeni, da morate za razširitev katerega koli elementa prostora (signala) vanj izračunati pikčasti izdelki ta element z vsemi funkcijami sistema, dobljeni koeficienti pa se normalizirajo. Potem bo formula za razširitev baze s koeficientoma A k in B k veljavna za izvirni signal.

Torej sta koeficienta A k in B k izračunana kot skalarni produkt (v ne-

v diskontinuiranem primeru – integrali produkta funkcij, v diskretnem primeru

– vsote iz produkta diskretnih signalov):

Brez sodobne komunikacijske tehnologije si ni mogoče predstavljati spektralna analiza. Predstavitev signalov v frekvenčni domeni je potrebna tako za analizo njihovih karakteristik kot za analizo blokov in enot sprejemno-sprejemnih enot radijskih komunikacijskih sistemov. Za pretvorbo signalov v frekvenčno področje se uporablja neposredna Fourierjeva transformacija. Splošna formula za neposredno Fourierjevo transformacijo je zapisana takole:

Kot je razvidno iz te formule za frekvenčno analizo, je izračun narejen korelacijsko odvisnost med signalom, predstavljenim v časovni domeni, in kompleksno eksponento pri dani frekvenci. V tem primeru se po Eulerjevi formuli kompleksna eksponenta razgradi na realni in imaginarni del:

Signal, predstavljen v frekvenčni domeni, je mogoče pretvoriti nazaj v časovno domeno z inverzno Fourierjevo transformacijo. Splošna formula za inverzno Fourierjevo transformacijo je zapisana takole:

Formula neposredne Fourierove transformacije uporablja časovno integracijo od minus neskončnosti do neskončnosti. Seveda je to matematična abstrakcija. IN realne razmere lahko integriramo iz ta trenutekčas, ki ga lahko označimo kot 0, pred časom T. Formula za neposredno Fourierjevo transformacijo bo preoblikovana v naslednjo obliko:

Kot rezultat lastnosti Fourierjeve transformacije se bistveno spremenijo. Namesto tega spekter signala neprekinjena funkcija postane diskretna serija vrednosti. Zdaj postane minimalna frekvenca in hkrati korak frekvenčnih vrednosti signalnega spektra:

Samo funkcije sin in cos s frekvencami k/T bodo medsebojno pravokotni, kar je nepogrešljiv pogoj za Fourierjevo transformacijo. Nabor prvih funkcij razširitve v Fourierjev niz je prikazan na sliki 1. V tem primeru trajanje funkcij sovpada s trajanjem analize T.

Zdaj bo spekter signala videti, kot je prikazano na sliki 2.

IN v tem primeru formulo za izračun direktne Fourierove transformacije (4) pretvorimo v naslednjo obliko:

Formula za inverzno Fourierjevo transformacijo za primer določanja spektra v omejenem časovnem obdobju bo videti takole:

Na podoben način lahko določite formulo za neposredno Fourierjevo transformacijo za vzorce digitalnega signala. Glede na to, da se namesto zveznega signala uporabljajo njegovi digitalni vzorci, je v izrazu (6) integral nadomeščen z vsoto. V tem primeru je trajanje analiziranega signala določeno s številom digitalnih vzorcev n. Fourierjeva transformacija za vzorce digitalnih signalov se imenuje diskretna Fourierjeva transformacija in je zapisano takole:

Zdaj pa poglejmo, kako so se lastnosti diskretne Fourierjeve transformacije (DFT) spremenile v primerjavi z neposredno Fourierjevo transformacijo v omejenem časovnem intervalu. Ko smo pogledali vzorčenje analogni signal, smo ugotovili, da mora biti spekter vhodnega signala frekvenčno omejen. Ta zahteva omejuje število diskretnih komponent signalnega spektra. Na začetku se morda zdi, da lahko spekter signala omejimo na frekvenco f d/2, kar ustreza številu frekvenčnih komponent K=N/2. Vendar pa ni. Čeprav je spekter signala za dejanske vzorce signala za pozitivne frekvence in negativne frekvence simetričen okoli 0, bodo morda potrebne negativne frekvence za nekatere algoritme spektra, kot je . Razlika je še večja pri izvajanju diskretne Fourierove transformacije na kompleksnih vzorcih vhodnega signala. Kot rezultat za popoln opis spekter digitalni signal potrebno n frekvenčni vzorci ( k = 0, ..., N/2).