Fraktalna dimenzija obale. Paradoks obale

Pri študiju geografije se seveda spomnite, da ima vsaka država svoje območje in dolžino meje, še posebej, če državo umiva morje ali ocean, potem ima morsko mejo določene dolžine. Ste se kdaj vprašali, kako se določi ta dolžina meje? Leta 1977 si je zadal ameriški matematik Benoit Mandelbrot naslednje vprašanje: Kakšna je dolžina obale Združenega kraljestva? Izkazalo se je, da je na to "otročje vprašanje" nemogoče pravilno odgovoriti. Leta 1988 se je norveški znanstvenik Jens Feder odločil ugotoviti dolžino norveške obale. Upoštevajte, da je obala Norveške močno razčlenjena s fjordi. Drugi znanstveniki so si zastavljali podobna vprašanja o dolžini obalnih črt avstralskih obal, Južna Afrika, Nemčija, Portugalska in druge države.

Dolžino obale lahko merimo le približno. Z oddaljevanjem moramo izmeriti vedno več majhnih rtov in zalivov - dolžina obale se povečuje in preprosto ni objektivne omejitve zmanjšanja merila (in s tem povečanja dolžine obale); prisiljeni smo priznati, da ima ta linija neskončna dolžina. Vemo, da je dimenzija premice ena, dimenzija kvadrata je dve, dimenzija kocke pa tri. Mandelbrot je predlagal uporabo frakcijskih dimenzij - Hausdorff-Besicovitcheve dimenzije - za merjenje "pošastnih" krivulj. Neskončne lomljene krivulje, kot je obala, niso čiste črte. Zdi se, da "pometajo" del letala, kot površino. Niso pa tudi površine. To pomeni, da je smiselno domnevati, da je njihova dimenzija več kot ena, vendar tudi manjša od dveh, torej gre za delnodimenzionalne objekte.

Norveški znanstvenik E. Feder je predlagal drug način za merjenje dolžine obale. Zemljevid je bil prekrit s kvadratno mrežo, katere celice imajo dimenzije e? e. Vidimo, da je število N(e) takšnih celic, ki pokrivajo obalo na zemljevidu, približno enako številu korakov, v katerih lahko obhodimo obalo na zemljevidu z uporabo kompasa z rešitvijo e. Če se e zmanjša, se bo število N(e) povečalo. Če je imela dolžina obale Združenega kraljestva določeno dolžino L, potem je število korakov kompasa z rešitvijo (ali število kvadratne celice N(e), ki pokriva obalo na zemljevidu), bi bilo obratno sorazmerno z e in vrednost Ln (e)=N(e) ? e bi se nagibal k konstanti L, ko se k zmanjšuje. Na žalost so izračuni, ki so jih opravili številni znanstveniki, pokazali, da to ni povsem res. Z zmanjševanjem koraka se izmerjena dolžina povečuje. Izkazalo se je, da je razmerje med izmerjeno dolžino L(e) in korakom e mogoče opisati s približnim razmerjem

Koeficient D imenujemo fraktalna dimenzija. Beseda fraktal izvira iz latinska beseda fraktal - ulomek, necelo število. Množica se imenuje fraktal, če ima razsežnost, ki ni celo število. Za Norveško D=1,52, za Veliko Britanijo pa D=1,3. Tako je obala Norveške in Velike Britanije fraktal s fraktalno dimenzijo D. Izračuni so bili opravljeni tudi za krog in fraktalna dimenzija kroga je D=1, kot bi pričakovali. Tako je fraktalna dimenzija posplošitev navadne dimenzije.

Kako to razumeti in kaj bi to lahko pomenilo? Matematiki so se začeli spominjati, ali je kaj takega že obstajalo v matematiki ali ne? In so se spomnili! Oglejmo si del določene premice AB na ravnini (slika 3). Vzemimo kvadrat z robom e in se vprašajmo: koliko kvadratov N(e) z robom dolžine e potrebujemo, da premico AB pokrijemo s takimi kvadrati? Vidimo lahko, da je N(e) sorazmeren

Podobno, če je zaprto omejeno območje na ravnini (slika 4) pokrito s kvadratno mrežo s stranico e, bo najmanjše število kvadratov s stranico e, ki pokrivajo območje, enako

Če obravnavamo zaprto omejeno regijo v tridimenzionalnem prostoru in vzamemo kocko z robom e, potem je število kock, ki zapolnjujejo to regijo

Določimo fraktalno dimenzijo na podlagi zgoraj navedenega v splošni primer na naslednji način:

Vzemimo logaritem leve in desne strani

Če preidemo na mejo, ko e teži k nič (N teži k neskončnosti), dobimo

Ta enakost je definicija dimenzije, ki jo označujemo z d.

Preden se seznanimo s prvo vrsto fraktalov - namreč s krivuljami, katerih fraktalna dimenzija presega 1 - razmislimo o tipičnem odseku neke obale. Očitno je, da njegova dolžina ne more biti manjša od razdalje ravne črte med njeno začetno in končno točko. Vendar imajo obale praviloma nepravilne oblike- so vijugasti in zlomljeni, njihove dolžine pa nedvomno bistveno presegajo razdalje med njihovimi skrajnimi točkami, merjene v ravni črti.

Obstaja veliko načinov za natančnejšo oceno dolžine obale in v tem poglavju bomo analizirali nekatere od njih. Na koncu bomo prišli do zelo izjemnega zaključka: dolžina obale je zelo spolzek koncept in ne morete ga prijeti z golimi rokami. Ne glede na metodo merjenja, ki jo uporabimo, je rezultat vedno enak: dolžina tipične obale je zelo dolga in tako slabo definirana, da jo je najbolj priročno šteti za neskončno. Posledično, če se kdo odloči primerjati različne obale z vidika njihove dolžine, bo moral najti nekaj, kar bo nadomestilo koncept dolžine, ki ta primer se ne uporablja.

V tem poglavju se bomo lotili iskanja primernega nadomestka, v procesu iskanja pa se ne moremo izogniti seznanitvi z različne oblike fraktalni koncepti dimenzije, mere in krivulje.

ALTERNATIVNE METODE MERJENJA

Metoda A. Nastavimo odprtino merilnega kompasa na določeno dano dolžino, ki jo imenujemo dolžina koraka, in se s tem kompasom sprehodimo po za nas zanimivi obali, pri čemer vsak nov korak začnemo na mestu, kjer se je prejšnji končal. Število korakov, pomnoženo z dolžino e, nam bo dalo približno dolžino brežine. Iz šole vemo, da če ponavljamo to operacijo in vsakič zmanjšamo odprtino kompasa, potem lahko pričakujemo, da bo vrednost hitro hitela do neke zelo specifične vrednosti, imenovane prava dolžina. Toda to, kar se dejansko zgodi, ne ustreza našim pričakovanjem. V tipičnem primeru se opazovana dolžina nagiba k neomejenemu povečanju.

Razlog za to vedenje je očiten: če pogledate kakšen polotok ali zaliv na zemljevidih ​​v merilu 1/100.000 in 1/10.000, potem zadnji zemljevid jasno ločimo manjše polotoke in zalive, ki na prvem niso bili vidni. Zemljevid istega območja, narejen v merilu 1/1000, nam bo pokazal še manjše polotoke in zalive itd. Vsaka nova podrobnost poveča skupno dolžino banke.

Zgornji postopek predpostavlja, da je obala preveč nepravilne oblike, da bi jo lahko neposredno predstavili kot vsoto dolžin preprostih geometrijskih krivulj, katerih dolžine lahko najdete v referenčnih knjigah. to je Metoda A zamenja obalo z zaporedjem lomljene črte, sestavljen iz ravnih delov, katerih dolžino lahko določimo.

Metoda B. Enako "glajenje" je mogoče doseči na druge načine. Predstavljajte si človeka, ki hodi ob obali po najkrajši poti, katere pot nikoli ne odstopi od vode dlje kot določeno razdaljo. Ko doseže končno točko, se vrne nazaj in rahlo zmanjša vrednost. Potem znova in znova, dokler končno vrednost ne doseže, recimo, 50 cm. Ni ga več mogoče zmanjšati, saj je oseba prevelika in nerodna, da bi lahko izrisala podrobnejšo pot. Lahko mi ugovarjajo, da te nedosegljive majhne podrobnosti, prvič, za ljudi niso takoj zanimive, in drugič, podvržene so tako pomembnim spremembam glede na letni čas in višino plime, da njihovo podrobno snemanje na splošno izgubi ves pomen. Prvega od teh ugovorov bomo obravnavali kasneje v tem poglavju. Kar zadeva drugi ugovor, ga je mogoče nevtralizirati tako, da se omejimo na razmišljanje o skalnati obali ob oseki in mirni vodi. Načeloma lahko človek podrobnejše približne krivulje izriše tako, da na pomoč pokliče miško, nato mravljo itd. In spet, ko gre naš sprehajalec po poti vse bližje vodi, se razdalja, ki jo mora prehoditi, povečuje za nedoločen čas.

Metoda C. Metoda B pomeni določeno asimetrijo med vodo in obalo. Da bi se izognili tej asimetriji, je Kantor predlagal pogled na obalo kot skozi defokusirano lečo, zaradi česar se vsaka točka spremeni v okroglo liso s polmerom . Z drugimi besedami, Cantor upošteva vse točke - tako na kopnem kot na vodi - razdalja od katerih do same obale ne presega . Te konice tvorijo nekakšno klobaso ali širok trak (primer takšne "klobase" - čeprav v drugačnem kontekstu - je prikazan na sliki 56). Izmerimo površino nastalega traku in ga razdelimo na. Če bi bila obala ravna, bi bil trak pravokotnik in vrednost, ugotovljena na zgoraj opisan način, bi se izkazala za dejansko dolžino obale. Ko imamo opravka z realnimi obalami, dobimo grobo oceno dolžine , ki neomejeno narašča kot .

MetodaD. Predstavljajte si zemljevid, narejen v maniri pointilističnih umetnikov, torej tak, kjer so celine in oceani upodobljeni z barvnimi okroglimi lisami polmera . Namesto da bi središča točk obravnavali kot točke, ki pripadajo obali, kot pri metodi C, bomo zahtevali, da je število točk, ki popolnoma skrijejo črto, najmanjše. Zaradi tega bodo pege ob rtih večinoma ležale na kopnem, ob zalivih pa v morju. Ocena dolžine obalne črte tukaj bo rezultat delitve območja, ki ga pokrivajo pike z . Tudi "obnašanje" te ocene pušča veliko želenega.

NAKLJUČNOST MERITVENIH REZULTATOV

Če povzamemo prejšnji razdelek, ugotavljamo, da je rezultat uporabe katere koli od štirih metod vedno enak. Ko se e zmanjšuje, se približna dolžina krivulje nagiba k neskončnosti.

Da bi pravilno razumeli pomen tega dejstva, naredimo podobno meritev dolžine katere koli običajne evklidske krivulje. Na primer, na odseku ravne črte se približni ocenjeni merilni podatki v bistvu ujemajo in določajo zahtevano dolžino. V primeru kroga približna vrednost dolžina se povečuje, vendar hitro hiti do določene meje. Krivulje, katerih dolžino lahko določimo na ta način, imenujemo rektifikacijske.

Še bolj poučno je poskusiti izmeriti dolžino nekaterih obal, ki jih je človek udomačil - recimo obale pri Chelseaju, kakršna je videti danes. Ker ljudje še vedno pustijo zelo velike gube terena nespremenjene, bomo na naš kompas namestili zelo veliko rešitev in jo postopoma zmanjševali. Kot je pričakovati, se bo dolžina obale povečala.

Vendar obstaja ena zanimiva lastnost: z nadaljnjim zmanjševanjem se neizogibno znajdemo v določenem vmesnem območju, kjer dolžina ostane skoraj nespremenjena. To območje sega od približno 20 m do 20 cm (zelo približno). Ko postane manjša od 20 cm, se začne dolžina spet povečevati - zdaj posamezni kamni vplivajo na rezultat meritve. Če torej narišete graf spremembe vrednosti v odvisnosti od , potem boste brez dvoma na njem našli ravno območje z vrednostmi e v območju od 20 m do 20 cm - na podobnih grafih za naravne "divje" obale takšnih ravnih območij ni opaziti.

Očitno je, da imajo meritve, opravljene v tem ravninskem območju, ogromno praktično vrednost. Ker so meje med različnimi znanstvenih disciplin so predvsem rezultat dogovora med znanstveniki o delitvi dela, lahko na primer vse pojave, katerih obseg presega 20 m, torej tiste, ki jih človek še ni dosegel, prenesemo na oddelek za geografijo. Takšna omejitev nam bo dala zelo specifično geografsko dolžino. Varnost obale lahko uspešno uporabi isto vrednost za delo z "divjimi" obalami, enciklopedije in almanahi pa bodo vsem povedali ustrezno dolžino.

Po drugi strani pa si težko predstavljam, da se bodo vse zainteresirane vladne agencije, tudi katere koli države, med seboj dogovorile za uporabo enega samega pomena, in si je povsem nemogoče predstavljati, da bi ga sprejele vse države sveta. Richardson daje ta primer: Španske in portugalske enciklopedije podajajo različne dolžine kopenska meja med temi državami, z razliko 20 % (enako je z mejo med Belgijo in Nizozemsko). To neskladje je treba delno pojasniti z različnimi izbirami. Empirični dokazi, o katerih bomo v kratkem razpravljali, kažejo, da je za nastanek takšne razlike dovolj, da se ena vrednost od druge razlikuje le za faktor dva; Poleg tega ni presenetljivo, da majhna država (Portugalska) natančneje meri dolžino svojih meja kot velika soseda.

Drugi in pomembnejši argument proti samovoljni izbiri je filozofske in splošno znanstvene narave. Narava obstaja neodvisno od človeka in kdor pripisuje prevelik pomen kakšnemu posebnemu pomenu ali , domneva, da je odločilni člen v procesu razumevanja Narave človek s svojimi splošno sprejetimi merili ali zelo spremenljivimi tehničnimi sredstvi. Če bodo obale kdaj postale predmet znanstvena raziskava, je malo verjetno, da bomo lahko z zakonodajo prepovedali opaženo negotovost v zvezi z njihovimi dolžinami. Kakor koli že, koncept geografske dolžine ni tako neškodljiv, kot se zdi na prvi pogled. Ni povsem »objektivno«, saj je pri takem določanju dolžine vpliv opazovalca neizogiben.

PRIZNAVANJE IN POMEN POVOLJNIH REZULTATOV MERITEV

Brez dvoma je veliko ljudi mnenja, da so obale nepopravljive krivulje, in glede tega se ne spomnim, da bi kdo mislil drugače. Moje iskanje pisnih dokazov v prid tega mnenja pa je bilo skoraj povsem neuspešno. Poleg citatov iz Perrina, podanih v drugem poglavju, je v Steinhausovem članku tudi ta ugotovitev: »Z merjenjem dolžine levega brega Visle z naraščajočo natančnostjo lahko dobimo vrednosti na desetine, stotine in celo tisoče krat večji od tistega, kar daje šolski zemljevid. Naslednja izjava se zdi zelo blizu realnosti: večina lokov, ki jih najdemo v naravi, ni popravljiva. Ta izjava je v nasprotju s splošnim prepričanjem, ki se spušča v dejstvo, da so nepopravljivi loki matematična fikcija, v naravi pa so vsi loki popravljivi. Od teh dveh nasprotujočih si trditev je očitno treba prvo šteti za resnično.« Vendar se niti Perrin niti Steinhaus nista nikoli potrudila, da bi podrobneje razvila svoje ugibanje in jih pripeljala do logičnega zaključka.

K. Fadiman pripoveduje zanimivo zgodbo. Njegov prijatelj Edward Kasner je večkrat izvedel ta poskus: »majhne otroke je vprašal, kakšna je po njihovem mnenju skupna dolžina obale Združenih držav. Potem ko je eden od otrok izrazil dokaj »utemeljeno« ugibanje, jih je ... Kasner ... povabil k razmisleku o tem, za koliko bi to številko lahko povečali, če bi zelo natančno izmerili obseg vseh rtov in zalivov, nato pa prav tako skrbno sledili manjših rtov in zalivov na vsakem od teh rtov in v vsakem od teh zalivov, nato izmerite vsak kamenček in vsako zrno peska, ki sestavlja obalo, vsako molekulo, vsak atom itd. Izkazalo se je, da je obala lahko dolga rad imaš . Otroci so to razumeli takoj, Kasner pa je imel težave z odraslimi.« Zgodba je seveda zelo lepa, vendar je malo verjetno, da bo imela kaj opraviti z mojim iskanjem. Kasner očitno ni želel izpostaviti nekega vidika realnosti, vrednega nadaljnjega preučevanja.

Tako lahko rečemo, da sta članek in knjiga, ki jo držite v rokah, v bistvu prva dela, posvečena tej tematiki.

William James v svoji knjigi The Will to Believe1 piše: »Kar ne sodi v okvir klasifikacije ... je vedno bogato polje za velika odkritja. V vsaki znanosti se okoli splošno sprejetih in urejenih dejstev vedno vrti prašni oblak izjem od pravil - pojavi, ki so subtilni, nedosledni, redko srečani, pojavi, ki jih je lažje prezreti kot upoštevati. Vsaka znanost si prizadeva odlično stanje zaprt in strog sistem resnic ... Pojavi, ki jih ni mogoče uvrstiti znotraj sistema, veljajo za paradoksalne absurde in očitno niso resnični. Zanemarjajo se in zavračajo na podlagi najboljših namenov znanstvene vesti ... Kdor resno proučuje nepravilne pojave, bo lahko ustvaril nova znanost na temelju starega. Na koncu tega procesa bodo pravila posodobljene znanosti večinoma postala včerajšnje izjeme.«

Pričujoči esej, katerega skromni cilj je popolna prenova geometrije narave, opisuje pojave, ki jih ni mogoče razvrstiti, da je o njih mogoče govoriti le z dovoljenjem cenzorja. S prvim od teh pojavov se boste srečali v naslednjem razdelku.

RICHARDSONOV UČINEK

Empirična študija spremembe približne dolžine, pridobljene z metodo A, je opisana v Richardsonovem članku, povezava do katerega mi je po srečnem (ali usodnem) naključju padla v oči. Na to sem bil pozoren samo zato, ker sem o Lewisu Fryju Richardsonu veliko slišal kot o izjemnem znanstveniku, katerega izvirnost razmišljanja je bila podobna ekscentričnosti (glej 40. poglavje). Kot bomo videli v 10. poglavju, človeštvo dolguje nekaj svojih najglobljih in najtrajnejših idej o naravi turbulence – posebna pozornost Med njimi si zasluži tista, po kateri turbulenca predpostavlja nastanek sebi podobne kaskade. Delal je tudi na drugih kompleksne težave- kot je na primer narava oboroženih spopadov med državami. Njegovi poskusi so bili primeri klasične preprostosti, vendar ni okleval uporabiti bolj sofisticiranih konceptov, ko se je pojavila potreba.

Prikazano na sl. 57 grafov, ki so jih po Richardsonovi smrti odkrili med njegovimi članki, je bilo objavljenih v skoraj tajnem (in za tovrstne publikacije povsem neprimernem) »Letopisu o skupni sistemi" Po pregledu teh grafov pridemo do zaključka, da obstajata dve konstanti (imenujmo ju in ) - takšni, da je za določitev dolžine obale s konstruiranjem lomljene črte, ki jo približuje, treba vzeti približno intervale dolžine in zapisati naslednjo formulo:

Vrednost indikatorja je očitno odvisna od narave obale, ki se meri, in različni odseki te črte, obravnavani ločeno, lahko dajo različne vrednosti. Za Richardsona je bila velikost preprosto priročen indikator brez posebnega pomena. Vendar se zdi, da vrednost tega kazalnika ni odvisna od izbrane metode za ocenjevanje dolžine obale. To pomeni, da si zasluži največjo pozornost.

FRAKTALNA DIMENZIJA OBALE

Po preučevanju Richardsonovega dela sem predlagal, da čeprav eksponent ni celo število, ga lahko in moramo razumeti kot dimenzijo – natančneje, kot fraktalno dimenzijo. Seveda sem se popolnoma zavedal, da vse zgoraj navedene metode merjenja temeljijo na nestandardnih posplošenih definicijah dimenzije, ki se že uporabljajo v čisti matematiki. Določitev dolžine na podlagi pokritosti obale najmanjše število radius spots, ki se uporabljajo za določanje dimenzije prevleke. Določitev dolžine, ki temelji na prekrivanju obale s trakom širine, uteleša idejo Cantorja in Minkowskega (glej sliko 56), pripadajočo dimenzijo pa dolgujemo Buliganu. Vendar ta dva primera le namigujeta na obstoj številnih razsežnosti (večina jih pozna le nekaj strokovnjakov), ki blestijo na različnih visoko specializiranih področjih matematike. O nekaterih od teh dimenzij bomo podrobneje razpravljali v 39. poglavju.

Zakaj so morali matematiki uvesti to obilje različnih dimenzij? Kaj potem notri določene primere sprejemajo različne pomene. Na srečo v tem eseju ne boste naleteli na takšne primere, zato lahko seznam možnih alternativnih dimenzij najdete tukaj. čista vest zmanjšati na dva, ki pa ju še nisem omenil. Najstarejša in najbolj temeljito raziskana dimenzija na našem seznamu sega v Hausdorffa in služi za opredelitev fraktalne dimenzije - z njo se bomo ukvarjali zelo kmalu. Druga, preprostejša dimenzija se imenuje dimenzija podobnosti: ni enaka splošni značaj, kot prva dimenzija, pa se v mnogih primerih izkaže za več kot primerno – obravnavali jo bomo v naslednjem poglavju.

Tukaj seveda ne bom dal matematični dokaz da je Richardsonov eksponent dimenzija. Iskreno povedano, ne morem si predstavljati, kako je mogoče takšno dokazovanje izvesti v okviru katerega koli naravoslovje. Bralca želim samo opozoriti na dejstvo, da koncept dolžine predstavlja konceptualni problem, indikator pa ponuja priročno in elegantno rešitev. Zdaj, ko je fraktalna dimenzija zavzela svoje mesto v proučevanju obal, je malo verjetno, da se bomo iz kakšnih posebnih razlogov želeli vrniti v tiste čase, ko smo lahkomiselno in naivno verjeli. Kdor še verjame, bo zdaj moral poskusiti, če hoče dokazati, da ima prav.

Naslednji korak – razlago oblike obal in pridobivanje pomena iz drugih, bolj temeljnih premislekov – predlagam, da odložimo do 28. poglavja. Na tej stopnji je dovolj reči, da kot prvi približek, . Ta vrednost je prevelika, da bi natančno opisala dejstva, vendar je več kot dovolj, da lahko rečemo, da je mogoče, mora in naravno verjeti, da dimenzija obale presega običajno evklidsko vrednost za krivuljo.

FRAKTALNA DIMENZIJA HAUSDORFFA

Če sprejmemo, da so različne naravne obale neskončne dolžine in tudi, da vrednost dolžine, ki temelji na antropometrični vrednosti, daje le delno predstavo o resničnem stanju, kako lahko potem različne obale primerjamo med seboj? Ker se neskončnost ne razlikuje od neskončnosti, pomnožene s štiri, kaj nam bo koristilo, če rečemo, da je dolžina katerega koli brega štirikrat večja od dolžine katere koli njegove četrtine? Obvezno Najboljši način izraziti povsem razumno idejo, da mora imeti krivulja neko "mero" in ta mera za celotno krivuljo bi morala biti štirikrat večja od enake mere za katero koli njeno četrtino.

Izjemno domiselno metodo za dosego tega cilja je predlagal Felix Hausdorff. Njegova metoda temelji na dejstvu, da se linearna mera mnogokotnika izračuna s seštevanjem dolžin njegovih stranic brez kakršnih koli transformacij. Predpostavimo lahko, da so te stranske dolžine dvignjene na potenco, ki je enaka evklidski dimenziji premice (razlog za to predpostavko bo kmalu postal očiten). Mero površine notranjega področja sklenjenega mnogokotnika izračunamo na podoben način – tako da ga prekrijemo s kvadrati, poiščemo vsoto dolžin stranic teh kvadratov in jo dvignemo na potenco (evklidsko dimenzijo ravnine ). Če v izračunih uporabimo »napačno« stopnjo, nam rezultat teh izračunov ne bo dal nobenega koristne informacije: območje katerega koli zaprtega poligona bo enako nič, dolžina njenega notranjega področja pa bo neskončna.

Oglejmo si s takih položajev poligonalno (delno linearno) aproksimacijo obale, sestavljeno iz majhnih intervalov dolžine . Če dolžino intervala dvignemo na potenco in jo pomnožimo s številom intervalov, dobimo določeno vrednost, ki jo lahko pogojno imenujemo "približna dolžina v dimenziji". Ker je po Richardsonu število strani enako, ima naš približni obseg vrednost .. To pomeni, da približen obseg obale kaže preudarno vedenje, če in samo če .

FRAKTALNA DIMENZIJA KRIVULJE JE LAHKO VEČJA OD ENOTE; FRAKTALNE KRIVULJE

Kot je predvidel njen ustvarjalec, Hausdorffova dimenzija ohranja naloge navadne dimenzije in služi kot eksponent pri določanju mere.

Vendar pa je po drugi strani razsežnost zelo nenavadna – izražena je delno število! Poleg tega je večja od enote, ki je "naravna" dimenzija krivulj (lahko je strogo dokazati, da je tudi njihova topološka dimenzija enaka enoti).

Predlagam, da krivulje, katerih fraktalna dimenzija presega njihovo topološko dimenzijo 1, imenujemo fraktalne krivulje. Kot kratek povzetek tega poglavja lahko ponudim naslednjo izjavo: Na geografskem merilu je mogoče obale modelirati s fraktalnimi krivuljami. Obale so fraktalne strukture.

riž. 55. OPIČJE DREVO

Na tej stopnji je treba to majhno risbo obravnavati preprosto kot dekorativni element, le zapolni prazen prostor.

Vendar pa bo bralec po branju 14. poglavja tukaj lahko našel namig za razvozlanje »arhitekturne« uganke na sl. 210. Resnejši namig ponuja spodnji generator:

Če mora matematik »ukrotiti« kakšno posebej nepravilno krivuljo, lahko uporabi naslednji standardni postopek: izbere se določena vrednost in okoli vsake točke krivulje se sestavi krog s polmerom. Ta postopek, ki sega vsaj do Hermanna Minkowskega in celo do samega Georga Cantorja, je nekoliko surov, a zelo učinkovit. (Kar zadeva izraz klobasa, je njegov izvor po nepreverjenih govoricah nekako povezan z uporabo tega postopka Norberta Wienerja na Brownovih krivuljah.)

Na tukaj objavljenih ilustracijah zgoraj opisano glajenje ni uporabljeno za dejanske obale, ampak za eno teoretično krivuljo, ki jo bomo zgradili malo kasneje (glej sliko 79) z nenehnim dodajanjem novih in novih podrobnosti. Če primerjamo kos klobase, prikazan na desni, z desnim koncem klobase, postavljenim na vrh, vidimo, da se kritična stopnja v konstrukciji krivulje pojavi, ko začne krivulja vključevati dele, manjše od . Za več poznejše faze klobasa se bistveno ne spremeni.

riž. 57. RICHARDSONOVI EMPIRIČNI PODATKI O HITROSTI RASTI DOLŽINE OBALE

Ta slika prikazuje eksperimentalne rezultate meritev dolžine krivulje, opravljene na različnih krivuljah z uporabo enakostraničnih mnogokotnikov s padajočo stransko dolžino. Kot je bilo pričakovano, v primeru kroga meritve z naraščajočo natančnostjo dajejo vrednost, ki se zelo hitro stabilizira okoli zelo specifične vrednosti.

Pri obalnih črtah se približne vrednosti dolžine, nasprotno, sploh ne stabilizirajo. Ker dolžina koraka teži k nič, tvorijo približki dolžine, izrisani v dvojnologaritemskem koordinatnem sistemu, ravno črto z negativnim naklonom. Enako velja za kopenske meje med državami. Richardsonova poizvedovanja po različnih enciklopedijah so razkrila pomembne razlike pri določanju dolžine skupne meje s strani kartografov posameznih držav: na primer, dolžina meje med Španijo in Portugalsko je 987 km z vidika Špancev in 1214 km. km z vidika Portugalcev; podobno prizadeta je bila tudi meja med Nizozemsko in Belgijo (380 in 449 km). Ker je naklon ustreznih črt -0,25, dvajsetodstotna razlika med meritvami pomeni dvakratno razliko med vrednostmi, sprejetimi za te meritve - kar ni tako neverjetna predpostavka.

Richardson jih ni dal teoretična interpretacija različne naklone njihovih ravnih črt. Obale nameravamo interpretirati kot približke fraktalnim krivuljam in razmisliti pobočjih ustrezne ravne črte kot približne vrednosti razlike , kjer je fraktalna dimenzija.

Fraktali so geometrijski objekti: površinske črte, prostorska telesa, ki imajo zelo razgibano obliko in imajo lastnost samopodobnosti. Beseda fraktal izhaja iz besede fractus in se prevaja kot ulomek, zlomljen. Samopodobnost kot osnovna lastnost pomeni, da je bolj ali manj enotno razporejen na širokem razponu lestvic. Tako se pri povečavi majhni delci fraktala izkažejo za zelo podobne velikim. IN idealno Takšna samopodobnost vodi do dejstva, da se fraktalni objekt izkaže za invariantnega glede na razširitve, tj. pravijo, da ima dilatacijsko simetrijo. Predpostavlja nespremenljivost osnovnega geometrijske lastnosti fraktal pri spreminjanju merila.

Seveda za pravi naravni fraktal obstaja določeno minimalno dolžinsko merilo, tako da na razdaljah njegova glavna lastnost - samopodobnost - izgine. Poleg tega je dovolj v velikem obsegu dolžine, kjer je značilna geometrijska velikost predmetov, je tudi ta lastnost samopodobnosti kršena. Zato se lastnosti naravnih fraktalov obravnavajo samo na lestvicah l, zadovoljevanje razmerja . Takšne omejitve so povsem naravne, saj ko navedemo kot primer fraktal - lomljeno, negladko trajektorijo Brownovega delca, potem razumemo, da je slika očitna idealizacija. Bistvo je, da je na majhnih merilih čas udarca končen. Če upoštevamo te okoliščine, postane tirnica Brownovega delca gladka krivulja.

Upoštevajte, da je lastnost samopodobnosti značilna samo za pravilne fraktale. Če namesto deterministične konstrukcijske metode v algoritem za njihovo ustvarjanje vključimo nekaj elementa naključnosti (kot se npr. zgodi v številnih procesih difuzijske rasti grozdov, električna okvara itd.), potem nastanejo tako imenovani naključni fraktali. Njihova glavna razlika od običajnih je v tem, da so lastnosti samopodobnosti veljavne šele po ustreznem povprečenju vseh statistično neodvisnih realizacij objekta. V tem primeru povečani del fraktala ni popolnoma enak originalnemu fragmentu, ampak so statistične značilnosti ujemati se. Toda fraktal, ki ga proučujemo, je eden od klasičnih fraktalov in zato pravilen.

Dolžina obale

Sprva se je koncept fraktala pojavil v fiziki v povezavi s problemom iskanja obale. Pri merjenju z uporabo obstoječega zemljevida območja se je pokazala zanimiva podrobnost - v večjem merilu kot je posnet zemljevid, daljša je ta obala.

Slika 1 – Zemljevid obale

Naj bo na primer ravna razdalja med točkami, ki se nahajajo na obali A in B enako R(glej sliko 1). Nato bomo za merjenje dolžine obale med temi točkami vzdolž obale postavili medsebojno togo povezane stebre, tako da bo razdalja med sosednjimi drogovi npr. l=10km. Dolžina obale v kilometrih med točkami A in B potem ga bomo vzeli kot enako številu mejnikov minus ena, pomnoženo z deset. Naslednjo meritev te dolžine bomo izvedli na podoben način, le da bomo razdaljo med sosednjima polima izenačili l=1km.

Izkazalo se je, da bodo rezultati teh meritev drugačni. Ko je pomanjšan l vse bomo dobili velike vrednosti dolžina. V nasprotju z gladko krivuljo se črta morske obale pogosto izkaže za tako razčlenjeno (do najmanjšega merila), da z zmanjšanjem segmenta l velikost L- dolžina obale - ne teži končna meja, in narašča po postopnem zakonu

Kje D- določen eksponent, ki se imenuje fraktalna dimenzija obale. kako večja vrednost D, bolj razgibana je ta obala. Izvor odvisnosti (1) je intuitiven: manjše kot je merilo, ki ga uporabljamo, manjše podrobnosti obale bodo upoštevane in prispevale k izmerjeni dolžini. Nasprotno, s povečanjem lestvice poravnamo obalo in zmanjšamo dolžino L.

Tako je očitno, da je treba določiti dolžino obale L z uporabo trde lestvice l(na primer z uporabo kompasa s fiksno rešitvijo), morate storiti N=L/l korakov in velikosti L spremembe c l torej n odvisno od l v zakonu. Posledično se ob zmanjševanju obsega dolžina obale neomejeno povečuje. Ta okoliščina močno razlikuje fraktalno krivuljo od navadne gladke krivulje (kot je krog, elipsa), za katero je meja dolžine aproksimativne lomljene črte L saj se dolžina njegove povezave nagiba k nič l končno. Posledično je za gladko krivuljo njena fraktalna dimenzija D=1, tj. sovpada s topološkim.

Predstavimo vrednosti fraktalnih dimenzij D za različne obale. Na primer za britansko otočje D? 13, in za Norveško D? 15. Fraktalna dimenzija avstralske obale D ? 1. 1. Tudi fraktalne dimenzije drugih obal se izkažejo za blizu enotnosti.

Zgoraj je bil predstavljen koncept fraktalne dimenzije obale. Dajmo zdaj splošna definicija to vrednost. Pustiti d- običajna evklidska dimenzija prostora, v katerem se nahaja naš fraktalni objekt ( d=1- linija, d=2- letalo, d=3- redno tridimenzionalni prostor). Zdaj pa pokrijmo ta predmet v celoti d-dimenzionalne "kroglice" polmera l. Predpostavimo, da za to potrebujemo nič manj kot N(l)žogice. Potem, če je za dovolj majhen l velikost N(l) spreminja po potenčnem zakonu:

to D- se imenuje Hausdorffova ali fraktalna dimenzija tega predmeta.

Dobro znano dejstvo:

Primer paradoksa: če obalo Združenega kraljestva merimo v odsekih po 100 km, je njena dolžina približno 2800 km. Če uporabimo 50 km odsekov, je dolžina približno 3400 km, kar je 600 km več.

Dolžina obale je odvisna od tega, kako se meri. Ker je kopenska masa lahko označena s krivuljami katere koli velikosti, od sto kilometrov do delcev milimetra ali manj, ni očitnega načina za izbiro velikosti najmanjšega elementa, ki bi ga bilo treba vzeti za merjenje. Posledično je nemogoče nedvoumno določiti obseg tega območja. Za rešitev tega problema obstajajo različni matematični približki.

Ker ima kopno značilnosti na vseh ravneh, od velikosti več sto kilometrov do drobnih delcev milimetra in manj, ni očitnih omejitev glede velikosti najmanj lastnosti, zato ni jasno določenega zemljišča. Pod določenimi minimalnimi predpostavkami velikosti obstajajo različni približki.

Primer paradoksa je dobro znan Obala Združenega kraljestva. Če se obala Združenega kraljestva meri s fraktalno enoto dolžine 100 km (62 milj), potem je obala dolga približno 2800 km (1700 milj). Z enoto 50 km (31 milj), celotna dolžina je približno 3400 km (2100 milj), približno 600 km (370 milj) daljši.

Matematični vidiki

Osnovni koncept dolžine izhaja iz Evklidska razdalja. V prijatelju Evklidska geometrija, ravna črta predstavlja najkrajša razdalja med dvema točkama; ta premica ima samo eno končno dolžino. Geodetska dolžina na površini krogle, imenovana dolga dolžina krog, se meri vzdolž površine krivulje, ki obstaja v ravnini, ki vsebuje končne točke poti in središče krogle. Dolžina glavne krivulje je bolj zapletena, vendar jo je mogoče tudi izračunati. Pri merjenju z ravnilom lahko oseba približa dolžine krivulje tako, da sešteje vsoto ravnih črt, ki povezujejo točke:

Uporaba več ravnih črt za približek dolžine krivulje bo dala nizko oceno. Uporabljajo vedno več kratke črte bo proizvedel vsoto dolžin, ki se približa pravi dolžini krivulje. Točna vrednost To dolžino je mogoče določiti z računom, vejo matematike, ki omogoča izračun neskončno majhnih razdalj. Naslednja animacija ponazarja ta primer:

Vseh krivulj pa ni mogoče izmeriti na ta način. Po definiciji se krivulja s kompleksnimi spremembami merilne lestvice šteje za fraktalno. Glede na to, da se gladka krivulja z večanjem natančnosti merjenja vedno bolj približuje isti vrednosti, se lahko izmerjena vrednost fraktalov bistveno spremeni.

Dolžina " pravi fraktal" se vedno nagiba k neskončnosti. Vendar pa ta številka temelji na ideji, da je prostor mogoče razdeliti do točke nedoločenosti, tj. biti neomejen. To je fantazija, ki je osnova evklidske geometrije in služi kot uporaben model pri vsakodnevnih meritvah, skoraj zagotovo ne odraža spreminjajoče se realnosti "prostora" in "razdalje" na atomski ravni. Obale se razlikujejo od matematičnih fraktalov, oblikovane so iz številnih majhnih podrobnosti, ki ustvarjajo vzorce le statistično.

Iz praktičnih razlogov, lahko uporabite meritev z ustrezno izbiro najmanjše velikosti ordinalne enote. Če se obala meri v kilometrih, potem so majhne razlike veliko manjše od enega kilometra in jih je mogoče zlahka prezreti. Za merjenje obale v centimetrih je treba upoštevati majhne spremembe v velikosti. Z uporabo različnih merilnih tehnik različne enote prav tako krši običajno prepričanje, da je bloke mogoče pretvoriti z uporabo preprosto množenje. Ovitki Edge obale vključujejo paradoksalne fjorde težkih obal Norveške, Čila in pacifiške obale Severne Amerike.

Malo pred letom 1951 je Lewis Fry Richardson, v študiji možen vpliv dolžine meje o verjetnosti vojne, je opazil, da so Portugalci svojo izmerjeno mejo s Španijo predstavili kot dolgo 987 km, Španija pa jo je prijavila kot 1214 km. To je bil začetek problema obrežja, ki ga je matematično težko izmeriti zaradi nepravilnosti same črte. Prevladujoča metoda ocenjevanja dolžine meje (ali obale) je bila naložitev N količin enake segmente z dolžino ℓ, razmejeno na zemljevidu ali fotografijah iz zraka. Vsak konec segmenta mora biti na meji. S preiskovanjem neskladij v oceni meje je Richardson odkril, kar se danes imenuje Richardsonov učinek: vsota segmentov je obratno sorazmerna celotna dolžina segmenti. V bistvu, krajše kot je ravnilo, večja je izmerjena meja; Španski in portugalski geografi so preprosto izmerili mejo z uporabo različno dolgih ravnil. Posledično je Richardsona presenetilo dejstvo, da se v določenih okoliščinah, ko se dolžina ravnila ℓ nagiba k nič, tudi dolžina obale teži k neskončnosti. Richardson meni, da na podlagi Evklidova geometrija, se bo obala približala fiksni dolžini, kako narediti takšne ocene pravilne geometrijske oblike. Na primer perimeter pravilni mnogokotnik krogu vpisana se bliža krogu, ko se število stranic povečuje (dolžina ene stranice pa se zmanjšuje). IN geometrijska teorija meri tako gladko krivuljo kot krog, ki ji je mogoče približati majhne ravne segmente določena meja, imenujemo popravljalna krivulja.

Več kot deset let po tem, ko je Richardson dokončal svoje delo, Benoit Mandelbrot razviti novo območje matematika, - fraktalna geometrija za opis natanko takšnih nepopravljivih kompleksov v naravi v obliki neskončne obale. Lastna definicija nova številka, ki služi kot podlaga za njegovo raziskovanje: prišel sem do fraktala iz latinskega pridevnika " razdrobljeno» za ustvarjanje nepravilnih drobcev. Torej je logično... da poleg "razdrobljen"... zdrobljen pomeni tudi "nepravilen".

Ključna lastnost fraktala je samopodobnost, kar pomeni, da se enaka splošna konfiguracija pojavi v katerem koli merilu. Obala je zaznana kot zalivi, ki se izmenjujejo z rtovi. V hipotetični situaciji ima dana obala to lastnost samopodobnosti, ne glede na to, koliko je kateri koli majhen odsek obale videti povečan, podoben vzorec manjših zalivov in rtov, ki se prekrivajo z večjimi zalivi in ​​rti, vse do zrna peska. Hkrati se obseg obale v hipu spremeni v potencialno neskončno dolgo nit z naključno razporeditvijo zalivov in rtov, oblikovanih iz majhnih predmetov. V takih razmerah (v nasprotju z gladkimi krivuljami) Mandelbrot trdi, da je "dolžina obale izmuzljiv koncept, ki zdrsne med prsti tistih, ki ga želijo razumeti." različne vrste fraktali. Obala z navedenimi parametri spada v »prvo kategorijo fraktalov, in sicer krivulje z fraktalna dimenzija večja od 1." Ta zadnja izjava predstavlja Mandelbrotovo razširitev Richardsonove misli.

Izjava o učinku Mandelbrota Richardsona:

kjer je L, dolžina obalne črte, funkcija merske enote ε in je približana z enačbo. F je konstanta in D je Richardsonov parameter. Ni dal teoretična razlaga, vendar je Mandelbrot definiral D z necelo obliko Hausdorffove dimenzije, kasneje - fraktalna dimenzija. Po prerazvrščanju desna stran izraze dobimo:

kjer mora biti Fε-D število enot ε, potrebnih za pridobitev L. Fraktalna dimenzija- število fraktalnih dimenzij, ki se uporabljajo za aproksimacijo fraktala: 0 za točko, 1 za črto, 2 za območje. D v izrazu je med 1 in 2, za obalo je običajno manj kot 1,5. Razčlenjena dimenzija obale se ne razteza enosmerno in ne predstavlja območja, temveč je vmesna. To si lahko razlagamo kot debele črte ali črte s širino 2ε. Bolj razčlenjene obale imajo večji D in zato večji L za enak ε. Mandelbrot je pokazal, da D ni odvisen od ε.

Vir: http://en.wikipedia.org/wiki/Coast#Coastline_problem

http://en.wikipedia.org/wiki/Coastline_paradox

Prevod: Dmitrij Šahov