Kanonična razgradnja. Kaj pomeni razložiti število na prafaktorje? Uporaba testov deljivosti za prafaktorizacijo

Predavanje 14 Naključni procesi Kanonična ekspanzija naključnih procesov. Spektralna razgradnja stacionarni naključni proces. Predavanje 14
Naključni procesi
Kanonična ekspanzija naključnih procesov.
Spektralna dekompozicija stacionarnega naključja
postopek. Naključni procesi z neodvisnimi
razdelki. Markovljevi procesi in Markovljeve verige.
Normalni naključni procesi. Periodično
nestacionarni naključni procesi
(Ahmetov S.K.)

Kanonična ekspanzija naključnih procesov

Glavne značilnosti SP, opredeljene s kanonično dekompozicijo

Spektralna dekompozicija stacionarnega SP

Spektralna dekompozicija stacionarnega SP (2)

Spektralna dekompozicija stacionarnega SP (3)

Naključni procesi z neodvisnimi prerezi

Markovljevi procesi in Markovljeve verige

Normalni (Gaussovi) naključni procesi

Pokliče se naključna spremenljivka V sredinsko , če je njegovo matematično pričakovanje enako 0. Elementarni centrirani naključni proces je produkt centrirane naključne spremenljivke V in nenaključne funkcije φ(t):X(t)=Vφ(t). Elementarni centrirani naključni proces ima naslednje značilnosti:

Izražanje oblike
, kjer je φ k ( t ), k =1;2;…-nenaključne funkcije; , k =1;2;…-nekorelirane centrirane naključne spremenljivke, imenovane kanonična ekspanzija naključnega procesaX ( t ), medtem ko naključne spremenljivke se imenujejo koeficienti kanoničnega raztezanja; in nenaključne funkcije φ k ( t ) - koordinatne funkcije kanoničnega raztezanja.

Razmislimo o značilnostih naključnega procesa

Ker po pogoju
to

Očitno velja enak naključni proces različne vrste kanonična ekspanzija v odvisnosti od izbire koordinatnih funkcij. Še več, tudi pri izbiri koordinatnih funkcij pride do poljubnosti v porazdelitvi slučajnih spremenljivk V k. V praksi se na podlagi rezultatov eksperimentov dobijo ocene za matematično pričakovanje in korelacijsko funkcijo:
. Po razgradnji
v dvojno Fourierjevo vrsto v koordinatnih funkcijah φ do (t):

pridobite vrednosti variance
naključne spremenljivke V k .

4.2. Koncept posplošene funkcije. Diracova delta funkcija. Integralna kanonična predstavitev naključnih procesov.

Generalizirana funkcija se imenuje limita zaporedja družine zveznih funkcij z enim parametrom.

Diracova delta funkcija
- to je posplošena funkcija, ki izhaja iz prehoda na limito pri
v družini funkcij

Med lastnostmi -funkcije upoštevamo naslednje:

2.

3. Če je f(t)- neprekinjena funkcija, To

Naključni proces X( t ), katerega korelacijska funkcija ima obliko, imenovano nestacionarni "beli šum". če W ( t 1 )= W - konst , nato X( t )-stacionarni "beli šum".

Kot izhaja iz definicije, ni dveh, četudi blizu, razdelkov " beli šum» niso v korelaciji. Izraz W(t) se imenuje intenzivnost "belega šuma".

Integralna kanonična predstavitev naključnega procesa X( t ) se imenuje izraz oblike
Kje
- naključno centrirana funkcija;
- nenaključna funkcija zveznih argumentov

Korelacijska funkcija takega naključnega procesa ima obliko:

Lahko se pokaže, da obstaja nenaključna funkcija G(λ), tako da

kjer je G(λ 1) disperzijska gostota; δ(x) je Diracova delta funkcija. Dobimo

Zato je varianca naključnega procesa X(t):

.

4.3. Linearne in nelinearne transformacije naključnih procesov

Obravnavan je naslednji problem: "vhodni signal", ki ima naravo naključnega procesa X(t), se dovaja na vhod sistema (naprave, pretvornika) S. Sistem ga pretvori v "izhodni signal" Y(t):

.

Formalno lahko transformacijo naključnega procesa X(t) v Y(t) opišemo s tako imenovanim sistemskim operaterjem A t:

Y(t)=A t (X(t)).

Indeks t označuje, da ta operater izvaja pretvorbo časa. Možne so naslednje formulacije problema transformacije naključnega procesa.

Zakoni porazdelitve so znani oz Splošne značilnosti naključnega procesa X(t) na vhodu v sistem S je podan operator A t sistema S, je treba določiti porazdelitveni zakon oziroma splošne značilnosti naključnega procesa Y(t) na izhodu sistema S.

Znani so zakoni porazdelitve (splošne značilnosti) naključnega procesa X(t) in zahteve za naključni proces Y(t); treba je določiti tip operatorja A t sistema S, ki najbolje zadošča danim zahtevam kY(t).

Distribucijski zakoni (splošne značilnosti) naključnega procesa Y(t) so znani in podan je operator A t sistema S; potrebno je določiti distribucijske zakone ali splošne značilnosti naključnega procesa X(t).

p Sprejeta je naslednja klasifikacija operaterjev A t sistema S:

Sistemski operaterji

Linearno LNelinearnoN

Linearna homogena L 0 Linearna nehomogena L n

Razmislimo o vplivu linearnega nehomogenega sistema

L n (...)=L 0 (...)+φ(t)

na naključni proces X(t), ki ima naslednjo kanonično razširitev:

.

Dobimo:

uvedemo zapis

potem ima kanonična ekspanzija Y(t) obliko:

.

Matematično pričakovanje naključnega procesa Y(t):

korelacijska funkcija naključnega procesa Y(t):

torej,

Na drugi strani

Varianca naključnega procesa Y(t):

V zaključku tega odstavka ugotavljamo, da so operatorji diferenciacije in integracije naključnih procesov linearno homogeni.

2. Upošteva se kvadratna transformacija:

Y(t)=(X(t)) 2 ,

V k -centrirane naključne spremenljivke s porazdelitvijo simetrično okoli ničle; kateri koli štirje od njih so skupaj neodvisni. Potem

Predstavimo nenaključne funkcije

in naključne spremenljivke

potem dobi naključni proces Y(t) obliko

Dobljena je kanonična ekspanzija naključnega procesa Y(t). Korelacijska funkcijaY(t):

V tem članku boste našli vse potrebne informacije odgovor na vprašanje kako faktorizirati število glavni dejavniki . Prvo dano splošna ideja o razgradnji števila na prafaktorje so navedeni primeri razčlenitev. Prikazano naprej kanonična oblika razlaganje števila na prafaktorje. Po tem je podan algoritem razgradnje poljubna števila na prafaktorje in podani so primeri razgradnje števil z uporabo tega algoritma. Upoštevane so tudi alternativne metode, ki vam omogočajo hitro faktoriziranje majhnih celih števil na prafaktorje z uporabo testov deljivosti in tabel množenja.

Navigacija po straneh.

Kaj pomeni razložiti število na prafaktorje?

Najprej poglejmo, kaj so prafaktorji.

Jasno je, da ker je v tej frazi prisotna beseda "faktorji", potem obstaja produkt nekaterih števil, kvalificirana beseda "preprosto" pa pomeni, da je vsak faktor praštevilo. Na primer, v produktu oblike 2·7·7·23 so štirje prafaktorji: 2, 7, 7 in 23.

Kaj pomeni razložiti število na prafaktorje?

To pomeni, da dano številko mora biti predstavljen kot produkt prafaktorjev, vrednost tega produkta pa mora biti enaka prvotnemu številu. Kot primer razmislite o zmnožku treh praštevil 2, 3 in 5, ki je enak 30, torej je razgradnja števila 30 na prafaktorje 2·3·5. Običajno razgradnjo števila na prafaktorje zapišemo kot enakost; v našem primeru bo takole: 30=2·3·5. Posebej poudarjamo, da se prafaktorji v razširitvi lahko ponovijo. To jasno ponazarja naslednji primer: 144=2·2·2·2·3·3 . Toda predstavitev oblike 45=3·15 ni dekompozicija na prafaktorje, saj je število 15 sestavljeno število.

Nastane naslednje vprašanje: "Katera števila lahko razložimo na prafaktorje?"

V iskanju odgovora nanj predstavljamo naslednje sklepanje. Praštevila so po definiciji med tistimi, ki so večja od ena. Ob upoštevanju tega dejstva in , lahko trdimo, da je produkt več prafaktorjev celo število pozitivno število, ki presega eno. Zato faktorizacija poteka samo za pozitivna cela števila, ki so večja od 1.

Toda ali je mogoče vsa cela števila, večja od ena, faktorizirati v prafaktorje?

Jasno je, da preprostih celih števil ni mogoče faktorizirati na prafaktorje. To je razloženo z dejstvom, da imajo praštevila samo dva pozitivna delitelja - ena in sebe, zato jih ni mogoče predstaviti kot produkt dveh oz. več praštevila. Če bi celo število z lahko predstavili kot zmnožek praštevil a in b, potem bi nam koncept deljivosti omogočil sklep, da je z deljiv z a in b, kar je zaradi preprostosti števila z nemogoče. Vendar verjamejo, da je vsako praštevilo samo po sebi razpad.

Kaj pa sestavljena števila? Ali se zložijo? sestavljena števila na prafaktorje in ali so vsa sestavljena števila predmet takšne razgradnje? Temeljni aritmetični izrek daje pritrdilen odgovor na številna od teh vprašanj. Osnovni aritmetični izrek pravi, da je mogoče vsako celo število a, ki je večje od 1, razstaviti na zmnožek prafaktorjev p 1, p 2, ..., p n, razpad pa ima obliko a = p 1 · p 2 · … · p n, in ta razširitev je edinstvena, če ne upoštevate vrstnega reda faktorjev

Kanonična faktorizacija števila na prafaktorje

Pri razširitvi števila se prafaktorji lahko ponovijo. Ponavljajoče se prafaktorje lahko zapišemo bolj strnjeno z uporabo. Naj se pri razčlenjevanju števila prafaktor p 1 pojavi s 1-krat, prafaktor p 2 – s 2-krat in tako naprej p n – s n-krat. Potem lahko prafaktorizacijo števila a zapišemo kot a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. Ta oblika zapisa je t.i kanonična faktorizacija števila na prafaktorje.

Navedimo primer kanonične razgradnje števila na prafaktorje. Sporočite nam razgradnjo 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, ima njegov kanonični zapis obliko 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Kanonična faktorizacija števila na prafaktorje vam omogoča, da poiščete vse delitelje števila in število deliteljev števila.

Algoritem za faktorizacijo števila na prafaktorje

Da bi se uspešno spopadli z nalogo razgradnje števila na prafaktorje, morate zelo dobro poznati informacije v članku praštevila in sestavljena števila.

Bistvo postopka razgradnje pozitivnega celega števila a, ki presega ena, je razvidno iz dokaza osnovnega aritmetičnega izreka. Bistvo je sekvenčna ugotovitev najmanjši pradelilniki p 1 , p 2 , …, p n števil a, a 1 , a 2 , …, a n-1 , kar nam omogoča, da dobimo niz enakosti a = p 1 · a 1 , kjer a 1 = a: p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2 , kjer je a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , kjer je a n =a n-1 :p n . Ko se izkaže, da je a n =1, nam bo enakost a=p 1 ·p 2 ·…·p n dala želeno razgradnjo števila a na prafaktorje. Tukaj je treba opozoriti tudi na to p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

Še vedno je treba ugotoviti, kako najti najmanjše prafaktorje na vsakem koraku, in imeli bomo algoritem za razgradnjo števila na prafaktorje. Tabela praštevil nam bo pomagala najti praštevila. Pokažimo, kako ga uporabiti za pridobitev najmanjšega pradelitelja števila z.

Zaporedoma vzamemo praštevila iz tabele praštevil (2, 3, 5, 7, 11 itd.) in z njimi delimo dano število z. Prvo praštevilo, s katerim je z enakomerno deljen, bo njegov najmanjši praštevilo. Če je število z pra, bo njegov najmanjši pradelilnik samo število z. Tukaj je treba tudi spomniti, da če z ni praštevilo, potem njegov najmanjši pradelilnik ne presega števila , kjer je iz z. Če torej med praštevili, ki ne presegajo , ni bilo niti enega delitelja števila z, potem lahko sklepamo, da je z praštevilo (več o tem je napisano v poglavju teorije pod naslovom To število je praštevilo ali sestavljeno ).

Kot primer bomo pokazali, kako najti najmanjši pradelilnik števila 87. Vzemimo številko 2. 87 delimo z 2, dobimo 87:2=43 (ostalo 1) (če je treba, glej članek). To pomeni, da je pri deljenju 87 z 2 ostanek 1, torej 2 ni delitelj števila 87. Vzamemo naslednje praštevilo iz tabele praštevil, to je število 3. 87 delimo s 3, dobimo 87:3=29. Tako je 87 deljivo s 3, torej je število 3 najmanjši pradelilnik števila 87.

Upoštevajte, da v splošni primer Da razložimo število a na prafaktorje, potrebujemo tabelo praštevil do števila, ki ni manjše od . Na to tabelo se bomo morali sklicevati na vsakem koraku, zato jo moramo imeti pri roki. Na primer, da faktoriziramo število 95 na prafaktorje, potrebujemo samo tabelo praštevil do 10 (ker je 10 večje od ). In za razgradnjo števila 846.653 boste že potrebovali tabelo praštevil do 1.000 (ker je 1.000 večje od ).

Zdaj imamo dovolj podatkov, da jih lahko zapišemo algoritem za faktorizacijo števila na prafaktorje. Algoritem za razgradnjo števila a je naslednji:

• Z zaporednim razvrščanjem števil iz tabele praštevil najdemo najmanjši praštevili p 1 števila a, po katerem izračunamo a 1 =a:p 1. Če je a 1 =1, potem je število a pra, samo pa je njegova razgradnja na prafaktorje. Če a 1 ni enako 1, potem imamo a=p 1 ·a 1 in gremo na naslednji korak.
• Najdemo najmanjši praštevilo p 2 števila a 1 , za to zaporedno razvrstimo števila iz tabele praštevil, začenši s p 1 , nato pa izračunamo a 2 =a 1:p 2 . Če je a 2 =1, ima zahtevana razgradnja števila a na prafaktorje obliko a=p 1 ·p 2. Če a 2 ni enako 1, potem imamo a=p 1 ·p 2 ·a 2 in nadaljujemo z naslednjim korakom.
• Skozi števila iz tabele praštevil, začenši s p 2, poiščemo najmanjši praštevili p 3 števila a 2, po katerem izračunamo a 3 =a 2:p 3. Če je a 3 =1, ima zahtevana razgradnja števila a na prafaktorje obliko a=p 1 ·p 2 ·p 3. Če a 3 ni enako 1, potem imamo a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 in nadaljujemo z naslednjim korakom.
• Najmanjši praštevila p n števila a n-1 najdemo tako, da razvrstimo praštevila, začenši s p n-1, pa tudi a n =a n-1:p n in a n je enako 1. Ta korak je zadnji korak algoritma, tukaj dobimo zahtevano razgradnjo števila a na prafaktorje: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.

Zaradi jasnosti so vsi rezultati, dobljeni na vsakem koraku algoritma za razgradnjo števila na prafaktorje, predstavljeni v obliki naslednje tabele, v kateri so zaporedno zapisana števila a, a 1, a 2, ..., a n v stolpcu levo od navpične črte in desno od črte - ustrezni najmanjši pradelilniki p 1, p 2, ..., p n.

Preostane nam le še nekaj primerov uporabe nastalega algoritma za razgradnjo števil na prafaktorje.

Primeri prafaktorizacije

Zdaj bomo pogledali podrobno primeri faktoriziranja števil na prafaktorje. Pri dekompoziciji bomo uporabili algoritem iz prejšnjega odstavka. Začnimo z enostavni primeri, in postopoma jih bomo zapletali, da bi naleteli na vse možne nianse, ki nastanejo pri razgradnji števil na preproste faktorje.

Primer.

Razštejte število 78 na prafaktorje.

rešitev.

Začnemo iskati prvega najmanjšega pradelilnik p 1 števila a=78 . Da bi to naredili, začnemo zaporedno razvrščati praštevila iz tabele praštevil. Vzamemo število 2 in z njim delimo 78, dobimo 78:2=39. Število 78 je deljeno z 2 brez ostanka, zato je p 1 =2 prvi najdeni pradelitelj števila 78. V tem primeru je a 1 =a:p 1 =78:2=39. Tako pridemo do enakosti a=p 1 ·a 1, ki ima obliko 78=2·39. Očitno se 1 =39 razlikuje od 1, zato preidemo na drugi korak algoritma.

Sedaj iščemo najmanjši pradelilnik p 2 števila a 1 =39. Začnemo naštevati števila iz tabele praštevil, začenši s p 1 =2. 39 delimo z 2, dobimo 39:2=19 (ostalo 1). Ker 39 ni enakomerno deljivo z 2, potem 2 ni njegov delitelj. Nato vzamemo naslednje število iz tabele praštevil (število 3) in z njim delimo 39, dobimo 39:3=13. Zato je p 2 =3 najmanjši pradelilnik števila 39, medtem ko je a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. Imamo enakost a=p 1 ·p 2 ·a 2 v obliki 78=2·3·13. Ker se 2 =13 razlikuje od 1, preidemo na naslednji korak algoritma.

Tu moramo najti najmanjši pradelilnik števila a 2 =13. Pri iskanju najmanjšega praštevila p 3 števila 13 bomo zaporedno razvrstili števila iz tabele praštevil, začenši s p 2 =3. Število 13 ni deljivo s 3, saj je 13:3=4 (ost. 1), prav tako 13 ni deljivo s 5, 7 in 11, saj je 13:5=2 (ost. 3), 13:7=1 (počitek. 6) in 13:11=1 (počitek. 2). Naslednje praštevilo je 13 in 13 je z njim deljivo brez ostanka, zato je najmanjši praštevilo p 3 od 13 samo število 13 in a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. Ker je a 3 =1, je ta korak algoritma zadnji, zahtevana razgradnja števila 78 na prafaktorje pa ima obliko 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).

odgovor:

78=2·3·13.

Primer.

Število 83.006 izrazite kot zmnožek prafaktorjev.

rešitev.

Na prvem koraku algoritma za razgradnjo števila na prafaktorje najdemo p 1 =2 in a 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503, od koder je 83,006=2·41,503.

V drugem koraku ugotovimo, da 2, 3 in 5 niso pradelitelji števila a 1 =41.503, temveč število 7, saj je 41.503:7=5.929. Imamo p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41,503:7=5,929. Tako je 83.006=2 7 5 929.

Najmanjši pradelilnik števila a 2 =5 929 je število 7, saj je 5 929:7 = 847. Tako je p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, od česar je 83 006 = 2·7·7·847.

Nato ugotovimo, da je najmanjši pradelilnik p 4 števila a 3 =847 enak 7. Potem je a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, torej 83 006=2·7·7·7·121.

Zdaj poiščemo najmanjši pradelilnik števila a 4 =121, to je število p 5 =11 (ker je 121 deljivo z 11 in ne deljivo s 7). Potem je a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 in 83 006=2·7·7·7·11·11.

Končno je najmanjši pradelilnik števila a 5 =11 število p 6 =11. Potem je a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. Ker je a 6 =1, je ta korak algoritma za razgradnjo števila na prafaktorje zadnji, želena razgradnja pa ima obliko 83 006 = 2·7·7·7·11·11.

Dobljeni rezultat lahko zapišemo kot kanonično razgradnjo števila na prafaktorje 83 006 = 2·7 3 ·11 2.

odgovor:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 je praštevilo. Dejansko nima niti enega pradelitelja, ki ne presega ( se lahko grobo oceni kot , saj je očitno, da 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

odgovor:

897 924 289=937·967·991.

Uporaba testov deljivosti za prafaktorizacijo

V preprostih primerih lahko število razstavite na prafaktorje brez uporabe algoritma za razčlenjevanje iz prvega odstavka tega članka. Če števila niso velika, je za njihovo razgradnjo na prafaktorje pogosto dovolj, da poznamo znake deljivosti. Navedimo primere za pojasnilo.

Na primer, število 10 moramo razložiti na prafaktorje. Iz tabele množenja vemo, da je 2·5=10, števili 2 in 5 pa sta očitno praštevili, zato je prafaktorizacija števila 10 videti kot 10=2·5.

Še en primer. S pomočjo tabele množenja bomo število 48 razložili na prafaktorje. Vemo, da je šest osem - oseminštirideset, to je 48 = 6·8. Vendar niti 6 niti 8 nista praštevili. Vemo pa, da je dvakrat tri šest in dvakrat štiri osem, to je 6=2·3 in 8=2·4. Potem je 48=6·8=2·3·2·4. Zapomniti si moramo, da je dvakrat dva štiri, potem dobimo želeno razgradnjo na prafaktorje 48 = 2·3·2·2·2. Zapišimo to razširitev v kanonični obliki: 48=2 4 ·3.

Toda pri faktoriziranju števila 3400 na prafaktorje lahko uporabite kriterije deljivosti. Znaki deljivosti z 10, 100 nam omogočajo, da trdimo, da je 3400 deljivo s 100, pri čemer je 3400=34·100, 100 pa je deljivo z 10, pri čemer je 100=10·10, torej 3400=34·10·10. In na podlagi testa deljivosti z 2 lahko rečemo, da je vsak faktor 34, 10 in 10 deljiv z 2, dobimo 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Vsi dejavniki v posledični ekspanziji so preprosti, zato je ta ekspanzija želena. Vse kar ostane je, da faktorje preuredite tako, da gredo v naraščajočem vrstnem redu: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. Zapišimo še kanonično razgradnjo tega števila na prafaktorje: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.

Pri razgradnji danega števila na prafaktorje lahko izmenično uporabite tako znake deljivosti kot tabelo množenja. Predstavljajmo si število 75 kot produkt prafaktorjev. Test deljivosti s 5 nam omogoča, da ugotovimo, da je 75 deljivo s 5, in dobimo, da je 75 = 5·15. In iz tabele množenja vemo, da je 15=3·5, torej 75=5·3·5. To je zahtevana razgradnja števila 75 na prafaktorje.

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya. in drugi. 6. razred: učbenik za splošnoizobraževalne ustanove.
• Vinogradov I.M. Osnove teorije števil.
• Mikhelovich Sh.H. Teorija števil.
• Kulikov L.Ya. in drugi Zbirka nalog iz algebre in teorije števil: Učbenik za študente fizike in matematike. specialnosti pedagoških zavodov.