Uvodne opombe. Poiščimo Fourierjevo sliko iz d-funkcije.
Očitno pošteno in inverzna pretvorba Fourier:
in:
1. Pustite procesu konstantna vrednost x(t)=A o . Kot je bilo že ugotovljeno prej, je korelacijska funkcija takega procesa enaka. Najdemo spektralno gostoto procesa z neposredno pretvorbo Fourierjeve funkcije R(t):
Spekter procesa je sestavljen iz enega samega vrha tipa impulzne funkcije, ki se nahaja na izvoru. Torej, če je v procesu samo ena frekvenca w=0, to pomeni, da je vsa moč procesa koncentrirana na tej frekvenci, kar potrjuje obliko funkcije S(w).Če naključna funkcija vsebuje konstantno komponento, tj. povprečna vrednost, torej S(w) bo imel diskontinuiteto na izvoru in bo zanj značilna prisotnost d- deluje v točki w=0.
2. Za harmonična funkcija X=A o sin(w 0 t+j) korelacijska funkcija:
Spektralna gostota je
Urnik S(w) bo imela dva vrha tipa impulzne funkcije, ki se nahajata simetrično glede na izhodišče koordinat pri w=+w 0 in w=-w 0 . To nakazuje, da je moč procesa koncentrirana na dveh frekvencah + w 0 in - w 0 .
Če ima naključna funkcija harmonične komponente, potem ima spektralna gostota diskontinuitete na točkah w= ± w 0 in je značilna prisotnost dveh delta funkcij, ki se nahajata na teh točkah.
beli šum . Beli šum je naključen proces, ki ima iste vrednosti spektralna gostota pri vseh frekvencah od -¥ do +¥ : S( w) = Konst.
Primer takega procesa pod določenimi predpostavkami je toplotni šum, kozmično sevanje itd. Korelacijska funkcija takega procesa je enaka
torej R(t) predstavlja impulzna funkcija, ki se nahaja na izvoru.
Ta proces je povsem naključen proces, ker pri katerikoli t¹0 ni korelacije med naslednjimi in prejšnjimi vrednostmi naključne funkcije. Proces s takšno spektralno gostoto je fizikalno nerealen, ker ustreza neskončno veliki varianci in srednjemu kvadratu naključne spremenljivke:
Takšen proces ustreza neskončno veliki moči in viru z neskončno veliko energijo.
2. Pasovno omejen beli šum. Za ta proces je značilna spektralna gostota oblike
S(w)=C pri ½w½<w n,
S(w)=0 pri ½w½>w n.
Kje (- w n, w n) frekvenčni pas za spektralno gostoto.
To je naključen proces, katerega spektralna gostota ostaja skoraj konstantna v frekvenčnem območju, ki lahko vpliva na obravnavani krmilni sistem, tj. v frekvenčnem območju, ki ga oddaja sistem. Vrsta krivulje S(w) zunaj tega območja ni pomembno, ker del krivulje, ki ustreza višje frekvence, ne bo vplivalo na delovanje sistema. Ta proces ustreza korelacijski funkciji
Varianca procesa je enaka
5. Tipični vhodni signal sledilnega sistema. Signal, katerega graf je prikazan na sliki 63, je vzet kot tipičen signal. Hitrost vrtenja pogonske gredi servo sistema se ohranja konstantna vrednost za določena časovna obdobja t 1, t 2,...
Prehod iz ene vrednosti v drugo se zgodi takoj. Časovni intervali upoštevajo Poissonov zakon porazdelitve. Pričakovana vrednost
Sl.63. Tipičen signal
Tovrsten graf dobimo kot prvi približek pri sledenju Radar za premikajočo se tarčo. Vrednosti konstantne hitrosti ustrezajo premikanju cilja v ravni črti. Sprememba predznaka ali velikosti hitrosti ustreza ciljnemu manevru.
Pustiti m-povprečno število sprememb hitrosti na 1 s. Potem T=1/m bo povprečna vrednost časovnih intervalov, v katerih kotna hitrost ohranja svojo konstantno vrednost. Uporabljeno za Radar ta vrednost bo povprečni čas premikanja tarče v ravni liniji. Za določitev korelacijske funkcije je potrebno najti povprečno vrednost produkta
Pri iskanju te vrednosti sta lahko dva primera.
1. Trenutki v času t in t+t pripadajo istemu intervalu. Potem bo povprečje produkta kotnih hitrosti enako srednjemu kvadratu kotna hitrost ali odstopanje:
2. Trenutki v času t in t+t pripadajo različnim intervalom. Takrat bo povprečje produkta hitrosti enako nič, saj količine W(t) in W(t+t) za različne intervale je mogoče upoštevati neodvisne količine:
Korelacijska funkcija je enaka:
kjer je P 1 verjetnost, da najdemo časovna trenutka t in t+t v istem intervalu, P 2 =1- P 1 pa verjetnost, da ju najdemo v različnih intervalih.
Ocenimo vrednost P 1 . Verjetnost spremembe hitrosti v kratkem časovnem intervalu Dt je sorazmerna s tem intervalom in je enaka mDt ali Dt/T. Verjetnost brez spremembe hitrosti za isti interval bo enaka 1-Dt/T. Za časovni interval t je verjetnost, da se hitrost ne spremeni, tj. verjetnost, da najdemo čas t in t+t v istem intervalu konstantne hitrosti, bo enaka zmnožku verjetnosti brez spremembe hitrosti v vsakem elementarnem intervalu Dt, ker ti dogodki so neodvisni. Za končni interval ugotovimo, da je število intervalov enako t/Dt in
Prehod do meje, dobimo
Glavni cilji
Ločimo lahko dve glavni vrsti problemov, katerih rešitev zahteva uporabo teorije naključnih funkcij.
Neposredna naloga (analiza): parametre določene naprave in njene verjetnostne značilnosti(matematična pričakovanja, korelacijske funkcije, distribucijski zakoni) funkcije (signala, procesa), ki pridejo na njen "vhod"; je treba določiti značilnosti na "izhodu" naprave (z njimi presojamo "kakovost" delovanja naprave).
Inverzni problem (sinteza): določene so verjetnostne značilnosti funkcij "vhod" in "izhod"; potrebno je načrtovati optimalno napravo (poiskati njene parametre), ki dano vhodno funkcijo pretvori v tako izhodna funkcija, ki ima dane lastnosti. Rešitev tega problema zahteva poleg aparata naključnih funkcij privlačnosti še druge discipline in ta knjiga ni upoštevano.
Definicija naključne funkcije
Naključna funkcija pokličite funkcijo nenaključnega argumenta t, ki je za vsako fiksno vrednost argumenta naključna spremenljivka. Naključne funkcije prepir t označujejo z velikimi tiskanimi črkami X(t), Y(t) itd.
Na primer, če U- naključna spremenljivka, nato funkcija X(!)=C U - naključen. Dejansko je za vsako fiksno vrednost argumenta ta funkcija naključna spremenljivka: for t (= 2
dobimo naključno spremenljivko X x = AU pri t 2= 1,5 - naključna spremenljivka X 2 = 2,25 U itd.
Za kratkost nadaljnje predstavitve uvajamo koncept odseka.
Razdelek Naključna funkcija je naključna spremenljivka, ki ustreza fiksni vrednosti argumenta naključne funkcije. Na primer za naključno funkcijo X(t) = t 2 U, podano zgoraj, z vrednostmi argumentov 7, = 2 in t 2= 1,5 naključne spremenljivke X ( = AUn X 2 = 2,2577, ki so odseki dane naključne funkcije.
Torej lahko naključno funkcijo obravnavamo kot niz naključnih spremenljivk (X(?)), odvisno od parametra t. Druga razlaga naključne funkcije je možna, če uvedemo koncept njene izvedbe.
Izvedba (trajektorija, selektivna funkcija) naključna funkcija X(t) pokličite funkcijo nenaključnega argumenta t, za katero se lahko izkaže, da je naključna funkcija rezultat testa.
Torej, če v poskusu opazujemo naključno funkcijo, potem v resnici opazimo eno od njenih možnih implementacij; Očitno je, da bo ob ponovitvi poskusa opaziti drugačno izvedbo.
Implementacije funkcij X(t) označujejo male črke x t (t) t x 2 (t) itd., kjer indeks označuje številko testa. Na primer, če X(t)= (/greš t, Kje U- zvezna naključna spremenljivka, ki je v prvem preizkusu dobila možno vrednost in (= 3, v drugem testu pa in 2 = 4.6, nato izvedbe X(t) so vsakokrat nenaključne funkcije X ( (t) = 3sin t in x 2 (t) = 4,6 sin t.
Torej lahko naključno funkcijo obravnavamo kot niz njenih možnih izvedb.
Naključen (stohastično) postopek pokličite funkcijo naključnega argumenta t, ki se razlaga kot čas. Na primer, če mora letalo leteti na dano konstantna hitrost, potem se v resnici zaradi vpliva naključnih dejavnikov (temperaturna nihanja, spremembe jakosti vetra itd.), katerih vpliva ni mogoče vnaprej upoštevati, hitrost spremeni. V tem primeru je hitrost letala naključna funkcija nenehno spreminjajočega se argumenta (časa), tj. hitrost je naključen proces.
Upoštevajte, da če se argument naključne funkcije diskretno spremeni, potem se oblikujejo ustrezne vrednosti naključne funkcije (naključne spremenljivke). naključno zaporedje.
Argument naključne funkcije ni le čas. Na primer, če se premer niti izmeri vzdolž njegove dolžine, se premer niti spremeni zaradi vpliva naključnih dejavnikov. V tem primeru je premer naključna funkcija nenehno spreminjajočega se argumenta (dolžina niti).
Očitno je na splošno nemogoče definirati naključno funkcijo analitično (s formulo). V posebnih primerih, če je oblika naključne funkcije znana in so njeni definirajoči parametri naključne spremenljivke, jo je mogoče določiti analitično. Naključne funkcije so na primer:
X(t)= sin Qf, kjer je Q naključna spremenljivka,
X(t)= G/sin t, Kje U- naključna vrednost,
X(t) = G/sin Qt, kjer O. In .
Zlasti za Y==0 dobimo D z ( t)= M[| (t)|] 2 =D x(t), tj. zahteva (**) je izpolnjena.
Glede na to pričakovana vrednost vsota je enaka vsoti matematičnih pričakovanj izrazov, ki jih imamo
Dz(t)=M[| (t)| 2 ]=M{[ (t)] 2 + [ (t) 2 ]}=M[ (t)] 2 +M[ (t) 2 ]=Dx(t)+D y(t).
Torej, varianca kompleksne naključne funkcije je enaka vsoti varianc njenega realnega in imaginarnega dela:
D z ( t)=D x(t)+D y(t).
Znano je, da je korelacijska funkcija resnične naključne funkcije X(t) pri različne pomene argumenti enaki varianci Dx(t). Posplošimo definicijo korelacijske funkcije na kompleksne naključne funkcije Z(t), tako da ko enake vrednosti argumenti t 1 =t 2 =t korelacijsko funkcijo K z(t,t) je bila enaka varianci Dz(t), tj. tako, da je zahteva izpolnjena
K z(t,t)=D z(t). (***)
Korelacijska funkcija kompleksne naključne funkcije Z(t) se imenujejo korelacijski trenutek razdelki ( t 1) in ( t 2)
K z(t 1 ,t 2)= M.
Zlasti z enakimi vrednostmi argumentov
K z(t,t)= M=M[| | 2 ]=Dz(t).
zahteva (***) je izpolnjena.
Če so prave naključne funkcije X(t) In Y(t) so torej korelirani
K z(t 1 ,t 2)= K x(t 1 ,t 2)+K y(t 1 ,t 2)+ [Rxy(t 2 ,t 1)]+ [Rxy(t 1 ,t 1)].
če X(t) In Y(t) torej niso v korelaciji
K z(t 1 ,t 2)= K x(t 1 ,t 2)+K y(t 1 ,t 2).
Posplošimo definicijo navzkrižne korelacijske funkcije na kompleksne naključne funkcije Z 1 (t)=X 1 (t)+Y 1 (t)jaz in Z 2 (t)=X 2 (t)+Y 2 (t)jaz tako da zlasti takrat, ko Y 1 =Y 2 = 0 zahteva izpolnjena
Navzkrižna korelacijska funkcija dveh kompleksnih naključnih funkcij pokliči funkcijo (nenaključno)
Še posebej, ko Y 1 =Y 2 =0 dobimo
tj. zahteva (****) je izpolnjena.
Navzkrižna korelacijska funkcija dveh kompleksnih naključnih funkcij je izražena z navzkrižno korelacijskimi funkcijami njunih realnih in imaginarnih delov naslednjo formulo:
Naloge
1. Poiščite matematično pričakovanje naključnih funkcij:
a) X(t)=Ut 2 kje U- naključna spremenljivka in M(U)=5 ,
b)X(t)=U cos2 t+Vt, Kje U in V- naključne spremenljivke in M(U)=3 ,M(V)=4 .
Rep. a) m x (t)=5t 2 ; b) t x (t)=3 cos2t+4t.
2. K x(t 1 ,t 2) naključna funkcija X(t). Poiščite korelacijske funkcije naključnih funkcij:
a) Y(t)=X(t)+t; b) Y(t)=(t+1)X(t); V) Y(t)=4X(t).
Rep. a) K y (t 1 ,t 2) = K x (t 1 ,t 2); b) K y (t 1 ,t 2)=(t 1 +1)(t 2 +1) K x (t 1 ,t 2); c) K y (t 1 ,t 2)=16 K x (t 1 ,t 2)=.
3. Varianca je določena Dx(t) naključna funkcija X(t). Poiščite varianco naključnih funkcij: a) Y(t)=X(t)+e t b)Y(t)=tX(t).
Odgovori. a) Dy(t)=D x(t); b) Dy(t)=t 2 Dx(t).
4. Poiščite: a) matematično pričakovanje; b) korelacijsko funkcijo; c) varianco naključne funkcije X(t)=Usin 2t, Kje U- naključna spremenljivka in M(U)=3 ,D(U)=6 .
Odgovori. A) m x(t) =3greh 2t; b) K x(t 1 ,t 2)= 6greh 2t 1 greh 2t 2 ; V) Dx(t)=6greh 2 2t.
5. Poiščite normalizirano korelacijsko funkcijo naključne funkcije X(t), poznajoč njegovo korelacijsko funkcijo K x(t 1 ,t 2)=3cos(t 2 -t 1).
Rep. ρ x (t 1 ,t 2)=cos(t 2 -t 1).
6. Poiščite: a) medsebojno korelacijsko funkcijo; b) normalizirana navzkrižna korelacijska funkcija dveh naključnih funkcij X(t)=(t+1)U in Y( t)= (t 2 + 1)U, Kje U- naključna spremenljivka in D(U)=7.
Odgovori. a) Rxy(t 1 ,t 2)=7(t 1 +l)( t 2 2 +l); b) ρ xy(t 1 ,t 2)=1.
7. Podane so naključne funkcije X(t)= (t- 1)U in Y(t)=t 2 U, Kje U in V- nekorelirane naključne spremenljivke in M(U)=2, M(V)= 3,D(U)=4 , D(V)=5 . Poiščite: a) matematično pričakovanje; b) korelacijsko funkcijo; c) varianco vsote Z(t)=X(t)+Y(t).
Opomba. Prepričajte se, da je navzkrižna korelacijska funkcija danih naključnih funkcij enaka nič in zato X(t) In Y(t) niso v korelaciji.
Odgovori. A) m z(t)=2(t- 1)+3t 2 ; b) K z(t 1 ,t 2)=4(t 1 - l)( t 2 - 1)+6t 1 2 t 2 2 ; V) Dz(t)=4(t- 1) 2 +6t 4.
8. Podano je matematično pričakovanje m x(t)=t 2 +1 naključna funkcija X(t). Poiščite matematično pričakovanje njenega odvoda.
9. Podano je matematično pričakovanje m x(t)=t 2 +3 naključna funkcija X(t). Poiščite matematično pričakovanje naključne funkcije Y(t)=tX"(t)+t 3.
Rep. m y (t)=t 2 (t+2).
10. Podana je korelacijska funkcija K x(t 1 ,t 2)= naključna funkcija X(t). Poiščite korelacijsko funkcijo njenega odvoda.
11. Podana je korelacijska funkcija K x(t 1 ,t 2)= naključna funkcija X(t). Poiščite navzkrižne korelacijske funkcije.
