Merilne napake zaradi induciranih motenj in lastnega šuma elektronske naprave, so opisani z uporabo matematične teorije, imenovane " teorija naključnih procesov". Spomnimo se osnovnih konceptov te teorije, ki jih bomo uporabili v nadaljnji predstavitvi in ki jih uporablja GOST 8.009 [GOST] pri normalizaciji naključne komponente merilne napake.
 ,
|
|
.
rabljeno,. Prav tako se energija ne meri v 
, in v 
.
;
,
.
, določen v frekvenčnem območju, mora biti odsoten koeficient "2":
.
.
,
in 
z uporabo formule aritmetične sredine:
.
.
Pri raziskovanju vprašanj odvisnost ali neodvisnost dva ali več prerezov naključnih procesov, poznavanje samo matematičnega pričakovanja in disperzije r.p. ne dovolj.
Za določitev razmerja med različnimi naključnimi procesi se uporablja koncept korelacijske funkcije - analog koncepta kovariance naključnih spremenljivk (glej T.8)
Korelacija (kovarianca, avtokovarianca, avtokorelacija) funkcija naključnega procesa 
klical
nenaključna funkcija
dva argumenta 
enak korelacijskemu momentu ustreznih odsekov 
in 
:
ali (ob upoštevanju oznake centrirano naključna funkcija
) imamo
Tukaj so glavni lastnosti korelacijske funkcije
naključni proces 
.
1. Korelacijska funkcija pri enakih vrednostih argumentov je enaka disperziji r.p. 
res,
Dokazana lastnost omogoča izračun m.o. Ker je korelacijska funkcija glavna značilnost naključnega procesa, ni potrebe po izračunavanju variance.
2. Korelacijska funkcija se ne spreminja glede na zamenjavo argumentov, tj. je simetrična funkcija glede na svoje argumente: .
Ta lastnost neposredno izhaja iz definicije korelacijske funkcije.
3. Če se naključnemu procesu doda nenaključna funkcija, se korelacijska funkcija ne spremeni, tj. če 
, To. Z drugimi besedami
je periodična funkcija glede na katero koli nenaključno funkcijo.
Dejansko iz verige sklepanja
temu sledi. Od tu pridobimo zahtevano lastnost 3.
4. Modul korelacijske funkcije ne presega produkta r.c.o., tj.
Dokaz lastnine 4. se izvaja podobno kot v odstavku 12.2. (Izrek 12..2), ob upoštevanju prve lastnosti korelacijske funkcije r.p. 
.
5. Pri pomnožitvi s.p. 
z nenaključnim množiteljem 
njegova korelacijska funkcija bo pomnožena s produktom 
, tj., če 
, To
5.1. Normalizirana korelacijska funkcija
Ob korelacijski funkciji s.p. tudi upoštevati normalizirana korelacijska funkcija(ali avtokorelacijofunkcijo)
definirana z enakostjo
.
Posledica. Glede na lastnost 1 velja enakost
.
Po svojem pomenu 
podoben korelacijskemu koeficientu za r.v., vendar ni konstantna vrednost, ampak je odvisna od argumentov 
in 
.
Naštejmo lastnosti normalizirane korelacijske funkcije:
1.
2.
3.
.
Primer 4. Naj s.p. se določi s formulo, tj. 
s.v.,
porazdeljena po običajnem zakonu z 
Poiščite korelacijo in normalizirane funkcije naključnega procesa 
rešitev. Po definiciji imamo
tiste. 
Od tod ob upoštevanju definicije normalizirane korelacijske funkcije in rezultatov reševanja prejšnjih primerov dobimo 
=1, tj. 
.
5.2. Navzkrižna korelacijska funkcija naključnega procesa
Za določitev stopnje odvisnosti razdelki dva naključna procesa uporabljata funkcijo korelacijske povezave ali navzkrižno korelacijsko funkcijo.
Navzkrižna korelacijska funkcija dveh naključnih procesov 
in 
imenovana nenaključna funkcija 
dva neodvisna argumenta 
in 
, ki za vsak par vrednosti 
in 
enak korelacijskemu momentu dveh odsekov 
in 
Dve sp. 
in 
se imenujejo nepovezano,če je njuna medsebojna korelacijska funkcija identično enaka nič, tj. če za kakšno 
in 
pojavi 
Če za kakšno 
in 
Izkazalo se je 
, nato naključni procesi 
in 
se imenujejo korelirano(oz povezano).
Oglejmo si lastnosti navzkrižne korelacijske funkcije, ki neposredno izhajajo iz njene definicije in lastnosti korelacijskega momenta (glej 12.2):
1. Ko so indeksi in argumenti sočasno preurejeni, se navzkrižna korelacijska funkcija ne spremeni, tj.
2. Modul navzkrižne korelacijske funkcije dveh naključnih procesov ne presega produkta njunih standardnih odklonov, tj.
3. Korelacijska funkcija se ne bo spremenila pri naključnih procesih 
in 
dodajte nenaključne funkcije 
in 
temu primerno, tj 
, kjer oz 
in 
4. Nenaključni množitelji 
lahko vzamemo kot korelacijski znak, to je, če 
in potem
5. Če 
, To.
6. Če naključni procesi 
in 
nepovezano, potem je korelacijska funkcija njihove vsote enaka vsoti njihovih korelacijskih funkcij, tj.
Za oceno stopnje odvisnosti prerezov dveh s.p. tudi uporabljena normalizirana navzkrižna korelacijska funkcija 
, definirana z enakostjo:
funkcija
ima enake lastnosti kot funkcija
, vendar lastnost 2
se nadomesti z naslednjo dvojno neenakostjo 
, tj. modul normalizirane navzkrižne korelacijske funkcije ne presega enote.
Primer 5. Poiščite medsebojno korelacijsko funkcijo dveh r.p. 
in 
, Kje 
naključna spremenljivka, medtem ko 
rešitev. Ker,.
Pričakovanje in varianca sta pomembne lastnosti naključnega procesa, vendar ne dajejo zadostne predstave o tem, kakšen značaj bodo imele posamezne realizacije naključnega procesa. To je razvidno iz sl. 9.3, ki prikazuje izvedbo dveh naključnih procesov, popolnoma različnih po svoji strukturi, čeprav imata
enake vrednosti matematičnega pričakovanja in variance. Črtkane črte na sl. Slika 9.3 prikazuje vrednosti za naključne procese.
Postopek, prikazan na sl. 9.3, a, od enega odseka do drugega poteka razmeroma gladko, postopek na sl. 9.3, b ima močno variabilnost od odseka do odseka. Zato je statistična povezava med odseki v prvem primeru večja kot v drugem, vendar tega ni mogoče ugotoviti niti z matematičnim pričakovanjem niti z disperzijo.
Do neke mere karakterizirajo notranja struktura naključni proces, tj. upošteva razmerje med vrednostmi naključnega procesa v različni trenutkičasa ali, z drugimi besedami, za upoštevanje stopnje variabilnosti naključnega procesa je treba uvesti koncept korelacijske (avtokorelacijske) funkcije naključnega procesa.
Korelacijska funkcija naključnega procesa se imenuje nenaključna funkcija dveh argumentov, ki je za vsak par poljubno izbranih vrednosti argumentov (časovnih trenutkov) enaka matematičnemu pričakovanju produkta dveh naključnih spremenljivk ustreznih odsekov naključnega postopek:
kjer je dvodimenzionalna gostota verjetnosti; - centriran naključni proces; - pričakovana vrednost(srednja vrednost) naključnega procesa.
Različne naključne procese glede na to, kako se njihove statistične značilnosti spreminjajo skozi čas, delimo na stacionarne in nestacionarne. Razdelite stacionarnost v v ožjem smislu in stacionarnost v v širšem smislu.
Stacionarni v ožjem smislu imenujemo naključni proces, če njegove n-dimenzionalne porazdelitvene funkcije in gostote verjetnosti za kateri koli čas niso odvisne od premika vseh točk
Po časovni osi enake velikosti tj.
To pomeni, da imata procesa enake statistične lastnosti za katero koli, tj. statistične značilnosti stacionarnega naključnega procesa so skozi čas konstantne.
Stacionarni naključni proces je nekakšen analog stabilnega procesa v deterministični sistemi. Noben prehodni proces ni stacionaren.
Stacionarni v širšem smislu je naključen proces, katerega matematično pričakovanje je konstantno:
in korelacijska funkcija je odvisna samo od ene spremenljivke - razlike v argumentih, korelacijska funkcija pa je označena z
Procesi, ki so stacionarni v ožjem smislu, so nujno stacionarni v širšem pomenu; vendar pa je nasprotna izjava na splošno napačna.
Koncept naključnega procesa, stacionarnega v širšem smislu, je uveden, ko se kot statistične značilnosti naključnega procesa uporabita le matematično pričakovanje in korelacijska funkcija. Del teorije naključnih procesov, ki opisuje lastnosti naključnega procesa prek njegovega matematičnega pričakovanja in korelacijske funkcije, se imenuje korelacijska teorija.
Za naključni proces z normalno pravo porazdelitev, matematično pričakovanje in korelacijska funkcija v celoti določata njegovo n-dimenzionalno gostoto verjetnosti.
Zato za normalne naključne procese koncepti stacionarnosti v širšem in ožjem pomenu sovpadajo.
Teorija stacionarnih procesov je najbolj razvita in omogoča razmeroma preproste izračune za številne praktične primere. Zato je včasih priporočljivo narediti predpostavko o stacionarnosti tudi za tiste primere, ko se naključni proces, čeprav nestacionaren, v obravnavanem obdobju delovanja sistema, statistične značilnosti signalov nimajo časa, da bi se bistveno spremenile. Če ni navedeno drugače, bodo v nadaljevanju obravnavani naključni procesi, ki so stacionarni v širšem smislu.
Pri preučevanju naključnih procesov, ki so stacionarni v širšem smislu, se lahko omejimo na upoštevanje samo procesov z matematičnim pričakovanjem (povprečno vrednostjo), ki je enaka nič, tj. ker je naključni proces z neničelnim matematičnim pričakovanjem predstavljen kot vsota procesa z ničelnim matematičnim pričakovanjem in konstantno nenaključno (redno) vrednostjo, ki je enaka matematičnemu pričakovanju tega procesa (glejte spodnji § 9.6).
Ko je izraz za korelacijsko funkcijo
V teoriji naključnih procesov se uporabljata dva koncepta povprečnih vrednosti. Prvi koncept povprečne vrednosti je povprečna vrednost množice (ali matematičnega pričakovanja), ki je določena na podlagi opazovanja množice realizacij naključnega procesa v isti časovni točki. Povprečna vrednost niza je običajno označena z valovito črto nad izrazom, ki opisuje naključno funkcijo:
Na splošno je povprečna vrednost v nizu funkcija časa
Drug koncept povprečne vrednosti je povprečna vrednost v času, ki je določena na podlagi opazovanja ločene izvedbe naključnega procesa v določenem časovnem obdobju.
dovolj dolg čas T. Povprečna vrednost v času je označena z ravno črto nad ustreznim izrazom naključne funkcije in je določena s formulo:
če ta meja obstaja.
Časovno povprečje je praviloma različno za posamezne realizacije množice, ki definirajo naključni proces. Na splošno so za isti naključni proces nastavljene povprečne in časovne povprečne vrednosti različne. Vendar pa obstaja razred stacionarnih naključnih procesov, imenovanih ergodični, pri katerih je povprečje v nizu enako povprečju v času, tj.
Korelacijska funkcija ergodičnega stacionarnega naključnega procesa neomejeno pada v absolutni vrednosti kot
Vendar je treba upoštevati, da ni vsak stacionarni naključni proces ergodičen, na primer naključni proces, katerega vsaka izvedba je konstantna v času (slika 9.4), je stacionaren, vendar ni ergodičen. V tem primeru povprečne vrednosti, določene iz ene izvedbe in iz obdelave več izvedb, ne sovpadajo. V splošnem primeru je lahko isti naključni proces ergodičen glede na nekatere statistične značilnosti in neergodičen glede na druge. V nadaljevanju bomo predvidevali, da so pogoji ergodičnosti izpolnjeni glede na vse statistične značilnosti.
Lastnost ergodičnosti ima zelo veliko praktični pomen. Za določitev statistične lastnosti Nekatere predmete, če jih je težko izvajati sočasno opazovanje v poljubno izbrani točki v času (na primer, če obstaja en prototip), se lahko nadomesti z dolgoročnim opazovanjem enega predmeta. Z drugimi besedami, ločena izvedba ergodičnega naključja
proces v neskončnem časovnem obdobju popolnoma določa celoten naključni proces s svojimi neskončnimi implementacijami. Pravzaprav je to dejstvo osnova spodaj opisane metode eksperimentalno določanje korelacijsko funkcijo stacionarnega naključnega procesa glede na eno izvedbo.
Kot je razvidno iz (9.25), je korelacijska funkcija povprečna vrednost množice. Za ergodične naključne procese lahko korelacijsko funkcijo definiramo kot časovno povprečje produkta, tj.
kje je kakšna implementacija naključnega procesa; x je povprečna vrednost v času, določena z (9.28).
Če je srednja vrednost naključnega procesa enaka nič, potem
Na podlagi lastnosti ergodičnosti lahko disperzijo [glej. (9.19)] definiran kot časovno povprečje kvadrata centriranega naključnega procesa, tj.
Če primerjamo izraze (9.30) in (9.32), lahko ugotovimo zelo pomembna povezava med disperzijo in korelacijsko funkcijo - disperzija stacionarnega naključnega procesa je enaka začetni vrednosti korelacijske funkcije:
Iz (9.33) je razvidno, da je disperzija stacionarnega naključnega procesa konstantna, zato je standardni odklon konstanten:
Statistične lastnosti povezave med dvema naključnima procesoma lahko označimo z medsebojno korelacijsko funkcijo, ki je za vsak par poljubno izbranih vrednosti argumentov enaka
Za ergodične naključne procese lahko namesto (9.35) zapišemo
kje so morebitne realizacije stacionarnih naključnih procesov oz.
Navzkrižna korelacijska funkcija označuje medsebojno statistično razmerje dveh naključnih procesov v različnih časovnih točkah, ki sta drug od drugega ločena s časovnim obdobjem. Vrednost označuje to razmerje v istem trenutku.
Iz (9.36) sledi, da
Če naključni procesi med seboj niso statistično povezani in imajo enako nič povprečne vrednosti, potem je njihova navzkrižna korelacijska funkcija za vse enaka nič. Vendar obratni izhod da če je navzkrižna korelacijska funkcija enaka nič, potem so procesi neodvisni, to je mogoče storiti samo v V nekaterih primerih(zlasti za procese z normalnim zakonom porazdelitve), splošna moč inverzni zakon nima.
Upoštevajte, da je korelacijske funkcije mogoče izračunati tudi za nenaključne (redne) časovne funkcije. Ko pa govorijo o korelacijski funkciji redne funkcije, to preprosto razumejo kot rezultat formalne
uporaba operacije, izražene z integralom, na regularno funkcijo:
Predstavimo nekaj osnovnih lastnosti korelacijskih funkcij
1. Začetna vrednost korelacijske funkcije [glej (9.33)] je enaka varianci naključnega procesa:
2. Vrednost korelacijske funkcije je ne sme preseči za nobeno začetna vrednost, tj.
Da bi to dokazali, upoštevajte očitno neenakost, iz katere izhaja
Najdemo povprečne vrednosti skozi čas z obeh strani zadnje neenakosti:
Tako dobimo neenakost
3. Obstaja korelacijska funkcija celo funkcijo, tj.
To izhaja že iz same definicije korelacijske funkcije. res,
zato je na grafu korelacijska funkcija vedno simetrična glede na ordinato.
4. Korelacijska funkcija vsote naključnih procesov je določena z izrazom
kjer so navzkrižne korelacijske funkcije
res,
5. Korelacijska funkcija konstantna vrednost enaka kvadratu te konstantne vrednosti (slika 9.5, a), kar izhaja iz same definicije korelacijske funkcije:
6. Korelacijska funkcija periodične funkcije je na primer kosinusni val (slika 9-5, 5), tj.
ima enako frekvenco kot fazni zamik in je neodvisen od njega
Da bi to dokazali, upoštevajte, da pri iskanju korelacijskih funkcij periodične funkcije lahko uporabite naslednjo enakost:
kjer je obdobje funkcije
Zadnjo enakost dobimo po zamenjavi integrala z mejami od -T do T pri T z vsoto posameznih integralov z mejami od do , kjer in z uporabo periodičnosti integrandov.
Nato ob upoštevanju navedenega dobimo t.
7. Korelacijska funkcija časovne funkcije, razširjene v Fourierjev niz:
riž. 9.5 (glej skeniranje)
glede na zgoraj navedeno ima naslednjo obliko:
8. Tipična korelacijska funkcija stacionarnega naključnega procesa ima obliko, prikazano na sl. 9.6. Lahko se približa z naslednjim analitičnim izrazom:
Z rastjo povezava med njima slabi in korelacijska funkcija postaja manjša. Na sl. 9.5, b, c prikazujeta na primer dve korelacijski funkciji in dve ustrezni realizaciji naključnega procesa. Preprosto je videti, da je korelacijska funkcija, ki ustreza naključnemu procesu z več fino strukturo, upada hitreje Z drugimi besedami, bolj visoke frekvence prisotni v naključnem procesu, hitreje upada ustrezna korelacijska funkcija.
Včasih obstajajo korelacijske funkcije, ki jih je mogoče približati z analitičnim izrazom
kje je disperzija; - parameter slabljenja; - resonančna frekvenca.
Korelacijske funkcije te vrste imajo na primer naključne procese, kot so atmosferska turbulenca, bledenje radarskega signala, kotno utripanje cilja itd. Izraza (9.45) in (9.46) se pogosto uporabljata za aproksimacijo korelacijskih funkcij, dobljenih kot rezultat obdelave eksperimentalni podatki.
9. Korelacijska funkcija stacionarnega naključnega procesa, na katerem je superponirana periodična komponenta s frekvenco, bo vsebovala tudi periodično komponento iste frekvence.
To okoliščino lahko uporabimo kot enega od načinov odkrivanja »skrite periodičnosti« v naključnih procesih, ki je na prvi pogled na posamezne zapise o izvajanju naključnega procesa morda ne zaznamo.
Približna oblika korelacijske funkcije procesa, ki vsebuje poleg naključne komponente tudi periodično komponento, je prikazana na sl. 9.7, kjer je navedena korelacijska funkcija, ki ustreza naključni komponenti. Za identifikacijo skrite periodične komponente (ta težava nastane na primer pri prepoznavanju majhnega uporabnega signala na ozadju velikega šuma) je najbolje določiti korelacijsko funkcijo za velike vrednosti Kdaj naključni signal je že razmeroma šibko korelirana in naključna komponenta malo vpliva na obliko korelacijske funkcije.
Motnje v komunikacijskih sistemih opisujejo metode teorije naključnih procesov.
Funkcija se imenuje naključna, če ima kot rezultat poskusa eno ali drugo obliko in vnaprej ni znano, katero. Naključni proces je naključna funkcija časa. Poseben pogled, ki predpostavlja naključni proces kot rezultat eksperimenta, imenujemo realizacija naključnega procesa.
Na sl. Slika 1.19 prikazuje niz več (treh) izvedb naključnega procesa , , . Takšna zbirka se imenuje ansambel realizacij. S fiksno vrednostjo časovnega trenutka v prvem poskusu dobimo določeno vrednost, v drugem - , v tretjem - .
Naključni proces je dvojne narave. Po eni strani je v vsakem konkretnem poskusu predstavljena s svojo izvedbo - nenaključno funkcijo časa. Po drugi strani je naključni proces opisan z nizom naključnih spremenljivk.
Dejansko razmislimo o naključnem procesu v določeni časovni točki. Potem v vsakem poskusu zavzame eno vrednost in ni vnaprej znano, katero. Tako je naključni proces, obravnavan na določeni časovni točki naključna spremenljivka. Če zabeležimo dva časovna trenutka in , bomo v vsakem poskusu dobili dve vrednosti in . V tem primeru skupno upoštevanje teh vrednosti vodi do sistema dveh naključnih spremenljivk. Pri analizi naključnih procesov v N časovnih točkah pridemo do niza ali sistema N naključnih spremenljivk 
.
Matematično pričakovanje, disperzija in korelacijska funkcija naključnega procesa Ker je naključni proces, obravnavan v fiksni časovni točki, naključna spremenljivka, lahko govorimo o matematičnem pričakovanju in disperziji naključnega procesa:
, .
Tako kot pri naključni spremenljivki disperzija označuje širjenje vrednosti naključnega procesa glede na povprečno vrednost. Več, večja je verjetnost zelo velikih pozitivnih in negativne vrednosti postopek. Primernejša značilnost je povprečje standardni odklon(RMS), ki ima enako dimenzijo kot sam naključni proces.
Če naključni proces opisuje na primer spremembo razdalje do predmeta, potem je matematično pričakovanje povprečni razpon v metrih; disperzija se meri v kvadratnih metrih, Sco pa se meri v metrih in označuje disperzijo možne vrednosti razpon glede na povprečje.
Povprečna vrednost in varianca sta zelo pomembni značilnosti, ki nam omogočata presojo obnašanja naključnega procesa v določeni časovni točki. Če pa je treba oceniti "hitrost" sprememb v procesu, potem opazovanja v eni točki niso dovolj. V ta namen se uporabita dve naključni spremenljivki, obravnavani skupaj. Tako kot pri naključnih spremenljivkah je uvedena značilnost povezave ali odvisnosti med in. Za naključni proces je ta značilnost odvisna od dveh časovnih trenutkov in se imenuje korelacijska funkcija: .
Stacionarni naključni procesi. Številni procesi v krmilnih sistemih potekajo enakomerno skozi čas. Njihove osnovne lastnosti se ne spremenijo. Takšni procesi se imenujejo stacionarni. Natančno definicijo lahko podamo na naslednji način. Naključni proces se imenuje stacionaren, če je kateri od njegovih verjetnostne značilnosti niso odvisni od premika v izvoru časa. Za stacionarni naključni proces so matematično pričakovanje, varianca in standardni odklon konstantni: , .
Korelacijska funkcija stacionarni proces ni odvisen od izvora t, tj. odvisno samo od časovne razlike:
Korelacijska funkcija stacionarnega naključnega procesa ima naslednje lastnosti:
1) 
; 2) ; 3) .
Pogosto imajo korelacijske funkcije procesov v komunikacijskih sistemih obliko, prikazano na sl. 1.20.
riž. 1.20. Korelacijske funkcije procesov
Časovni interval, v katerem korelacijska funkcija, tj. velikost povezave med vrednostmi naključnega procesa se zmanjša za M-krat, kar se imenuje interval ali čas korelacije naključnega procesa. Običajno oz. Lahko rečemo, da so vrednosti naključnega procesa, ki se v času razlikujejo s korelacijskim intervalom, med seboj šibko povezane.
Tako poznavanje korelacijske funkcije omogoča presojo hitrosti spremembe naključnega procesa.
Druga pomembna značilnost je energijski spekter naključnega procesa. Definirana je kot Fourierjeva transformacija korelacijske funkcije:
.
Očitno velja tudi obratna transformacija:
.
Energijski spekter prikazuje porazdelitev moči naključnega procesa, kot je motnja, na frekvenčni osi.
Pri analizi ACS je zelo pomembno določiti značilnosti naključnega procesa na izhodu linearnega sistema z znanimi značilnostmi procesa na vhodu ACS. Predpostavimo, da je linearni sistem podan s pulznim odziv na korak. Nato je izhodni signal v trenutku določen z Duhamelovim integralom:
,
kje je proces na vhodu sistema. Da bi našli korelacijsko funkcijo, pišemo 
in po množenju najdemo matematično pričakovanje
Predmet korelacijsko analizo je preučevanje verjetnostnih odvisnosti med naključnimi spremenljivkami.
Količine so neodvisne, če zakon porazdelitve vsake od njih ni odvisen od vrednosti, ki jo prevzame druga. Takšne vrednosti se lahko štejejo na primer za mejo vzdržljivosti materiala dela in teoretični koeficient koncentracije napetosti v nevarnem delu dela.
Količine so povezane verjetnostne ali stohastične odvisnosti, če znana vrednost Ena količina ne ustreza določeni vrednosti, temveč drugemu zakonu porazdelitve. Verjetnostne odvisnosti se pojavijo, ko količine niso odvisne samo od skupnih dejavnikov, ampak tudi od različnih naključnih dejavnikov.
Popolne informacije o verjetnostni povezanosti dveh slučajnih spremenljivk predstavlja skupna gostota porazdelitve f(x,y) ali pogojne gostote porazdelitve f(x/y), f(y/x), tj. gostote porazdelitve naključnih spremenljivk X in Y pri določanju določenih vrednosti pri in X oz.
Gostota sklepov in pogojne gostote porazdelitve so povezane z naslednjimi razmerji:
Glavni značilnosti verjetnostnih odvisnosti sta korelacijski moment in korelacijski koeficient.
Trenutek korelacije dve naključni spremenljivki X in Y je matematično pričakovanje produkta centriranih naključnih spremenljivk:
za diskretno 
za neprekinjeno 
kjer je m x in m l– matematična pričakovanja vrednosti X in Y; р ij– verjetnost posamezne vrednote x i in y i.
Korelacijski moment hkrati označuje povezavo med naključnimi spremenljivkami in njihovo razpršenostjo. Po svoji dimenziji ustreza varianci neodvisne naključne spremenljivke. Da bi poudarili značilnosti razmerja med naključnimi spremenljivkami, nadaljujemo s korelacijskim koeficientom, ki označuje stopnjo tesnosti razmerja in se lahko spreminja v območju -1 ≤ ρ ≤ 1.
;
kjer je S x in S y– standardne deviacije naključnih spremenljivk.
Vrednote ρ = 1 in ρ = –1 označuje funkcionalno odvisnost, vrednost ρ = 0 pomeni, da naključne spremenljivke niso korelirane
Upoštevajte korelacijo tako med količinami kot tudi med dogodki večkratna korelacija, ki opisuje razmerje med številnimi količinami in dogodki.
S podrobnejšo analizo verjetnostnega razmerja se določijo pogojna matematična pričakovanja slučajnih spremenljivk. m l/x in m x/y, tj. matematična pričakovanja naključnih spremenljivk Y in X za dano specifične vrednosti X in pri oz.
Odvisnost pogojnega matematičnega pričakovanja t u/x od X imenujemo regresija Y na X. Odvisnost t x/u od pri ustreza regresiji X na Y.
Za normalno porazdeljene količine Y in X regresijska enačba je:
za regresijo Y na X 
za regresijo X na Y 
Najpomembnejše področje uporabe korelacijske analize pri problemih zanesljivosti je obdelava in posploševanje rezultatov operativnih opazovanj. Rezultati opazovanja naključnih spremenljivk Y in X ki jih predstavljajo seznanjene vrednosti y i, x i i-th opazovanje, kje i=1, 2 . . . P; p– število opazovanj.
Evalvacija r korelacijski koeficient ρ določeno s formulo
Kje ,
– ocene matematičnih pričakovanj t x in to oz., tj. povprečje p opazovanja vrednot 
s x, s y- ocene standardnih odklonov Sx in S y v skladu s tem:
Po določitvi ocene pogojnih matematičnih pričakovanj t y/x, t x / y oziroma skozi in , empirične regresijske enačbe U Avtor: X in X Avtor: Y zapisano v naslednji obliki:
Praktično vrednost ima praviloma samo ena od regresij.
S korelacijskim koeficientom r=1 regresijske enačbe so enake.
Vprašanje št. 63 Ocenjevanje statističnih parametrov z uporabo intervalov zaupanja
Če je vrednost testiranega parametra ocenjena z eno številko, se imenuje točkovna vrednost. Toda pri večini težav morate najti ne le najbolj zanesljive številčna vrednost, temveč tudi za oceno stopnje zanesljivosti.
Vedeti morate, kakšno napako povzroči zamenjava pravega parametra A njegov točkovna ocena; s kakšno stopnjo zaupanja lahko pričakujemo, da te napake ne bodo presegle znanih vnaprej določenih meja.
V ta namen v matematična statistika Uporabljajo tako imenovane intervale zaupanja in verjetnosti zaupanja.
Če za parameter A nepristranska ocena, pridobljena iz izkušenj , in je naloga zastavljena za oceno možne napake, potem je treba dodeliti nekaj zadostnih velika verjetnostβ (na primer β = 0,9; 0,95; 0,99 itd.), tako da se lahko dogodek z verjetnostjo β šteje za praktično gotovega.
V tem primeru lahko najdemo vrednost ε, za katero p(| - a| < ε) = β.
riž. 3.1.1 Diagram intervala zaupanja.
V tem primeru je razpon skoraj možne napake ki nastanejo pri zamenjavi A ne bo presegla ± ε. Veliko z absolutna vrednost napake se bodo pojavile le z majhno verjetnostjo α = 1 – β. Dogodek, ki je nasproten in neznan z verjetnostjo β, bo padel v interval jaz β= (- ε; + ε). Verjetnost β lahko razlagamo kot verjetnost, da naključni interval jaz β bo pokril bistvo A(slika 3.1.1).
Verjetnost β običajno imenujemo verjetnost zaupanja, interval pa jaz β običajno imenujemo interval zaupanja. Na sl. 3.1.1 upoštevamo simetrični interval zaupanja. Na splošno ta zahteva ni obvezna.
Interval zaupanja vrednosti parametrov a lahko obravnavamo kot interval vrednosti a, v skladu z eksperimentalnimi podatki in ne v nasprotju z njimi.
Izbira verjetnost zaupanjaβ blizu ena, želimo imeti zaupanje, da se bo dogodek s takšno verjetnostjo zgodil, ko bo izpolnjen določen niz pogojev.
To je enako dejstvu, da se nasprotni dogodek ne bo zgodil, da zanemarimo verjetnost dogodka, ki je enaka α = 1 – β. Naj poudarimo, da namen meje in zanemarljive verjetnosti nista matematična težava. Namen takšne meje je zunaj teorije verjetnosti in je na vsakem področju določen s stopnjo odgovornosti in naravo problemov, ki se rešujejo.
Toda tudi ustanova je velika zaloga moč vodi do neupravičenega in velikega povečanja stroškov gradnje.
65 Vprašanje št. 65 Stacionarni naključni proces.
Stacionarna naključna funkcija je naključna funkcija, katere vse verjetnostne značilnosti niso odvisne od argumenta. Stacionarne naključne funkcije opisujejo stacionarne procese delovanja stroja, nestacionarne funkcije - nestacionarni procesi, zlasti prehodno: zagon, ustavitev, sprememba načina. Argument je čas.
Pogoji stacionarnosti za naključne funkcije:
1. konstantnost matematičnega pričakovanja;
2. konstantnost razpršenosti;
3. Korelacijska funkcija naj bo odvisna samo od razlike med argumenti, ne pa tudi od njihovih vrednosti.
Primeri stacionarnih naključnih procesov vključujejo: nihanje letala v ustaljenem horizontalnem letu; naključni šum v radiu itd.
Vsak stacionarni proces se lahko obravnava kot trajajoč v neomejenem času; Pri proučevanju stacionarnega naključnega procesa v katerem koli časovnem obdobju je treba pridobiti enake značilnosti.
Korelacijska funkcija stacionarnih naključnih procesov je soda funkcija.
Učinkovito za stacionarne naključne procese spektralna analiza, tj. upoštevanje v obliki harmoničnih spektrov ali Fourierjevih vrst. Poleg tega je uvedena funkcija spektralne gostote naključne funkcije, ki označuje porazdelitev disperzij po spektralnih frekvencah.
Razpršenost:
Korelacijska funkcija:
K x (τ) = 
Sx() = 
Stacionarni procesi so lahko ergodični in neergodični. Ergodično - če je povprečna vrednost stacionarne naključne funkcije v dovolj dolgem obdobju približno enaka povprečni vrednosti za posamezne izvedbe. Zanje so lastnosti določene kot časovno povprečje.
Vprašanje št. 66 Indikatorji zanesljivosti tehničnih objektov: enojni, kompleksni, izračunani, eksperimentalni, operativni, ekstrapolirani.
Indikator zanesljivosti je kvantitativna značilnost ene ali več lastnosti, ki sestavljajo zanesljivost predmeta.
Posamezen indikator zanesljivosti je indikator zanesljivosti, ki označuje eno od lastnosti, ki sestavljajo zanesljivost predmeta.
Kompleksni indikator zanesljivosti je indikator zanesljivosti, ki označuje več lastnosti, ki sestavljajo zanesljivost predmeta.
Izračunani kazalnik zanesljivosti je kazalnik zanesljivosti, katerega vrednosti so določene z metodo izračuna.
Eksperimentalni indikator zanesljivost – kazalnik zanesljivosti, točka oz intervalna ocena ki se določi glede na podatke o testiranju.
Kazalnik obratovalne zanesljivosti – kazalnik zanesljivosti, katerega točkovna ali intervalna ocena se določi na podlagi obratovalnih podatkov.
Ekstrapolirani kazalnik zanesljivosti - kazalnik zanesljivosti, katerega točkovna ali intervalna ocena se določi na podlagi rezultatov izračunov, preskusov in (ali) operativnih podatkov z ekstrapolacijo na drugo trajanje delovanja in druge pogoje delovanja.
Vprašanje št. 68 Kazalniki trajnosti tehničnih predmetov in avtomobilov.
Gama-odstotni vir je skupni čas delovanja, v katerem objekt ne bo dosegel mejnega stanja z verjetnostjo g, izraženo v odstotkih.
Povprečni vir– matematično pričakovanje vira.
Gama-odstotna življenjska doba je koledarsko trajanje delovanja, med katerim objekt ne bo dosegel mejnega stanja z verjetnostjo g, izraženo v odstotkih.
Povprečna življenjska doba je matematično pričakovana življenjska doba.
Opomba. Pri uporabi indikatorjev trajnosti je treba navesti izhodišče in vrsto delovanja po nastopu mejnega stanja (na primer gama-odstotek življenjske dobe od drugega velikega remonta do odpisa). Kazalniki trajnosti, šteto od zagona objekta do dokončni umik od delovanja se imenujejo gama-odstotek polnega vira (življenjska doba), povprečni polni vir (življenjska doba)
71 71 Naloge in metode za napovedovanje zanesljivosti avtomobila
Obstajajo tri faze napovedovanja: retrospekcija, diagnoza in prognoza. Na prvi stopnji se ugotavlja dinamika sprememb strojnih parametrov v preteklosti, na drugi stopnji pa se določajo. tehnično stanje elementi v sedanjosti; na tretji stopnji so napovedane spremembe stanja elementov v prihodnosti.
Glavne naloge napovedovanja zanesljivosti avtomobilov je mogoče formulirati na naslednji način:
a) Napovedovanje vzorcev sprememb v zanesljivosti vozil v povezavi z možnostmi za razvoj proizvodnje, uvajanjem novih materialov in povečanjem trdnosti delov.
b) Ocenjevanje zanesljivosti načrtovanih vozil pred njihovo proizvodnjo. Ta naloga se pojavi v fazi načrtovanja.
c) Napovedovanje zanesljivosti določenega vozila (ali njegove komponente ali sklopa) na podlagi rezultatov sprememb njegovih parametrov.
d) Napoved zanesljivosti določenega sklopa avtomobilov na podlagi rezultatov študije omejenega števila prototipov. S tovrstnimi težavami se je treba soočiti v fazi proizvodnje.
e) Napovedovanje zanesljivosti vozil v neobičajnih pogojih delovanja (na primer temperatura in vlažnost okolju višje od dovoljenega, težke razmere na cesti itd.).
Metode za napovedovanje zanesljivosti vozila so izbrane ob upoštevanju napovednih nalog, količine in kakovosti začetnih informacij ter narave dejanskega procesa spreminjanja kazalnika zanesljivosti (predvidenega parametra).
Sodobne metode napovedovanje lahko razdelimo v tri glavne skupine: a) metode strokovnih ocen; b) metode modeliranja, vključno s fizikalnimi, fizikalni in matematični in informacijski modeli c) statistične metode.
Metode napovedovanja, ki temeljijo na strokovne ocene, sestavljajo posploševanje, statistična obdelava in analiza mnenj strokovnjakov o možnostih razvoja tega področja.
Metode modeliranja temeljijo na osnovnih načelih teorije podobnosti. Na podlagi podobnosti kazalnikov modifikacije A, katere stopnja zanesljivosti je bila raziskana prej, in nekaterih lastnosti modifikacije B istega avtomobila ali njegove komponente, so kazalniki zanesljivosti B predvideni za določeno časovno obdobje.
Statistične metode napovedovanja temeljijo na ekstrapolaciji in interpolaciji napovedanih parametrov zanesljivosti, dobljenih kot rezultat predhodne študije. Metoda temelji na vzorcih spreminjanja parametrov zanesljivosti vozila skozi čas
Vprašanje št. 74 Matematične metode napovedovanje. Gradnja matematičnih modelov zanesljivost.
Pri napovedovanju zanesljivosti prenosa je možno uporabiti naslednje modele: 1) »najšibkejši« člen; 2) odvisni viri elementov delov; 3) neodvisni viri elementi delov. Vir i-tega elementa se določi iz razmerja:
x i = R i /r i,
kjer je R i – kvantitativno vrednost kriterij i-tega elementa, pri katerem pride do njegove odpovedi;
r i – Povprečna vrednost povečanja kvantifikacija kriterij i-tega elementa na enoto vira.
Vrednosti R i in r i so lahko naključne z določenimi zakoni porazdelitve ali konstantne.
Za možnost, ko sta R i stalna in r i sta spremenljiva in imata funkcionalno povezavo z isto naključno spremenljivko, upoštevajte situacijo, ko opazimo linearno funkcionalno povezavo med vrednostmi r i, kar vodi do "najšibkejše" povezave model. V tem primeru zanesljivost sistema ustreza zanesljivosti "najšibkejšega" člena.
Model odvisnih virov se izvaja pod obremenitvijo v skladu s shemo, ko obstaja širjenje pogojev delovanja za serijsko proizvedene stroje ali negotovost v pogojih delovanja edinstvenih strojev. Model neodvisnih virov se pojavi pri nalaganju po shemi s posebnimi pogoji delovanja.
Izraz za izračun zanesljivosti sistema z neodvisnimi elementi virov.
Vprašanje št. 79 Shematsko nalaganje sistema, delov in elementov (na primeru menjalnika).
Z menjalnikom razumemo pogon avtomobila kot celote ali njegov ločen, precej zapleten del, ki ga je iz enega ali drugega razloga treba izolirati. Obremenitev menjalnika je določena s komponentami moči in hitrosti. Komponento sile označuje navor, komponento hitrosti pa kotna hitrost rotacija, ki določa število obremenitvenih ciklov prenosnih delov ali hitrost drsenja kontaktnih površin.
Odvisno od vrste dela je lahko shematizacija navora za pridobitev obremenitve dela drugačna. Na primer, določi se obremenitev zobnikov in ležajev trenutna vrednost momenti in gredi za torzijo - glede na velikost njegove amplitude.
Glede na pogoje delovanja lahko obremenitev prenosa predstavimo v obliki naslednjih diagramov.
1. Vsak način ustreza enodimenzionalni porazdelitveni krivulji.
2. Za vsak način imamo n enodimenzionalnih porazdelitvenih krivulj (n je število pogojev delovanja stroja). Verjetnost delovanja v vsakem od pogojev je specifična.
3. Za vsak način imamo enega bivariatna porazdelitev trenutne in povprečne vrednosti navora.
Shema 1 se lahko uporablja za serijsko proizvedene stroje pod povsem enakimi delovnimi pogoji ali za edinstven stroj pod posebnimi delovnimi pogoji.
Shema 2 se kvalitativno ne razlikuje od sheme 1, vendar je v nekaterih primerih za izračun priporočljivo, da vsak obratovalni pogoj ustreza krivulji obremenitve.
Shema 3 lahko označi obremenitev prenosa edinstvenega stroja, katerega specifični pogoji delovanja niso znani, vendar je obseg pogojev znan.
82 Vprašanje št. 82 Sistemski pristop za napovedovanje življenjske dobe delov
Avto je treba obravnavati kot kompleksen sistem, oblikovan z vidika zanesljivosti njegovih zaporedno povezanih enot, delov in elementov.
Vir predmeta:
T i = R i /r i,
kjer je R i kvantitativna vrednost kriterija mejnega stanja i-tega elementa, pri katerem pride do njegove odpovedi;
g i - povprečni prirastek kvantitativne ocene merila
mejno stanje i-tega elementa na enoto vira.
R i in r i sta lahko naključna ali stalna in sta možna
naslednje možnosti:
1. R i - naključno, r i - naključno;
2. R i - naključno, r i - konstantno;
3. R i - konstantna, r i - naključna;
4. R i - konstante, r i - konstante.
Za prve tri možnosti menimo, da je R i neodvisna naključna spremenljivka.
1.a) r i - neodvisen
Zanesljivost sistema se šteje za množenje FBG
b) r i - naključno in povezano z verjetnostjo
f (r i / r j) = f (r i, r j)/ f (r j);
f (r j / r i) = f (r i, r j)/ f (r i).
Če sta r i in r j odvisna drug od drugega, bodo tudi viri odvisni drug od drugega
prijatelj in za izračun je uporabljen model odvisnosti od virov elementov. Ker razmerje je verjetnostno, potem se uporabi metoda pogojnih funkcij.
c) r i - naključno in funkcionalno povezano.
IN v tem primeru proste količine so odvisne druga od druge, sredstva pa tudi druga od druge. Samo zaradi funkcionalne odvisnosti bo povezava močnejša kot v drugih primerih.
2. model neodvisnih elementov virov.
FBR sistema je enak vsoti FBR vseh elementov.
3. Možni so enaki primeri kot pri 1, le da bo v primerih b) in c) prišlo do povečanja odvisnih virov zaradi nespremenljivosti R i. V primeru c) r i je funkcionalna povezava,
možna je situacija, ko se uporabi model »najšibkejšega« člena.
R 1 , R 2 – konstante;
r 1,r 2 – naključno;
r 1 = 1,5 ∙ r 2 ;
R 1 = T ∙ r 1 ;
R 2 = T ∙ r 2 ;
Če za drugi dve specifični vrednosti r 1, r 2,
enako razmerje virov T 1 >T 2, potem bo element 2 "najšibkejši"
povezava, tj. določa zanesljivost tega sistema.
Uporaba modela najšibkejšega člena:
Če je v sistemu element, katerega kriterij R je bistveno manjši od tega kriterija za vse ostale elemente in so vsi elementi obremenjeni približno enako;
Če je R kriterij za vse elemente približno enak in je obremenitev enega elementa bistveno večja od vseh ostalih elementov.
Vprašanje št. 83 Določitev življenjske dobe delov (gredi ali zobnikov ali ležajev prenosnih enot) na podlagi eksperimentalnih pogojev obremenitve.
Določitev življenjske dobe kotalnih ležajev.
Za določitev trajnosti kotalnih ležajev prenosnih enot in podvozja je potrebno izvesti več vrst izračunov: za statično trdnost, za kontaktno utrujenost, za obrabo.
Model napake:
kjer je f(R) gostota porazdelitve virov;
, – funkcija porazdelitve gostote in virov za i-to vrsto destruktivnega procesa;
n – število vrst izračuna.
Najbolj razširjena prejel izračun kotalnih ležajev za kontaktno utrujenost:
R = a p C d mρ št. 50 [β 
-1 ,
kjer C d – dinamična nosilnost;
št. 50 – število ciklov krivulje utrujenosti, ki ustreza 50-odstotni verjetnosti neuničenja ležaja pod obremenitvijo C d;
m ρ – eksponent (krogla = 3, valj = 3,33);
Pogostost obremenitve ležaja pri premikanju v k-ti prestavi;
Gostota porazdelitve zmanjšane obremenitve pri vožnji v k-ti prestavi pri i-tih delovnih pogojih.
Glavne značilnosti izračuna.
1. Ker je za krivuljo utrujenosti ležaja namesto meje vzdržljivosti uveden C d (kar ustreza verjetnosti neuničenja 90% pri 10 6 ciklih), je treba preiti na krivuljo utrujenosti, ki ustreza 50% neuničenja. Glede na to, da gostota porazdelitve pod obremenitvijo na ležaju C d upošteva Weibullov zakon, je št. 50 = 4,7 ∙ 10 6 ciklov.
2. Integracija v formuli se izvede od nič, parametri krivulje utrujenosti - m ρ, št. 50 in C d - niso prilagojeni. Zato pri pogoju = const preureditev operacij seštevanja in integracije ne vpliva na vrednost R. Posledično so izračuni za posplošen način obremenitve in za posamezne načine obremenitve enaki. Če se vrednosti bistveno razlikujejo, se povprečni vir R ik izračuna ločeno za vsak prenos:
R ik = a p C d mρ št [β -1 ,
formulo lahko zapišemo:
R = [ 
-1 ,
P = (K Fr ∙ K v ∙ F r + K Fa ∙ F a) ∙ K b ∙ K T ∙ K m;
kjer F r, F a – radialne in osne obremenitve;
K v – koeficient vrtenja;
K b – koeficient vrtenja;
K T – temperaturni koeficient;
K m – materialni koeficient;
K Fr , K Fa – koeficient radialnih in osnih obremenitev.
4. Razmerje med navorom na gredi M in zmanjšano obremenitvijo na ležaju:
Р = K P M = (K Fr ∙ K v ∙ K R + K Fa ∙ K A) ∙ K b ∙ K T ∙ K m ∙ M;
kjer je K R pretvorbeni faktor;
K R , K A – koeficienti pretvorbe navora v skupne radialne in aksialne obremenitve na ležaju.
Obremenitvena frekvenca ležaja ustreza frekvenci njegovega vrtenja.
1000 U Σα (2πr ω)
kjer je U Σα skupno prestavno razmerje menjalnika od gredi do pogonskih koles vozila, ko je vklopljena k-ta prestava.
5. Izračun gostote porazdelitve nosilnega vira in njegovih parametrov se izvede z metodo statičnega modeliranja.
Vprašanje št. 12 Specifična poraba materiala avtomobilov.
Pri določanju porabe materiala vozila se uporablja teža zaobljene šasije. Primernost uporabe teže šasije pri ocenjevanju porabe materiala vozila je razložena s širokim razvojem proizvodnje specializiranih vozil s karoserijami. različne vrste ali druge dodatke različne teže nameščen na šasiji istega osnovnega vozila. Zato so v brošurah in katalogih blagovnih znamk za tuja tovorna vozila praviloma navedena teža podvozja, ne vozila. Hkrati mnoga tuja podjetja ne vključujejo teže opreme in dodatne opreme v težo opremljenega podvozja, stopnja polnjenja goriva pa je v različnih standardih navedena drugače.
Za objektivno ocenjevanje materialna poraba avtomobilov različnih modelov, jih je treba pripeljati do ene same konfiguracije. V tem primeru je nosilnost podvozja določena kot razlika med skupno konstrukcijsko težo vozila in težo podvozja z zajezitvijo.
Glavni kazalnik porabe materiala avtomobila je specifična težnost podvozje:
m utrip = (m sn.šas – m z.sn)/[(m k.a – m sn.šas)P];
kjer je m talna šasija teža opremljene šasije,
m з.сн – masa točilnega goriva in opreme,
m к.а – skupna konstrukcijska masa vozila,
P – vzpostavljen vir pred večjimi popravili.
Za traktorsko prikolico se upošteva polna masa cestni vlaki:
m utrip = (m sn.šas – m z.sn)/[(m k.a – m sn.šas)KR];
kjer je K korekcijski koeficient kazalnikov za vlečna priklopna vozila, namenjena za vožnjo kot del cestnega vlaka
K = m a / m k.a;
kjer je m a skupna teža cestnega vlaka.
Povezane informacije.
