V tem odstavku se bomo osredotočili na posebne, vendar pomemben razred pozitivne kvadratne oblike.

Definicija 3. Realna kvadratna oblika se imenuje nenegativna (nepozitivna), če za vse realne vrednosti spremenljivk

. (35)

V tem primeru se simetrična matrika koeficientov imenuje pozitivna poldoločena (negativna poldoločena).

Definicija 4. Realna kvadratna oblika se imenuje pozitivno določena (negativno določena), če za vse realne vrednosti spremenljivk, ki niso hkrati nič,

. (36)

V tem primeru se matrika imenuje tudi pozitivno določena (negativno določena).

Razred pozitivno določnih (zanikalno določnih) oblik je del razreda ne zanikanih (oz. nepozitivnih) oblik.

Naj bo podana nenegativna oblika. Predstavljajmo si ga kot vsoto neodvisnih kvadratov:

. (37)

V tej predstavitvi morajo biti vsi kvadrati pozitivni:

. (38)

Dejansko, če bi obstajal, bi bilo mogoče izbrati takšne vrednosti, da

Toda potem bi s temi vrednostmi spremenljivk obrazec imel negativno vrednost, kar je po pogoju nemogoče. Očitno pa obratno iz (37) in (38) sledi, da je oblika pozitivna.

Tako je za nenegativno kvadratno obliko značilna enakost.

Naj bo zdaj pozitivno določeno obliko. Potem je nenegativna oblika. Zato ga lahko predstavimo v obliki (37), kjer so vsi pozitivni. Iz pozitivne določnosti oblike sledi, da . Dejansko je v primeru mogoče izbrati vrednosti, ki niso hkrati enake nič, pri katerih bi se vse obrnilo na nič. Toda potem, na podlagi (37), za , kar je v nasprotju s pogojem (36).

Zlahka je videti, da obratno, če so v (37) in vsi pozitivni, potem je to pozitivno določena oblika.

Z drugimi besedami, nenegativna oblika je pozitivno določna, če in samo če ni ednina.

Naslednji izrek podaja kriterij za pozitivno določenost oblike v obliki neenakosti, ki jih morajo izpolnjevati koeficienti oblike. V tem primeru se uporablja zapis, ki je bil že v prejšnjih odstavkih za zaporedne glavne manjše matrike:

.

Izrek 3. Da bi bila kvadratna oblika pozitivno določena, je nujno in zadostno, da so izpolnjene neenakosti

Dokaz. Zadostnost pogojev (39) izhaja neposredno iz Jacobijeve formule (28). Nujnost pogojev (39) se ugotovi na naslednji način. Iz pozitivne določnosti oblike sledi pozitivna določnost »okrnjenih« oblik

.

Toda tedaj morajo biti vse te oblike needninske, tj.

Zdaj imamo priložnost uporabiti Jacobijevo formulo (28) (pri ). Ker morajo biti na desni strani te formule vsi kvadrati pozitivni, potem

To pomeni neenakosti (39). Izrek je dokazan.

Ker lahko kateri koli glavni minor matrike s pravilnim preštevilčenjem spremenljivk postavimo v zgornji levi kot, imamo

Posledica. V pozitivno določeni kvadratni obliki so vsi večji minori matrike koeficientov pozitivni:

Komentiraj. Iz nenegativnosti zaporednih glavnih manjših

nenegativnost oblike ne sledi. Res, oblika

,

pri čemer , izpolnjuje pogoje, vendar ni nenegativen.

Velja pa naslednje

Izrek 4. Da bi bila kvadratna oblika nenegativna, je nujno in zadostno, da so vsi večji minori njene koeficientne matrike nenegativni:

Dokaz. Predstavimo se pomožna oblika ni bila pozitivna, je potrebna in zadostna za nastanek neenakosti

Homogen polinom stopnje 2 v več spremenljivkah imenujemo kvadratna oblika.

Kvadratna oblika spremenljivk je sestavljena iz členov dveh vrst: kvadratov spremenljivk in njihovih parnih produktov z nekaterimi koeficienti. Kvadratno obliko običajno zapišemo kot naslednji kvadratni diagram:

Pari podobni člani so zapisani z enakimi koeficienti, tako da vsak od njih predstavlja polovico koeficienta z ustreznim produktom spremenljivk. Tako je vsaka kvadratna oblika naravno povezana s svojo koeficientno matriko, ki je simetrična.

Kvadratno obliko je priročno predstaviti na naslednji način: matrični zapis. Označimo z X stolpec spremenljivk skozi X - vrstico, tj. matriko, transponirano z X. Potem

Kvadratne oblike najdemo v mnogih vejah matematike in njenih aplikacijah.

V teoriji števil in kristalografiji se kvadratne oblike obravnavajo ob predpostavki, da imajo spremenljivke samo celoštevilske vrednosti. IN analitično geometrijo kvadratna oblika je del enačbe krivulje reda (ali površine). V mehaniki in fiziki se zdi, da kvadratna oblika izraža kinetična energija sistemov prek komponent posplošenih hitrosti itd. Toda poleg tega je preučevanje kvadratnih oblik potrebno tudi pri analizi, ko preučujemo funkcije številnih spremenljivk, pri vprašanjih, za rešitev katerih je pomembno ugotoviti, kako to funkcijo v bližini dane točke odstopa od tiste, ki se ji približuje linearna funkcija. Primer problema te vrste je preučevanje funkcije za njen maksimum in minimum.

Razmislite na primer o problemu proučevanja maksimuma in minimuma za funkcijo dveh spremenljivk, ki ima zvezne delne odvode do stopnje. Nujen pogoj Da bi točka dala maksimum ali minimum funkcije, so delni odvodi reda v točki enaki nič. Predpostavimo, da je ta pogoj izpolnjen. Dajmo spremenljivkama x in y majhne prirastke in k ter upoštevajmo ustrezen prirastek funkcije. Po Taylorjevi formuli je ta prirastek do majhnih višjih stopenj enak kvadratni obliki, kjer so vrednosti drugih odvodov. izračunana v točki Če je ta kvadratna oblika pozitivna za vse vrednosti in k (razen ), ima funkcija minimum v točki; če je negativna, ima maksimum. Končno, če je oblika tako pozitivna kot negativne vrednosti, potem ne bo ne maksimuma ne minimuma. Funkcije več spremenljivke.

Preučevanje kvadratnih oblik je v glavnem sestavljeno iz preučevanja problema enakovrednosti oblik glede na eno ali drugo množico linearnih transformacij spremenljivk. Za dve kvadratni obliki pravimo, da sta enakovredni, če je mogoče eno od njiju pretvoriti v drugo z eno od transformacij dane množice. S problemom ekvivalence je tesno povezan problem redukcije forme, tj. preoblikovanje v neko možno najpreprostejšo obliko.

IN različna vprašanja povezanih s kvadratnimi oblikami, upoštevamo tudi različne množice dopustnih transformacij spremenljivk.

Pri vprašanjih analize se uporabljajo vse nespecialne transformacije spremenljivk; za namene analitične geometrije je največje zanimanje ortogonalne transformacije, torej tiste, ki ustrezajo prehodu iz enega sistema spremenljivk Kartezične koordinate drugemu. Končno se v teoriji števil in kristalografiji obravnavajo linearne transformacije s celimi koeficienti in z determinanto, enako enoti.

Upoštevali bomo dva od teh problemov: vprašanje redukcije kvadratne oblike na njeno najpreprostejšo obliko s kakršnimi koli nesingularnimi transformacijami in isto vprašanje za ortogonalne transformacije. Najprej ugotovimo, kako se transformira matrika kvadratne oblike med linearno transformacijo spremenljivk.

Naj bo , kjer je A simetrična matrika koeficientov oblike, X je stolpec spremenljivk.

Naredimo to linearna transformacija spremenljivke, ki jih zapišemo skrajšano kot . Tukaj C označuje matriko koeficientov te transformacije, X je stolpec novih spremenljivk. Potem in torej, torej je matrika transformirane kvadratne oblike

Matrika se samodejno izkaže za simetrično, kar je enostavno preveriti. Tako je problem zmanjševanja kvadratne oblike na najpreprostejšo obliko enakovreden problemu zmanjševanja simetrične matrike na najenostavnejšo obliko z množenjem na levi in ​​desni strani z medsebojno transponiranima matrikama.

Pravila za vnos funkcij:

Dvakrat zvezno diferencibilna funkcija f(x) je konveksna (konkavna), če in samo če Hessova matrika funkcija f(x) glede na x je pozitivna (negativna) poldoločena za vse x (glej točke lokalnih ekstremov funkcije več spremenljivk).

Kritične točke delovanja:

• če je Hessian pozitivno določen, potem je x 0 točka lokalni minimum funkcije f(x),
• če je Hessian negativno določen, potem je x 0 lokalna največja točka funkcije f(x),
• če Hessian ni predznačno določen (zavzema tako pozitivne kot negativne vrednosti) in je nedegeneriran (det G(f) ≠ 0), potem je x 0 sedlo funkcije f(x).

Kriteriji določnosti matrike (Sylvestrov izrek)

• vsi diagonalni elementi matrike morajo biti pozitivni;
• vsi vodilni glavni kvalifikanti morajo biti pozitivni.

Pozitivna poldoločnost:

• vsi diagonalni elementi so nenegativni;
• vse glavne determinante so nenegativne.

Kvadratna simetrična matrika reda n, katere elementi so parcialni odvodi objektivna funkcija drugega reda imenovana Hessova matrika in je označen:

Da bi bila simetrična matrika pozitivno določena, je nujno in zadostno, da so vsi njeni diagonalni minori pozitivni, tj.


za matriko A = (a ij) so pozitivne.

Negativna gotovost.
Da bi bila simetrična matrika negativno določena, je nujno in zadostno, da veljajo naslednje neenakosti:
(-1) k D k > 0, k=1,.., n.
Z drugimi besedami, da bi bila kvadratna oblika negativno določeno, je nujno in zadostno, da se znaki kotnih minorov matrike kvadratne oblike izmenjujejo, začenši z znakom minus. Na primer, za dve spremenljivki je D 1< 0, D 2 > 0.

Če je Hessian poldoločen, potem je to lahko tudi prevojna točka. potrebno dodatne raziskave, ki se lahko izvede po eni od naslednjih možnosti:

1. Padajoči vrstni red. Izvede se sprememba spremenljivk. Na primer, za funkcijo dveh spremenljivk je y=x, kot rezultat dobimo funkcijo ene spremenljivke x. Nato preučimo obnašanje funkcije na premicah y=x in y=-x. Če bo imela v prvem primeru funkcija v preučevani točki minimum, v drugem primeru pa maksimum (ali obratno), potem je preučevana točka sedlo.
2. Iskanje lastnih vrednosti Hessana. Če so vse vrednosti pozitivne, ima funkcija v preučevani točki minimum, če so vse vrednosti negativne, obstaja maksimum.
3. Preučevanje funkcije f(x) v okolici točke ε. Spremenljivke x nadomestimo z x 0 +ε. Nato je treba dokazati, da funkcija f(x 0 +ε) ene spremenljivke ε oz Nad ničlo(tedaj je x 0 najmanjša točka), oz manj kot nič(potem je x 0 največja točka).

Opomba. Najti inverzni Hessian dovolj je najti inverzno matriko.

Primer št. 1. Katero od naslednje funkcije so konveksni ali konkavni: f(x) = 8x 1 2 +4x 1 x 2 +5x 2 2.
rešitev. 1. Poiščimo delne odvode.


2. Rešimo sistem enačb.
-4x 1 +4x 2 +2 = 0
4x 1 -6x 2 +6 = 0
Dobimo:
a) Iz prve enačbe izrazimo x 1 in jo nadomestimo v drugo enačbo:
x 2 = x 2 + 1/2
-2x 2 +8 = 0
Kjer je x 2 = 4
Te vrednosti x 2 nadomestimo v izraz za x 1. Dobimo: x 1 = 9 / 2
Število kritičnih točk je 1.
M 1 (9 / 2 ;4)
3. Poiščimo parcialne odvode drugega reda.



4. Izračunajmo vrednost teh parcialnih odvodov drugega reda v kritične točke M(x0;y0).
Izračunamo vrednosti za točko M 1 (9 / 2; 4)



Sestavimo Hessenovo matriko:

D 1 = a 11< 0, D 2 = 8 > 0
Ker imajo diagonalni minori razna znamenja, potem ni mogoče reči ničesar o konveksnosti ali konkavnosti funkcije.

Pozitivno določene kvadratne oblike

Opredelitev. Kvadratna oblika iz n neznanci se imenujejo pozitivno določeno, če je njen rang enak pozitivnemu vztrajnostnemu indeksu in enako številu neznano.

Izrek. Kvadratna oblika je pozitivno določena, če in samo če na katerem koli nizu vrednosti spremenljivk, ki ni nič, zavzame pozitivne vrednosti.

Dokaz. Naj bo kvadratna oblika nedegenerirana linearna transformacija neznank

vrnil v normalno stanje

.

Za kateri koli niz vrednosti spremenljivk, ki ni nič, vsaj eno od števil drugačen od nič, tj. . Nujnost izreka je dokazana.

Predpostavimo, da ima kvadratna oblika pozitivne vrednosti na katerem koli neničelnem nizu spremenljivk, vendar je njen vztrajnostni indeks pozitiven zaradi nedegenerirane linearne transformacije neznank

Spravimo ga v normalno obliko. Brez izgube splošnosti lahko domnevamo, da je v tej normalni obliki kvadrat zadnje spremenljivke odsoten ali vključen z znakom minus, tj. , kje ali . Predpostavimo, da gre za različen od nič niz vrednosti spremenljivk, pridobljenih kot rezultat reševanja sistema linearne enačbe

V tem sistemu je število enačb enako številu spremenljivk in determinanta sistema je različna od nič. Po Cramerjevem izreku ima sistem edina odločitev, in je različen od nič. Za ta komplet. Protislovje s pogojem. Pridemo do protislovja s predpostavko, ki dokazuje zadostnost izreka.

Z uporabo tega kriterija je iz koeficientov nemogoče ugotoviti, ali je kvadratna oblika pozitivno določena. Odgovor na to vprašanje daje drug izrek, za formulacijo katerega uvajamo še en koncept. Glavni diagonalni minori matrike so mladoletniki, ki se nahajajo na njegovi levi zgornji kot:

, , , … , .

Izrek.Kvadratna oblika je pozitivno določena, če in samo če so vse njene glavne diagonalne minore pozitivne.

Dokaz bomo izvedli metodo popolnega matematična indukcija po številki n kvadratne spremenljivke f.

Indukcijska hipoteza. Predpostavimo, da je za kvadratne oblike z manj spremenljivkami n izjava drži.

Razmislite o kvadratni obliki n spremenljivke. Postavimo vse izraze, ki vsebujejo . Preostali členi tvorijo kvadratno obliko spremenljivk. Po indukcijski hipotezi trditev zanjo drži.

Predpostavimo, da je kvadratna oblika pozitivno določena. Potem je kvadratna oblika pozitivno določena. Če predpostavimo, da temu ni tako, potem obstaja različen od nič niz vrednosti spremenljivk , za katerega in temu primerno, , kar je v nasprotju z dejstvom, da je kvadratna oblika pozitivno določena. Po indukcijski hipotezi so vsi glavni diagonalni minori kvadratne oblike pozitivni, tj. vsi prvi glavni minori kvadratne oblike f so pozitivni. Zadnji glavni minor kvadratne oblike – to je determinanta njegove matrike. Ta determinanta je pozitivna, saj njen predznak sovpada z predznakom njene matrike normalnega videza, tj. s predznakom determinante identitetne matrike.

Naj bodo vsi glavni diagonalni minori kvadratne oblike pozitivni. Potem so vsi glavni diagonalni minori kvadratne oblike pozitivni . Po indukcijski hipotezi je kvadratna oblika pozitivno določena, zato obstaja nedegenerirana linearna transformacija spremenljivk, ki reducira obliko na obliko vsote kvadratov novih spremenljivk. To linearno transformacijo je mogoče razširiti na nedegenerirano linearno transformacijo vseh spremenljivk z nastavitvijo . Ta transformacija reducira kvadratno obliko na obliko

Kvadratne oblike

Kvadratna oblika f(x 1, x 2,...,x n) n spremenljivk je vsota, katere vsak člen je kvadrat ene od spremenljivk ali produkt dveh različnih spremenljivk, vzetih z določenim koeficientom: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Matriko A, sestavljeno iz teh koeficientov, imenujemo matrika kvadratne oblike. Vedno je simetrično matriko (tj. matriko, ki je simetrična glede na glavno diagonalo, a ij = a ji).

V matričnem zapisu je kvadratna oblika f(X) = X T AX, kjer je

Prav zares

Na primer, zapišimo matrična oblika kvadratna oblika.

Da bi to naredili, najdemo matriko kvadratne oblike. Njeni diagonalni elementi so enaki koeficientom kvadriranih spremenljivk, preostali elementi pa so enaki polovicam ustreznih koeficientov kvadratne oblike. Zato

Naj bo matrični stolpec spremenljivk X dobljen z nedegenerirano linearno transformacijo matričnega stolpca Y, tj. X = CY, kjer je C nesingularna matrika n-tega reda. Nato kvadratna oblika
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Tako z nedegenerirano linearno transformacijo C dobi matrika kvadratne oblike obliko: A * = C T AC.

Na primer, poiščimo kvadratno obliko f(y 1, y 2), dobljeno iz kvadratne oblike f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 z linearno transformacijo.

Kvadratna oblika se imenuje kanoničen(Ima kanoničnega pogleda), če so vsi njegovi koeficienti a ij = 0 za i ≠ j, tj.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Njegova matrika je diagonalna.

Izrek(dokaz ni naveden tukaj). Vsako kvadratno obliko je mogoče reducirati na kanonična oblika z uporabo nedegenerirane linearne transformacije.

Na primer, zmanjšajmo kvadratno obliko na kanonično obliko
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Da bi to naredili, najprej izberemo popoln kvadrat s spremenljivko x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Zdaj izberemo celoten kvadrat s spremenljivko x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Nato nedegenerirana linearna transformacija y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10) x 3 in y 3 = x 3 pripelje to kvadratno obliko v kanonično obliko f(y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Upoštevajte, da je kanonična oblika kvadratne oblike določena dvoumno (isto kvadratno obliko je mogoče reducirati na kanonično obliko različne poti). Vendar prejeto različne poti kanonične oblike imajo številne splošne lastnosti. Zlasti število členov s pozitivnimi (negativnimi) koeficienti kvadratne oblike ni odvisno od načina redukcije obrazca na to obliko (na primer, v obravnavanem primeru bosta vedno dva negativna in en pozitiven koeficient). Ta lastnost se imenuje vztrajnostni zakon kvadratnih oblik.

Preverimo to tako, da isto kvadratno obliko spremenimo v njeno kanonično obliko na drugačen način. Začnimo transformacijo s spremenljivko x 2:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 –
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, kjer je y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 in y 3 = x 1 . Tukaj je pozitivni koeficient 2 pri y 3 in dva negativna koeficienta (-3) pri y 1 in y 2 (z drugo metodo pa smo dobili pozitivni koeficient 2 pri y 1 in dva negativna koeficienta - (-5) pri y 2 in (-1/20) pri y 3).

Prav tako je treba opozoriti, da je rang matrike kvadratne oblike, imenovan rang kvadratne oblike, je enako številu neničelnih koeficientov kanonična oblika in se ne spremeni pri linearnih transformacijah.

Kvadratna oblika f(X) se imenuje pozitivno (negativno) določene, če je za vse vrednosti spremenljivk, ki niso hkrati enake nič, pozitiven, tj. f(X) > 0 (negativno, tj.
f(X)< 0).

Na primer, kvadratna oblika f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 je pozitivno določena, ker je vsota kvadratov in kvadratna oblika f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 je negativno določena, ker predstavlja se lahko predstavi kot f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

V večini praktičnih situacij je nekoliko težje določiti določen predznak kvadratne oblike, zato za to uporabimo enega od naslednjih izrekov (formulirali jih bomo brez dokaza).

Izrek. Kvadratna oblika je pozitivno (negativno) določena, če in samo, če je vse lastne vrednosti njene matrike so pozitivne (negativne).

Izrek (Sylvestrovo merilo). Kvadratna oblika je pozitivno določena, če in samo če so vsi vodilni minori matrike te oblike pozitivni.

Glavni (kotiček) manjši Matrika k-tega reda A n-tega reda se imenuje determinanta matrike, sestavljena iz prvih k vrstic in stolpcev matrike A ().

Upoštevajte, da se pri negativno določenih kvadratnih oblikah predznaki glavnih minorjev izmenjujejo, minor prvega reda pa mora biti negativen.

Na primer, preučimo kvadratno obliko f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 za določnost predznaka.

= (2 - l)*
*(3 - l) – 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) – 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Zato je kvadratna oblika pozitivno določena.

Metoda 2. Glavni minor prvega reda matrike A D 1 = a 11 = 2 > 0. Glavni minor drugega reda D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Zato je po Sylvestrovem kriteriju kvadratna oblika pozitivno določeno.

Preučujemo drugo kvadratno obliko za določnost predznaka, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Konstruirajmo matriko kvadratne oblike A = . Karakteristična enačba bo videti kot = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Zato je kvadratna oblika negativno določena.