Slika prikazuje graf funkcije y f x in tangento. Grafi funkcij, odvodi funkcij

Problem B9 podaja graf funkcije ali odvoda, iz katerega morate določiti eno od naslednjih količin:

1. Vrednost odvoda v neki točki x 0,
2. Najvišje ali najmanjše točke (ekstremne točke),
3. Intervali naraščajočih in padajočih funkcij (intervali monotonosti).

Funkcije in odvodi, predstavljeni v tem problemu, so vedno zvezni, zaradi česar je rešitev veliko lažja. Kljub temu, da naloga spada v razdelek matematična analiza, je povsem v zmožnostih tudi najšibkejših učencev, saj ni globokih teoretično znanje tukaj ni potrebno.

Za iskanje vrednosti odvoda, ekstremnih točk in intervalov monotonosti obstajajo preprosti in univerzalni algoritmi - vsi bodo obravnavani v nadaljevanju.

Pazljivo preberite pogoje naloge B9, da se izognete neumnim napakam: včasih naletite na precej dolga besedila, vendar pomembne pogoje, ki vplivajo na potek odločitve, je malo.

Izračun vrednosti derivata. Metoda dveh točk

Če je problemu podan graf funkcije f(x), tangenten na ta graf v neki točki x 0, in je potrebno najti vrednost odvoda na tej točki, se uporabi naslednji algoritem:

1. Poiščite dve »ustrezni« točki na tangentnem grafu: njuni koordinati morata biti celo število. Te točke označimo kot A (x 1 ; y 1) in B (x 2 ; y 2). Pravilno zapišite koordinate - to je ključni trenutek rešitve in vsaka napaka tukaj vodi do napačnega odgovora.
2. Ob poznavanju koordinat je enostavno izračunati prirastek argumenta Δx = x 2 − x 1 in prirastek funkcije Δy = y 2 − y 1 .
3. Končno najdemo vrednost odvoda D = Δy/Δx. Z drugimi besedami, prirastek funkcije morate deliti s prirastkom argumenta - in to bo odgovor.

Naj še enkrat opozorimo: točki A in B moramo iskati ravno na tangenti in ne na grafu funkcije f(x), kot se pogosto zgodi. Tangentna črta bo nujno vsebovala vsaj dve taki točki - sicer problem ne bo pravilno formuliran.

Upoštevajte točki A (−3; 2) in B (−1; 6) in poiščite prirastke:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Poiščimo vrednost odvoda: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Naloga. Slika prikazuje graf funkcije y = f(x) in tangento nanjo v točki z absciso x 0. Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x 0 .

Upoštevajte točki A (0; 3) in B (3; 0), poiščite prirastke:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Zdaj poiščemo vrednost odvoda: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Naloga. Slika prikazuje graf funkcije y = f(x) in tangento nanjo v točki z absciso x 0. Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x 0 .

Upoštevajte točki A (0; 2) in B (5; 2) in poiščite prirastke:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Še vedno je treba najti vrednost odvoda: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Od zadnji primer lahko formuliramo pravilo: če je tangenta vzporedna z osjo OX, je odvod funkcije v točki dotika enak nič. V tem primeru vam sploh ni treba ničesar šteti - samo poglejte graf.

Izračun maksimalnih in minimalnih točk

Včasih problem B9 namesto grafa funkcije poda graf odvoda in zahteva iskanje maksimalne ali minimalne točke funkcije. V tej situaciji je metoda dveh točk neuporabna, obstaja pa še en, še preprostejši algoritem. Najprej opredelimo terminologijo:

1. Točko x 0 imenujemo največja točka funkcije f(x), če v neki okolici te točke velja neenakost: f(x 0) ≥ f(x).
2. Točko x 0 imenujemo točka minimuma funkcije f(x), če v neki okolici te točke velja neenakost: f(x 0) ≤ f(x).

Če želite najti največjo in najmanjšo točko iz izpeljanega grafa, sledite tem korakom:

1. Ponovno narišite izpeljani graf in odstranite vse nepotrebne informacije. Kot kaže praksa, nepotrebni podatki le ovirajo odločitev. Zato ugotavljamo na koordinatna os ničle izpeljanke - to je vse.
2. Ugotovite predznake odvoda na intervalih med ničlami. Če je za neko točko x 0 znano, da je f'(x 0) ≠ 0, sta možni le dve možnosti: f'(x 0) ≥ 0 ali f'(x 0) ≤ 0. Predznak odvoda je enostavno določiti iz izvirne risbe: če graf odvoda leži nad osjo OX, potem je f'(x) ≥ 0. In obratno, če graf odvoda leži pod osjo OX, potem je f'(x) ≤ 0.
3. Ponovno preverimo ničle in predznake odvoda. Kjer se znak spremeni iz minusa v plus, je najmanjša točka. Nasprotno, če se predznak odvoda spremeni iz plusa v minus, je to največja točka. Štetje vedno poteka od leve proti desni.

Ta shema deluje samo za zvezne funkcije - v problemu B9 ni drugih.

Naloga. Slika prikazuje graf odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu [−5; 5]. Poiščite točko minimuma funkcije f(x) na tem segmentu.

Znebimo se nepotrebnih informacij in pustimo le meje [−5; 5] in ničle odvoda x = −3 in x = 2,5. Opažamo tudi znake:

Očitno se v točki x = −3 predznak odvoda spremeni iz minusa v plus. To je najmanjša točka.

Naloga. Slika prikazuje graf odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu [−3; 7]. Poiščite največjo točko funkcije f(x) na tem segmentu.

Ponovno narišimo graf in pustimo samo meje [−3; 7] in ničle odvoda x = −1,7 in x = 5. Zabeležimo si predznake odvoda na dobljenem grafu. Imamo:

Očitno se v točki x = 5 predznak derivata spremeni iz plusa v minus - to je najvišja točka.

Naloga. Slika prikazuje graf odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu [−6; 4]. Poiščite število največjih točk funkcije f(x), ki pripadajo odseku [−4; 3].

Iz pogojev problema sledi, da je dovolj upoštevati samo del grafa, ki ga omejuje segment [−4; 3]. Zato gradimo nov urnik, na katerem označimo le meje [−4; 3] in ničle odvoda znotraj njega. In sicer točki x = −3,5 in x = 2. Dobimo:

Na tem grafu je samo ena največja točka x = 2. Na tej točki se predznak odvoda spremeni iz plusa v minus.

Majhna opomba o točkah z necelimi koordinatami. Na primer v zadnja naloga upoštevana je bila točka x = −3,5, vendar z enakim uspehom lahko vzamemo x = −3,4. Če je težava pravilno sestavljena, takšne spremembe ne bi smele vplivati ​​na odgovor, saj točke "brez določenega kraja bivanja" ne sprejemajo neposredno sodelovanje pri reševanju problema. Seveda ta trik ne bo deloval s celimi točkami.

Iskanje intervalov naraščajočih in padajočih funkcij

Pri takem problemu, tako kot pri maksimalnih in minimalnih točkah, je predlagana uporaba grafa izpeljave za iskanje območij, v katerih sama funkcija narašča ali pada. Najprej opredelimo, kaj je naraščanje in padanje:

1. Za funkcijo f(x) pravimo, da narašča na odseku, če za kateri koli dve točki x 1 in x 2 iz tega odseka velja naslednja izjava: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Z drugimi besedami, večja kot je vrednost argumenta, večja je vrednost funkcije.
2. Za funkcijo f(x) pravimo, da pada na odseku, če za katerikoli dve točki x 1 in x 2 iz tega odseka velja naslednja izjava: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Tisti. višja vrednost ujemanje argumentov nižjo vrednost funkcije.

Oblikujmo zadostni pogoji naraščajoče in padajoče:

1. Da bi neprekinjena funkcija f(x) narašča na segmentu , dovolj je, da je njegov odvod znotraj segmenta pozitiven, tj. f’(x) ≥ 0.
2. Da zvezna funkcija f(x) pada na odseku , zadostuje, da je njen odvod znotraj odseka negativen, tj. f’(x) ≤ 0.

Sprejmimo te izjave brez dokazov. Tako dobimo shemo za iskanje intervalov naraščanja in padanja, ki je v marsičem podobna algoritmu za izračun ekstremnih točk:

1. Odstranite vse nepotrebne informacije. V prvotnem grafu odvoda nas zanimajo predvsem ničle funkcije, zato bomo pustili samo njih.
2. Označi predznake odvoda na intervalih med ničlami. Kjer je f’(x) ≥ 0, funkcija narašča, kjer je f’(x) ≤ 0, pa pada. Če problem postavlja omejitve na spremenljivko x, jih dodatno označimo na novem grafu.
3. Zdaj, ko poznamo obnašanje funkcije in omejitve, moramo še izračunati količino, zahtevano v problemu.

Naloga. Slika prikazuje graf odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu [−3; 7,5]. Poiščite intervale padanja funkcije f(x). V odgovoru navedite vsoto celih števil, vključenih v te intervale.

Kot običajno, ponovno narišemo graf in označimo meje [−3; 7.5], kot tudi ničle odvoda x = −1,5 in x = 5,3. Nato opazimo znake izpeljanke. Imamo:

Ker je odvod na intervalu (− 1,5) negativen, je to interval padajoče funkcije. Še vedno je treba sešteti vsa cela števila, ki so znotraj tega intervala:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Naloga. Slika prikazuje graf odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu [−10; 4]. Poiščite intervale naraščanja funkcije f(x). V odgovoru navedite dolžino največjega izmed njih.

Znebimo se nepotrebnih informacij. Pustimo le meje [−10; 4] in ničle odvoda, ki so bile tokrat štiri: x = −8, x = −6, x = −3 in x = 2. Označimo predznake odvoda in dobimo naslednjo sliko:

Zanimajo nas intervali naraščajoče funkcije, tj. kjer je f’(x) ≥ 0. Na grafu sta dva takšna intervala: (−8; −6) in (−3; 2). Izračunajmo njihove dolžine:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Ker moramo najti dolžino največjega izmed intervalov, kot odgovor zapišemo vrednost l 2 = 5.

Premica y=3x+2 je tangenta na graf funkcije y=-12x^2+bx-10. Poiščite b, glede na to, da je abscisa tangentne točke manj kot nič.

rešitev

Naj bo x_0 abscisa točke na grafu funkcije y=-12x^2+bx-10, skozi katero poteka tangenta na ta graf.

Vrednost odvoda v točki x_0 je naklon tangenta, to je y"(x_0)=-24x_0+b=3. Po drugi strani pa točka dotika hkrati pripada grafu funkcije in tangenti, to je -12x_0^2+bx_0- 10=3x_0+2 Dobimo sistem enačb \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \konec(primeri)

Če rešimo ta sistem, dobimo x_0^2=1, kar pomeni ali x_0=-1 ali x_0=1. Glede na pogoj abscise so tangentne točke manjše od nič, torej x_0=-1, potem b=3+24x_0=-21.

Odgovori

Pogoj

Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) (ki je lomljena črta, sestavljena iz treh ravnih odsekov). S pomočjo slike izračunajte F(9)-F(5), kjer je F(x) eden od antiodvodov funkcije f(x).

rešitev

Po Newton-Leibnizovi formuli je razlika F(9)-F(5), kjer je F(x) eden od antiderivatov funkcije f(x), enaka površini krivuljnega trapeza, omejeno z urnikom funkcije y=f(x), premice y=0, x=9 in x=5. Po urniku ugotovimo, da je navedeno ukrivljen trapez je trapez z osnovama enakima 4 in 3 ter višino 3.

Njegova površina je enaka \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Odgovori

Vir: “Matematika. Priprava na enotni državni izpit 2017. Raven profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Pogoj

Slika prikazuje graf y=f"(x) - odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu (-4; 10). Poiščite intervale padajoče funkcije f(x). V odgovoru navedite dolžino največjega med njimi.

rešitev

Kot je znano, funkcija f(x) pada na tistih intervalih, v vsaki točki katerih je odvod f"(x) manjši od nič. Glede na to, da je treba najti dolžino največjega od njih, so trije takšni intervali naravno ločeno od slike: (-4; -2) ; (0; 3); (5; 9).

Dolžina največjega od njih - (5; 9) je 4.

Odgovori

Vir: “Matematika. Priprava na enotni državni izpit 2017. Raven profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Pogoj

Slika prikazuje graf y=f"(x) - odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu (-8; 7). Poiščite število največjih točk funkcije f(x), ki pripadajo intervalu [-6; -2].

rešitev

Graf kaže, da odvod f"(x) funkcije f(x) spremeni predznak iz plusa v minus (v takšnih točkah bo maksimum) na točno eni točki (med -5 in -4) iz intervala [ -6 ] Torej obstaja natanko ena največja točka v intervalu [-6].

Odgovori

Vir: “Matematika. Priprava na enotni državni izpit 2017. Raven profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Pogoj

Slika prikazuje graf funkcije y=f(x), definirane na intervalu (-2; 8). Določite število točk, v katerih je odvod funkcije f(x) enak 0.

rešitev

Enakost odvoda v točki na nič pomeni, da je tangenta na graf funkcije, narisan v tej točki, vzporedna z osjo Ox. Zato poiščemo točke, v katerih je tangenta na graf funkcije vzporedna z osjo Ox. Na tem grafikonu so takšne točke ekstremne točke (točke maksimuma ali minimuma). Kot lahko vidite, obstaja 5 ekstremnih točk.

Odgovori

Vir: “Matematika. Priprava na enotni državni izpit 2017. Raven profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Pogoj

Premica y=-3x+4 je vzporedna s tangento na graf funkcije y=-x^2+5x-7. Poiščite absciso tangentne točke.

rešitev

Naklon premice na graf funkcije y=-x^2+5x-7 v poljubna točka x_0 je enako y"(x_0). Toda y"=-2x+5, kar pomeni y"(x_0)=-2x_0+5. Naklon premice y=-3x+4, podane v pogoju, je enak -3. Vzporedne premice imajo enake kotne koeficiente. Zato najdemo vrednost x_0, tako da je =-2x_0 +5=-3.

Dobimo: x_0 = 4.

Odgovori

Vir: “Matematika. Priprava na enotni državni izpit 2017. Raven profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Pogoj

Slika prikazuje graf funkcije y=f(x), na abscisi pa so označene točke -6, -1, 1, 4. V kateri od teh točk je odvod najmanjši? Prosimo, navedite to točko v svojem odgovoru.

B8. Enotni državni izpit

1. Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) in tangento na ta graf, narisano v točki z absciso x0. Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x0. Odgovor: 2

2.

Odgovor: -5

3.

Na intervalu (–9;4).

Odgovor: 2

4.

Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x0 Odgovor: 0,5

5. Poiščite tangentno točko premice y = 3x + 8 in grafa funkcije y = x3+x2-5x-4. V odgovoru navedite absciso te točke. Odgovor: -2

6.

Določite število celih vrednosti argumenta, za katere je odvod funkcije f(x) negativen. Odgovor: 4

7.

Odgovor: 2

8.

Poiščite število točk, v katerih je tangenta na graf funkcije f(x) vzporedna ali sovpada s premico y=5–x. Odgovor: 3

9.

Interval (-8; 3).

Premica y = -20. Odgovor: 2

10.

Odgovor: -0,5

11

Odgovor: 1

12. Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) in tangento nanjo v točki z absciso x0.

Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x0. Odgovor: 0,5

13. Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) in tangento nanjo v točki z absciso x0.

Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x0. Odgovor: -0,25

14.

Poiščite število točk, v katerih je tangenta na graf funkcije f(x) vzporedna ali sovpada s premico y = x+7. Odgovor: 4

15

Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x0. Odgovor: -2

16.

interval (-14;9).

Poiščite število največjih točk funkcije f(x) na odseku [-12;7]. Odgovor: 3

17

na intervalu (-10;8).

Poiščite število ekstremnih točk funkcije f(x) na odseku [-9;7]. odgovor: 4

18. Premica y = 5x-7 se dotika grafa funkcije y = 6x2 + bx-1 v točki z absciso manjšo od 0. Poiščite b. odgovor: 17

19

odgovor:-0,25

20

odgovor: 6

21. Poiščite tangento na graf funkcije y=x2+6x-7, vzporedno s premico y=5x+11. V odgovoru navedite absciso dotične točke. odgovor: -0,5

22.

odgovor: 4

23. f "(x) na intervalu (-16;4).

Na segmentu [-11;0] poiščite največje število točk funkcije. odgovor: 1

B8 Grafi funkcij, odvodi funkcij. Raziskave funkcij . Enotni državni izpit

1. Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) in tangento na ta graf, narisano v točki z absciso x0. Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x0.

2. Slika prikazuje graf odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu (-6; 5).

Na kateri točki segmenta [-5; -1] f(x) ima najmanjšo vrednost?

3. Slika prikazuje graf odvoda funkcije y = f(x), definiran

Na intervalu (–9;4).

Poiščite število točk, v katerih je tangenta na graf funkcije f(x) vzporedna s premico

y = 2x-17 ali sovpada z njim.

4. Slika prikazuje graf funkcije y = f(x) in tangento nanjo v točki z absciso x0.

Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x0

5. Poiščite točko dotika premice y = 3x + 8 in grafa funkcije y = x3+x2-5x-4. V odgovoru navedite absciso te točke.

6. Slika prikazuje graf funkcije y = f(x), definirane na intervalu (-7; 5).

Določite število celih vrednosti argumenta, za katere je odvod funkcije f(x) negativen.

7. Slika prikazuje graf funkcije y=f "(x), definirane na intervalu (-8; 8).

Poiščite število ekstremnih točk funkcije f(x), ki pripadajo segmentu [-4; 6].

8. Slika prikazuje graf funkcije y = f "(x), definirane na intervalu (-8; 4).

Poiščite število točk, v katerih je tangenta na graf funkcije f(x) vzporedna ali sovpada s premico y=5–x.

9. Slika prikazuje graf odvoda funkcije y = f(x), definiranega na

Interval (-8; 3).

Poiščite število točk, v katerih je tangenta na graf funkcije vzporedna

Premica y = -20.

10. Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) in tangento nanjo v točki z absciso x0.

Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x0.

11 . Slika prikazuje graf odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu (-9;9).

Poiščite število minimalnih točk funkcije $f(x)$ na intervalu [-6;8]. 1

12. Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) in tangento nanjo v točki z absciso x0.

Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x0.

13. Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) in tangento nanjo v točki z absciso x0.

Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x0.

14. Slika prikazuje graf odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu (-6;8).

Poiščite število točk, v katerih je tangenta na graf funkcije f(x) vzporedna ali sovpada s premico y = x+7.

15 . Slika prikazuje graf funkcije y = f(x) in tangento nanjo v točki z absciso x0.

Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x0.

16. Slika prikazuje graf odvoda funkcije f(x), definiranega na

interval (-14;9).

Poiščite število največjih točk funkcije f(x) na odseku [-12;7].

17 . Na sliki je prikazan graf definiranega odvoda funkcije f(x).

na intervalu (-10;8).

Poiščite število ekstremnih točk funkcije f(x) na odseku [-9;7].

18. Premica y = 5x-7 se dotika grafa funkcije y = 6x2 + bx-1 v točki z absciso manjšo od 0. Poiščite b.

19 . Slika prikazuje graf odvoda funkcije f(x) in tangente nanjo v točki z absciso x0.

Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x0.

20 . Poiščite število točk na intervalu (-1;12), pri katerih je odvod funkcije y = f(x), prikazane na grafu, enak 0.

21. Poiščite tangento na graf funkcije y=x2+6x-7, vzporedno s premico y=5x+11. V odgovoru navedite absciso dotične točke.

22. Slika prikazuje graf funkcije y=f(x). Poiščite število celih točk v intervalu (-2;11), pri katerih je odvod funkcije f(x) pozitiven.

23. Slika prikazuje graf funkcije y= f "(x) na intervalu (-16;4).

Na segmentu [-11;0] poiščite največje število točk funkcije.

Ta članek je nadaljevanje prejšnjih dveh. V članku " "je bila predstavljena teorija in ena od metod za iskanje odvoda glede na ta urnik funkcija in tangenta, narisana na določeni točki grafa.

Tam sem vam obljubil, da bom razmislil o drugem načinu reševanja takšnih težav. Naj vas spomnim, da so tovrstne naloge del izpita iz matematike. V članku « "Ogledali smo si formulo, ki nam omogoča, da najdemo enačbo ravne črte.

Teorija, predstavljena v teh člankih, je nujna, saj je spodaj predstavljena metoda neposredno povezana z njo. Torej na kratko:

Iz tečaja algebre vemo, da ima enačba premice obliko:

Kje k– naklon premice.

To je odvod funkcijel = f(x) v točki x 0 enaka naklonu tangente:

2. Enačba premice, ki poteka skozi dve danih točk ima obliko:

Po zamenjavi koordinat v podana enačba reducira se na obliko:

Torej, v primeru, ko sta podani dve točki, skozi kateri poteka tangenta (premica) na graf funkcije, je treba najti enačbo te premice. Rešitev problema bo koeficient k(je enako izpeljanki).

Slika prikazuje graf funkcije l = f(x) in tangenta nanjo na abscisni točki xO. Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) na točki xO.

Kot že rečeno, vrednost odvoda funkcije f(x) na točki xO enaka koeficientu k iz enačbe premice l= kx+ b.

V vseh takih problemih bosta podani dve točki, skozi katere poteka tangenta, v v tem primeru to sta (–6;–2) in (–1; 8). Koordinate nadomestimo v formulo za enačbo ravne črte:

Pregled:

– 2 = 2 (–6) + 10 → – 2 = – 2 Pravilno

8 = 2 (–1) + 10 → 8 = 8 Pravilno

Enačba premice je pravilno najdena. Če poznate druge načine za iskanje enačbe črte, jo uporabite (mimogrede, približno šest jih je).

torej f ′(x) = k = 2.

Kot lahko vidite, so izračuni preprosti.

Odgovor: 2

Zaključek:če vidiš pred sabo podobna naloga, kje na koordinatna ravninaČe obstajata dve točki, skozi katere poteka tangenta, potem:

1. Določite koordinate točk. Točke morda niso označene (ne poudarjene), vendar bo na koordinatni mreži jasno vidno, kako (skozi katere točke) poteka črta.

2. Poiščite enačbo premice (tangente) s predstavljeno formulo ali drugo metodo.

3. Preverite dobljeno enačbo tako, da vanjo nadomestite koordinate točk.

4. Zapišite odgovor (koeficient k).

To je vse. Volja uporaben material v naslednjem članku!

S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh.

P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.