UVOD

Svet površin je raznolik in brezmejen. V naravi najdemo površine neverjetne oblike in moči. Bodimo pozorni na krilo in telo ptice, imata površinske oblike, ki jih je razvila narava, katerih celota ima odlične aerodinamične lastnosti.

Letalska telesa, morska plovila, avtomobili, stropne lupine in podzemne strukture- vse to so kompleksi površin različnih zelo kompleksnih zakonitosti oblikovanja. S preučevanjem ravnih površin je mogoče razkriti, da se pogosto uporabljajo v tehnologiji, inženiring, ki se v večini primerov uporablja pri načrtovanju zgradb, industrijskih in vladnih arhitekturne strukture, avtoceste.

Ustreznost je posledica povpraševanja po ravnih vijačnih površinah moderna arhitektura in tehnologijo, pa tudi iskanje novih oblik vijačnih površin, ki so uporabne za gradnjo in združujejo lastnosti, kot so lepota, zanesljivost in izdelljivost.

Predmet raziskovanja je oblikovanje in oblikovanje kompleksnih ukrivljenih površin.

Predmet študija je oblikovanje kompozitnih linijskih lupin v arhitekturi stavb in objektov.

Namen tega dela je preučevanje ravnih površin in preučevanje možnosti njihove uporabe v arhitekturi zgradb in objektov.

Med raziskavo so postavljene naslednje naloge:

1. Analizirajte teoretična osnova ravnane površine.

2. Konstruirajte sestavljeno linijsko površino, ki se uporablja v arhitekturi stavb in struktur.

3. Izdelajte maketo razvite strukture.

Metode, uporabljene pri izvedbi raziskave:

Teoretično:

Monografsko-analitična sinteza in sistematizacija informacij iz literarnih in drugih virov;

Analiza - analiza informacij na vsaki stopnji dela;

Sinteza - zbiranje in sinteza informacij.

Prakseološki:

Grafično - geometrijsko modeliranje in izdelava grafične dokumentacije;

Način postavitve.

OBLOŽENE POVRŠINE

Ravnana površina je ploskev, ki nastane s premikanjem premice v prostoru po nekem zakonu. Narava gibanja pravokotne generatrike določa vrsto ravninske površine. Običajno je zakon gibanja generatrix določen z uporabo vodilnih črt. IN splošni primer Za določitev ravničaste površine so potrebne tri vodilne črte. Narava gibanja pravokotne generatrike določa vrsto ravninske površine.

Ravnaste površine so razdeljene na dve vrsti:

1. razvijanje površin;

2. nerazvojne ali poševne površine.

NERAZŠIRJENE OBLOŽENE POVRŠINE

Nerazvojne linijske ploskve na splošno nastanejo z gibanjem premočrtne generatrise po treh vodilnih črtah, ki enolično določajo zakon njenega gibanja. Različice poševnih ploskev so liničaste ploskve z vodilno ravnino in njihove posebne vrste so liničaste ploskve z vzporedno ravnino (katalanske ploskve). Površine z vodilno ravnino imenujemo poševne cilindrične, če sta obe vodili ukrivljeni črti; poševni konoidi - če je eno od vodil ravno; dvojno poševno ravnino, če vodila prečkajo ravne črte (glej dodatek A, slika 1). Površine z ravnino vzporednosti se imenujejo ravni cilindroidi, ravni konoidi in poševne ravnine.

Koncept ravnane površine

Ravnana površina je ploskev, ki nastane s premikanjem premice v prostoru po nekem zakonu. Narava gibanja pravokotne generatrike določa vrsto ravninske površine. Običajno je zakon gibanja generatrix določen z uporabo vodilnih črt. Na splošno, če želite definirati gladino površino, potrebujete tri vodilne črte . Izberite tri črte na ravnini a , b in c in jih vzemite za vodnike. Pokažimo, da je gibanje premočrtne generatrise l bo določen na edinstven način (slika 11.1).

Vzemimo ga na vodniku a nekaj točke K in skozenj narišite kup ravnih črt, ki sekajo vodilo z . Te ravne črte tvorijo stožčasto površino z vrhom v točki K . Vodnik b bo na neki točki presekal stožčasto površino n . Zgrajena točka n in pika K določi ravno črto l , ki seka vodilo c na točki M . Tako vsaka točka TO vodnik a edini generator bo ustrezal. Premikanje točke TO po vodniku a , je mogoče dobiti druge položaje generatrise premice, tj. zgradite okvir iz ravničaste površine.

Glede na obliko vodilnih linij delimo linijske površine s tremi vodili na:

poševni valj s tremi vodili– vse tri vodilne ukrivljene črte;

stožec– dve vodilni ukrivljeni črti, tretja pa ravna;

enolistni hiperboloid– vse vodilne črte so ravne.

Za konstruiranje točke na ravničasti površini morate uporabiti pomožno črto, ki je lahko ravna generatrisa ali poljubna ukrivljena črta.

Poleg naštetega splošna metoda oblikovanja ravninske ploskve s pomočjo treh vodil, obstajajo še druge metode, ki z dodatnimi omejitvami določajo zakon gibanja premočrtne generatrise.

Linijasta površina je površina, ki nastane s premikanjem pravokotne generatrise vzdolž enega ali več vodil. Vzemimo tri ukrivljene črte v prostoru l.

Naj se premica giblje tako, da v poljubnem položaju seka vse tri krivulje l 1 l 2 , l 3 , nato pa med svojim gibanjem opisujejo linijsko površino (slika 53).

Izberite na vodniku l 1 točka A. Skozenj lahko narišemo nešteto premočrtnih generatrik, ki sekajo vodilo l 3. To definira stožčasto površino z vrhom v točki A. Na neki točki bodo generatorji prečkali črto l 2 - to je bistvo IN, pri kateri stožčasta ploskev seka črto l 2. Glede na vrsto vodil se pridobijo različne površine.

Površine z enim vodilom:

1. Stožčasto - nastane z gibanjem ravne črte l(ustvarjanje) vzdolž neke ukrivljene črte m in imeti fiksna točka S(Slika 54).

2. Valjasta ploskev nastane z gibanjem premice l(generator) po neki krivulji T vzporedna sama s seboj ali ima stalno smer S∆(t,1|| S)(Slika 55).

3. Površina trupa nastane z gibanjem ravne črte l, tangentna v vseh svojih položajih na neko prostorsko vodilno krivuljo T , imenovan povratni rob ∆ (t,l) (slika 56).

4. Poliedrske ploskve so ploskve, ki jih tvorijo deli (prekati) sekajočih se ravnin.

Če vodnik T lomljena črta in vse tvorijo l sekajo v eni točki, tako površino imenujemo piramidalna (slika 57); če so vsi generatorji vzporedni, se površina imenuje prizmatična (slika 58).

Polieder je telo, ki ga omejuje poliedrska ploskev, sestavljena iz ravnih mnogokotnikov. Odseke ravnin imenujemo ploskve, črte njihovega presečišča pa robove. Presečišča robov imenujemo oglišča.

(m), se skupna točka presečišča tvornih robov in ploskev imenuje piramida (slika 59).

Površina z zaprtim poligonalnim vodilom (m)(osnova) in medsebojno vzporedna rebra - prizma (sl. 60).

Če so robovi prizme pravokotni na podlago, se faseta imenuje štrleča prizma (slika 61).

Vprašanja za samotestiranje.

1. Kako so razvrščene ukrivljene črte?

2. Katere točke krivulje veljajo za značilne?

3. Navedite glavne metode definiranja površin.

4. Kaj imenujemo površinski okvir?

5. Kaj imenujemo površinska determinanta?

6. Kako so razvrščene površine?

7. Kako stožčasto in cilindrična površina?

8. Kako nastanejo piramidne in prizmatične ploskve?

Predavanje 8. Površine.

Linijaste površine z dvema vodiloma (katalonske površine)

Za te ploskve so vse generatrise vzporedne s fiksno ravnino, imenovano vzporedna ravnina.

1. Cilinder ( l, m, n; P 2), (l// P 2) - površina, ki jo tvori gibanje ravne črte l vzdolž dveh ukrivljenih vodil m in n; vsi generatorji so vzporedni z ravnino vzporednosti P 2(Slika 62).

2. Konoid - površina, ki nastane zaradi gibanja pravokotne generatrike vzdolž dveh vodil, od katerih je ena ravna, druga pa ukrivljena črta (slika 63). Vsi generatorji so vzporedni z določeno ravnino P 1; )

4. Poševna ravnina ( hiperbolični paraboloid-hypar) - površina, ki nastane zaradi gibanja pravokotne generatrike vzdolž dveh vodil - sekajočih se ravnih črt; generatorji so vzporedni z določeno ravnino ( P 1) (slika 64).

∆(m, n, П 1 , l) (m ● n; l // P 1)

Vrtilne površine.

Vrtilna površina je površina, ki nastane z vrtenjem generatrise okoli fiksne ravne osi. Generator je lahko katere koli vrste. Med vrtenjem se vsaka točka generatrise giblje po krožnici, ki leži v ravnini, pravokotni na vrtilno os (os površja) in s središčem na tej osi.

Krožnice, po katerih se gibljejo vse točke generatrise, imenujemo vzporednice; največjo vzporednico imenujemo ekvator, najmanjšo pa vrat (slika 65).

Če je površinska os navpična, se vse vzporednice projicirajo na vodoravno projekcijo brez popačenja in obratno. Ravnine, ki potekajo skozi vrtilno os, sekajo površino vzdolž črt, imenovanih meridiani.

Poldnevnik, ki se nahaja v ravnini vzporedno z ravnino projekcije se imenuje glavna in se na to ravnino projekcij projicira z obrisom površine.

Površine, ki nastanejo z vrtenjem premice - sl. 66, a, b, c.

1. Valj vrtenja: generatrisa in os - vzporedne ravne črte ∆ ( jaz, l|| jaz).

2. Stožec vrtenja: generatrisa in os - sekata se v točki S ravne črte ∆ ( i, l∩ i).

3. Enolistni vrtilni hiperboloid: generatrisa in os – poševne premice ∆ ( jaz, l ● jaz).

Površine, ki nastanejo z vrtenjem kroga (sl. 67 a, b):

1. Krogla nastane z vrtenjem kroga okoli enega od premerov.

2. Torus nastane z vrtenjem kroga okoli osi jaz, ki leži v ravnini kroga, vendar ne poteka skozi njegovo središče.

Če vrtilna os ne seka (generacijskega) kroga, dobimo ploskev odprtega torusa, če pa seka, je to zaprt ali samosekajoči se torus.

Površine, ki jih tvori vrtenje krožnega loka (sl. 68 a, b):

1. Konveksni torus.

2. Konkavni torus.

Površine, ki nastanejo z vrtenjem krivulj drugega reda (sl. 69, a, b, c, d):

1. Elipsoid revolucije.

2. Paraboloid revolucije

3. Hiperboloid revolucije je enolistni – nastane z vrtenjem hiperbole okoli svoje namišljene osi:

4. Hiperboloid revolucije dvolistni - nastane z vrtenjem hiperbole okoli realne osi.

Vladal je površina, ki nastane s premikanjem premice (generatorja) v prostoru po neki zakonitosti. Glede na vrsto vodilnih črt in naravo gibanja generatrixa dobimo naslednje vrste ravnih površin: nastavljive in nenastavljive.

A. Razvojne ravničaste površine(torzo, cilindrični, stožčasti).

1. trup- površina s povratnim robom m, nastane s premikanjem premočrtne generatrise ℓ, ki se v vseh položajih dotika določene prostorske krivulje m - povratni rob, (slika 45). Podano z determinanto Ø ( l~m).

2. Valjasta površina. Povratni rob je odstranjen do neskončnosti. Površje nastane s premikanjem premice ℓ, ki ima zgrajeno smer S po neki krivulji n (slika 46). Površinska determinanta: ∑(S~n).

3. Stožčasta površina. Rob konice je degeneriran v točko S. Površina nastane s premikanjem premice ℓ, ki poteka skozi točko S, vzdolž neke krivulje n in ima lahko dve votlini (slika 47). Determinanta površine Δ(S~n).

B. Nerazvojne ravničaste površine(cilindroid, konoid, poševna ravnina).

Ta vrsta površine nastane s premikanjem ravne črte ℓ, ki se giblje vzdolž dveh vodil in ostane vzporedna z določeno ravnino vzporednosti, ki se običajno šteje za eno od projekcijskih ravnin P 1 ali P 2.

1. Cilinder nastane s premikanjem ravne črte ℓ vzdolž dveh vodil in ostane vzporedna z določeno ravnino vzporednosti (sl. 48a, b). Determinanta površine Σ (~a, ~b) in Δ je pravokotna na P 1.

2. Konoid nastane s premikanjem premočrtne generatrise ℓ vzdolž dveh vodil: krivulje in premice, medtem ko ℓ ostane vzporedna z določeno ravnino vzporednosti. Njena determinanta je Ø(b~a,∑) (slika 49).

Če je premočrtna generatrisa n pravokotna na ravnino vzporednosti, potem je konoid imenovano neposredno, in če je krivuljasto vodilo m valjasta vijačnica, konoid imenujemo spiralni helikoid.

3. Poševna ravnina(hiperbolični paraboloid) dobimo tako, da premico ℓ premaknemo vzdolž dveh poševnih premic in ostanemo vzporedni z neko ravnino vzporednosti. Površinska determinanta

Р(a b, ∑), (slika 50).

V prerezu hiperboličnega paraboloida lahko dobimo hiperbole, parabole in premice (slika 51).

B. Linijaste spiralne ploskve - helikoidi. Ravnasta vijačna ploskev je ploskev, pri kateri je eno vodilo vijačnica, drugo pa ravna črta (os vijačnice). Determinanti površine sta vijačnica in njena os: Ø (ί, m, l).

Helikoid se imenuje ravna, če je nastajajoča premica ℓ pravokotna na os ί vijačnice in ta os ί deluje kot premo vodilo (slika 52).

Če premica ni pravokotna na os t, potem helikoid imenujemo poševni ali nagnjeni - Arhimedov vijak(Slika 53). Helikoidi so lahko zaprti ali odprti. Nastane premica ℓ, ko prečka os ί vijačnice zaprto helikoid, če ℓ ne seka osi ί, potem a odprt helikoid. V procesu oblikovanja površine nagnjenega helikoida so generatrise nameščene vzporedno z generatrisami površine določenega stožca vrtenja, katerega os ί sovpada z osjo ί vijačnice, generatrise pa imajo enak naklon na os ί vijačnice kot generatorji helikoida. Ta stožec imenovan vodnik. Zato je determinanta nagnjenega helikoida sestavljena iz vodil: vijačnica m(m 1, m 2, os vijačnice ί (ί 1, ί 2) in generatriko ℓ(ℓ 1, ℓ 2), ki se nahaja pod kotom α na os vijačnice. S postavitvijo okvirja generatorjev ℓ in risanjem ovojnice družine čelnih projekcij generatorjev ℓ dobimo na P 2 obris nagnjenega helikoida. Odsek helikoida z ravnino Σ (Σ 2), pravokoten na os helikoida (normalni prerez), je Arhimedova spirala in zahteva posebno konstrukcijo (glej sliko 53).

Presek ploskev z ravnino in premico.

Ko ravnina seka katero koli površino, dobimo ravno figuro, ki se imenuje presek. Če je rezalna ravnina projekcijska ravnina, potem izdelava odseka ni težavna. Ker se ena od projekcij sekalne ravnine degenerira v ravno črto, potem na podlagi skupne lastnosti projekcijskih ravnin ta projekcija vključuje vse točke ravnine, vključno z odsekom. Tako se naloga zmanjša na izdelavo druge projekcije odseka. Identificirane so skupne točke, ki pripadajo tako ravnini kot presečni ploskvi. Nato se na podlagi pripadnosti teh točk sliki sestavijo njihove manjkajoče projekcije.

Ko ravnina seka polieder v preseku, dobimo mnogokotnik (omejen s sklenjeno poličrtijo). Število njegovih stranic in oglišč je enako številu ploskev in robov poliedra, ki jih seka sekalna ravnina.

Konstruiranje odseka poliedra je možno na dva načina:

Iskanje oglišč prereznega mnogokotnika – robna metoda. V tem primeru se konstrukcija zmanjša na večkratno reševanje problema iskanja presečišča ravne črte (roba) z ravnino (rezilno ravnino). prvi položajni problem

Iskanje stranic odsečnega mnogokotnika – metoda robov. V tem primeru se problem večkrat reši - iskanje presečišča dveh ravnin (ploskve in rezalne ravnine) - drugi položajni problem.

Ko ravnina seka ukrivljene ploskve, rezultat prereza ravne ukrivljene črte. Kot smo že omenili, če je rezalna ravnina projicirana v ravno črto, potem lahko drugo sestavimo iz posameznih točk (slika 54).

Med točkami presečišča krivulje so tiste, ki so posebej locirane glede na projekcijske ravnine ali zasedajo posebna mesta na krivulji. Takšne točke imenujemo referenčne točke in pri izdelavi odseka se te točke najprej določijo. Kontrolne točke vključujejo skrajne točke, orisne točke in točke spremembe vidnosti.

Ekstremne točke- to je najvišja in najnižja točka odseka, najbližja in najbolj oddaljena glede na projekcijsko ravnino P 2, skrajna leva in skrajna desna glede na P 3.

Ocherkovykh imenujemo točke, katerih projekcije ležijo na konturah površine.

Točke spremembe vidnosti razmejite projekcijo presečišča na vidni in nevidni del. Točke spremembe vidnosti so vedno izbrane iz točk skice. Pogosto se zgodi, da je ena in ista točka hkrati skrajna točka, vrhunska točka in točka spremembe vidnosti.

Po določitvi referenčnih točk pri konstruiranju ukrivljene črte, da bi natančneje določili njeno naravo, se določi več naključnih točk.

Naključne točke– to so točke, ki so vzete poljubno. Pogosto je vrsta odseka znana vnaprej. Razmislimo, kateri odseki so pridobljeni v najpogostejših površinah.

Stožec– površina, v kateri je pridobljenih pet vrst različnih prerezov:

Če sekalna ravnina poteka skozi oglišče stožca, dobimo v prerezu trikotnik (vse črte so ravne). Če rezalna ravnina ne poteka skozi oglišče, bo odsek ustvaril ukrivljene črte.

Če se rezalna ravnina nahaja pod posrednim kotom na osnovo in ni vzporedna z nobeno od generatric, se v odseku dobi elipsa (m).

Če je sekalna ravnina vzporedna s katero koli generatriso stožca, tvori presek parabolo (n).

Če je sekalna ravnina vzporedna z dvema generatrisama, ustvari presek hiperbolo (k).

Če je rezalna ravnina vzporedna z osnovo in ravni stožec pravokotno na os dobimo krog (e) v prerezu, polmer kroga merimo od osi do obrisa (slika 55).

Cilinder– površina, v prerezu katere dobimo tri vrste ravnih likov:

Če je rezalna ravnina vzporedna z osnovo in pravokotna na os, dobimo krog v odseku; polmer kroga sovpada s polmerom osnove.

Če je rezalna ravnina vzporedna z osjo, dobi rez pravokotnik.

Če je rezalna ravnina nameščena pod kotom na osnovo in seka vse oblikovalne črte, se v odseku dobi elipsa (slika 56).

krogla- površina, v prerezu katere vedno dobimo krog, ne glede na to, kako je nameščena rezalna ravnina. Polmer kroga se določi na naslednji način: pravokotnica se spusti iz središča krogle na rezalno ravnino, polmer kroga pa se meri od presečišča pravokotnice z ravnino do obrisa krogle. (Slika 57) za (2), za (2) je polmer vzet iz krogel osi na esej.

Če je rezalna ravnina splošna, je za rešitev takšnega problema priročno preoblikovati kompleksna risba tako da rezalna ravnina postane štrleča, nato pa nadaljujte z rešitvijo po zgoraj opisani shemi (slika 58).

Ko ploskev seka premico, je treba določiti dve presečišči, ki ju imenujemo vstopna in izstopna točka premice.

Problem se reši po naslednji shemi:

Eno od projekcij premice postavimo v projekcijsko ravnino, nato pa rešimo problem konstruiranja odseka površine s projekcijsko ravnino. Po konstruiranem odseku najdemo stične točke odseka s projekcijo premice.

Manjkajoče projekcije presečišč se sestavijo glede na njihovo pripadnost premici s komunikacijskimi linijami.

Določena je vidnost (brez določitve vidnosti se problem šteje za nerešen) (slika 59).

Pri reševanju problema presečišča ravne črte s površino se lahko široko uporabljajo metode za preoblikovanje kompleksne risbe, zlasti metoda zamenjave ravnin (slika 60).

Medsebojno presečišče dveh ploskev.

Pri sekanju dveh ploskev nastane ena ali dve sklenjeni prostorski liniji (prehodni liniji), ki hkrati pripadata vsaki od sekajočih se ploskev. Te črte so zgrajene z uporabo posameznih točk. Eno vrstico dobimo v primeru vstavljanja, t.j. ko sta obe površini delno vključeni v presečišče. V primerih preboja dobimo dve liniji, tj. ko je vsaj ena od površin v celoti vključena v križišče.

Če sta v presečišču udeležena dva poliedra, se izkaže, da je presečišče lomljena črta, sestavljena iz številnih ravnih segmentov. Če se polieder in ukrivljena ploskev sekata, je presečišče lomljena krivulja. Če se dve ukrivljeni površini sekata, je rezultat gladka ukrivljena črta. Obstaja zaporedje za določanje točk presečišča. Najprej se določijo referenčne točke. Sem spadajo ekstremne, obrisne (določene na vsakem obrisu vsake površine), točke spremembe vidnosti (izbrane med obrisi). Če je v presečišču udeležen polieder, potem tudi točke presečišča njegovih robov z drugo ploskvijo pripadajo referenčnim točkam.

Ko so referenčne točke najdene, se naključne točke. Takšne točke so potrebne, če je v presečišču vključena ukrivljena površina, saj če je vsaj ena od površin ukrivljena, je rezultat ukrivljena črta. Več kot je naključnih točk, bolj natančno je ukrivljena črta zgrajena.

Problemi, ki vključujejo medsebojno presečišče dveh ploskev, so razdeljeni v tri težavnostne skupine:

Prva težavnostna skupina– obe površini štrlita. V tem primeru sta v prvotni kompleksni risbi določeni dve projekciji skupnega elementa (t.j. presečišča) - sovpadata z glavnimi (degeneriranimi) projekcijami štrlečih površin. Samo določiti jih morate. Včasih je potrebno zgraditi še tretjo manjkajočo projekcijo. V tem primeru je ena od danih projekcij presečišč razdeljena na točke, na drugi projekciji dane črte so projekcije določenih točk, nato pa je tretja projekcija zgrajena iz dveh projekcij točk z uporabo komunikacijskih linij ( Slika 61).

Druga težavnostna skupina– ena ploskev je štrleča, druga pa splošne lege. Ena projekcija skupnega elementa je navedena v izvirni risbi - sovpada z glavno (degenerirano) projekcijo štrleče površine. Treba ga je določiti. Druga projekcija splošnega elementa je določena iz pogoja njegove pripadnosti generični površini. Da bi to naredili, je treba obstoječo projekcijo presečišča razdeliti na točke (referenčne in naključne) in nato zgraditi manjkajoče projekcije teh točk pod pogojem, da pripadajo splošni površini. Če je stožec ploskev v splošnem položaju (slika 62a), prizma pa štrleča ploskev, potem čelna projekcija presečišča, ki sovpada z čelna projekcija Prizma je razdeljena na točke in skozi njih narisane vzporednice. Nato se izmeri polmer vzporednice (od osi do obrisa) in na drugi projekciji se nariše krog tega polmera, po katerem se s komunikacijskimi linijami najdejo manjkajoče projekcije točk presečišča. Ko najdemo vse točke, jih povežemo z gladko krivuljo.

Na enak način rešimo nalogo, če je splošni lik krogla (slika 62b).

Tretja skupina zahtevnosti– obe sečni površini v splošnem položaju. V tem primeru ni podana nobena od projekcij presečišča ploskev v izvirni kompleksni risbi. Tovrstne probleme rešujemo z uvedbo posrednikov, ki reducirajo rešitev vsakega problema na presečišče dveh premic, dobljenih iz presečišča posrednika z danimi površinami.

Obstajata dva načina za reševanje te vrste problema: metoda pomožnih rezalnih ravnin in metoda krogel.

Metoda pomožnih rezalnih ravnin se uporablja, če prečni prerez obeh površin povzroči preprost grafična konstrukcijačrte (krogi ali ravne črte). Potrebne so rezalne ravnine zasebna situacija, so v večini primerov izbrani kot posredniki nivojske ravnine. Oglejmo si ta način reševanja problema na primeru.

primer:

Konstruirajte linijo presečišča poloble P in piramide Q (slika 63).

a) Analiza risbe pokaže, da gre za problem tretje skupine zahtevnosti (piramida in polobla sta figuri splošne lege). Problem se reši s pomočjo posrednikov. Kot posrednike izberemo vodoravne ravnine nivoja. P sekajo vzdolž vzporednic, Q pa skozi trikotnike - grafično enostavne črte.

b) Določite referenčne točke na presečišču m. Najdemo točke presečišča robov piramide s polkroglo: M 1, F 1 in E 1. Točko M=SBP najdemo z ravnino ( 1) – ravnino glavnega poldnevnika poloble P. Točki E in F dobimo kot rezultat presečišča robov AS in SC ter poloble P , točke najdemo z uporabo ravnine ( 2) – ravnine ekvatorja poloble. Točke M, E, F so skrajne točke, kot tudi točke skice na P 2, točki E in F sta točki skice na P 1 in sta tudi točki spremembe vidnosti na P 1.

c) Naključne točke so določene z uporabo niveletskih ravnin ( 2) in Г(Г 2); P=n(n 2 ,n 1) - vzporednik poloble Q= l(l 2 ,l 1) – DTS trikotnik; nL=točki 1 in 2. Podobno s pomočjo ravnine Г(Г 2) najdemo točki 3 in 4.

d) Poveži najdene točke premice m ob upoštevanju vidljivosti.

e) Določite medsebojno vidnost P in Q.

Metoda pomožnih krogel temelji na eni lastnosti vrtilne površine: če središče sferično površino se nahaja na osi vrtilne površine (krogla in vrtilna površina se v tem primeru imenujeta koaksialni), potem ko se sekata, nastane krog. Poleg tega se ravnine teh krogov nahajajo pravokotno na os vrtilne površine (sl. 64a, b).

Zahvaljujoč tej lastnosti se sferične površine uporabljajo kot pomožne površine pri določanju presečišč med površinama dveh vrtilnih teles s sekajočima se osema. Metoda, pri kateri je krogla vzeta kot posrednik, se imenuje metoda pomožnih koncentričnih krogel. Velja le, če so izpolnjeni trije pogoji:

Obe površini morata biti vrtljivi površini.

Obe površini morata imeti skupno simetrijsko os (tj. biti morata soosni).

Simetrijske osi sekajočih se ploskev morajo biti ravne črte in te osi se morajo sekati.

Razmislite o uporabi te metode s praktičnim primerom.

primer:

Konstruirajte presečišče med površinama valja in stožca, katerih osi se sekata pod kotom (slika 65). Skupna simetrijska ravnina obeh teles P(P 1) je vzporedna z ravnino P 2.

Zato najvišji in najnižja točka presečišča M(M 1, M 2) in N(N 1, N 2) dobimo na presečišču orisnih generatorjev. Vse druge točke presečišča najdemo s pomožnimi kroglami, narisanimi iz presečišča osi stožca in valja O(O 1, O 2). krogla najmanjši radij je krogla, včrtana v ploskev enega od sekajočih se teles. Takšna krogla se mora sekati s površino drugega telesa. Da bi ugotovili, kateri od sekajočih se likov prilega najmanjši krogli in presečiščih osi O(O 2), spustimo navpičnici na obrisne generatrice likov; katera navpičnica je večja, bo polmer najmanjše krogle (R min =O 2 K 2). Krogla Ф(Ф 2), narisana iz središča O(O 2), včrtana v površino stožca, se dotika površine stožca vzdolž krožnice m(m 2,m 1) in seka površino valja vzdolž krog n(n 2). Oba kroga sta projicirana na P 2 v obliki ravnih segmentov K 2 K` 2 in A 2 A` 2. Ker sestavljeni krogi pripadajo isti sferi Ф, se sekajo v dveh točkah E(E 1, E 2) in F(F 1, F 2), ki sta skupni površinama stožca in valja, in zato se nahajajo na liniji njihovega presečišča.

Poljubne točke 1, 2, 3, 4 so definirane s pomočjo koncentrične krogle ( 2) s polmerom, ki je poljubno malo večji od polmera včrtane krogle. Ko so vse točke najdene v dveh projekcijah, so povezane z gladko črto na P 2 in na P 1, ob upoštevanju vidljivosti.

Če sta dve sekajoči se ploskvi figuri revolucije in imata skupno simetrijsko ravnino, vendar se osi teh ravnin ne sekata, potem se v tem primeru uporabi metoda ekscentrične krogle. Pri tej metodi se točke presečišča med dvema površinama določijo s kroglami, ki so narisane iz različnih središč.

Oglejmo si uporabo te metode na primeru.

Primer:

Konstruirajte presečišče med površinama stožca in torusa (slika 66).

Najprej določimo referenčne točke. Skupna simetrijska ravnina obeh teles je vzporedna z ravnino P2. Zato najvišja točka presečišče M(M 1, M 2) dobimo na presečišču orisnih generatorjev. Tudi osnovna ravnina obeh likov sovpada in je vzporedna s P 1. Na P 1 sta obe bazi projicirani iz narisane ravnine ( 2) v obliki krogov in njuno presečišče daje dve spodnji točki presečišča E(E 1, E 2) in F(F 1, F 2 ). Za določitev poljubne točke 1, 2 skozi os torusa narišemo pomožno čelno štrlečo ravnino, ki bo sekala torus v krogu s središčem A(A 2); ta krog se projicira na P 2 v obliki segmenta B 2 B` 2. iz središča tega kroga (A 2) poteka navpičnica na odsek B 2 B` 2. Sekajoče se z osjo stožca določa središče krogle O(O 2). Iz središča O(O 2) je narisana pomožna sfera Ф(Ф 2) s takšnim polmerom, da seka torus vzdolž krožnice ВВ`(В 2 В` 2). Ta krogla seka stožec po krožnici CC`(C 2 C` 2). Oba najdena kroga se bosta sekala v dveh točkah 1(1 2 ,1 1) in 2(2 2 ,2 1), ki se nahajata na liniji presečišča ploskev stožca in torusa.

Točki 3 in 4 določimo s pomožno kroglo ( 2) iz središča O`(O` 2), ki jo najdemo s podobno konstrukcijo s pomočjo pomožne ravnine Q(Q 2). Ko najdemo vse točke, jih v dveh projekcijah povežemo z gladko ukrivljeno črto na P 2 in P 1. Na koncu se določi medsebojna vidnost stožca in torusa.

IN V nekaterih primerih se krivulja, ki jo dobimo s sekanjem vrtilnih površin, razcepi na dve ravni krivulji, tj. na krivulje drugega reda. Pogoji, pod katerimi se presečišče razcepi na dve ravninski krivulji, so določeni v treh izrekih:

1. izrek.Če se dve vrtilni površini (drugega reda) sekata vzdolž ene ravninske krivulje, potem se sekata vzdolž druge ravninske krivulje (sl. 67a, b).

Izrek 2.Če se dve vrtilni ploskvi dotikata v dveh točkah (sl. 68 N in M), se linija njunega presečišča razcepi na dve ravni krivulji. Ravnine teh krivulj se sekajo vzdolž ravne črte (slika 68 MN), ki povezuje stične točke površin.

Izrek 3.(G. Mongeov izrek) Če so vrtilne površine drugega reda včrtane ali opisane okoli tretje vrtilne površine drugega reda (sfera), potem kot rezultat njihovega presečišča nastaneta dve ravninski krivulji drugega reda (slika 69).

Razvoj površin.

Temu pravijo pometanje ravna figura, dobljeno s kombinacijo razviti površine z ravnino.

Površine, ki jih je mogoče poravnati z ravnino brez prelomov ali gub, imenujemo razvite.

Oglejmo si različne vrste pometanja:

a) Precizni razvoj (fasetirane ploskve, stožec in valj) (slika 70).

b) Približne (ukrivljene razvite površine). Ukrivljeno površino nadomestimo s fasetirano površino. Natančnost skeniranja je odvisna od velikosti odsekov fasetirane površine in s tem od njihovega števila (slika 71). Da dobimo želeno površino iz približnega razvoja, je dovolj, da upognemo tanek list, na katerem je narisan razvoj.

c) Približno - pogojni razvoji (nerazvojne ukrivljene površine).

Teoretično nerazvojne površine ne morejo imeti razvitkov. Razvoj dobimo pogojno, če to površino nadomestimo s tako preprostimi razvitimi površinami, kot so valji in stožci. Slednje pa nadomestijo večplastne površine, ki so razporejene.

Obstaja več načinov za gradnjo površinskega razvoja:

Metoda trikotnika (triangulacija). Ta metoda se uporablja za konstruiranje razvitkov fasetiranih površin in vseh ravničastih površin. Ukrivljeno linijsko ploskev je nadomestila včrtana fasetirana ploskev (sl. 70, 71).

Metoda običajnega odseka(slika 72).

Metoda valjanja.

Metoda pomožnega valja in stožca(za izdelavo pogojno približnih skeniranj).

Oglejmo si nekaj primerov gradnje površinskih naprav:

Primer 1. Konstruirajte razvoj površine piramide (slika 70). Ker so stranske ploskve piramide trikotniki, se konstrukcija njenega razvoja zmanjša na konstrukcijo naravnih vrednosti teh trikotnikov in naravnih vrednosti baze. Naravne dimenzije reber so določene z metodo ravni vzporednega gibanja. Razvoj piramide je niz ploskev in baze, ki so pritrjeni drug na drugega.

Primer 2. Konstruirajte razvoj stranske površine prisekanega stožca (slika 71). Površino stožca nadomestimo z osmerokotno piramido, včrtano stožcu. Naravna velikost generatric se določi z metodo ravninsko-vzporednega gibanja.

To konstrukcijo lahko izvedemo na izvirni risbi tako, da premaknemo vse generatrise in segmente na njih na položaj skrajne generatrise, ki je vzporedna s P 2. Loke osnove stožca nadomestimo z nizom tetiv in sestavimo razvitje podobno kot razvitek piramide (niz trikotnikov). Nato dobljene točke povežemo z gladko ukrivljeno črto.

Primer 3. Zgradite pometanje nagnjena prizma(Slika 72). Za določitev razdalje med rebri prizme je treba konstruirati naravno vrednost normalnega preseka z ravnino P(P 2), pravokotno na stranska rebra. Dejansko velikost normalnega preseka se določi z zamenjavo projekcijskih ravnin ali ravninsko vzporednim gibanjem. Na razvitku je slika normalnega odseka ravna črta, katere dolžina je enaka vsoti strani normalnega odseka. Dejanske velikosti reber AA`, BB`, CC`, DD` so odstranjene iz P 2, ker robovi te prizme so vzporedni s P 2, potem se njihova dejanska velikost odčita na P 2. Če so robovi prizme ravne črte splošnega položaja, je treba najprej določiti njihovo naravno velikost, nato naravo normalnega odseka in zgraditi razvoj v skladu z zgoraj opisanim priporočilom.

Ravnane površine

Ravnasta ploskev je ploskev, ki jo lahko tvori gibanje premice v prostoru. Glede na naravo gibanja generatrike dobimo Različne vrste ravnane površine.

Slika 1.3.37 – Liničaste fasetne površine

Poliedri(piramide, prizme) so sklenjene ploskve, ki jih tvori določeno število ploskev. IN v tem primeru tako ploskev kot telo, ki ga ta ploskev omejuje, nosita isto ime. Elementi poliedra so oglišča, robovi in ​​ploskve; imenujemo množico vseh robov poliedra mreža. Konstruiranje projekcij poliedra se zmanjša na konstruiranje projekcij njegove mreže.

Med številnimi poliedri so pravilno poliedri. V takih poliedrih so vsi robovi, ploskve in koti med seboj enaki. Slika 1.3.38 na primer prikazuje pravilni polieder, poklical oktaeder.

Slika 1.3.39 – Stožčaste in cilindrične ploskve

Stožčasta površina ki ga tvori ravna črta l m(vodnik) in ima fiksno točko S(zgoraj) v skladu s sliko 1.3.39, A. Površinska determinanta Q(l, m, S).

Cilindrična površina ki ga tvori ravna črta l(generator), ki se premika vzdolž ukrivljene črte m(vodnik) in ima stalno smer s v skladu s sliko 1.3.39, b. Površinska determinanta S(l,m,s).

Ker vse ravne črte, ki imajo isto smer, tj. vzporedni drug z drugim sekata v neskončno oddaljeni (nepravilni) točki, potem lahko cilindrično površino obravnavamo kot poseben primer stožčasta površina.

Pri podajanju stožčastih in cilindričnih površin v kompleksni risbi je črta pogosto izbrana kot vodilo m presečišče ploskve z eno od projekcijskih ravnin.