Ortogonalni sistemi funkcij. Ortogonalni vektorski sistemi

Opredelitev. Vektorjia inb se imenujejo pravokotni (pravokotni) drug na drugega, če je njihov skalarni produkt enak nič, tj.a × b = 0.

Za neničelne vektorje a in b enakost skalarnega produkta na nič pomeni, da cos j= 0, tj. . Ničelni vektor je pravokoten na katerikoli vektor, ker a × 0 = 0.

telovadba. Naj in bosta pravokotna vektorja. Potem je naravno upoštevati diagonalo pravokotnika s stranicami in . Dokaži to

,

tiste. kvadrat dolžine diagonale pravokotnika enaka vsoti kvadratov dolžin njegovih dveh nevzporednih stranic(Pitagorov izrek).

Opredelitev. Vektorski sistema 1 ,…, a m imenujemo ortogonalno, če sta katera koli dva vektorja tega sistema pravokotna.

Torej za pravokoten sistem vektorjev a 1 ,…,a m enakost velja: a i × a j= 0 pri i¹ j, i= 1,…, m; j= 1,…,m.

Izrek 1.5. Ortogonalni sistem, sestavljen iz neničelnih vektorjev, je linearno neodvisen. .

□ Dokaz izvedemo s protislovjem. Recimo, da je ortogonalni sistem neničelnih vektorjev a 1 , …, a m linearno odvisen. Potem

l 1 a 1 + ... + l ma m= 0 , hkrati. (1,15)

Naj bo na primer l 1 ¹ 0. Pomnožimo s a 1 obe strani enakosti (1.15):

l 1 a 1× a 1 + ... + l m a m × a 1 = 0.

Vsi členi razen prvega so zaradi ortogonalnosti sistema enaki nič a 1 , …, a m. Potem l 1 a 1× a 1 =0, kar sledi a 1 = 0 , kar je v nasprotju s pogojem. Naša domneva se je izkazala za napačno. To pomeni, da je ortogonalni sistem neničelnih vektorjev linearno neodvisen. ■

Velja naslednji izrek.

Izrek 1.6. V prostoru Rn vedno obstaja baza, sestavljena iz pravokotnih vektorjev (ortogonalna baza)
(ni dokaza).

Ortogonalne baze so priročne predvsem zato, ker se koeficienti raztezanja poljubnega vektorja nad takimi bazami preprosto določijo.

Recimo, da moramo najti razgradnjo poljubnega vektorja b na pravokotni podlagi e 1 ,…,e n. Sestavimo razširitev tega vektorja z neznanimi koeficienti razširitve glede na to osnovo:

Pomnožimo obe strani te enakosti skalarno z vektorjem e 1. Na podlagi aksiomov 2° in 3° skalarnega produkta vektorjev dobimo

Ker bazični vektorji e 1 ,…,e n so medsebojno pravokotni, potem so vsi skalarni produkti baznih vektorjev, razen prvega, enaki nič, tj. koeficient je določen s formulo

.

Če pomnožimo enakost (1.16) z drugimi baznimi vektorji, dobimo preproste formule za izračun vektorskih ekspanzijskih koeficientov b :

. (1.17)

Formule (1.17) so smiselne, ker .

Opredelitev. Vektora se imenuje normalizirana (ali enota), če je njena dolžina enaka 1, tj. (a , a )= 1.

Vsak neničelni vektor je mogoče normalizirati. Naj a ¹ 0 . Potem , vektor pa je normaliziran vektor.

Opredelitev. Vektorski sistem e 1 ,…,e n se imenuje pravokoten, če je pravokoten in je dolžina vsakega vektorja sistema enaka 1, tj.

(1.18)

Ker v prostoru Rn vedno obstaja ortogonalna baza in je vektorje te baze mogoče normalizirati, potem v Rn vedno obstaja ortogonalna baza.

Primer ortonormirane baze prostora R n je sistem vektorjev e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) s skalarnim produktom, definiranim z enakostjo (1.9). V ortonormirani osnovi e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) formula (1.17) za določitev koordinat vektorske razgradnje b imajo najpreprostejšo obliko:

Naj a in b – dva poljubna vektorja prostora R n z ortonormirano bazo e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1). Označimo koordinate vektorjev a in b v osnovi e 1 ,…,e n ustrezno skozi a 1 ,…,a n in b 1 ,…, b n in poiščite izraz za skalarni produkt teh vektorjev skozi njihove koordinate v tej bazi, tj. predpostavimo, da

, .

Iz zadnje enakosti na podlagi aksiomov skalarnega produkta in relacij (1.18) dobimo

Končno imamo

. (1.19)

torej v ortonormirani bazi je skalarni produkt poljubnih dveh vektorjev enak vsoti produktov ustreznih koordinat teh vektorjev.

Oglejmo si zdaj povsem poljubno (na splošno ne ortonormirano) bazo v n-dimenzionalnem evklidskem prostoru R n in poiščimo izraz za skalarni produkt dveh poljubnih vektorjev a in b preko koordinat teh vektorjev v navedeni bazi.

Ortogonalni sistem funkcij

sistem funkcij ((φ n(x)}, n= 1, 2,..., pravokoten s težo ρ ( X) na segmentu [ A, b], torej tako, da

Primeri. Trigonometrični sistem 1, cos nx,greh nx; n= 1, 2,..., - O.s. f. s težo 1 na segmentu [-π, π]. Besselove funkcije n = 1, 2,..., J ν ( x), tvorijo za vsako ν > - 1/2 O. s. f. s težo X na segmentu.

Če vsaka funkcija φ ( X) iz O. s. f. je to x) po številu

Sistematično preučevanje O. s. f. se je začela v povezavi s Fourierjevo metodo rešitve težave z mejno vrednostjo enačbe matematična fizika. Ta metoda vodi na primer do iskanja rešitev Sturm-Liouvillovega problema (glej Sturm-Liouvillov problem) za enačbo [ρ( X) y" ]" + q(x) l = λ pri, zadovoljivo robni pogoji pri(A) + hja"(a) = 0, l(b) + Hy"(b) = 0, kjer je h in n- trajno. Te odločitve so t.i. domače funkcije naloge - oblika O. s. f. s težo ρ ( X) na segmentu [ a, b].

Izredno pomemben razred O. s. f. - Ortogonalni polinomi - je odkril P. L. Chebyshev v svojih raziskavah interpolacije z uporabo metode najmanjši kvadrati in problem trenutkov. V 20. stoletju raziskave o O. s. f. se izvajajo predvsem na podlagi integralne teorije in Lebesgueove mere. To je prispevalo k ločitvi teh študij v samostojno vejo matematike. Ena glavnih nalog teorije O. s. f. - problem dekompozicije funkcije f(x) v nizu oblike p ( X)) - O. s. f. Če se izrazimo formalno p( X)) - normaliziran O. s. f., in omogočiti možnost integracije po členih, nato pa to vrsto pomnožiti s φ n(X) ρ( X) in integracijo iz A do b, dobimo:

kvote S str, imenovani Fourierjevi koeficienti funkcije glede na sistem (φ n(x)), imajo naslednjo ekstremno lastnost: linearna oblika X):

ima najmanjša vrednost v primerjavi z napakami, podanimi z istim n drugi linearni izrazi oblike

Niz ∑ ∞ n=1 C n φ n (x) s kvotami S str, izračunana s formulo (*), se imenuje Fourierjeva vrsta funkcije f(x) glede na normalizirano O. s. f. (φ n(x)). Za aplikacije je najpomembnejše vprašanje, ali je funkcija enolično definirana f(x) z njihovimi Fourierjevimi koeficienti. O. s. f., za katere se to zgodi, se imenujejo popolni ali zaprti. Pogoji za zaprt O. s. f. se lahko poda v več enakovrednih oblikah. 1) Kateri koli neprekinjena funkcija f(x) je mogoče v povprečju aproksimirati s poljubno stopnjo natančnosti z linearnimi kombinacijami funkcij φ k(x), kar pomeni, da C n φ n (x) v povprečju konvergira k funkciji f(x)]. 2) Za katero koli funkcijo f(x), katerega kvadrat integriramo glede na utež ρ( X), je izpolnjen pogoj zaprtosti Ljapunova-Steklova:

3) Ničelne funkcije z integrabilno na intervalu [ a, b] kvadrat, pravokoten na vse funkcije φ n(x), n = 1, 2,....

Če upoštevamo funkcije z integrabilnim kvadratom kot elemente Hilbertovega prostora (glej Hilbertov prostor), potem normalizirani O.S. f. bodo sistemi koordinatnih enotskih vektorjev tega prostora in raztezanje serije v normaliziranih O.s. f. - razširitev vektorja v enotske vektorje. S tem pristopom so številni koncepti teorije normalizirali delovanje sistemov. f. pridobiti vizualno geometrijski pomen. Na primer, formula (*) pomeni, da je projekcija vektorja na enotski vektor enaka skalarnemu produktu vektorja in enotske enote; enakost Lyapunova-Steklova je mogoče interpretirati kot Pitagorov izrek za neskončnodimenzionalni prostor: kvadrat dolžine vektorja je enak vsoti kvadratov njegovih projekcij na koordinatne osi; izolacija O. s. f. pomeni, da najmanjši zaprt podprostor, ki vsebuje vse vektorje tega sistema, sovpada s celotnim prostorom itd.

Lit.: Tolstov G.P., Fourierjeva serija, 2. izd., M., 1960; Natanson I. P., Konstruktivna teorija funkcije, M. - L., 1949; po njem, Teorija funkcij realne spremenljivke, 2. izd., M., 1957; Jackson D., Fourierjeve vrste in ortogonalni polinomi, trans. iz angleščine, M., 1948; Kaczmarz S., Shteingauz G., Teorija ortogonalnih nizov, trans. iz nemščine, M., 1958.

Velika sovjetska enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. 1969-1978 .

Oglejte si, kaj je "ortogonalni sistem funkcij" v drugih slovarjih:

- (grško orthogonios rectangular) končni ali števni sistem funkcij, ki pripadajo (ločljivemu) Hilbertovemu prostoru L2(a,b) (kvadratno integrabilne funkcije) in izpolnjujejo pogoje F tion g(x) klic. tehta O. s. f.,* pomeni... ... Fizična enciklopedija

Sistem funkcij??n(x)?, n=1, 2,..., določen na segmentu ORTOGONA TRANSFORMACIJA linearna transformacija evklidskega vektorskega prostora, ki ohranja nespremenjene dolžine ali (kar je temu enako) skalarne produkte vektorjev. .. Veliki enciklopedični slovar

Sistem funkcij (φn(x)), n = 1, 2, ..., določen na intervalu [a, b] in zadošča naslednji pogoj ortogonalnost: za k≠l, kjer je ρ(x) neka funkcija, imenovana teža. Na primer, trigonometrični sistem je 1, sin x, cos x, sin 2x,... ... Enciklopedični slovar

Sistem funkcij ((фn(х)), n=1, 2, ..., definiran na intervalu [a, b] in izpolnjuje pogoj ortogonalnosti sledi za k ni enak l, kjer je p(x ) je določena funkcija, imenovana teža. Na primer, trigonometrični sistem 1, cosх, sin 2x,... O.s.f. Naravoslovje. Enciklopedični slovar

Glej čl. Ortogonalni sistem funkcij. Fizična enciklopedija. V 5 zvezkih. M.: Sovjetska enciklopedija. odgovorni urednik A. M. Prohorov. 1988 ... Fizična enciklopedija

1) O. s. vektorji je množica neničelnih vektorjev evklidskega (Hilbertovega) prostora s skalarnim produktom (. , .), tako da za (ortogonalnost) in (normalizabilnost). M. I. Vojcehovski. 2) O. s. funkcije in sistem funkcij prostora... ... Matematična enciklopedija

Gradnja za danem sistemu funkcije (fn(x)), ki so kvadratno integrirane na intervalu [a, b]funkcije ortogonalnega sistema (jn(x)) z uporabo določenega procesa ortogonalizacije ali z razširitvijo funkcij fn(x).na daljšo ... ... Matematična enciklopedija

sistem funkcij ((φ n(x)}, n= 1, 2,..., pravokoten s težo ρ ( X) na segmentu [ A, b], torej tako, da

Primeri. Trigonometrični sistem 1, cos nx,greh nx; n= 1, 2,..., - O.s. f. s težo 1 na segmentu [-π, π]. Besselove funkcije n = 1, 2,..., J ν ( x), tvorijo za vsako ν > - 1/2 O. s. f. s težo X na segmentu.

Če vsaka funkcija φ ( X) iz O. s. f. je to x) po številu

Sistematično preučevanje O. s. f. se je začela v povezavi s Fourierjevo metodo za reševanje robnih problemov enačb matematične fizike. Ta metoda vodi na primer do iskanja rešitev Sturm-Liouvillovega problema (glej Sturm-Liouvillov problem) za enačbo [ρ( X) y" ]" + q(x) l = λ pri, ki izpolnjuje robne pogoje pri(A) + hja"(a) = 0, l(b) + Hy"(b) = 0, kjer je h in n- trajno. Te odločitve so t.i. lastne funkcije problema tvorijo O.s. f. s težo ρ ( X) na segmentu [ a, b].

Izredno pomemben razred O. s. f. - Ortogonalni polinomi- je odkril P. L. Chebyshev v svojih raziskavah o interpolaciji po metodi najmanjših kvadratov in problemu momentov. V 20. stoletju raziskave o O. s. f. se izvajajo predvsem na podlagi integralne teorije in Lebesgueove mere. To je prispevalo k ločitvi teh študij v samostojno vejo matematike. Ena glavnih nalog teorije O. s. f. - problem dekompozicije funkcije f(x) v nizu oblike p ( X)) - O. s. f. Če se izrazimo formalno p( X)) - normaliziran O. s. f., in omogočiti možnost integracije po členih, nato pa to vrsto pomnožiti s φ n(X) ρ( X) in integracijo iz A do b, dobimo:

kvote S str, imenovani Fourierjevi koeficienti funkcije glede na sistem (φ n(x)), imajo naslednjo ekstremno lastnost: linearna oblika x):

ima najmanjšo vrednost v primerjavi z napakami, podanimi za isto n drugi linearni izrazi oblike

Niz ∑ ∞ n=1 C n φ n (x) s kvotami S str, izračunana s formulo (*), se imenuje Fourierjeva vrsta funkcije f(x) glede na normalizirano O. s. f. (φ n(x)). Za aplikacije je najpomembnejše vprašanje, ali je funkcija enolično definirana f(x) z njihovimi Fourierjevimi koeficienti. O. s. f., za katere se to zgodi, se imenujejo popolni ali zaprti. Pogoji za zaprt O. s. f. se lahko poda v več enakovrednih oblikah. 1) Vsaka zvezna funkcija f(x) je mogoče v povprečju aproksimirati s poljubno stopnjo natančnosti z linearnimi kombinacijami funkcij φ k(x), kar pomeni, da C n φ n (x) v povprečju konvergira k funkciji f(x)]. 2) Za katero koli funkcijo f(x), katerega kvadrat integriramo glede na utež ρ( X), je izpolnjen pogoj zaprtosti Ljapunova-Steklova:

3) Ničelne funkcije z integrabilno na intervalu [ a, b] kvadrat, pravokoten na vse funkcije φ n(x), n = 1, 2,....

Če upoštevamo funkcije z integrabilnim kvadratom kot elemente Hilbertovega prostora (glej Hilbertov prostor), potem normalizirani O.S. f. bodo sistemi koordinatnih enotskih vektorjev tega prostora in raztezanje serije v normaliziranih O.s. f. - razširitev vektorja v enotske vektorje. S tem pristopom so številni koncepti teorije normalizirali delovanje sistemov. f. dobijo jasen geometrijski pomen. Na primer, formula (*) pomeni, da je projekcija vektorja na enotski vektor enaka skalarnemu produktu vektorja in enotske enote; enakost Lyapunova-Steklova je mogoče interpretirati kot Pitagorov izrek za neskončnodimenzionalni prostor: kvadrat dolžine vektorja je enak vsoti kvadratov njegovih projekcij na koordinatne osi; izolacija O. s. f. pomeni, da najmanjši zaprt podprostor, ki vsebuje vse vektorje tega sistema, sovpada s celotnim prostorom itd.

Lit.: Tolstov G.P., Fourierjeva serija, 2. izd., M., 1960; Natanson I.P., Konstruktivna teorija funkcij, M. - L., 1949; po njem, Teorija funkcij realne spremenljivke, 2. izd., M., 1957; Jackson D., Fourierove vrste in ortogonalni polinomi, trans. iz angleščine, M., 1948; Kaczmarz S., Shteingauz G., Teorija ortogonalnih nizov, trans. iz nemščine, M., 1958.

• - skupina vseh linearne transformacije n-razsežni vektorski prostor V nad poljem k, ki ohranja fiksno nedegenerirano kvadratna oblika Q na V)=Q za katero koli)...

  Matematična enciklopedija

• - matriko nad komutativnim obročem R z enoto 1, pri kateri transponirana matrika sovpada z inverzno. Determinant O. m je enak +1...

  Matematična enciklopedija

• - mreža, v kateri so tangente na določeni točki na premice različnih družin pravokotne. Primeri operacijskih sistemov: asimptotična mreža na minimalni površini, mreža ukrivljenosti linij. A.V. Ivanov...

  Matematična enciklopedija

• - 1) Oh ....

  Matematična enciklopedija

• - ortogonalni niz, OA - matrika velikosti kx N, katere elementi so števila 1, 2, .....

  Matematična enciklopedija

• - glej Izogonalna trajektorija ...

  Matematična enciklopedija

• - ortonormiran sistem funkcij (j) določenega Hilbertovega prostora H, tako da v H ne obstaja funkcija, ki je pravokotna na vse funkcije dane družine...

  Matematična enciklopedija

• - glej projekcijo...

  Veliki enciklopedični politehnični slovar

• - določanje podrejenosti funkcij različnih predmetov...

  Slovar poslovnih izrazov

• - krepitev funkcij, ena od Ch. načini postopnega preoblikovanja organov med evolucijo živali. če običajno povezana z zapletom strukture organov in telesa kot celote...

  Biološki enciklopedični slovar

• - krepitev funkcij, eden glavnih načinov postopnega preoblikovanja organov med evolucijo živali. če je povezana z zapletom strukture organov in vodi do splošnega povečanja ravni vitalne aktivnosti...
• - naročilo n Matrix...

  Velika sovjetska enciklopedija

• - poseben primer vzporedna projekcija, ko je os ali ravnina projekcij pravokotna na smer projekcije...

  Velika sovjetska enciklopedija

• - sistem funkcij (), n = 1, 2,..., pravokoten s težo ρ na segmentu, tj. tak, da Primeri. Trigonometrični sistem 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., - O.s. f. s težo 1 na segmentu...

  Velika sovjetska enciklopedija

• - tak sistem funkcij Ф = (φ), definiran na intervalu, da ne obstaja funkcija f, za katero bi...

  Velika sovjetska enciklopedija

• - ORTOGONALNI sistem FUNKCIJ - sistem funkcij??n?, n=1, 2,.....

  Veliki enciklopedični slovar

"Ortogonski sistem funkcij" v knjigah

Odstavek XXIV Stari sistem bojevanja v jarkih in sodobni sistem pohodov