Konstantna avogadrova fizika. Avogadrova konstanta

Najenostavnejši model nihajno gibanje atomi v dvoatomski molekuli lahko služijo kot sistem dveh mas T/ in w?, povezana z elastično vzmetjo. Vibracijo dveh atomov glede na središče mase lahko nadomestimo z vibracijo enega ekvivalenta

masa glede na začetno ničelna točka R= 0, kje

R- razdalja med masami, R e- položaj ravnotežne točke.

V klasičnem razmišljanju se predpostavlja, da je vzmet idealna - elastična sila F je premo sorazmeren z deformacijo - odstopanjem od ravnovesja x = R-R e, po Hookovem zakonu:

Kje Za- elastična konstanta. Tako je sila usmerjena proti vrnitvi v ravnotežni položaj.

Skupna uporaba Hookovega in Newtonovega zakona (F-ta), se lahko napiše:

(označuje ). Znano je, da je rešitev takšne enačbe

opravljajo harmonične funkcije

Kje xo- amplituda in

Uporaba zmanjšane mase /l dobimo:

Merilo potencialne energije sistema V služi delu

IN kvantna mehanika analiza vibracij za preprost model harmonični oscilator precej zapleteno. Temelji na reševanju Schrödingerjeve enačbe

(da/- funkcija vibracijskih valov, E - skupna energija delcev) in je izven obsega naše predstavitve.

Za kvantni oscilator je to mogoče le diskretne serije vrednosti energije E in frekvenc v skladu s formulo E=hv. Poleg tega najmanjša vrednost energija oscilatorja ni enaka nič. Ta količina se imenuje nič energije, ustreza najnižjemu energijskemu nivoju oscilatorja in je enak , je njegov obstoj mogoče pojasniti na podlagi Heisenbergovega razmerja negotovosti.

Tako v skladu z kvantna mehanika energija harmoničnega oscilatorja je kvantizirana:

Kje v- oscilatorna kvantno število, ki lahko zavzame vrednost y=0, 1, 2, 3,....

Ko oscilator interagira s kvanti elektromagnetno sevanje upoštevati je treba tri dejavnike: 1) populacijo ravni (verjetnost, da najdemo molekulo na danem raven energije); 2) pravilo frekvence (Bohr), po katerem mora energija kvanta ustrezati razliki v energiji katerih koli dveh ravni;

3) izbirno pravilo za kvantne prehode: verjetnost prehoda, tj. intenziteta črt v absorpcijskem spektru je določena s količino prehodni dipolni moment (glej teoretični uvod). V primeru najpreprostejšega harmoničnega oscilatorja se izbirno pravilo pridobi z upoštevanjem valovnih funkcij. Navaja, da lahko pride do prehodov samo med sosednjimi nivoji (»en korak«): vibracijsko kvantno število se spremeni za eno Av= 1. Ker so razdalje med sosednjima nivojema enake, mora absorpcijski spekter harmoničnega oscilatorja vsebovati samo eno črto s frekvenco

Ker je v skladu z Boltzmannovo porazdelitvijo pri sobni temperaturi in več nizke temperature naseljena najnižja vibracijska raven, potem je najintenzivnejši prehod iz samega nizka stopnja(d=0), frekvenca te črte pa sovpada s frekvenco šibkejših prehodov z višjih nivojev na sosednji, višji nivo.

Grafi valovnih funkcij harmoničnega oscilatorja za različne pomene energije so prikazane na sliki 2.3. Predstavljajo rešitve Schrödingerjeve enačbe za harmonični oscilator

Kje N, - normalizacijski faktor, H 0- Hermitovi polinomi, x = R-R e- odstopanje od ravnotežnega položaja.

Prehodni dipolni moment za vibracijske prehode, R0(oz M“) je enako:

Kje ju - dipolni moment molekule; obotavljanje

telo valovne funkcije začetno oziroma končno stanje. Iz formule je razvidno, da je prehod dovoljen,

če je v ravnotežni točki - dipolni moment molekule

spremembe blizu položaja ravnotežne točke, (krivulja ju=f(R) na tej točki ne gre skozi maksimum). Tudi integral (drugi faktor v formuli) ne sme biti enak nič. Lahko se pokaže, da je ta pogoj izpolnjen, če pride do prehoda med sosednjima nivojema, torej dodatno pravilo izbor Ai = 1.

Kdaj dvoatomne molekule vibracijske spektre lahko opazujemo le pri heteronuklearnih molekulah; homonuklearne molekule nimajo dipolnega momenta in se med vibracijami ne spreminjajo. Vibracijski spektri CO2 izkazujejo nihanja (antisimetrično raztezanje in upogibanje), pri katerih se spreminja dipolni moment, ne pojavljajo pa se simetrična nihanja, pri katerih ostane nespremenjen.

Telesa, ki pri gibanju izvajajo harmonična nihanja, imenujemo harmonični oscilatorji. Poglejmo si številne primere harmoničnega oscilatorja.

Primer 1. Vzmetno nihalo je telo z masom, ki lahko niha pod delovanjem breztežnostne elastične sile (m vzmeti  m telo ) vzmeti (slika 4.2).

T

Slika 4.3. Fizikalno nihalo.

Primer 2. Fizikalno nihalo je trdna ki niha pod vplivom gravitacije okoli gibljive vodoravne osi, ki ne sovpada z njenim težiščem C (slika 4. 3). Os poteka skozi točko O. Če nihalo odklonimo od ravnotežnega položaja za majhen kot  in ga spustimo, bo zanihalo po osnovni enačbi dinamike rotacijsko gibanje trdna
, Kje J- vztrajnostni moment nihala glede na os, M je moment obnavljanja sile fizično nihalo v položaj ravnovesja. Ustvarja gravitacija, njen moment je enak
(l=OS). Kot rezultat dobimo
. to diferencialna enačba nihanja za poljubni koti odstopanja. Pod majhnimi koti, ko
,
ali jemanje
, dobimo diferencialno enačbo nihanja fizičnega nihala
. Njegove rešitve imajo obliko
oz
. Tako pri majhnih odstopanjih od ravnotežnega položaja fizično nihalo izvaja harmonična nihanja s ciklično frekvenco
in pika
.

Primer 3. Matematično nihalo je materialna točka z masom(težka žoga majhne velikosti), obešena na breztežni (v primerjavi zmžoga), elastična, neraztegljiva nit dolgal. Če žogico premaknete iz ravnotežnega položaja tako, da jo od navpičnice odklonite za majhen kot , in jo nato izpustite, bo zanihala. Če ta sistem obravnavamo kot fizično nihalo z vztrajnostni moment materialne točke J = ml 2, potem iz formul za fizikalno nihalo dobimo izraze za ciklično frekvenco in periodo nihanja matematičnega nihala.

,
.

4. 4. Dušena nihanja. @

V obravnavanih primerih harmoničnih nihanj je edina sila, ki deluje na materialna točka(telo), bil kvazielastična sila F in ni upošteval uporovnih sil, ki so prisotne v katerem koli realnem sistemu. Zato lahko obravnavana nihanja imenujemo idealna nedušena harmonična nihanja.

Realna razpoložljivost nihajni sistem sila upora okolja vodi do zmanjšanja energije sistema. Če izgube energije ne nadomestimo z delom zunanjih sil, bodo nihanja zamrla. Dušena nihanja so tista, katerih amplituda se s časom zmanjšuje.

Upoštevajmo prosta dušena nihanja. Pri majhnih hitrostih je sila upora F C sorazmerna s hitrostjo v in obratno sorazmerna z njo v smeri
, kjer je r - koeficient upora okolju. Uporaba Newtonov drugi zakon, dobimo diferencialno enačbo dušena nihanja
,
,
. Označimo
,
. Potem dobi diferencialna enačba obliko:

Slika 4.4. Odvisnost premika in amplitude dušenih nihanj od časa.

To je diferencialna enačba dušenih nihanj. Tukaj je  0 lastna frekvenca nihanj sistema, tj. frekvenca prostih nihanj pri r=0,  - koeficient dušenja določa hitrost padanja amplitude. Rešitve te enačbe pod pogojem  0 so

oz
.

Graf zadnje funkcije je prikazan na sliki 4.4. Zgornja črtkana črta prikazuje graf funkcije
, In 0 je amplituda v začetnem trenutku. Amplituda se s časom zmanjšuje po eksponentnem zakonu,  - koeficient slabljenja je inverzne velikosti čas sprostitve , tj. čas, v katerem se amplituda zmanjša za e-krat, saj

,
, = 1, . Frekvenca in perioda dušenih nihanj
,
; pri zelo majhnem uporu medija ( 2  0 2) je nihajna doba skoraj enaka
. Z večanjem  se perioda nihanja povečuje in pri > 0 rešitev diferencialne enačbe pokaže, da do nihanj ne prihaja, temveč do monotonega gibanja sistema proti ravnotežnemu položaju. Takšno gibanje se imenuje aperiodično.

Za karakterizacijo stopnje dušenja nihanj se uporabljata še dva parametra: dekrement dušenja D in logaritemski dekrement . Dekrement dušenja kaže, kolikokrat se zmanjša amplituda nihanja v eni periodi T.

n

Slika 4.5. Vrsta resonančne krivulje.

Ker , To
, kjer je N število nihanj na čas.

Harmonični oscilator

Harmonični oscilator(v klasični mehaniki) - sistem, ki ob premiku iz ravnotežnega položaja doživi obnovitveno silo F, sorazmerno s premikom x(po Hookovem zakonu):

Kje k- koeficient togosti sistema.

če F je edina sila, ki deluje na sistem, potem se sistem imenuje preprosto oz konzervativni harmonični oscilator. Proste vibracije takega sistema so periodično gibanje blizu ravnotežnega položaja ( harmonične vibracije). Frekvenca in amplituda sta konstantni in frekvenca ni odvisna od amplitude.

Mehanski primeri harmoničnega oscilatorja so matematično nihalo (z majhnimi odklonskimi koti), torzijsko nihalo in akustični sistemi. Med drugimi analogi harmoničnega oscilatorja je treba izpostaviti električni harmonični oscilator (glej LC vezje).

Brezplačne vibracije

Konzervativni harmonični oscilator

Kot model konzervativnega harmoničnega oscilatorja vzamemo masno obremenitev m, pritrjen na vzmet s togostjo k .

Pustiti x- premik bremena glede na ravnotežni položaj. Potem bo po Hookovem zakonu nanj delovala obnovitvena sila:

Potem skupna energija ima konstantno vrednost

Enostavno harmonično gibanje - to je preprosto gibanje harmonični oscilator, periodično gibanje, ki ni niti prisilno niti dušeno. Telo v enostavnem harmoničnem gibanju je izpostavljeno eni sami spremenljivi sili, ki je v absolutni vrednosti premo sorazmerna s premikom x iz ravnotežnega položaja in je usmerjen v nasprotno smer.

To gibanje je periodično: telo niha okoli ravnotežnega položaja po sinusoidnem zakonu. Vsako naslednje nihanje je enako prejšnjemu, perioda, frekvenca in amplituda nihanja pa ostanejo nespremenjene. Če predpostavimo, da je ravnotežni položaj v točki s koordinato, enako nič, nato odmik x telesa iz ravnotežnega položaja kadar koli je podana s formulo:

Kje A- amplituda nihanj, f- frekvenca, φ - začetna faza.

Določi se pogostost gibanja značilne lastnosti sistema (npr. masa gibajočega se telesa), amplituda in začetna faza pa sta določeni z začetnimi pogoji - premikom in hitrostjo telesa v trenutku začetka nihanja. Od teh lastnosti in pogojev sta odvisni tudi kinetična in potencialna energija sistema.

Preprosto harmonično gibanje je lahko matematičnih modelov različne vrste gibanja, kot je nihanje vzmeti. Drugi primeri, ki jih lahko grobo obravnavamo kot preprosto harmonično gibanje, so gibanje nihala in nihanje molekul.

Enostavno harmonično gibanje je osnova nekaterih načinov analize kompleksnejših vrst gibanja. Ena od teh metod je metoda, ki temelji na Fourierjevi transformaciji, katere bistvo je v razširitvi več kompleksen tip gibe v niz preprostih harmoničnih gibov.

Vsak sistem, v katerem se pojavi preprosto harmonično gibanje, ima dve ključni lastnosti:

1. Ko je sistem vržen iz ravnovesja, mora obstajati obnovitvena sila, ki teži k vrnitvi sistema v ravnovesje.
2. Obnovitvena sila mora biti natančno ali približno sorazmerna s premikom.

Sistem obremenitve in vzmeti izpolnjuje oba pogoja.

Ko je premaknjena obremenitev izpostavljena obnovitveni sili, se pospeši in se vrne v prvotni položaj. Izhodišče, torej v ravnotežni položaj. Ko se obremenitev približuje ravnotežnemu položaju, se obnovitvena sila zmanjša in teži k ničli. Vendar pa v situaciji x = 0 breme ima določeno količino gibanja (impulz), pridobljeno zaradi delovanja obnovitvene sile. Zato obremenitev preseže ravnotežni položaj in začne znova deformirati vzmet (vendar že v nasprotna smer). Obnovitvena sila ga bo upočasnila, dokler hitrost ne postane nič; in sila si bo spet prizadevala vrniti breme v ravnotežni položaj.

Dokler v sistemu ni izgube energije, bo breme nihalo, kot je opisano zgoraj; tako gibanje imenujemo periodično.

Nadaljnja analiza bo pokazala, da je v primeru sistema bremena in vzmeti gibanje enostavno harmonično.

Dinamika preprostega harmoničnega gibanja

Za vibracije v enodimenzionalnem prostoru, ob upoštevanju drugega Newtonovega zakona ( F= m  d² x/d t² ) in Hookov zakon ( F = −kx, kot je opisano zgoraj), imamo linearno diferencialno enačbo drugega reda:

Rešitev te diferencialne enačbe je sinusna; ena rešitev je:

Kje A, ω in φ - konstante, ravnotežni položaj pa se vzame kot začetni. Vsaka od teh konstant predstavlja pomembno fizična lastnina gibi: A je amplituda, ω = 2π f- krožna frekvenca in φ - začetna faza.

Univerzalno krožno gibanje

Enostavno harmonično gibanje lahko v nekaterih primerih obravnavamo kot enodimenzionalno projekcijo univerzalnega krožnega gibanja. Če se predmet giblje s konstantno kotno hitrostjo ω vzdolž kroga polmera r, katerega središče je izhodišče ravnine x−y, nato takšno gibanje po vsaki od koordinatne osi je enostavna harmonika z amplitudo r in krožno frekvenco ω.

Utež kot preprosto nihalo

V približku majhnih kotov je gibanje preprostega nihala blizu enostavnemu harmoničnemu. Nihajna doba takega nihala, pritrjenega na palico dolžine ℓ s pospeškom prosti pad g je podana s formulo

To kaže, da obdobje nihanja ni odvisno od amplitude in mase nihala, temveč od gravitacijskega pospeška. g, torej bo ob enaki dolžini nihala na Luni nihalo počasneje, saj je tam gravitacija šibkejša in manjša vrednost pospešek prostega pada.

Ta približek je pravilen samo za majhne odklonske kote, saj je izraz za kotni pospešek sorazmeren s koordinatnim sinusom:

kaj dela kotni pospešek neposredno sorazmeren s kotom θ in to ustreza definiciji preprostega harmoničnega gibanja.

Dušeni harmonični oscilator

Če za osnovo vzamemo isti model, mu bomo dodali silo viskoznega trenja. Sila viskoznega trenja je usmerjena proti hitrosti gibanja bremena glede na medij in je sorazmerna s to hitrostjo. Potem polna moč, ki deluje na obremenitev, je zapisan na naslednji način:

Z izvajanjem podobnih dejanj dobimo diferencialno enačbo, ki opisuje dušeni oscilator:

Tu je uvedena oznaka: . Koeficient se imenuje konstanta slabljenja. Ima tudi razsežnost frekvence.

Rešitev je razdeljena na tri primere.

Kritično dušenje je omembe vredno, saj se pri kritičnem dušenju oscilator najhitreje nagiba k ravnotežnemu položaju. Če je trenje manjše od kritičnega, bo ravnotežje doseglo hitreje, vendar ga bo zaradi vztrajnosti »prehitelo« in zanihalo. Če je trenje večje od kritičnega, potem bo oscilator eksponentno težil k ravnotežnemu položaju, vendar počasneje, večje je trenje.

Zato v kazalnikih s številčnico (na primer v ampermetrih) običajno poskušajo uvesti kritično slabljenje, tako da je mogoče njegove odčitke čim hitreje prebrati.

Dušenje oscilatorja je pogosto označeno tudi z brezdimenzijskim parametrom, imenovanim faktor kakovosti. Faktor kakovosti je običajno označen s črko . Po definiciji je faktor kakovosti enak:

Višji kot je faktor kakovosti, počasneje upadajo nihanja oscilatorja.

Oscilator s kritičnim dušenjem ima faktor kakovosti 0,5. V skladu s tem faktor kakovosti kaže obnašanje oscilatorja. Če je faktor kakovosti večji od 0,5, potem prosto gibanje oscilatorja predstavlja nihanje; Čez čas bo neomejeno številokrat prečkal ravnotežni položaj. Faktor kakovosti, manjši ali enak 0,5, ustreza neoscilacijskemu gibanju oscilatorja; V prosto gibanje ravnotežje bo prečkal največ enkrat.

Faktor kakovosti se včasih imenuje faktor ojačanja oscilatorja, saj se pri nekaterih metodah vzbujanja, ko frekvenca vzbujanja sovpada z resonančno, izkaže, da je amplituda nihanja približno krat večja kot pri vzbujanju pri nizki frekvenci.

Prav tako je faktor kakovosti približno enak številu nihajnih ciklov, med katerimi se amplituda nihanj zmanjša za faktor, pomnoženo s .

V primeru oscilacijskega gibanja je dušenje značilno tudi s parametri, kot so:

• Življenska doba vibracije (aka čas razpadanja, je enako čas sprostitve) τ - čas, v katerem se bo amplituda nihanj zmanjšala e enkrat.

Prisilne vibracije

Nihanje oscilatorja imenujemo prisilno, ko nanj deluje dodaten zunanji vpliv. Ta učinek je mogoče ustvariti z različnimi sredstvi in po razne zakone. Na primer, vzbujanje sile je učinek na obremenitev sile, ki je po določenem zakonu odvisna le od časa. Kinematično vzbujanje je učinek na oscilator s premikanjem pritrdilne točke vzmeti vzdolž dano pravo. Možen je tudi vpliv trenja, ko se na primer medij, s katerim breme doživlja trenje, giblje po danem zakonu.