Gradivo iz Uncyclopedia

Integralni račun je odsek matematična analiza, v katerem se preučujejo integrali, njihove lastnosti, metode računanja in uporabe. Skupaj s diferencialni račun tvori osnovo aparata matematične analize.

Integralni račun je nastal iz premisleka veliko število problemi naravoslovja in matematike. Najpomembnejša med njimi je fizična naloga ugotavljanja, kaj je bilo zajeto danem času poti po znani, a morda spremenljivi hitrosti gibanja in veliko bolj starodavni problem računanja površin in prostornin geometrijske oblike(cm. Geometrijske težave do skrajnosti).

Osrednji del integralnega računa je koncept integrala, ki pa ima dve različni razlagi, ki vodita do koncepta nedoločenega in določenega integrala.

V diferencialnem računu je bila uvedena operacija diferenciacije funkcij. V integralnem računu je inverz diferenciacije matematična operacija imenujemo integracija ali natančneje nedoločena integracija.

kaj je to obratno delovanje in kakšna je njegova negotovost?

Operacija diferenciacije primerja dano funkcijo F(x) njen odvod F"(x)=f(x). Predpostavimo, da na podlagi dane funkcije f(x) želimo najti funkcijo F(x), katere odvod je funkcija f(x), e. f(x) = F"(x). Ta funkcija se imenuje antiderivativna funkcija f(x).

To pomeni, da je inverzna operacija diferenciacije integracija za nedoločen čas- sestoji iz iskanja antiderivata dane funkcije.

Upoštevajte, da bo poleg funkcije F(x), protiizpeljave za funkcijo f(x), očitno obstajala tudi katera koli funkcija ℱ(x) = F(x) + C, ki se od F(x) razlikuje za stalni člen C; ker je ℱ"(x) = F(x) = f(x).

Tako v nasprotju z diferenciacijo, ki primerja funkcijo z eno samo drugo funkcijo - izpeljanka prve, nedoločena integracija ne vodi do ene določene funkcije, temveč do celega niza funkcij, in to je njegova negotovost.

Vendar pa stopnja te negotovosti ni tako velika. Spomnimo se, da če je odvod določene funkcije enak nič v vseh točkah nekega intervala, potem je to funkcija, ki je konstantna na obravnavanem intervalu (na intervalih, kjer je hitrost spremembe spremenljivke povsod enaka nič, se ne spremeni). To pomeni, da če je ℱ"(x) = F(x) na nekem intervalu a<х

Torej se lahko dva protiodvoda iste funkcije razlikujeta na intervalu le za konstanten člen.

Protiizpeljave funkcije f(x) so označene s simbolom

kjer se znak ∫ glasi: integral. To je tako imenovani nedoločen integral. Glede na to, kar je bilo dokazano, nedoločen integral na obravnavanem intervalu ne predstavlja ene določene funkcije, temveč katero koli funkcijo oblike

∫ f(x) dx = F(x) + C, (1)

kjer je F(x) neka antiodpeljava funkcije f(x) na danem intervalu, C pa poljubna konstanta.

Na primer na celotni številski premici

∫ 2x dx = x 2 + C; ∫ cos dy = sin y + C; ∫ sin z dz = -cos z + C.

Tukaj smo posebej označili argumente integrandov z različnimi simboli: x, y, z, da bi opozorili na neodvisnost antiizpeljave kot funkcije od izbire črke, ki se uporablja za označevanje njenega argumenta.

Preverjanje zapisanih enakosti poteka s preprostim diferenciranjem njihovih desnih strani, zaradi česar se na levi strani pod znakom integrala pojavijo funkcije 2x, cos y, sin z.

Koristno je upoštevati tudi naslednje očitne relacije, ki neposredno izhajajo iz definicij antiodvoda, odvoda, diferenciala in relacije (1) za nedoločen integral:

(∫f(x)dx)" = f(x),

d(∫f(x)dx) = f(x)dx,

∫F"(x)dx = F(x) + C,

∫dF(x) = F(x) + C.

Iskanje protiizpeljave pogosto olajšajo nekatere splošne lastnosti nedoločenega integrala:

∫сf(х)dx = с∫f(х)dx (nadomestitev konstantnega faktorja);

∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx (integracija vsote);

∫f(x)dx = F (x) + C, torej

∫f(φ(t))φ"(t)dt = F(φ(t)) + C (sprememba spremenljivke).

Te relacije se tudi neposredno preverjajo z uporabo ustreznih diferenciacijskih pravil.

Poiščimo zakon gibanja prosto padajočega telesa v praznini, ki temelji na edinem dejstvu, da je v odsotnosti zraka pospešek prostega padanja g blizu zemeljske površine konstanten in ni odvisen od lastnosti padajočega telesa. . Popravite navpično koordinatno os; Izberemo smer na osi proti Zemlji. Naj bo s(t)~ koordinata našega telesa v trenutku t. Vemo torej, da je s"(t)=g in je g konstanta. Najti moramo funkcijo s(t) - zakon gibanja.

Ker je g = v"(t), kjer je v(t) = s"(t), potem z zaporedno integracijo najdemo

v(t) = ∫gdt = ∫1 dt = g t + C 1 (2)

s(t) = ∫v(t)dt = ∫(g t + C 1)dt = ∫g tdt + ∫C 1 dt = g∫tdt + C 1 ∫1 dt = gt 2 /2 + C 1 t + C 2.

Torej smo to ugotovili

s(t) = gt 2 /2 + C 1 t + C 2 , (3)

kjer sta C 1 in C 2 nekaj konstant. Toda padajoče telo se še vedno podreja določenemu zakonu gibanja, v katerem ni več poljubnosti. To pomeni, da obstajajo nekateri drugi pogoji, ki jih še nismo izkoristili; omogočajo, da med vsemi »tekmujočimi« zakoni (3) izberemo tistega, ki ustreza določenemu gibanju. Te pogoje je enostavno označiti, če razumete fizični pomen konstant C 1 in C 2. Če primerjamo ekstremne člene relacije (2) pri t = 0, se izkaže, da je C 1 = v(0), iz (3) pri t = 0 pa C 2 = s(0). Tako nas je matematika sama spomnila na želeni zakon gibanja

s(t) = gt 2 /2 + v 0 t + s 0

bo popolnoma določena, če navedemo začetni položaj s 0 = s(0) in začetno hitrost v 0 = v(0) telesa. Zlasti, če je d 0 = 0 in s 0 = 0, dobimo s(t) = gt 2 /2.

Opozorimo zdaj, da je med operacijo iskanja odvoda (diferenciacija) in operacijo iskanja antiodvoda (nedoločena integracija) poleg zgoraj navedenega še vrsta temeljnih razlik. Zlasti je treba upoštevati, da če je odvod katere koli kombinacije elementarnih funkcij sam izražen z elementarnimi funkcijami, tj. je elementarna funkcija, potem protiodvod elementarne funkcije ni več vedno elementarna funkcija. Na primer protiizpeljanka

∫((sin x)/x)dx

elementarna funkcija (sin x)/x (imenovana integralni sinus in označena s posebnim simbolom si(x)), kot je mogoče dokazati, ni izražena v elementarne funkcije. Tako temeljnega matematičnega vprašanja obstoja protiodvoda dane funkcije ne smemo zamenjevati z ne vedno rešljivim problemom iskanja tega protiodvoda med elementarnimi funkcijami. Integracija je pogosto vir uvajanja pomembnih in široko uporabljenih posebnih funkcij, ki se preučujejo nič slabše od takih "šolskih" funkcij, kot sta x 2 ali sin x, čeprav niso vključene na seznam osnovnih funkcij.

Nazadnje opažamo, da je iskanje antiizpeljave, tudi če je izraženo v elementarnih funkcijah, bolj podobno umetnosti kot kanoničnemu računalniškemu algoritmu, kot je algoritem diferenciacije. Zato so najdeni antiodvodi najpogosteje pojavljajočih se funkcij zbrani v obliki iskalnih tabel nedoločenih integralov. Naslednja mikrotabela te vrste je očitno enakovredna mikrotabeli izpeljank ustreznih osnovnih elementarnih funkcij:

∫x n dx = 1/(n+1) x n+1 + C za n ≠ -1;

∫cos x dx = -sin x + C;

∫sin x dx = -cos x + C;

∫ dx/cos 2 x = tan x + C;

∫dx/sin 2 x = -ctg x + C.

Medtem ko smo govorili o obračanju operacije diferenciacije, smo v tej zvezi prišli do pojmov antiizpeljave in nedoločenega integrala ter podali začetno definicijo teh pojmov.

Zdaj bomo nakazali drugačen, veliko bolj starodaven pristop k integralu, ki je služil kot glavni začetni vir integralnega računa in pripeljal do koncepta določenega integrala ali integrala v pravem pomenu besede. Ta pristop je jasno viden že pri starogrškem matematiku in astronomu Evdoksu iz Knida (približno 408-355 pr. n. št.) in Arhimedu, tj. nastala je veliko pred pojavom diferencialnega računa in operacije diferenciacije.

Vprašanje, ki sta ga obravnavala Evdoks in Arhimed in ustvarila "metodo izčrpanosti" pri reševanju, ki je predvidevala koncept integrala, je vprašanje izračuna območja krivulje. V nadaljevanju bomo obravnavali to vprašanje, zdaj pa bomo po I. Newtonu postavili naslednjo težavo: z uporabo hitrosti v(t) telesa, znane v katerem koli trenutku t iz časovnega intervala a≤t≤b, poiščite količino gibanja telesa v tem času.

Če bi poznali zakon gibanja, tj. odvisnosti koordinat telesa od časa, potem bi bil odgovor očitno izražen z razliko s(b) - s(a). Še več, če bi poznali kakršno koli antiizpeljavo s̃(0) funkcije v(t) na intervalu [a;b], bi lahko, ker je s̃(t) = s(t) + C, kjer je C konstanta, poiščite zahtevano vrednost pomika v obliki razlike s̃(b) - s(a), ki sovpada z razliko s(b) - s(i). To je zelo uporabno opazovanje, a če protiodvoda dane funkcije v(t) ni mogoče določiti, potem moramo ravnati povsem drugače.

Razmišljali bomo takole.

Če so interval [a;b] ločeni trenutki t 0, t 1, ..., t n, tako da je a = t 0< t 1 < ... < t n = b, разбить на очень мелкие временные промежутки , i = 1, 2, ..., n, то на каждом из этих коротких промежутков скорость v(t) тела не успевает заметно измениться. Фиксировав произвольно момент τ i ∈ , можно таким образом приближенно считать, что на промежутке времени движение происходит с постоянной скоростью v(τ i). В таком случае для величины пути, пройденного за промежуток времени получаем приближенное значение v(τ i) ∆t i , где ∆t i = t i - t i-1 . Складывая эти величины, получаем приближенное значение

v(τ 1) ∆t 1 + v(τ 2) ∆t 2 + ... + v(τ n) ∆t n (4)

za vsa gibanja v intervalu.

Ugotovljena približna vrednost je tem natančnejša, čim bolj drobno delimo interval, tj. manjša je vrednost ∆ največjega izmed intervalov, na katere je interval razdeljen.

To pomeni, da je količina premika, ki jo iščemo, meja

lim ∆→0 ∑ n i=1 v(τ i) ∆t i (5)

vsote oblike (4), ko se vrednost ∆ nagiba k nič.

Vsote posebne oblike (4) imenujemo integralne vsote za funkcijo v(t) na intervalu , njihovo mejo (5), ki jo dobimo z neomejeno fino nastavitvijo particij, pa imenujemo integral (ali določen integral) funkcijo v(t) na intervalu . Integral je označen s simbolom

v kateri števili a, b imenujemo meje integracije, pri čemer je a spodnja meja, b pa zgornja meja integracija; funkcijo v(t) pod znakom integrala ∫ imenujemo integrand; v(t)dt - integrand; t- integracijska spremenljivka.

Torej, po definiciji,

∫ a b v(t)dt = lim ∆→0 ∑ n i=1 v(τ i) ∆t i . (6)

To pomeni, da je želena količina gibanja telesa v časovnem intervalu pri znani hitrosti gibanja v(t) izražena z integralom (6) funkcije v(t) v intervalu.

Če primerjamo ta rezultat s tistim, ki je bil naveden v protiizpeljanem jeziku na začetku obravnave tega primera, pridemo do znamenitega razmerja:

∫ a b v(t)dt = s(b)-s(a), (7)

če je v(t) = s"(t). Enakost (7) imenujemo Newton-Leibnizova formula. Na levi strani je integral, ki ga razumemo kot limit (6), na desni strani pa je razlika vrednosti (na koncih b in a integracijskega intervala) funkcija s(t), antiderivacija funkcije v(t). Tako Newton-Leibnizova formula povezuje integral (6) in antiderivacijo This formulo lahko torej uporabimo v dveh nasprotnih smereh: za izračun integrala z iskanjem protiodvoda ali za pridobitev prirastka z iskanjem integrala iz relacije (6). Newton-Leibnizova formula je zelo pomembna.

Integral (6) in formula (7) načeloma rešujeta problem, zastavljen v našem primeru. Torej, če je v(t) = gt (kot je v primeru prostega pada, ki se začne iz stanja mirovanja, tj. z v(0) = 0), potem, ko smo našli antiizpeljavo s(t) = gt 2 /2 + Iz funkcije v(t) = g t po formuli (7) dobimo vrednost

∫ a b gt dt = gb 2 /2 - ga 2 /2

gibanje v času, ki je pretekel od trenutka a do trenutka b.

Na podlagi pravkar analiziranega fizikalnega problema, ki nas je pripeljal do integrala in Newton-Leibnizove formule, ki posplošuje opažanja, lahko zdaj rečemo, da če je na določenem intervalu a ≤ x ≤ b podana funkcija f(x), nato delimo interval [a; b] točke a = x 0< x 1 < ... < х n = b, составляя интегральные суммы

f(ξ 1) ∆x 1 + f(ξ 2) ∆x 2 + ... + f(ξ n) ∆x n , (4")

kjer je ξ i ∈, ∆x i = x i - x i-1, in s prehodom na mejo pri ∆→0, kjer je ∆ = max (∆x 1, ∆x 2, ..., ∆x n), dobimo po definiciji integral

∫ a b f(x) dx = lim ∆→0 ∑ n i=1 f(ξ i) ∆x i (6")

iz funkcije f(x) čez interval. Če je v tem primeru F"(x)=f(x) na , tj. F(x) je antiodvod funkcije f(x) na intervalu , potem velja Newton-Leibnizova formula:

∫ a b F(x) dx = F(b) - F(a). (7")

Tako so bili definirani najpomembnejši koncepti integralnega računa in pridobljena je bila Newton-Leibnizova formula, ki povezuje integracijo in diferenciacijo.

Tako kot v diferencialnem računu do koncepta odvoda ni pripeljal samo problem določanja trenutne hitrosti gibanja, ampak tudi problem risanja tangente, tako v integralnem računu koncept integrala ne vodi samo fizikalni problem določanja prevožene razdalje pri dani hitrosti gibanja, pa tudi številni drugi problemi, med njimi so starodavni geometrijski problemi o računanju ploščin in prostornin.

Naj bo potrebno najti območje S, prikazano na sl. 1 slike aABb (imenovane krivuljasti trapez), katere zgornja "stran" AB je graf funkcije y = f (x), določene na segmentu. Točke a = x 0< х 1 < ... < х n = b разобьем отрезок на мелкие отрезки , в каждом из которых фиксируем некоторую точку ξ i ∈ . Площадь узкой ukrivljen trapez, ki leži nad segmentom, zamenjamo približno ploščino f(ξ i)(x i-1 - x i) = f(ξ i)∆x i ustreznega pravokotnika z osnovo in višino f(ξ i). V tem primeru bo približna vrednost ploščine S celotne figure aABb podana z znano integralno vsoto ∑ n i=1 f(ξ i) ∆x i , natančna vrednost želene ploščine S pa bo pridobljena kot meja takih vsot, ko dolžina ∆ največjega segmenta particije teži k nič. Tako dobimo:

∫ a b f(x) dx. (8)

Poskusimo zdaj po Arhimedu ugotoviti, v kakšnem razmerju parabola y = x 2 deli območje, prikazano na sl. 2 kvadrata enote. Da bi to naredili, preprosto izračunamo na podlagi formule (8) ploščino S spodnjega paraboličnega trikotnika. V našem primeru = in f(x) = x 2. Poznamo antiizpeljavo F(x) = x 3 /3 funkcije f(x) = x 2, kar pomeni, da lahko uporabimo Newton-Leibnizovo formulo (7") in zlahka dobimo

S = ∫ 0 1 x 2 dx = 1/3 1 3 - 1/3 0 3 = 1/3.

Zato parabola deli površino kvadrata v razmerju 2:1.

Pri obravnavi integralov, predvsem pri uporabi Newton-Leibnizove formule, lahko uporabite splošne lastnosti nedoločenega integrala, ki so poimenovane na začetku članka. Zlasti pravilo za spreminjanje spremenljivke v nedoločenem integralu, pod pogojem, da je a = φ(α), b = φ(β), ob upoštevanju Newton-Leibnizove formule, nam omogoča sklep, da

∫ a b f(x) dx = F(b) - F(a) = F(φ(β)) - F(φ(α)) = ∫ α β f(φ(t))φ"(t) dt,

in tako dobimo zelo uporabno formulo za spreminjanje spremenljivke v določenem integralu:

∫ a b f(x) dx = ∫ α β f(φ(t))φ"(t) dt (9)

Z integrali se izračunavajo tudi prostornine teles. Če je prikazano na sl. 1 zavrtite krivolinijski trapez aABb okoli osi Ox, boste dobili vrtilno telo, ki ga lahko približno štejemo za sestavljeno iz ozkih valjev (slika 3), ki jih dobimo z vrtenjem ustreznih pravokotnikov. Z enakim zapisom zapišemo prostornino vsakega od teh valjev v obliki πf 2 ξ i ∆x i, (zmnožek ploščine πf 2 ξ i osnove in višine ∆x i). Vsota πf 2 ξ 1 ∆x 1 + πf 2 ξ 2 ∆x 2 + ... + πf 2 ξ n ∆x n da približno vrednost prostornine V obravnavanega vrtilnega telesa. Natančno vrednost V bomo dobili kot mejo takih vsot pri ∆→0. pomeni,

V = π∫ a b f 2 (x) dx. (10)

Zlasti za izračun prostornine, prikazane na sl. 4 stožci, je dovolj, da v formuli (10) damo a = 0, b = h in f(x) = kx, kjer je k kotni koeficient zasukane premice. Ko najdemo protiodvod k 2 x 3 /3 funkcije f 2 (x) = k 2 x 2 in uporabimo Newton-Leibnizovo formulo, dobimo

V = π∫ 0 h k 2 x 2 dx = π(k 2 h 3 /3 - k 2 0 3 /3)

= π(kh) 2 h/3 = Sh/3,

kjer je S = π(kh) 2 območje kroga, ki leži na dnu stožca.

V analiziranih primerih smo geometrijski lik izčrpali s takimi liki, katerih ploščine ali prostornine je bilo mogoče izračunati, nato pa naredili prehod do meje. Ta tehnika, ki izvira iz Evdoksa in jo je razvil Arhimed, se imenuje metoda izčrpavanja. To je najpogostejša metoda sklepanja v večini aplikacij integrala.

Kot drug primer razmislite o zelo specifičnem "prostorskem" vprašanju.

Izračunati želimo hitrost V, do katere je potrebno telo (raketo) pospešiti, da ga potem, ko se vztrajnostno oddaljuje od planeta vzdolž polmera, ne bo več vrnilo nazaj s pomočjo gravitacije planeta. To hitrost imenujemo druga kozmična hitrost, za razliko od prve kozmične hitrosti, ki jo mora imeti satelit, ki vstopa v orbito blizu površine planeta.

Naj bo m masa telesa, M bo masa planeta. Kinetična energija mv 2 /2, ki bi jo moralo telo obdariti, da bi se izognilo gravitacijskemu polju planeta, bi moralo zadostovati za opravljanje dela proti gravitacijski sili. Velikost te sile na razdalji r od središča planeta je po zakonu univerzalne gravitacije, ki ga je odkril Newton, enaka

kjer je G gravitacijska konstanta. Tako se ta sila spreminja in slabi, ko se oddaljuje od planeta.

Izračunajmo delo A R R 0, ki ga je treba opraviti, da se telo, ki leži na višini R 0 (šteto od središča planeta), dvigne na višino R.

Če bi bila sila konstantna, bi preprosto pomnožili njeno velikost z dolžino R - R 0 prevožene poti vzdolž smeri njenega delovanja in našli popolno delo. Toda sila se spremeni, zato bomo celoten interval razdelili s točkami R 0 = r 0< 1 < ... < r n = R на маленькие промежутки, в пределах которых изменением силы можно пренебречь; найдем приближенно элементарные работы

G mM/r i 2 (r i - r i-1) = G mM/r i 2 ∆r i

na vsakem od intervalov; sestavljanje osnovnega dela

G mM/r 1 2 ∆r 1 + G mM/r 2 2 ∆r 2 + ... + G mM/r n 2 ∆r n

dobimo približno vrednost želenega dela A R R 0 na intervalu oziroma natančneje vrednost A R R 0 tako izrazimo z naslednjim integralom:

A R R 0 = ∫ R R 0 G mM/r 2 dr

v katerem ima vlogo integracijske spremenljivke r. Količine G, m, M so konstantne, funkcija r -2 pa ima protiodvod -r -1, če vemo, kar najdemo z uporabo Newton-Leibnizove formule

A R R 0 = GmM (1/R 0 - 1/R).

Če R povečamo za nedoločen čas, to je, kot pravijo, telo odstranimo do neskončnosti, potem s prehodom na mejo kot R → ∞ dobimo

A ∞ R 0 = GmM/R 0 ,

kjer je ∞ simbol, ki se bere "neskončnost". Če v zadnji formuli predpostavimo, da je R 0 polmer planeta, potem bo A ∞ R 0 delo, ki ga je treba opraviti proti gravitacijskim silam, da gre telo s površine planeta v neskončnost.

Izraz, dobljen za A ∞ R 0, lahko poenostavimo, če se spomnimo drugega Newtonovega zakona F = ma, ki povezuje silo F in pospešek a telesa z maso m, ki ga ta povzroči. Telo, ki prosto pada na planet blizu njegove površine, ima pospešek a = g, ki ga povzroča gravitacijska sila

kjer je R 0 polmer planeta. pomeni,

GmM/R 0 2 = mg, kar pomeni, da

GmM/R 0 2 = g in zato A ∞ R 0 = mGR 0 .

To je formula za izračun dela, potrebnega za izhod iz gravitacijskega polja planeta. Če želite "zapustiti" planet po vztrajnosti, morate imeti navpično hitrost v, pri kateri kinetična energija mv 2 /2 telesa ni manjša ali vsaj enaka delu, porabljenemu za premagovanje gravitacije planeta.

Tako je druga ubežna hitrost, dobljena iz enakosti mv 2 /2 = mgR 0, izražena kot

Zlasti za Zemljo g ≈ 10 m/s 2, R 0 ≈ 6.400.000 m, torej v ≈ 8000 √2 m/s ali v ≈ 11,2 km/s.

V vseh primerih, ki smo jih pregledali do sedaj, smo uporabili protiodvod za uporabo formule Newtona Leibniza (7”) za izračun integrala, ki nas je zanimal, vendar ista Newton-Leibnizova formula predlaga uporabo samega integrala za iskanje protiodvoda ali vsaj za. razjasniti temeljno vprašanje njegovega obstoja. Tega vprašanja smo se že dotaknili v razdelku, posvečenem antiizpeljavi in nedoločenemu integralu, zdaj pa si ga bomo ogledali nekoliko natančneje.

Naj bo na segmentu podana funkcija f, katere graf je prikazan s črto AB na sliki. 5. Vemo, da je ploščina celotnega krivočrtnega trapeza aABb izražena z integralom (8). Z ℱ(x) označimo površino tistega njegovega dela, ki leži nad odsekom [a;x].

ℱ(x)=∫ a x f(x)dt. (11)

Tukaj smo integracijsko spremenljivko označili s t, da je ne bi zamenjali z x, ki je v našem primeru zgornja meja integracije.

Vrednost ℱ(x) je očitno odvisna od točke x∈.

Pokažimo, da je ℱ(x) antiodvod funkcije f(x) na odseku , tj. ℱ"(x)=f(x) za x∈. Dejansko, kot je razvidno iz slike 5,

ℱ(x+h) - ℱ(x) ≈ f(x) h,

kar je enako približni enakosti

(ℱ(x+h) - ℱ(x))/h ≈ f(x)

Ko se vrednost h zmanjša, se torej natančnost tega razmerja samo izboljša

lim h→0 (ℱ(x+h) - ℱ(x))/h = f(x)

in zato,

Tako nam integral (11) s spremenljivo zgornjo mejo x da antiodvod funkcije f(x). Med vsemi drugimi antiodvajanji funkcije f(x) na segmentu se ta antiodvod razlikuje po očitnem pogoju ℱ(a) = 0. Ker je integral po njegovi definiciji (6") mogoče izračunati s poljubno vnaprej določeno natančnostjo , potem lahko vrednost ℱ(x) protiizpeljanih (11) funkcij f(x) v kateri koli točki x∈ najdemo tako natančno, kot želimo, ne da bi nas sploh zanimal analitični zapis ℱ(x) ali vprašanje ali je ℱ(x) elementarna funkcija.

Obstajajo preproste in zelo učinkovite numerične metode integracije - to so tako imenovane kvadraturne formule. Elektronskim računalnikom omogočajo, da v delčku sekunde pridobijo vrednosti določenih integralov. Zaradi te okoliščine je formula (11) sredstvo za iskanje antiizpeljave. Na primer, sodobne podmornice včasih ostanejo na velikih globinah več mesecev in potujejo na velike razdalje; Ker nimajo povezave z zunanjim svetom, gredo kljub temu v točno določen kvadrat. Navigacijska oprema, ki vam omogoča, da kadar koli določite koordinate čolna, je tehnična izvedba formule (11) in temelji na tem fizikalnem principu. Ko smo v zaprtem gibljivem prostoru (dobro zvočno izoliran mehki voziček, letalo itd.), ne čutimo hitrosti gibanja, vsekakor pa občutimo spremembo hitrosti-pospeška. Pozitivna je pri povečanju hitrosti, ko te masa tišči v letalski sedež, negativna pa pri zaviranju, ko morda celo potrebuješ varnostne pasove. Ker obstaja neposredno sorazmerno razmerje med pospeškom a mase m in silo F, ki ga povzroča F = ma, je mogoče velikost koreninjenja a objektivno izmeriti tako, da maso m pritrdimo na prosti konec vzmeti, ki se nahaja vzdolž smer gibanja in togo povezovanje drugega konca, na primer z zadnjo steno premikajoče se sobe. Če je raztezanje in stiskanje vzmeti sorazmerno s silo, ki deluje nanjo, potem lahko z velikostjo odstopanja mase m od ravnotežnega položaja določimo velikost a(t) pospeška, ki se pojavi v določeni smeri pri kadar koli t.

Če se je gibanje začelo z ničelno začetno hitrostjo, potem lahko ob poznavanju a(t) najprej poiščemo hitrost v(t) gibanja z uporabo formule (11) in ob poznavanju v(t) poiščemo premik s(t) v ta smer trenutno in od takrat

v(t) = ∫ 0 t a(u) du, a s(t) = ∫ 0 t v(u) du.

Obdelavo odčitkov instrumentov in izračun teh integralov izvaja elektronski računalnik. Če obstajajo trije senzorji pospeška, ki jih (npr. žiroskopi) držijo v treh medsebojno pravokotnih smereh, potem lahko kadarkoli poznate svoje gibanje v vsaki od teh smeri in s tem določite vse tri svoje koordinate v nekem koordinatnem sistemu, izhodišču katera je izhodiščna točka - baza, letališče, kozmodrom.

Uvod

Integralni simbol je bil uveden leta 1675, vprašanja integralnega računa pa preučujejo od leta 1696. Čeprav integral preučujejo predvsem matematiki, so k tej vedi prispevali tudi fiziki. Skoraj nobena fizikalna formula ne more brez diferencialnega in integralnega računa. Zato sem se odločil raziskati integral in njegovo uporabo.

Zgodovina integralnega računa

Zgodovina koncepta integrala je tesno povezana s problemi iskanja kvadratur. Težave o kvadraturi ene ali druge ravninske figure matematike Stara Grčija in Rim imenovani problemi pri računanju površin. Latinska beseda quadratura se prevaja kot "kvadrat". Potreba po posebnem izrazu je razložena z dejstvom, da v starih časih (in pozneje, do 18. stoletja) ideje o realnih številih še niso bile dovolj razvite. Matematiki so operirali s svojimi geometrijskimi analogi ali skalarnimi količinami, ki jih ni mogoče množiti. Zato je bilo treba težave pri iskanju območij oblikovati na primer takole: "Konstruiraj kvadrat, ki je po velikosti enak danemu krogu." (Tega klasičnega problema "o kvadraturi kroga", kot je znano, ni mogoče rešiti s šestilom in ravnilom.)

Simbol t je uvedel Leibniz (1675). Ta znak je modifikacija latinske črke S (prvo črko besede integral je izumil J. Bernoulli (1690). Verjetno izhaja iz latinske besede integro, kar pomeni vrnitev v prejšnje stanje, obnavljanje. (Dejansko operacija integracije »obnovi« funkcijo, z diferenciacijo katere je bil integrand dobljen.) Morda je izvor izraza integral drugačen: beseda integer pomeni celota.

Med dopisovanjem sta se I. Bernoulli in G. Leibniz strinjala s predlogom J. Bernoullija. Hkrati se je leta 1696 pojavilo ime nove veje matematike - integralni račun (calculus integralis), ki ga je uvedel I. Bernoulli.

Drugi znani izrazi, povezani z integralnim računom, so se pojavili mnogo kasneje. Ime "primitivna funkcija", ki je zdaj v uporabi, je nadomestilo prejšnjo "primitivno funkcijo", ki jo je uvedel Lagrange (1797). Latinska beseda primitivus je prevedena kot "začetno": F(x) = m f(x)dx - začetno (ali izvirno ali antiderivativno) za f (x), ki je pridobljeno iz F(x) z diferenciacijo.

V sodobni literaturi se množica vseh antiodvodov za funkcijo f(x) imenuje tudi nedoločen integral. Ta koncept je izpostavil Leibniz, ki je opazil, da se vse antiizvedene funkcije razlikujejo za poljubno konstanto b, imenovano določen integral (oznako je uvedel C. Fourier (1768-1830), vendar je že Euler nakazal meje integracije).

Številni pomembni dosežki matematikov stare Grčije pri reševanju problemov iskanja kvadratur (tj. izračunavanja območij) ravninskih figur, pa tudi kubatur (izračunavanja volumnov) teles so povezani z uporabo metode izčrpanja, ki jo je predlagal Evdoks iz Knida (c 408 - c. 355 pr. n. št.). S to metodo je Evdoks na primer dokazal, da sta ploščini dveh krogov povezani kot kvadrata njunih premerov, prostornina stožca pa je enaka 1/3 prostornine valja z enako osnovo in višino.

Evdoksovo metodo je izboljšal Arhimed. Glavne faze, ki označujejo Arhimedovo metodo: 1) dokazano je, da je površina kroga manjša od površine katerega koli pravilnega mnogokotnika, opisanega okoli njega, vendar večja od površine katerega koli vpisanega; 2) dokazano je, da se z neomejeno podvojitvijo števila strani razlika v površinah teh mnogokotnikov nagiba k nič; 3) za izračun površine kroga je treba najti vrednost, na katero se nagiba razmerje med površino pravilnega mnogokotnika, ko se število njegovih strani neomejeno podvoji.

Z uporabo metode izčrpanja in številnih drugih genialnih premislekov (vključno z uporabo mehaničnih modelov) je Arhimed rešil številne probleme. Podal je oceno števila p (3,10/71

Arhimed je predvidel številne ideje integralnega računa. (Dodajmo, da je v praksi prve izreke o mejah dokazal prav on.) Vendar je trajalo več kot tisoč in pol let, preden so te ideje dobile jasen izraz in bile pripeljane na raven računa.

Matematiki 17. stoletja, ki so dobili veliko novih rezultatov, so se učili iz Arhimedovih del. Aktivno se je uporabljala tudi druga metoda - metoda nedeljivih, ki prav tako izvira iz stare Grčije (povezana je predvsem z atomističnimi pogledi Demokrita). Zamislili so si na primer krivočrtni trapez (slika 1, a), ki je sestavljen iz navpičnih odsekov dolžine f(x), ki pa so mu kljub temu pripisali ploščino, ki je enaka infinitezimalni vrednosti f(x)dx. V skladu s tem razumevanjem je zahtevana površina veljala za enako vsoti

neskončno veliko število neskončno majhnih površin. Včasih se je celo poudarjalo, da so posamezni členi v tej vsoti ničle, vendar ničle posebne vrste, ki, dodane neskončnemu številu, dajo točno določeno pozitivno vsoto.

Na taki, zdaj na videz vsaj dvomljivi podlagi, je J. Kepler (1571-1630) v svojih spisih »Nova astronomija«.

1609 in »Stereometrija vinskih sodov« (1615) sta pravilno izračunala številna področja (na primer območje figure, omejene z elipso) in prostornine (telo je bilo razrezano na 6 končno tankih plošč). Te študije sta nadaljevala italijanska matematika B. Cavalieri (1598-1647) in E. Torricelli (1608-1647). Načelo, ki ga je oblikoval B. Cavalieri, ki ga je uvedel pod nekaterimi dodatnimi predpostavkami, ohranja svoj pomen v našem času.

Naj bo treba najti območje figure, prikazane na sliki 1, b, kjer imajo krivulje, ki omejujejo sliko od zgoraj in spodaj, enačbe

y = f(x) in y=f(x)+c.

Če si predstavljamo figuro, sestavljeno iz »nedeljivih«, v Cavalierijevi terminologiji, neskončno tankih stolpcev, opazimo, da imajo vsi skupno dolžino c. S premikanjem v navpični smeri jih lahko oblikujemo v pravokotnik z osnovo b-a in višino c. Zato je zahtevana površina enaka površini nastalega pravokotnika, tj.

S = S1 = c (b - a).

Splošno načelo Cavalieri za območja ravninskih likov je formulirano takole: Naj črte določenega vzporednega svinčnika sekajo figure Ф1 in Ф2 vzdolž enako dolgih segmentov (slika 1, c). Potem sta ploščini likov F1 in F2 enaki.

Podoben princip deluje v stereometriji in je uporaben pri iskanju volumnov.

V 17. stoletju Prišlo je do številnih odkritij, povezanih z integralnim računom. Tako je P. Fermat že leta 1629 rešil problem kvadrature poljubne krivulje y = xn, kjer je n celo število (torej je v bistvu izpeljal formulo m xndx = (1/n+1)xn+1) in na tej podlagi rešil vrsto problemov za iskanje težišč. I. Kepler se je pri izpeljavi svojih slavnih zakonov planetarnega gibanja dejansko opiral na idejo približne integracije. I. Barrow (1630-1677), Newtonov učitelj, se je približal razumevanju povezave med integracijo in diferenciacijo. Delo na predstavitvi funkcij v obliki potenčnih vrst je bilo zelo pomembno.

Kljub pomenu rezultatov, do katerih so prišli številni izjemno iznajdljivi matematiki 17. stoletja, računanje še ni obstajalo. Treba je bilo poudariti splošne ideje, na katerih temelji rešitev številnih posebnih problemov, pa tudi vzpostaviti povezavo med operacijama diferenciacije in integracije, ki daje dokaj splošen algoritem. To sta storila Newton in Leibniz, ki sta neodvisno odkrila dejstvo, znano kot Newton-Leibnizova formula. Tako je bila končno oblikovana splošna metoda. Še vedno se je moral naučiti, kako najti antiodvode številnih funkcij, podati nov logični račun itd. Toda glavno je bilo že narejeno: ustvarjen je bil diferencialni in integralni račun.

Metode matematične analize so se aktivno razvijale v naslednjem stoletju (najprej je treba omeniti imena L. Eulerja, ki je dokončal sistematično študijo integracije elementarnih funkcij, in I. Bernoullija). Pri razvoju integralnega računa so sodelovali ruski matematiki M.V. Ostrogradski (1801-1862), V.Ya. Bunyakovsky (1804-1889), P.L. Čebišev (1821-1894). Bistvenega pomena so bili predvsem rezultati Čebiševa, ki je dokazal, da obstajajo integrali, ki jih ni mogoče izraziti z elementarnimi funkcijami.

Stroga predstavitev integralne teorije se je pojavila šele v zadnjem stoletju. Rešitev tega problema je povezana z imeni O. Cauchyja, enega največjih matematikov, nemškega znanstvenika B. Riemanna (1826-1866) in francoskega matematika G. Darbouxa (1842-1917).

Odgovore na številna vprašanja, povezana z obstojem površin in volumnov figur, smo dobili z oblikovanjem teorije mere C. Jordana (1838-1922).

Različne posplošitve koncepta integrala so že na začetku našega stoletja predlagali francoska matematika A. Lebesgue (1875-1941) in A. Denjoy (188 4-1974), sovjetski matematik A.Ya. Khinčinčin (1894-1959).

Načrtujte

Protiodvod funkcije in nedoločen integral. Osnovne lastnosti nedoločenega integrala. Tabela osnovnih nedoločenih integralov. Osnovne metode integracije: neposredna integracija, substitucijska metoda, integracija po delih.

Racionalni ulomki. Integracija preprostih racionalnih ulomkov. Integriranje racionalnih ulomkov.

Integracija trigonometričnih funkcij. Integracija nekaterih iracionalnih funkcij. Integrali, ki jih ni mogoče izraziti z elementarnimi funkcijami.

Določen integral. Osnovne lastnosti določenega integrala. Integral s spremenljivo zgornjo mejo. Newton-Leibnizova formula. Osnovne metode za izračun določenega integrala (sprememba spremenljivke, integracija po delih).

Geometrijske aplikacije določenega integrala. Nekatere uporabe določenega integrala v ekonomiji.

Nepravilni integrali (integrali z neskončnimi limiti integracije, integrali neomejenih funkcij).

Protiodvod funkcije in nedoločen integral

V integralnem računu je glavna naloga najti funkcijo l=f(x) s svojo znano izpeljanko.

Definicija 1. funkcija F(x) se imenuje protiizpeljanka funkcije f(x) na intervalu ( a, b), če sploh enakost velja: oz .

1. izrek. Vsaka zvezna črta na intervalu [ a, b] funkcijo f(x) ima protiizpeljavo na tem segmentu F(x).

V nadaljevanju bomo obravnavali funkcije, ki so zvezne na intervalu.

2. izrek.Če funkcija F(x) je antiodvod funkcije f(x) na intervalu ( a, b), potem je množica vseh antiizpeljank podana s formulo F(x)+Z, Kje Z - stalno število.

Dokaz.

funkcija F(x)+Z je antiderivacija funkcije f(x), ker .

Naj F(x) – drugo, drugačno od F(x) antiderivativna funkcija f(x), tj. . Potem imamo

kar pomeni, da

kje Z– stalno število. torej

Definicija 2. Množica vseh antiizpeljanih funkcij F(x)+Z za funkcijo f(x) se imenuje nedoločen integral od funkcije f(x) in je označen s simbolom .

Tako po definiciji

(1)

V formuli (1) f(x) se imenuje funkcija integranda, f(x)dx – integrand, x– integracijska spremenljivka, znak nedoločenega integrala.

Operacija iskanja nedoločenega integrala funkcije se imenuje integracija to funkcijo.

Geometrično nedoločen integral je družina krivulj (vsaka številska vrednost Z ustreza določeni krivulji družine). Graf vsake antiizpeljave (krivulje) se imenuje integralna krivulja. Med seboj se ne sekata in ne dotikata. Skozi vsako točko ravnine poteka samo ena integralna krivulja. Vse integralne krivulje dobimo ena iz druge z vzporedno translacijo vzdolž osi Oh.

Osnovne lastnosti nedoločenega integrala

Oglejmo si lastnosti nedoločenega integrala, ki izhajajo iz njegove definicije.

1. Odvod nedoločenega integrala je enak integrandu, diferencial nedoločenega integrala je enak integrandu:

Dokaz.

Naj Potem

2. Nedoločen integral diferenciala določene funkcije je enak vsoti te funkcije in poljubne konstante:

Dokaz.

Res,.

3. Konstantni faktor a() lahko vzamemo kot predznak nedoločenega integrala:

4. Nedoločeni integral algebraične vsote končnega števila funkcij je enak algebraični vsoti integralov teh funkcij:

5. Če F(x) – antiderivativna funkcija f(x), to

Dokaz.

res,

6 (invariantnost integracijskih formul). Vsaka integracijska formula obdrži svojo obliko, če je integracijska spremenljivka zamenjana s katero koli diferencialno funkcijo te spremenljivke:

kje u– diferenciabilna funkcija.

Tabela osnovnih nedoločenih integralov

Ker je integracija obratno delovanje diferenciacije, lahko večino danih formul dobimo z obračanjem ustrezne formule diferenciacija. Povedano drugače, tabelo osnovnih integracijskih formul dobimo iz tabele odvodov elementarnih funkcij, ko jo beremo nazaj (od desne proti levi).

Tukaj je tabela glavnih nedoločenih integralov. (Upoštevajte, da tukaj, tako kot pri diferencialnem računu, črka u lahko pomeni tako neodvisno spremenljivko ( u=x) in funkcijo neodvisne spremenljivke ( u=u(x)).)

Integrali 1–12 se imenujejo tabelarno.

Nekatere od zgornjih formul v tabeli integralov, ki nimajo analogije v tabeli odvodov, preverimo z razlikovanjem njihovih desnih strani.

Integralni račun

veja matematike, ki preučuje lastnosti in metode izračunavanja integralov ter njihove uporabe. I. in. tesno povezan z diferencialnim računom (glej diferencialni račun) in skupaj z njim sestavlja enega glavnih delov matematične analize (ali infinitezimalne analize). Osrednji pojmi I. in. so pojmi določen integral in nedoločen integral funkcije ene realne spremenljivke.

Določen integral. Recimo, da moramo izračunati površino S"krivočrtni trapez" - figure ABCD(cm. riž. ), omejena z lokom neprekinjene črte, katere enačba je pri = f(x), segment AB os x in dve ordinati AD in B.C. Za izračun površine S osnova tega ukrivljenega trapeza AB(segment [ a, b]) delimo na n razdelke (ne nujno enake) s pikami A = x 0 x 1 x n-1 x n = b, ki označuje dolžine teh odsekov Δ x 1, Δ x 2 , ..., Δ x n ; na vsakem takem mestu so zgrajeni pravokotniki z višinami f(ξ 1), f(ξ 2), ..., f(ξ n) kjer je ξ k- nekaj točk iz segmenta [ x k - 1 , x k] (na riž. osenčen pravokotnik, zgrajen na k-ti odsek predelne stene; f (ξ k) - njegova višina). vsota S n površine sestavljenih pravokotnikov se upoštevajo kot približek površine S ukrivljen trapez:

S≈S n = f(ξ 1) Δ x 1 + f(ξ 2) Δ x 2 + f(ξ n) Δ x n

ali z uporabo simbola vsote Σ ( grško pismo"sigma"):

Določen izraz za območje krivuljnega trapeza, manjša je dolžina Δ, bolj natančna x k predelne površine. Najti natančna vrednost območje S najti moramo Sum Limit S n ob predpostavki, da število delilnih točk neomejeno narašča in največja izmed dolžin Δ x k teži k ničli.

Če abstrahiramo geometrijsko vsebino obravnavanega problema, pridemo do pojma določenega integrala funkcije f(x), zvezna na intervalu [ a, b], glede limite integralnih vsot S n na isti meji. Ta integral je označen

Simbol ∫ (razširjen S- prva črka besede Summa) se imenuje integralni znak, f(x) - funkcija integranda, števila A in b imenujemo spodnja in zgornja meja določenega integrala. če A = b, potem po definiciji domnevajo

Lastnosti določenega integrala:

(k- konstantna). Očitno je tudi, da

Izračun določenih integralov se zmanjša na probleme merjenja površin, ki jih omejujejo krivulje (problemi »iskanje kvadratur«), dolžin lokov krivulj (»ravnalne krivulje«), površin teles, volumnov teles (»iskanje kubatur«), kot tudi problemi določanja koordinat težišč, vztrajnostnih momentov, poti telesa po znani hitrosti gibanja, dela sile in mnogih drugih problemov naravoslovja in tehnologije. Na primer, dolžina loka ravninske krivulje, podana z enačbo pri = f(x) na segmentu [ a, b], izražen z integralom

obseg telesa, nastala z vrtenjem ta lok okoli osi Ox, - integral

Izvede se dejanski izračun določenih integralov na različne načine. IN v nekaterih primerih določen integral je mogoče najti z neposrednim izračunom limite ustrezne integralne vsote. Vendar večinoma tak prehod do meje je težak. Nekatere določene integrale lahko izračunamo tako, da najprej poiščemo nedoločene integrale (glej spodaj). Praviloma se je treba zateči k približnemu izračunu določenih integralov z uporabo različnih kvadraturnih formul (na primer trapezna formula (glej Trapezna formula), Simpsonova formula (glej Simpsonova formula)). Takšen približen izračun je mogoče izvesti na računalniku z absolutna napaka, ki ne presega nobene dane majhne pozitivno število. V primerih, ko ne zahtevamo velike natančnosti, za približen izračun določenih integralov uporabimo grafične metode(Glejte Grafični izračuni).

Koncept določenega integrala se razširi na primer neomejenega integracijskega intervala, pa tudi na nekatere razrede neomejenih funkcij. Takšne posplošitve imenujemo nepravi integrali(Glej Nepravilni integrali).

Izrazi kot

kje je funkcija f(x, α) je zvezna v x imenujemo od parametrov odvisni integrali. Služijo kot primarno sredstvo za učenje številnih posebnih funkcij (glejte Posebne funkcije) (glejte na primer funkcijo Gama).

Nedoločen integral. Iskanje nedoločenih integralov ali integracija je inverzna operacija diferenciacije. Pri diferenciranju dane funkcije se išče njen odvod. Nasprotno pa pri integraciji iščemo antiizpeljano (ali primitivno) funkcijo - funkcijo, katere odvod je enak dani funkciji. Torej funkcija F(x) je protiizpeljanka za to funkcijo f(x), če F"(x) = f(x) ali, kar je isto, dF(x) = f(x) dx. Ta funkcija f(x) imajo lahko različne antiizpeljave, vendar se vsi med seboj razlikujejo samo po konstantnih izrazih. Zato vse protiizpeljanke za f(x) vsebovane v izrazu F(x) + Z, ki se imenuje nedoločen integral funkcije f(x) in zapišite

Določen integral kot funkcija zgornje meje integracije

Medsebojno inverzno naravo operacij integracije in diferenciacije izražajo enačbe

To pomeni možnost pridobivanja ustreznih formul in pravil integracije iz formul in pravil diferenciacije (glej tabelo, kjer C, m, a, k- trajno in m≠ -1, A > 0).

Tabela osnovnih integralov in pravil integracije

Težavnost I. in. v primerjavi z diferencialnim računom je, da integrali elementarnih funkcij niso vedno izraženi z elementarnimi funkcijami; morda niso izraženi, kot pravijo, "v končni obliki." I. in. ima le ločene metode integracije v svoji končni obliki, od katerih je obseg vsake omejen (metode integracije so predstavljene v učbenikih matematične analize: obsežne tabele integralov so podane v številnih referenčnih knjigah).

Razred funkcij, katerih integrali so vedno izraženi v elementarnih funkcijah, vključuje množico vseh racionalnih funkcij

kje p(x) In Q(x) so polinomi. Mnoge funkcije, ki niso racionalne, se prav tako integrirajo v končni obliki, na primer funkcije, ki so racionalno odvisne od

ali iz x in racionalne moči ulomki

V končni obliki so integrirane tudi številne transcendentalne funkcije, npr racionalne funkcije sinus in kosinus. Funkcije, ki so predstavljene z nedoločenimi integrali, ki niso vzeti v končni obliki, predstavljajo nove transcendentne funkcije. Mnogi od njih so dobro raziskani (glej na primer Integralni logaritem, Integralni sinus in integralni kosinus, Integralna eksponentna funkcija).

Zgodovinski podatki. Pojav nalog I. in. povezana z iskanjem površin in volumnov. Številne probleme te vrste so rešili matematiki stare Grčije. Starodavna matematika je predvidela ideje I. in. znatno v večji meri kot diferencialni račun. Veliko vlogo pri reševanju takšnih problemov je imela metoda izčrpanja, ki jo je ustvaril Evdoks iz Knida (glej Evdoks iz Knida) in jo je široko uporabljal Arhimed. Vendar Arhimed ni izpostavil splošno vsebino integracijske tehnike in koncept integrala, še bolj pa ni ustvaril algoritma za I. in. Znanstveniki srednjega in bližnjega vzhoda v 9.–15. študiral in prevedel Arhimedova dela v nekaj, kar je javno dostopno v njihovi skupnosti arabščina, a bistveno nove rezultate v I. in. niso prejeli. Dejavnosti evropskih znanstvenikov so bile v tem času še bolj skromne. Šele v 16. in 17. st. razvoj naravoslovje je za evropsko matematiko postavil vrsto novih problemov, zlasti problem iskanja kvadratur, kubatur in določanja težišč. Arhimedova dela, prvič objavljena leta 1544 (v latinščini in grški jeziki), so začele pritegniti široko pozornost in njihova študija je bila ena najpomembnejših izhodišča nadaljnji razvoj I. in. Starodavno »nedeljivo« metodo (glej Indivisible method) je oživil J. Kepler. V več splošna oblika ideje te metode so razvili B. Cavalieri, E. Torricelli, J. Wallis, B. Pascal (glej Pascal). Številni geometrijski in mehanski problemi so bili rešeni z "nedeljivo" metodo. Objavljeno hkrati kasnejše delo P. Nosilka za kvadriranje parabol n stopnje, nato pa - dela H. Huygensa a z ravnanjem krivulj.

Kot rezultat teh študij je bila razkrita skupnost integracijskih tehnik pri reševanju na videz različnih problemov geometrije in mehanike, ki so bili reducirani na kvadrature kot geometrijski ekvivalent določenega integrala. Zadnji člen v verigi odkritij tega obdobja je bila vzpostavitev medsebojnega povratne informacije med tangentnimi in kvadraturnimi problemi, torej med diferenciacijo in integracijo. Osnovni pojmi in algoritem I. in. sta neodvisno drug od drugega ustvarila I. Newton in G. Leibniz. Slednje sodi v izraz “integralni račun” in zapis za integral ∫ ydx.

Poleg tega je v Newtonovih delih glavno vlogo igral koncept nedoločenega integrala (fluentov, glej Fluxian calculus), medtem ko je Leibniz izhajal iz koncepta določenega integrala. Nadaljnji razvoj I. in. v 18. stoletju povezana z imeni I. Bernoullija in zlasti L. Eulerja . V začetku 19. stol. I. in. skupaj z diferencialnim računom ga je obnovil O. Cauchy na podlagi teorije limitov. V razvoju I. in. v 19. stoletju Sodelovali so ruski matematiki M. V. Ostrogradsky, V. Ya. Bunyakovsky, P. L. Chebyshev. Konec 19. - začetek 20. stoletja. Razvoj teorije množic in teorije funkcij realne spremenljivke je vodil v poglobitev in posplošitev osnovnih konceptov informacije in teorije. (B. Riemann, A. Lebesgue itd.).

Lit.:Zgodba. Van der Waerden B. L., Prebujanje znanosti, prev. iz Nizozemske, M., 1959; Willeitner G., Zgodovina matematike od Descartesa do sredine 19. stoletja, prev. iz nemščine, 2. izd., M., 1966; Stroek D. Ya., Kratek esej zgodovina matematike, prev. iz nemščine, 2. izd., M., 1969; Cantor M.. Vorleslingen über Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3-4, Lpz. - B., 1901-24.

Dela ustanoviteljev in klasikov I. in. Newton I., Matematična dela, prev. iz latinščine, M.-L., 1937; Leibniz G., Izbrani odlomki iz matematičnih del, prev. z. latinščina, "Uspehi" matematične vede«, 1948, letnik 3, v. 1; Euler L., Integralni račun, trans. iz latinščine, t. 1-3, M., 1956-58; Koshy O. L., Povzetek lekcije o diferencialnem in integralnem računu, prev. iz francoščine, Petrograd, 1831; njegova, Algebrska analiza, prev. iz francoščine, Leipzig, 1864.

Učbeniki in učni pripomočki po I. in. Khinchin D. Ya., Kratek tečaj Matematična analiza, 3. izdaja, 1957; Smirnov V.I., Tečaj višja matematika, 22. izd., letnik 1, M., 1967; Fikhtengolts G. M., Tečaj diferencialnega in integralnega računa, 7. izd., Zv. 2, M., 1969; Ilyin V., Poznyak E. G., Osnove matematične analize, 3. izd., 1. del, M., 1971; Kurant R., Tečaj diferencialnega in integralnega računa, prev. z njim. in angleščina, 4. izd., 1. zv., M., 1967; Dwight G.-B., Tabele integralov in drugi matematične formule, prev. iz angleščine, M., 1964.

Uredil akademik A. N. Kolmogorov.

Velika sovjetska enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija . 1969-1978 .

Poglejte, kaj je "integralni račun" v drugih slovarjih:

Integralni račun- Integralni račun. Konstrukcija integralnih vsot za izračun določenega integrala neprekinjena funkcija f(x), katerega graf je krivulja MN. INTEGRALNI RAČUN, veja matematike, v kateri preučujejo lastnosti in metode računanja... ... Ilustrirani enciklopedični slovar

Veja matematike, ki preučuje lastnosti in metode izračuna integralov ter njihove uporabe pri reševanju različnih matematičnih, fizikalnih in drugih problemov. Integralni račun je bil v sistematični obliki predlagan v 17. stoletju. I. Newton in G... Veliki enciklopedični slovar

Oddelek za višjo matematiko, nauk o dejanjih, nasprotnih diferencialnemu izračunu, in sicer ugotavljanje odnosa med več spremenljivimi količinami glede na dano diferencialna enačba od njih. Tako obstaja...... Slovar tuje besede ruski jezik

INTEGRALNI RAČUN, glej RAČUN ... Znanstveni in tehnični enciklopedični slovar

integralni račun, veja matematike, ki preučuje lastnosti in metode izračunavanja integralov ter njihove uporabe. I. in. tesno povezana z diferencialni račun in skupaj z njim sestavlja enega glavnih delov matematične analize (ali infinitezimalne analize). Osrednji koncepti I. in. sta koncepta določenega integrala in nedoločenega integrala funkcij ene realne spremenljivke.

Določen integral. Recimo, da moramo izračunati površino S"krivočrtni trapez" - figure ABCD(cm. riž. ), omejena z lokom neprekinjene črte, katere enačba je pri = f(x), segment AB os x in dve ordinati AD in B.C. Za izračun površine S osnova tega ukrivljenega trapeza AB(segment [ a, b]) delimo na n razdelke (ne nujno enake) s pikami A = x 0 < x 1 < ... < x n-1< < x n = b, ki označuje dolžine teh odsekov D x 1,D x 2, ..., D x n ; na vsakem takem mestu so zgrajeni pravokotniki z višinami f(x 1), f(x 2), ..., f(x n) kjer je x k- nekaj točk iz segmenta [ x k - 1 , x k] (na riž. pravokotnik, zgrajen na k-tem delu pregrade, je osenčen; f (x k) - njegova višina). vsota S n površine sestavljenih pravokotnikov se upoštevajo kot približek površine S ukrivljen trapez:

S» S n = f(x 1) D x 1 + f(x 2)D x 2 + f(x n) D x n

ali z uporabo simbola za vsoto S (grška črka sigma), da skrajšamo zapis:

Navedeni izraz za območje krivuljnega trapeza je natančnejši, manjša je dolžina D x k predelne površine. Če želite najti natančno vrednost površine S treba najti omejitev zneski S n ob predpostavki, da število delilnih točk neomejeno narašča in največja od dolžin D x k teži k ničli.

Simbol ò (razširjen S- prva črka besede Summa) se imenuje integralni znak, f(x) - funkcija integranda, števila A in b imenujemo spodnja in zgornja meja določenega integrala. če A = b, potem po definiciji domnevajo

Poleg tega

Lastnosti določenega integrala:

(k- konstantna). Očitno je tudi, da

(številčna vrednost določen integral ni odvisen od izbire zapisa za integracijsko spremenljivko).

Izračun določenih integralov se zmanjša na probleme merjenja površin, ki jih omejujejo krivulje (problemi »iskanje kvadratur«), dolžin lokov krivulj (»ravnalne krivulje«), površin teles, volumnov teles (»iskanje kubatur«), kot tudi problemi določanja koordinat težišč, vztrajnostnih momentov, poti telesa po znani hitrosti gibanja, dela sile in mnogih drugih problemov naravoslovja in tehnologije. Na primer dolžina loka ravninske krivulje, podana z enačbo pri = f(x) na segmentu [ a, b], izražen z integralom

prostornina telesa, ki nastane zaradi vrtenja tega loka okoli osi Ox, - integral

površino tega telesa - z integralom

Dejanski izračun določenih integralov poteka na različne načine. V nekaterih primerih je mogoče določen integral najti z neposrednim izračunom limite ustrezne integralne vsote. Vendar je večinoma tak prehod do meje težak. Nekatere določene integrale lahko izračunamo tako, da najprej poiščemo nedoločene integrale (glej spodaj). Praviloma se je treba zateči k približnemu izračunu določenih integralov z uporabo različnih kvadraturne formule (Na primer, trapezna formula , Simpsonova formula ). Takšen približen izračun je mogoče izvesti na računalniku z absolutno napako, ki ne presega nobenega danega majhnega pozitivnega števila. V primerih, ko ni potrebna velika natančnost, se za približen izračun določenih integralov uporabljajo grafične metode (glej. Grafično računalništvo ).

Koncept določenega integrala se razširi na primer neomejenega integracijskega intervala, pa tudi na nekatere razrede neomejenih funkcij. Takšne posplošitve imenujemo nepravi integrali .

Izrazi kot

kje je funkcija f(x, a) je zvezna v x imenujemo od parametrov odvisni integrali. Služijo kot glavno sredstvo za preučevanje mnogih posebne funkcije (glej npr. Funkcija gama ).

Določen integral kot funkcija zgornje meje integracije

(»integral s spremenljivo zgornjo mejo«) je eden od protiodvodov funkcije integranda. To vam omogoča nastavitev osnovna formula I. in. (Newton-Leibnizova formula):

izražanje numerične vrednosti določenega integrala v obliki razlike med vrednostmi neke protiizpeljane funkcije integranda na zgornji in spodnji meji integracije.

Medsebojno inverzno naravo operacij integracije in diferenciacije izražajo enačbe

To pomeni možnost pridobivanja ustreznih formul in pravil integracije iz formul in pravil diferenciacije (glej tabelo, kjer C, m, a, k- trajno in m¹ -1, A > 0).

Tabela osnovnih integralov in pravil integracije

¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾

¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾

Razred funkcij, katerih integrali so vedno izraženi v elementarnih funkcijah, vključuje množico vseh racionalnih funkcij

kje p(x) In Q(x) so polinomi. Mnoge funkcije, ki niso racionalne, se prav tako integrirajo v končni obliki, na primer funkcije, ki so racionalno odvisne od

ali iz x in racionalne potence ulomka

V končni obliki so integrirane tudi številne transcendentalne funkcije, na primer racionalni funkciji sinusa in kosinusa. Funkcije, ki so predstavljene z nedoločenimi integrali, ki niso vzeti v končni obliki, predstavljajo nove transcendentne funkcije. Mnogi od njih so dobro raziskani (glej npr. Integralni logaritem , Integral sinus in integral kosinus , Integral eksponentna funkcija ).

Koncept integrala se razširi na funkcije mnogih realnih spremenljivk (glej Večkratni integral , Krivočrtni integral , Površinski integral ), kot tudi funkcije kompleksne spremenljivke (glej. Analitične funkcije ) in vektorske funkcije (glej Vektorski račun ).

Za razširitev in posplošitev koncepta integrala glej čl. Integral.

Zgodovinski podatki. Pojav nalog I. in. povezana z iskanjem površin in volumnov. Številne probleme te vrste so rešili matematiki stare Grčije. Starodavna matematika je predvidela ideje I. in. v veliko večji meri kot diferencialni račun. Imel pomembno vlogo pri reševanju tovrstnih problemov metoda izčrpavanja , ustvarjen Evdoks iz Knida in široko uporabljen Arhimed. Vendar pa Arhimed ni identificiral splošne vsebine integracijskih tehnik in koncepta integrala, še bolj pa ni ustvaril algoritma za umetno inteligenco. Znanstveniki srednjega in bližnjega vzhoda v 9.–15. študiral in prevedel Arhimedova dela v arabščino, jezik, ki je splošno dostopen v njihovem okolju, vendar bistveno nove rezultate v I. in. niso prejeli. Dejavnosti evropskih znanstvenikov so bile v tem času še bolj skromne. Šele v 16. in 17. st. Razvoj naravoslovja je pred evropsko matematiko postavil vrsto novih nalog, zlasti nalogo iskanja kvadratur, kubatur in določanja težišč. Arhimedova dela, ki so bila prvič objavljena leta 1544 (v latinščini in grščini), so začela vzbujati vsesplošno pozornost, njihovo preučevanje pa je bilo eno najpomembnejših izhodišč za nadaljnji razvoj zgodovine. Starinsko "nedeljiva" metoda je bil oživljen I. Kepler. V bolj splošni obliki je ideje te metode razvil B. Cavalieri , E. Torricelli , J. Wallis , B. Pascal. Številni geometrijski in mehanski problemi so bili rešeni z "nedeljivo" metodo. V isti čas segajo pozneje objavljena dela P.-ja. Kmetija s kvadratiranjem parabol n stopnje, nato pa - delo X. Huygens z ravnanjem krivulj.

Kot rezultat teh študij je bila razkrita skupnost integracijskih tehnik pri reševanju na videz različnih problemov geometrije in mehanike, ki so bili reducirani na kvadrature kot geometrijski ekvivalent določenega integrala. Zadnji člen v verigi odkritij tega obdobja je bila vzpostavitev medsebojne povratne zveze med problemi risanja tangent in kvadratur, torej med diferenciacijo in integracijo. Osnovni pojmi in algoritem I. in. nastale neodvisno ena od druge. Newton in G. Leibniz. Slednje sodi k izrazu “integralni račun” in oznaki za integral ò ydx.

Poleg tega je v Newtonovih delih igral glavno vlogo koncept nedoločenega integrala (fluente, glej Fluksijski račun ), medtem ko je Leibniz izhajal iz koncepta določenega integrala. Nadaljnji razvoj I. in. v 18. stoletju povezana z imeni I. Bernoulli in predvsem L. Euler. V začetku 19. stol. I. in. O. je bil obnovljen skupaj z diferencialnim računom. Cauchy temelji na teoriji meja. V razvoju I. in. v 19. stoletju Sodelovali so ruski matematiki M.V. Ostrogradskega , V. Ya. Bunyakovsky , P.L. Čebišev . Konec 19. - začetek 20. stoletja. Razvoj teorije množic in teorije funkcij realne spremenljivke je vodil v poglobitev in posplošitev osnovnih konceptov informacije in teorije. (B. Riemann , A. Lebesgue itd.).

Lit.: Zgodba. Van der Waerden B. L., Prebujanje znanosti, prev. iz Nizozemske, M., 1959; Willeitner G., Zgodovina matematike od Descartesa do sredine 19. stoletja, prev. iz nemščine, 2. izd., M., 1966; Stroek D. Ya., Kratka skica zgodovine matematike, trans. iz nemščine, 2. izd., M., 1969; Cantor M.. Vorleslingen ü ber Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3-4, Lpz. - B., 1901-24.

Dela ustanoviteljev in klasikov I. in. Newton I., Matematična dela, prev. iz latinščine, M.-L., 1937; Leibniz G., Izbrani odlomki iz matematičnih del, prev. z. Latin., “Advances in Mathematical Sciences”, 1948, letnik 3, stoletje. 1; Euler L., Integralni račun, trans. iz latinščine, t. 1-3, M., 1956-58; Koshy O. L., Povzetek lekcij o diferencialnem in integralnem računu, prev. iz francoščine, Petrograd, 1831; njegova, Algebrska analiza, prev. iz francoščine, Leipzig, 1864.

Učbeniki in učni pripomočki za I. in. Khinchin D. Ya., Kratek tečaj matematične analize, 3. izdaja, 1957; Smirnov V.I., Tečaj višje matematike, 22. izd., 1, M., 1967; Fikhtengolts G. M., Tečaj diferencialnega in integralnega računa, 7. izd., Zv. 2, M., 1969; Ilyin V., Poznyak E. G., Osnove matematične analize, 3. izd., 1. del, M., 1971; Kurant R., Tečaj diferencialnega in integralnega računa, prev. z njim. in angleščina, 4. izd., 1. zv., M., 1967; Dwight G.-B., Tabele integralov in druge matematične formule, prev. iz angleščine, M., 1964.

Uredil akademik A. N. Kolmogorov.

Velika sovjetska enciklopedija M.: "Sovjetska enciklopedija", 1969-1978