Od celih eksponentov števila a prehod na racionalni indikator. V nadaljevanju bomo definirali stopnjo z racionalnim eksponentom, in to tako, da bodo ohranjene vse lastnosti stopnje s celim eksponentom. To je potrebno, ker so cela števila del racionalnih števil.

Znano je, da je množica racionalnih števil sestavljena iz celih števil in ulomkov ter vsakega delno število lahko predstavljamo kot pozitivne ali negativne navadni ulomek. V prejšnjem odstavku smo definirali stopnjo s celoštevilskim eksponentom, zato moramo za dokončanje definicije stopnje z racionalnim eksponentom dati pomen stopnji števila a z delnim indikatorjem m/n, Kje m je celo število in n- naravno. Naredimo to.

Oglejmo si stopnjo z delnim eksponentom oblike . Da lastnost moči na moč ostane veljavna, mora veljati enakost . Če upoštevamo nastalo enakost in kako smo določili n-ti koren stopnje, potem je logično sprejeti, pod pogojem, da glede na dano m, n in a izraz ima smisel.

Enostavno je preveriti, da veljajo vse lastnosti stopnje s celim eksponentom (to je bilo storjeno v razdelku Lastnosti stopnje z racionalnim eksponentom).

Zgornje razmišljanje nam omogoča naslednje sklep: če so podani podatki m, n in a izraz ima smisel, potem pa moč števila a z delnim indikatorjem m/n imenovan koren n th stopnjo a do stopnje m.

Ta izjava nas približa definiciji stopnje z delnim eksponentom. Ostane le še opis, pri čem m, n in a izraz ima smisel. Odvisno od naloženih omejitev m, n in a Obstajata dva glavna pristopa.

1. Najlažji način je uvesti omejitev a, ko je sprejel a≥0 za pozitivno m in a>0 za negativno m(od kdaj m≤0 stopnja 0 m ni definirano). Potem dobimo naslednja definicija stopnje z delnim eksponentom.

Opredelitev.

Moč pozitivnega števila a z delnim indikatorjem m/n , Kje m- cela in n– naravno število, imenovano koren n-th števila a do stopnje m, to je .

Določena je tudi delna moč ničle z edino opozorilo, da mora biti indikator pozitiven.

Opredelitev.

Potenca ničle z delnim pozitivnim eksponentom m/n , Kje m je pozitivno celo število in n– naravno število, definirano kot .
Kadar stopnja ni določena, to je stopnja števila nič z ulomkom negativni indikator nima smisla.

Upoštevati je treba, da je pri tej definiciji stopnje z delnim eksponentom eno opozorilo: za nekatere negativne a in nekaj m in n izraz je smiseln, vendar smo te primere z uvedbo pogoja zavrgli a≥0. Na primer, vnosi so smiselni ali , in definicija, podana zgoraj, nas sili, da rečemo, da potence z delnim eksponentom oblike nima smisla, saj osnova ne sme biti negativna.

2. Drug pristop k določanju stopnje z delnim eksponentom m/n sestoji iz ločenega obravnavanja sodih in lihih eksponentov korena. Ta pristop zahteva dodatni pogoj: potenca števila a, katerega eksponent je pomanjšani navadni ulomek, se šteje za potenco števila a, katerega indikator je ustrezen nezmanjšani ulomek(Pomembnost tega pogoja bo pojasnjena spodaj). To je, če m/n je nezmanjšani ulomek, potem za vsako naravno število k stopnje se predhodno nadomesti z .

Za celo n in pozitivno m izraz je smiseln za vsako nenegativno a(celo koren negativno število nima smisla), z negativnim mštevilo a mora biti še vedno različen od nič (sicer bo prišlo do deljenja z nič). In za neparno n in pozitivno mštevilo a je lahko karkoli (root neparna stopnja določeno za katero koli realno število), in za negativno mštevilo a mora biti različen od nič (tako da ni deljenja z ničlo).

Zgornje sklepanje nas pripelje do te definicije stopnje z delnim eksponentom.

Opredelitev.

Naj m/n– nezmanjšani ulomek, m- cela in n– naravno število. Za kateri koli pomanjšani ulomek se stopnja nadomesti z . Moč števila a z nezmanjšanim delnim eksponentom m/n- to je za

o poljubno realno število a, cel pozitiven m in čudno naravno n, na primer ;

o vsako realno število, ki ni nič a, negativno celo število m in liho n, na primer, ;

o katerikoli nenegativno število a, cel pozitiven m in celo n, na primer ;

o kakršne koli pozitivne a, negativno celo število m in celo n, na primer, ;

o v drugih primerih stopnja z delnim kazalnikom ni določena, kot npr. stopnje niso definirane .a vnosu ne pripisujemo potence števila nič za pozitivne ulomke m/n kako , pri negativnih delnih eksponentih potenca števila nič ni določena.

Za zaključek te točke naj opozorimo na to frakcijski indikator stopinje lahko zapišemo kot decimalni ulomek oz mešano število, na primer . Če želite izračunati vrednosti izrazov te vrste, morate eksponent napisati v obliki navadnega ulomka in nato uporabiti definicijo eksponenta z delnim eksponentom. Za zgornje primere imamo in

Začetna raven

Stopnja in njene lastnosti. Obsežen vodnik (2019)

Zakaj so potrebne diplome? Kje jih boste potrebovali? Zakaj bi si morali vzeti čas in jih preučiti?

Izvedeti vse o diplomah, čemu so namenjene, kako uporabiti svoje znanje v vsakdanjem življenju preberi ta članek.

In, seveda, poznavanje diplom vas bo približalo uspehu mimo OGE ali enotni državni izpit in sprejem na univerzo vaših sanj.

Gremo ... (Gremo!)

Pomembna opomba! Če namesto formul vidite gobbledygook, počistite predpomnilnik. Če želite to narediti, pritisnite CTRL+F5 (v sistemu Windows) ali Cmd+R (v sistemu Mac).

ZAČETNA STOPNJA

Dvig na potenco je enak matematična operacija kot so seštevanje, odštevanje, množenje ali deljenje.

Zdaj bom vse razložil človeški jezik zelo preprosti primeri. Bodite previdni. Primeri so osnovni, vendar pojasnjujejo pomembne stvari.

Začnimo z dodajanjem.

Tukaj ni kaj razlagati. Saj že vse veš: osem nas je. Vsak ima dve steklenici kole. Koliko cole je tam? Tako je - 16 steklenic.

Zdaj pa množenje.

Isti primer s colo lahko zapišemo drugače: . Matematiki so zviti in leni ljudje. Najprej opazijo neke vzorce, nato pa ugotovijo, kako jih hitreje »prešteti«. V našem primeru so opazili, da ima vsak od osmih ljudi enako število steklenic kole, in prišli do tehnike, imenovane množenje. Strinjam se, da je lažje in hitreje kot.

Če želite šteti hitreje, lažje in brez napak, si morate le zapomniti tabela množenja. Seveda lahko vse naredite počasneje, težje in z napakami! ampak...

Tukaj je tabela množenja. ponovi

In še ena, lepša:

Katere druge pametne trike za štetje so si izmislili leni matematiki? desno - povišanje števila na potenco.

Dvig števila na potenco

Če morate število pomnožiti petkrat samo s seboj, potem matematiki pravijo, da morate to število dvigniti na peto potenco. Na primer,. Matematiki se spominjajo, da je dva na peto potenco ... In takšne težave rešujejo v svojih glavah – hitreje, lažje in brez napak.

Vse kar morate storiti je spomnite se, kaj je v tabeli potenc števil označeno z barvo. Verjemite, to vam bo zelo olajšalo življenje.

Mimogrede, zakaj se imenuje druga stopnja? kvadratštevilke, tretji pa - kocka? Kaj to pomeni? Zelo dobro vprašanje. Zdaj boste imeli kvadrate in kocke.

Primer iz resničnega življenja #1

Začnimo s kvadratom ali drugo potenco števila.

Predstavljajte si kvadratni bazen, ki meri en meter x en meter. Bazen je na vaši dachi. Vroče je in zelo si želim plavati. Ampak ... bazen nima dna! Dno bazena morate pokriti s ploščicami. Koliko ploščic potrebujete? Da bi to ugotovili, morate poznati površino dna bazena.

S prstom lahko enostavno izračunate, da je dno bazena sestavljeno iz meter za meter kock. Če imate ploščice meter krat meter, boste potrebovali kose. Enostavno... Kje ste pa že videli take ploščice? Ploščica bo najverjetneje cm za cm In potem vas bo mučilo "štetje s prstom". Potem morate pomnožiti. Tako bomo na eno stran dna bazena namestili ploščice (kose), na drugo pa tudi ploščice. Pomnožite z in dobite ploščice ().

Ste opazili, da smo za določitev površine dna bazena isto število pomnožili samo s seboj? Kaj to pomeni? Ker množimo isto število, lahko uporabimo tehniko "potenciranja". (Seveda, ko imaš samo dve števili, ju moraš še vedno pomnožiti ali dvigniti na potenco. Če pa jih imaš veliko, potem je dvig na potenco veliko lažji in tudi manj je napak pri izračunih Za enotni državni izpit je to zelo pomembno).
Torej, trideset na drugo potenco bo (). Lahko pa rečemo, da bo trideset na kvadrat. Z drugimi besedami, drugo potenco števila lahko vedno predstavimo kot kvadrat. In obratno, če vidite kvadrat, je to VEDNO druga potenca nekega števila. Kvadrat je podoba druge potence števila.

Primer iz resničnega življenja št. 2

Tukaj je naloga za vas: preštejte, koliko polj je na šahovnici s kvadratom števila ... Na eni in na drugi strani celic. Če želite izračunati njihovo število, morate osem pomnožiti z osem ali ... če opazite, da je šahovnica kvadrat s stranico, potem lahko kvadrat osem. Dobili boste celice. () Torej?

Primer iz resničnega življenja #3

Zdaj pa kocka ali tretja potenca števila. Isti bazen. Zdaj pa morate ugotoviti, koliko vode bo treba vliti v ta bazen. Izračunati morate prostornino. (Mimogrede, prostornine in tekočine se merijo v kubičnih metrov. Nepričakovano, kajne?) Narišite bazen: dno meri meter in globino meter in poskusite prešteti, koliko kock velikosti meter krat meter se prilega vašemu bazenu.

Samo pokažite s prstom in preštejte! Ena, dva, tri, štiri...dvaindvajset, triindvajset...Koliko si jih dobil? Ni izgubljen? Je težko šteti s prstom? To je to! Vzemite primer od matematikov. So leni, zato so opazili, da je treba za izračun prostornine bazena pomnožiti njegovo dolžino, širino in višino. V našem primeru bo prostornina bazena enako kockam...je lažje, kajne?

Zdaj pa si predstavljajte, kako leni in zviti so matematiki, če so tudi to poenostavili. Vse smo zreducirali na eno akcijo. Opazili so, da so dolžina, širina in višina enake in da se isto število pomnoži samo s seboj... Kaj to pomeni? To pomeni, da lahko izkoristite diplomo. Torej, kar ste nekoč šteli s prstom, storijo v enem dejanju: tri kubične je enako. Zapisano je takole:.

Vse kar ostane je zapomnite si tabelo stopinj. Razen seveda, če ste tako leni in zviti kot matematiki. Če radi trdo delate in delate napake, lahko še naprej štejete s prstom.

No, da vas končno prepričam, da so si diplome izmislili nehajoči in zviti ljudje, da bi rešili svoje življenjske težave, in da vam ne delam težav, tukaj je še nekaj primerov iz življenja.

Primer iz resničnega življenja št. 4

Imate milijon rubljev. Na začetku vsakega leta za vsak milijon, ki ga zaslužite, zaslužite še en milijon. To pomeni, da se vsak milijon, ki ga imate, podvoji na začetku vsakega leta. Koliko denarja boste imeli čez leta? Če zdaj sedite in »štejete s prstom«, potem ste zelo pridna oseba in ... neumna. Toda najverjetneje boste odgovorili v nekaj sekundah, ker ste pametni! Torej, v prvem letu - dva pomnoženo z dva ... v drugem letu - kaj se je zgodilo, še za dva, v tretjem letu ... Stop! Opazili ste, da je število pomnoženo samo s seboj. Dva na peto potenco je torej milijon! Zdaj pa si predstavljajte, da imate tekmovanje in tisti, ki zna najhitreje šteti, bo dobil te milijone ... Vredno se je spomniti na moč števil, se vam ne zdi?

Primer iz resničnega življenja #5

Imaš milijon. Na začetku vsakega leta za vsak milijon, ki ga zaslužite, zaslužite še dva. Super, kajne? Vsak milijon se potroji. Koliko denarja boste imeli čez eno leto? Preštejmo. Prvo leto - pomnoži s, nato rezultat z drugim ... Je že dolgočasno, saj si že vse razumel: tri se pomnoži s samim seboj. Torej je na četrto potenco enako milijonu. Zapomniti si morate le, da je tri na četrto potenco oz.

Zdaj veste, da si boste z dvigom števila na potenco zelo olajšali življenje. Oglejmo si še, kaj lahko storite z diplomami in kaj morate vedeti o njih.

Izrazi in pojmi... da ne bo zmede

Torej, najprej opredelimo pojme. Ali mislite kaj je eksponent? Zelo preprosto – število je tisto, ki je »na vrhu« potence števila. Ni znanstveno, ampak jasno in lahko zapomniti ...

No, hkrati pa kaj takšno diplomsko podlago? Še preprosteje - to je številka, ki se nahaja spodaj, na dnu.

Tukaj je risba za dobro mero.

No noter splošni pogled, zaradi posploševanja in boljšega pomnjenja ... Stopnja z osnovo “ ” in eksponentom “ ” se bere kot “do stopnje” in se zapiše takole:

Moč števila c naravni indikator

Verjetno ste že uganili: ker je eksponent naravno število. Ja, ampak kaj je naravno število? Osnovno! Naravna števila so tista števila, ki jih uporabljamo pri štetju pri naštevanju predmetov: ena, dva, tri ... Ko štejemo predmete, ne rečemo: »minus pet«, »minus šest«, »minus sedem«. Prav tako ne rečemo: »ena tretjina« ali »nič pika pet«. To niso naravna števila. Kaj mislite, katere številke so to?

Številke, kot so "minus pet", "minus šest", "minus sedem", se nanašajo na cela števila. Cela števila na splošno vključujejo vsa naravna števila, števila nasprotna naravnim številom (torej vzeta z znakom minus) in števila. Ničlo je lahko razumeti - je, ko ni ničesar. Kaj pomenijo negativna ("minus") števila? Vendar so bili izumljeni predvsem za označevanje dolgov: če imate stanje na telefonu v rubljih, to pomeni, da operaterju dolgujete rublje.

Vsi ulomki so racionalna števila. Kaj mislite, kako so nastali? Zelo preprosto. Pred več tisoč leti so naši predniki ugotovili, da nimajo naravnih števil za merjenje dolžine, teže, površine itd. In so se domislili racionalna števila... Zanimivo, kajne?

Več jih je iracionalna števila. Kakšne so te številke? Skratka, to je neskončen decimalni ulomek. Na primer, če obseg kroga delimo z njegovim premerom, potem dobimo ir racionalno število.

Nadaljevanje:

Opredelimo pojem stopnje, katere eksponent je naravno število (tj. celo in pozitivno).

1. Vsako število na prvo potenco je enako samemu sebi:
2. Kvadrat števila pomeni, da ga pomnožimo s samim seboj:
3. Kockati število pomeni, da ga trikrat pomnožimo s samim seboj:

Opredelitev. Povečajte število na naravna stopnja- pomeni množenje števila s samim seboj krat:
.

Lastnosti stopinj

Od kod te lastnosti? Ti bom pokazal zdaj.

Poglejmo: kaj je in ?

Po definiciji:

Koliko množiteljev je skupaj?

Zelo preprosto: faktorjem smo dodali množitelje in rezultat so množitelji.

Toda po definiciji je to potenca števila z eksponentom, to je: , kar je bilo treba dokazati.

Primer: Poenostavite izraz.

rešitev:

primer: Poenostavite izraz.

rešitev: Pomembno je omeniti, da v našem pravilu Nujno razlogi morajo biti isti!
Zato moči združujemo z bazo, vendar ostaja ločen dejavnik:

samo za produkt moči!

Tega v nobenem primeru ne smeš napisati.

2. to je to potenco števila

Tako kot pri prejšnji lastnosti se obrnemo na definicijo stopnje:

Izkazalo se je, da se izraz pomnoži sam s seboj, to je po definiciji to potenca števila:

V bistvu lahko temu rečemo "jemanje indikatorja iz oklepajev." Vendar tega nikoli ne morete storiti v celoti:

Spomnimo se formul za skrajšano množenje: kolikokrat smo želeli napisati?

Ampak to navsezadnje ni res.

Moč z negativno bazo

Do te točke smo razpravljali samo o tem, kakšen naj bo eksponent.

Toda kaj bi morala biti osnova?

V pristojnosti naravni indikator osnova je lahko poljubno število. Dejansko lahko med seboj pomnožimo poljubna števila, pa naj bodo pozitivna, negativna ali soda.

Pomislimo, kateri znaki ("" ali "") bodo imeli stopnje pozitivnih in negativnih števil?

Na primer, ali je število pozitivno ali negativno? A? ? S prvim je vse jasno: ne glede na to, koliko pozitivnih števil med seboj pomnožimo, bo rezultat pozitiven.

Toda negativni so malo bolj zanimivi. Spomnimo se preprostega pravila iz 6. razreda: "minus za minus daje plus." To je oz. Če pa pomnožimo s, deluje.

Sami določite, kakšen predznak bodo imeli naslednji izrazi:

Vam je uspelo?

Tukaj so odgovori: Upam, da je v prvih štirih primerih vse jasno? Preprosto pogledamo osnovo in eksponent ter uporabimo ustrezno pravilo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V primeru 5) tudi vse ni tako strašljivo, kot se zdi: navsezadnje ni pomembno, čemu je enaka osnova - stopnja je enakomerna, kar pomeni, da bo rezultat vedno pozitiven.

No, razen ko je osnova nič. Osnova ni enaka, kajne? Očitno ne, saj (ker).

Primer 6) ni več tako preprost!

6 primerov za vajo

Analiza rešitve 6 primerov

Če zanemarimo osmo potenco, kaj vidimo tukaj? Spomnimo se programa za 7. razred. Torej, se spomniš? To je formula za skrajšano množenje, in sicer razlika kvadratov! Dobimo:

Pazljivo poglejmo imenovalec. Izgleda zelo podobno kot eden od faktorjev števca, toda kaj je narobe? Vrstni red izrazov je napačen. Če bi bili obrnjeni, bi lahko veljalo pravilo.

Toda kako to narediti? Izkazalo se je, da je zelo enostavno: tu nam pomaga soda stopnja imenovalca.

Čudežno so se izrazi zamenjali. Ta »fenomen« se enakomerno nanaša na vsak izraz: znake v oklepajih lahko preprosto spremenimo.

Vendar si je pomembno zapomniti: vsi znaki se spremenijo hkrati!

Vrnimo se k primeru:

In spet formula:

cela imenujemo naravna števila, njihova nasprotja (torej vzeta z znakom " ") in število.

pozitivno celo število, in se ne razlikuje od naravnega, potem je vse videti tako kot v prejšnjem razdelku.

Zdaj pa poglejmo nove primere. Začnimo z indikatorjem, ki je enak.

Vsako število na ničelno potenco je enako ena:

Kot vedno se vprašajmo: zakaj je tako?

Vzemimo neko stopnjo z bazo. Vzemite na primer in pomnožite z:

Torej, število smo pomnožili z in dobili smo isto, kot je bilo - . S katerim številom morate pomnožiti, da se nič ne spremeni? Tako je, naprej. Pomeni.

Enako lahko storimo s poljubnim številom:

Ponovimo pravilo:

Vsako število na ničelno potenco je enako ena.

Vendar obstajajo izjeme od mnogih pravil. In tukaj je tudi tam - to je številka (kot osnova).

Po eni strani mora biti enaka kateri koli stopinji - ne glede na to, koliko nič pomnožite s samo seboj, boste še vedno dobili nič, to je jasno. Po drugi strani pa mora biti enako kot vsako število na ničelno potenco. Torej, koliko od tega je res? Matematiki so se odločili, da se ne bodo vpletali, in zavrnili dvig ničle na ničelno potenco. To pomeni, da zdaj ne moremo samo deliti z nič, ampak ga tudi dvigniti na ničelno moč.

Gremo dalje. Cela števila poleg naravnih števil in števil vključujejo tudi negativna števila. Da bi razumeli, kaj je negativna stopnja, naredimo kot v zadnjič: pomnoži neko običajno število z enakim v negativna stopnja:

Od tu je enostavno izraziti, kaj iščete:

Zdaj pa razširimo nastalo pravilo na poljubno stopnjo:

Torej, oblikujmo pravilo:

Število na negativno potenco je recipročna vrednost istega števila na pozitivna stopnja. Toda hkrati Osnova ne more biti ničelna:(ker ne morete deliti z).

Naj povzamemo:

I. Izraz v primeru ni definiran. Če, potem.

II. Vsako število na ničelno potenco je enako ena: .

III. Številka, ne enako nič, v negativni stopnji je inverz istega števila v pozitivni stopnji: .

Naloge za samostojno reševanje:

No, kot običajno, primeri za neodvisne rešitve:

Analiza problemov za samostojno rešitev:

Vem, vem, številke so strašljive, toda na Enotnem državnem izpitu moraš biti pripravljen na vse! Reši te primere ali analiziraj njihove rešitve, če jih nisi mogel rešiti, in naučil se boš z njimi zlahka obvladati na izpitu!

Nadaljujmo s širjenjem obsega števil, "primernih" kot eksponent.

Zdaj pa razmislimo racionalna števila. Katera števila imenujemo racionalna?

Odgovor: vse, kar je mogoče predstaviti kot ulomek, kjer sta in cela števila in.

Da bi razumeli, kaj je "frakcijska stopnja", upoštevajte ulomek:

Dvignimo obe strani enačbe na potenco:

Zdaj pa se spomnimo pravila o "stopnja do stopinje":

Katero število je treba dvigniti na potenco, da dobimo?

Ta formulacija je definicija korena th stopnje.

Naj vas spomnim: koren th potence števila () je število, ki je, ko je dvignjeno na potenco, enako.

To pomeni, da je koren th potence inverzna operacija dviga na potenco: .

Izkazalo se je, da. Očitno to poseben primer se lahko razširi: .

Zdaj dodamo števec: kaj je to? Odgovor je enostavno dobiti z uporabo pravila moči na moč:

Toda ali je lahko osnova poljubno število? Konec koncev, korena ni mogoče izvleči iz vseh števil.

nobene!

Spomnimo se pravila: vsako število, dvignjeno na sodo potenco, je pozitivno število. To pomeni, da je nemogoče izluščiti celo korenine iz negativnih števil!

To pomeni, da takih števil ni mogoče dvigniti na ulomek s sodim imenovalcem, kar pomeni, da izraz nima smisla.

Kaj pa izraz?

Tu pa nastane težava.

Število lahko predstavimo v obliki drugih, zmanjšljivih ulomkov, na primer oz.

In izkaže se, da obstaja, vendar ne obstaja, vendar sta to le dva različna zapisa iste številke.

Ali drug primer: enkrat, potem lahko zapišeš. Če pa indikator zapišemo drugače, bomo spet zašli v težave: (se pravi, dobili smo popolnoma drugačen rezultat!).

Da bi se izognili takšnim paradoksom, upoštevamo le pozitivni osnovni eksponent z delnim eksponentom.

Torej, če:

• — naravno število;
• - celo število;

Primeri:

Racionalni eksponenti so zelo uporabni za pretvorbo izrazov s koreni, na primer:

5 primerov za vajo

Analiza 5 primerov za usposabljanje

No, zdaj pa pride najtežji del. Zdaj bomo ugotovili stopnja z iracionalnim eksponentom.

Vsa pravila in lastnosti stopinj so tukaj popolnoma enaka kot za stopnjo z racionalnim eksponentom, z izjemo

Navsezadnje so po definiciji iracionalna števila števila, ki jih ni mogoče predstaviti kot ulomek, kjer sta in cela števila (to pomeni, da so iracionalna števila vsa realna števila razen racionalnih).

Pri preučevanju stopenj z naravnimi, celimi in racionalnimi eksponenti smo vsakič ustvarili določeno »podobo«, »analogijo« ali opis v bolj znanih izrazih.

Na primer, stopnja z naravnim eksponentom je število, večkrat pomnoženo s samim seboj;

...število na ničelno potenco- to je tako rekoč število, pomnoženo samo s seboj enkrat, to pomeni, da ga še niso začeli množiti, kar pomeni, da se samo število še ni pojavilo - zato je rezultat le določeno "prazno število" , in sicer številka;

...negativna cela stopnja- kot da bi prišlo do nekega "obratnega procesa", to je, da število ni bilo pomnoženo samo s seboj, ampak razdeljeno.

Mimogrede, v znanosti se pogosto uporablja diploma s kompleksnim eksponentom, torej eksponent sploh ni pravo število.

Toda v šoli ne razmišljamo o takšnih težavah; na inštitutu boste imeli priložnost razumeti te nove koncepte.

KAMOR SMO PREPRIČANI, DA BOSTE ŠLI! (če se naučiš reševati take primere :))

Na primer:

Odločite se sami:

Analiza rešitev:

1. Začnimo z običajnim pravilom za dvig moči na moč:

Zdaj pa poglejte indikator. Vas na nič ne spominja? Spomnimo se formule za skrajšano množenje razlike kvadratov:

V tem primeru

Izkazalo se je, da:

odgovor: .

2. Ulomke v eksponentih zmanjšamo na enak videz: oboje decimalno ali oboje navadno. Dobimo na primer:

Odgovor: 16

3. Nič posebnega, uporabljamo običajne lastnosti stopinj:

NAPREDNA STOPNJA

Določitev stopnje

Diploma je izraz v obliki: , kjer je:

• — diplomska osnova;
• - eksponent.

Stopnja z naravnim kazalnikom (n = 1, 2, 3,...)

Dvig števila na naravno potenco n pomeni, da število pomnožimo s samim seboj krat:

Stopnja s celim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Če je eksponent pozitivno celo številoštevilka:

Gradnja do nič stopinje:

Izraz je nedoločen, ker je po eni strani na katerikoli stopnji to, na drugi strani pa je poljubno število na th stopnjo to.

Če je eksponent negativno celo številoštevilka:

(ker ne morete deliti z).

Še enkrat o ničlah: izraz ni definiran v primeru. Če, potem.

Primeri:

Potenca z racionalnim eksponentom

• — naravno število;
• - celo število;

Primeri:

Lastnosti stopinj

Da bi lažje reševali težave, poskusimo razumeti: od kod prihajajo te lastnosti? Dokažimo jim.

Poglejmo: kaj je in?

Po definiciji:

Torej, na desni strani tega izraza dobimo naslednji produkt:

Toda po definiciji je potenca števila z eksponentom, to je:

Q.E.D.

Primer : Poenostavite izraz.

rešitev : .

Primer : Poenostavite izraz.

rešitev : Pomembno je omeniti, da v našem pravilu Nujno morajo biti isti razlogi. Zato združujemo moči z bazo, vendar ostaja ločen dejavnik:

Še nekaj pomembna opomba: to je pravilo - samo za produkt potenc!

Tega v nobenem primeru ne smeš napisati.

Tako kot pri prejšnji lastnosti se obrnemo na definicijo stopnje:

Združimo to delo takole:

Izkazalo se je, da se izraz pomnoži sam s seboj, to je po definiciji to potenca števila:

V bistvu lahko temu rečemo "jemanje indikatorja iz oklepajev." Vendar tega nikoli ne morete storiti v celoti: !

Spomnimo se formul za skrajšano množenje: kolikokrat smo želeli napisati? Ampak to navsezadnje ni res.

Moč z negativno osnovo.

Do te točke smo samo razpravljali o tem, kakšna naj bi bila indikator stopnje. Toda kaj bi morala biti osnova? V pristojnosti naravno indikator osnova je lahko poljubno število .

Dejansko lahko med seboj pomnožimo poljubna števila, pa naj bodo pozitivna, negativna ali soda. Pomislimo, kateri znaki ("" ali "") bodo imeli moč pozitivnih in negativnih števil?

Na primer, ali je število pozitivno ali negativno? A? ?

S prvim je vse jasno: ne glede na to, koliko pozitivnih števil med seboj pomnožimo, bo rezultat pozitiven.

Toda negativni so malo bolj zanimivi. Spomnimo se preprostega pravila iz 6. razreda: "minus za minus daje plus." To je oz. Če pa pomnožimo z (), dobimo - .

In tako naprej ad infinitum: z vsakim naslednjim množenjem se bo predznak spremenil. Lahko formuliramo naslednje preprosta pravila:

1. celo stopnja, - št pozitivno.
2. Negativno število povišano na liho stopnja, - št negativno.
3. Pozitivno število do katere koli stopnje je pozitivno število.
4. Nič na katero koli potenco je enako nič.

Sami določite, kakšen predznak bodo imeli naslednji izrazi:

Vam je uspelo? Tukaj so odgovori:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Upam, da je v prvih štirih primerih vse jasno? Preprosto pogledamo osnovo in eksponent ter uporabimo ustrezno pravilo.

V primeru 5) tudi vse ni tako strašljivo, kot se zdi: navsezadnje ni pomembno, čemu je enaka osnova - stopnja je enakomerna, kar pomeni, da bo rezultat vedno pozitiven. No, razen ko je osnova nič. Osnova ni enaka, kajne? Očitno ne, saj (ker).

Primer 6) ni več tako preprost. Tukaj morate ugotoviti, kaj je manj: ali? Če se tega spomnimo, postane jasno, da in s tem osnova manj kot nič. To pomeni, da uporabljamo pravilo 2: rezultat bo negativen.

In spet uporabimo definicijo stopnje:

Vse je kot običajno - zapišemo definicijo stopinj in jih razdelimo med seboj, razdelimo v pare in dobimo:

Preden ga razstavite zadnje pravilo, rešimo nekaj primerov.

Izračunajte izraze:

Rešitve :

Če zanemarimo osmo potenco, kaj vidimo tukaj? Spomnimo se programa za 7. razred. Torej, se spomniš? To je formula za skrajšano množenje, in sicer razlika kvadratov!

Dobimo:

Pazljivo poglejmo imenovalec. Izgleda zelo podobno kot eden od faktorjev števca, toda kaj je narobe? Vrstni red izrazov je napačen. Če bi bili obrnjeni, bi lahko veljalo pravilo 3. Toda kako? Izkazalo se je, da je zelo enostavno: tu nam pomaga soda stopnja imenovalca.

Če pomnožite s, se nič ne spremeni, kajne? Zdaj pa se je izkazalo takole:

Čudežno so se izrazi zamenjali. Ta »fenomen« se enakomerno nanaša na vsak izraz: znake v oklepajih lahko preprosto spremenimo. Vendar si je pomembno zapomniti: Vsa znamenja se spremenijo hkrati! Ne morete ga nadomestiti s spreminjanjem samo ene slabosti, ki nam ni všeč!

Vrnimo se k primeru:

In spet formula:

Zdaj pa še zadnje pravilo:

Kako bomo to dokazali? Seveda, kot običajno: razširimo koncept diplome in ga poenostavimo:

No, zdaj pa odprimo oklepaje. Koliko črk je skupaj? krat z množitelji - na kaj vas to spominja? To ni nič drugega kot definicija operacije množenje: Tam so bili samo množitelji. To pomeni, da je to po definiciji potenca števila z eksponentom:

primer:

Stopnja z iracionalnim eksponentom

Poleg podatkov o stopnjah za povprečno stopnjo bomo analizirali stopnjo z iracionalnim eksponentom. Vsa pravila in lastnosti stopinj so tukaj popolnoma enaka kot za stopnjo z racionalnim eksponentom, z izjemo - navsezadnje so iracionalna števila po definiciji števila, ki jih ni mogoče predstaviti kot ulomek, kjer sta in cela števila (to je iracionalna števila so vsa realna števila razen racionalnih števil).

Pri preučevanju stopenj z naravnimi, celimi in racionalnimi eksponenti smo vsakič ustvarili določeno »podobo«, »analogijo« ali opis v bolj znanih izrazih. Na primer, stopnja z naravnim eksponentom je število, večkrat pomnoženo s samim seboj; število na ničelno potenco je tako rekoč število, pomnoženo samo s seboj enkrat, to pomeni, da ga še niso začeli množiti, kar pomeni, da se samo število sploh še ni pojavilo - zato je rezultat le določen „prazna številka“, in sicer številka; stopnja s celim negativnim eksponentom - kot da bi prišlo do nekega "obratnega procesa", to pomeni, da število ni bilo pomnoženo samo s seboj, ampak razdeljeno.

Zelo težko si je predstavljati stopnjo z iracionalnim eksponentom (tako kot si je težko predstavljati 4-dimenzionalni prostor). To je povsem matematični objekt, ki so ga matematiki ustvarili, da bi koncept stopnje razširili na celoten prostor števil.

Mimogrede, v znanosti se pogosto uporablja diploma s kompleksnim eksponentom, torej eksponent sploh ni pravo število. Toda v šoli ne razmišljamo o takšnih težavah; na inštitutu boste imeli priložnost razumeti te nove koncepte.

Torej, kaj storimo, če vidimo iracionalni indikator stopnje? Trudimo se ga znebiti! :)

Na primer:

Odločite se sami:

odgovori:

1. Spomnimo se formule razlike kvadratov. Odgovor: .
2. Ulomke reduciramo na enako obliko: bodisi oba decimalna bodisi oba navadna. Dobimo na primer: .
3. Nič posebnega, uporabljamo običajne lastnosti stopinj:

POVZETEK ODDELKA IN OSNOVNE FORMULE

stopnja imenovan izraz v obliki: , kjer je:

Stopnja s celim eksponentom

stopnja, katere eksponent je naravno število (tj. celo in pozitivno).

Potenca z racionalnim eksponentom

stopnja, katere eksponent so negativna in delna števila.

Stopnja z iracionalnim eksponentom

stopnja, katere eksponent je neskončen decimalni ulomek ali koren.

Lastnosti stopinj

Značilnosti diplom.

• Negativno število povišano na celo stopnja, - št pozitivno.
• Negativno število povišano na liho stopnja, - št negativno.
• Pozitivno število do katere koli stopnje je pozitivno število.
• Nič je enaka kateri koli potenci.
• Vsako število na ničelno potenco je enako.

ZDAJ IMATE BESEDO ...

Kako vam je všeč članek? Spodaj v komentarje zapišite, ali vam je bilo všeč ali ne.

Povejte nam o svojih izkušnjah z uporabo lastnosti diplom.

Morda imate vprašanja. Ali predlogi.

Zapiši v komentarje.

Pa srečno na izpitih!

V tem članku bomo ugotovili, kaj je to moč števila. Tukaj bomo podali definicije moči števila, medtem ko bomo podrobno obravnavali vse možne eksponente, začenši z naravnim eksponentom in konča z iracionalnim. V gradivu boste našli veliko primerov diplom, ki pokrivajo vse podrobnosti, ki se pojavijo.

Navigacija po strani.

Potenca z naravnim eksponentom, kvadrat števila, kub števila

Začnimo z. Če pogledamo naprej, recimo, da je za a podana definicija potence števila a z naravnim eksponentom n, ki jo bomo imenovali diplomska osnova, in n, ki ga bomo imenovali eksponent. Upoštevamo tudi, da je stopnja z naravnim eksponentom določena s produktom, zato morate za razumevanje spodnjega gradiva razumeti množenje števil.

Opredelitev.

Potenca števila z naravnim eksponentom n je izraz oblike a n, katerega vrednost je enaka produktu n faktorjev, od katerih je vsak enak a, to je .
Zlasti potenca števila a z eksponentom 1 je samo število a, to je a 1 =a.

Takoj je vredno omeniti pravila za branje diplom. Univerzalna metoda branje vnosa a n je: "a na potenco n". V nekaterih primerih so sprejemljive tudi naslednje možnosti: "a na n-to potenco" in "n-ta potenca a". Na primer, vzemimo potenco 8 12, to je "osem na potenco dvanajst" ali "osem na dvanajsto potenco" ali "dvanajsta potenca osem".

Druga potenca števila, kot tudi tretja potenca števila, imata svoja imena. Druga potenca števila se imenuje kvadrat številke, na primer, 7 2 se bere kot "sedem na kvadrat" ali "kvadrat števila sedem." Tretja potenca števila se imenuje kubna števila, na primer, 5 3 lahko beremo kot "pet kock" ali lahko rečemo "kocka števila 5".

Čas je za prinesti primeri stopinj z naravnimi eksponenti. Začnimo s stopnjo 5 7, tukaj je 5 osnova stopnje, 7 pa eksponent. Navedimo še en primer: 4,32 je osnova, naravno število 9 pa eksponent (4,32) 9 .

Upoštevajte, da v zadnji primer Osnova stopnje 4.32 je zapisana v oklepaju: v izogib neskladjem bomo v oklepaju zapisali vse osnove stopnje, ki se razlikujejo od naravnih števil. Kot primer navajamo naslednje stopnje z naravnimi eksponenti , njuni osnovi nista naravna števila, zato sta zapisani v oklepaju. No, zaradi popolne jasnosti bomo na tej točki prikazali razliko v zapisih v obliki (−2) 3 in −2 3. Izraz (−2) 3 je potenca števila −2 z naravnim eksponentom 3, izraz −2 3 (lahko ga zapišemo kot −(2 3) ) ustreza številu, vrednosti potence 2 3 .

Upoštevajte, da obstaja zapis za potenco števila a z eksponentom n v obliki a^n. Poleg tega, če je n večvredno naravno število, potem je eksponent vzet v oklepajih. Na primer, 4^9 je še en zapis za potenco 4 9 . Tukaj je še nekaj primerov pisanja stopinj z uporabo simbola “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . V nadaljevanju bomo uporabljali predvsem stopenjski zapis oblike a n .

Eden od problemov, ki je inverzen povišanju na potenco z naravnim eksponentom, je problem iskanja osnove potence z znana vrednost stopnja in znan indikator. Ta naloga vodi do.

Znano je, da je množica racionalnih števil sestavljena iz celih števil in ulomkov, vsak ulomek pa lahko predstavimo kot pozitiven ali negativen navadni ulomek. V prejšnjem odstavku smo definirali stopnjo s celoštevilskim eksponentom, zato moramo za dokončanje definicije stopnje z racionalnim eksponentom dati pomen potenci števila a z delnim eksponentom m/n, kjer je m je celo število in n je naravno število. Naredimo to.

Oglejmo si stopnjo z delnim eksponentom oblike . Da lastnost moči na moč ostane veljavna, mora veljati enakost . Če upoštevamo nastalo enakost in kako smo določili , potem je logično, da jo sprejmemo, pod pogojem, da je glede na m, n in a izraz smiseln.

Enostavno je preveriti, da veljajo vse lastnosti stopnje s celim eksponentom (to je bilo storjeno v razdelku Lastnosti stopnje z racionalnim eksponentom).

Zgornje razmišljanje nam omogoča naslednje sklep: če je podano z m, n in a je izraz smiseln, potem se potenca a z ulomljenim eksponentom m/n imenuje n-ti koren iz a na potenco m.

Ta izjava nas približa definiciji stopnje z delnim eksponentom. Vse kar ostane je, da opišemo, pri katerih m, n in a je izraz smiseln. Glede na omejitve, ki veljajo za m, n in a, obstajata dva glavna pristopa.

Najlažji način je naložiti omejitev na a tako, da vzamemo a≥0 za pozitivni m in a>0 za negativni m (ker za m≤0 stopnja 0 od m ni definirana). Nato dobimo naslednjo definicijo stopnje z delnim eksponentom.

Opredelitev.

Potenca pozitivnega števila a z ulomkom eksponenta m/n, kjer je m celo število in n naravno število, imenujemo n-ti koren števila a na potenco m, to je .

Določena je tudi delna moč ničle z edino opozorilo, da mora biti indikator pozitiven.

Opredelitev.

Potenca ničle z delnim pozitivnim eksponentom m/n, kjer je m pozitivno celo število in n naravno število, je definiran kot .
Kadar stopnja ni določena, torej stopnja števila nič z ulomljenim negativnim eksponentom ni smiselna.

Opozoriti je treba, da je pri tej definiciji stopnje z delnim eksponentom eno opozorilo: za nekatere negativne a in nekatere m in n je izraz smiseln, te primere pa smo zavrgli z uvedbo pogoja a≥0. Na primer, vnosi so smiselni ali , in definicija, podana zgoraj, nas sili, da rečemo, da potence z delnim eksponentom oblike nima smisla, saj osnova ne sme biti negativna.

Drug pristop k določanju stopnje z delnim eksponentom m/n je ločeno upoštevanje sodih in lihih eksponentov korena. Ta pristop zahteva dodaten pogoj: potenca števila a, katerega eksponent je , velja za potenco števila a, katerega eksponent je ustrezen nezmanjšani ulomek (pomembnost tega pogoja bomo pojasnili spodaj ). To pomeni, da če je m/n nezmanjšani ulomek, se za vsako naravno število k stopnja najprej nadomesti z .

Za sodo n in pozitivno m je izraz smiseln za kateri koli nenegativen a (sodi koren negativnega števila ni smiseln za negativno m, število a mora biti še vedno različno od nič (sicer bo prišlo do deljenja). z ničlo). Za liho n in pozitivno m je lahko število a poljubno (koren lihe stopnje je definiran za katero koli realno število), za negativno m pa mora biti število a različno od nič (tako da ni deljenja z nič).

Zgornje sklepanje nas pripelje do te definicije stopnje z delnim eksponentom.

Opredelitev.

Naj bo m/n nezmanjšljiv ulomek, m celo število in n naravno število. Za vsak pomanjšani ulomek se stopnja nadomesti z . Potenca števila z nezmanjšanim ulomkom eksponentom m/n je za



Naj pojasnimo, zakaj stopnjo z zmanjšanim delnim eksponentom najprej zamenjamo s stopnjo z nezmanjšanim eksponentom. Če bi preprosto definirali stopnjo kot , in ne bi naredili pridržka glede nezmanjšanosti ulomka m/n, potem bi se soočili s podobnimi situacijami: ker je 6/10 = 3/5, mora enakost veljati , Ampak , A .

Video lekcija "Eksponent z racionalnim eksponentom" vsebuje sliko izobraževalno gradivo poučevati lekcijo o tej temi. Video lekcija vsebuje informacije o konceptu stopnje z racionalnim eksponentom, lastnostih takih stopenj, pa tudi primere, ki opisujejo uporabo učnega gradiva za reševanje praktični problemi. Namen te video lekcije je jasno in jasno predstaviti učno gradivo, olajšati njegov razvoj in pomnjenje študentov ter razviti sposobnost reševanja problemov z uporabo naučenih pojmov.

Glavne prednosti video lekcije so zmožnost vizualnega izvajanja transformacij in izračunov, zmožnost uporabe animacijskih učinkov za izboljšanje učinkovitosti učenja. Glasovno vodenje pomaga razvijati pravilno matematični govor, omogoča pa tudi zamenjavo učiteljeve razlage in ga tako sprosti za samostojno delo.

Video lekcija se začne s predstavitvijo teme. Povezovanje študij nova tema pri predhodno preučenem gradivu predlagamo, da si zapomnimo, da je n √a sicer označen z 1/n za naravni n in pozitivni a. Ta predstavitev n-root se prikaže na zaslonu. Nato je predlagano, da razmislimo, kaj pomeni izraz a m/n, v katerem je a pozitivno število, m/n pa nek ulomek. Podana je definicija stopnje z racionalnim eksponentom kot m/n = n √a m, poudarjena v okvirju. Opozoriti je treba, da je lahko n naravno število, in m je celo število.

Po določitvi stopnje z racionalnim eksponentom je njen pomen razkrit s primeri: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Prikazan je tudi primer, v katerem diploma, ki jo predstavlja decimalno, se pretvori v navadni ulomek predstaviti kot koren: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 in primer z negativna vrednost stopinje: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

Posebej je navedena posebnost posebnega primera, ko je osnova stopnje nič. Ugotovljeno je, da ta diploma je smiselno samo s pozitivnim delnim eksponentom. V tem primeru je njegova vrednost enaka nič: 0 m/n =0.

Opažena je še ena značilnost stopnje z racionalnim eksponentom - da stopnje z delnim eksponentom ni mogoče obravnavati z delnim eksponentom. Podani so primeri nepravilnega zapisa stopinj: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Nato v video lekciji razpravljamo o lastnostih stopnje z racionalnim eksponentom. Upoštevajte, da bodo lastnosti stopnje s celim eksponentom veljale tudi za stopnjo z racionalnim eksponentom. Predlaga se odpoklic seznama lastnosti, ki veljajo tudi v tem primeru:

1. Pri množenju potence z enakimi osnovami se njihovi eksponenti seštejejo: a p a q =a p+q.
2. Delitev stopenj z enakimi osnovami zmanjšamo na stopnjo z dano osnovo in razliko v eksponentih: a p:a q =a p-q.
3. Če stopnjo dvignemo na določeno potenco, potem dobimo stopnjo z dano osnovo in produktom eksponentov: (a p) q =a pq.

Vse te lastnosti veljajo za potence z racionalnimi eksponenti p, q in pozitivno osnovo a>0. Tudi stopenjske transformacije pri odpiranju oklepajev ostanejo resnične:

1. (ab) p =a p b p - povišanje na neko potenco z racionalnim eksponentom se zmnožek dveh števil reducira na zmnožek števil, od katerih je vsako povzdignjeno na dano potenco.
2. (a/b) p =a p /b p - dvig ulomka na potenco z racionalnim eksponentom se zmanjša na ulomek, katerega števec in imenovalec sta povišana na dano potenco.

Video vadnica obravnava reševanje primerov, ki uporabljajo obravnavane lastnosti potenc z racionalnim eksponentom. Prvi primer od vas zahteva, da poiščete vrednost izraza, ki vsebuje spremenljivke x delna moč: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Kljub zapletenosti izraza ga je z uporabo lastnosti potenc mogoče rešiti povsem preprosto. Reševanje problema se začne s poenostavitvijo izraza, ki uporablja pravilo dvigovanja potence z racionalnim eksponentom na potenco, kot tudi množenje potenc z enaka osnova. Po zamenjavi nastavljeno vrednost x=8 v poenostavljenem izrazu x 1/3 +48, ​​je enostavno dobiti vrednost - 50.

V drugem primeru morate zmanjšati ulomek, katerega števec in imenovalec vsebujeta potence z racionalnim eksponentom. Z uporabo lastnosti stopnje izluščimo iz razlike faktor x 1/3, ki ga nato zmanjšamo v števcu in imenovalcu, s pomočjo formule za razliko kvadratov pa faktoriziramo števec, kar da nadaljnje redukcije enakih faktorjev v števcu in imenovalcu. Rezultat takih transformacij je kratki ulomek x 1/4 +3.

Video lekcijo "Eksponent z racionalnim eksponentom" lahko uporabite namesto učiteljeve razlage nove teme lekcije. Tudi ta priročnik vsebuje dovolj popolne informacije Za samostojno učenještudent. Gradivo je lahko uporabno tudi pri študiju na daljavo.

MBOU "Sidorskaya"

srednja šola»

Izdelava okvirnega načrta odprta lekcija

pri algebri v 11. razredu na temo:

Pripravljeno in izvedeno

učiteljica matematike

Iskhakova E.F.

Oris odprte ure algebre v 11. razredu.

Predmet : "Stopnja z racionalnim eksponentom."

Vrsta lekcije : Učenje nove snovi

Cilji lekcije:

Seznanite študente s pojmom stopnje z racionalnim eksponentom in njenimi glavnimi lastnostmi na podlagi predhodno preučenega gradiva (stopnja s celim eksponentom).

Razviti računalniške sposobnosti in sposobnost pretvorbe in primerjave števil z racionalnimi eksponenti.

Pripeljite matematično pismenost in zanimanje za matematiko med učenci.

Oprema : Kartice z nalogami, predstavitev študentov po stopnjah s celim kazalnikom, predstavitev učiteljev po stopnjah z racionalnim kazalnikom, prenosni računalnik, multimedijski projektor, platno.

Napredek lekcije:

Organizacijski trenutek.

Preverjanje obvladovanja obravnavane teme s posameznimi nalogami.

Naloga št. 1.

=2;

B) =x + 5;

Reši sistem iracionalne enačbe: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Naloga št. 2.

Rešite iracionalno enačbo: = - 3;

B) = x - 2;

Rešite sistem iracionalnih enačb: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

Sporočite temo in cilje lekcije.

Tema naše današnje lekcije je " Potenca z racionalnim eksponentom».

Razlaga nove snovi na primeru predhodno preučenega gradiva.

S konceptom stopnje s celim eksponentom že poznate. Kdo mi jih bo pomagal zapomniti?

Ponovitev z uporabo predstavitve " Stopnja s celim eksponentom».

Za poljubna števila a, b in poljubna cela števila m in n veljajo enakosti:

a m * a n =a m+n ;

a m: a n =a m-n (a ≠ 0);

(a m) n = a mn ;

(a b) n = a n * b n ;

(a/b) n = a n /b n (b ≠ 0) ;

a 1 =a;

a 0 = 1(a ≠ 0) Danes bomo posplošili pojem potence števila in osmislili izraze, ki imajo ulomek. Predstavimo se definicija

stopnje z racionalnim eksponentom (predstavitev "Stopnja z racionalnim eksponentom"): > Moč a 0 z racionalnim eksponentom = r m , Kje n je celo število in n > – naravno ( m .

1), poklicali številko = Torej, po definiciji to dobimo .

m

Poskusimo to definicijo uporabiti pri izpolnjevanju naloge.

PRIMER št. 1

Izraz predstavim kot koren števila: A) B) .

IN)

Zdaj pa poskusimo to definicijo uporabiti obratno

Izraz predstavim kot koren števila: 2 A) B) 5 .

II Izraz izrazi kot potenco z racionalnim eksponentom:

0 Potenca 0 je definirana samo za pozitivne eksponente. r Potenca 0 je definirana samo za pozitivne eksponente.> 0.

= 0 za katero koli Uporaba, ta definicija Hiše

izpolnili boste #428 in #429.

Pokažimo zdaj, da so z zgoraj formulirano definicijo stopnje z racionalnim eksponentom ohranjene osnovne lastnosti stopinj, ki veljajo za vse eksponente.

1 0 Za poljubna racionalna števila r in s ter poljubna pozitivna a in b veljajo naslednje enakosti: Potenca 0 je definirana samo za pozitivne eksponente. . a a s =a ;

r+s: *

PRIMER

2 0 . a r: a s =a r-s ; :

3 0 . (PRIMER:

a r) s =a rs; -2/3

4 0 . ( PRIMER: () Potenca 0 je definirana samo za pozitivne eksponente. = ab Potenca 0 je definirana samo za pozitivne eksponente. a Potenca 0 je definirana samo za pozitivne eksponente. ; 5 0 . ( = .

b 4) 1/2 ; ( ) 1/2

PRIMER: (25 * : .

PRIMER uporabe več lastnosti hkrati:

Peresa smo položili na mizo, poravnali hrbet, zdaj pa sežemo naprej, želimo se dotakniti table. Zdaj smo ga dvignili in se nagnili desno, levo, naprej, nazaj. Pokazal si mi svoje roke, zdaj pa mi pokaži, kako lahko plešejo tvoji prsti.

Delo na gradivu

Opozorimo še na dve lastnosti potenc z racionalnimi eksponenti:

6 0 . Naj r je racionalno število in 0< a < b . Тогда

ab Potenca 0 je definirana samo za pozitivne eksponente. < b Potenca 0 je definirana samo za pozitivne eksponente. pri r> 0,

ab Potenca 0 je definirana samo za pozitivne eksponente. < b Potenca 0 je definirana samo za pozitivne eksponente. pri r< 0.

7 0 . Za poljubna racionalna številaPotenca 0 je definirana samo za pozitivne eksponente. in a iz neenakosti Potenca 0 je definirana samo za pozitivne eksponente.> a iz tega sledi

ab Potenca 0 je definirana samo za pozitivne eksponente.>a Potenca 0 je definirana samo za pozitivne eksponente. za a > 1,

ab Potenca 0 je definirana samo za pozitivne eksponente. < а Potenca 0 je definirana samo za pozitivne eksponente. ob 0< а < 1.

PRIMER: Primerjajte številke:

IN ; 2 300 in 3 200 .

Povzetek lekcije:

Danes smo se pri pouku spomnili lastnosti stopnje s celim eksponentom, spoznali definicijo in osnovne lastnosti stopnje z racionalnim eksponentom ter razmislili o uporabi tega teoretično gradivo v praksi pri izvajanju vaj. Rad bi vas opozoril na dejstvo, da je tema "Eksponent z racionalnim eksponentom" obvezna v Naloge enotnega državnega izpita. V pripravi domača naloga (št. 428 in št. 429