Racionalna funkcija je ulomek oblike , katerega števec in imenovalec sta polinoma ali produkta polinoma.

Primer 1. 2. korak

.

Nedoločene koeficiente pomnožimo s polinomi, ki niso v tem posameznem ulomku, so pa v drugih nastalih ulomkih:

Odprite oklepaje in izenačite števec prvotnega integranda z nastalim izrazom:

V obeh straneh enačbe iščemo člene z enakimi potencami x in iz njih sestavimo sistem enačb:

.

Prekličemo vse X-ke in dobimo enakovreden sistem enačbe:

.

Tako končna razširitev integranda v vsoto enostavni ulomki:

.

Primer 2. 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razgradnjo prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

.

Zdaj začnemo iskati negotove koeficiente. Da bi to naredili, izenačimo števec prvotnega ulomka v funkcijskem izrazu s števcem izraza, dobljenega po zmanjševanju vsote ulomkov na skupni imenovalec:

Zdaj morate sestaviti in rešiti sistem enačb. Da bi to naredili, izenačimo koeficiente spremenljivke z ustrezno stopnjo v števcu prvotnega izraza funkcije in podobne koeficiente v izrazu, pridobljenem v prejšnjem koraku:

Rešimo nastali sistem:

Torej, od tukaj

.

Primer 3. 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razgradnjo prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

Začnemo iskati negotove koeficiente. Da bi to naredili, izenačimo števec prvotnega ulomka v funkcijskem izrazu s števcem izraza, dobljenega po zmanjševanju vsote ulomkov na skupni imenovalec:

Kot v prejšnjih primerih sestavimo sistem enačb:

Zmanjšamo x in dobimo enakovredni sistem enačb:

Reševanje sistema, dobimo naslednje vrednosti negotovi koeficienti:

Dobimo končno razgradnjo integranda v vsoto enostavnih ulomkov:

.

Primer 4. 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razgradnjo prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

.

Iz prejšnjih primerov že vemo, kako enačiti števec prvotnega ulomka z izrazom v števcu, ki ga dobimo, ko ulomek razstavimo na vsoto enostavnih ulomkov in to vsoto spravimo na skupni imenovalec. Zato samo za namene nadzora predstavljamo nastali sistem enačb:

Z reševanjem sistema dobimo naslednje vrednosti negotovih koeficientov:

Dobimo končno razgradnjo integranda v vsoto enostavnih ulomkov:

Primer 5. 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razgradnjo prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

.

To vsoto neodvisno reduciramo na skupni imenovalec, pri čemer števec tega izraza enačimo s števcem prvotnega ulomka. Rezultat bi moral biti naslednji sistem enačbe:

Z reševanjem sistema dobimo naslednje vrednosti negotovih koeficientov:

.

Dobimo končno razgradnjo integranda v vsoto enostavnih ulomkov:

.

Primer 6. 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razgradnjo prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

S to količino izvajamo enaka dejanja kot v prejšnjih primerih. Rezultat bi moral biti naslednji sistem enačb:

Z reševanjem sistema dobimo naslednje vrednosti negotovih koeficientov:

.

Dobimo končno razgradnjo integranda v vsoto enostavnih ulomkov:

.

Primer 7. 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razgradnjo prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

.

Po določenih dejanjih z nastalo količino je treba dobiti naslednji sistem enačb:

Z reševanjem sistema dobimo naslednje vrednosti negotovih koeficientov:

Dobimo končno razgradnjo integranda v vsoto enostavnih ulomkov:

.

Primer 8. 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razgradnjo prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

.

Naredimo nekaj sprememb v dejanjih, ki so bila že avtomatizirana, da dobimo sistem enačb. Obstaja umetna tehnika, ki v nekaterih primerih pomaga preprečiti nepotrebne izračune. Če vsoto ulomkov spravimo na skupni imenovalec, dobimo in izenačimo števec tega izraza s števcem prvotnega ulomka, dobimo.

MINISTRSTVO ZA ZNANOST IN IZOBRAŽEVANJE REPUBLIKE BAŠKORTO STAN

SAOU SPO Bashkir College of Architecture and Civil Engineering

Khaliullin Ashat Adelzyanovič,

učitelj matematike na Bashkirsky

Visoka šola za arhitekturo in gradbeništvo

UFA

2014

Uvod _________________________________________________3

Odsek JAZ. Teoretični vidiki z uporabo metode negotovi koeficienti ______________________________________________4

Odsek II. Išče rešitve problemov s polinomi z metodo nedoločenih koeficientov_________________________________7

2.1.Razlaganje polinoma na faktorje__________________ 7

2.2. Težave s parametri_________________________________ 10

2.3. Reševanje enačb_________________________________________________14

2.4. Funkcijske enačbe__________________________19

Zaključek________________________________________________23

Seznam uporabljene literature__________________________________________24

Aplikacija ________________________________________________25

Uvod.

to delo je posvečen teoretičnim in praktičnim vidikom uvajanja metode nedoločenih koeficientov v šolski tečaj matematike. Relevantnost te teme določajo naslednje okoliščine.

Nihče ne bo oporekal dejstvu, da matematika kot znanost ne stoji na enem mestu, nenehno se razvija, pojavljajo se novi problemi. povečana kompleksnost, kar pogosto povzroča težave, saj so te naloge običajno povezane z raziskovanjem. Takšne naloge v Zadnja leta so bile ponujene na šolskem, okrožnem in republiškem matematične olimpijade, na voljo pa so tudi v Možnosti enotnega državnega izpita. Zato je bilo potrebno posebna metoda, s čimer bi vsaj nekatere izmed njih rešili najhitreje, učinkovito in ugodno. V tem delu je jasno predstavljena vsebina metode nedoločenih koeficientov, ki se široko uporablja na najrazličnejših področjih matematike, od vprašanj, vključenih v splošno izobraževalni tečaj, do njegovih najbolj naprednih delov. Posebej zanimive in učinkovite so predvsem aplikacije metode nedoločenih koeficientov pri reševanju problemov s parametri, ulomljenih racionalnih in funkcionalnih enačb; zlahka zanimajo vsakogar, ki ga zanima matematika. glavni cilj predlaganega dela in izbora problemov je zagotoviti veliko priložnosti za izpopolnjevanje in razvoj sposobnosti iskanja kratkih in inovativnih rešitev.

To delo je sestavljeno iz dveh poglavij. Prvi obravnava teoretične vidike uporabe

metoda negotovih koeficientov, in drugič, praktični in metodološki vidiki takšne uporabe.

Priloga k delu vsebuje pogoje posebne naloge Za neodvisna odločitev.

Odsek jaz . Teoretični vidiki uporabe metoda nedoločenih koeficientov

»Človek ... je rojen, da postane mojster,

vladar, kralj narave, a modrost,

s katerim mora vladati, mu ni dano

od rojstva: pridobi se z učenjem"

N.I.Lobačevski

obstajati različne načine in metode za reševanje problemov, vendar je ena najbolj priročnih, najučinkovitejših, izvirnih, elegantnih in hkrati zelo enostavnih in vsem razumljivih metoda nedoločenih koeficientov. Metoda nedoločenih koeficientov je metoda, ki se uporablja v matematiki za iskanje koeficientov izrazov, katerih oblika je vnaprej znana.

Preden razmislimo o uporabi metode nedoločenih koeficientov pri reševanju različnih vrst problemov, podajamo številne teoretične informacije.

Naj se dajo

A n (x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + ··· + a n-1 x + a n

B m (x ) = b 0 x m + b 1 x m -1 + b 2 x m -2 + ··· + b m-1 x + b m ,

relativni polinomi X z vsemi kvotami.

Izrek. Dva polinoma, odvisna od enega in isti argument identično enak, če in samo čen = m in njuni ustrezni koeficienti so enakia 0 = b 0 , a 1 = b 1 , a 2 = b 2 ,··· , a n -1 = b m -1 , a n = b m in T. d.

Očitno veljajo enaki polinomi za vse vrednosti X iste vrednosti. Nasprotno, če sta vrednosti dveh polinomov enaki za vse vrednosti X, nato polinome so enaki, to je njuni koeficienti pri enake stopinje X ujemati se.

Zato je ideja o uporabi metode nedoločenih koeficientov za reševanje problemov naslednja.

Naj vemo, da je kot rezultat nekaterih transformacij dobljen izraz določene vrste neznani pa so samo koeficienti v tem izrazu. Potem so ti koeficienti označeni s črkami in obravnavani kot neznanke. Nato se sestavi sistem enačb za določitev teh neznank.

Na primer, v primeru polinomov so te enačbe sestavljene iz pogoja, da so koeficienti enaki pri enakih potencah X za dva enaka polinoma.

Zgoraj povedano bomo prikazali v nadaljevanju konkretni primeri, in začnimo z najpreprostejšim.

Tako je na primer na podlagi teoretičnih premislekov ulomek

lahko predstavimo kot vsoto

, Kje a , b in c - koeficientov, ki jih je treba določiti. Da jih najdemo, izenačimo drugi izraz s prvim:

=

in se osvobodimo imenovalca in zbiramo izraze z enakimi močmi na levi X, dobimo:

(a + b + c )X 2 + ( b - c )x - a = 2X 2 – 5 X– 1

Ker mora zadnja enakost veljati za vse vrednosti X, nato koeficientov pri istih stopinjahX desno in levo morata biti enaka. Tako dobimo tri enačbe za določitev treh neznanih koeficientov:

a+b+c = 2

b - c = - 5

A= 1, od koder a = 1 , b = - 2 , c = 3

torej

=
,

veljavnost te enakosti je lahko neposredno preveriti.

Recimo, da morate predstaviti tudi ulomek

kot a + b
+ c
+ d
, Kje a , b , c in d- neznano racionalni koeficienti. Drugi izraz enačimo s prvim:

a + b
+ c
+ d
=
ali, znebiti se imenovalca, odstraniti, kjer je mogoče, racionalne dejavnike izpod znakov korenin in prinesti podobni člani na levi strani dobimo:

(a- 2 b + 3 c ) + (- a+b +3 d )
+ (a+c - 2 d )
+

+ (b - c + d )
= 1 +
-
.

Toda takšna enakost je možna le v primeru, ko so racionalni členi obeh delov in koeficienti istih radikalov enaki. Tako dobimo štiri enačbe za iskanje neznanih koeficientov a , b , c in d :

a- 2b+ 3c = 1

- a+b +3 d = 1

a+c - 2 d = - 1

b - c + d= 0, od koder a = 0 ; b = - ; c = 0 ; d=, to je
= -
+
.

Poglavje II. Išče rešitve problemov s polinomi metoda nedoločenih koeficientov.

»Nič ne prispeva k obvladovanju predmeta bolje kot

vrsta akcije z njim v različne situacije »

Akademik B. V. Gnedenko

2. 1. Faktoriziranje polinoma.

Metode faktoriziranja polinomov:

1) postavljanje skupnega faktorja izven oklepaja; 2) metoda združevanja; 3) aplikacija osnovne formule množenje; 4) uvedba pomožnih členov 5) predhodna transformacija danega polinoma z uporabo določenih formul; 6) razširitev z iskanjem korenin danega polinoma; 7) način vnosa parametra; 8)metoda nedoločenih koeficientov.

Naloga 1. Polinom razložite na realne faktorje X 4 + X 2 + 1 .

rešitev. Med delitelji prostega člena tega polinoma ni korenin. Korenov polinoma ne moremo najti z drugimi osnovnimi sredstvi. Zato ni mogoče izvesti zahtevane ekspanzije tako, da najprej poiščemo korenine tega polinoma. Ostaja iskanje rešitve problema z uvedbo pomožnih členov ali z metodo nedoločenih koeficientov. To je očitno X 4 + X 2 + 1 = X 4 + X 3 + X 2 - X 3 - X 2 - X + X 2 + X + 1 =

= X 2 (X 2 + X + 1) - X (X 2 + X + 1) + X 2 + X + 1 =

= (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Nastali kvadratni trinomi nimajo korenin in so zato nerazgradljivi na prave linearne faktorje.

Opisana metoda je tehnično enostavna, vendar težavna zaradi svoje umetnosti. Dejansko je zelo težko priti do potrebnih pomožnih izrazov. Samo ugibanje nam je pomagalo najti to razgradnjo. Ampak

jih je več zanesljive metode rešitve za tovrstne težave.

Lahko bi nadaljevali takole: predpostavimo, da dani polinom razpade v produkt

(X 2 + A X + b )(X 2 + c X + d )

dva kvadratna trinoma s celimi koeficienti.

Tako bomo imeli to

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + A X + b )(X 2 + c X + d )

Ostaja še določitev koeficientova , b , c in d .

Če pomnožimo polinome na desni strani zadnje enakosti, dobimo:X 4 + X 2 + 1 = X 4 +

+ (a + c ) X 3 + (b + A c + d ) X 2 + (oglas + pr ) x + bd .

Ampak saj moramo desni del ta enakost se je spremenila v isti polinom, ki je na levi strani, zahtevamo izpolnitev naslednje pogoje:

a + c = 0

b + A c + d = 1

oglas + pr = 0

bd = 1 .

Rezultat je sistem štirih enačb s štirimi neznankamia , b , c in d . Iz tega sistema je enostavno najti koeficientea = 1 , b = 1 , c = -1 in d = 1.

Zdaj je problem popolnoma rešen. Imamo:

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Naloga 2. Razloži polinom na realne faktorje X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 .

rešitev. Predstavimo ta polinom v obliki

X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X + A )(X 2 + bx + c) , Kje a , b in z - koeficienti še niso določeni. Ker sta dva polinoma identično enaka, če in samo če sta koeficienta enakih potencX so enaki, torej enačenje koeficientov zaX 2 , X in prostih pogojih, dobimo sistem tri enačbe s tremi neznankami:

a+b= - 6

ab + c = 14

ac = - 15 .

Rešitev tega sistema bo močno poenostavljena, če upoštevamo, da je število 3 (delitelj prostega člena) koren podana enačba, in zatoa = - 3 ,

b = - 3 in z = 5 .

Potem X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X – 3)(X 2 – 3 x + 5).

Uporabljena metoda nedoločenih koeficientov v primerjavi z zgornjo metodo vnosa pomožnih členov ne vsebuje nič umetnega, zahteva pa uporabo številnih teoretične določbe in ga spremljajo precej veliki izračuni. Za polinome več visoka stopnja Ta metoda nedoločenih koeficientov vodi do okornih sistemov enačb.

2.2.Naloge in s parametri.

V zadnjih letih so različice enotnega državnega izpita ponudile naloge s parametri. Njihova rešitev pogosto povzroča določene težave. Pri reševanju problemov s parametri lahko poleg drugih metod zelo učinkovito uporabite metodo nedoločenih koeficientov. točno tako ta metoda vam omogoča, da močno poenostavite njihovo rešitev in hitro dobite odgovor.

Naloga 3. Določite, pri katerih vrednostih parametra A enačba 2 X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = 0 ima natanko dva korena.

rešitev. 1 način. Uporaba izpeljanke.

Predstavimo to enačbo v obliki dveh funkcij

2x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3 = – A .

f (x) = 2x 3 – 3 X 2 – 36 X– 3 in φ( X ) = – A .

Raziščimo funkcijof (x) = 2x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3 z uporabo izpeljanke in shematično sestavite njen graf (slika 1.).

f( – x )f (x ) , f (– x ) – f (x ). Funkcija ni niti soda niti liha.

3. Poiščimo kritične točke funkcija, njeni intervali naraščanja in padanja, ekstremi. f / (x ) = 6 x 2 – 6 X – 36. D (f / ) = R , zato bomo z rešitvijo enačbe našli vse kritične točke funkcije f / (x ) = 0 .

6(X 2 – X– 6) = 0 ,

X 2 – X– 6 = 0 ,

X 1 = 3 , X 2 = – 2 po izreku, nasprotje izreka Vieta.

f / (x ) = 6(X – 3)(X + 2).

+ maks - min +

2 3 x

f / (x) > 0 za vse X< – 2 in X > 3 in funkcija je zvezna v točkahx =– 2 in X = 3, torej narašča na vsakem od intervalov (- ; - 2] in [ 3 ; ).

f / (x ) < 0 pri - 2 < X< 3, torej pada na intervalu [- 2; 3 ].

X = - 2. največja točka, ker na tej točki se predznak izpeljanke spremeni iz"+" do "-".

f (– 2) = 2· (– 8) – 3·4 – 36·(– 2) – 3 = – 16 – 12 + 72 – 3 == 72 – 31 = 41 ,

x = 3 minimalno točko, saj se na tej točki spremeni predznak derivata"-" do "+".

f (3) = 2·27 – 3·9 – 36·3 – 3 = 54 – 27 – 108 – 3 = – 138 + +54 = – 84.

Graf funkcije φ(X ) = – A je ravna črta, vzporedna z osjo x in poteka skozi točko s koordinatami (0; – A ). Grafa imata dva skupne točke ob -A= 41, tj. a =– 41 in – A= – 84, tj. A = 84 .

pri

41φ( X)

2 3 X

3 f ( x ) = 2x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3

Metoda 2. Metoda nedoločenih koeficientov.

Ker mora imeti ta enačba po pogojih problema samo dva korena, je enakost očitna:

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = (x + b ) 2 (2 x + c ) ,

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = 2 x 3 + (4 b + c ) x 2 + (2 b 2 + +2 pr ) x + b 2 c ,

Sedaj enačimo koeficiente pri istih stopinjah X, dobimo sistem enačb

4 b + c = - 3

2b 2 + 2bc = - 36

b 2 c = a – 3 .

Iz prvih dveh enačb sistema najdemob 2 + b – 6 = 0, od koder b 1 = - 3 oz b 2 = 2. Ustrezne vrednostiz 1 in z 2 enostavno najti iz prve enačbe sistema:z 1 = 9 oz z 2 = - 11. Končno lahko želeno vrednost parametra določimo iz zadnje enačbe sistema:

A = b 2 c + 3 , a 1 = - 41 oz a 2 = 84.

Odgovor: ta enačba ima natanko dve različni

koren pri A= - 41 in A= 84 .

Problem 4. Najdi najvišjo vrednost parameterA , za katero velja enačbaX 3 + 5 X 2 + Oh + b = 0

s celimi koeficienti ima tri različne korene, od katerih je eden enak – 2.

rešitev. 1 način. Nadomeščanje X= - 2 V leva stran enačbe, dobimo

8 + 20 – 2 A + b= 0, kar pomeni b = 2 a – 12 .

Ker je število - 2 koren, ga lahko odstranimo skupni množitelj X + 2:

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = X 3 + 2 X 2 + 3 X 2 + Oh + (2 a – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) – 6 x + Oh + (2 a – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) + (a – 6)(x +2) - 2(a – 6)+ (2 a – 12) =

= (X + 2)(X 2 + 3 x + (a – 6) ) .

Po pogoju obstajata še dva korena enačbe. To pomeni, da je diskriminanta drugega faktorja pozitivna.

D =3 2 - 4 (a – 6) = 33 – 4 a > 0, to je A < 8,25 .

Zdi se, da bi bil odgovor a = 8. Toda pri zamenjavi števila 8 v izvirna enačba dobimo:

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = X 3 + 5 X 2 + 8 X + 4 = (X + 2)(X 2 + 3 x + 2 ) =

= (X + 1) (X + 2) 2 ,

to pomeni, da ima enačba samo dva različna korena. Ampak ko a = 7 dejansko ustvari tri različne korene.

Metoda 2. Metoda nedoločenih koeficientov.

Če enačba X 3 + 5 X 2 + Oh + b = 0 ima koren X = - 2, potem lahko vedno poberete številkec in d tako da vsem na očehX enakost je bila resnična

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = (X + 2)(X 2 + z x + d ).

Za iskanje številkc in d Odpremo oklepaje na desni strani, dodamo podobne izraze in dobimo

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = X 3 + (2 + z ) X 2 +(2 s + d ) X + 2 d

Enačenje koeficientov pri pripadajočih potencah X imamo sistem

2 + z = 5

2 z + d = a

2 d = b , kje c = 3 .

torej X 2 + 3 x + d = 0 , D = 9 – 4 d > 0 oz

d < 2,25, torej d (- ; 2 ].

Problemski pogoji so izpolnjeni z vrednostjo d = 1. Končna želena vrednost parametraA = 7.

ODGOVOR: kdaj a = 7 ima ta enačba tri različne korene.

2.3. Reševanje enačb.

»Zapomnite si, da z reševanjem majhnih težav

pripravite se na velike in težke izzive

nove naloge."

Akademik S.L. Sobolev

Pri reševanju nekaterih enačb lahko in morate pokazati iznajdljivost in duhovitost ter uporabiti posebne tehnike. Obvladovanje različnih tehnik transformacije in sposobnost logičnega sklepanja je v matematiki zelo pomembno. Eden od teh trikov je seštevanje in odštevanje nekega dobro izbranega izraza ali števila. Navedeno dejstvo je seveda vsem dobro znano - glavna težava je videti v določeni konfiguraciji tiste transformacije enačb, za katere je priročno in primerno uporabiti.

Ponazorimo eno s preprosto algebraično enačbo nestandardna tehnika reševanje enačb.

Naloga 5. Reši enačbo

=
.

rešitev. Pomnožimo obe strani te enačbe s 5 in jo prepišemo, kot sledi

= 0 ; X 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 oz
= 0

Rešimo nastale enačbe z metodo nedoločenih koeficientov

X 4 - X 3 –7 X – 3 = (X 2 + ah + b )(x 2 + cx + d ) = 0

X 4 - X 3 –7 X – 3 = X 4 + (a + c ) X 3 + (b + A c + d ) X 2 + (oglas + pr ) x+ + bd

Izenačenje koeficientov pri X 3 , X 2 , X in prostih pogojih, dobimo sistem

a + c = -1

b + A c + d = 0

oglas + pr = -7

bd = -3, od koder najdemo:A = -2 ; b = - 1 ;

z = 1 ; d = 3 .

torej X 4 - X 3 –7X– 3 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + X + 3) = 0 ,

X 2 – 2 X– 1 = 0 oz X 2 + X + 3 = 0

X 1,2 =
brez korenin.

Podobno imamo

X 4 – 12X – 5 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + 2X + 5) = 0 ,

kje X 2 + 2 X + 5 = 0 , D = - 16 < 0 , нет корней.

odgovor: X 1,2 =

Naloga 6. Reši enačbo

= 10.

rešitev. Za rešitev te enačbe morate izbrati številkeA in b tako da sta števca obeh ulomkov enaka. Zato imamo sistem:

= 0 , X 0; -1 ; -

= - 10

Naloga je torej najti številkeA in b , za katere velja enakost

(a + 6) X 2 + ah – 5 = X 2 + (5 + 2 b ) x + b

Zdaj je po izreku o enakosti polinomov potrebno, da se desna stran te enakosti spremeni v isti polinom, ki je na levi strani.

Z drugimi besedami, razmerja morajo biti zadovoljna

a + 6 = 1

A = 5 + 2 b

– 5 = b , od koder najdemo vrednostiA = - 5 ;

b = - 5 .

Pri teh vrednostihA in b enakost A + b = - 10 je tudi pošteno.

= 0 , X 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(X 2 – 5X– 5)(X 2 + 3X + 1) = 0 ,

X 2 – 5X– 5 = 0 oz X 2 + 3X + 1 = 0 ,

X 1,2 =
, X 3,4 =

odgovor: X 1,2 =
, X 3,4 =

Naloga 7. Reši enačbo

= 4

rešitev. Ta enačba je bolj zapletena od prejšnjih, zato jo bomo združili na naslednji način: X 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

Iz pogoja enakosti dveh polinomov

Oh 2 + (a + 6) X + 12 = X 2 + (b + 11) x – 3 b ,

dobimo in rešimo sistem enačb za neznane koeficienteA in b :

A = 1

a + 6 = b + 11

12 = – 3 b , kje a = 1 , b = - 4 .

Polinomi - 3 – 6X + cx 2 + 8 cx in X 2 + 21 + 12 d – dx so med seboj enaki samo takrat, ko

z = 1

8 z - 6 = - d

3 = 21 + 12 d , z = 1 , d = - 2 .

Z vrednotamia = 1 , b = - 4 , z = 1 , d = - 2

enakost
= - 4 je pravilno.

Posledično ima ta enačba naslednjo obliko:

= 0 oz
= 0 oz
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

Iz obravnavanih primerov je razvidno, kako spretna uporaba metode nedoločenih koeficientov oz.

pomaga poenostaviti rešitev precej zapletene, nenavadne enačbe.

2.4. Funkcionalne enačbe.

« Najvišje imenovanje matematika... sestavlja

je najti skriti red v

kaos, ki nas obdaja"

N. Viner

Funkcionalne enačbe so zelo splošni razred enačbe, v katerih je zahtevana funkcija določena funkcija. Pod funkcionalno enačbo v v ožjem smislu besede razumejo enačbe, v katerih so povezane iskane funkcije znane funkcije ena ali več spremenljivk z uporabo operacije oblikovanja kompleksne funkcije. Funkcijsko enačbo lahko obravnavamo tudi kot izraz lastnosti, ki označuje določen razred funkcij

[na primer funkcionalna enačba f ( x ) = f (- x ) označuje razred sodih funkcij, funkcionalno enačbof (x + 1) = f (x ) – razred funkcij s periodo 1 itd.].

Ena najpreprostejših funkcijskih enačb je enačbaf (x + l ) = f (x ) + f (l ). Zvezne rešitve te funkcionalne enačbe imajo obliko

f (x ) = Cx . Vendar pa v razredu diskontinuirane funkcije ta funkcionalna enačba ima druge rešitve. Z obravnavano funkcionalno enačbo so povezani

f (x + l ) = f (x ) · f (l ), f (x l ) = f (x ) + f (l ), f (x l ) = f (x )· f (l ),

zvezne rešitve, ki imajo obliko

e cx , Zlnx , x α (x > 0).

Torej te funkcionalne enačbe se lahko uporablja za določanje eksponentnih, logaritemskih in potenčnih funkcij.

Najbolj razširjena pridobljene enačbe v kompleksnih funkcijah, od katerih so iskane zunanje funkcije. Teoretično in praktične aplikacije

ravno te enačbe so spodbudile izjemni matematiki k njihovemu študiju.

na primer pri poravnava

f 2 (x) = f (x - l)· f (x + l)

N.I.Lobačevskiuporabljen pri določanju kota vzporednosti v moji geometriji.

V zadnjih letih se na matematičnih olimpijadah precej pogosto ponujajo problemi, povezani z reševanjem funkcionalnih enačb. Njihovo reševanje ne zahteva znanja, ki presega obseg programa matematike srednje šole. Vendar pa reševanje funkcionalnih enačb pogosto povzroča določene težave.

Eden od načinov iskanja rešitev funkcionalnih enačb je metoda nedoločenih koeficientov. Lahko se uporablja, ko videz enačbe je mogoče določiti splošna oblikaželeno funkcijo. To velja predvsem za tiste primere, ko je treba rešitve enačb iskati med celimi števili ali ulomki. racionalne funkcije.

Naj orišemo bistvo te tehnike z reševanjem naslednjih problemov.

Naloga 8. Funkcijaf (x ) je definiran za vse realne x in ustreza vsemX R stanje

3 f(x) - 2 f(1- x) = x 2 .

Najtif (x ).

rešitev. Ker je na levi strani te enačbe nad neodvisno spremenljivko x in vrednosti funkcijef se izvajajo samo linearne operacije, desna stran enačbe pa je kvadratna funkcija, potem je naravno domnevati, da je tudi zahtevana funkcija kvadratna:

f (X) = sekira 2 + bx + c , Kjea, b, c – koeficienti, ki jih je treba določiti, to so negotovi koeficienti.

Če funkcijo zamenjamo v enačbo, pridemo do identitete:

3(sekira 2 + bx+c) – 2(a(1 – x) 2 + b(1 – x) + c) = x 2 .

sekira 2 + (5 b + 4 a) x + (c – 2 a – 2 b) = x 2 .

Dva polinoma bosta identično enaka, če sta enaka

koeficienti pri enakih potencah spremenljivke:

a = 1

5b + 4a = 0

c– 2 a – 2 b = 0.

Iz tega sistema najdemo koeficiente

a = 1 , b = - , c = , tudizadovoljujeenakost

3 f (x ) - 2 f (1- x ) = x 2 na niz vseh realna števila. Hkrati obstaja takx 0 Naloga 9. Funkcijay =f(x) za vse x je definiran, zvezen in izpolnjuje pogojf (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x . Poiščite dve taki funkciji.

rešitev. Na želeni funkciji se izvedeta dve akciji - operacija sestavljanja kompleksne funkcije in

odštevanje. Glede na to, da je desna stran enačbe linearna funkcija, je naravno domnevati, da je tudi želena funkcija linearna:f(x) = ah +b , KjeA inb – negotovi koeficienti. Zamenjava te funkcije vf (f ( (x ) = - X - 1 ;

f 2 (x ) = 2 X+ , ki so rešitve funkcionalne enačbef (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x .

Zaključek.

Na koncu je treba opozoriti, da bo to delo zagotovo prispevalo k nadaljnjemu preučevanju izvirnika in učinkovita metoda rešitve za različne matematične težave, ki so naloge povečana težavnost in zahteva poglobljeno poznavanje šolskega predmeta matematike ter visoko logično kulturo Kdor želi samostojno poglobiti svoje znanje matematike, bo v tem delu našel tudi gradivo za razmislek in. zanimive naloge, katerega rešitev bo prinesla korist in zadovoljstvo.

Pri delu v okviru obstoječega šolski kurikulum in v učinkoviti zaznavi dostopni obliki je predstavljena metoda nedoločenih koeficientov, ki pomaga pri poglabljanju šolskega tečaja matematike.

Vseh zmogljivosti metode nedoločenih koeficientov seveda ni mogoče prikazati v enem delu. Dejansko metoda še vedno zahteva nadaljnje študije in raziskave.

Seznam uporabljene literature.

Glazer G.I.. Zgodovina matematike v šoli.-M .: Izobraževanje, 1983.

Gomonov S.A. Funkcionalne enačbe v šolski tečaj matematika // Matematika v šoli. – 2000. –№10 .

Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.H.. Priročnik o matematiki - M.: Nauka, 1972.

Kurosh A.G. Algebrske enačbe poljubnih stopenj: M., 1983.

Likhtarnikov L.M.. Osnovni uvod v funkcionalne enačbe. - St. Petersburg. : Lan, 1997.

Manturov O.V., Solntsev Yu.K., Sorokin Yu.I., Fedin N.G.. Razlagalni slovar matematičnih izrazov - M.: Izobraževanje, 1971

Modenov V.P.. Priročnik o matematiki. Del 1.-M .: Moskovska državna univerza, 1977.

Modenov V.P.. Težave s parametri M.: Izpit, 2006.

Potapov M.K., Aleksandrov V.V., Pasichenko P.I.. Algebra in analiza elementarnih funkcij - M.: Nauka, 1980.

Khaliullin A.A.. Lahko ga rešite lažje // Matematika v šoli. – 2003 . - №8 .

Khaliullin.

4. Razširite polinom 2X 4 – 5X 3 + 9X 2 – 5X+ 3 za množitelje s celimi koeficienti.

5. V kakšni vrednosti A X 3 + 6X 2 + Oh+ 12 oseb X+ 4 ?

6. Pri kateri vrednosti parametraA enačbaX 3 +5 X 2 + + Oh + b = 0 s celimi koeficienti ima dva različna korena, od katerih je eden 1 ?

7. Med koreninami polinoma X 4 + X 3 – 18X 2 + Oh + b s celimi koeficienti obstajajo tri enaka cela števila. Poiščite vrednost b .

8. Poiščite največjo celoštevilsko vrednost parametra A, pri kateri enačba X 3 – 8X 2 + ah +b = 0 s celimi koeficienti ima tri različne korene, od katerih je eden enak 2.

9. Pri katerih vrednostih A in b deljenje se izvede brez ostanka X 4 + 3X 3 – 2X 2 + Oh + b na X 2 – 3X + 2 ?

10. Faktorski polinomi:

A)X 4 + 2 X 2 – X + 2 V)X 4 – 4X 3 +9X 2 –8X + 5 e)X 4 + 12X – 5

b)X 4 + 3X 2 + 2X + 3 G)X 4 – 3X –2 e)X 4 – 7X 2 + 1 .

11. Reši enačbe:

A)
= 2 = 2 f (1 – X ) = X 2 .

Najti f (X) .

13. Funkcija pri= f (X) pred vsemi X definiran, zvezen in izpolnjuje pogoj f ( f (X)) = f (X) + X. Poiščite dve taki funkciji.

Metoda je uporabna za minimiziranje funkcij logične algebre poljubnega števila spremenljivk.

Oglejmo si primer treh spremenljivk. Logično funkcijo v DNF je mogoče predstaviti v obliki vseh vrst konjunktivnih izrazov, ki jih je mogoče vključiti v DNF:

kjer so kO(0,1) koeficienti. Metoda je sestavljena iz izbire koeficientov na tak način, da je rezultat DNF minimalen.

Če sedaj nastavimo vse možne vrednosti spremenljivk od 000 do 111, dobimo 2 n (2 3 =8) enačb za določanje koeficientov k:

Ob upoštevanju množic, pri katerih ima funkcija vrednost nič, določimo koeficiente, ki so enaki 0, in jih prečrtamo iz enačb, katerih desna stran vsebuje 1. Od preostalih koeficientov v vsaki enačbi je en koeficient enačen z ena, kar določa konjunkcija najnižjega ranga. Preostali koeficienti so enaki 0. Torej, koeficienti enote k določiti ustrezno minimalno obliko.

Primer. Minimizirajte dano funkcijo

če so vrednosti znane:
;
;
;
;
;
;
;
.

rešitev.

Po prečrtanju ničelnih koeficientov dobimo:

=1;

=1;

=1;

=1.

Izenačimo koeficient z enoto , ki ustreza konjunkciji najnižjega ranga in zadnje štiri enačbe spremeni v 1, v prvi enačbi pa je priporočljivo enačiti koeficient z 1 . Preostali koeficienti so nastavljeni na 0.

Odgovori: vrsta minimizirane funkcije.

Treba je opozoriti, da je metoda nedoločenih koeficientov učinkovita, kadar je število spremenljivk majhno in ne presega 5-6.

Večdimenzionalna kocka

Oglejmo si grafični prikaz funkcije v obliki večdimenzionalne kocke. Vsak vrh n-dimenzionalno kocko lahko povežemo s sestavo enote.

Podmnožica označenih vozlišč je preslikava na n-dimenzionalna kocka logične funkcije iz n spremenljivke v SDNF.

Za prikaz funkcije iz n spremenljivke, predstavljene v katerem koli DNF, je treba vzpostaviti ujemanje med njegovimi minitermi in elementi n-dimenzionalna kocka.

Miniterm (n-1) stopnje
lahko obravnavamo kot rezultat lepljenja dveh minitermov n-th rang, tj.

=

Vklopljeno n-dimenzionalna kocka to ustreza zamenjavi dveh vozlišč, ki se razlikujeta samo v vrednostih koordinat X jaz, ki povezuje ta oglišča z robom (rečeno je, da rob pokriva oglišča, ki so nanj incidentna).

Tako so minitermi ( n-1) vrstni red ustreza robom n-dimenzionalne kocke.

Podobno je korespondenca minitermov ( n-2) obrazi reda n-razsežna kocka, od katerih vsaka pokriva štiri oglišča (in štiri robove).

Elementi n-dimenzionalna kocka, za katero je značilno S meritve imenujemo S- kocke

Torej so oglišča 0-kocke, robovi 1-kocke, ploskve 2-kocke itd.

Če povzamemo, lahko rečemo, da je miniterm ( n-S) mesto v DNF za funkcijo n prikazanih spremenljivk S-kocka, vsaka S-kocka zajema vse tiste kocke nižjih dimenzij, ki so povezane le z njenimi oglišči.

Primer. Na sl. glede na preslikavo

Tukaj so miniterms
in
ustrezajo 1-kockam ( S=3-2=1) in miniterm X 3 prikazano v 2-kockah ( S=3-1=2).

Torej je vsak DNF preslikan v n-dimenzionalna kocka skupaj S-kocke, ki pokrivajo vsa vozlišča, ki ustrezajo sestavnim enotam (0-kocka).

Sestavine. Za spremenljivke X 1 ,X 2 ,…X n izražanje
se imenuje sestavni del enote in
- sestavina nič ( pomeni bodisi , oz ).

Ta sestavni del ena (nič) se spremeni v eno (nič) samo z enim pripadajočim nizom vrednosti spremenljivk, ki se dobi, če se vse spremenljivke vzamejo za enake ena (nič), njihove negacije pa enake nič (ena).

Na primer: sestavna enota
ustreza množici (1011), konstituent pa je nič
- komplet (1001).

Ker je SD(K)NF disjunkcija (konjunkcija) sestavin ena (ničle), lahko trdimo, da je logična funkcija, ki jo predstavlja f(x 1 , x 2 ,…, x n) spremeni v ena (nič) samo za nize vrednosti spremenljivk x 1 , x 2 ,…, x n, ki ustreza tem kostituentom. Pri drugih nizih se ta funkcija spremeni v 0 (ena).

Velja tudi nasprotna trditev, na kateri temelji način predstavljanja katerega koli Logična funkcija, ki jo določa tabela.

Da bi to naredili, je potrebno zapisati disjunkcije (konjunkcije) sestavin ena (nič), ki ustrezajo nizom vrednosti spremenljivk, na katerih funkcija prevzame vrednost, ki je enaka ena (nič).

Na primer funkcija, podana s tabelo

dopisovati

Nastale izraze je mogoče pretvoriti v drugo obliko na podlagi lastnosti algebre logike.

Velja tudi obratna trditev: če neka zbirka S-kocke pokriva nabor vseh vozlišč, ki ustrezajo enotnim vrednostim funkcije, nato disjunkcijo, ki ustreza tem S-kocke minitermov je izraz te funkcije v DNF.

Pravijo, da taka zbirka S-cubes (ali njihovi ustrezni minitermi) tvorijo pokritost funkcije. Željo po minimalni formi intuitivno razumemo kot iskanje takšne prevleke, števila S-katerih kock bi bilo manj, in njihove dimenzije S- več. Pokritje, ki ustreza minimalni obliki, se imenuje minimalno pokritje.

Na primer za funkcijo pri=
prevleka ustreza ne-minimalni obliki:

riž a) pri=,

premaz na rižu b) pri=
, riž c) pri=
minimalno.

riž. Pokritost funkcij pri=:

a) neminimalni; b), c) minimalno.

Prikaz funkcije na n-dimenzijsko pregledno in preprosto z n3. Štiridimenzionalno kocko je mogoče prikazati, kot je prikazano na sliki, ki prikazuje funkcijo štirih spremenljivk in njeno najmanjšo pokritost, ki ustreza izrazu pri=

Uporaba te metode, ko n>4 zahteva tako kompleksne konstrukcije, da izgubi vse svoje prednosti.

Integracija frakcijska racionalna funkcija.
Metoda negotovega koeficienta

Nadaljujemo z delom na integraciji ulomkov. V lekciji smo si že ogledali integrale nekaterih vrst ulomkov in to lekcijo lahko v nekem smislu štejemo za nadaljevanje. Za uspešno razumevanje gradiva so potrebne osnovne integracijske veščine, tako da če ste šele začeli študirati integrale, torej ste začetnik, potem morate začeti s člankom Nedoločen integral. Primeri rešitev.

Nenavadno je, da se zdaj ne bomo ukvarjali toliko z iskanjem integralov, ampak ... z reševanjem sistemov linearne enačbe. V zvezi s tem nujno Priporočam, da se udeležite pouka, morate namreč dobro poznati metode nadomeščanja (»šolsko« metodo in metodo počlanskega seštevanja (odštevanja) sistemskih enačb).

Kaj je delna racionalna funkcija? Z enostavnimi besedami, ulomno-racionalna funkcija je ulomek, katerega števec in imenovalec vsebujeta polinome ali produkte polinomov. Poleg tega so ulomki bolj izpopolnjeni od tistih, ki so obravnavani v članku Integracija nekaterih ulomkov.

Integracija pravilne frakcijsko-racionalne funkcije

Takoj primer in standardni algoritem rešitve integrala ulomljene racionalne funkcije.

Primer 1

Korak 1. Prva stvar, ki jo VEDNO naredimo pri reševanju integrala ulomljene racionalne funkcije, je ugotoviti naslednje vprašanje: je ulomek pravilen? Ta korak poteka ustno, zdaj pa bom razložil, kako:

Najprej pogledamo števec in ugotovimo višja stopnja polinom:

Vodilna potencija števnika je dvojka.

Zdaj pogledamo imenovalec in ugotovimo višja stopnja imenovalec. Očiten način je odpreti oklepaje in prinesti podobni pogoji, a lahko preprosteje, v vsak poiščite najvišjo stopnjo v oklepaju

in v mislih pomnožite: - torej je najvišja stopnja imenovalca enaka tri. Povsem očitno je, da če dejansko odpremo oklepaje, ne bomo dobili diplome, večje od tri.

Zaključek: Velika stopnja števnika STROGO je manjša od največje potence imenovalca, kar pomeni, da je ulomek pravilen.

Če v v tem primeruštevec je vseboval polinom 3, 4, 5 itd. stopinj, potem bi bil ulomek narobe.

Zdaj bomo obravnavali le pravilne frakcijske racionalne funkcije. Primer, ko je stopnja števca večja ali enaka stopnji imenovalca, bomo obravnavali na koncu lekcije.

2. korak Razložimo imenovalec na faktorje. Poglejmo naš imenovalec:

Na splošno je to že produkt dejavnikov, vendar se vseeno vprašamo: ali je mogoče še kaj razširiti? Predmet mučenja bo nedvomno kvadratni trinom. Odločimo se kvadratna enačba:

Diskriminator Nad ničlo, kar pomeni, da je trinom res mogoče faktorizirati:

Splošno pravilo: VSE, kar je LAHKO všteti v imenovalec - razštejemo

Začnimo oblikovati rešitev:

3. korak Z metodo nedoločenih koeficientov integrand razširimo v vsoto enostavnih (elementarnih) ulomkov. Zdaj bo bolj jasno.

Poglejmo našo funkcijo integranda:

In, veste, nekako se pojavi intuitivna misel, da bi bilo lepo imeti našo velika frakcija spremenijo v več majhnih. Na primer takole:

Postavlja se vprašanje, ali je to sploh mogoče? Oddahnimo si, ustrezen izrek matematična analiza zatrjuje - JE MOGOČE. Takšna razgradnja obstaja in je edinstvena.

Samo en ulov je, možnosti so adijo Ne vemo, od tod tudi ime – metoda nedoločenih koeficientov.

Kot ste uganili, so nadaljnji gibi telesa takšni, ne smehtati! bodo usmerjene v to, da jih zgolj PREPOZNAMO – ugotovimo, čemu so enakovredni.

Bodite previdni, podrobno bom razložil samo enkrat!

Torej, začnimo plesati od:

Na levi strani reduciramo izraz na skupni imenovalec:

Zdaj se lahko varno znebimo imenovalcev (ker so enaki):

Na levi strani odpremo oklepaje, vendar se trenutno ne dotikamo neznanih koeficientov:

Ob tem ponovimo šolsko pravilo množenja polinomov. Ko sem bil učitelj, sem se naučil to pravilo izgovoriti z odkritim obrazom: Če želite pomnožiti polinom s polinomom, morate vsak člen enega polinoma pomnožiti z vsakim členom drugega polinoma..

Z vidika jasna razlaga Bolje je dati koeficiente v oklepaje (čeprav jaz osebno tega nikoli ne počnem, da prihranim čas):

Sestavimo sistem linearnih enačb.
Najprej iščemo višje stopnje:

In zapišemo ustrezne koeficiente v prvo enačbo sistema:

Dobro si zapomnite naslednjo točko. Kaj bi se zgodilo, če s na desni strani sploh ne bi bilo? Recimo, ali bi se samo razkazoval brez kvadrata? V tem primeru bi bilo treba v enačbi sistema na desno postaviti ničlo: . Zakaj nič? Ker pa lahko na desni strani temu istemu kvadratu vedno dodelite ničlo: Če na desni strani ni spremenljivk in/ali brezplačen član, potem na desne strani ustreznih enačb sistema postavimo ničle.

Ustrezne koeficiente zapišemo v drugo enačbo sistema:

In končno, mineralna voda, izbiramo brezplačne člane.

Eh...sem se malo hecala. Šalo na stran – matematika je resna znanost. V naši inštitutski skupini se nihče ni smejal, ko je docentka rekla, da bo člene raztresla po številski premici in izbrala največje. Bodimo resni. Čeprav ... kdor bo dočakal konec te lekcije, se bo še tiho nasmehnil.

Sistem je pripravljen:

Rešujemo sistem:

(1) Iz prve enačbe izrazimo in jo nadomestimo v 2. in 3. enačbo sistema. Pravzaprav je bilo mogoče izraziti (ali drugo črko) iz druge enačbe, vendar v v tem primeru koristno je izraziti natančno iz 1. enačbe, saj tam najmanjše kvote.

(2) Podobne člene podajamo v 2. in 3. enačbi.

(3) 2. in 3. enačbo seštevamo člen za členom, tako da dobimo enakost , iz katere sledi, da

(4) Nadomestimo v drugo (ali tretjo) enačbo, od koder ugotovimo, da

(5) Nadomestite in v prvo enačbo, tako da dobite .

Če imate težave z metodami reševanja sistema, jih vadite pri pouku. Kako rešiti sistem linearnih enačb?

Po rešitvi sistema je vedno koristno preveriti – zamenjati najdene vrednosti vsak enačbe sistema, posledično bi moralo vse "konvergirati".

Skoraj tam. Ugotovljeni so bili koeficienti in:

Končano delo bi moralo izgledati nekako takole:

Kot lahko vidite, je bila glavna težava naloge sestaviti (pravilno!) in rešiti (pravilno!) sistem linearnih enačb. In na zadnji stopnji vse ni tako težko: uporabljamo lastnosti linearnosti nedoločen integral in integrirati. Upoštevajte, da imamo pod vsakim od treh integralov "brezplačno" kompleksna funkcija, sem govoril o značilnostih njegove integracije v razredu Metoda spreminjanja spremenljivke v nedoločenem integralu.

Preveri: Razlikuj odgovor:

Prvotna funkcija integranda je bila pridobljena, kar pomeni, da je bil integral najden pravilno.
Pri preverjanju smo morali izraz zreducirati na skupni imenovalec in to ni naključje. Metoda nedoločenih koeficientov in redukcija izraza na skupni imenovalec sta medsebojno inverzni dejanji.

Primer 2

Poiščite nedoločen integral.

Vrnimo se k ulomku iz prvega primera: . Zlahka opazimo, da so v imenovalcu vsi faktorji RAZLIČNI. Postavlja se vprašanje, kaj storiti, če je na primer podan naslednji ulomek: ? Tukaj imamo stopinje v imenovalcu ali, matematično, večkratniki. Poleg tega obstaja kvadratni trinom, ki ga ni mogoče faktorizirati (preprosto je preveriti, da diskriminant enačbe je negativen, zato trinoma ni mogoče faktorizirati). Kaj storiti? Razširitev v vsoto elementarnih ulomkov bo izgledala nekako takole z neznanimi koeficienti na vrhu ali kaj drugega?

Primer 3

Predstavite funkcijo

Korak 1. Preverjanje, ali imamo pravilen ulomek
Glavni števnik: 2
Najvišja stopnja imenovalca: 8
, kar pomeni, da je ulomek pravilen.

2. korak Ali je mogoče kaj vračunati v imenovalec? Očitno ne, vse je že pripravljeno. Kvadratni trinom ne razpade v delo iz zgoraj navedenih razlogov. Hood. Manj dela.

3. korak Predstavljajmo si ulomko-racionalno funkcijo kot vsoto elementarnih ulomkov.
V tem primeru ima razširitev naslednjo obliko:

Poglejmo naš imenovalec:
Pri razgradnji ulomno-racionalne funkcije na vsoto elementarnih ulomkov lahko ločimo tri temeljne točke:

1) Če je v imenovalcu »osamljen« faktor na prvo potenco (v našem primeru), potem na vrh postavimo nedoločen koeficient (v našem primeru). Primera št. 1, 2 sta bila sestavljena samo iz takih »osamljenih« dejavnikov.

2) Če ima imenovalec večkraten množitelj, potem ga morate razstaviti takole:
- to je zaporedno skozi vse stopnje "X" od prve do n-te stopnje. V našem primeru obstajata dva več dejavnikov: in , ponovno si oglejte razširitev, ki sem jo dal, in se prepričajte, da sta razširjeni točno v skladu s tem pravilom.

3) Če imenovalec vsebuje nerazgradljiv polinom druge stopnje (v našem primeru), potem morate pri razgradnji v števcu napisati linearna funkcija z negotovimi koeficienti (v našem primeru z negotovimi koeficienti in ).

Pravzaprav obstaja še en 4. primer, vendar ga bom zamolčal, saj je v praksi izjemno redek.

Primer 4

Predstavite funkcijo kot vsota elementarnih ulomkov z neznanimi koeficienti.

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Popolna rešitev in odgovor na koncu lekcije.
Strogo upoštevajte algoritem!

Če razumete načela, po katerih morate frakcijsko-racionalno funkcijo razširiti v vsoto, lahko prežvečite skoraj vsak integral obravnavane vrste.

Primer 5

Poiščite nedoločen integral.

Korak 1. Očitno je ulomek pravilen:

2. korak Ali je mogoče kaj vračunati v imenovalec? Lahko. Tukaj je vsota kock . Denominator faktorizirajte s skrajšano formulo množenja

3. korak Z metodo nedoločenih koeficientov integrand razširimo v vsoto elementarnih ulomkov:

Upoštevajte, da polinoma ni mogoče faktorizirati (preverite, ali je diskriminanta negativna), zato na vrh postavimo linearno funkcijo z neznanimi koeficienti in ne samo eno črko.

Ulomek spravimo na skupni imenovalec:

Sestavimo in rešimo sistem:

(1) Izrazimo iz prve enačbe in jo nadomestimo v drugo enačbo sistema (to je najbolj racionalno).

(2) Podobne člene predstavimo v drugi enačbi.

(3) Drugo in tretjo enačbo sistema seštevamo člen za členom.

Vsi nadaljnji izračuni so načeloma ustni, saj je sistem enostaven.

(1) Zapišemo vsoto ulomkov v skladu z najdenimi koeficienti.

(2) Uporabljamo lastnosti linearnosti nedoločenega integrala. Kaj se je zgodilo v drugem integralu? S to metodo se lahko seznanite v zadnjem odstavku lekcije. Integracija nekaterih ulomkov.

(3) Ponovno uporabimo lastnosti linearnosti. V tretjem integralu začnemo izolirati popoln kvadrat(predzadnji odstavek lekcije Integracija nekaterih ulomkov).

(4) Vzamemo drugi integral, v tretjem izberemo celoten kvadrat.

(5) Vzemimo tretji integral. pripravljena

Ta storitev je zasnovana za razgradnjo ulomkov oblike:

Za vsoto enostavnih ulomkov. Ta storitev bo uporabna za reševanje integralov. glej primer.

Navodila. Vnesite števec in imenovalec ulomka. Kliknite gumb Reši.

Pravila za vnos funkcije

Pravila za vnos funkcije

Algoritem za metodo nedoločenih koeficientov

1. Faktoriziranje imenovalca.
2. Razčlenitev ulomka kot vsote enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti.
3. Združevanje števca z enakimi potencami x.
4. Pridobivanje sistema linearnih algebrskih enačb z nedoločenimi koeficienti kot neznankami.
5. Rešitev SLAE: Cramerjeva metoda, Gaussova metoda, metoda inverzne matrike ali metoda izločanja neznank.

Primer. Uporabljamo metodo razgradnje na najpreprostejše. Razčlenimo funkcijo na najpreprostejše izraze:


Izenačimo števce in upoštevajmo, da so koeficienti pri enakih potencah X, stojita na levi in ​​desni se morata ujemati
2x-1 = A(x+2) 2 (x-4) + Bx(x+2) 2 (x-4) + Cx(x-4) + Dx(x+2) 2
A+B=0
-12A -8B -4C + 4D = 2
-16A = -1
0A -2B + C + 4D = 0
Pri reševanju ugotovimo:
A = 1/16; B = - 1/9; C = - 5/12; D = 7/144;