1. Koncept neenakosti z eno spremenljivko
2. Ekvivalentne neenakosti. Izreki o enakovrednosti neenačb
3. Reševanje neenačb z eno spremenljivko
4. Grafično reševanje neenačb z eno spremenljivko
5. Neenačbe, ki vsebujejo spremenljivko pod znakom modula
6. Glavni sklepi
Neenačbe z eno spremenljivko
Ponudbe 2 X + 7 > 10, x 2 +7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 imenujemo neenačbe z eno spremenljivko.
IN splošni pogled ta koncept je opredeljen na naslednji način:
Opredelitev. Naj sta f(x) in g(x) dva izraza s spremenljivko x in domeno X. Potem je neenakost v obliki f(x) > g(x) ali f(x)< g(х) называется неравенством с одной переменной. Множество X называется областью его определения.
Spremenljiva vrednost x od mnogih X, pri katerem se neenakost spremeni v pravo številsko neenakost, imenujemo odločitev. Reševanje neenačbe pomeni iskanje številnih rešitev zanjo.
Tako z rešitvijo neenačbe 2 x + 7 > 10 -x, x? R je številka x= 5, saj je 2 5 + 7 > 10 - 5 prava številska neenakost. In množica njegovih rešitev je interval (1, ∞), ki ga najdemo s transformacijo neenačbe: 2 x + 7 > 10-x => 3x >3 => x >1.
Ekvivalentne neenakosti. Izreki o enakovrednosti neenačb
Osnova za reševanje neenačb z eno spremenljivko je koncept ekvivalence.
Opredelitev. Za dve neenačbi pravimo, da sta enakovredni, če sta njuni množici rešitev enaki.
Na primer, neenakosti 2 x+ 7 > 10 in 2 x> 3 sta enakovredna, saj sta njuni množici rešitev enaki in predstavljata interval (2/3, ∞).
Izreki o ekvivalentnosti neenačb in posledice iz njih so podobni ustreznim izrekom o ekvivalentnosti enačb. Njihov dokaz uporablja lastnosti resničnih numeričnih neenakosti.
Izrek 3. Naj neenakost f(x) > g(x) določen na setu X in h(x) je izraz, definiran na istem nizu. Nato neenakosti f(x) > g(x) in f(x)+ h(x) > g(x) + h(x) so enakovredne na nizu X.
Iz tega izreka izhajajo posledice, ki se pogosto uporabljajo pri reševanju neenačb:
1) Če na obe strani neenakosti f(x) > g(x) dodajte isto število d, potem dobimo neenakost f(x) + d > g(x)+ d, enakovreden originalnemu.
2) Če katerikoli člen (številski izraz ali izraz s spremenljivko) prenesemo iz enega dela neenačbe v drugega in spremenimo predznak člena v nasprotno, dobimo neenakost, ki je enaka dani.
Izrek 4. Naj neenakost f(x) > g(x) določeno na setu X in h(X X od mnogih X izražanje h(x) sprejme pozitivne vrednosti. Nato neenakosti f(x) > g(x) in f(x) h(x) > g(x) h(x) so enakovredne na nizu X.
f(x) > g(x) pomnoži z enakim pozitivno število d, potem dobimo neenakost f(x) d > g(x) d, enakovreden temu.
Izrek 5. Naj neenakost f(x) > g(x) določen na setu X in h(X) - izraz, definiran na istem nizu in za vse X veliko jih je X izražanje h(X) sprejme negativne vrednosti. Nato neenakosti f(x) > g(x) in f(x) h(x) > g(x) h(x) so enakovredne na nizu X.
Iz tega izreka sledi posledica: če obe strani neenakosti f(x) > g(x) pomnožite z istim negativnim številom d in spremenimo znak neenakosti v nasprotnega, dobimo neenakost f(x) d > g(x) d, enakovreden temu.
Reševanje neenačb z eno spremenljivko
Rešimo neenačbo 5 X - 5 < 2х - 16, X? R, in utemeljili bomo vse transformacije, ki jih bomo izvedli v procesu reševanja.
Reševanje neenačbe X < 7 является промежуток (-∞, 7) и, следовательно, множеством решений неравенства 5X - 5 < 2x + 16 je interval (-∞, 7).
vaje
1. Določite, kateri od naslednjih vnosov so neenačbe z eno spremenljivko:
a) -12 - 7 X< 3x+ 8; d) 12 x + 3(X- 2);
b) 15( x+ 2)>4; e) 17-12·8;
c) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2x 2+ 3x-4> 0.
2. Ali je število 3 rešitev neenačbe 6 (2x + 7) < 15(X + 2), X? R? Kaj pa številka 4,25?
3. Ali so naslednji pari neenakosti enakovredni na množici realnih števil:
a) -17 X< -51 и X > 3;
b) (3 x-1)/4 >0 in 3 X-1>0;
c) 6-5 x>-4 in X<2?
4. Katere od naslednjih trditev držijo:
a) -7 X < -28 => x>4;
b) x < 6 => x < 5;
V) X< 6 => X< 20?
5. Reši neenačbo 3( x - 2) - 4(X + 1) < 2(х - 3) - 2 in utemelji vse transformacije, ki jih boš izvedel.
6. Dokažite to tako, da rešite neenačbo 2 (x+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2X) je poljubno realno število.
7. Dokaži, da ne obstaja realno število, kar bi bila rešitev neenačbe 3(2 - X) - 2 > 5 - 3X.
8. Ena stranica trikotnika je 5 cm, druga pa 8 cm. Kolikšna je lahko dolžina tretje stranice, če je obseg trikotnika:
a) manj kot 22 cm;
b) več kot 17 cm?
GRAFIČNO REŠEVANJE NEENAČB Z ENO SPREMENLJIVKO. Za grafična rešitev neenakosti f (x) > g (x) je treba zgraditi grafe funkcij
y = f (x) = g (x) in izberite tiste intervale abscisne osi, na katerih je graf funkcije y = f(x) ki se nahaja nad grafom funkcije y = g(x).
Primer 17.8. Grafično reši neenačbo x 2- 4 > 3X.
| Y - x* - 4 |
rešitev. Izdelajmo grafe funkcij v enem koordinatnem sistemu
y = x 2 - 4 in y = Zx (slika 17.5). Slika prikazuje, da so grafi funkcij pri= x 2- 4 se nahaja nad grafom funkcije y = 3 X pri X< -1 in x > 4, tj. množica rešitev izvirne neenačbe je množica
(- ¥; -1) È (4; + oo) .
Odgovor: x О(- oo; -1) in ( 4; + oo).
Urnik kvadratna funkcija pri= sekira 2 + bx + c je parabola z vejami, obrnjenimi navzgor, če a > 0 in navzdol, če A< 0. V tem primeru so možni trije primeri: parabola seka os Oh(tj. enačba ah 2+ bx+ c = 0 ima dva različna korena); parabola se dotika osi X(tj. enačba sekira 2 + bx+ c = 0 ima en koren); parabola ne seka osi Oh(tj. enačba ah 2+ bx+ c = 0 nima korenin). Tako obstaja šest možnih položajev parabole, ki služi kot graf funkcije y = ah 2+ b x + c(slika 17.6). S pomočjo teh ilustracij lahko rešite kvadratne neenakosti.
Primer 17.9. Reši neenačbo: a) 2 x g+ 5x - 3 > 0; b) -Zx 2 - 2x- 6 < 0.
rešitev, a) Enačba 2x 2 + 5x -3 = 0 ima dva korena: x, = -3, x 2 = 0,5. Parabola, ki služi kot graf funkcije pri= 2x 2+ 5x -3, prikazano na sl. A. Neenakost 2x 2+ 5x -3 > 0 je za te vrednosti izpolnjeno X, za katere točke parabole ležijo nad osjo Oh: bo ob X< х х ali kdaj X> x g> tiste. pri X< -3 ali pri x > 0,5. To pomeni, da je množica rešitev prvotne neenačbe množica (- ¥; -3) in (0,5; + ¥).
b) Enačba -Зх 2 + 2x- 6 = 0 nima pravih korenin. Parabola, ki služi kot graf funkcije pri= - 3x 2 - 2x - 6, prikazano na sl. 17.6 Neenakost -3x 2 - 2x - 6 < О выполняется при тех значениях X, za katere točke parabole ležijo pod osjo Oh. Ker celotna parabola leži pod osjo Oh, potem je množica rešitev prvotne neenačbe množica R .
NEENAČBE, KI VSEBUJEJO SPREMENLJIVKO POD ZNAKOM MODULA. Pri reševanju teh neenakosti je treba upoštevati, da:
|f(x) | =
f(x), Če f(x) ³ 0,
- f(x), Če f(x) < 0,
Hkrati pa območje sprejemljive vrednosti neenačbe je treba razdeliti na intervale, na katerih izrazi pod znakom modula ohranijo svoj predznak. Nato morate z razširitvijo modulov (ob upoštevanju predznakov izrazov) rešiti neenakost na vsakem intervalu in dobljene rešitve združiti v nabor rešitev prvotne neenakosti.
Primer 17.10. Reši neenačbo:
|x -1| + |2- x| > 3+x.
rešitev. Točki x = 1 in x = 2 delita številska os (DZ neenakost(17.9) v tri intervale: x< 1, 1 £ х £.2, х >2. Odločimo se to neenakost na vsakem od njih. Če x< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; torej |x -1| = - (x - I), |2 - x | = 2 - x. To pomeni, da ima neenakost (17.9) obliko: 1- x + 2 - x > 3 + x, tj. X< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.
Če je 1 £ x £,2, potem je x - 1 ³ 0 in 2 – x ³ 0; torej | x- 1| = x - 1, |2 - x| = 2 – x. To pomeni, da sistem vsebuje:
x – 1 + 2 – x > 3 + x,
Nastali sistem neenačb nima rešitev. Zato je na intervalu [ 1; 2] je množica rešitev neenačbe (17.9) prazna.
Če je x > 2, potem je x - 1 >0 in 2 – x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:
x -1 + x – 2 > 3+x,
x > 6 oz
Če združimo rešitve, ki jih najdemo na vseh delih neenačbe ODZ (17.9), dobimo njeno rešitev - množico (-¥; 0) È (6; +oo).
Včasih je koristno uporabiti geometrijska interpretacija modul realnega števila, po katerem | a | pomeni oddaljenost točke a koordinatne premice od izhodišča O in | a - b | pomeni razdaljo med točkama a in b na koordinatni premici. Druga možnost je, da uporabite metodo kvadriranja obeh strani neenakosti.
Izrek 17.5. Če izrazi f(x) in g(x) za vsak x zavzemajo le nenegativne vrednosti, potem neenakosti f (x) > g (x) in f (x) ² > g (x) ² so enakovredne.
58. Glavni sklepi § 12
V tem razdelku smo definirali naslednje koncepti:
Numerični izraz;
Pomen številski izraz;
Izraz, ki nima pomena;
Izraz s spremenljivko(-ami);
Območje definicije izraza;
Enako enaki izrazi;
Identiteta;
Preoblikovanje identitete izrazi;
Numerična enakost;
Enačba z eno spremenljivko;
Koren enačbe;
Kaj pomeni rešiti enačbo;
Ekvivalentne enačbe;
Neenakost z eno spremenljivko;
Reševanje neenačb;
Kaj pomeni rešiti neenakost;
Ekvivalentne neenakosti.
Poleg tega smo pregledali izreke o enakovrednosti enačb in neenačb, ki so osnova za njihovo reševanje.
Poznavanje definicij vseh zgornjih pojmov in izrekov o enakovrednosti enačb in neenačb - potreben pogoj metodološko kompetenten študij z mlajši šolarji algebrsko gradivo.
LEKCIJA: “REŠEVANJE NEENAČB Z ENO SPREMENLJIVKO”
Postavka: Algebra
Zadeva: Reševanje neenačb z eno spremenljivko
Cilji lekcije:
Izobraževalni:
organizirati dejavnosti učencev za zaznavanje, razumevanje in začetno utrjevanje pojmov, kot so reševanje neenačb z eno spremenljivko, ekvivalentna neenačba, reševanje neenačb; preveriti sposobnost učencev, da uporabijo znanje in spretnosti, pridobljene v prejšnjih učnih urah, za reševanje problemov v tej učni uri.
Izobraževalni:
razvijati zanimanje za matematiko z uporabo IKT v praksi; gojiti kognitivne potrebe učencev; oblikovati osebne lastnosti, kot so odgovornost, vztrajnost pri doseganju ciljev, neodvisnost.
Med poukom
I. Organizacijski trenutek
II. Pregled Domača naloga(Posodobitev osnovnega znanja)
1. S pomočjo koordinatne premice poiščite presečišče intervalov: a) (1;8) in (5;10); b) (-4;4) in [-6;6]; c) (5;+∞) in [-∞;4]
Odgovor: a) (1;5); b) (-4;4); c) ni križišč
2. Zapišite intervale, prikazane na sliki:
2) 
3) 
Odgovor: 1) (2; 6); b) (-1;7]; c) .
Primer3, reši neenačbo 3(x-1)<-4+3х.
Odprimo oklepaje na levi strani neenakosti: 3x-3<-4+3х.
Prestavimo člen 3x z nasprotnimi predznaki z desne strani na levo, člen -3 pa z leve strani na desno in podamo podobne člene: 3x-3x<-4+3,
Kot lahko vidimo, ta numerična neenakost ne velja za nobeno vrednost x. To pomeni, da naša neenačba z eno spremenljivko nima rešitve.
Naprave za trening
Reši neenačbo in označi njeno rešitev:
f) 7x-2,4<0,4;
h) 6b-1<12-7b;
i) 16x-44>x+1;
k) 5(x-1)+7≤1-3(x+2);
l) 6y-(y+8)-3(2-y)>2.
Odgovor: a) (-8; +∞); b) [-1,5; +∞ ); c) (5; +∞); d) (-∞; 3); e) (-∞; -0,25); f) (-∞; 0,4); g) [-5; +∞); h) (-∞; 1); i) (3; +∞); j) ; l) (2; +∞).
IV. zaključki
Rešitev neenakosti v eni spremenljivki je vrednost spremenljivke, ki jo spremeni v pravo numerično neenakost. Rešiti neenačbo pomeni najti vse njene rešitve ali dokazati, da rešitev ni. Neenačbe, ki imajo enake rešitve, imenujemo ekvivalentne. Za enakovredne se štejejo tudi neenačbe, ki nimajo rešitev. Če obe strani neenakosti pomnožimo ali delimo z istim negativnim številom, pri tem pa spremenimo predznak neenakosti v nasprotno. V drugih primerih ostane enako.
V. Končno testiranje
1) Reševanje neenačbe v eni spremenljivki se imenuje...
a) vrednost spremenljivke, ki jo spremeni v pravo neenakost;
b) vrednost spremenljivke, ki jo pretvori v pravilno številko
neenakost;
c) spremenljivko, ki jo spremeni v pravo številsko neenakost.
2) Katera števila so rešitev neenačbe 8+5y>21+6y:
a) 2 in 5 b) -1 in 8 c) -12 in 1 d) -15 in -30?
3) Določite množico rešitev neenačbe 4(x+1)>20:
a) (- ∞; 4); b) (4; +∞);
V))
