Reševanje trigonometričnih enačb USE profilna raven. Raziskovalno delo na temo "trigonometrične enačbe v izpitnih nalogah"

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

Ko na spletnem mestu oddate zahtevo, lahko zbiramo razne informacije, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, naslovom E-naslov itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

Zbrano pri nas osebne informacije omogoča, da vas kontaktiramo in vas obveščamo o edinstvenih ponudbah, akcijah in drugih dogodkih ter prihajajočih dogodkih.
Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
Osebne podatke lahko uporabimo tudi za interne namene, kot so revizija, analiza podatkov in razne študije da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

Po potrebi – v skladu z zakonom, sodnim postopkom, pravnim postopkom in/ali na podlagi javnih pozivov oz. vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

Če je potrebno - v skladu z zakonom, sodnim postopkom, v sodnem postopku in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - za razkritje vaših osebnih podatkov. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.

MBOU "Srednja šola Mordovsko-Paevskaya" okrožja Insarsky Republike Moldavije

Izpolnila: Pantilejkina Nadežda,

Učenka 11. razreda

Vodja: Kadyshkina N.V.,

učiteljica matematike

Kazalo

Uvod………………………………………………………………………………………….

Poglavje I. O trigonometričnih enačbah…………………………………..…5

1) Osnovne vrste trigonometričnih enačb in metode za njihovo reševanje:

1. Enačbe reducirane na najenostavnejše. …………………………………..5

2. Enačbe, ki se reducirajo na kvadratne……………………………….5

3. Homogene enačbe acosx + b sin x = 0……………………………...6

4. Enačbe oblike acosx + b sin x = c, c≠ 0…………………………………7

5. Enačbe, rešene s faktorizacijo……………………….7

6. Nestandardne enačbe………………………………………………….8

Poglavje II. Osnovni pojmi in formule trigonometrije…………………….8-10

Poglavje II JAZ. Enačbe, predlagane na UPORABA preteklosti let…………………10-14

Zaključek…………………………………………………………………………………….14

Dodatek………………………………………………………..……………………….15-17

Literatura………………………………………………………………………………………..18

Uvod

« Edina pot ki vodi do znanja je dejavnost ...«

Bernard Show

Relevantnost dela.

V nekaj mesecih sem končal šolo.

Da ne bo težav z nadaljnjo izbiro življenjska pot, potrebno pridobiti šolsko spričevalo, za pridobitev šolskega spričevala pa morate opraviti dve obvezni izpit V Obrazec enotnega državnega izpita- in eden od njihmatematika. Kaj lahko rečem? zaključni izpiti- ključno obdobje v življenju vsakega šolarja, od katerega ni odvisno samo končna ocena v spričevalu, ampak tudi svojo poklicno prihodnost, dohodek in kariero.

Samski državni izpit- To je pomemben preizkus pred vselitvijo novo življenje in sprejem na univerzo ali fakulteto. Še posebej pomembno je, da ga posredujete naprej dobri rezultati. Enotni državni izpit iz matematike je resen preizkus in brez dobre podlage študent ne bo mogel zahtevati spodobnega rezultata.

Kako se izogniti padcu na izpitu in doseči dobre ocene? Za to morate dobro rešiti naloge. Ne pretvarjam se največja ocena Vendar se pridno pripravljam. In opazil sem, da že pri prvi nalogi dela C, in sicer pri reševanju trigonometričnih enačb in njihovih sistemov, delam napake.Na prvi pogled je naloga C1 relativno preprosta enačba ali sistem enačb, ki lahko vsebuje trigonometrične funkcije,Eden od glavnih pristopov k njihovemu reševanju je, da jih zaporedno poenostavimo, da jih zmanjšamo na enega ali več najpreprostejših.Zakaj se torej motim?

Relevantnost teme je določeno z dejstvom, da morajo učenci razumeti določene metode reševanja trigonometričnih enačb.

Zato sem si zadal naslednjecilj:

Sistematizirati in razširiti znanja in spretnosti v zvezi z uporabo metod za reševanje trigonometričnih enačb.

Predmet študija je preučevanje trigonometričnih enačb v nalogah enotnega državnega izpita.

Predmet študija- je rešitev trigonometričnih enačb

torej glavni cilj pisanje tega tečajno delo je preučevanje trigonometričnih enačb in njihovih sistemov, metode njihovega reševanja.

V skladu s cilji, predmetom in predmetom študija so opredeljeni: naloge:

1). Preučite vse naloge, povezane z reševanjem trigonometričnih enačb, ki so na voljo na Enotni državni izpit deluje prejšnjih letih in pri opravljanju diagnostično delo;

2) Študij metod reševanja trigonometričnih enačb.

3). Določite glavno možne napake pri reševanju takih enačb;

4). Ugotovite razloge za takšne napake.

6). Potegnite sklepe.

Pri svojem delu bom rešil več trigonometričnih enačb, pokazal morebitne napake pri njihovem reševanju in poskušal odgovoriti na naslednje vprašanja:

1). Ali se je mogoče izogniti napakam pri izvajanju nalog tipa C1?

2) Če vadim reševanje tovrstnih enačb, potem lahko

Ali je mogoče takšne naloge izvesti brez napak?

V ta namen sem preučil vse demo posnetke in naloge usposabljanja preživel z nami, Materiali za enotni državni izpit prejšnja leta;

proučeni referenčni viri;

samostojno rešene naloge iz interneta;

v primeru težav se je posvetovala z učiteljico;

Naučila sem se analizirati in pravilno oblikovati rezultate.

Odsek JAZ. O trigonometričnih enačbah.

1) Definicija 1. Trigonometrična enačba je enačba, ki vsebuje spremenljivko pod znakom trigonometrične funkcije.

Najenostavnejše trigonometrične enačbe so enačbe vrsta sin x = a,

cos x=a, tg x=a, ctg x = a.

V takih enačbah je spremenljivka pod predznakom trigonometrične funkcije in je dano število.

Reševanje trigonometrične enačbe je sestavljeno iz dveh stopenj: preoblikovanja enačbe v njeno najpreprostejšo obliko in reševanja nastale najpreprostejše trigonometrične enačbe.

2) Osnovni tipi trigonometričnih enačb.

Enačbe reducirane na najpreprostejše.

Reši enačbo

rešitev:

odgovor:

Enačbe, ki se reducirajo na kvadratne.

1) Rešite enačbo 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

odgovor:

Homogene enačbe: asinx + bcosx = 0

a greh 2 x + b sinxcosx + c cos 2 x = 0.

Rešite enačbo 2sinx – 3cosx = 0

Rešitev: Naj bo cosx = 0, nato 2sinx = 0 in sinx = 0 – protislovje z

da je sin 2 x + cos 2 x = 1. To pomeni cosx ≠ 0 in enačbo lahko delimo s cosx.

Dobimo

odgovor:

primer: Reši enačbo

rešitev:

odgovor:

Enačbe, rešene s faktorizacijo.

Priper: Rešite enačbo sin2x – sinx = 0.

Rešitev: Z uporabo formule sin2x = 2sinxcosx dobimo

2sinxcosx – sinx = 0,

sinx (2cosx – 1) = 0.

Produkt je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič.

odgovor:

Nestandardne enačbe.

Rešite enačbo cosx = X 2 + 1.

rešitev:

Poglejmo si funkcije

Odsek II. Osnovni pojmi in formule trigonometrije.

Trigonometrične enačbe - zahtevana tema kateri koli izpit iz matematike.

Ox, koliko muk povzroča učencem učenje trigonometrije.

Določene težave nastanejo tudi, če je v bližini učiteljmatematika in razloži vsako najmanjšo podrobnost. To je razumljivo, le osnovne formule jih je več kot dvajset. In če štejemo njihove izpeljanke ... Študent se pri izračunih zmede in se ne more spomniti mehanizmov, s katerimi te formule omogočajo, da najdemo npr. .

Formule poznate – zlahka se odločite. Če ne veš, ne boš razumel, tudi če ti dajo formulo.Ne rabite samo poznati formule, ampak morate vedeti, kje jo je mogoče uporabiti, kako jo odpreti in kaj je bistvo formule, za to pa morate rešiti primere posebej za tiste probleme, ki so težko rešiti.

Sprva se mi je zdelotrigonometrija je dolgočasen nabor formul in grafov. Ko pa sem se seznanjal z novimi pojmi trigonometrije in metodami reševanja trigonometričnih enačb, sem se vsakič znova prepričal, kako zanimiv in fascinanten je svet trigonometrije.

Prvič, za uspešno reševanje trigonometričnih enačb morate dobro poznati trigonometrične formule, ne samo glavne, ampak tudi dodatne (pretvorba vsote trigonometričnih funkcij v produkt in produktov v vsoto, formule za zmanjševanje stopinj in drugo),od uporabe naprej Goljufije za enotni državni izpit in Mobilni telefoni prepovedano

(Priloga 1)

Drugič , jasno moramo vedeti standardne formule korenine najpreprostejših trigonometričnih enačb (koristno si jih je zapomniti ali jih je mogoče pridobiti z uporabo trigonometrični krog poenostavljene formule za korenine enačb)

Vsaka od teh enačb je rešena s formulami, ki bi jih morali poznati. To so formule:

a) Funkcijal= grehx. Funkcija je omejena: je znotraj [-1; 1]. To pomeni, da pri reševanju enačb, kot jesinx=2 ozsinxsinx

1) sinx =a,x= (-1) n loksin a +n,n Z

2) sinx = - a,x= (-1) n+1 loksin a +n,n Z

Poleg tega morate poznati posebne primere: 1) sinx =- 1,

2)sinx =0,

3)sinx = a,

Prav tako morate biti sposobni rešitiv obliki dveh nizov korenin

2. funkcija l = cos x . Funkcija je omejena: je znotraj [-1; 1]. To pomeni, da pri reševanju enačb, kot jecosx=2 ozcosx=-5 se izkaže, da je odgovor: brez korenin. Formule za funkcijo y=cosx:

1. cosx =a, X=± lok a+2n,n Z

2.cos x=-a, X=±(  - arccos a)+2n,n Z

Posebni primeri: 1. cosx =-1, X =  +2 n, n Z

2. cosx =0,

3. cosx =1, X= 2n,n Z

3. funkcijal= tgx.

Obstaja samo ena formula, brez posebnih primerov:tgx = ± a .

X = ± arctan a+n,n Z

Tretjič, poznati morate vrednosti trigonometričnih funkcij;

(priloga 2)

Četrtič, Če je v enačbi trigonometrična funkcija pod radikalnim predznakom, bo taka trigonometrična enačba iracionalna. Pri takih enačbah morate upoštevati vsa pravila, ki se uporabljajo pri reševanju navadnih enačb. iracionalne enačbe(upoštevana površina sprejemljive vrednosti enačba sama in ko je osvobojena korena sode stopnje).

V. Enačbe, ponujene na Enotnem državnem izpitu prejšnjih let.

“Metoda rešitve je dobra, če lahko že na začetku predvidimo – in to naknadno potrdimo – da bomo z uporabo te metode dosegli cilj.”

Leibniz

1. Enačbe, ki se reducirajo na kvadratne.

C1. Reši enačbo:

Rešitev: Z uporabo osnovne trigonometrične identitete,enačbo prepišemo v obliki

Zamenjavacos= tenačba se reducira na kvadratno:2t 2 + 9 t-5 =0, ki ima koreninet 1 = ½ int 2 = -5. Če se vrnemo k spremenljivki x, dobimo
,

Druga enačba je brez korenov, ker je |cosx |≥1, iz prve pa je x =± +6k, k Z

Odgovor: =± +6k, k Z

Zaključek: Pri uvajanju nove spremenljivke morate upoštevati, da so vrednosti sin x in cos x omejene s segmentom
, sicer se bodo pojavile tuje korenine.

2. Enačbe, rešene s faktorizacijo

Naloga C1 (2011)

a) Reši enačbo

b) Označi korenine enačbe, ki pripadajo odseku

Rešitev: a) rešite tako, da faktorizirate levo stran:

združite in vzemite ven skupni množitelj zunaj oklepajev, dobimo

Enačba 1) nima rešitev.

Druga enačba je homogena, rešimo jo lahko tako, da člen za členom delimo s cosx ≠0, dobimo
, kje

Odgovor: a)
b)

Zaključek:

1. Pri reševanju enačbe tega tipa morate najprej vedeti, da je |sin x|≤1 in |cosx |≤1, enačba sinx =-2 pa nima rešitev;

2. Drugič, utemeljite deljenje s cosx ≠о (ker če je cosx = 0, potem je sin x = 0, vendar je to nemogoče;

tretjič, smiselno je izbrati korenine, ki pripadajo danemu intervalu

3
.Enačba za uporabo redukcijskih formul

C1 (2010) Glede na enačbo

a) reši enačbo;

b
) Označite korenine, ki pripadajo segmentu

Rešitev: Z redukcijskimi formulami dobimo:

sin 2 x – cos x =0,

2 sinx cosx- cosx =0,

z osx (2 sinx -1)=0, od koder je cosx= 0 ali sinx =½,

b) Poiščimo vrednosti k, pri katerih bodo pripadale korenine

določenem intervalu. Za izbiro korenin. ki pripada danemu intervalu, predstavimo rešitev v obliki:

b

) Poiščite vrednosti k, pri katerih bodo korenine pripadale podanemu intervalu.

Rešitev te neenakosti, celota

ne bomo dobili vrednosti za k.

Odgovor: a)

Zaključek:

Pri reševanju tovrstne enačbe je treba poznati formule dane enačbe in jo pravilno uporabiti; znati predstaviti rešitev
v dve seriji korenin; izberite pravilne korenine, ki pripadajo danemu segmentu.

4. Sistemi trigonometričnih enačb

C1 (2010). Reši sistem enačb

Rešitev: O.D.Z

Ulomek je enak nič, če je števec 0 in imenovalec ni 0.

Iz enačbe 2sin 2 x – 3 sinx +1 =0, ki jo rešujemo z uvedbo nove spremenljivke, najdemo

oz sin x =1.

1) Naj
, Potem
in y = cos x = ›0 (uporaba osnovnega trigonometrična identiteta)

oz
in
- odločitve ni.

2) Naj sinx = 1, potem je y = cos x = 0 – rešitve ni.

odgovor:
in y =

Zaključek: 1) treba je upoštevati omejitve trigonometrije

funkcije

2) Evidenca in upoštevanje O.D.Z.

5. C1 (Enotni državni izpit 2011) Rešite enačbo:

O.D.Z. – cos x ≥ 0, sin x ≤ 0.

4sin 2 x + 12 sinx + 5 = 0 ali cos x =0

sinx = t

4 t 2 + 12 t + 5=0, od koder je t 1 = -½, t 2 = -

sinx = -½ sinx=- - nima rešitve

x =

ob upoštevanju O.D.Z. x =

Odgovor: x =

Zaključek: Zapišite odgovor z upoštevanjem O.D.Z.

ZAKLJUČEK

Pri delu, ki sem ga opravljal, sem preučeval rešitve trigonometričnih enačb, upošteval priporočila za reševanje trigonometričnih enačb, metode reševanja trigonometričnih enačb in upošteval napake, ki so možne pri reševanju le-teh.

sem prišel k sebi naslednje zaključke:

1. Naloge tipa C1 preverjajo sposobnost reševanja trigonometričnih enačb. Te naloge so res preproste, kar vliva odvečno samozavest in uspava pozornost. Edina težava pri teh nalogah je, da je treba po rešitvi enačbe ali sistema enačb zavreči tuje korenine.

2. Naloga C1 je največ preprosta naloga skupina C. Pri njenem reševanju okorne preobrazbe in zapleteni izračuni. Če se pojavijo, se morate takoj ustaviti, preveriti rešitev in poskusiti razumeti, kaj je tukaj narobe.

3. Končno,Glavna zahteva je, da mora biti rešitev matematično pismena in iz nje mora biti razviden potek sklepanja.Svojo odločitev morate poskusiti zapisati kratko in jasno, a kar je najpomembneje - pravilno!

4. In kar je najpomembneje, da se naučite reševati enačbe brez napak, jih morate rešiti! Konec koncev, kot je rekla Polya, "Če se želite naučiti plavati, se potopite v vodo, in če se želite naučiti reševati težave, jih morate rešiti!"

Priloga 1 ( osnovne formule trigonometrija)

1) osnovna trigonometrična identitetagreh 2 α + cos 2 α= 1,

Če to enačbo delimo s kvadratom kosinusa oziroma sinusa, dobimo