Razmislite o naslednji sliki:

Upodablja določeno funkcijo y = f(x), ki je diferenciabilna v točki a. Označena je točka M s koordinatami (a; f(a)). Skozi poljubno točko P(a + ∆x; f(a + ∆x)) grafa narišemo sekanto MR.

Če zdaj točko P premaknemo vzdolž grafa do točke M, se bo premica MR vrtela okoli točke M. V tem primeru bo ∆x težil k ničli. Od tu lahko oblikujemo definicijo tangente na graf funkcije.

Tangenta na graf funkcije

Tangenta na graf funkcije je mejni položaj sekansa, ko se prirastek argumenta nagiba k nič. Treba je razumeti, da obstoj odvoda funkcije f v točki x0 pomeni, da na tej točki grafa obstaja tangenta njemu.

pri čemer naklon tangenta bo enaka odvodu te funkcije v tej točki f’(x0). To je geometrijski pomen izpeljanka. Tangenta na graf funkcije f, ki jo je mogoče diferencirati v točki x0, je določena premica, ki poteka skozi točko (x0;f(x0)) in ima kotni koeficient f’(x0).

Tangentna enačba

Poskusimo dobiti enačbo tangente na graf neke funkcije f v točki A(x0; f(x0)). Enačba premice z naklonom k ima naslednjo obliko:

Ker je naš koeficient naklona enak odvodu f'(x0), potem bo enačba imela naslednjo obliko: y = f'(x0)*x + b.

Zdaj pa izračunajmo vrednost b. Za to uporabimo dejstvo, da funkcija prehaja skozi točko A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, od tu izrazimo b in dobimo b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Dobljeno vrednost nadomestimo v tangentno enačbo:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Razmislimo naslednji primer: poiščite enačbo tangente na graf funkcije f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 v točki x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Dobljene vrednosti nadomestimo s formulo tangente, dobimo: y = 1 + 4*(x - 2). Odpiranje oklepajev in prinašanje podobni pogoji dobimo: y = 4*x - 7.

Odgovor: y = 4*x - 7.

Splošna shema za sestavo tangentne enačbe na graf funkcije y = f(x):

1. Določite x0.

2. Izračunajte f(x0).

3. Izračunajte f’(x)

Enačba ravnine. Kako napisati enačbo ravnine?
Medsebojna ureditev letala. Naloge

Prostorska geometrija ni veliko bolj zapletena kot "ravna" geometrija in naši poleti v vesolju se začnejo s tem člankom. Če želite obvladati temo, morate dobro razumeti vektorji, poleg tega je priporočljivo poznati geometrijo letala - veliko bo podobnosti, veliko analogij, zato bodo informacije veliko bolje prebavljene. V nizu mojih lekcij se 2D svet odpre s člankom Enačba premice na ravnini. Toda zdaj je Batman zapustil ploski TV zaslon in se izstreli s kozmodroma Baikonur.

Začnimo z risbami in simboli. Shematsko lahko ravnino narišemo v obliki paralelograma, ki ustvarja vtis prostora:

Letalo je neskončno, vendar imamo možnost upodobiti le delček tega. V praksi se poleg paralelograma nariše tudi oval ali celo oblak. Ne briga me tehnični razlogi bolj priročno je prikazati letalo na točno ta način in v točno tem položaju. Prava letala, ki jih bomo obravnavali v praktični primeri, lahko postavite na kakršen koli način - miselno vzemite risbo v roke in jo zavrtite v prostoru, tako da ravnini daste kakršen koli naklon, kateri koli kot.

Poimenovanja: letala so običajno označena z malimi grškimi črkami, očitno zato, da jih ne bi zamenjali z premica na ravnini ali z ravna črta v prostoru. Navajen sem uporabljati pismo. Na risbi je črka "sigma" in sploh ne luknja. Čeprav je luknjasto letalo zagotovo precej smešno.

V nekaterih primerih je primerno uporabiti iste simbole za označevanje ravnin. grške črke z indeksi, na primer, .

Očitno je, da ravnino enolično določajo tri različne točke, ki ne ležijo na isti premici. Zato so tričrkovne oznake ravnin zelo priljubljene - na primer po točkah, ki jim pripadajo itd. Pogosto so črke priložene okrogli oklepaji: , da ne bi zamenjali ravnine z drugim geometrijskim likom.

Za izkušene bralce bom dal meni za hitri dostop:

Kako ustvariti enačbo ravnine z uporabo točke in dveh vektorjev?
Kako ustvariti enačbo ravnine z uporabo točke in normalnega vektorja?

in ne bomo obupovali dolga čakanja:

Splošna enačba ravnine

Splošna enačba ravnine ima obliko , kjer koeficienti niso hkrati enaki nič.

Številni teoretični izračuni in praktični problemi velja tako za običajno ortonormirano bazo kot za afina osnova prostor (če je olje olje, se vrnite k lekciji Linearna (ne)odvisnost vektorjev. Osnova vektorjev). Zaradi poenostavitve bomo predpostavili, da se vsi dogodki odvijajo v ortonormirani bazi in kartezičnem sistemu pravokotni sistem koordinate

Zdaj pa malo vadimo našo prostorsko domišljijo. Nič hudega, če je vaš slab, zdaj ga bomo malo razvili. Tudi igranje na živce zahteva trening.

V samem splošni primer, kadar številki nista nič, ravnina seka vse tri koordinatne osi. Na primer takole:

Še enkrat ponavljam, da se ravnina nadaljuje v nedogled v vse smeri in imamo možnost upodobiti le njen del.

Razmislimo o najpreprostejših enačbah ravnin:

Kako razumeti podana enačba? Pomislite: »Z« je VEDNO enak nič, za vse vrednosti »X« in »Y«. Ta enačba je "domača" koordinatna ravnina. Pravzaprav je formalno enačbo mogoče prepisati na naslednji način: , od koder lahko jasno vidite, da nam ni vseeno, kakšne vrednosti imata "x" in "y", pomembno je, da je "z" enak nič.

Enako:
– enačba koordinatne ravnine;
– enačba koordinatne ravnine.

Malo zakomplicirajmo problem, razmislimo o ravnini (tukaj in naprej v odstavku predpostavljamo, da številčne kvote niso enake nič). Zapišimo enačbo v obliki: . Kako to razumeti? "X" je VEDNO, za vse vrednosti "y" in "z", enako določenemu številu. Ta ravnina je vzporedna s koordinatno ravnino. Na primer, ravnina je vzporedna z ravnino in poteka skozi točko.

Enako:
– enačba ravnine, ki je vzporedna s koordinatno ravnino;
– enačba ravnine, ki je vzporedna s koordinatno ravnino.

Dodajmo člane: . Enačbo lahko prepišemo na naslednji način: , to pomeni, da je »zet« lahko karkoli. Kaj to pomeni? “X” in “Y” sta povezana z relacijo, ki nariše določeno premico v ravnini (izvedeli boste enačba premice v ravnini?). Ker je "z" lahko katera koli, se ta ravna črta "replicira" na kateri koli višini. Tako enačba določa ravnino, vzporedno s koordinatno osjo

Enako:
– enačba ravnine, ki je vzporedna s koordinatno osjo;
– enačba ravnine, ki je vzporedna s koordinatno osjo.

če brezplačni člani nič, potem bodo ravnine neposredno prehajale skozi ustrezne osi. Na primer, klasična "neposredna sorazmernost": . Narišite ravno črto v ravnini in jo mentalno pomnožite navzgor in navzdol (ker je "Z" karkoli). Zaključek: letalo, podana z enačbo, poteka skozi koordinatno os.

Zaključimo pregled: enačba ravnine prehaja skozi izvor. No, tukaj je povsem očitno, da točka izpolnjuje to enačbo.

In končno, primer, prikazan na risbi: - letalo je prijatelj z vsemi koordinatne osi, medtem ko vedno »odreže« trikotnik, ki se lahko nahaja v katerem koli od osmih oktantov.

Linearne neenakosti v prostoru

Če želite razumeti informacije, jih morate dobro preučiti linearne neenakosti v ravnini, saj bo marsikaj podobno. Odstavek bo kratkega preglednega značaja z več primeri, saj je gradivo v praksi precej redko.

Če enačba določa ravnino, potem neenakosti
vprašaj polprostori. Če neenačba ni stroga (zadnji dve na seznamu), potem rešitev neenačbe poleg polprostora vključuje tudi samo ravnino.

Primer 5

Poiščite enotski normalni vektor ravnine .

rešitev: Enotski vektor je vektor, katerega dolžina je ena. Označimo dani vektor skozi . Popolnoma jasno je, da so vektorji kolinearni:

Najprej odstranimo normalni vektor iz enačbe ravnine: .

Kako najti enotski vektor? Če želite najti enotski vektor, potrebujete vsak vektorsko koordinato delimo z vektorsko dolžino.

Prepišimo normalni vektor v obliki in poiščimo njegovo dolžino:

Glede na zgoraj navedeno:

Odgovori:

Preverjanje: kaj je bilo potrebno preveriti.

Bralci, ki so natančno preučili zadnji odstavek lekcije, so to verjetno opazili koordinate enotskega vektorja so točno smerni kosinusi vektorja:

Oddahnimo si od trenutne težave: ko vam je dan poljuben vektor, ki ni nič, in glede na pogoj je potrebno najti njegove smerne kosinuse (glej. najnovejše naloge lekcija Točkovni produkt vektorjev), potem dejansko najdete enotski vektor, kolinearen temu. Pravzaprav dve nalogi v eni steklenici.

Potreba po iskanju enotskega normalnega vektorja se pojavi pri nekaterih problemih matematične analize.

Ugotovili smo, kako najti normalni vektor, zdaj pa odgovorimo na nasprotno vprašanje:

Kako ustvariti enačbo ravnine z uporabo točke in normalnega vektorja?

Ta toga konstrukcija normalnega vektorja in točke je dobro znana igralcem pikada. Iztegnite roko naprej in v mislih izberite poljubno točko v prostoru, na primer majhno mačko v kredenci. Očitno skozi to točko lahko narišete eno samo ravnino, pravokotno na vašo roko.

Enačba ravnine, ki poteka skozi točko pravokotno na vektor, je izražena s formulo:

Lahko nastavite različne poti(ena točka in vektor, dve točki in vektor, tri točke itd.). S tem v mislih ima lahko enačba ravnine različne vrste. Poleg tega so ravnine pod določenimi pogoji lahko vzporedne, pravokotne, sekajoče se itd. O tem bomo govorili v tem članku. Naučili se bomo sestaviti splošno ravninsko enačbo in še več.

Normalna oblika enačbe

Recimo, da obstaja prostor R 3, ki ima pravokotni koordinatni sistem XYZ. Določimo vektor α, iz katerega se bomo sprostili Izhodišče O. Skozi konec vektorja α narišemo ravnino P, ki bo pravokotna nanj.

Označimo poljubno točko na P kot Q = (x, y, z). Radius vektor točke Q označimo s črko p. V tem primeru je dolžina vektorja α enaka р=IαI in Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

To je enotski vektor, ki je usmerjen vstran, kot vektor α. α, β in γ so koti, ki se tvorijo med vektorjem Ʋ in pozitivnimi smermi prostorskih osi x, y, z. Projekcija poljubne točke QϵП na vektor Ʋ je konstantna vrednost, ki je enak p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Zgornja enačba je smiselna, ko je p=0. Edina stvar je, da bo ravnina P v tem primeru sekala točko O (α=0), ki je izhodišče koordinat, enotski vektor Ʋ, sproščen iz točke O, pa bo pravokoten na P, kljub svoji smeri, kar pomeni, da je vektor Ʋ določen s predznakom natančno. Prejšnja enačba je enačba naše ravnine P, izražena v vektorski obliki. Toda v koordinatah bo videti takole:

P je tukaj večji ali enak 0. Našli smo enačbo ravnine v prostoru v normalni obliki.

Splošna enačba

Če enačbo v koordinatah pomnožimo s poljubnim številom, ki ni enako nič, dobimo tej enakovredno enačbo, ki določa prav to ravnino. Videti bo takole:

Tu so A, B, C števila, ki so hkrati različna od nič. Ta enačba se imenuje splošna enačba ravnine.

Enačbe ravnin. Posebni primeri

Enačba v splošni pogled se lahko spremeni, če je na voljo dodatni pogoji. Poglejmo si nekatere od njih.

Predpostavimo, da je koeficient A 0. To pomeni, da dano letalo vzporedno z dano osjo Ox. V tem primeru se bo oblika enačbe spremenila: Ву+Cz+D=0.

Podobno se bo oblika enačbe spremenila pod naslednjimi pogoji:

Prvič, če je B = 0, se bo enačba spremenila v Ax + Cz + D = 0, kar bo pokazalo vzporednost z osjo Oy.
Drugič, če je C=0, bo enačba preoblikovana v Ax+By+D=0, kar bo pokazalo vzporednost z dano osjo Oz.
Tretjič, če je D=0, bo enačba videti kot Ax+By+Cz=0, kar bo pomenilo, da ravnina seka O (izhodišče).
Četrtič, če je A=B=0, se bo enačba spremenila v Cz+D=0, kar bo vzporedno z Oxy.
Petič, če je B=C=0, postane enačba Ax+D=0, kar pomeni, da je ravnina na Oyz vzporedna.
Šestič, če je A=C=0, bo enačba imela obliko Ву+D=0, kar pomeni, da bo poročala o vzporednosti z Oxz.

Vrsta enačbe v segmentih

V primeru, da so števila A, B, C, D različna od nič, je oblika enačbe (0) lahko naslednja:

x/a + y/b + z/c = 1,

kjer je a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Kot rezultat dobimo Omeniti velja, da bo ta ravnina sekala os Ox v točki s koordinatami (a,0,0), Oy - (0,b,0) in Oz - (0,0,c). ).

Ob upoštevanju enačbe x/a + y/b + z/c = 1 si ni težko vizualno predstavljati postavitve letala glede na dani koordinatni sistem.

Normalne vektorske koordinate

Normalni vektor n na ravnino P ima koordinate, ki so koeficienti splošna enačba dane ravnine, to je n (A, B, C).

Za določitev koordinat normale n zadostuje poznavanje splošne enačbe dane ravnine.

Pri uporabi enačbe v segmentih, ki ima obliko x/a + y/b + z/c = 1, kot tudi pri uporabi splošne enačbe, lahko zapišete koordinate katerega koli normalnega vektorja dane ravnine: (1 /a + 1/b + 1/ Z).

Omeniti velja, da normalni vektor pomaga pri reševanju različnih problemov. Najpogostejši so problemi, ki vključujejo dokazovanje pravokotnosti ali vzporednosti ravnin, problemi iskanja kotov med ravninami ali kotov med ravninami in premicami.

Vrsta enačbe ravnine glede na koordinate točke in normalnega vektorja

Neničelni vektor n, pravokoten na dano ravnino, imenujemo normala za dano ravnino.

Predpostavimo, da v koordinatnem prostoru (pravokotni koordinatni sistem) Oxyz podan:

točka Mₒ s koordinatami (xₒ,yₒ,zₒ);
ničelni vektor n=A*i+B*j+C*k.

Treba je sestaviti enačbo za ravnino, ki bo potekala skozi točko Mₒ pravokotno na normalo n.

Izberemo poljubno točko v prostoru in jo označimo z M (x y, z). Naj bo radij vektor poljubne točke M (x,y,z) r=x*i+y*j+z*k in radij vektor točke Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Točka M bo pripadala dani ravnini, če je vektor MₒM pravokoten na vektor n. Zapišimo pogoj ortogonalnosti s skalarnim produktom:

[MₒM, n] = 0.

Ker je MₒM = r-rₒ, bo vektorska enačba ravnine videti takole:

Ta enačba ima lahko tudi drugo obliko. Za to se uporabljajo lastnosti skalarnega produkta in transformacija stran leve roke enačbe = - . Če ga označimo s c, dobimo naslednjo enačbo: - c = 0 ali = c, ki izraža konstantnost projekcij na normalni vektor radijskih vektorjev danih točk, ki pripadajo ravnini.

Zdaj lahko dobite koordinatni pogled zapisa vektorska enačba naša ravnina = 0. Ker je r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k in n = A*i+B*j+C*k, smo imamo:

Izkazalo se je, da imamo enačbo za ravnino, ki poteka skozi točko, pravokotno na normalo n:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Vrsta enačbe ravnine glede na koordinate dveh točk in vektorja, kolinearnega na ravnino

Določimo dve poljubni točki M′ (x′,y′,z′) in M″ (x″,y″,z″) ter vektor a (a′,a″,a‴).

Zdaj lahko ustvarimo enačbo za dano ravnino, ki bo vzporedno potekala skozi obstoječi točki M′ in M″ ter katero koli točko M s koordinatami (x,y,z). dani vektor A.

V tem primeru morata biti vektorja M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) in M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) komplanarna z vektorjem a=(a′,a″,a‴), kar pomeni, da je (M′M, M″M, a)=0.

Torej bo naša enačba ravnine v prostoru videti takole:

Vrsta enačbe ravnine, ki seka tri točke

Recimo, da imamo tri točke: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), ki ne pripadajo isti premici. Napisati je treba enačbo ravnine, ki poteka skozi dane tri točke. Teorija geometrije trdi, da tovrstna ravnina res obstaja, vendar je edina in edinstvena. Ker ta ravnina seka točko (x′,y′,z′), bo oblika njene enačbe naslednja:

Tukaj so A, B, C hkrati različni od nič. Poleg tega dana ravnina seka še dve točki: (x″,y″,z″) in (x‴,y‴,z‴). V zvezi s tem morajo biti izpolnjeni naslednji pogoji:

Zdaj lahko sestavljamo homogeni sistem z neznanimi u, v, w:

V našem primeru x,y ali z štrli poljubna točka, ki zadošča enačbi (1). Glede na enačbo (1) ter sistem enačb (2) in (3) sistem enačb, prikazan na zgornji sliki, izpolnjuje vektor N (A, B, C), ki ni trivialen. Zato je determinanta tega sistema enaka nič.

Enačba (1), ki smo jo dobili, je enačba ravnine. Gre natančno skozi 3 točke in to je enostavno preveriti. Da bi to naredili, moramo našo determinanto razširiti na elemente v prvi vrstici. Iz obstoječih lastnosti determinante sledi, da naša ravnina hkrati seka tri prvotno dane točke (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . To pomeni, da smo rešili nalogo, ki nam je bila dodeljena.

Diedrski kot med ravninama

Diedrski kot predstavlja prostor geometrijski lik, ki ga tvorita dve polravnini, ki izhajata iz ene premice. Z drugimi besedami, to je del prostora, ki je omejen s temi polravninami.

Recimo, da imamo dve ravnini z naslednjima enačbama:

Vemo, da sta vektorja N=(A,B,C) in N¹=(A¹,B¹,C¹) pravokotna glede na danih letal. V zvezi s tem je kot φ med vektorjema N in N¹ enak kotu (diedru), ki se nahaja med tema ravninama. Skalarni produkt ima obliko:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

prav zato, ker

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Dovolj je upoštevati, da je 0≤φ≤π.

Pravzaprav dve ravnini, ki se sekata, tvorita dva kota (diedra): φ 1 in φ 2. Njuna vsota je enaka π (φ 1 + φ 2 = π). Kar zadeva njihove kosinuse, so njihove absolutne vrednosti enake, vendar se razlikujejo po predznaku, to je cos φ 1 = -cos φ 2. Če v enačbi (0) nadomestimo A, B in C s števili -A, -B oziroma -C, bo enačba, ki jo dobimo, določila isto ravnino, edino, kot φ v cos enačbaφ=NN 1 /|N||N 1 | bo nadomeščen s π-φ.

Enačba pravokotne ravnine

Ravnine, med katerimi je kot 90 stopinj, imenujemo pravokotne. Z uporabo zgoraj predstavljenega materiala lahko najdemo enačbo ravnine, ki je pravokotna na drugo. Recimo, da imamo dve ravnini: Ax+By+Cz+D=0 in A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Lahko rečemo, da bodo pravokotni, če je cosφ=0. To pomeni, da je NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Enačba vzporedne ravnine

Dve ravnini, ki nimata skupnih točk, imenujemo vzporedni.

Pogoj (njuni enačbi sta enaki kot v prejšnjem odstavku) je, da sta vektorja N in N¹, ki sta pravokotni nanju, kolinearna. In to pomeni, da so izpolnjeni naslednje pogoje sorazmernost:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Če so pogoji sorazmernosti razširjeni - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

to pomeni, da ti ravnini sovpadata. To pomeni, da enačbi Ax+By+Cz+D=0 in A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 opisujeta eno ravnino.

Razdalja do ravnine od točke

Recimo, da imamo ravnino P, ki je podana z enačbo (0). Treba je najti razdaljo do nje od točke s koordinatami (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Če želite to narediti, morate enačbo ravnine P prenesti v normalno obliko:

(ρ,v)=р (р≥0).

IN v tem primeruρ (x,y,z) je radij vektor naše točke Q, ki se nahaja na P, p je dolžina navpičnice P, ki je bila izpuščena iz ničelna točka, v je enotski vektor, ki se nahaja v smeri a.

Razlika ρ-ρº polmerni vektor neke točke Q = (x, y, z), ki pripada P, kot tudi polmerni vektor dane točke Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) je takšen vektor, absolutna vrednost katere projekcija na v je enaka razdalji d, ki jo je treba najti od Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) do P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, vendar

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Tako se izkaže

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Torej bomo našli absolutna vrednost nastali izraz, to je želeni d.

Z uporabo jezika parametrov dobimo očitno:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

če nastavljena točka Q 0 je na drugi strani ravnine P, kot izhodišče koordinat, potem se med vektorjem ρ-ρ 0 in v torej nahaja:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

V primeru, da se točka Q 0 skupaj z izhodiščem koordinat nahaja na isti strani od P, je ustvarjeni kot oster, to je:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Posledično se izkaže, da v prvem primeru (ρ 0 ,v)>р, v drugem (ρ 0 ,v)<р.

Tangentna ravnina in njena enačba

Tangentna ravnina na površino v točki stika Mº je ravnina, ki vsebuje vse možne tangente na krivulje, narisane skozi to točko na površini.

S to vrsto površinske enačbe F(x,y,z)=0 bo enačba tangentne ravnine v tangentni točki Mº(xº,yº,zº) videti takole:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Če podate površino v eksplicitni obliki z=f (x,y), bo tangentna ravnina opisana z enačbo:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Presek dveh ravnin

V koordinatnem sistemu (pravokotni) se nahaja Oxyz, podani sta dve ravnini П′ in П″, ki se sekata in ne sovpadata. Ker je katera koli ravnina v pravokotnem koordinatnem sistemu določena s splošno enačbo, predpostavimo, da sta P′ in P″ podani z enačbama A′x+B′y+C′z+D′=0 in A″x +B″y+ С″z+D″=0. V tem primeru imamo normalo n′ (A′,B′,C′) ravnine P′ in normalo n″ (A″,B″,C″) ravnine P″. Ker naši ravnini nista vzporedni in ne sovpadata, ti vektorji niso kolinearni. Z uporabo jezika matematike lahko ta pogoj zapišemo takole: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Naj bo premica, ki leži na presečišču P′ in P″, označena s črko a, v tem primeru a = P′ ∩ P″.

a je premica, sestavljena iz množice vseh točk (skupnih) ravnin P′ in P″. To pomeni, da morajo koordinate katere koli točke, ki pripada premici a, hkrati izpolnjevati enačbi A′x+B′y+C′z+D′=0 in A″x+B″y+C″z+D″=0 . To pomeni, da bodo koordinate točke delna rešitev naslednjega sistema enačb:

Posledično se izkaže, da bo (splošna) rešitev tega sistema enačb določila koordinate vsake točke premice, ki bo delovala kot presečišče P′ in P″, ter določila ravno črto a v Oxyz (pravokotni) koordinatni sistem v prostoru.

V tej lekciji si bomo ogledali, kako uporabiti determinanto za ustvarjanje enačba ravnine. Če ne veste, kaj je determinanta, pojdite na prvi del lekcije - "Matrike in determinante". V nasprotnem primeru tvegate, da v današnjem gradivu ne boste ničesar razumeli.

Enačba ravnine s tremi točkami

Zakaj sploh potrebujemo enačbo ravnine? Preprosto je: če ga poznamo, zlahka izračunamo kote, razdalje in druge bedarije v nalogi C2. Na splošno brez te enačbe ne gre. Zato formuliramo problem:

Naloga. V prostoru so podane tri točke, ki ne ležijo na isti premici. Njihove koordinate:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Ustvariti morate enačbo za ravnino, ki poteka skozi te tri točke. Poleg tega bi morala enačba izgledati takole:

Ax + By + Cz + D = 0

kjer so števila A, B, C in D koeficienti, ki jih je dejansko treba najti.

No, kako dobiti enačbo ravnine, če so znane samo koordinate točk? Najlažji način je, da koordinate nadomestimo v enačbo Ax + By + Cz + D = 0. Dobimo sistem treh enačb, ki jih je enostavno rešiti.

Mnogi študenti menijo, da je ta rešitev izjemno dolgočasna in nezanesljiva. Lanskoletni enotni državni izpit iz matematike je pokazal, da je verjetnost računske napake res velika.

Zato so najnaprednejši učitelji začeli iskati enostavnejše in elegantnejše rešitve. In našli so ga! Res je, da je pridobljena tehnika bolj povezana z višjo matematiko. Osebno sem moral brskati po celotnem Zveznem seznamu učbenikov, da sem se prepričal, da imamo pravico uporabljati to tehniko brez kakršne koli utemeljitve ali dokazov.

Enačba ravnine skozi determinanto

Dovolj besedil, pojdimo k poslu. Za začetek izrek o tem, kako sta determinanta matrike in enačba ravnine povezani.

Izrek. Naj bodo podane koordinate treh točk, skozi katere je treba narisati ravnino: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Potem lahko enačbo te ravnine zapišemo skozi determinanto:

Kot primer, poskusimo najti par ravnin, ki se dejansko pojavljajo v problemih C2. Poglejte, kako hitro se vse izračuna:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Sestavimo determinanto in jo enačimo na nič:

Razširimo determinanto:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Kot vidite, sem pri izračunu števila d enačbo malo "prečesal", da so bile spremenljivke x, y in z v pravilnem zaporedju. To je vse! Enačba ravnine je pripravljena!

Naloga. Zapišite enačbo za ravnino, ki poteka skozi točke:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Koordinate točk takoj nadomestimo v determinanto:

Spet razširimo determinanto:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Torej, spet dobimo enačbo ravnine! Ponovno smo morali na zadnjem koraku spremeniti znake v njej, da smo dobili bolj »lepšo« formulo. V tej rešitvi tega sploh ni potrebno storiti, vendar je še vedno priporočljivo - za poenostavitev nadaljnje rešitve problema.

Kot lahko vidite, je sestavljanje enačbe ravnine zdaj veliko lažje. Točke nadomestimo v matriko, izračunamo determinanto - in to je to, enačba je pripravljena.

To bi lahko končalo lekcijo. Vendar mnogi učenci nenehno pozabljajo, kaj je znotraj determinante. Na primer, katera vrstica vsebuje x 2 ali x 3 in katera vrstica vsebuje samo x. Da bi se temu res izognili, poglejmo, od kod prihaja posamezna številka.

Od kod formula z determinanto?

Torej, ugotovimo, od kod prihaja tako ostra enačba z determinanto. To vam bo pomagalo, da si ga zapomnite in ga uspešno uporabite.

Vse ravnine, ki se pojavljajo v nalogi C2, so določene s tremi točkami. Te točke so vedno označene na risbi ali celo označene neposredno v besedilu problema. V vsakem primeru bomo morali za sestavo enačbe zapisati njihove koordinate:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Oglejmo si še eno točko na naši ravnini s poljubnimi koordinatami:

T = (x, y, z)

Vzemite katero koli točko iz prvih treh (na primer točko M) in iz nje narišite vektorje v vsako od treh preostalih točk. Dobimo tri vektorje:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).

Zdaj pa iz teh vektorjev sestavimo kvadratno matriko in njeno determinanto enačimo z nič. Koordinate vektorjev bodo postale vrstice matrike - in dobili bomo tisto determinanto, ki je navedena v izreku:

Ta formula pomeni, da je prostornina paralelopipeda, zgrajenega na vektorjih MN, MK in MT, enaka nič. Zato vsi trije vektorji ležijo v isti ravnini. Zlasti poljubna točka T = (x, y, z) je točno to, kar smo iskali.

Zamenjava točk in premic determinante

Determinante imajo več odličnih lastnosti, zaradi katerih je še lažje rešitev problema C2. Na primer, ni nam pomembno, iz katere točke narišemo vektorje. Zato naslednje determinante dajejo enako enačbo ravnine kot zgornja:

Vrstici determinante lahko tudi zamenjate. Enačba bo ostala nespremenjena. Mnogi ljudje na primer radi napišejo črto s koordinatami točke T = (x; y; z) čisto na vrhu. Prosimo, če vam ustreza:

Nekatere ljudi zmoti dejstvo, da ena od črt vsebuje spremenljivke x, y in z, ki ne izginejo pri zamenjavi točk. Ampak ne smejo izginiti! Če številke zamenjate v determinanto, bi morali dobiti to konstrukcijo:

Nato se determinanta razširi v skladu z diagramom, podanim na začetku lekcije, in dobimo standardno enačbo ravnine:

Ax + By + Cz + D = 0

Oglejte si primer. To je zadnja v današnji lekciji. Premici bom namerno zamenjal, da se prepričam, da bo odgovor dal isto enačbo ravnine.

Naloga. Zapišite enačbo za ravnino, ki poteka skozi točke:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Torej upoštevamo 4 točke:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Najprej ustvarimo standardno determinanto in jo enačimo z nič:

Razširimo determinanto:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

To je to, dobili smo odgovor: x + y + z − 2 = 0.

Zdaj pa preuredimo nekaj vrstic v determinanti in poglejmo, kaj se bo zgodilo. Na primer, napišimo vrstico s spremenljivkami x, y, z ne na dnu, ampak na vrhu:

Ponovno razširimo nastalo determinanto:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Dobili smo popolnoma enako enačbo ravnine: x + y + z − 2 = 0. To pomeni, da res ni odvisna od vrstnega reda vrstic. Preostane le še zapis odgovora.

Prepričani smo torej, da enačba ravnine ni odvisna od zaporedja premic. Lahko izvedemo podobne izračune in dokažemo, da enačba ravnine ni odvisna od točke, katere koordinate odštejemo od drugih točk.

V zgoraj obravnavanem problemu smo uporabili točko B 1 = (1, 0, 1), vendar je bilo povsem mogoče vzeti C = (1, 1, 0) ali D 1 = (0, 1, 1). Na splošno katera koli točka z znanimi koordinatami, ki leži na želeni ravnini.

13.Kot med ravninami, razdalja od točke do ravnine.

Naj se ravnini α in β sekata vzdolž premice c.
Kot med ravninama je kot med navpičnicami na premico njunega presečišča, narisanimi v teh ravninah.

Z drugimi besedami, v ravnino α smo narisali premico a, pravokotno na c. V ravnini β - premica b, prav tako pravokotna na c. Kot med ravninama α in β je enak kotu med premicama a in b.

Upoštevajte, da ko se dve ravnini sekata, dejansko nastanejo štirje koti. Jih vidite na sliki? Kot kot med ravninama vzamemo začinjeno kotiček.

Če je kot med ravninama 90 stopinj, potem ravnine pravokotno,

To je definicija pravokotnosti ravnin. Pri reševanju nalog v stereometriji uporabljamo tudi znak pravokotnosti ravnin:

Če poteka ravnina α skozi pravokotnico na ravnino β, sta ravnini α in β pravokotni.

razdalja od točke do ravnine

Razmislite o točki T, ki jo definirajo njene koordinate:

T = (x 0, y 0, z 0)

Upoštevajte tudi ravnino α, podano z enačbo:

Ax + By + Cz + D = 0

Potem lahko razdaljo L od točke T do ravnine α izračunamo po formuli:

Z drugimi besedami, koordinate točke nadomestimo v enačbo ravnine in nato to enačbo delimo z dolžino normalnega vektorja n na ravnino:

Dobljeno število je razdalja. Poglejmo, kako ta izrek deluje v praksi.

Parametične enačbe premice na ravnino smo že izpeljali, poglejmo parametrične enačbe premice, ki je definirana v pravokotnem koordinatnem sistemu v tridimenzionalnem prostoru.

Naj bo pravokotni koordinatni sistem fiksiran v tridimenzionalnem prostoru Oxyz. V njej določimo ravno črto a(glej razdelek o metodah za določanje črte v prostoru), ki nakazuje smerni vektor črte in koordinate neke točke na premici . Iz teh podatkov bomo izhajali pri sestavljanju parametričnih enačb premice v prostoru.

Naj bo poljubna točka v tridimenzionalnem prostoru. Če od koordinat točke odštejemo M ustrezne koordinate točke M 1, potem bomo dobili koordinate vektorja (glejte članek o iskanju koordinat vektorja iz koordinat točk njegovega konca in začetka), tj. .

Očitno množica točk določa premico Ače in samo če sta vektorja in kolinearna.

Zapišimo nujni in zadostni pogoj za kolinearnost vektorjev in : , kjer je neko realno število. Nastala enačba se imenuje vektorsko-parametrična enačba premice v pravokotnem koordinatnem sistemu Oxyz v tridimenzionalnem prostoru. Vektorsko-parametrična enačba premice v koordinatni obliki ima obliko in predstavlja parametrične enačbe premice a. Ime "parametrični" ni naključno, saj so koordinate vseh točk na črti določene s parametrom.

Navedimo primer parametričnih enačb premice v pravokotnem koordinatnem sistemu Oxyz v vesolju: . Tukaj

15.Kot med premico in ravnino. Presečišče premice z ravnino.

Vsaka enačba prve stopnje glede na koordinate x, y, z

Ax + By + Cz + D = 0 (3.1)

definira ravnino in obratno: vsako ravnino lahko predstavimo z enačbo (3.1), ki jo imenujemo enačba ravnine.

Vektor n(A, B, C), ki je pravokoten na ravnino, se imenuje normalni vektor letalo. V enačbi (3.1) koeficienti A, B, C niso hkrati enaki 0.

Posebni primeri enačbe (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - ravnina poteka skozi izhodišče.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - ravnina je vzporedna z osjo Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - ravnina poteka skozi os Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - ravnina je vzporedna z ravnino Oyz.

Enačbe koordinatnih ravnin: x = 0, y = 0, z = 0.

Ravno črto v prostoru je mogoče določiti:

1) kot presečišče dveh ravnin, tj. sistem enačb:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3,2)

2) z dvema točkama M 1 (x 1, y 1, z 1) in M 2 (x 2, y 2, z 2), potem je premica, ki poteka skozi njiju, podana z enačbami:

3) točko M 1 (x 1, y 1, z 1), ki ji pripada, in vektor a(m, n, p), kolinearni z njim. Nato je ravna črta določena z enačbami:

. (3.4)

Enačbe (3.4) imenujemo kanonične enačbe premice.

Vektor a klical smerni vektor naravnost.

Parametrične enačbe premice dobimo tako, da vsako izmed relacij (3.4) enačimo s parametrom t:

x = x 1 +mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + rt. (3,5)

Reševanje sistema (3.2) kot sistema linearnih enačb za neznanke x in l, pridemo do enačb premice v projekcije ali za dane enačbe premice:

x = mz + a, y = nz + b. (3,6)

Iz enačb (3.6) lahko preidemo na kanonične enačbe in ugotovimo z iz vsake enačbe in enačenje dobljenih vrednosti:

Od splošnih enačb (3.2) lahko preidete na kanonične na drug način, če najdete katero koli točko na tej premici in njen smerni vektor n= [n 1 , n 2], kjer n 1 (A 1, B 1, C 1) in n 2 (A 2 , B 2 , C 2 ) - normalni vektorji danih ravnin. Če eden od imenovalcev m, n oz R v enačbah (3.4) izkaže, da je enak nič, potem mora biti števec ustreznega ulomka enak nič, tj. sistem

je enakovreden sistemu ; taka premica je pravokotna na os Ox.

Sistem je enakovreden sistemu x = x 1, y = y 1; premica je vzporedna z osjo Oz.

Primer 1.15. Napišite enačbo za ravnino, pri čemer veste, da točka A(1,-1,3) služi kot osnova navpičnice, ki poteka iz izhodišča na to ravnino.

rešitev. Glede na pogoje problema je vektor OA(1,-1,3) je normalni vektor ravnine, potem lahko njegovo enačbo zapišemo kot
x-y+3z+D=0. Če zamenjamo koordinate točke A(1,-1,3), ki pripadajo ravnini, dobimo D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11. Torej x-y+3z-11=0.

Primer 1.16. Sestavite enačbo za ravnino, ki poteka skozi os Oz in z ravnino tvori kot 60 stopinj 2x+y-z-7=0.

rešitev. Ravnina, ki poteka skozi os Oz, je podana z enačbo Ax+By=0, kjer A in B ne izničita hkrati. Naj B ne
je enako 0, A/Bx+y=0. Uporaba formule kosinusa za kot med dvema ravninama

Če rešimo kvadratno enačbo 3m 2 + 8m - 3 = 0, najdemo njene korenine
m 1 = 1/3, m 2 = -3, od koder dobimo dve ravnini 1/3x+y = 0 in -3x+y = 0.

Primer 1.17. Sestavite kanonične enačbe premice:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

rešitev. Kanonične enačbe premice imajo obliko:

Kje m, n, str- koordinate usmerjevalnega vektorja premice, x 1, y 1, z 1- koordinate poljubne točke, ki pripada premici. Ravna črta je definirana kot presečišče dveh ravnin. Za iskanje točke, ki pripada premici, je ena od koordinat fiksna (najlažje je nastaviti npr. x=0) in dobljeni sistem rešimo kot sistem linearnih enačb z dvema neznankama. Torej, naj bo x=0, potem je y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, torej y=-1, z=1. Našli smo koordinate točke M(x 1, y 1, z 1), ki pripada tej premici: M (0,-1,1). Vektor smeri ravne črte je enostavno najti, če poznamo normalne vektorje prvotnih ravnin n 1 (5,1,1) in n 2 (2,3,-2). Potem

Kanonične enačbe premice imajo obliko: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Primer 1.18. V žarku, ki ga določata ravnini 2x-y+5z-3=0 in x+y+2z+1=0, poiščite dve pravokotni ravnini, od katerih ena poteka skozi točko M(1,0,1).

rešitev. Enačba žarka, definiranega s temi ravninami, ima obliko u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, kjer u in v ne izničita hkrati. Prepišimo enačbo žarka na naslednji način:

(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.

Da iz žarka izberemo ravnino, ki gre skozi točko M, v enačbo žarka nadomestimo koordinate točke M. Dobimo:

(2u+v)×1 + (-u + v)×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0 ali v = - u.

Nato najdemo enačbo ravnine, ki vsebuje M, tako da nadomestimo v = - u v enačbo žarka:

u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.

Ker u¹0 (sicer v=0, kar je v nasprotju z definicijo žarka), potem imamo enačbo ravnine x-2y+3z-4=0. Druga ravnina, ki pripada gredi, mora biti pravokotna nanjo. Zapišimo pogoj za ortogonalnost ravnin:

(2u+ v)×1 + (v - u)×(-2) + (5u +2v)×3 = 0 ali v = - 19/5u.

To pomeni, da ima enačba druge ravnine obliko:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 ali 9x +24y + 13z + 34 = 0